{"id":37306,"date":"2019-10-24T14:08:17","date_gmt":"2019-10-24T13:08:17","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37306"},"modified":"2023-09-15T12:39:51","modified_gmt":"2023-09-15T11:39:51","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-reduction-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-reduction-spe\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s sur la r\u00e9duction des endomorphismes"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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R\u00e9duction des endomorphismes MP, MPI, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Exercices et corrig\u00e9s – R\u00e9duction des endomorphismes<\/h2>\n

1. Des exemples pratiques de diagonalisation<\/h2>\n

Exercice 1<\/b><\/p>\n

Soit \"A=\begin{pmatrix}4&-4&4\\3&-3&4\\3&-3&4\end{pmatrix} \, {\in}\, \mathcal{M}_ 3(\mathbb{R})\".<\/p>\n

Est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" Si \"x \in \mathbb{R}\", \"\mathrm{\chi }_A(x)=\left|\begin{matrix}x-4&4&-4\\-3&x+3&-4 \\-3&3&x-4\end{matrix}\right|\"<\/p>\n

\"\mathrm{\chi}_A(x)=\left|\begin{matrix}x-4&4&0\\-3&x+3&x-1\\-3&3&x-1\end{matrix}\right|\"
\npar \"C_3 \leftarrow C_2 + C_3\"<\/p>\n

\"\mathrm{\chi}_A(x)=\left|\begin{matrix}x-4&4&0\\0&x&0\\-3&3&x-1\end{matrix}\right|\"<\/p>\n

par \"L_2 \leftarrow L_2 - L_3\,.\"<\/p>\n

Si \"x \in \mathbb{R}, \;\mathrm{\chi}_A(x)= x(x - 1) (x - 4).\"<\/p>\n

\"\textrm{Sp}(A) = \{0 , 1 , 4\}\". \"A\" est diagonalisable.<\/p>\n

\"\ast\" \"A X = 0\" \"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} x -y + z&=&0 \\ 3x -3 y + 4z &=&0 \\ 3x - 3y +4 z &=&0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x &=&y \\ z &=&0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\textrm{E}_0(A) = \textrm{Vect} (V_0 )\" avec \"V_0 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"A X = X\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} 3 x - 4 y + 4 z&=&0 \\ 3 x - 4 y + 4 z &=&0 \\ x - y + z &=&0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} z&=& y \\ x &=&0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\textrm{E}_1(A) = \textrm{Vect} (V_1)\" avec \"V_1 = \begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}\" .<\/p>\n

\"\ast\" \"A X = 4 X\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix}- 4 y + 4 z&=&0 \\ 3 x - 7 y + 4 z &=&0 \\ 3 x - 3y &=&0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} y &=&z \\ x &=&y \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\textrm{E}_4(A) = \textrm{Vect} (V_4 )\" avec \"V_4 = \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

\"\ast\" On peut \u00e9crire : \"A = P \, D \, P ^{-1}\" o\u00f9<\/p>\n

\"D=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{pmatrix}\" et \"P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

Exercice 2 <\/b><\/p>\n

Soit \"A=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&3&1\\1&-1&1\end{pmatrix} \, {\in}\, \mathcal{M}_ 3(\mathbb{R})\".<\/p>\n

Est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" On calcule le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique<\/p>\n

Si \"x \in \mathbb{R}\", \"\mathrm{\chi }_A(x)=\left|\begin{matrix}x-1&-1&-1\\1&x-3&-1 \\-1&1&x-1\end{matrix}\right|\"<\/p>\n

\"\mathrm{\chi}_A(x)=\left|\begin{matrix}x-1&-1&-1\\0&x-2&x-2\\-1&1&x-1\end{matrix}\right|\"<\/p>\n

par \"L_2 \leftarrow L_2 + L_3\"<\/p>\n

\"\mathrm{\chi}_A(x)=\left|\begin{matrix}x-1&0&-1\\0&0&x-2\\-1&2-x&x-1\end{matrix}\right|\"<\/p>\n

par \"C_2 \leftarrow C_2 - C_3.\"<\/p>\n

Si \"x \in \mathbb{R}, \; \mathrm{\chi}_A(x)= (x - 2) ^2 (x - 1).\"<\/p>\n

\"\textrm{Sp}(A) = \{ 1 , 2\}\".<\/p>\n

\"A\" est diagonalisable ssi \"\dim \textrm{E}_2(A) = 2\".<\/p>\n

\"\ast\" On d\u00e9termine le sous-espace propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 2 :<\/p>\n

