{"id":37319,"date":"2019-10-24T16:13:07","date_gmt":"2019-10-24T15:13:07","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37319"},"modified":"2023-09-15T12:29:22","modified_gmt":"2023-09-15T11:29:22","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-espaces-vectoriels-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-espaces-vectoriels-spe\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s sur les espaces vectoriels"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les Espaces Vectoriels en MP, PC, MPI, PSI, PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Exercices et corrig\u00e9s – espaces vectoriels<\/h2>\n

1. Famille libre<\/h2>\n

On note \"E\" l’espace vectoriel des fonctions<\/a> de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Si \"n\in\mathbb{N}\", on note \"f_n : x \mapsto \cos(n x).\"<\/p>\n

Montrer que la famille \"(f_n)_{n \geqslant 0}\" est libre.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"n\in\mathbb{N}\", on note<\/p>\n

\"\; \; H_n\" : la famille<\/a> \"(f_0,... , f_n)\" est libre.<\/p>\n

\"H_0\" est vraie, car \"f_0 \neq 0.\"<\/p>\n

On suppose que \"H_n\" est vraie.<\/p>\n

Si l’on avait \"f_{n + 1}\in\" Vect\"(f_0 ,\, ... \, ,\, f_n)\", il existerait des r\u00e9els \"\alpha_0 ,\, \alpha_1 ,\, ... \, , \, \alpha_n\" tels que \"f_{n+1} =\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\alpha_k\, f_k . \qquad (1)\"<\/p>\n

En d\u00e9rivant deux fois la relation et en utilisant \"f_k''= - k^2f_k\", on obtient :<\/p>\n

\"-(n + 1)^2 f_{n+1}= -\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2\alpha_k \, f_k \qquad (2)\"<\/p>\n

En formant \"(n + 1)^2 (1) + (2)\", on obtient<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{k=0}^{n}((n + 1)^2 - k^2 ) \alpha_k f_k = 0\".<\/p>\n

Par ind\u00e9pendance de la famille \"(f_0 ,\, ... \, ,\, f_n),\" pour tout \"k \in \{0 ,\, ... \, ,\, n\}\", \"((n + 1)^2 - k^2) \alpha_k = 0\" donc \"\alpha_k = 0\" car \"((n + 1)^2 - k^2) \neq 0.\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"f_{n + 1} = 0\" ce qui est absurde.<\/p>\n

\"f_{n + 1}\" n’est pas combinaison lin\u00e9aire de la famille libre \"(f_0 ,\, ... \, ,\, f_n)\", donc \"(f_0 ,\, ... \, ,\, f_n ,\, f_{n + 1})\" est libre.<\/p>\n

On a prouv\u00e9 \"H_{n + 1}\, .\"<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence. On en d\u00e9duit que la famille \"(f_n)_{n \geqslant 0}\" est libre.<\/p>\n

Quand le chapitre diagonalisation<\/a> a \u00e9t\u00e9 trait\u00e9, la d\u00e9monstration est plus simple.<\/p>\n

On se place sur l’espace vectoriel \"E\" des fonctions de classe \"C^{\infty}\" de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" et on introduit l’endomorphisme \"D\" de \"E\" : \"f \mapsto f''\".<\/p>\n

Il suffit de remarquer que \"\quad \quad D(f_k) = - k ^2 f_k\" et \"f_k \neq 0\".<\/p>\n

On a donc introduit une famille de vecteurs propres de \"D\" associ\u00e9s \u00e0 des valeurs propres deux \u00e0 deux distinctes. Elle est libre.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. Endomorphisme et suppl\u00e9mentaires<\/strong><\/h2>\n

Soit \"E\" un espace vectoriel et \"f\" un endomorphisme de \"E\" tel que \"f^3 = f^2\" et \"f ^2 \neq f\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nMontrer que \"E = \textrm {Ker } f^2 \oplus \, \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"\textrm {Im } f = \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\"<\/p>\n

Question 3<\/b>
\n\"\textrm {Im } f^2 = \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

1\/ \"\textrm {Ker } f^2\" et \"\textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\" sont des sous-espaces vectoriels de \"E\".
\nOn raisonne par analyse-synth\u00e8se.<\/p>\n

