{"id":37424,"date":"2019-10-29T16:14:11","date_gmt":"2019-10-29T15:14:11","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37424"},"modified":"2022-07-12T13:06:17","modified_gmt":"2022-07-12T12:06:17","slug":"cours-en-ligne-fonctions-usuelles-maths-sup-exercices-corriges","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-fonctions-usuelles-maths-sup-exercices-corriges\/","title":{"rendered":"Fonctions usuelles en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Exercices corrig\u00e9s de Fonctions usuelles en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices : Fonction Hyperbolique et suite de Fibonacci<\/span><\/h2>\n
\n

1. Fonctions hyperboliques et puissances
\n2. R\u00e9solutions d’\u00e9quations<\/a> avec des fonctions circulaires r\u00e9ciproques
\n3. Transformation d’expressions de fonctions circulaires r\u00e9ciproques
\n4. Un m\u00e9lange
\n5. Suite de Fibonacci et Arctangente
\n6. Fonction<\/a> r\u00e9ciproque<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

1. Fonctions hyperboliques et puissances<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nR\u00e9soudre l’\u00e9quation \"x ^{\sqrt{x}} = \sqrt{x ^x }\"<\/p>\n

Correction :<\/strong> On cherche des solutions \"x > 0\".
\nL’\u00e9quation est \u00e9quivalente \u00e0
\n\"\sqrt{x} \, \<a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-fonctions-usuelles-maths-sup/">ln</a>(x) = \displaystyle \frac 1 2 \, x \ln(x )\"
\nssi \"\displaystyle \sqrt{x} \, \n(x) \, \left ( 2 - \sqrt{x} \right) = 0\"
\nssi \"\ln(x) = 0\" ou \"\sqrt{x} = 2\"
\nssi \"x = 1\" ou \"x = 4\".<\/p>\n

L’\u00e9quation admet deux solutions : \"1\" et \"4\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nR\u00e9soudre \"x ^{\sqrt{x} } = \displaystyle \frac 1 2\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : On suppose \"x > 0\".
\nL’\u00e9quation est \u00e9quivalente \u00e0
\n\"\ln\left ( x ^{\sqrt{x} } \right ) = \displaystyle \ln \left ( \frac 1 2 \right )\"
\nssi \"\sqrt{x} \ln(x) = - \ln(2)\".<\/p>\n

On note \"f(x) = \sqrt{x}\, \ln(x) + \ln(2)\"
\n\"f'(x) = \displaystyle \frac {\ln(x)} {2 \, \sqrt{x}} + \frac {\sqrt{x}} x\"
\n\"f'(x) = \displaystyle \frac {\ln(x) + 2} {2 \, \sqrt{x}}\".
\n\"f'\" s’annule en \"\textrm{e} ^{ - 2}\" et \"f\" admet un minimum en ce point car \"f\" est d\u00e9croissante sur \"]0 , \, \textrm{e} ^{- 2}]\" et croissante sur \"[\textrm{e} ^{- 2} , \, + \infty[\".
\n\"f( \textrm{e}^{ - 2} ) = - 2 \, \textrm{e} ^{- 1} + \ln(2) < 0\" (on rappelle que \"\ln(2) \approx 0.69\" et \"\textrm{e} ^{- 1} \approx 0.37\")
\nalors \"f\" s’annule sur \"]0 \, , \, \textrm{e} ^{ - 2}[\" et sur\"]\textrm{e} ^{ - 2}\, , \, + \infty[\".
\nJe vous conseille de faire le tableau de variations !<\/p>\n

On cherche une solution de la forme \"1 / 2 ^a\".
\n\"f(2 ^ {- a} ) = \ln(2) \left ( - a \, 2 ^{- a/2} + 1 \right ) = 0\"
\nssi \"a = 2 ^{a/2}\".
\nIl y a deux solutions \u00e9videntes : \"a = 2\" et \"a = 4\".<\/p>\n

On a donc obtenu
\n\"\quad \quad\displaystyle f\left ( \frac 1 {2 ^2} \right ) = 0\" et \"\displaystyle f\left ( \frac 1 {2 ^4} \right ) = 0\".
\nComme on sait qu’il n’y a que deux solutions, ce sont \"\displaystyle \frac 1 4 \, , \, \frac 1 {16}\".<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nR\u00e9soudre \"5 ^{2 x } - 74 \times 35 ^ {x - 1} + 7 ^ {2 \, x} = 0\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : On utilise \"\sin p \, \cos q = \displaystyle \frac 1 2 \left ( \sin \frac {p + q} 2 - \sin \frac {p - q} 2 \right )\"
\n\"2 \, S = \displaystyle \sin \frac \pi 5 + \left ( \sin \frac {3\pi} 5 - \sin \frac \pi 5 \right )\" \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \left ( \sin \frac {5\pi} 5 - \sin \frac {3 \pi} 5 \right )\"
\ndonc \"S = 0\".<\/p>\n