\"A X = 2 X\" \"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} - x +y + z&=&0 \\ - x + y + z &=&0 \\ x - y - z &=&0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow x - y - z =0\"<\/p>\n

Il est de dimension 2, donc \"A\" est diagonalisable.<\/p>\n

\"\textrm{E}_2(A) = \textrm{Vect} (V_2 , V_3)\"<\/p>\n

avec \"V_2 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}\" et \"V_3 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

\"\ast\" On d\u00e9termine le sous-espace propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1 :<\/p>\n

\"A X = X\" \"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} y + z&=&0 \\ - x + 2 y + z &=&0 \\ x - y &=&0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} z&=&- y \\ x &=&y \end{matrix} \right.\".<\/p>\n

\"\textrm{E}_1(A) = \textrm{Vect} (V_1)\"\u00a0\u00a0avec \"V_1 = \begin{pmatrix} 1\\1\\- 1\end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"\ast\" On a d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9cis\u00e9 que \"A\" est diagonalisable.<\/p>\n

On peut \u00e9crire : \"A = P \, D \, P ^{-1}\" o\u00f9<\/p>\n

\"D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}\" et\u00a0\"P=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

Exercice 3<\/b><\/p>\n

Soit \"n \geq4\"\u00a0 et \"A = (a_{i ,\, j})_{1 \leq i , j \leq n} \in \mathcal {M} _ n ( \mathbb{R} )\" avec \"a_{i , n} = a_{n , i} = 1\" si \"1 \leq i \leq n\" et \"a_{i, \, j} = 0\" sinon.<\/p>\n

R\u00e9duire la matrice \"A\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :<\/strong><\/p>\n

La matrice \"A\" est carr\u00e9e d’ordre \"n\", form\u00e9e de 1 en derni\u00e8re ligne et derni\u00e8re colonne, les autres termes sont nuls.<\/p>\n

On note \"u\" l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 A.<\/p>\n

\"\bullet\" \"\textrm{rg}(A) = 2\" car les colonnes \"C_1\" et \"C_n\" de \"A\" forment une famille<\/a> libre et pour tout \"i \leq n - 1\", \"C_i = C_1\" .<\/p>\n

Donc 0 est valeur propre de \"A\" et \"\dim \textrm{E}_0(A) = \dim \textrm{Ker } u = n - 2\".<\/p>\n

Si \"k \in \{2 ,\, \cdots \, ,\, n - 1\}, u(e_1 - e_k) = 0\".<\/p>\n

La famille libre (car \u00e9chelonn\u00e9e) \"(e_1-e_k)_{2\leq k\leq n}\" de \"\textrm{Ker }u\" a un cardinal \u00e9gal \u00e0 \"\dim \,\textrm{Ker }u\". C’est une base de \"\textrm{Ker }u\".<\/p>\n

\"\bullet\" On r\u00e9sout ensuite \"A\, X = \lambda X\" avec \"\lambda \; {\neq}\; 0\" et \"X\, {\in} \, \mathcal {M} _{ n, 1} ( \mathbb{R} )\", \"X \neq 0\".<\/p>\n

\"A X = \lambda X\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"{\forall} \, i \in \{1 ,\, {\dots}\, , \ n - 1\},\" \"\lambda \, x_i = x_n\" et \"x_1 + x_2 + \, \cdots \, + x_{n - 1} + x_n = \lambda \, x_n\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"{\forall} \, i \in \{1 ,\, {\dots}\, , \ n - 1\}\", \"\displaystyle x _ i = \frac 1 \lambda x_ n\" et \"\displaystyle \frac {n - 1} \lambda x _ n = (\lambda - 1) x _ n\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"{\forall}\, i \, \in \{1 ,\, {\dots}\, , \ n - 1\}\", \"\displaystyle x _ i = \frac 1 \lambda x_ n\" et \"x_n ( \lambda^2 - \lambda + 1 - n) = 0\".<\/p>\n