Analyse<\/i>\u00a0:
\nSoit \"x \, \in \, E\". On suppose qu’il existe \"a \, \in \, \textrm {Ker } f^2\" et \"b \, \in \, \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\" tels que \"x = a + b\" .
\nAlors \"f(x) = f(a) + f(b) = f(a) + b\" et \"f^2(x) = f^2(a) + f(b) = b\".
\nDonc \"a = x - f ^ 2(x)\" .
\nSi la d\u00e9composition existe, elle est unique.<\/p>\n

Synth\u00e8se<\/i>\u00a0:
\nOn remarque que si \"f^2 = f^3\", \"f ^3 = f^4\" donc \"f ^2 = f^4\". (*)
\nSi \"x \, \in \,E\", on note \"a = x - f ^2(x)\" et \"b = f^2(x)\" ; \"x = a + b.\"
\n\"f ^2 (a) = f ^2 (x) - f ^4(x) = 0\" par (*)
\ndonc \"a \, \in \, \textrm {Ker } f^2\"
\net \"f(b) = f ^3 (x) = f ^2(x) = b\",
\ndonc \"b \, \in \,\textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E).\"
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"\quad \quad E = \textrm {Ker } f^2 + \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\".<\/p>\n

La partie analyse a permis de prouver que la somme est directe.<\/p>\n

Donc \"E = \textrm {Ker } f^2 \oplus \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\".<\/p>\n

2\/ Si l’on avait \"\textrm {Im } f = \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\",
\npour tout \"x \, \in \, E\", comme \"f(x) \, \in \, \textrm {Im } f\" , on aurait \"f(x) \, \in \, \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\", donc \"f( f(x) - x ) = 0\" soit \"f ^2 (x) = f(x)\" ce qui contredit \"f ^2 \neq f\".<\/p>\n

3\/ \"\ast\" Pour tout \"y \, \in \, \textrm {Im } f^2\" , il existe \"t \, \in \, E\" tel que \"y = f ^2 (t)\", alors \"f(y) = f ^3 (t) = f ^2 (t) = y\", donc \"y \, \in \, \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\" .
\nOn a prouv\u00e9 que \"\textrm {Im } f^2 \subset \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\".
\n\"\ast\" Si \"x \, \in \, \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\", \"f(x) = x\", alors \"f ^2 (x) = f(x) = x\", donc \"x \, \in \, \textrm {Im } f^2\" .
\nOn a prouv\u00e9 que \"\textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E) \subset \textrm {Im } f^2\" .
\nPar double inclusion, \"\quad \quad \quad \textrm {Im } f^2 = \textrm {Ker}(f - \textrm {Id}_E)\".<\/p>\n

Parce qu’il n’est pas toujours facile de tout noter et tout comprendre directement pendant le cours dispens\u00e9 en pr\u00e9pa, les cours en ligne de Maths en PC<\/a>, ou les cours en ligne de Maths en PSI<\/a> mais aussi les cours en ligne de Maths en MP<\/a>, sont de bons moyens pour parfaire et compl\u00e9ter ses notes de cours et ses fiches de r\u00e9visions.<\/p>\n

3. Somme directe de \"n\" s.e.v.<\/strong><\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"E\" l’ensemble des fonctions de \"[- 1 , 1]\" dans \"\mathbb{R}\".
\nOn note \"F\" l’ensemble des fonctions constantes sur \"[- 1 , 1]\", \"G\" l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"E\" nuls sur \"[0 , 1]\" et \"H\" l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"E\" nuls sur \"[- 1 , 0].\"
\nMontrer que \"E = F \oplus G \oplus H.\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On d\u00e9montre facilement que \"F\", \"G\" et \"H\" sont des sous-espaces vectoriels de \"E\".
\nOn raisonne par analyse-synth\u00e8se.<\/p>\n

Analyse<\/i>\u00a0: soit \"u \in E\", on suppose que l’on peut \u00e9crire \"u = f + g + h\" avec \"f \in F\" \"g \in G\" et \"h \in H.\"
\nIl existe \"C \in \mathbb{R}\" tel que \"f : x \mapsto C\" et en prenant la valeur en 0, \"u(0) = f(0) = C.\"
\nPuis si \"x < 0\", \"g(x) = u(x) - f(x)\" car \"h(x) = 0,\" donc \"g(x) = u(x) - C,\"
\net si \"x > 0,\" \"h(x) = u(x) - f(x)\" car \"g(x) = 0\" donc \"h(x) = u(x) - C.\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit que si la d\u00e9composition existe, elle est unique.<\/p>\n