Donc en posant \"x = \displaystyle \cos \frac {2 \pi } 5\", \"S = 0\" donne \"\displaystyle \frac 1 2 + x + 2 x ^2 - 1 = 0\" soit \"4 \, x^2 + 2 \,x - 1 = 0\".<\/p>\n

Cette \u00e9quation admet deux racines dont une seule est positive :
\non en d\u00e9duit que \"\displaystyle \cos \frac { 2\, \pi } 5 = \frac {\sqrt{5} - 1} 4\".<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nCalculer \"\tan \displaystyle \frac {\pi} {12}\" puis \"\tan \displaystyle \frac {\pi} {24}\".<\/p>\n

il y a deux solutions oppos\u00e9es<\/strong> : On note \"X = 5 ^{x }\" et \"Y = 7 ^x\".
\nOn commence par r\u00e9soudre
\n\"X ^2 - \displaystyle \frac {74} {35} \, X \, Y + Y^2 = 0\"
\nssi \"35 \, X^2 - 74 \, X \, Y + 35 \, Y ^2 = 0\"
\nssi \"\displaystyle 35 \left ( \frac X Y \right ) ^2 - 74 \frac X Y + 35 = 0 \".<\/p>\n

Soit l’\u00e9quation \"35 \, t ^2 - 74 \, t + 35 = 0\".
\n\"\Delta = 74 ^2 - 4 . 35 ^2 = (74 + 70 )(74 - 70)\"
\n\"\Delta = 4 . 144 = 24 ^2\"
\nL’\u00e9quation a pour racines :
\n\"\quad \displaystyle \frac {74 + 24} {70} = \frac {49 } {35}\"\u00a0et \"\displaystyle \frac {74 - 24} {70} = \frac {5 } {7}\".<\/p>\n

On obtient donc
\n\"\displaystyle \frac X Y = \frac {49 } {35}\" ou \"\displaystyle \frac X Y = \frac {5 } {7}\"
\nssi \"35 . 5 ^x = 7 ^2 . 7 ^x\" ou \"7 . 5 ^x = 5 . 7 ^x\"
\nssi \"5 ^{x + 1} = 7 ^{x + 1}\" ou \"5 ^{x - 1} = 7 ^{x - 1}\"
\nssi \"(x+ 1)( \ln 5 - \ln 7) = 0\"
\nou \"(x- 1)( \ln 5 - \ln 7) = 0\"
\nssi \"x = \pm 1\".<\/p>\n

L’\u00e9quation admet deux solutions \"1\" et \"-1\".<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nSi \"a > 0\", simplifier \"\quad \quad \quad \textrm{ch} \left ( \ln(\sqrt{a} + \sqrt{a + 1}) \right )\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On utilise \"\textrm{ch} (\ln(b)) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{\ln(b)} + \textrm{e} ^{- \ln(b) } \right )\"
\n\"\textrm{ch} (\ln(b)) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( b + \frac 1 b \right )\"
\nAvec \"b = \sqrt{a} + \sqrt{a + 1}\"
\n\"\displaystyle \frac 1 b = \frac 1 {\sqrt{a} + \sqrt{a + 1}}\"
\nen multipliant par la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e,
\n\"\displaystyle \frac 1 b = \frac { \sqrt{a + 1}- \sqrt{a} } {(a + 1) - a}\"
\n\"\displaystyle \frac 1 b = \sqrt{a + 1}- \sqrt{a}\"
\npuis \"\textrm{ch} (\ln(b)) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( 2 \, \sqrt{a + 1} \right ) = \sqrt{a + 1}\"<\/p>\n

\"\textrm{ch} \left ( \ln(\sqrt{a} + \sqrt{a + 1}) \right ) = \sqrt{a + 1}\".<\/p>\n

Exercice 6\u00a0<\/b>
\nPour tout \"x \geq 0\", \"2 \, \textrm{sh}(x) + \textrm{th}(x) \geq 3 \, x\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"f(x) =2\, \textrm{sh}(x) + \textrm{th}(x) - 3 \, x\".
\n\"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R} ^+\"
\net \"f'(x) = \displaystyle 2\, \textrm{ch} (x) + \frac 1 {\textrm{ch}^2(x)} - 3\"
\n\"f'(x) = \displaystyle \frac {2 \, \textrm{ch}^3 (x) - 3 \, \textrm{ch} (x) + 1} {\textrm{ch}^2 (x)}\"<\/p>\n

On note \"t = \textrm{ch} (x) \geq 1\" et \"P(t) = 2 \, t^3 - 3 \, t + 1\".
\nIl est \u00e9vident que \"P(1) = 0\" ce qui permet une factorisation de la forme
\n\"P(t) = (t - 1) (2\, t ^2 + a \, t - 1)\"
\n(on a trouv\u00e9 le coefficient de \"t^2\" par identification des termes en \"t ^3\" et du terme constant en identifiant les\u00a0 coefficients constants,\u00a0on obtient par calcul simple \"a = 2\").
\n\"P(t) = (t - 1) (2\, t ^2 + 2 \, t - 1)\"
\nsachant que si \"t \geq 1,\, 2 \, t - 1 \geq 1\", donc \"2\, t ^2 + 2 \, t - 1 > 0\" et alors \"P(t) \geq 0\" si \"t \geq 1\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit que si \"x \geq 0\", \"f'(x) \geq 0\".
\n\"f\" est croissante sur \"[0 \, , \, + \infty[\" et \"f(0) = 0\", donc si \"x \geq 0,\, 2\, \textrm{sh}(x) + \textrm{th}(x) \geq 3 \, x\".<\/p>\n

