{"id":37285,"date":"2019-10-24T10:37:52","date_gmt":"2019-10-24T09:37:52","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37285"},"modified":"2022-07-08T13:48:23","modified_gmt":"2022-07-08T12:48:23","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-series-numeriques-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-series-numeriques-spe\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s sur les s\u00e9ries num\u00e9riques"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les s\u00e9ries num\u00e9riques MP, PC, PSI, PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Exercices et corrig\u00e9s – s\u00e9ries num\u00e9riques<\/h2>\n

1. Nature de quelques s\u00e9ries<\/h2>\n

Exercice 1 sur la nature des s\u00e9ries num\u00e9riques<\/b><\/p>\n

Nature de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle u_n = \frac {n ^{\ln(n)}} {\ln^n (n)}\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On cherche la limite de \"n ^2\, u_n\" pour cela on commence par \u00e9tudier \"a_n = \ln(n ^2 \, u_n)\"
\n\"a_n = 2 \ln(n) + \ln^2(n)- n \ln(\ln n)\"
\nOn a une somme de termes qui divergent vers \"\infty\", on factorise par celui qui tend le plus vite vers \"\infty\" :
\n\"\displaystyle a_n = - n \ln(\ln n) ( 1 - \varepsilon _n)\" o\u00f9 \"\displaystyle \varepsilon_ n = \frac {2 \ln n} {n \ln(\ln n)}+ \frac{\ln^2 n } { n \ln(\ln n)}\"
\n\"\displaystyle \varepsilon_ n = \frac {2 \ln n } {n} . \frac 1 {\ln(\ln n)}+ \left ( \frac{\ln n }{\sqrt{n}} \right) ^2 \frac 1 {\ln(\ln n)}\"<\/p>\n

Par croissance compar\u00e9e, \"\displaystyle \lim_{n\to\infty} \varepsilon _n = 0\" et donc \"\displaystyle \lim_{n\to\infty} a _n = - \infty\" .
\nOn a prouv\u00e9 que \"\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2 \, u _n = 0\", donc \"\displaystyle u_n \underset {n \to \infty} {=} o \left ( \frac 1 {n^2} \right )\" , par domination par une s\u00e9rie de Riemann convergente, \"\sum u_n\" converge.<\/p>\n

Exercice 2 : somme d’une s\u00e9rie num\u00e9rique<\/b><\/p>\n

Soient \"a\" et \"b\" deux r\u00e9els strictement positifs et \"\displaystyle u_n = \frac {a^n} {n + b^n}\".
\nNature de \"\sum u_n\,\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"0 < b \leq 1\", \"n + b^n \underset {n \to\infty} \sim n\" car
\n\"\displaystyle n + b^n = n \left ( 1 + \frac {b^n} {n} \right)\" o\u00f9 \"\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {b^n} {n} = 0\",
\ndonc \"\displaystyle u_n \underset {n \to \infty} \sim \frac{a^n} n.\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a< 1\" , \"\displaystyle 0 \leq \frac{a^n} n \leq a^n\"
\npar domination par une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique convergente, \"\displaystyle \sum \frac{a^n} n\" converge et par \u00e9quivalence<\/a> de s\u00e9ries de r\u00e9els positifs, \"\sum u_n\" converge.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a\geq 1\", alors \"\displaystyle \frac{a^n} n \geq \frac 1 n\", donc par minoration par une s\u00e9rie de Riemann divergente, \"\displaystyle \sum \frac{a^n} n\" diverge et par \u00e9quivalence de s\u00e9ries de r\u00e9els positifs, \"\sum u_n\" diverge.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"b > 1\", \"n + b^n \underset {n \to\infty} \sim b^n\" car \"\displaystyle n + b^n = b^n \left ( 1 + \frac {n} {b^n} \right)\" o\u00f9 \"\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {n} {b^n} = 0\" (croissance compar\u00e9e), donc \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle u_n \underset {n \to \infty} \sim \frac{a^n} {b^n}\,\".<\/p>\n