Synth\u00e8se\u00a0<\/i>: Soit \"u \in E.\"
\nOn d\u00e9finit \"f:x\mapsto u(0)\",
\n\"g:x\mapsto\left\{\begin{matrix}
\net \"h:x\mapsto\left\{\begin{matrix}<\/p>\n

Il est \u00e9vident que \"f \,\in \, F\", \"g \,\in \, G\" et \"h \, \in \, H\" et que \"u = f + g + h\" (il suffit de distinguer les cas \"x = 0\", \"x \,\in\; ]0 , \, 1]\" et \"x \,\in\;[ - 1 ,\, 0[\").<\/p>\n

On a donc \u00e9tabli que \"E = F \oplus G \oplus H.\"<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoient \"p\" et \"q\" deux projecteurs de \"E\" tels que \"p \circ q = 0.\"
\nMontrer que \"E = \textrm{Im }p \oplus \textrm{Im }q \oplus (\textrm{Ker } p \,\cap \,\textrm{Ker } q).\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\textrm{Im }p\", \"\textrm{Im }q\" et \"\textrm{Ker } p \, \cap \, \textrm{Ker } q\" sont des sous-espaces vectoriels de \"E.\"<\/p>\n

Analyse<\/i>\u00a0:
\nOn suppose que \"x = a + b + c\" avec \"a \in \textrm{Im }p,\" \"b \in \textrm{Im }q\" et \"c \in\textrm{Ker } p \, \cap \, \textrm{Ker } q.\"
\nComme \"p\" et \"q\" sont des projecteurs, \"p(a) = a\" et \"q(b) = b.\"
\n\"p(x) = p(a) + p(b) + p(c)\" \"p(x) = a + p \circ q(b) + 0 = a\" donc \"a = p(x).\"
\n\"q(x) = q(a) + q(b) + q(c) = q \circ p(x) + b,\" donc \"b = q(x) - q \circ p(x).\"
\nAlors \"c = x - p(x) - q(x) + q \circ p(x).\"<\/p>\n

Si la d\u00e9composition existe, elle est unique.<\/p>\n

Synth\u00e8se<\/i>\u00a0:
\nSoit \"x \in E\", on note \"a = p(x) \in \textrm{Im }p\", \"b = q(x) - q \circ p(x) \in \textrm{Im }q\" et \"c = x - p(x) - q(x) + q \circ p(x).\"
\n\"p(c) = p(x) - p^2(x) - p \circ q(x)\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, p \circ q \circ p(x)\",
\n\"p(c) = p(x) - p(x) = 0\" car \"p \circ q = 0\"
\ndonc \"c \in \textrm{Ker } p.\"
\n\"q(c) = q(x) - q \circ p(x) - q^2(x) + q^2 \circ p(x)\"
\n\"q(c) = q(x) - q \circ p(x) - q(x) + q \circ p(x)\" \"q(x) = 0\" donc \"c \in \textrm{Ker } q.\"
\nDe plus \"a + b + c = x.\"<\/p>\n

On avait justifi\u00e9 l’unicit\u00e9 de la d\u00e9composition dans la partie analyse.<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que \"\quad E = \textrm{Im }p \oplus \textrm{Im }q \oplus (\textrm{Ker } p \, \cap \, \textrm{Ker } q).\"<\/p>\n

 <\/p>\n

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

4. Existence d’un endomorphisme<\/h2>\n

Exercice 1<\/b><\/p>\n

Il existe une unique application lin\u00e9aire \"u\" sur \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\" telle que si \"M\" est une matrice sym\u00e9trique, \"u(M) = 2\, M\" et si \"M\" est une matrice antisym\u00e9trique, \"u(M) = - M.\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

En effet, \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\" o\u00f9 \"\mathcal{A}_n(\mathbb{R})\" est le sous-espace vectoriel des matrices<\/a> antisym\u00e9triques et \"\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\" est le sous-espace vectoriel des matrices sym\u00e9triques.<\/p>\n

