{"id":37311,"date":"2019-10-24T15:32:49","date_gmt":"2019-10-24T14:32:49","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37311"},"modified":"2023-05-04T14:48:26","modified_gmt":"2023-05-04T13:48:26","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-matrices-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-matrices-spe\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s sur les matrices"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercices Matrices en Maths Sp\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Ces exercices sur les matrices en prepa maths sp\u00e9 reprennent certaines notions d\u00e9j\u00e0 vues en maths sup. Ces exercices sont classiques et pour certains incontournables pour la r\u00e9ussite sur la partie alg\u00e8bre lin\u00e9aire aux concours. Pour travailler de mani\u00e8re plus cibl\u00e9e, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 demander une mise en contact pour un cours de maths \u00e0 domicile<\/a> avec un des professeurs de la plateforme Groupe R\u00e9ussite.<\/p>\n

Matrices en MP, PC, MPI, PSI et PT (inverse d’une matrice, noyau & image)<\/h2>\n

1. Calcul d’une matrice \"A^n\" en prepa maths sp\u00e9<\/h2>\n

Exercice 1<\/b><\/p>\n

Soit \"A = \begin{pmatrix}.<\/p>\n

Exprimer \"A^2\" en fonction de \"A\" et \"{\textrm I}_3\" .<\/p>\n

En d\u00e9duire la valeur de \"A^n\" si \"n\in \mathds{N}.\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"A^2 = \begin{pmatrix}<\/p>\n

Soit \"P = {\textrm X}^2 - 5 {\textrm X} + 4 = ({\textrm X} - 1) ({\textrm X} - 4),\" \"P(A) = 0.\"<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de division euclidienne, il existe \"Q_n \in \mathbb{R}[{\textrm X}]\" et deux r\u00e9els \"a_n\" et \"b_n\" tels que<\/p>\n

\"{\textrm X}^n = P \,Q_n + a_n {\textrm X} + b_n\".<\/p>\n

En prenant la valeur en 1 et en 4, on obtient :<\/p>\n

\"1 = a_n + b_n\" et \"4^n = 4 \,a_n + b_n\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow 3\, a_n = 4^n - 1\" et \"3 \,b_n = 4 - 4^n.\"<\/p>\n

Donc \"A^n = R_n(A) = a_n \, A + b_n\, {\textrm I}_3\"<\/p>\n

\"\displaystyle A^n = \frac{1}{3}(4^n- 1) A + \frac{1}{3}(4 - 4^n) {\textrm I}_3\,\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b><\/p>\n

\"A=\begin{pmatrix}<\/p>\n

V\u00e9rifier que si \"P=({\textrm X} - 2)^2({\textrm X} + 1),\" \"P(A)=0.\"<\/p>\n

En d\u00e9duire la valeur de \"A^n\" si \"n\in\mathbb{N}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Vous avez v\u00e9rifi\u00e9 par calcul que \"P(A)=0\" et remarqu\u00e9 que<\/p>\n

\"P=({\textrm X} - 2)^2({\textrm X} + 1)\" .<\/p>\n

Il existe \"(Q_n , R_n) \in (\mathbb{R}[{\textrm X}])^2\" tel que \"{\textrm X}^n = P \,Q_n + R_n\" o\u00f9 \"R_n\" est de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 2.<\/p>\n

Il existe \"(a_n , \,b_n , \,c_n) \in \mathbb{R}^3\" tel que \"R_n = a_n \,{\textrm X}^2 + b_n \,{\textrm X} + c_n\,\".<\/p>\n

On \u00e9crit que \"U = {\textrm X}^n - R_n\" est divisible par \"P\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow U(2) = U'(2) = U(-1) = 0\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow 2^n - R_n(2) = 0,\" \"n 2^{n-1}- R'_n(2) = 0\"<\/p>\n

et \"(-1)^n - R_n(-1) = 0.\"<\/p>\n

On obtient un syst\u00e8me de trois \u00e9quations \u00e0 trois inconnues permettant de d\u00e9terminer \"a_n\,\", \"b_n\,\", \"c_n\,\" :<\/p>\n

\"\left \{ \begin{matrix}
\n\"\Leftrightarrow\"
\n\"\left \{ \begin{matrix}<\/p>\n