\n

2. R\u00e9solutions d’\u00e9quations avec des fonctions circulaires r\u00e9ciproques<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nR\u00e9soudre \"\quad \textrm{Arcsin}(x) + \textrm{Arcsin}(2 \, x)= \displaystyle \frac {\pi} 3\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Existence d’une solution
\n\"f : x \mapsto \textrm{Arcsin}(x) + \textrm{Arcsin}(2 \, x)\" est une fonction continue et strictement croissante sur \"[ - 1/2 \, , \, 1/2]\"
\n\"\displaystyle f \left (\frac1 2 \right ) = \frac {\pi} 6 + \frac {\pi} 2 = \frac {2\, \pi} 3\".
\nComme \"f\" est impaire, \"f\" d\u00e9finit une bijection de \"[ - 1/2 \, , \, 1/2]\" sur \"\displaystyle \left [ - \frac {2\, \pi} 3 \, , \, \frac {2\, \pi} 3 \right ]\" .
\nIl existe un unique \"a\" tel que \"f(a) = \displaystyle \frac {\pi} 3\".
\nComme de plus \"f(0) = 0\", on en d\u00e9duit que \"0 < a < 1/2\".<\/p>\n

\"\bullet\" R\u00e9solution par condition n\u00e9cessaire
\nOn rappelle que \"\cos(\textrm{Arccos}\, t) = \sqrt{1 - t ^2}\" Les calculs sont plus simples en calculant \"\cos (f(a))= \cos(\pi/3) = 1/2\".
\nSachant que \"\cos(t + t') = \cos(t) \, \cos(t') - \sin(t) \, \sin(t')\"
\n\"\cos (f(a))= \cos(\pi/3) = 1/2\"
\nssi \"\sqrt{1 - a^2} \, \sqrt{1 - 4\, a^2} - 2 \, a ^2 = 1/2\"
\nsoit \"2 \sqrt{(1 - a^2)(1 - 4 \, a ^2) } = 1 + 4 \, a ^2\"
\npuis en \u00e9levant au carr\u00e9, on obtient la condition n\u00e9cessaire :
\n\"4(1 - 5 \, a ^2 + a^4 )= 1 + 8\, a^2 + 16\, a^4\"
\n\"\Rightarrow 12 \, a ^4 + 28 \, a^2 - 3 = 0\".<\/p>\n

L’\u00e9quation \"12\, t ^2 + 28 \, t - 3 = 0\" admet une seule racine positive :
\n\"\quad \quad \quad t_ 1 = \displaystyle \frac {\sqrt{58} - 7} 6\".<\/p>\n

\"\bullet\" Conclusion:\u00a0 Il reste donc \u00e0 r\u00e9soudre \"a^2 = t_1\" sachant que \"a \geq 0\", \"\quad \quad \quad \quad a = \displaystyle \sqrt{\frac {\sqrt{58} - 7} 6}\"
\nOn a prouv\u00e9 qu’il y avait au plus une solution positive et on sait que l’\u00e9quation admet une et une seule solution.
\nC’est donc le r\u00e9el<\/a> \"\displaystyle \sqrt{\frac {\sqrt{58} - 7} 6}\".<\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nR\u00e9soudre
\n\"\textrm{Arctan}(x - 1) - \textrm{Arctan} \displaystyle \frac 1 x\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle = \textrm{Arctan}\frac {19} 8\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Existence de solutions<\/b>
\nOn note si \"x \neq 0,\" \"\quad f(x) = \textrm{Arctan}(x - 1) - \textrm{Arctan} \displaystyle \frac 1 x\"
\n\"x \mapsto \displaystyle \frac 1 x\" est d\u00e9croissante et \"\textrm{Arctan}\" est croissante, donc \"x \mapsto \textrm{Arctan} \displaystyle \frac 1 x\" est d\u00e9croissante et \"f\" est croissante sur \"]- \infty, 0[\" et sur \"]0 , +\infty[\".
\n\"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \frac {\pi} 2\" et \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = \frac {\pi} 2\"
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^{-} } f(x) = - \frac {\pi} 4 +\frac {\pi} 2= \frac {\pi} 4\"
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^{+} } f(x) = - \frac {\pi} 4 -\frac {\pi} 2= - \frac {3\pi} 4\"
\n\"f\" d\u00e9finit une bijection de \"]-\infty \, , \, 0[\" sur \"]-\pi/2 \, , \, \pi/4[\"\u00a0et une bijection de \"]0 , \, +\infty[\" sur \"]- 3 \, \pi / 4\, ,\, \pi/2[\".
\nComme \"\displaystyle \frac {\pi} 4 < \textrm{Arctan}\frac {19} 8 < \frac {\pi} 2\",\u00a0l’\u00e9quation admet une unique solution strictement positive.
\nOn peut pr\u00e9ciser que cette solution est sup\u00e9rieure \u00e0 1 car \"f(1) = - \pi/4\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9solution par condition n\u00e9cessaire\u00a0<\/b>
\nOn cherche donc \"x > 1\" tel que \"f(x) = \displaystyle \textrm{Arctan}\frac {19} 8\" \"\Rightarrow \tan(f(x)) = \displaystyle \frac {19} 8\"
\net en utilisant \"\quad \quad \tan(a - b) = \displaystyle \frac {\tan a - \tan b} {1 + \tan a \, \tan b }\" ,
\n\"\displaystyle \frac {(x - 1) - 1/x}{1 + (x-1)/x} = \frac {19} 8\"
\nssi \"\displaystyle \frac {x^2 - x - 1}{x + (x-1)} = \frac {19} 8\"
\nssi \"8(x^2 - x- 1) = 19 (2\, x - 1)\"
\nssi \"8 \, x^2 -46 \, x +11= 0\"
\nssi \"(4 \, x - 1)(2 \, x - 11) = 0\".
\nCette \u00e9quation admet deux solutions \"1/4\" et \"11/2\".
\nOn a vu que l’\u00e9quation n’admet qu’une seule solution qui est sup\u00e9rieure \u00e0 1, donc il s’agit de \"\displaystyle \frac {11} 2\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