Par \u00e9quivalence \u00e0 une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique positive, \"\sum u_n\" converge ssi \"0 < a < b\".<\/p>\n

En r\u00e9sum\u00e9 , \"\sum u_n\" converge ssi
\n(\"0 < a < 1\"\u00a0 et \"b < 1\")
\nou (\"0 < a < b\"\u00a0 et \"b \geq 1\" ).<\/p>\n

Exercice 3 : \u00e9tude d’une s\u00e9rie num\u00e9rique<\/b><\/p>\n

\u00c9tudier la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle u_n = \frac {1! + 2 ! + \, \cdots \,+ n!} {(n +p)!}\" avec \"p \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" Si \"p = 0\", \"u_n = 1\", donc \"\sum u_n\" diverge grossi\u00e8rement.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"p = 1\", \"\displaystyle u_n \geq \frac{n!} {(n + 1)!}\", donc \"\displaystyle u_n \geq \frac 1 {n + 1}\" alors \"\sum u_n\" diverge par minoration par une s\u00e9rie divergente.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"p \geq 2\", soit \"\displaystyle a_n = \sum_{k = 1}^n \frac {k!} {n!}\".
\n\"\displaystyle a_n = 1 + \frac {(n - 1)!} {n!} + \sum_{k = 1}^{n - 2} \frac {k!} {n!}\"
\net \"\displaystyle 0 \leq \sum_{k = 1}^{n - 2} \frac {k!} {n!} \leq \sum_{k = 1}^{n - 2} \frac {(n -2)!} {n!}\"
\ndonc \"\quad \displaystyle 1 \leq a_n \leq 1 + \frac {1} {n} + (n - 2) \frac {1} {n(n - 1)}\".
\nPar encadrement, la suite \"(a_n)_n\" converge vers 1, alors
\n\"\displaystyle u_n\underset {n \to \infty} {\sim} \frac {n!} {(n + p)!}\" \"\Rightarrow \displaystyle u_n\underset {n \to \infty} {\sim} \frac {1} {n^ p}\".
\nDonc \"\sum u_n\" converge par \u00e9quivalence \u00e0 une s\u00e9rie de Riemann convergente.<\/p>\n

Exercice 4 : nature d’une s\u00e9rie num\u00e9rique<\/b><\/p>\n

Nature de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n = \cos \left( \pi \sqrt{1 + n + n^2}\right )\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\displaystyle a_n = \sqrt{1 + n + n^2} = n\sqrt {1 + \frac {1}{n} + \frac{1} {n ^2}}\".
\nEn utilisant le d\u00e9veloppement limit\u00e9 de \"\sqrt{1 + x}\" \u00e0 l’ordre 2 en 0,\u00a0il est important que le terme compl\u00e9mentaire soit un O, pour ne pas devoir \u00e9crire le DL \u00e0 l’ordre 3 :
\n\"\displaystyle a_n \underset {n\to \infty} {=} n \left ( 1 + \frac {1}{2n} + \frac{1} {2n ^2} - \frac{1} {8n ^2} + O \left (\frac {1 } {n^3} \right) \right)\"
\n\"\displaystyle a_n \underset {n\to \infty} {=} n \left ( 1 + \frac {1}{2n} + \frac{3} {8n ^2} + O \left (\frac {1 } {n^3} \right) \right)\"
\n\"\displaystyle a_n \underset {n\to \infty} {=} n + \frac {1}{2} + \frac{3} {8 n} + O \left (\frac {1 } {n^2} \right)\"
\ndonc \"\displaystyle u_n \underset {n\to \infty} {=} \cos \left ( n \pi + \frac {\pi}{2} + \frac{3 \pi} {8 n} + O \left (\frac {1 } {n^2} \right) \right )\"
\net comme \"\cos(x + n\pi) = ( -1)^n \cos(x)\" et \"\cos(x + \pi/2) = - \sin(x)\"
\n\"\displaystyle u_n \underset {n\to \infty} {=} (-1)^{n + 1} \sin \left ( \frac{3 \pi} {8 n} + O \left (\frac {1 } {n^2} \right) \right )\"
\n\"\displaystyle u_n \underset {n\to \infty} {=} \frac {3 (-1)^{n + 1}} {8 n} + O \left (\frac {1 } {n^2} \right)\"<\/p>\n