Puis \"A^n = R_n(A) = a_n A^2 + b_n A + c_n {\textrm I}_4 .\"<\/p>\n

Exercice 3\u00a0<\/b><\/p>\n

Si \"A = \begin{pmatrix}, calculer \"A^n\" \u00a0pour \"n \in \mathbb{N}.\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"A = \begin{pmatrix}
\navec \"B=2\, {\textrm I}_3\" et \"C = \begin{pmatrix},
\n\"B\,C=C\,B\", \"C^2 = \begin{pmatrix}
\net \"C^3=0\".<\/p>\n

Par le bin\u00f4me de Newton :<\/p>\n

\"A^n = (B + C)^n = (2 \,{\textrm I}_3 + C)^n\",<\/p>\n

\"\displaystyle A^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(2\, {\textrm I}_3)^{n-k}\,C^k\"<\/p>\n

\"A^n=\displaystyle \binom{n}{0}2^nC^0+\binom{n}{1}2^{n-1}C^1\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \binom{n}{2}2^{n-2}C^2\"<\/p>\n

\"=2^n\, {\textrm I}_3+n\,2^{n-1}\,C+n(n-1)2^{n-3\,}C^2\"<\/p>\n

(on vous laisse finir le calcul).<\/p>\n

 <\/p>\n

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 <\/p>\n

2. Calcul de l’inverse d’une matrice maths sp\u00e9<\/strong><\/h2>\n

Exercice 1<\/b><\/p>\n

Calculer l’inverse de la matrice<\/p>\n

\"A=\begin{pmatrix}<\/p>\n

en introduisant une matrice nilpotente.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"A ={\textrm I}_3-B\" o\u00f9
\n\"B=\begin{pmatrix}.
\n\"B^2 =\begin{pmatrix} et \"B^3=0\"<\/p>\n

Comme \"A(\textrm I_3 + B + B^2 ) = \textrm I_3 - B^3 = \textrm I_3\,\", \u00a0\"A^{-1}= {\textrm I}_3+B+B^2\".<\/p>\n

\"A^{-1}= \begin{pmatrix}.<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nOn rappelle que si \"A=\begin{pmatrix},
\n\"A^2 = 5 A - 4 {\textrm I}_3\".
\nMontrer que \"A\" est inversible et calculer \"A^{- 1}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 sur l’exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"A^2 = 5 A - 4 {\textrm I}_3\" donc<\/p>\n

\"\displaystyle A\left(-\frac{1}{4}A+\frac{5}{4}{\textrm I}_3 \right)= {\textrm I}_3\,\".<\/p>\n

\"A\" est inversible et<\/p>\n

\"\displaystyle A^{-1}=-\frac{1}{4}A+\frac{5}{4}{\textrm I}_3\"<\/p>\n

\"A^{-1}=\displaystyle \frac{1}{4} \begin{pmatrix}.<\/p>\n

Exercice 3<\/b><\/p>\n

Montrer que\u00a0\"A=\begin{pmatrix}<\/p>\n

est une matrice inversible et calculer son inverse en l’interpr\u00e9tant comme une matrice de changement de bases.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"A\" est inversible puisque \"\det(A) = 1.\"<\/p>\n

Si \"A\" est la matrice de passage de la base \"\mathcal{B} = (e_1\, , \,e_2\, ,\, e_3)\" \u00e0 la base \"\mathcal{C} = (f_1 \, , \, f_2 \, ,\, f_3),\"<\/p>\n

\"f_1 = e_1\", \"f_2 = 2 e_1 + e_2\" et \"f_3 = e_1 + 3 e_2 + e_3\",<\/p>\n

donc \"e_1 = f_1\", \"e_2 = f_2 - 2 e_1 = f_2 - 2 f_1\" et \"e_3 = f_3 - e_1 - 3 e_2 = f_3 - f_1 - 3 f_2 + 6 f_1 .\"<\/p>\n

\"A^{- 1}\" est la matrice de passage de la base \"\mathcal{C}\" \u00e0 la base \"\mathcal{B}\" donc<\/p>\n

\"A^{-1}= \begin{pmatrix}.<\/p>\n

3. Noyau et image de \"u\" d\u00e9fini par sa matrice en MP, MPI, PC, PSI, PT<\/strong><\/h2>\n

Exercice 1<\/b><\/p>\n

D\u00e9terminer simultan\u00e9ment le rang de \"u\", une base de \"\textrm {Im } u\" et de \"\textrm {Ker} u\" si la matrice de \"u\" dans les bases \"(e_1 ,\, e_2 ,\, e_3 ,\, e_4)\" de \"E\" et \"(f_1 , \, f_2 ,\, f_3)\" de \"F\" est \u00e9gale \u00e0\u00a0\"A= \begin{pmatrix}.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Soit \"u\" de matrice \"A\" dans les bases \"(e_1 ,\, e_2 ,\, e_3 , \, e_4)\" de \"E\" et \"(f_1 , \, f_2 ,\, f_3)\" de \"F\".<\/p>\n

