{"id":37413,"date":"2019-10-29T16:14:08","date_gmt":"2019-10-29T15:14:08","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37413"},"modified":"2023-09-15T18:17:55","modified_gmt":"2023-09-15T17:17:55","slug":"cours-en-ligne-fonctions-usuelles-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-fonctions-usuelles-maths-sup\/","title":{"rendered":"Fonctions usuelles en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Fonctions usuelles en Maths Sup MPSI, PCSI, MP2I et PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Fonctions usuelles en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1. R\u00e9vision des fonctions<\/a> exponentielle et logarithme.
\n2. Fonctions puissances
\n3. Fonctions ch, sh et th
\n4. Fonctions r\u00e9ciproques des fonctions circulaires
\n5. Utiliser les fonctions r\u00e9ciproques des fonctions circulaires<\/p>\n

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1. R\u00e9vision des fonctions exponentielle et logarithme<\/h2>\n

1.1. Bijections r\u00e9ciproques en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

\"\ln : \mathbb{R}^{+*} \to \mathbb{R}, x \mapsto \ln(x)\"\u00a0 \"\textrm{et } \exp : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^{+*},\, x\mapsto \textrm{e} ^x\"
\nsont des bijections r\u00e9ciproques l’une de l’autre :
\n\"\quad \quad \left \{ \begin{matrix} x \in \mathbb{R}^{+*} \\ y = \ln(x) \end{matrix} \right.\"\u00a0ssi \"\left \{ \begin{matrix} y \in \mathbb{R}\\ x = \textrm{e} ^{y} \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\n

1.2. Propri\u00e9t\u00e9s des d\u00e9riv\u00e9es \u00a0<\/b><\/h3>\n

\"\ast\" La fonction \"\ln\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}^{+*}\" et \"\forall \, x \in \mathbb{R}^ {+*},\, (\ln)'(x) = \displaystyle \frac 1 x\".
\n\"\ast\" La fonction \"x \mapsto \ln \, \vert x \vert\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}^*\" de fonction d\u00e9riv\u00e9e : \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 x\".
\n\"\ast\" ⚠️ Si \"u\" est une fonction d\u00e9rivable sur \"I\" et ne s’annulant pas, la d\u00e9riv\u00e9e<\/a> de \"x \mapsto \ln \vert u(x) \vert\" est \"x \mapsto \displaystyle \frac {u'(x)} {u(x)}\".<\/p>\n

\"\ast\" La fonction \"x \mapsto \textrm{e} ^x\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" de fonction d\u00e9riv\u00e9e \"x \mapsto \textrm{e} ^x\".
\n\"\ast\" \"x \mapsto \textrm{e} ^x\" est la seule fonction v\u00e9rifiant les conditions
\n\"\quad \forall \, x \in \mathbb{R} , f'(x) = f(x)\" et \"f(0) = 1\"
\n\"\ast\" \"f\" v\u00e9rifie \"\forall \, x \in \mathbb{R} , f'(x) = f(x)\" ssi \"\exists \, k \in \mathbb{R}, \, \forall\, x \in \mathbb{R}, f(x) = k \, \textrm{e}^x\".
\n\"\ast\" Si \"u\" est une fonction d\u00e9rivable sur \"I\" la fonction d\u00e9riv\u00e9e de \"x \mapsto \textrm{e} ^{u(x)}\" est \"x \mapsto u'(x) \, \textrm{e} ^{u(x)}\".<\/p>\n

1.3. Propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques des fonctions usuelles en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" Pour la fonction \"\ln\"
\n\"\forall\, (x , y) \in ( \mathbb{R}^{+*}) ^2\",
\n\"\quad \ast\" \"\ln(x \, y) = \ln(x) + \ln(y)\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \ln\left ( \frac 1 x \right ) = - \ln(x)\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \ln\left ( \frac x y \right ) = \ln(x) - \ln(y)\"
\n\"\quad \ast\" \"\forall \, n \in \mathbb{Z}\" , \"\ln ( x^n ) = n \, \ln(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour la fonction \"\exp\"
\n\"\forall\, (x , y) \in \mathbb{R}^2\",
\n\"\quad \ast\" \"\textrm{e} ^{x + y } =\textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^ {y}\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \textrm{e} ^{ - x} = \frac 1 {\textrm{e} ^{x} }\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x} } {\textrm{e} ^{y} } = {\textrm{e} ^{x - y} }\"
\n\"\quad \ast\" \"\forall \, n \in \mathbb{Z}\", \"\left ( {\textrm{e} ^{x} } \right ) ^n = {\textrm{e} ^{n \, x} }\".<\/p>\n

1.4. Les limites et in\u00e9galit\u00e9s classiques des fonctions usuelles en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" Pour la fonction \"\ln\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to 0^ +} \ln(x) = - \infty\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = 0\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to 0^+ } x \, \ln(x) = 0\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac {\ln(x)} x = 0\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\ln(1 + x)} x = 1\"
\n\"\quad \ast\" \"\forall \, x > - 1, \ln(1 + x) \leq x\".
\nLe graphe de \"\ln\" est situ\u00e9 sous la tangente en \"(1,\, 0)\"<\/p>\n

D\u00e9monstration des deux derniers r\u00e9sultats :\u00a0<\/strong>\"\bullet\" Soit \"u : x \mapsto \ln(1 + x)\", \"u\" est d\u00e9rivable en \"0\" et \"u'(0) = 1\".
\nDonc
\n\"\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {u(x) - u(0)} x = \lim_{x \to 0} \frac {\ln(1 + x)} x = 1\"<\/p>\n