3. Transformation d’expressions de fonctions circulaires r\u00e9ciproques<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nCalculer \"\textrm{Arctan}(2 \sqrt{2} ) + 2 \textrm{Arctan}(\sqrt{2} )\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" En utilisant la stricte croissance de la fonction Arctan et \"\textrm{Arctan}(1) = \pi/4\",
\n\"\; \; \displaystyle \frac {\pi} 4 < \textrm{Arctan}(2 \sqrt{2} ) < \frac {\pi} 2\"
\net \"\displaystyle \frac {\pi} 2 < 2 \textrm{Arctan}(\sqrt{2} ) < {\pi}\".
\nSi\u00a0 \"S = \textrm{Arctan}(2 \sqrt{2} ) + 2 \textrm{Arctan}(\sqrt{2} )\", \"S \in \; ]3 \, \pi / 4 \, , \, 3 \, \pi/2[\",\u00a0ce qui permet de calculer \"\tan(S)\".<\/p>\n

\"\bullet\" On utilise \"\tan(a + b) = \displaystyle \frac {\tan a + \tan b} {1 - \tan a \, \tan b }\"
\nOn calcule d’abord \"\tan(2 \textrm{Arctan}(\sqrt{2} ) ) = \displaystyle \frac {2 \, \sqrt{2}} {1 - 2} = - 2 \, \sqrt{2}\"
\npuis \"\tan(S) = 0\" donc \"\exists \, k \in \mathbb{Z}\" tel que \"S = k \, \pi\".
\nSachant que \"S\in \; ]3 \, \pi / 4 \, , \, 3 \, \pi/2[\", on a prouv\u00e9 que \"S = \pi\".
\nsoit \"\textrm{Arctan}(2 \sqrt{2} ) + 2\, \textrm{Arctan}(\sqrt{2} ) = \pi\".\u00a0<\/span><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nCalculer \"\displaystyle \sin \left ( \frac 1 2 \, \textrm{Arcsin} \frac {7} {25} \right )\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"a = \displaystyle \textrm{Arcsin} \frac {7} {25}\",\u00a0\"\sin(a) = \displaystyle \frac 7 {25}\"
\n\"\cos(a) = \displaystyle \sqrt{1 - \sin^2(a)}\"
\n\"\cos(a) = \displaystyle \sqrt {1 - \frac {49 } {625}} = \sqrt {\frac {576} {625}}\"
\nor \"625 = 25^2\" et \"576 = 24^2\"
\nDonc \"\cos(a) = \displaystyle \frac {24 } {25}\".
\npuis \"\displaystyle \cos(a) = 1 - 2 \sin ^2 \frac a 2\"
\nsoit \"\displaystyle 2 \sin^2 \frac a 2 = 1 - \cos(a) = \frac 1 {25}\",
\n\"\displaystyle \sin\frac a 2 = \frac 1 {5 \sqrt{2}}\" car \"\displaystyle \sin\frac a 2 > 0\".<\/p>\n