Il est donc n\u00e9cessaire que<\/p>\n

\"\mathrm{\lambda }^2-\mathrm{\lambda }+1-n=0\" sinon \"x_n = 0\"<\/p>\n

et alors \"{\forall}\, i\, {\in}\, \{1 ,\, {\dots}\, , \ n - 1\}, x_i = 0\", donc \"X = 0\" ce qui est absurde.<\/p>\n

Les deux derni\u00e8res valeurs propres sont \"\mathrm{\mu } = \displaystyle \frac{1+\sqrt{4n-3}} 2\" et \"\mathrm{\mu}'=\displaystyle \frac{1-\sqrt{4n-3}} 2\".<\/p>\n

Un vecteur propre de \"u\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\mu\" est \"(1 , 1 , \, {\dots}\, ,\, 1 , \,\mu )\" et \u00e0 la valeur propre \"\mu'\" est \"(1 , 1 , \, {\dots}\, , \, 1 , \, \mu' )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Comme \"\dim \textrm{Ker }u + \dim \textrm{Ker }(u - \mu\, \textrm{Id}_E)\"<\/p>\n

\"+ \dim \textrm{Ker } (u - \mu' \, \textrm{Id}_E ) = n\",<\/p>\n

\"u\" est diagonalisable et \"A = P D P^{-1}\" avec \"D = \textrm{diag }(0 , \, {\dots}\, , 0 , \, {\mu} \, , {\mu}')\" et<\/p>\n

\"P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & \cdots &1&1&1 \\ - 1 &0 & \cdots & \cdots &0&1&1\\.<\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2. Des exemples pratiques de trigonalisation<\/strong><\/h2>\n

Exercice 4<\/b>
\nTrigonaliser\u00a0\"A=\begin{pmatrix}.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 4 :<\/strong><\/p>\n

Soit \"\mathcal{B} = (e_1 ,\, e_2 ,\, e_3)\" la base canonique de \"\mathbb{R}^3\" et \"u\" l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall x \in \mathbb{R}^3\", \"\chi_A(x) =\textrm {det}(x \, \textrm I_3 - A)\"
\nSi \"x \in \mathbb{R}\", \"\mathrm{\chi }_A(x)=\left|\begin{matrix}x-2&4&4\\2&x-3&-4 \\0&3&x+1\end{matrix}\right|\"
\nOn le d\u00e9veloppe suivant la premi\u00e8re colonne :
\n\"\chi_A(x) = (x - 2)(x^2 - 2 x + 9) - 8(x - 2)\"
\n\"\chi_A(x) = (x - 2)(x ^2 - 2 x + 1)\"
\n\"\chi_A(x) = (x - 2)(x - 1)^2\".<\/p>\n

Donc Sp\"(A) = \{1 ,\, 2\}\".<\/p>\n

\"\ast\" On r\u00e9sout \"A \,X = X\"
\n\"A X = X\" \"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} x-4y-4z&=&0\\ -2x + 2y + 4z &=&0\\ -3y-2z&=&0 \end{matrix} \right.\"
\n\"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} x+2y&=&0\\ 3 y + 2 z &=&0 \end{matrix} \right.\"
\nLe sous-espace propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1 est de dimension 1, donc \"A\" nest pas diagonalisable et \"f_1 = 4\, e_1- 2\, e_2 + 3\, e_3\" v\u00e9rifie \"u(f_1) = f_1\".<\/p>\n

\"\ast\" On r\u00e9sout \"A \,X = 2 X\"
\n\"A X = 2 X\" \"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} y+z&=&0\\ -2 x + y + 4 z &=&0\\ -3y-3z&=&0 \end{matrix} \right.\"
\n\"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} -2 x + 3 z &=&0\\ y&=&-z \end{matrix} \right.\"
\n\"f_2 = 3 \, e_1 - 2 \, e_2 + 2 \, e_3\" v\u00e9rifie \"u(f_2) = 2\, f_2\"<\/p>\n