\"A= \begin{pmatrix}.<\/p>\n

On effectue les op\u00e9rations<\/p>\n

\"\begin{matrix}<\/p>\n

pour obtenir :<\/p>\n

\"\begin{pmatrix}<\/p>\n

puis avec<\/p>\n

puis \"\begin{matrix},<\/p>\n

on obtient :<\/p>\n

\"\begin{pmatrix}<\/p>\n

On a donc obtenu avec les op\u00e9rations ci-dessus :<\/p>\n

\"\textrm{rg} (A) = \textrm{rg}(u(e_1), u(e_2), u(e_3), u(e_4))\"<\/p>\n

\"\textrm{rg}(A = \textrm{rg}(u(e_1), u(e_2 - e_1),\"<\/p>\n

\"u(e_3 - e_1), u(e_4 - 2 e_1))\"<\/p>\n

\"\textrm{rg}(A) = \textrm{rg}(u(e_1), u(e_2 - e_1),\"<\/p>\n

\"u(e_3 + e_2 - 2 e_1), u(e_4 + 3 e_2 - 5 e_1))\".<\/p>\n

o\u00f9 \"u(e_3 + e_2 - 2 e_1) = u(e_4 + 3 e_2 - 5 e_1) = 0.\"<\/p>\n

\"\textrm{rg} (A) = \textrm{rg}(u) = 2\".<\/p>\n

Les vecteurs \"u(e_1) = f_1 + 2 f_2 + f_3\" et \"u(e_2 - e_1) = f_2 + f_3\" forment une famille libre de \"\textrm{Im } u\" espace vectoriel de dimension 2 , ils forment donc une base de \"\textrm {Im } u\".<\/p>\n

Les vecteurs \"e_3 + e_2 - 2 e_1\" , \"e_4 + 3 e_2 - 5 e_1\" sont dans Ker \"u\" et ne sont pas colin\u00e9aires.<\/p>\n

Ils forment donc une base de Ker \"u\" puisque, par le th\u00e9or\u00e8me du rang,
\n\"\dim \textrm {Ker} u = \dim E - \dim \textrm {Im} u = 4 - 2 = 2.\"<\/p>\n

Exercice 2 <\/b><\/p>\n

D\u00e9terminer une base de Ker \"u\" si la matrice de \"u\" dans les bases \"(e_1 ,\, e_2 ,\, e_3 ,\, e_4)\" de \"E\" et \"(f_1 ,\, f_2 , \,f_3)\" de \"F\" est \u00e9gale \u00e0 \u00a0\"A=\begin{pmatrix}<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

C’est la m\u00eame matrice que dans l’exercice pr\u00e9c\u00e9dent mais on cherche seulement le noyau.<\/p>\n

\"AX=0\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
\n\"\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\n\"\begin{matrix}
\n\"\Leftrightarrow\left\{
\n\"\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}<\/p>\n

Donc
\n\"\textrm {Ker }u = \{ (- 2 z - 5 t) e_1 + (z + 3 t) e_2\"
\n\"+ z e_3 + t e_4\, /\, (z , t) \in \mathbb{K}^2 \}\"
\nSoit \"a = -2 e_1 + e_2 + e_3\" et \"b = -5 e_1 + 3 e_2 + e_4\".
\n\"\textrm {Ker }u = \{ z a + t b\, /\, (z , t) \in \mathbb{K}^2 \}\".
\n\"a\" et \"b\" ne sont pas colin\u00e9aires \u00a0et \"\textrm{Ker } u = \textrm{Vect}(a , \, b)\", \u00a0donc \"(a , \, b)\" est une base de Ker \"u\".<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nD\u00e9terminer une base de Im \"u\" si la matrice de \"u\" dans les bases \"(e_1 ,\, e_2 ,\, e_3 ,\, e_4)\" de \"E\" et \"(f_1 ,\, f_2 , \,f_3)\" de \"F\" est \u00e9gale \u00e0 \u00a0\"A=\begin{pmatrix}<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On utilise toujours la matrice des deux exercices pr\u00e9c\u00e9dents mais on ne cherche que l’image dans cet exercice.
\nEn effectuant les op\u00e9rations
\n\"\left\{ \begin{matrix},
\n\"\textrm {rg }(A)= \textrm {rg }.<\/p>\n