\"\bullet\" On \u00e9tudie \"v : x \mapsto x - \ln(1 + x)\".
\n\"\displaystyle v'(x) =1 - \frac 1 {1 + x} = \frac {x} {1 + x}\",
\n\"v\" est d\u00e9croissante sur \"]- 1\, , 0]\" et croissante sur \"[0\, , \, + \infty[\" et admet un minimum en \"0\".<\/p>\n

Il suffit d’utiliser \"v(0) = 0\", pour conclure que \"v(x) \geq 0\" si \"x > - 1\".<\/div>\n

\"\bullet\"\u00a0Pour la fonction exponentielle.<\/b>
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \textrm{e} ^{x} = 0\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \textrm{e} ^{x} = +\infty\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \, \textrm{e} ^{- x} = 0\"
\n\"\quad \ast\" \"\forall \, x \in \mathbb{R}, \, \textrm{e} ^{x} \geq 1 + x\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \; \lim _{x \to 0} \frac {\textrm{e} ^x - 1 } x = 1\".
\nLe graphe de \"\textrm{exp}\" est situ\u00e9 au-dessus la tangente en \"(0,\, 1)\"<\/p>\n

D\u00e9monstration des deux derniers r\u00e9sultats<\/strong> : \"\bullet\" Soit \"u : x \mapsto \textrm{e} ^x\", \"u(0) = 1\", \"u\" est d\u00e9rivable en \"0\" et \"u'(0) = 1\".
\nDonc \"\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {u(x) - u(0)} x = \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{e}^x - 1} x = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" On \u00e9tudie \"v : x \mapsto \textrm{e} ^x - 1 - x\".
\n\"\displaystyle v'(x) = \textrm{e} ^x - 1\", \"v\" est d\u00e9croissante sur \"]- \infty\, , 0]\" et croissante sur \"[0\, , \, + \infty[\" et admet un minimum en \"0\".
\nIl suffit d’utiliser \"v(0) = 0\" pour obtenir :\u00a0 \"v(x) \geq 0\" si \"x \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Une limite classique\u00a0<\/b>
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left ( 1 + \frac x n \right ) ^n = \textrm{e} ^x\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Le r\u00e9sultat est \u00e9vident si \"x = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose dans la suite que \"x \neq 0\".
\nOn note \"\displaystyle u_n = \left ( 1 + \frac x n \right ) ^n\".
\nComme \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} 1 + \frac x n = 1\" il existe un entier \"N\" tel que si \"n \geq N\", \"\displaystyle 1 + \frac x n > 0\", on peut alors calculer \"\ln(u_n)\" :
\n\"\ln(u_n) = \displaystyle n \ln \left ( 1 + \frac x n \right )\".
\n\"\displaystyle \frac {\ln(u_n)} x = \frac {\ln \left ( 1 + \frac x n \right )} {x / n}\"
\n\"\displaystyle \lim _{t \to 0} \frac {\ln(1 + t)} t = 1\" donne :
\n\"\quad \quad \displaystyle \lim _{n \to +\infty} \frac {\ln(u_n)} {x} = 1\" \u00a0\"\quad \quad \Rightarrow \displaystyle \lim _{n \to +\infty}\ln(u_n) = x\"
\nPar continuit\u00e9<\/a> de la fonction exponen- tielle, \"\displaystyle \lim _{n \to +\infty}u_n = \textrm{e} ^x\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. Fonction puissance des fonctions usuelles<\/h2>\n

2.1. D\u00e9finition de puissance de fonctions usuelles en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

Rappel<\/i>
\n\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}, x \mapsto x ^n\" est d\u00e9finie et d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\".
\n\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}^*, x \mapsto x ^{ - n}\" est d\u00e9finie et d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}^{*}\".<\/p>\n

D\u00e9finition de la fonction puissance<\/i>.
\nOn g\u00e9n\u00e9ralise cette d\u00e9finition en posant
\n\"\quad\"\u00a0 si \"y\in \mathbb{R}\" et \"x > 0\", \"x ^y = \textrm{e} ^{y \, \ln(x)}\".<\/p>\n

2.2. Propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques de puissance de fonctions usuelles en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" \"\ast\" si \"n \in \mathbb{Z}\", cette d\u00e9finition co\u00efncide avec \"x^n\" lorsque \"x > 0\".
\n\"\ast\" si \"y = 1/2\", cette d\u00e9finition co\u00efncide avec \"\sqrt{x}\" lorsque \"x > 0\".
\n\"\ast\" si \"y = 1/n\" avec \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geq 3\", \"x ^{1/n} = \sqrt[n\; ]{x}\" lorsque \"x > 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" si \"(\alpha \, , \, \beta ) \in \mathbb{R} ^2\" et \"x > 0\"
\n\"\displaystyle \frac 1 { x^{\alpha }} = x^{- \alpha }\" \"\quad \quad \quad\" \"x ^{\alpha \, + \, \beta } = x^{\alpha } \, x ^{ \beta }\"<\/p>\n

\"\bullet\" si \"\alpha \in \mathbb{R}\" et \"(x\, , \, y) \in (\mathbb{R}^{+ *} )^2\",
\n\"\quad \quad \quad \quad (x \, y) ^{\alpha} = x^{\alpha } \, y ^{ \alpha }\"<\/p>\n

\"\bullet\" si \"(\alpha \, , \, \beta ) \in \mathbb{R} ^2\" et \"x > 0\"
\n\"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \left ( x^{\alpha } \right ) ^{\beta } = x ^{\alpha \, \beta }\".<\/p>\n