\"\ast\" On compl\u00e8te la famille libre \"(f_1 , f_2)\" de fa\u00e7on \u00e0 obtenir une base de \"\mathbb{R}^3\".
\nOn pose \"f_3 = e_1\,\", \"\mathcal{C} = (f_1 ,\, f_2 ,\, f_3)\" est une base de \"\mathbb{R}^3\" car la matrice \"P\" de la famille \"\mathcal{C}\" dans la base canonique\u00a0\"P = \begin{pmatrix} 4&3&1\\-2&-2&0\\3&2&0 \end{pmatrix}\" est inversible (son d\u00e9terminant est \u00e9gal \u00e0 2).
\nOn d\u00e9compose \"u(f_3) = 2 \, e_1 - 2 \, e_2\" dans la base \"\mathcal{C}\" en cherchant les r\u00e9els \"\alpha , \beta , \gamma\" tels que \"2 \, e_1 - 2 \, e_2 = \alpha \,f_1 +\beta \,f_2 + \gamma\, f_3\,\"
\nce qui donne le syst\u00e8me :
\n\"\left \{ \begin{matrix} 4\alpha + 3 \beta + \gamma &=&2\\ -2 \alpha - 2\beta &=&-2\\ 3 \alpha + 2 \beta &=&0 \end{matrix} \right.\"
\n\"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} -8 + 3 \beta + \gamma &=&2\\ \alpha &=&-2
\nce qui donne \"\alpha = - 2 , \beta = 3 , \gamma = 1\" soit \"2 e_1 - 2 \, e_3 = - 2 \, f_1 + 3 \, f_2 + f_3\,.\"<\/p>\n

\"\ast\" La matrice de \"u\" dans la base \"\mathcal{C}\" est
\n\"T= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\".
\n\"A = P\, T\, P^{- 1}\"\u00a0avec\u00a0\"P = \begin{pmatrix} 4&3&1\\-2&-2&0\\3&2&0 \end{pmatrix}\" .
\nLes matrices<\/a> \"A\" et \"T\" sont semblables.<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nTrigonaliser la matrice \"A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 4 & 4 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ \end{pmatrix}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 5 :<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" Si \"x \in \mathbb{R}\", \"\mathrm{\chi }_A(x)=\left|\begin{matrix}x&0&-2\\-4&x-4&1 \\3&2&x-2\end{matrix}\right|\"
\nEn d\u00e9veloppant suivant la premi\u00e8re ligne,
\n\"\chi_A(x)=x^3 - 6 x^2 + 12 x - 8 = (x-2)^3\".<\/p>\n

\"\ast\" On introduit la matrice \"B = A-2\, \textrm I_3\"
\n\"B= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \\ -3 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix}\".
\nOn calcule \"B^2= \begin{pmatrix} -2 & -4 & -4 \\ 3 & 6 & 6 \\ -2 & -4 & -4 \\ \end{pmatrix}\".
\n\"B^2 \neq 0\" et \"B^3=0\" (cf. th\u00e9or\u00e8me de Cayley-Hamilton).<\/p>\n

\"\ast\" Si \"v\" est l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"B\" et si \"t = e_1\" , \"v^2(t) = - 2\, e_1 + 3\, e_2-2 \, e_3 \neq 0\".
\nOn d\u00e9montre que \"\mathcal{C} = (v^2(t) , v(t) , t)\" est une base de \"\mathbb{R}^3\" en introduisant la matrice \"P\" de la famille \"\mathcal{C}\" dans la base canonique :
\n\"P = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ \end{pmatrix}\" avec \"\textrm{det}(P) = - 1\".<\/p>\n

La matrice \"B'\" de \"v\" dans cette base \"\mathcal{C}\" est \"B'= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\"
\net \"B = P \, B' \, P^{- 1}\" o\u00f9 \"P\" est d\u00e9finie ci-dessus.<\/p>\n

\"\ast\" donc \"A = P \, (B' + 2 \, \textrm {I}_3) \, P^{-1}\".
\nOn a trigonalis\u00e9 la matrice \"A\".<\/p>\n