La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle \frac {3 (-1)^{n + 1}} {8 n}\" converge par le th\u00e9or\u00e8me sp\u00e9cial des s\u00e9ries altern\u00e9es.
\nLa s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle O \left (\frac {1 } {n^2} \right)\" converge absolument par domination.
\nDonc par somme, \"\sum u_n\" converge.<\/p>\n

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2. Comparaison suite-s\u00e9rie<\/h2>\n

Soit une suite \"(a_n)_{n > 0}\" de r\u00e9els strictement positifs. on d\u00e9finit la suite \"(u_n)_{n>0}\" par
\n\"u_1 > 0\" et si \"n \in \mathbb{N}^*, \; u_{n+1} = \displaystyle u_n + \frac {a_n} {u_n}\".
\nDonner une CNS sur \"(a_n)_{n > 0}\" pour que la suite \"(u_n)_{n > 0}\" converge.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Par une r\u00e9currence simple, \"\quad \quad \quad \forall \, n \in \mathbb{N}^* , \; u_n > 0\" ,
\ndonc \"\forall n \in \mathbb{N}^*, \; u_{n + 1} - u_n > 0\".
\nLa suite \"(u_n)_{n > 0}\" est strictement croissante.<\/p>\n

\"\bullet\" Si la suite \"(u_n)_{n>0}\" converge vers \"L\", comme \"\displaystyle L = \sup _{n > 0} u_n> 0\" , on en d\u00e9duit que \"u_n \underset {n \to \infty} \sim L\" .
\nLa s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_{n + 1} - u_n\" converge, donc la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle \frac {a_n} {u_n}\" converge.
\nPuis \"\displaystyle \frac {a_n} {u_n} \underset {n \to \infty} \sim \frac {a_n} L\" , la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n\" converge.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\sum a_n\" converge, en \u00e9crivant puisque \"a_n > 0\" et \"u_n \geq u_1 > 0\" : \"\displaystyle 0 \leq u_{n + 1} - u_n \leq \frac {a_n} {u_1}\", la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_{n + 1} - u_n\" converge par domination, donc la suite \"(u_n)_{n>0}\" converge.
\nConclusion<\/b>\u00a0: la suite \"(u_n)_{n>0}\" converge ssi\u00a0 \"\sum a_n\" converge.<\/p>\n

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3. Comparaison d’une s\u00e9rie num\u00e9rique avec une int\u00e9grale<\/h2>\n

Soit \"\alpha > 1\" et si \"n \, \in \, \mathbb{N}^*\" ,\u00a0\"\displaystyle u_n = {\frac 1 {n ^{\alpha}}}\".
\nOn note \"\displaystyle R_n = \sum_{k = n + 1}^{\infty} u_k\", montrer que \"\displaystyle R_n \underset{n\to +\infty }{\sim } \frac 1{(\alpha - 1) n ^{\alpha - 1}}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note \"f\" : [1 , \"+\infty\"[ \"\rightarrow \mathbb{R}\", \"t \mapsto \displaystyle \frac 1 {t ^\alpha}\".
\n\"f\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

Si \"k\, \geq\, 1\" , pour tout \"t \in [k , k + 1]\", \"\quad \quad \displaystyle f(k + 1) \, \leq \, f(t) \, \leq \, f(k)\",
\nen int\u00e9grant<\/a> sur \"[k , k + 1]\", \"\quad \quad f(k + 1) \, \leq \,\int _{k} ^{k + 1} f(t) \textrm {d} t \, \leq \,f(k).\"
\nalors si \"k\, \geq \, 2\", \"\int _{k} ^{k + 1} f(t) \textrm {d} t \, \leq \, f(k) \, \leq \,\int _{k - 1 } ^{k} f(t) \textrm {d} t .\"<\/p>\n