L’application \"u_1 : \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\" \"A \mapsto- A\" est lin\u00e9aire
\net l’application \"u_2:\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\" \"S \mapsto 2 \, S\" est lin\u00e9aire.<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de recollement des applications lin\u00e9aires, il existe donc un unique endomorphisme \"u\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\" tel que \"\forall S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\", \"u(S) = 2\, S\" et \"\forall A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\", \"u(A) = - A.\"<\/p>\n

Exercice 2<\/b><\/p>\n

On suppose que \"E,\, F , \, G\" sont trois \"\mathbb{K}\"-e.v. de dimension finie strictement positive.<\/p>\n

Soit \"u \in \mathcal{L}(E , F)\" et \"v \in \mathcal{L}(E , G)\".<\/p>\n

Le but de l’exercice est de trouver une CNS pour que \"\textrm{Ker }u \subset \textrm{Ker }v\".<\/p>\n

Question 1. <\/b><\/p>\n

S’il existe \"w \in \mathcal{L}(F , G)\" tel que \"v = w \circ u\", \"\textrm{Ker }u \subset \textrm{Ker }v\".<\/p>\n

Question 2<\/b><\/p>\n

On note \"\dim E = n\", \"\dim \textrm{Im} u = p\" et \"\dim F = r\".<\/p>\n

Dans les questions a) \u00e0 e) on suppose que \"0 < p < n\".<\/p>\n

a)\u00a0<\/b>Il existe une base \"(e_1\, , \, \cdots \, , \, e_n)\" de \"E\" telle que \"(e_{p + 1 }\, , \, \cdots \, , e_n)\" soit une base de \"\textrm{Ker }u\".<\/p>\n

b)\u00a0<\/b>On note si \"i \in [\![1 , \, p]\!], \, f_i = u(e_i)\".<\/p>\n

\"(f_1\, , \, \cdots \, , \, f_p)\" est une base de \"\textrm{Im }u\".<\/p>\n

c)<\/b>\u00a0Il existe une base \"(f_1 \, ,\, \cdots \, ,\, f_r)\" de \"F\"<\/p>\n

d)\u00a0<\/b>On d\u00e9finit \"w \in \mathcal{L}(F , G)\" tel que \"\forall i \in [\![1 , \, p]\!], w(f_i) = v(e_i)\" et \"w(f_i) = 0\" si \"i \in [\![p + 1 , \, r]\!]\" .<\/p>\n

Si \"\textrm{Ker }u \subset \textrm{Ker }v\", \"v = w \circ u\".<\/p>\n

e)<\/b>\u00a0Si \"\textrm{Ker }u \subset \textrm{Ker }v\" et si \"\dim \textrm{Ker } u \in \{0 , n\}\", il existe \"w \in \mathcal{L}(F , G)\" tel que \"v = w \circ u\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

1\/ Si \"x \in \textrm{Ker }u\", \"v(x) = w(u(x)) = w(0) = 0\" donc \"x \in \textrm{Ker }v\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"\textrm{Ker }u \subset \textrm{Ker }v\".<\/p>\n

2\/ a\/ \"\textrm{Ker }u\" est un sous-espace vectoriel de dimension \"n - p > 0\", on peut donc introduire une base de la forme \"(e_{p + 1 }\, , \, \cdots \, , \, e_n)\".<\/p>\n

C’est une famille libre de \"E\". Par le th\u00e9or\u00e8me de la base incompl\u00e8te, on peut introduire une base de \"E\" de la forme \"(e_1 \, , \,\cdots \, ,\, e_n)\".<\/p>\n

b\/ Pour tout \"y \in \textrm{Im } u\", il existe \"x \in E\" tel que \"y = u(x)\".<\/p>\n

On \u00e9crit \"x = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n x_i \, e_i\,\".<\/p>\n

\"y = u(x) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n x_i \, u(e_i) = \sum _ {i = 1}^ p x_i \, f_i\,\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"(f_1 \, ,\, \cdots \, ,\, f_p)\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"\textrm{Im }u\".<\/p>\n

Elle est form\u00e9e de \"p\" vecteurs dans un espace vectoriel de dimension \"p\".<\/p>\n