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 <\/p>\n

3. Application des r\u00e9sultats sur la diagonalisation.<\/strong><\/h2>\n

Exercice 6\u00a0\u00a0<\/b>(suite du 1)
\nOn rappelle que\u00a0\"A=\begin{pmatrix}4&-4&4\\3&-3&4\\3&-3&4\end{pmatrix} \, {\in}\, \mathcal{M}_ 3(\mathbb{R})\" v\u00e9rifie \"A = P \, D \,P ^{- 1}\"\u00a0 avec
\n\"D=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{pmatrix}\" et \"P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/i>
\nR\u00e9soudre l’\u00e9quation<\/a> \"B^2 = A\"\u00a0 o\u00f9 \"B \, \in \, \mathcal{M}_ 3(\mathbb{R})\".<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nTrouver les sous-espaces \"u\"-stables lorsque \"u\" est l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 6 :<\/strong><\/p>\n

1\/ On note \"E = \mathbb{R}^3\", \"u\" l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\".
\nAnalyse<\/i>\u00a0:
\nOn suppose que \"B\" est telle que \"B^2 = A\". L’endomorphisme \"v\"\u00a0 canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"B\" v\u00e9rifie \"v^2 = u\".
\nAlors \"v \circ u = v ^3 = u \circ v\".<\/p>\n

Les sous espaces propres de \"u\" sont \"v\" stables.
\nOn \u00e9crit pour \"i \in \{0 , 1 , 4 \}\",\u00a0 \"\textrm{E}_i = \textrm{Ker} (u - i \, \textrm {Id}_E) = \textrm{Vect}(f_i).\"<\/p>\n

Comme \"v(E_i) \subset E_i\,\", \"v(f_i)\" est combinaison lin\u00e9aire<\/a> de \"f_i\,\", donc il existe \"\mu_i \in \mathbb{R}\" tel que \"v(f_i) = µ_i \, f_i\,\".
\nPuis en \u00e9crivant que \"i \, f_i = u(f_i) = v^2(f_i) = \mu_i^2 f_i\,\", on obtient \"\mu_i^2 = i\".<\/p>\n

Synth\u00e8se<\/i>\u00a0:
\nSoit \"\varepsilon _ 1 , \varepsilon _4 \in \{ \pm 1 \}\" et \"v\" l’endomorphisme d\u00e9fini par
\n\"v(f_0) = 0\", \"v(f_1) = \varepsilon_1 \, f_1\" et \"v(f_4) = 2 \, \varepsilon _4 \ f_4\,\", alors \"v^2 = u\" car les applications lin\u00e9aires \"v^2\" et \"u\" sont \u00e9gales sur la base de vecteurs propres.<\/p>\n

En traduisant matriciellement ce r\u00e9sultat, l’\u00e9quation \"B^2 = A\" admet 4 solutions \"P \, \textrm{diag} (0 ,\, \varepsilon_1 , \, 2\, \varepsilon _4)\, P ^{- 1}\" o\u00f9 \"P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\" o\u00f9 \"\varepsilon_1 \, , \; \varepsilon_4 = \pm 1\".<\/p>\n

2\/\u00a0\"\ast\" Il est \u00e9vident que \"\{0 \}\" et \"E = \mathbb{R}^3\" sont \"u\" -stables.
\n\"\ast\" On sait que les droites \"u\"-stables sont les droites engendr\u00e9es par un vecteur propre de \"u\". Il y en a trois : \"D_1 = \textrm{Vect} ( e_1 + e_2)\", \"D_2 = \textrm{Vect} ( e_2 + e_3)\", \"D_3 = \textrm{Vect} ( e_1 + e_2+ e_3)\".<\/p>\n