Soit \"n \geq 1\", si \"N \geq n + 1\", on somme pour \"k = n + 1 , \,...\, , N\", on obtient :
\n\"\displaystyle \sum _{k = n + 1}^{N} \int _{k} ^{k + 1} f(t) \textrm {d} t \, \leq \, \sum _{k = n + 1}^{N}f(k)\"
\n\"\displaystyle \, \leq \,\sum _{k = n + 1}^{N}\int _{k - 1 } ^{k} f(t) \textrm {d} t\"
\npuis par la relation de Chasles,
\n\"\displaystyle \int _{n+ 1 } ^{N + 1} f(t) \textrm {d} t \, \leq \, \sum _{k = n + 1}^{N}f(k) \, \leq \,\int _{n } ^{N} f(t) \textrm {d} t\"
\navec \"\displaystyle \int _{n } ^{N} f(t) \textrm {d} t = \left [ - \frac 1 {\alpha - 1} \frac 1 {t ^{\alpha - 1}} \right ] _{n} ^{N}\"
\n\"\displaystyle = \frac 1 {\alpha - 1}\left ( \frac 1 {n ^{\alpha - 1}} - \frac 1 {N ^{\alpha - 1}} \right )\"
\n(\"\alpha \neq 1\"). Donc
\n\"\displaystyle \frac 1 {\alpha - 1} \left ( \frac 1 {{(n + 1)} ^{\alpha - 1}} - \frac 1 {{(N + 1)} ^{\alpha - 1}} \right ) \,\"
\n\"\displaystyle \leq \, \sum _{k = n + 1}^{N}\frac 1 {k^\alpha} \, \leq \, \frac 1 {\alpha - 1}\left ( \frac 1 {n ^{\alpha - 1}} - \frac 1 {N ^{\alpha - 1}} \right )\"<\/p>\n

Lorsque \"N\" tend vers \"+\infty\", on obtient
\n\"\displaystyle \frac 1 {\alpha - 1} \frac 1 {{(n + 1)} ^{\alpha - 1}} \, \leq \, R_n\, \leq \, \frac 1 {\alpha - 1}\frac 1 {n ^{\alpha - 1}}\"
\nDonc par multiplication par \"n ^{\alpha - 1}\" :
\n\"\displaystyle \frac 1 {\alpha - 1} \left (\frac n {n + 1} \right ) ^{\alpha - 1} \, \leq \, n ^{\alpha} R_n \, \leq \, \frac 1 {\alpha - 1}\"
\nPar encadrement, \"\displaystyle \lim_{n \to \infty} n ^{\alpha} R_n= \frac 1 {\alpha - 1}\"
\ndonc \"\displaystyle R_n \underset{n\to +\infty }{\sim } \frac 1 {(\alpha- 1) n ^{\alpha - 1}}\;\".<\/p>\n

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4 – Transformation d’ Abel<\/h2>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

Soient \"(u_n)_{n \geq 0}\" et \"(v_n)_{n \geq 0}\" deux suites<\/a> telles que :
\n\"\ast\" la suite \"(u_n)_{n \geq 0}\" est une suite de r\u00e9els d\u00e9croissante, convergente de limite nulle
\n\"\ast\" la suite \"(v_n)_{n \geq 0}\" est une suite de complexes telle que si l’on note, pour \"n \in \mathbb{N}\" , \"\displaystyle V_n =\sum _{k = 0 }^{n} v_k\" , la suite \"(V_n)_{n \geq 0}\" est born\u00e9e.<\/p>\n

a)\u00a0<\/b>On note\u00a0<\/b>si \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle S_n = \sum _{k = 0 } ^{n} u_k v_k.\"
\nMontrer que \"(S_n)_{n \geq 1}\" v\u00e9rifie :
\n\"\displaystyle S_n = \sum _{k = 0} ^{n - 1} (u_k - u_ {k + 1}) V_k + u_n V_n .\"<\/p>\n

b)\u00a0<\/b>Montrer que \"\sum u_n v_n\" converge.<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b><\/p>\n