Exercice 3\u00a0<\/b>
\nSimplifier \"f(x) = \textrm{Arccos} \left ( 2 \, x \, \sqrt{1 - x^2} \right )\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0D\u00e9finition de<\/b>\u00a0\"f\"
\n\"f(x)\" est d\u00e9fini
\nssi \"1 - x^2 \geq 0\" et \"\vert \, 2 \, x \, \sqrt{1 - x^2} \, \vert \leq 1\"
\nssi \"x \in [ - 1 \, , \, 1]\" et \"4 \, x^2 (1 - x^2) \leq 1\"
\nssi \"x \in [ - 1 \, , \, 1]\" et \"4 \, x^4 - 4 \, x ^2 + 1 \geq 0\"
\nssi \"x \in [ - 1 \, , \, 1]\" et \"(2 \, x ^2 - 1) ^2 \geq 0\"
\nOn en d\u00e9duit que \"f\" est d\u00e9finie sur \"[- 1 \, , \, 1]\".<\/p>\n

De plus \"f(-x) = \pi - f(x)\" car \"\textrm{Arccos}(-t) = \pi - \textrm{Arccos}(t)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On simplifie d’abord\u00a0<\/b>\"f(x)\"\u00a0si<\/b>\u00a0\"x \in [0 , 1]\".
\nOn pose \"\left \{ \begin{matrix} y = \textrm{Arcsin}(x) \\ x \in [0\, , \, 1] \end{matrix} \right.\"
\n\"\quad \quad \quad \Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} x = \sin(y) \\ y \in [0\, , \, \pi/2] \end{matrix} \right.\"
\n\"2 \, x \, \sqrt{1 - x^2} = 2 \, \sin(y) \, \vert \cos(y) \vert\" \"2 \, x \, \sqrt{1 - x^2} = 2\, \sin(y) \, \cos(y)\" car \"\cos(y) \geq 0\".
\n\"f(x) = \textrm{Arccos } \left ( \sin ( 2 \, y) \right )\"
\n\"f(x) = \displaystyle \textrm{Arccos } \left ( \cos \left ( \frac {\pi} 2 - 2 \, y \right ) \right )\"
\n\"2 \,y \in [0 , \, \pi]\" et \"\displaystyle \frac {\pi} 2 - 2 \, y \in \left [ - \frac {\pi} 2 \, , \, \frac {\pi} 2 \right ]\".
\nOn doit donc distinguer deux cas :
\n\"\ast\" \"\displaystyle \frac {\pi} 2 - 2 \, y \in \left [0 \, , \, \frac {\pi} 2 \right ]\"
\nssi \"\displaystyle 0 \leq 2 \, y \leq \frac {\pi} 2\" ssi \"0 \leq \textrm{Arcsin}(x) \leq \displaystyle \frac {\pi} 4\"
\nssi \"x \in \displaystyle \left [0 , \, \frac 1 {\sqrt{2 } } \right ]\",
\n\"\quad f(x) = \displaystyle \frac {\pi} 2 - 2 \, y = \frac {\pi} 2 - 2 \,\textrm{ Arcsin}(x)\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \frac {\pi} 2 - 2 \, y \in \left ] - \frac {\pi} 2, \, 0\right ]\"
\nssi \"\displaystyle \frac{\pi}4 < \textrm{Arcsin}(x) \leq \frac {\pi} 2\"
\nssi \"x \in \displaystyle \left ]\frac 1 {\sqrt{2 }} , \, 1 \right ]\",
\n\"\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 2 - 2 \, y \right ) = \cos \left (- \frac {\pi} 2 + 2 \, y \right )\"
\ndonc \"f(x) = \displaystyle \textrm{Arccos} \left ( \cos \left (- \frac {\pi} 2 + 2 \, y \right ) \right)\".
\nDe plus \"\displaystyle - \frac {\pi} 2 + 2 \, y \in \left [0 , \, \frac{\pi} 2 \right ]\", donc
\n\"\quad \displaystyle f(x) = - \frac {\pi} 2 + 2 \, y = 2\, \textrm{Arcsin}(x) - \frac {\pi} 2\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Lorsque<\/b>\u00a0\"x \in [ - 1 \, , \, 0], \, f(x) = \pi - f( - x)\" avec \"-x \in [0\, , \, 1]\".
\nOn distingue donc deux cas :
\n\"\ast\" si \"x \in \displaystyle \left [- \, \frac 1 {\sqrt{2 } }, \, 0 \right [\",
\n\"f(x) = \pi - \displaystyle \frac {\pi} 2 + 2\, \textrm{Arcsin} (-x )\"
\n\"f(x) = \displaystyle \frac {\pi} 2 - 2\, \textrm{Arcsin} (x )\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"x \in \displaystyle \left [-1 \, , - \, \frac 1 {\sqrt{2 } } \right [\",
\n\"f(x) = \pi + \displaystyle \frac {\pi} 2 - 2\, \textrm{Arcsin} (-x )\"
\n\"f(x) = \displaystyle \frac {3\, \pi} 2 + 2\, \textrm{Arcsin} (x )\".<\/p>\n