\"\ast\" Soit \"F\" un plan \"u\"-stable. On peut introduire l’endomorphisme \"v\" induit par \"u\" sur \"F\". Son polyn\u00f4me caract\u00e9ristique divise le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"u\". Il est donc scind\u00e9 \u00e0 racines simples. Alors \"v\" est diagonalisable et \"F\" admet une base form\u00e9e de deux vecteurs propres de \"v\" donc de \"u\".
\nR\u00e9ciproquement, si \"F\" est un plan engendr\u00e9 par deux vecteurs propres non colin\u00e9aires de \"u\", il est \"u\"-stable.
\nOn note \"a = e_ 1+ e_1\,\", \"b = e_1 + e_3\,\" et \"c = e_1 + e_2 + e_3\,\", il y a trois plans \"u\"-stables : \"F_1 = \textrm {Vect} (a , b)\" , \"F_2 = \textrm {Vect} (b , c)\" et \"F_3 = \textrm {Vect} (a , c)\".<\/p>\n

Exercice 7\u00a0 <\/b>(suite du 4)
\nD\u00e9terminer les sous-espaces vectoriels<\/a> \"u\"-stables lorsque \"u\" est l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A \, {\in}\, \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\" o\u00f9 \"A=\begin{pmatrix} 2 & -4 & -4 \\ -2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -1 \\ \end{pmatrix} \".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 7 :<\/strong><\/p>\n

On note \"\mathcal{B} = (e_1 ,\, e_2 ,\, e_3)\" la base canonique de \"\mathbb{R}^3\".
\nOn a d\u00e9montr\u00e9 dans l’exercice 4 que \"\textrm{Sp}(u) = \{1 ,\, 2\}\" et que les sous espaces propres sont de dimension 1.
\n\"a = 4\, e_1- 2\, e_2 + 3\, e_3\" v\u00e9rifie \"u(a) = a\"
\n\"b = 3 \, e_1 - 2 \, e_2 + 2 \, e_3\" v\u00e9rifie \"u(b) = 2\,b\".<\/p>\n

\"\bullet\" Il est \u00e9vident que \"\{0\}\" et \"E = \mathbb{R}^3\" sont \"u\"-stables.<\/p>\n

\"\bullet\" On cherche les droites \"u\"– stables, elles sont engendr\u00e9es par un vecteur propre de \"u\".
\nIl y a deux droites \"u\"-stables : \"\textrm{Vect}(a)\" et \"\textrm{Vect}(b)\".<\/p>\n

\"\bullet\" On cherche les plans \"u\"-stables. Ils ont une \u00e9quation de la forme \"V^{\textrm{T}}\, X = 0\" o\u00f9 \"V\" est un vecteur propre de \"A^{\textrm{T}}\". (justification \u00e0 donner voir la d\u00e9monstration dans le paragraphe 6 du chapitre m\u00e9thodes).
\n\"A\" et \"A^{\textrm{T}}\" ont m\u00eame polyn\u00f4me caract\u00e9ristique. Les valeurs propres de \"A^{\textrm{T}}\" sont 1 et 2.<\/p>\n

\"\ast\" \"A^{\textrm{T}} X = X\" \"\Leftrightarrow\" \"\left\{\begin{matrix} x - 2 y &=&0\\-4 x+2y-3z&=&0\\-2x+2y-z =0\end{matrix}\right.\"
\n\"{\Leftrightarrow}\" \"\left\{\begin{matrix}x& =&2y\\-6 y - 3 z&=&0\\- 2 y - z &=& 0 \end{matrix}\right.\"
\nUn vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1 est \"W_1\;=\;\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"A^{\textrm{T}} X = 2 X\" \"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} -2y&=&0\\ -4x+y-3z&=&0\\-4x +4 y -3 z &=& 0\end{matrix}\right.\"
\n\"\Leftrightarrow\" \"\left\{ \begin{matrix}y&=&0\\4x&=&-3z\end{matrix}\right.\"
\nUn vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 2 est \"W_2\;=\;\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"\ast\" On obtient deux plans \"u\"-stables d’\u00e9quations : \"2x +y -2z = 0\" et \"3x -4z = 0\".
\nLe premier plan est engendr\u00e9 par les vecteurs \"a\" et \"b\".
\nLe deuxi\u00e8me plan est engendr\u00e9 par les vecteurs \"a\" et \"e_2\".<\/p>\n