Utiliser la premi\u00e8re question, pour montrer que\u00a0si la suite \"(u_n)_n\" est une suite de r\u00e9els d\u00e9croissante, convergente de limite nulle, \"\sum (- 1) ^n u_n\" est convergente.<\/p>\n

Question 3<\/b><\/p>\n

a)<\/b>\u00a0Montrer que \"\forall (t , a) \in \left ( \mathbb{R} \setminus (2 \pi \mathbb{Z} ) \right ) \times \, ]0 , +\infty [\", la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle \frac {\textrm {e} ^{\textrm {i} n t} } {n ^a}\" converge.<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0Montrer que pour tout \"\forall t \in \mathbb{R} \setminus (2 \pi \mathbb{Z})\" et \"a > 0\", les s\u00e9ries de termes g\u00e9n\u00e9raux \"\displaystyle \frac {\cos(n t)} {n ^a}\" et \"\displaystyle \frac {\sin(n t)} {n ^a}\" convergent.<\/p>\n

c)\u00a0<\/b>Montrer que si \"0 < a < 1\" et \"t \in \mathbb{R} \setminus (\pi \mathbb{Z})\", la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle \frac {\sin(n t)} {n ^a}\" ne converge pas absolument.
\n(on pourra comparer \"|\sin(nt )|\" et \"\sin^2(n t)\").<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice sur la transformation d’Abel :\u00a0<\/strong><\/p>\n

a)\u00a0<\/b>On peut aussi raisonner par r\u00e9currence ou d\u00e9montrer comme ici enti\u00e8rement la formule.
\nSi \"n > 0\", \"\displaystyle S_n = \sum _{k = 0 } ^{n} u_k v_k\" \"\displaystyle S_n = u_0\, V_0 +\sum _{k = 1 } ^{n} u_k \left (V_k - V_{k - 1} \right )\".
\nOn a utilis\u00e9 si \"n \geq 1 , v_k = V_k - V_{k - 1}\" et \"v_0 = V_0\,\". \"\displaystyle S_n = u_0\, V_0 +\sum _{k = 1 } ^{n} u_k V_k - \sum_{k = 1} ^{n} u_k V_{k - 1} \,\".
\n\"\quad \displaystyle S_n = \sum _{k = 0 } ^{n} u_k V_k - \sum_{p = 0} ^{n - 1 } u_{p + 1} V_{p} \,\"
\n(avec \"p = k - 1\").
\nSoit \"\displaystyle S_n = \sum _{k = 0} ^{n - 1} (u_k - u_ {k + 1}) V_k + u_n V_n \,.\"<\/p>\n

b)\u00a0<\/b>Soit \"M \geq 0\" tel que pour tout \"q \, \in \, \mathbb{N}\" , \"|V_q| \leq M\" , donc \"\displaystyle \lim _{n \to \infty} u_n V_n = 0\" (produit d’une suite born\u00e9e et d’une suite qui converge vers 0).
\nSoit \"\displaystyle T_n = \sum _{k = 0} ^{n - 1} (u_k - u_ {k + 1}) V_k\" .
\n\"T_n\" est la somme partielle d’ordre \"n - 1\" de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"(u_n - u_{n + 1}) V_n\" avec
\n\"|u_n - u_{n + 1}| \; |V_n| \, \leq \ M |u_n - u_{n + 1}|\"
\n\"\Rightarrow | u_n - u_{n + 1}| \; |V_n| \leq \ M (u_n - u_{n + 1})\".
\nComme la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"(u_n)_n\" converge, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n - u_{n + 1}\" converge, donc la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"(u_n - u_{n + 1}) V_n\" converge absolument, on en d\u00e9duit que la suite \"(T_n)_n\" converge.<\/p>\n