\"\textrm {rg } (u) = \textrm {rg }(A)\"
\n\"\textrm {rg }(u)= \textrm {rg } (u(e_1) , u(e_2) , u(e_3) , u(e_4))\"
\n\"\textrm {rg }(u)=\textrm {rg } (u(e_1) , u(e_2) - u(e_1) ,\"
\n\"u(e_3) - u(e_1) , u(e_4) - 2 u(e_1))\"
\n\"\textrm {rg }(u)= \textrm {rg } (u(e_1) , u(e_2) - u(e_1)) = 2\"
\ncar les deux premi\u00e8res colonnes de \"A'\" forment une famille libre et les deux derni\u00e8res colonnes sont nulles.<\/p>\n

Les vecteurs \"u(e_1)\" et \"u(e_2 - e_1)\", soit \"f_1 + 2 f_2 + f_3\" et \"f_2 + f_3\" , forment une base de Im \"u\".<\/p>\n

Les matrices sont un chapitre important en Maths Sp\u00e9, un cours d\u00e9j\u00e0 vu en Maths Sup qui est davantage complexifi\u00e9 en Maths Sp\u00e9. De nombreux cours de Maths Sp\u00e9 suivent cette m\u00eame logique. C’est pourquoi des cours en ligne de Maths en MP<\/a>, mais aussi des cours en ligne de Maths en PC<\/a> et \u00e9galement des cours en ligne de Maths en PSI<\/a> sont mis \u00e0 disposition des \u00e9tudiants pour les aider \u00e0 r\u00e9ussir leur derni\u00e8re ann\u00e9e de pr\u00e9pa.<\/p>\n

 <\/p>\n

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 <\/p>\n

4. Utilisation de la base canonique<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nD\u00e9terminer l’ensemble des matrices \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" telles que pour tout \"X\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" , \"A\, X = X\, A.\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On raisonne par analyse-synth\u00e8se.
\nAnalyse<\/i>\u00a0: on suppose que \"A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" est telle que pour tout \"X\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\", \"A X = X A.\"
\nSi \"A = (a_{i,\, j})_{1 \leqslant i , \,j \leqslant n}\", en refaisant les calculs du \u00a74 des m\u00e9thodes , on d\u00e9montre que\u00a0pour tout \"(p , q) \in [\![1 ,\, n]\!]^2\",
\n\"A\, E_{p,\, q} =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i ,\, p} \, E_{i , \,q}\"
\net \"E_{p,\, q}\ A =\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{q,\, j}\, E_{p, \,j}.\"<\/p>\n

On sait que \"A \,E_{p , \,q} = E_{p , \,q}\, A\" .
\nSi \"p \neq q,\" en comparant les coefficients de \"E_{p ,\, q}\,\", on obtient \"a_{p ,\, p} = a_{q ,\, q}\" ,
\net en comparant ceux de \"E_{p,\, p}\,\", on obtient \"a_{q , \,p }= 0\" .<\/p>\n

On a donc d\u00e9montr\u00e9 qu’il existe \"\lambda\in \mathbb{R}\" tel que \"A = \lambda \,\textrm{I}_n\" .<\/p>\n

Synth\u00e8se<\/i>\u00a0: S’il existe \"\lambda\in \mathbb{R}\" tel que \"A = \lambda \textrm{I}_n\,\", il est \u00e9vident que pour tout \"X\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\", \"A \,X = \lambda\, X = X \,A.\"<\/p>\n

Conclusion<\/i>\u00a0: L’ensemble des matrices \"A\" qui permutent avec tout \"X\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" est \u00e9gal \u00e0 Vect\"{(\textrm I}_n).\"<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nD\u00e9montrer que pour toute application lin\u00e9aire \"f\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" dans \"\mathbb{K},\" il existe une unique matrice \"A\" telle que
\n\"\forall \,X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\", \"f(X) = \textrm {Tr}(A \,X)\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On raisonne par analyse-synth\u00e8se.
\nSoit \"f\" une application lin\u00e9aire \"f\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" dans \"\mathbb{K}.\"<\/p>\n