4. Diagonalisation ou trigonalisation de matrices non explicites<\/h2>\n

Exercice 8\u00a0 <\/b>(MinesPonts PSI 2016)
\nTrouver une CNS sur les complexes \"a, b, c , d, e , f\" pour que \"A\" soit diagonalisable avec \"A = \begin{pmatrix}1&a&b&c\\0&1&d&e\\0&0&2&f\\0&0&0&2\end{pmatrix}\"\u00a0.<\/b><\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 8 :<\/strong><\/p>\n

Comme\"A\" est triangulaire, il est \u00e9vident que \"\textrm{Sp} (A) = \{1 , 2\}\".
\n\"A\" est diagonalisable ssi \"(\textrm{X} - 1)(\textrm{X} - 2)\" est un polyn\u00f4me annulateur de \"A\" .
\n\"(A - \textrm{I}_4) (A - 2 \textrm{I}_4)\"
\n\"= \begin{pmatrix}0&a&b&c\\0&0&d&e\\0&0&1&f\\0&0&0&1\end{pmatrix}\;\begin{pmatrix}-1&a&b&c\\0&-1&d&e\\0&0&0&f\\0&0&0&0\end{pmatrix}\"
\n\"=\begin{pmatrix}0&-a&\mathit{ad}&\mathit{ae}\;+\;\mathit{bf}\\0&0&0&\mathit{df}\\0&0&0&-f\\0&0&0&0\end{pmatrix}\"
\non obtient donc la CNS \"a = f = 0\".<\/p>\n

Exercice 9 <\/b>TPE 2017 .
\nSoit \"n {\geq}3\". On consid\u00e8re une matrice \"A \, {\in} \, \mathcal{M}_4(\mathbb{C})\" telle \"\textrm{rg}(A) = 2\" , \"\textrm{Tr}(A) = 0\" et \"A^n\, {\neq}\, 0\".
\nQuestion 1<\/i>
\nLe nombre de valeurs propres distinctes de \"A\" est \u00e9gal<\/p>\n

Question 2<\/i>
\n\"A\" est diagonalisable.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 9 :<\/strong><\/p>\n

1\/ 0 est valeur propre d’ordre au moins \u00e9gal \u00e0 \"\dim \textrm{E}_0(A) =n - \textrm{rg}(A) = n - 2\".
\nLe polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"A\" est divisible par \"\textrm{X} ^{n - 2}\", il est scind\u00e9 sur \"\mathbb{C}\" et il existe \"\lambda\" et \"\mu\" \"\, {\in}\, \mathbb{C}\" tels que \"\chi_A = \textrm{X} ^{n - 2}(\textrm{X} -\lambda) ( \textrm{X} - \mu)\"
\nLa somme des valeurs propres est \u00e9gale \u00e0 \"\lambda + \mu\" et aussi \u00e0 \"\textrm{Tr}(A)\" , donc \"\lambda + \mu = 0\".
\nSi l’on avait \"\lambda\" = 0, on aurait \"\chi_A = \textrm{X}^n\" par le th\u00e9or\u00e8me de Cayley Hamilton, on aurait \"A^n = 0\" ce qui est exclu.
\nLes valeurs propres de \"A\" sont 0 (d’ordre \"n - 2\"), \"\lambda\" et\u00a0 \"- \lambda\" o\u00f9 \"\lambda\" est un complexe non nul.<\/p>\n

2\/ Comme \"\dim \textrm{E}_0(A) = n - \textrm{rg}(A) = n - 2\" et \"\dim \textrm{E}_{\lambda} (A) = \dim \textrm{E} _{- \lambda }(A) = 1\", la somme des dimensions des sous-espaces propres de \"A\" \u00e9tant \u00e9gale \u00e0 \"n\", \"A\" est diagonalisable.<\/p>\n

5. Diagonalisation d’une matrice par blocs<\/h2>\n

Exercice 10<\/b>
\nQuestion 1<\/i>
\n\u00c9tudier la diagonalisation de \"M = \begin{pmatrix} 0&2\\-1&3 \end{pmatrix}.\"<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nSoit \"A\, \in \, \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\", montrer que \"B = \begin{pmatrix} 0&2A\\-A&3A \end{pmatrix}\" est diagonalisable.<\/p>\n