Donc \"(f_1 \, ,\, \cdots \, ,\,f_p)\" est une base de \"\textrm{Im }u\"<\/p>\n

c\/ Comme \"\textrm{Im }u \subset F\", \"(f_1\, ,\, \cdots \, ,\, f_p)\" est une famille libre de \"F\" que l’on peut compl\u00e9ter en une base \"(f_1\, ,\, \cdots \, ,\, f_r)\" de \"F\" par le th\u00e9or\u00e8me de la base incompl\u00e8te.<\/p>\n

d\/ L’application \"w\" est bien d\u00e9finie par le th\u00e9or\u00e8me de caract\u00e9risation d’une application lin\u00e9aire.<\/p>\n

\"\forall \, i \in [\![1 , \, p]\!]\", \"w \circ u(e_i) = w(f_i) = v(e_i)\"<\/p>\n

\"\forall \, i \in [\![p + 1 , \, n]\!]\", \"\quad \quad w \circ u(e_i) = w(0) =0 = v(e_i)\" .<\/p>\n

Les applications lin\u00e9aires \"v\" et \"w \circ u\" sont \u00e9gales sur une base, donc \"v = w \circ u\".<\/p>\n

e\/ \"\bullet\" Si \"\dim \textrm{Ker } u = 0\", \"u\" est injective, l’image d’une base \"(e_1 \, ,\, \cdots \, ,\, e_n)\" de \"E\" par \"u\" est une famille libre.<\/p>\n

Donc en notant si \"i \in [\! [1 , \, n]\!], f_i = u(e_i)\", \"(f_1\, ,\, \cdots \, ,\, f_n)\" est une famille libre de \"F\". On continue comme dans les questions d) et e).<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\dim \textrm{Ker } u = n\", \"\textrm{Ker }u = E\".<\/p>\n

Comme \"\textrm{Ker }u \subset \textrm{Ker }v\", alors \"E \subset \textrm{Ker }v\", donc \"v = 0\" et toute application lin\u00e9aire \"w\" de \"F\" dans \"G\" convient.<\/p>\n

Conclusion : on a prouv\u00e9 que \"\textrm{Ker }u \subset \textrm{Ker }v\" ssi il existe \"w \in \mathcal{L}(F , G)\" tel que \"v = w \circ u\".<\/p>\n

5. Noyaux it\u00e9r\u00e9s<\/h2>\n

Question 1 Un r\u00e9sultat classique <\/b><\/p>\n

a)<\/b>Si \"u \in \mathcal{L}(E)\" o\u00f9 \"\dim E = n\", il existe \"p \in [\![1 , n]\!]\" tel que \"\textrm{Ker } u^p = \textrm{Ker } u^{p + 1}\" et si \"k < p\",<\/p>\n

\"\textrm{Ker } u^k\, \neq\, \textrm{Ker } u^{k + 1}\".<\/p>\n

b)\u00a0<\/b>L’entier \"p\" \u00e9tant d\u00e9fini dans la question a),\u00a0 montrer que si \"k \, \geq\, p\", \"\textrm{Ker } u^k = \textrm{Ker } u^{p}\".<\/p>\n

Question 2 <\/b><\/p>\n

Montrer que la suite \"( \textrm {Im }u^k)_{k \, \geq \, 0}\" est monotone pour l’inclusion et qu’elle est stationnaire \u00e0 partir du m\u00eame rang \"p\".<\/p>\n

Question 3 <\/b><\/p>\n

Montrer que \"E = \textrm {Im }u^p \oplus \, \textrm {Ker }u^p\" et que la restriction de \"u\" \u00e0 \"\textrm {Im }u^p\" est un automorphisme de \"\textrm {Im }u^p\" .<\/p>\n

Question 4 (plus difficile) <\/b><\/p>\n

On note \"\quad \forall \, k \, \in \, \mathbb{N} , \, r_k = \textrm {rg}(u ^k) - \textrm {rg}(u ^{k + 1})\".<\/p>\n

Montrer que \"\quad r_{p-1} \, \leq \, r_{p - 2 }\, \leq \, \, ... \, \, r_1 \leq \, r_0\".<\/p>\n

Indication<\/i>\u00a0: introduire si \"k \in [\![0 , p-1]\!]\", un suppl\u00e9mentaire \"F_k\" de \"\textrm {Im }u^{k + 1}\" dans \"\textrm {Im }u^k\" et montrer que \"\quad \quad \textrm {Im }u^{k + 1} = \textrm {Im }u^{k + 2} + u(F_k).\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