Analyse : On suppose qu’il existe \"A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" telle que
\n\"\quad \forall\, X \, \in \, \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\", \"f(X) = \textrm {Tr}(A \, X).\"
\nOn note \"A = (a_{i , \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\". En refaisant les calculs du \u00a7 4 des m\u00e9thodes, on d\u00e9montre que pour tout \"(p , \,q) \in [[1 ,\, n]]^2\", \"A\, E_{p, \,q} =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i , \,p}\, E_{i , \,q}\,\"
\ndonc \"\textrm {Tr}(A\, E_{p ,\, q}) = a_{q ,\, p} = f(E_{p ,\, q}).\"
\nLe probl\u00e8me a donc au plus une solution \"A = (a_{i ,\,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\" telle que
\nsi \"(i , j) \in [\![1 ,\, n]\!]^2\", \"\, a_{i , \,j} = f(E_{j , \,i}).\"<\/p>\n

Synth\u00e8se :
\nOn d\u00e9finit la matrice \"A\" par \"A = (a_{i , \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\"
\no\u00f9 \"\forall \, (i , j) \in [[1 ,\, n]]^2, \; a_{i ,\, j} = f(E_{j ,\, i}).\"
\nGr\u00e2ce au calcul de la partie analyse,
\n\"\,\forall(p , q) \in [[1 ,\, n]] ^2\", \"f(E_{p,\, q}) = \textrm {Tr}(A\, E_{p, q})\"
\nOn d\u00e9montre facilement que l’application \"g : X \mapsto \textrm{Tr}(A\, X)\" est lin\u00e9aire.
\nLes applications lin\u00e9aires \"f\" et \"g\" sont \u00e9gales sur la base canonique de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" elles sont donc \u00e9gales.<\/p>\n

Conclusion : pour toute application lin\u00e9aire \"f\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" dans \"\mathbb{K}\", il existe une unique matrice \"A\" telle que
\n\"\quad \forall \, X \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\", \"f(X) = \textrm {Tr}(A \,X).\"<\/p>\n

5. D\u00e9termination de suites<\/h2>\n

D\u00e9terminer les suites \"(u_n)_n\", \"(v_n)_n\", \"(w_n)_n\" d\u00e9finies par les termes initiaux \"u_0,\" \"v_0\" et \"w_0\" et les relations
\n\"\forall n \in \mathbb{N},\" \"u_{n + 1} = 2 u_n + v_n + w_n\", \"v_{n + 1} = u_n + 2 v_n + w_n\"
\net \"w_{n + 1} = u_n + v_n + 2 w_n\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"u_{n + 1} = 2 u_n + v_n + w_n\", \"v_{n + 1} = u_n + 2 v_n + w_n\" et \"w_{n + 1} = u_n + v_n + 2 w_n\", en posant
\n\"Y_n =\begin{pmatrix} et \"A =,<\/p>\n

\"Y_{n + 1} = A \,Y_n \,\", donc \"Y_n = A^n \, Y_0\,\"
\navec \"Y_0 =.<\/p>\n

On a vu dans l’exercice 1 du \"\S 1\" que
\n\"\displaystyle A^n =\frac{1}{3}(4^n-1)A+ \frac{1}{3}(4 - 4^n)\textrm{I}_3\,\",
\ndonc \"\displaystyle Y_n= \frac{1}{3}(4^n - 1) A Y_0 + \frac{1}{3}(4 - 4^n) Y_0\,\".<\/p>\n

En effectuant les calculs, on obtient pour tout \"n \in \mathbb{N}\",
\n\"\displaystyle u_n =\frac{4^n + 2} 3u_0 + \frac{4^n - 1} 3 v_0 + \frac{4^n - 1} 3 w_0\"
\n\"\displaystyle v_n = \frac{4^n - 1} 3 u_0 + \frac{4^n + 2} 3 v_0+ \frac{4^n - 1} 3 w_0\"
\n\"\displaystyle w_n = \frac{4^n - 1} 3 u_0 + \frac {4^n - 1} 3 v_0 + \frac{4^n + 2} 2 w_0\"<\/p>\n

6. Matrices semblables<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nQue pouvez vous dire d’une matrice semblable \u00e0 \"\lambda \, {\textrm I}_n\" \u00a0?<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :<\/p>\n