En r\u00e9sum\u00e9\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" si \"\displaystyle x \in \left [- \, \frac 1 {\sqrt{2 } }, \, \frac 1 {\sqrt{2 } }\right ]\",
\n\"\quad \quad f(x) = \displaystyle \frac {\pi} 2 - 2\, \textrm{Arcsin} (x )\"
\n\"\ast\" si \"x \in \displaystyle \left ]\frac 1 {\sqrt{2 }} , \, 1 \right ]\", \"\quad \quad f(x) = \displaystyle - \frac {\pi} 2 + 2\, \textrm{Arcsin}(x)\"
\n\"\ast\" si \"x \in \displaystyle \left [ - 1 , \, - \frac 1 {\sqrt{2 }} \right [\", \"\quad \quad f(x) = \displaystyle \frac {3\, \pi} 2 + 2 \, \textrm{Arcsin}(x)\"<\/p>\n

Vous trouverez une autre d\u00e9monstration dans le chapitre d\u00e9riv\u00e9es en Maths Sup<\/a> et la t\u00e2che m\u00e9thodes.<\/p>\n

4. Un m\u00e9lange<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSimplifier si \"x\" est r\u00e9el \"\quad\textrm{Arccos} ( \textrm {th}(x) ) + 2\, \textrm{Arctan}(\textrm{e} ^x)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"f : x \mapsto \textrm{Arccos} ( \textrm {th}(x) ) + 2\, \textrm{Arctan}(\textrm{e} ^x)\".
\n\"f\" est d\u00e9finie et d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" car th est \u00e0 valeurs dans \"]- 1 \,,\, 1[\".<\/p>\n

Si \"x\" est r\u00e9el,
\n\"f'(x) = \displaystyle - \frac {1 - \textrm {th}^2(x)} {\sqrt{1 - \textrm {th}^2(x)}} + 2 \frac {\textrm{e} ^x} {1 + \textrm{e} ^{2\, x}}\"
\n\"f'(x) = \displaystyle - {\sqrt{1 - \textrm {th}^2(x)}} + \frac {2 \, \textrm{e} ^x} {1 + \textrm{e} ^{2\, x}}\"<\/p>\n

En utilisant \"1 - \textrm {th}^2 (x) = \displaystyle \frac {1} {\textrm{ch} ^2 x}\" et \"\textrm{ch} \, x > 0\",
\n\"\displaystyle \sqrt{1 - \textrm {th}^2(x)} = \frac 1 {\textrm{ch} \, x } = \frac 2 {\textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{-x} }\"
\n\"\displaystyle \sqrt{1 - \textrm {th}^2(x)} = \frac {2\, \textrm{e} ^x } {\textrm{e} ^{2\, x} + 1 }\"<\/p>\n

\"\forall\, x \in \mathbb{R},\, f'(x) = 0\".
\nLa fonction \"f\" est constante sur \"\mathbb{R}\" et \"f(0) = \textrm{Arccos} ( 0 ) + 2 \, \textrm{Arctan}(1)\" \"f(0) = \displaystyle \frac {\pi} 2 + 2 \frac {\pi} 4 = \pi\".<\/p>\n

Pour tout r\u00e9el \"x\", \"\quad \textrm{Arccos} ( \textrm {th}(x) ) + 2 \, \textrm{Arctan}(\textrm{e} ^x) = \pi\".<\/p>\n

Exercice 2
\nQuestion 1<\/b>
\nPour tout \"x \in \mathbb{R}^+\", il existe un unique \"y \in \displaystyle \left [0 \, , \, \frac {\pi} 2 \right [\" tel que \"\textrm{ch} (x) = \displaystyle \frac 1 {\cos(y)}\"<\/p>\n

\n

Correction<\/strong> : Si \"x \geq 0\", \"\textrm{ch} (x) \geq 1\" donc \"\displaystyle \frac 1 {\textrm{ch} (x) } \in\; ]0 , \, 1]\", donc il existe un unique \"y \in [0 \, , \, \pi/2[\" tel que \"\cos(y) = \displaystyle \frac 1 {\textrm{ch} (x) }\" et plus pr\u00e9cis\u00e9ment \"y = \textrm{Arccos} \left ( \displaystyle \frac 1 {\textrm{ch} (x) } \right )\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>\u00a0(fin)
\nQuestion 2\u00a0<\/b>
\n\"\textrm{sh}(x) = \tan (y)\" et \"\displaystyle \textrm{th}\left ( \frac x 2 \right ) = \tan \left ( \frac y 2 \right )\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"y = \textrm{Arccos} \left ( \displaystyle \frac 1 {\textrm{ch} (x) } \right )\" avec \"y \in \displaystyle \left [0 \, , \, \frac {\pi} 2 \right [\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\textrm {ch} ^2(x) - \textrm{sh}^2(x) = 1\" donc
\n\"\textrm{sh}^2(x) = \textrm {ch} ^2(x) - 1 = \displaystyle \frac 1 {\cos^2(y)} - 1\"
\n\"\textrm{sh}^2(x) = \displaystyle \tan^2(y)\".
\nPuis comme \"\textrm{sh}(x)\geq 0\" et \"\tan(y) \geq 0\" par les hypoth\u00e8ses sur \"x\" et \"y\", on a prouv\u00e9 que \"\textrm{sh}(x) = \tan (y)\".<\/p>\n