1\/ a\/ Si \"x \, \in \,\textrm{Ker } u^k\" , \"u^k(x) = 0\" donc \"u^{k + 1}(x) = u(0) = 0\", alors \"x \, \in \,\textrm{Ker } u^{k + 1}\", ce qui prouve que \"\textrm{Ker } u^k \, \subset \, \textrm{Ker } u^{k+1}\".<\/p>\n

On a d\u00e9montr\u00e9 que la suite \"(\textrm{Ker } u^k )_{k \in \mathbb{N}}\" est une suite croissante.<\/p>\n

\"\dim \textrm{Ker}(u^0) = 0\".<\/p>\n

Il est impossible d’avoir : \"0 < \dim \textrm{Ker } u < \dim \textrm{Ker } u^2 < ...\"<\/p>\n

\" < \dim \textrm{Ker } u^n < \dim \textrm{Ker } u^{n + 1}\",
\ncar on aurait, puisque toutes les dimensions sont enti\u00e8res, \"\dim \textrm{Ker } u^{n + 1} \geq n + 1\", ce qui est absurde dans un espace vectoriel de dimension \"n.\"<\/p>\n

On peut donc introduire \"p\" le plus petit entier inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\" tel que \"\dim \textrm{Ker } u^p = \dim \textrm{Ker } u^{p + 1}\", donc \"\quad \quad \textrm{Ker } u^p = \textrm{Ker } u^{p + 1}\"<\/p>\n

et si \"k < p\", \"\textrm{Ker } u^k\, \neq\, \textrm{Ker } u^{k + 1}\".<\/p>\n

b\/ On peut alors \u00e9tablir par r\u00e9currence que si \"k \geqslant p\", \"\textrm{Ker } u^k = \textrm{Ker } u^p.\"<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour \"k = p.\"<\/p>\n

On suppose qu’elle est vraie au rang \"k\" o\u00f9 \"k\" est un entier sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"p.\"<\/p>\n

Si \"x \in \textrm{Ker } u^{k + 1},\" \"\quad \quad u^{k + 1}(x) = 0 = u^k(u(x))\",\"\Rightarrow u(x) \in \textrm{Ker } u^k\" soit \"u(x) \in \textrm{Ker } u^p,\"\u00a0 \"\Rightarrow u^p(u(x)) = 0\" soit \"u^{p + 1}(x) = 0.\"<\/p>\n

Comme \"x \in \textrm{Ker } u^{p + 1}\", \"x \in \textrm{Ker } u^p\" car \"\textrm{Ker } u^p = \textrm{Ker } u^{ p + 1}\", donc \"\quad \quad \textrm{Ker } u^{ k + 1} \subset \textrm{Ker } u^p.\"<\/p>\n

L’inclusion contraire est \u00e9vidente puisque la suite<\/a> est croissante pour l’inclusion et \"p \leqslant k + 1.\"<\/p>\n

Par double inclusion, on a prouv\u00e9 que \"\quad \quad \textrm{Ker } u^{ k + 1} = \textrm{Ker } u^p.\"<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence sur \"k.\"<\/p>\n

2\/ Pour tout \"i \, \in \, \mathbb{N}\" , si \"y \, \in \, \textrm {Im }u^{i + 1}\" , il existe \"t \, \in \, E\" tel que \"y = u ^{i + 1}(t) = u ^i(x)\" avec \"x = u(t)\", donc \"y \, \in \, \textrm {Im }u^i\", et alors \"\textrm {Im }u^{i + 1}\subset \textrm {Im }u^i\".<\/p>\n

Donc la suite \"( \textrm {Im }u^k)_{k \, \geq \, 0}\" est une suite croissante.<\/p>\n

Si \"i \, \in \, \mathbb{N}\",<\/p>\n

\"\dim \textrm {Im }u^i - \dim \textrm {Im }u^{i + 1} = \"<\/p>\n

\"(\dim E - \dim \textrm {Ker }u^i )\"<\/p>\n

\"- (\dim E -\dim \textrm {Ker }u^{i + 1})\"<\/p>\n

donc \"\dim \textrm {Im }u^i - \dim\textrm {Im }u^{i+1} =\"<\/p>\n

\"\dim \textrm {Ker }u^{i + 1} - \dim \textrm {Ker }u^i\".<\/p>\n

Par la premi\u00e8re question,<\/p>\n

\"\ast\" si \"i \leq p - 1\", \"\dim \textrm {Im }u^i - \dim\textrm {Im }u^{i + 1} > 0\" et alors \"\textrm {Im }u^i \, \neq \, \textrm {Im }u^{i + 1}\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"i \geq p\", \"\dim \textrm {Im }u^i - \dim\textrm {Im }u^{i + 1} = 0\" , donc \"\textrm {Im }u^i \, = \, \textrm {Im }u^{i + 1}\", on en d\u00e9duit que si \"i \geq p\", \"\textrm {Im }u^i = \textrm {Im }u^p\".<\/p>\n