Question 3<\/i>
\nSoit \"A\, \in \, \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\" telle que \"B = \begin{pmatrix} 0&2A\\-A&3A \end{pmatrix}\" soit diagonalisable. Montrer que \"A\" est diagonalisable.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 10 :<\/strong><\/p>\n

1\/ \"\chi_M(x) = x^2 - 3 x + 2 =(x - 1)(x - 2)\" ; \"\chi_M\" est scind\u00e9 \u00e0 racines simples, donc \"M\" est diagonalisable.
\n\"M X = X \Leftrightarrow 2 y = x\",
\n\"M X = 2 X \Leftrightarrow x = y\".
\nOn peut donc \u00e9crire \"M = P\, D \,P^{- 1}\" avec \"P = \begin{pmatrix} 2&1\\1&1 \end{pmatrix}\", \"D = \begin{pmatrix} 1&0\\0&2 \end{pmatrix}\" et \"P^{- 1} = \begin{pmatrix} 1&-1\\-1&2 \end{pmatrix}\".<\/p>\n

2\/ \"A\" \u00e9tant diagonalisable, il existe \"Q \, \in \, \textrm{GL}_n(\mathbb{R})\" et \"\Delta\" diagonale telles que \"A = P \, \Delta \ P^{- 1 }\".
\nOn note \"\textrm{I} = \textrm{I}_n\" et \"R = \begin{pmatrix} 2\textrm{I} &\textrm{I}\\ \textrm{I}&\textrm{I} \end{pmatrix}\".
\nComme \"\begin{pmatrix}2\textrm{I} &\textrm{I}\\\textrm{I}&\textrm{I} \end{pmatrix} . \begin{pmatrix}\textrm{I} &- \textrm{I}\\- \textrm{I}&2 \textrm{I} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textrm{I}& 0\\0 &\textrm{I} \end{pmatrix}\",
\n\"R\" est inversible d’inverse \"R^{- 1} = \begin{pmatrix}\textrm{I} &- \textrm{I}\\- \textrm{I}&2 \textrm{I} \end{pmatrix}\".<\/p>\n

\"R^{-1}\, B \, R = \begin{pmatrix}\textrm{I} &- \textrm{I}\\- \textrm{I}&2 \textrm{I} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&2A\\-A&3A \end{pmatrix} \, R\"
\n\"R^{-1} \, B \, R = \begin{pmatrix} A&-A\\-2A&4A \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2\textrm{I} &\textrm{I}\\ \textrm{I}&\textrm{I} \end{pmatrix}\"
\n\"R^{-1}\, B \, R = \begin{pmatrix} A &0\\0 & 2 A \end{pmatrix}\".
\nPuis on v\u00e9rifie facilement que
\n\"\begin{pmatrix} A &0\\0 & 2 A \end{pmatrix} = S . \begin{pmatrix} \Delta &0\\0 & 2 \Delta \end{pmatrix} . S^{- 1}\" avec \"S = \begin{pmatrix} P &0\\0 & P \end{pmatrix}\" et\u00a0\"S ^{-1}= \begin{pmatrix} P^{-1} &0\\0 & P ^{-1}\end{pmatrix}\".
\nDonc \"B = R\, S \, \Delta' \, (R \, S) ^{- 1}\" avec \"\Delta ' = \begin{pmatrix} \Delta &0\\0 & 2 \Delta \end{pmatrix}\" diagonale.
\nOn a prouv\u00e9 que \"B\" est diagonalisable.<\/p>\n

3\/ En utilisant les r\u00e9sultats du d\u00e9but de la deuxi\u00e8me question, \"B\" est semblable \u00e0 \"B' = \begin{pmatrix} A &0\\0 & 2 A \end{pmatrix}\", donc \"B'\" est diagonalisable.
\nIl existe un polyn\u00f4me \"R\" scind\u00e9 \u00e0 racines simples tel que \"R(B') = 0\".
\nUn calcul simple de matrices par blocs donne \"R(A) = 0\", \"A\" est diagonalisable.<\/p>\n

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