\"\bullet\" On rappelle que \"\textrm{th} (t) = \displaystyle \frac {e ^{2\, t} - 1} {e ^{2\, t} + 1}\"
\n\"\textrm{th} \displaystyle \frac x 2 = \displaystyle \frac {e ^{x} - 1} {e ^{x} + 1}\"
\n\"\textrm{e} ^x = \textrm{ch}(x) + \textrm{sh}(x)\"
\n\"\textrm{e} ^x = \displaystyle \frac 1 {\cos(y)} + \tan(y)\"
\n\"\textrm{e} ^x = \displaystyle \frac {1 + \sin(y)} {\cos(y)}\"
\n\"\textrm{th} \displaystyle \frac x 2 = \displaystyle \frac {e ^{x} - 1} {e ^{x} + 1}\"
\n\"\textrm{th} \displaystyle \frac x 2 = \displaystyle \frac { 1 + \sin(y) - \cos(y)} { 1 + \sin(y) + \cos(y)}\"<\/p>\n

puis \"1 + \cos(y) = 2 \cos^2(y/2)\" \"1 - \cos(y) = 2 \sin ^2(y/2)\"
\net \"\sin(y) = 2\sin(y/2) \, \cos(y /2)\"
\n\"1 + \sin(y) + \cos(y) =\" \"\quad \quad \quad 2 \cos(y/2) \left ( \cos(y/2) + \sin(y/2) \right )\"
\n\"1 + \sin(y) - \cos(y) =\" \"\quad \quad \quad 2 \sin(y/2) \left ( \sin(y/2) + \cos(y/2)\right )\"
\ndonc \"\textrm{th} \displaystyle \frac x 2 = \frac {\sin(y/2)} {\cos(y/2)} = \tan \frac y 2\".<\/p>\n<\/div>\n

5. Suite de Fibonacci et \"\textrm { Arctan}\"<\/h2>\n

On d\u00e9finit la suite de Fibonacci \"(f_n)_{n \geq 0}\" par
\n\"\quad \quad \quad f_0 = 0,\, f_1 = 1\",
\n\"\quad \quad\" et \"\forall\, n \in \mathbb{N}, \, f_{n+2} = f_{n+1} + f_{n}\,\".
\nQuestion 1<\/b>
\nCompl\u00e9ter l’identit\u00e9 de Cassini :
\n\"\quad \forall\, n \in \mathbb{N}, \,f_{n +1}^2 - f_{n+2}\, f_{n} =\"<\/p>\n

\n

Correction<\/strong> : Si \"n \in \mathbb{N}\", on note \"H_n : \, f_{n +1}^2 - f_{n+2}\, f_{n} = (- 1) ^n\"<\/p>\n

\"\ast\" Pour \"n = 0\",
\n\"f_{n +1}^2 - f_{n+2}\, f_{n} = f_1 ^2 = 1 = (- 1) ^0\".
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"H_n\" est vraie, on note \"v _ n = f_{n +1}^2 - f_{n+2}\, f_{n}\"
\n\"v_{n + 1} = f_{n +2}^2 - f_{n+3}\, f_{n + 1}\" \"v_{n + 1} = f_{n +2}^2 - (f_{n+2}+ f_{n + 1})\, f_{n + 1}\"
\n\"v_{n + 1} = f_{n +2}\, ( f_{n + 2} - f_{n + 1} ) - f_{n + 1}^2\"
\n\"v_{n + 1} = f_{n +2}\, f_{n } - f_{n + 1}^2\"
\n\"v_{n + 1} = - v_n = (- 1) ^{n + 1}\"
\nce qui donne la relation au rang \"n + 1\".<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence<\/a>.<\/p>\n<\/div>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nEn d\u00e9duire que, pour tout \" n \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n}} =\" \"\displaystyle \quad \quad \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n + 1 }} + \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n + 2 } }\"<\/div>\n
\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" La suite \"(f_n)_{n \geq 2}\" est une suite<\/a> strictement croissante d’entiers, et \"f_2 = 1\", donc si \"n > 2, \, f_n > 1\".
\nSi \"n \geq 1, \, f_{2 n + 1} > 1 , f_{2 n + 2} > 1\" donc \"a_n = \displaystyle \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n + 1 }} + \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n + 2 } }\" v\u00e9rifie \"0 < a_n < \pi / 2\".<\/p>\n

\"\bullet\" On peut calculer \"\tan(a_n)\".
\nEn utilisant \"\quad \quad \displaystyle \tan(a + b) = \frac {\tan(a) + \tan(b)} {1 - \tan(a) \, \tan(b)}\",
\non obtient \"\tan(a_n) = \displaystyle \frac {1/{f _{2n + 1 }} +1 / {f _{2n + 2 }}}{1 - 1/{f _{2n + 1 }} . 1/{f _{2n + 2 }}}\"
\n\"\tan(a_n) = \displaystyle \frac { f_{2n + 1 } +f _{2n + 2 }}{f _{2n + 1 } . f _{2n + 2 } - 1 }\"<\/p>\n