On a montr\u00e9 que \u00a0la suite \"( \textrm {Im }u^k)_{k \, \geq \, 0}\" est d\u00e9croissante pour l’inclusion et est stationnaire \u00e0 partir du m\u00eame rang \"p\".<\/p>\n

3\/ Si \"x \, \in \, \textrm {Im }u^p \, \cap \, \textrm {Ker }u^p\", il existe \"t \, \in \, E\" tel que \"x = u^ p(t)\" et \"u^ p(x) = 0\", donc \"u^{ 2 p}(t) = 0\",<\/p>\n

\"t \, \in \, \textrm {Ker }u^{2 p} = \textrm {Ker }u^p\" , alors<\/p>\n

\"x = u ^p(t) = 0\", donc \"\textrm {Im }u^p \,\cap \, \textrm {Ker }u^p \subset \{0\}\"<\/p>\n

L’inclusion contraire \u00e9tant toujours vraie, \"\textrm {Im }u^p \,\cap \, \textrm {Ker }u^p = \{0\}\".<\/p>\n

Comme de plus \"\dim E = \dim \textrm {Im }u^p + \dim \textrm {Ker }u^p\",<\/p>\n

on obtient \"E = \textrm {Im }u^p \oplus \, \textrm {Ker }u^p\".<\/p>\n

Si \"x \, \in \, \textrm {Ker }v\", \"x \, \in \, \textrm {Im }u^p\" et \"u(x) = 0\", donc, il existe \"t \, \in \, E\" tel que \"x = u^ p(t)\" et \"0 = u(x) = u ^{p + 1}(t)\" , \"t \, \in \, \textrm {Ker }u^{p + 1} = \textrm {Ker }u^p\" , \"u ^p(t) = x = 0\" .<\/p>\n

L’endomorphisme \"v\" du \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie \"\textrm {Im }u^p\" est injectif. C’est donc un automorphisme.<\/p>\n

La restriction de \"u\" \u00e0 \"\textrm {Im }u^p\" est un automorphisme de \"\textrm {Im }u^p\".<\/p>\n

4\/ On suppose que \"0 \, \leq \, k \,\leq \, p - 1\" , \"\textrm {Im }u^{k+1} \subset \textrm {Im }u^k\" et les sous-espaces sont distincts.<\/p>\n

On introduit \"F_k\" tel que \"\quad \textrm {Im }u^k = \textrm {Im }u^{k + 1} \oplus \, F_k\" . (*)<\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9montre que \"\quad \textrm {Im }u^{k + 1} = \textrm {Im }u^{k + 2} + u(F_k)\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"y \, \in \, \textrm {Im }u^{k + 1}\", il existe \"x \, \in \, \textrm {Im }u^k\" tel que \"y = u(x)\", alors il existe \"a \, \in \, \textrm {Im }u^{k + 1}\" et \"b \, \in \, F_k\" tels que \"x = a + b\", donc \"y = u(a) + u(b)\" avec \"u(a) \, \in \, \textrm {Im }u^{k + 2}\" et \"u(b) \, \in \, u(F_k)\",
\ndonc \"\textrm {Im }u^{k + 1} \subset \textrm {Im }u^{k + 2} + u(F_k)\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0 \"\textrm {Im }u^{k + 2} \subset \textrm{Im } u^{k + 1}\" et \"F_k \subset \textrm{Im }u^k \" donc \"u(F_k) \subset \textrm {Im }u ^{k + 1}\".<\/p>\n

On a montr\u00e9 que \"\quad \quad \textrm {Im }u^{k + 2} + u(F_k) \subset \textrm {Im }u^{k + 1}\" .<\/p>\n