2.3. Propri\u00e9t\u00e9s en analyse de puissance de fonctions usuelles en Maths Sup\u00a0\u00a0<\/b><\/h3>\n

Soit \"\alpha \in \mathbb{R}\" et \"f_ {\alpha} : x \mapsto x ^{\alpha}\"
\n\"\bullet\"\u00a0Etude lorsque<\/i>\u00a0\"x \to 0 ^+\".
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to 0^+ } x ^{\alpha} = \left \{ \begin{matrix} 0 \textrm{ si } \alpha > 0\\ 1 \textrm{ si } \alpha = 0 \\ +\infty \textrm{ si } \alpha < 0 \end{matrix} \right.\"
\n\"\ast\" \"f_{\alpha}\" est prolongeable par continuit\u00e9 en \"0\" par \"f_ {\alpha}(0) = 0\" si \"\alpha > 0\", \"f_ {\alpha}(0) = 1\" si \"\alpha = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0D\u00e9riv\u00e9e<\/i>
\n\"\ast\" Si \"x > 0,\, f '_ {\alpha}(x) = \alpha \, x ^{\alpha - 1}\".
\n\"\ast\" \"f_{\alpha}\" est strictement croissante si \"\alpha > 0\" et strictement d\u00e9croissante si \"\alpha < 0\".
\n\"\ast\" Si \"\alpha > 0\", le graphe de \"f_{\alpha}\" admet une demi-tangente horizontale en \"(0 , 0)\" si \"\alpha > 1\", verticale si \"0 < \alpha < 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Limite en\u00a0<\/i>\"+\infty\".
\n\"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x ^{\alpha} = \left \{ \begin{matrix} +\infty \textrm{ si } \alpha > 0\\ 1 \textrm{ si } \alpha = 0 \\ 0 \textrm{ si } \alpha < 0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

2.4. Croissance compar\u00e9e en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" Pour tout \"\alpha, \displaystyle \lim _{x \to + \infty} x^{\alpha} \, \textrm{e} ^{-x} = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout \"\alpha > 0\",
\n\"\displaystyle \lim _{x \to 0^+ } x^{\alpha} \, \ln(x) = 0\" et \"\displaystyle \lim _{x \to + \infty}\frac {\ln(x)} {x^{\alpha}} = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout \"\alpha > 0\" et \"\beta \in \mathbb{R}\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \lim _{x \to 0^+ } x^{\alpha} \, \vert \ln(x)\vert ^{\beta} = 0\"
\n\"\quad \quad \displaystyle \lim _{x \to + \infty}\frac {(\ln(x)) ^{\beta} } {x^{\alpha}} = 0\".<\/p>\n

\"croissance<\/p>\n

2.5. Une limite classique de fonctions usuelles en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

Si \"\alpha \in \mathbb{R}, \,\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {(1 + x) ^{\alpha} - 1} x = \alpha\"<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong> : Soit \"u : x\mapsto (1 + x)^{\alpha}\", \"u(0) = 1\", \"u\" est d\u00e9rivable en \"0\" et \"u'(0) = \alpha\".
\nDonc \"\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {u(x) - u(0)} x = \lim_{x \to 0} \frac {(1 + x)^{\alpha} - 1} x\"<\/div>\n
\"\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {(1 + x) ^{\alpha} - 1} x = \alpha\".<\/div>\n

3. Fonctions hyperboliques en Maths Sup<\/h2>\n

3.1. D\u00e9finition et propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques de fonctions hyperboliques<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" On d\u00e9finit pour tout r\u00e9el<\/a> \"x\",
\n\"\quad \textrm{ch}(x) = \displaystyle \frac 1 2\left ( \textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{-x} \right)\"
\n\"\quad \textrm{sh}(x) = \displaystyle \frac 1 2\left ( \textrm{e} ^x - \textrm{e} ^{-x} \right)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Cons\u00e9quences : pour tout r\u00e9el \"x\",
\n\"\quad \ast \, \textrm{ch}(x) + \textrm{sh}(x) = \textrm{e}^x\"
\n\"\quad \ast\, \textrm{ch}(x) - \textrm{sh}(x) = \textrm{e}^{- x}\"
\n\"\quad \, \ast\, \textrm{ch}^2(x) - \textrm{sh}^2(x) = 1\".<\/p>\n

3.2. \u00c9tude de fonctions hyperboliques en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" ch et sh sont respectivement paire et impaire, d\u00e9rivables avec \"\textrm{ch}' = \textrm{sh}\" et \"\textrm{ch}' = \textrm{sh}\"
\nch et sh sont strictement croissantes sur \"\mathbb{R}^+\".
\nElles admettent \"+\infty\" pour limite en \"+\infty\".<\/p>\n

\"fonction<\/p>\n

3.3. Fonction tangente hyperbolique en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

On d\u00e9finit pour \"x \in \mathbb{R}\", \"\textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{sh} (x)} {\textrm{ch}(x)}\"
\nOn peut \u00e9crire \"\textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^x - \textrm{e} ^{-x} } {\textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{-x} }\"
\n\"\textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{2 \, x} - 1 } {\textrm{e} ^{2\, x} + 1 } = \frac {1 - \textrm{e} ^{- 2 \, x}} {1 + \textrm{e} ^{- 2\, x} }\"<\/p>\n

\"\textrm{th}'(x) = \displaystyle \frac 1 {\textrm{ch}^2(x)} = 1 - \textrm{th}^2(x)\"
\n\"\textrm{th}\" est continue, impaire strictement croissante sur \"\mathbb{R}\" et admet \"1\" (resp.\"- 1\") pour limite en \"+\infty\" (resp \"- \infty\".)<\/p>\n

\"fonction<\/p>\n

3.4. Des limites classiques de fonctions hyperboliques<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\textrm{sh}(x) } x = 1\"
\n\"\bullet\" \"\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\textrm{th}(x)} x = 1\"
\n(par utilisation du taux d’accroisse- ment en 0).<\/p>\n