Si \"A\" est semblable \u00e0 \"\lambda \, {\textrm I}_n\,\", il existe \"P \in \textrm {GL}_n (\mathbb{K})\" telle que
\n\"\quad A = P\, (\lambda \,{\textrm I}_n) \,P^{-1} = \lambda\, P \,{\textrm I}_n \,P^{- 1}\"
\ndonc \"A = \lambda \,{\textrm I}_n\,\".
\nLa r\u00e9ciproque est \u00e9vidente, car toute matrice est semblable \u00e0 elle-m\u00eame.<\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nSoient \"A\" et \"B\" deux matrices carr\u00e9es d’ordre \"n\" telles que \"A^2 = A\" et \"B^2 = B\". Si \"A\" et \"B\" ont m\u00eame trace ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

L’affirmation est vraie, mais doit \u00eatre justifi\u00e9e.
\nL’endomorphisme \"p\" canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\" v\u00e9rifie \"p^2= p\", donc est un projecteur.
\nEn notant \"r = \dim \textrm{Im } p\" et en utilisant une base adapt\u00e9e \u00e0 la somme directe \"\mathbb{K}^n = \textrm{Im } p \bigoplus \textrm{Ker } p\", la matrice \"A\" est semblable \u00e0 \"J_r =\begin{pmatrix}
\net \"r = \textrm {Tr } (J_r) = \textrm {Tr }(A).\"<\/p>\n

Comme \"B\" v\u00e9rifie les m\u00eames conditions que \"A\", \"B\" est aussi semblable \u00e0 \"J_r\" et alors \"A\" et \"B\" sont semblables, puisque la relation \u00ab\u00a0\u00eatre semblable\u00a0\u00bb est une relation d’\u00e9quivalence sur l’ensemble \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K}).\"<\/p>\n

Exercice 4\u00a0<\/b>
\nSi \"A\" est carr\u00e9e d’ordre 3, non nulle et v\u00e9rifie \"A^2 = 0\", comment d\u00e9montrer que \"A\" est semblable \u00e0 \"\begin{pmatrix}?<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note \"E = \mathbb{K}^n\" et \"u\" l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\",
\n\"u\" v\u00e9rifie \"u^2 = 0\" et \"u \neq 0.\"
\nPour tout \"y \in \textrm {Im } u\", il existe \"x \in E\" tel que \"y = u(x)\", donc \"u(y) = u^2(x) = 0\" soit \"y \in \textrm{Ker } u\", on a donc prouv\u00e9 que \"\textrm{Im } u \subset \textrm{Ker } u\".
\nD’autre part \"\textrm{Im } u \neq \{0\}\" car \"u \neq 0\".
\nOn en d\u00e9duit que
\n\"\quad \quad 0 < \dim \textrm{Im } u \leqslant \dim \textrm{Ker } u\"
\net par le th\u00e9or\u00e8me du rang,
\n\"\quad \quad \dim \textrm{Im } u + \dim \textrm{Ker } u = 3\",
\ndonc \"\dim \textrm{Im } u = 1\" et \"\dim \textrm{Ker } u = 2.\"<\/p>\n

On cherche donc dans la suite une base \"(e_1 , e_2 , e_3)\" de \"E\" telle que
\n\"\quad u(e_1) = u(e_2) = 0\" et \"u(e_3) = e_1\,\".<\/p>\n

Soit \"e_1\" une base de \"\textrm{Im } u\", il existe donc \"e_3 \in E\" tel que \"u(e_3) = e_1\,\", puis \"u(e_1) = u^2(e_3) = 0.\"
\n\"e_1\" est un vecteur non nul de Ker \"u\", espace vectoriel de dimension 2, il existe donc une base \"(e_1 , e_2)\" de Ker \"u\"
\n\"e_3 \notin \textrm {Vect }(e_1 ,\, e_2)\", alors \"(e_1 , \, e_2 ,\, e_3)\" est une base de \"E\" dans laquelle la matrice de \"u\" est la matrice \"A' = \begin{pmatrix}
\n\"A\" et \"A'\" sont semblables.<\/p>\n

Les concours de Maths Sp\u00e9 sont r\u00e9put\u00e9s pour leur difficult\u00e9, notamment car, il est fondamental pour tous les \u00e9tudiants de conna\u00eetre parfaitement l’ensemble des cours au programme de Maths Sp\u00e9. Alors, pour s’assurer d’avoir un bon niveau, voici quelques chapitres \u00e0 r\u00e9viser :<\/p>\n