\"\bullet\" On remarque que si \"u\" est un endomorphisme de \"E\", espace vectoriel de dimension finie, pour tout sev \"F\" de \"E\" diff\u00e9rent de<\/p>\n

\"\{0\}\", l’image d’une base de \"F\" est une partie g\u00e9n\u00e9ratrice de \"u(F)\", donc \"\dim u(F) \leq \, \dim F\", ce r\u00e9sultat reste vrai si \"F = \{0\}\" .<\/p>\n

\"\bullet\" On en d\u00e9duit que \"\dim \textrm { Im }u^{k + 1} = \dim \, (\textrm {Im }u^{k + 2} + u(F_k))\"<\/p>\n

donc \" \textrm {rg }(u^{k + 1}) \leq \, \dim \textrm { Im }u^{k + 2} + \dim u(F_k)\"<\/p>\n

puis \"\textrm {rg }(u^{k + 1}) \leq \, \textrm {rg }(u^{k + 2}) + \dim \, F_k\"<\/p>\n

ce qui donne \"\dim \textrm { Im }u^{k + 1} - \dim \textrm { Im }u^{k + 2} \, \leq \, \dim F_k\"<\/p>\n

On termine avec \"\dim \, F_k = \dim \textrm { Im }u^{k} - \dim \textrm { Im }u^{k + 1}\" par (*), soit \"r_{k + 1}\, \leq \, r_k\".<\/p>\n

On a \u00e9tabli que :<\/p>\n

\"r_{p-1} \, \leq \, r_{p - 2 }\, \leq \, \, ... \, \, r_1 \leq \, r_0\" .<\/p>\n

6.\u00a0Hyperplan<\/h2>\n

Exercice 1<\/b><\/p>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

Montrer que \"F = \{P \in \mathbb{K}[\textrm {X}] \,/\, P(1) = 0\}\" est un hyperplan de \"\mathbb{K}[\textrm {X}]\" et en d\u00e9terminer une infinit\u00e9 de suppl\u00e9mentaires.<\/p>\n

Question 2 <\/b><\/p>\n

D\u00e9terminer une base de \"F.\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

1\/ Soit \"\varphi : \mathbb{K}[\textrm {X}] \rightarrow \mathbb{K},\" \"P \mapsto P(1)\", \"\varphi\" est une forme lin\u00e9aire (d\u00e9monstration simple) non nulle (car \"\varphi(1) \neq 0\").<\/p>\n

Comme \"F = \textrm{Ker } \varphi,\" \"F\" est un hyperplan de \"\mathbb{K}[\textrm {X}].\"<\/p>\n

Pour tout \"n \in \mathbb{N}\",\u00a0 \"\textrm {X}^n \notin \textrm{Ker } \varphi\", donc \"\textrm{Vect}(\textrm {X}^n)\" est un suppl\u00e9mentaire de \"F.\"<\/p>\n

2\/ \"P\in\textrm{Ker }\varphi\" \"\Leftrightarrow\" il existe \"Q \in \mathbb{K}\"[X] tel que \"P = (\textrm {X} - 1) Q\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" il existe une suite \"(a_n)_{ n \geqslant 0}\" de scalaires nuls \u00e0 partir d’un certain rang telle que \"P=\displaystyle(\textrm {X}-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_k\, \textrm {X}^k\"<\/p>\n

soit \"P=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}a_k(\textrm {X}-1)\textrm {X}^k\" . On a prouv\u00e9 que la famille \"\left((\textrm {X} - 1)\textrm {X}^k \right)_{k\geqslant 0}\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"F\".<\/p>\n

C’est une famille libre car form\u00e9e de polyn\u00f4mes de degr\u00e9s deux \u00e0 deux distincts, donc c’est une base de \"F.\"<\/p>\n

L’ann\u00e9e de Maths Sp\u00e9, est l’ann\u00e9e des concours, par cons\u00e9quent, tous les \u00e9tudiants de Maths Sp\u00e9, doivent s’assurer de leur niveau de connaissances avant de se lancer dans les grands entrainements sur les annales. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 faire appel \u00e0 un prof de maths<\/a> \u00e0 domicile pour bien progresser et viser les meilleurs concours. Ainsi, pour s’assurer de leurs connaissances, voici quelques cours qu’il est important de revoir :<\/p>\n