3.5. R\u00e9sultats en exercices des fonctions hyperboliques<\/b><\/h3>\n

R\u00e9sultat 1<\/b>
\n\"\ast\" Si \"x \geq 0\" et \"y = \textrm{ch}(x)\", \"\textrm{sh}(x) = \sqrt{y ^2 - 1}\"
\n\"\ast\" Si \"y = \textrm{sh}(x)\", \"\textrm{ch}(x) = \sqrt{y ^2 + 1}\".<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong> : \"\bullet\" Si \"x \geq 0\" et \"y = \textrm{ch}(x)\",
\n\"\textrm{ch}^2(x) - \textrm{sh}^2(x) = 1\" donne
\n\"\textrm{sh}^2(x) = \textrm{ch}^2(x) - 1 = y^2 - 1\"
\npuis comme \"\textrm{sh}(x) \geq 0\" si \"x \geq 0\", \"\quad \quad \quad \textrm{sh}(x) = \sqrt{y ^2 - 1}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"y = \textrm{sh}(x)\",
\n\"\textrm{ch}^2(x) - \textrm{sh}^2(x) = 1\" donne
\n\"\textrm{ch}^2(x) = \textrm{sh}^2(x) + 1 = y^2 + 1\"
\npuis comme \"\textrm{ch}(x) \geq 0\", \"\textrm{ch}(x) = \sqrt{y ^2 + 1}\"<\/p>\n

R\u00e9sultat 2<\/b>
\n\"\textrm{ch}\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}^+\" sur \"[1 , +\infty[\" et \"\textrm{sh}\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur lui-m\u00eame.
\nExpression de sa fonction r\u00e9ciproque et d\u00e9rivabilit\u00e9.<\/p>\n

Correction : \"\bullet\"\u00a0Existence de la r\u00e9ciproque de la fonction ch<\/b>.
\n\"\ast\" \"\textrm{ch}\" est continue et strictement croissante sur \"\mathbb{R}^+\" et v\u00e9rifie \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \textrm{ch}(x) = +\infty\", donc
\n\"\textrm{ch}\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}^+\" sur \"\displaystyle \left [ \textrm{ch}(0) \, , \, \lim_{x \to + \infty} \textrm{ch}(x) \right [ = [1 , +\infty[\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Expression de la r\u00e9ciproque.<\/b>
\n\"\ast\"\u00a0Premi\u00e8re m\u00e9thode.<\/i>
\nSoit si \"y \geq 0\", \"y = \textrm{ch}(x)\" avec \"x \geq 0\".
\nOn a vu que \"\textrm{sh}(x) = \sqrt{y ^2 - 1}\".
\nOn termine avec \"\textrm{e}^{x } = \textrm{ch}(x) + \textrm{sh}(x) = y + \sqrt{y ^2 - 1}\"
\ndonc \"x = \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 - 1}\right )\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0Deuxi\u00e8me m\u00e9thode<\/i>\u00a0(plus compliqu\u00e9e)
\nSi \"y \geq 0\", on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"y = \textrm{ch}(x)\" avec \"x \geq 0\".
\nOn obtient l’\u00e9quation
\n\"2 \,y = \textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{- x}\"
\n\"\Leftrightarrow \textrm{e} ^{2 \, x} - 2 \, y \, \textrm{e} ^x + 1 = 0\"
\nL’\u00e9quation \"t ^2 - 2 \, y \, t + 1 = 0\" admet deux solutions :
\n\"t_1 = y + \sqrt{y ^2 - 1}\" et \"t_2 = y - \sqrt{y ^2 - 1}\" de somme<\/a> \u00e9gale \u00e0 \"2 \, y\" et de produit \u00e9gal \u00e0 1, donc toutes deux positives si \"y \geq 0\" et v\u00e9rifiant donc \"0 \leq t_2 \leq 1 \leq t_1\, \", ce qui donne \"\textrm{e}^x = y + \sqrt{y ^2 - 1}\", soit \"x = \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 - 1}\right )\".<\/p>\n

La fonction r\u00e9ciproque de \"\textrm{ch}\" est la bijection de \"[1 \,,\, +\infty[\" sur \"\mathbb{R}^{+ }\" d\u00e9finie par \"\quad \quad y \mapsto \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 - 1}\right )\".
\nElle est not\u00e9e \"\textrm{Argch}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0D\u00e9riv\u00e9e\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" La fonction \"\textrm{ch}\" \u00e9tant d\u00e9rivable de d\u00e9riv\u00e9e non nulle sur \"\mathbb{R}^{+*}\", \"\textrm{Argch}\" est d\u00e9rivable sur \"]1 , \, + \infty[\" et
\n\"\quad \quad \textrm{Argch}'(y) = \displaystyle \frac 1 {\textrm{sh}(\textrm{Argch}(y))}\"
\nen notant \"x = \textrm{Argch}(y)\" soit \"y = \textrm{ch}(x)\" , on a vu que
\n\"\textrm{sh}(\textrm{Argch}(y)) = \textrm{sh}(x) = \sqrt{y ^2 - 1}\"
\ndonc \"\textrm{Argch}'(y) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{y ^2 - 1}}\".<\/p>\n