Donc la suite \"(S_n)_n\" converge par somme de deux suites convergentes.<\/div>\n
<\/div>\n
2\/ Si la suite \"(u_n)_n\" est une suite de r\u00e9els positifs ou nulle, d\u00e9croissante qui converge vers 0 et si \"v_n = (- 1)^n\" , \"V_{2n } = 1\" et \"V_{2n + 1 } = 0\" , donc la suite \"(V_n)_n\" est born\u00e9e. On peut donc appliquer la premi\u00e8re question.<\/span>La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"( - 1)^n u_n\" est convergente.
\nOn remarque que l’on retrouve une partie du th\u00e9or\u00e8me des s\u00e9ries altern\u00e9es.3\/<\/div>\n
a)\u00a0<\/b>\"\bullet\" Si \"a > 1\", \"\displaystyle w_n = \frac {\textrm {e} ^{\textrm {i} n t} } {n ^a}\" v\u00e9rifie \"\displaystyle |w_n| = \frac 1 {n ^a}\" avec \"a > 1\", la s\u00e9rie converge absolument.
\n\"\bullet\" Si \"0 < a \leq 1\", la suite \"(u_n)_n\,\", o\u00f9 \"\displaystyle u_n = \frac 1 {n^a}\" est une suite d\u00e9croissante, convergente vers 0.
\nOn note \"v_n = {\textrm {e} ^{\textrm {i} n t} }\" , alors
\n\"\displaystyle V_n = \sum_{k = 0}^n v_k = \sum_{k = 0}^n \left ( \textrm {e} ^{\textrm {i} t} \right ) ^n\"; comme \"\textrm {e} ^{\textrm {i} t} \neq 1\",
\n\"\displaystyle V_n = \frac {1 - \textrm {e} ^{\textrm {i} (n + 1) t} } {1 - \textrm {e} ^{\textrm {i} t}}\".En utilisant \"1 - \textrm {e} ^{\textrm {i} \, \theta} = \textrm {e} ^{\textrm {i} \, \theta / 2 }\left ( \textrm {e} ^{ - \textrm {i} \, \theta / 2 } - \textrm {e} ^{\textrm {i} \, \theta / 2 }\right )\"\"1 - \textrm {e} ^{\textrm {i} \theta} = - 2 \, \textrm{i}\; \textrm {e} ^{\textrm {i} \, \theta / 2 } \sin \left ( \textrm {e} ^{\textrm {i} \, \theta / 2 } \right )\"
\non obtient apr\u00e8s quotient et simplification,
\n\"\displaystyle V_ n = \textrm {e} ^{\textrm {i} nt / 2}
\ndonc \"\displaystyle | V_ n | \leq \frac {1 } {|\sin \left (t/2 \right ) |}\".
\nLa suite \"(|V_n|)_{n >0}\" est born\u00e9e si \"t \notin 2 \pi \mathbb{Z}\".Par application de la transformation d’Abel, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"w_n\" est convergente.b)\u00a0<\/b>Les s\u00e9ries de termes g\u00e9n\u00e9raux \"\displaystyle \frac {\cos(n t)} {n ^a}\" et \"\displaystyle \frac {\sin(n t)} {n ^a}\" convergent comme partie r\u00e9elle et partie imaginaire d’une s\u00e9rie convergente lorsque \"t \in \mathbb{R} \setminus (2 \pi \mathbb{Z})\" et \"a > 0\".c)\u00a0<\/b>Pour tout \"n \in \, \mathbb{N}, \; \sin ^2(n t)\leq \,| \sin(n t)|\" , donc si,
\n\"\displaystyle z_n = \frac {| \sin(n t)|} {n ^a}\" , \"z_n \, \geq w_n \, \geq 0\"
\no\u00f9 \"\displaystyle w_n = \frac {1 - \cos(2nt )} {2 n ^a} = \frac 1 {2 n ^a} - \frac {\cos(2n t )} {2 n ^a}\"
\n\"\sum w_n\" est la somme d’une s\u00e9rie de Riemann divergente (\"0 < a < 1\") et d’une s\u00e9rie convergente (cf 3 b pour \"2 t \notin 2 \pi \mathbb{Z}\") donc \"\sum w_n\" diverge. Alors \"\sum z_n\" diverge.<\/p>\n

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