R\u00e9sultat 3<\/b>
\n\"\textrm{sh}\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur lui-m\u00eame.
\nExpression de sa fonction r\u00e9ciproque et d\u00e9rivabilit\u00e9.<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Existence de la r\u00e9ciproque de la fonction sh.\u00a0<\/b>
\n\"\textrm{sh}\" est continue et strictement croissan- te sur \"\mathbb{R}\" et v\u00e9rifie \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \textrm{sh}(x) = +\infty\" et \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \textrm{sh}(x) = - \infty\",
\ndonc \"\textrm{sh}\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"\displaystyle \left ] \lim_{x \to - \infty} \textrm{sh}(x) \, , \, \lim_{x \to + \infty} \textrm{sh}(x) \right [ = \mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Calcul de la r\u00e9ciproque<\/b>
\n\"\ast\"\u00a0Premi\u00e8re m\u00e9thode\u00a0<\/i>(plus simple).
\nOn a vu que si \"y \in \mathbb{R}\", \"\textrm{ch}(x) = \sqrt{y ^2 + 1}\"
\nOn termine avec \"\textrm{e}^{x} = \textrm{ch}(x) + \textrm{sh}(x) = y + \sqrt{y ^2 + 1}\"
\ndonc \"x = \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 + 1}\right )\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0Deuxi\u00e8me m\u00e9thode\u00a0<\/i>(plus lourde)
\nSi \"y \in \mathbb{R}\", on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"y = \textrm{sh}(x)\" .
\nOn obtient l’\u00e9quation
\n\"2 \, y = \textrm{e} ^x - \textrm{e} ^{- x}\"
\n\"\Leftrightarrow \textrm{e} ^{2 \, x} - 2 \, y\, \textrm{e} ^x - 1 = 0\"
\nL’\u00e9quation \"t ^2 - 2 \, y \, t - 1 = 0\" admet deux solutions
\n\"t_1 = y - \sqrt{y ^2 + 1} < 0\" et \"t_2 = y + \sqrt{y ^2 + 1}> 0\"
\n\"\textrm{e}^x = y + \sqrt{y ^2 + 1}\", soit \"x = \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 + 1}\right )\".<\/p>\n

La fonction r\u00e9ciproque de \"\textrm{sh}\" est la bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"\mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"\quad \quad y \mapsto \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 + 1}\right )\".
\nElle est not\u00e9e \"\textrm{Argsh}\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0D\u00e9riv\u00e9e\u00a0<\/b>
\nLa fonction \"\textrm{sh}\" \u00e9tant d\u00e9rivable de d\u00e9riv\u00e9e non nulle sur \"\mathbb{R}\" , \"\textrm{Argsh}\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et
\n\"\textrm{Argsh}'(y) = \displaystyle \frac 1 {\textrm{ch}(\textrm{Argsh}(y))}\"
\nen notant \"x = \textrm{Argsh}(y)\" soit \"y = \textrm{sh}(x)\", on a vu que
\n\"\textrm{ch}(\textrm{Argsh}(y)) = \textrm{ch}(x) = \sqrt{y ^2 + 1}\"
\ndonc \"\textrm{Argsh}'(y) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{y ^2 + 1}}\".<\/p>\n

R\u00e9sultat 4<\/b>
\nMontrer que la fonction th admet une fonction r\u00e9ciproque, la d\u00e9terminer et calculer sa d\u00e9riv\u00e9e.<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Existence<\/b>
\n\"\textrm{th}\" est continue, strictement croissante sur \"\mathbb{R}\" et admet \"1\" (resp. \"- 1\") pour limite en \"+\infty\" (resp \"- \infty\".)
\n\"\textrm{th}\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"] - 1 \, , \, 1[\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Calcul<\/b>
\nOn r\u00e9sout \"y = \textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{2 \, x} - 1 } {\textrm{e} ^{2\, x} + 1 }\"
\nssi \"(\textrm{e} ^{2 \, x} + 1) \, y = \textrm{e} ^{2\, x} - 1\"
\nssi \"\textrm{e} ^{2\, x} (1 - y) = 1 + y\"
\nssi \"\displaystyle \textrm{e} ^{2\, x} = \frac {1 + y} {1 - y}\"
\nssi \"2 \, x = \displaystyle \ln \left ( \frac {1 + y} {1 - y} \right )\"
\nssi \"x = \displaystyle \frac 1 2 \ln \left ( \frac {1 + y} {1 - y} \right )\".<\/p>\n

La fonction r\u00e9ciproque de la fonction \"\textrm{th}\" not\u00e9e \"\textrm{Argth}\" est d\u00e9finie sur \"] - 1 \, , \, 1[\" par \"y \mapsto \displaystyle \frac 1 2 \ln \left ( \frac {1 + y} {1 - y} \right )\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0D\u00e9riv\u00e9e<\/b>
\nSa d\u00e9riv\u00e9e est \"\; \; y\mapsto \displaystyle \frac 1 2 \left ( \frac {1} {1 + y} + \frac 1 {1 - y} \right ) = \frac 1 {1 - y ^2}\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

4. Fonctions r\u00e9ciproques des fonctions circulaires en Maths Sup<\/h2>\n

4.1. Fonction Arcsinus en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" La fonction \"\sin\" d\u00e9finit une bijection strictement croissante de \"[ - \pi/2 \, , \, \pi/2]\" sur \"[-1 ,\, 1]\".
\nSa fonction r\u00e9ciproque \"\textrm{Arcsin}\" est une bijection strictement croissante de \"[- 1 , 1]\" \u00e0 valeurs dans \"[ - \pi/2 \, , \, \pi/2]\", d\u00e9rivable sur \"]- 1\, , \, 1[\".
\n\"\forall\, x \in\, ]- 1,\, 1[, \, \textrm{Arcsin}'(x) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}\"
\nLa fonction Arcsinus est impaire.<\/p>\n

\"\left \{ \begin{matrix} y = \textrm{Arcsin}(x) \\ x \in [- 1\, , \, 1] \end{matrix} \right.\"\u00a0\"\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x = \sin(y) \\ y \in [- \pi/2\, , \, \pi/2] \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

⚠️\"\forall\, x \in [- 1 , 1], \, \sin(\textrm{Arcsin}(x)) = x\"
\nalors qu’il faudra faire attention
\n\"\quad \quad \textrm{Arcsin}(\sin(x)) = x\"
\n\"\quad \quad \Leftrightarrow x \in [- \pi/2\, , \, \pi/2]\"
\n👍 le \u00ab\u00a0A\u00a0\u00bb situ\u00e9 en d\u00e9but d’expression dans \"\textrm{Arcsin}(\sin(x))\" doit vous mener \u00e0 faire Attention alors qu’il n’est pas n\u00e9cessaire de faire attention lorsqu’il est \u00ab\u00a0cach\u00e9\u00a0\u00bb dans \"\sin(\textrm{Arcsin}(x))\".<\/p>\n

👍 On peut retenir :\u00a0 Arcsin\"(x)\" est l’arc de \"[- \pi/2\, , \, \pi/2]\" dont le sinus est \u00e9gal \u00e0 \"x\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"y = \textrm{Arcsin}(x)\", \"\cos (y) = \sqrt {1 - x ^2}\"
\ncar \"\cos^2(y) = 1 - \sin^2(y) = 1 - x^2\" et \"\cos(y) \geq 0\" lorsque \"\vert y \vert \leq \pi/2\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\textrm{Arcsin}(x) } x = 1\".<\/p>\n

\"fonction<\/p>\n

4.2. Arccosinus en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" La fonction \"\cos\" d\u00e9finit une bijection strictement d\u00e9croissante de \"[0 \, , \, \pi]\" sur \"[-1 ,\, 1]\".
\nSa fonction r\u00e9ciproque \"\textrm{Arccos}\" est une bijection strictement d\u00e9croissante de \"[- 1 , 1]\" \u00e0 valeurs dans \"[0 \, , \, \pi]\", d\u00e9rivable sur \"]- 1\, , \, 1[\" et
\n\"\forall\, x \in\, ]- 1,\, 1[, \, \textrm{Arccos}'(x) = \displaystyle \frac {-1} {\sqrt{1 - x^2}}\"<\/p>\n

\"\left \{ \begin{matrix} y = \textrm{Arccos}(x) \\ x \in [- 1\, , \, 1] \end{matrix} \right.\" \"\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x = \cos(y) \\ y \in [0\, , \, \pi] \end{matrix} \right.\".<\/p>\n

⚠️ \"\forall\, x \in [- 1 , 1], \, \cos(\textrm{Arccos}(x)) = x\"
\nalors qu’il faudra faire attention
\n\"\; \; \textrm{Arccos}(\cos(x)) = x\" \"\Leftrightarrow x \in [0\, , \, \pi]\".<\/p>\n

👍 le \u00ab\u00a0A\u00a0\u00bb situ\u00e9 en d\u00e9but d’expression dans \"\textrm{Arccos}(\cos(x))\" doit vous mener \u00e0 faire Attention alors qu’il n’est pas n\u00e9cessaire de faire attention lorsqu’il est \u00ab\u00a0cach\u00e9\u00a0\u00bb dans \"\cos(\textrm{Arccos}(x))\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, x \in [- 1 , 1] ,\" \"\quad \quad \quad \, \textrm{Arccos}(-x) = \pi - \textrm{Arccos}(x)\" .<\/p>\n

👍On peut retenir :\u00a0 Arccos\"(x)\" est l’arc de \"[0\, , \, \pi]\" dont le cosinus est \u00e9gal \u00e0 \"x\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"y = \textrm{Arccos}(x)\", \"\sin (y) = \sqrt {1 - x ^2}\"
\ncar \"\sin^2(y) = 1 - \cos^2(y) = 1 - x^2\" et \"\sin(y) \geq 0\" lorsque \"0 \leq y \leq \pi\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\forall \, x \in [-1\, , \, 1],\" \"\quad \quad \quad \textrm{Arcsin}(x) + \textrm{Arccos}(x) = \displaystyle \frac {\pi} 2\".<\/p>\n

\"fonction<\/p>\n

4.3. Arctangente en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" La fonction \"\tan\" d\u00e9finit une bijection strictement croissante de \"] - \pi/2 \, , \, \pi/2[\" sur \"\mathbb{R}\".
\nSa fonction r\u00e9ciproque \"\textrm{Arctan}\" est une bijection strictement croissante de \"\mathbb{R}\" \u00e0 valeurs dans \"] - \pi/2 \, , \, \pi/2[\", d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et
\n\"\quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \, \textrm{Arctan}'(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x^2}\"<\/p>\n

\"\quad \quad \quad \left \{ \begin{matrix} y = \textrm{Arctan}(x) \\ x \in \mathbb{R} \end{matrix} \right.\"
\n\"\quad \quad \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x = \tan(y) \\ y \in \; ]- \pi/2\, , \, \pi/2[ \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

⚠️ \"\forall\, x \in \mathbb{R}, \, \tan(\textrm{Arctan}(x)) = x\"
\nalors qu’il faudra faire attention
\n\"\quad \quad \quad \textrm{Arctan}(\tan(x)) = x\" \"\quad \quad \Leftrightarrow x \in ]- \pi/2\, , \, \pi/2[\"
\n👍 le \u00ab\u00a0A\u00a0\u00bb situ\u00e9 en d\u00e9but d’expression dans \"\textrm{Arctan}(\tan(x))\" doit vous mener \u00e0 faire Attention alors qu’il n’est pas n\u00e9cessaire de faire attention lorsqu’il est \u00ab\u00a0cach\u00e9\u00a0\u00bb dans \"\tan(\textrm{Arctan}(x))\".<\/p>\n

\"\ast\" La fonction Arctangente est impaire.<\/p>\n

👍 On peut retenir : Arctan\"(x)\" est l’arc de \"]- \pi/2\, , \, \pi/2 [\" dont la tangente est \u00e9gale \u00e0 \"x\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\textrm{Arctan}(x) } x = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"y = \textrm{Arctan}(x)\", \"\quad \quad \cos (y) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt {1 + x ^2}}\"
\n\"\quad \quad \sin (y) = \displaystyle \frac x {\sqrt {1 + x ^2}}\".<\/p>\n

D\u00e9monstration des 2 derniers r\u00e9sultats<\/strong> : \"\bullet\" Soit \"u : x \mapsto \textrm{Arctan} (x)\", \"u(0) = 1\", \"u\" est d\u00e9rivable en \"0\" et \"u'(0) = 1\".
\nDonc \"\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {u(x) - u(0)} x = \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{Arctan} (x)} x = 1\"<\/p>\n

\"\bullet\" On note \"y = \textrm{Arctan}(x)\".
\n\"\cos^2(y) = \displaystyle \frac 1 {1 + \tan^2(y)} = \frac 1 {1 + x^2 }\" et \"\cos(y) > 0\" lorsque \"\vert y \vert < \pi/2\".
\nPuis \"\sin(y) = \tan(y) \, \cos(y) = x \, \cos(y)\".
\n\"\Rightarrow \cos (y) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt {1 + x ^2}}\"
\net \"\sin (y) = \displaystyle \frac x{\sqrt {1 + x ^2}}\".<\/p>\n

\"fonction<\/p>\n

\"\bullet\" \"\forall \, x > 0, \displaystyle \textrm{Arctan} x + \textrm{Arctan} \frac 1 x = \frac {\pi} 2\"
\n\"\forall \, x < 0, \displaystyle \textrm{Arctan} x + \textrm{Arctan} \frac 1 x = - \frac {\pi} 2\"
\n(d\u00e9monstration dans le \u00a7 suivant)<\/p>\n

5. Utiliser les fonctions r\u00e9ciproques des fonctions circulaires<\/h2>\n

5.1. R\u00e9soudre une \u00e9quation avec des fonctions circulaires en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

Soit \u00e0 r\u00e9soudre une \u00e9quation<\/a> du type \"f(x) = a\" o\u00f9 \"f\" contient des fonctions circulaires r\u00e9ciproques.
\n\"\bullet\" V\u00e9rifier que l’\u00e9quation admet au moins une solution (en g\u00e9n\u00e9ral en \u00e9tudiant les variations de \"f\" et en utilisant le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires ou le th\u00e9or\u00e8me de la bijection). En d\u00e9terminer le nombre et \u00e9ventuellement les encadrer.
\n\"\bullet\" Commencer par un raisonnement<\/a> par analyse, calculer le sinus, le cosinus ou la tangente de l’\u00e9quation \u00e9crite sous une forme \u00e9ventuellement transform\u00e9e pour que les calculs soient simples.
\nOn obtient des conditions n\u00e9cessaires sur les valeurs des solutions.
\n\"\bullet\" Si le nombre de solutions obtenues dans la partie analyse est \u00e9gal au nombre de solutions attendues, on a obtenu les solutions et le probl\u00e8me est r\u00e9solu.
\nSi l’on obtient plus de valeurs que de solutions attendues, il faut \u00ab\u00a0faire le tri\u00a0\u00bb et ne retenir en synth\u00e8se que les solutions convenables. En g\u00e9n\u00e9ral on peut conclure par des arguments d’encadrement.<\/p>\n

Exemple<\/b>
\nR\u00e9soudre \"\; \; \textrm{Arctan}(x) + \textrm{Arctan} (2 \, x) = \displaystyle \frac {2 \, \pi} 3\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Existence d’une solution\u00a0<\/b>
\nLa fonction \"f : x \mapsto \textrm{Arctan}(x) + \textrm{Arctan} (2 \, x)\" est continue sur \"\mathbb{R}\" et strictement croissante comme somme de deux fonctions strictement croissantes. Elle admet \"\pi\" (resp. \"-\pi\" ) pour limite en \"+\infty\" (resp. en \"-\infty\").
\nElle d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"]- \pi \, , \, \pi[\".
\nComme \"f(0) = 0\", il existe un unique \"a > 0\" tel que \"f(a) = 2 \, \pi / 3\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Recherche de valeurs n\u00e9cessaires.\u00a0<\/b>
\n\"f(a) = \displaystyle \frac {2 \, \pi } 3\" donne
\n\"\displaystyle \tan( \textrm{Arctan}(a ) + \textrm{Arctan}(2 \, a ) = \tan \left ( \frac {2 \, \pi } 3 \right )\"
\nen utilisant \"\quad \tan(x + y) = \displaystyle \frac {\tan(x) + \tan(y)} {1 - \tan(x) \, \tan(y)}\",
\non obtient :
\n\"\displaystyle \tan( \textrm{Arctan}(a ) + \textrm{Arctan}(2 \, a )) = \tan \left ( \frac {2 \, \pi } 3 \right )\"
\n\"\Rightarrow \displaystyle \frac {a + 2 \, a} {1 - 2 \, a ^2} = - \frac {1} {\sqrt{3}}\"
\n\"\Rightarrow 2 \, a^2 - 3 \, \sqrt{3} \, a - 1 = 0\"
\nCette \u00e9quation admet deux solutions \"a _ 1 = \displaystyle \frac {3 \, \sqrt{3} + \sqrt{35}} 4\" et \"a _ 2 = \displaystyle \frac {3 \, \sqrt{3} - \sqrt{35}} 4\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Fin du raisonnement<\/b>
\nOn avait prouv\u00e9 l’existence et l’unicit\u00e9 de la solution de l’\u00e9quation et prouv\u00e9 que \"a > 0\".
\nOn a trouv\u00e9 deux valeurs n\u00e9cessaires \"a_1 > 0\" et \"a_2 < 0\".
\nLa solution de l’\u00e9quation est donc \"a_1\" soit \"\displaystyle \frac {3 \, \sqrt{3} + \sqrt{35}} 4\".<\/p>\n

5.2. Transformer une expression avec des fonctions circulaires en Maths Sup<\/b><\/h3>\n

Soit \"f(x)\" l’expression \u00e0 transformer.<\/p>\n

\"\bullet\" Commencer par chercher le domaine de d\u00e9finition de la fonction \"f\", \u00e9ventuellement restreindre le domaine d’\u00e9tude en faisant appel \u00e0 des consid\u00e9rations de parit\u00e9.
\nDans la suite<\/a>, on note \"\Delta\" l’ensemble<\/a> sur lequel on veut simplifier \"f\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Si \"\Delta \subset [ - 1 \, , \, 1]\", \u00e0 vous de choisir entre les changements de variables<\/a> \"\; \; y = \textrm{Arccos}(x)\" ou \"y = \textrm{Arcsin}(x)\",
\nSinon, poser \"y = \textrm{Arctan}(x)\".
\nDans les deux cas, pr\u00e9ciser l’ensemble de d\u00e9finition \"\Delta\" de \"x\" et \"\delta\" de \"y\".
\nUtiliser vos formules de trigonom\u00e9tries<\/a> pr\u00e9f\u00e9r\u00e9es pour simplifier l’\u00e9quation et terminer en donnant les r\u00e9sultats en fonction de \"x\".
\n⚠️ \"y\" n’est qu’une variable auxiliaire qui doit dispara\u00eetre dans les r\u00e9sultats \u00e0 la fin.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Il est possible aussi de chercher \u00e0 d\u00e9river (en pr\u00e9cisant bien le domaine \"\Delta '\"\u00a0 o\u00f9 l’on d\u00e9rive), simplifier l’expres- sion de \"f'(x)\" et en reconnaissant la d\u00e9riv\u00e9e d’une fonction \"g\" simple, on peut utiliser le r\u00e9sultat suivant :<\/p>\n

Soient \"I\" un intervalle et \"J\" l’intervalle \"I\" priv\u00e9 de ses bornes.
\nSi les fonctions \"f\" et \"g\" sont continues sur \"I\" et d\u00e9rivables sur \"J\" et si \"\quad \quad \quad \forall\, x \in J, \, f'(x) = g'(x)\",
\nalors \"f - g\" est constante sur \"I\".
\nOn d\u00e9termine cette constante, en calculant \"f(c) - g(c)\" o\u00f9 \"c \in I\" ou en cherchant la limit\u00e9 de \"f - g\" en l’une des bornes de \"I\".<\/p>\n

Exemple<\/b>
\nEn utilisant la premi\u00e8re m\u00e9thode, calculer \"\textrm{Arctan} \displaystyle \,\frac 1 x\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"f(x) = \textrm{Arctan} \, \displaystyle \frac 1 x\" est d\u00e9fini ssi \"x \in \mathbb{R}^*\"
\n\"\forall\, x \in \mathbb{R}^*, \, f(-x) = - f(x)\".
\nOn simplifie \"f(x)\" pour \"x \in \mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

\"\left \{ \begin{matrix} y = \textrm{Arctan}(x) \\ x \in \mathbb{R}^{+*} \end{matrix} \right.\" \"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} x = \tan(y) \\ y \in \; ]0\, , \, \pi/2[ \end{matrix} \right.\"
\n\"f(x) = \displaystyle \textrm{Arctan} \left ( \frac 1 {\tan(y)} \right )\" \"\displaystyle f(x) = \textrm{Arctan} \left ( \tan \left ( \frac {\pi} 2 - y \right ) \right )\"
\nPuis comme \"\displaystyle \frac {\pi} 2 - y \in \left ]0 , \frac {\pi} 2 \right [\",
\n\"f(x) = \displaystyle \frac {\pi} 2 - y =\frac {\pi} 2 - \textrm{Arctan} (x)\"
\ndonc \"\forall \, x > 0, \displaystyle \textrm{Arctan} \,x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x = \frac {\pi} 2\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit puisque \"f\" est impaire :
\n\"\forall \, x < 0, \displaystyle \textrm{Arctan} \, x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x = - \frac {\pi} 2\".<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>
\nEn utilisant une d\u00e9riv\u00e9e, calculer \"\displaystyle \textrm{Arctan} \, x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note si \"x \neq 0\", \"\quad \quad f(x) = \displaystyle \textrm{Arctan} \, x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x\".
\n\"f\" est impaire et d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

Si \"x > 0, \, f'(x) = \displaystyle \frac {1} {1 + x^2} - \frac 1 {x^2} \, \frac {1} {1 + 1/x^2}\"
\n\"f'(x) = \displaystyle \frac {1} {1 + x^2} - \frac {1} {x ^2 + 1} = 0\".
\n\"f\" est donc constante sur \"\mathbb{R}^{+*}\".
\nPour d\u00e9terminer cette constante,
\n\"\ast\" on peut utiliser \"f(1) = 2 \textrm{Arctan}(1) = \displaystyle \frac {\pi} 2\"
\n\"\ast\" ou utiliser la limite de \"f\" en \"+\infty\" : cette limite est \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \frac {\pi} 2\".
\nLes deux calculs donnent
\n\"\quad \quad \quad \forall x > 0, \, f(x) = \displaystyle \frac {\pi} 2\" .
\nPuis comme \"f(x) = - f(-x)\",
\nsi \"x < 0, \, f(x) = \displaystyle \frac {- \pi} 2\".<\/p>\n

On a donc red\u00e9montr\u00e9 que
\n\"\forall \, x > 0, \, \displaystyle \textrm{Arctan} \,\, x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x = \frac {\pi} 2\"
\n\"\forall \, x < 0, \, \displaystyle \textrm{Arctan} \,\, x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x = - \frac {\pi} 2\".<\/p>\n

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