\"\bullet\" Transformation de cette relation
\nPuis on utilise \"f_{2n + 1 } \, f _{2n + 2 } = f_{2n + 1 } (f_{2 n + 1} + f_{2n})\"
\n\"f_{2n + 1 } \, f _{2n + 2 } =f_{2 n + 1} ^2 + f_{2 n + 1} \, f_{2n}\"
\net \"f_{2 n+ 1 }^2 - f_{2 n+2}\, f_{2n } = (- 1) ^{2 n } = 1\"
\nsoit \"f_{2 n+ 1 }^2 - 1 = f_{2 n+2}\, f_{2n }\".
\nOn obtient alors :
\n\"f_{2n + 1 } \, f _{2n + 2 } -1 =\"
\n\"\quad \quad \quad \quad \quad (f_{2 n + 1}+ f_{2 n + 2}) \, f_{2n}\"
\net \"\tan(a_n) = \displaystyle \frac { f_{2n + 1 } +f _{2n + 2 }}{f _{2n} (f_{2n + 1 } +f _{2n + 2 } )} \; \; \;\" \"\displaystyle \tan(a_n) = \frac 1 {f_{2n}}\".
\nSachant que \"\vert a_n\vert < \pi/2\",
\n\"\quad \quad \quad \textrm{Arctan}(\tan(a_n))= a_n\,\".
\nDonc \"\displaystyle a_n = \textrm{Arctan} \left (\frac 1 {f_{2n}} \right )\"
\nce qui donne pour tout\u00a0\"n \in \mathbb{N}^*\",
\n\"\displaystyle \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n}} =\" \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n + 1 }} + \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n + 2 } }\"<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", simplifier \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2k + 1 }}\"
\nQuelles identit\u00e9s particuli\u00e8res obtient- on pour \"n = 1, 2, 3\" ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" \"S_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2k + 1 }}\"
\n\"\displaystyle S_n = \sum _ {k = 1} ^n \left ( \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2k }} - \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2k + 2 }} \; \right )\"
\npar t\u00e9lescopage
\n\"\displaystyle S_n = \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2 }} - \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n + 2 }}\"<\/div>\n
\n

avec \"f_2 = 1\" :
\n\"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2k + 1 }} = \frac {\pi} {4} - \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n + 2 }}\"
\nsoit
\n\"\displaystyle \frac {\pi} {4} = \sum _ {k = 1} ^n \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2k + 1 }} + \textrm{Arctan} \frac 1 {f _{2n + 2 }}\"<\/p>\n

\"\bullet\" On utilise ensuite \"f_2 = 1\, , \, f_3 = 2\, , \, f_4 = 3 , f_5 =5\, ,\, f_6 = 8\" \"f_7 = 13\, , \, f_8 = 21\".
\nLa relation pr\u00e9c\u00e9dente donne
\n\"\ast\" pour \"n = 1\"
\n\"\displaystyle \frac {\pi} 4 = \textrm{Arctan} \frac 1 2 + \textrm{Arctan} \frac 1 3\"
\n\"\ast\" pour \"n = 2\"
\n\"\displaystyle \frac {\pi} 4 = \textrm{Arctan} \frac 1 2 + \textrm{Arctan} \frac 1 5 + \textrm{Arctan} \frac 1 8\"
\n\"\ast\" pour \"n = 3\"
\n\"\displaystyle \frac {\pi} 4 = \textrm{Arctan} \frac 1 2 + \textrm{Arctan} \frac 1 5 + \textrm{Arctan} \frac 1 {13}\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \textrm{Arctan} \frac 1 {21}\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n<\/div>\n

6.Fonction r\u00e9ciproque<\/h2>\n

Montrer que la fonction \"\quad \; x \mapsto \textrm{Arctan}(x) + \textrm{Arctan}(2 \, x)\"
\nadmet une fonction r\u00e9ciproque et la d\u00e9terminer.<\/p>\n

\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" \"f : x \mapsto \textrm{Arctan}(x) + \textrm{Arctan}(2 \, x)\" est continue et strictement croissante sur \"\mathbb{R}\" admet \"\pi\" (resp. \"- \pi\" ) pour limite<\/a> en \"+\infty\" (resp. en \"- \infty\").
\n\"f\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"]- \pi \, , \, \pi[\".
\nComme \"f\" est impaire, la fonction r\u00e9ciproque \"g\" est impaire (car si \"f(x) = y\" alors \"f(- x) = - y\" donc \"g(-y) = - g(y)\" ).
\n\"f(0) = 0\", donc \"f\" prend la valeur \"\pi/2\" sur \"\mathbb{R}^{+ *}\".<\/p>\n

\"\bullet\" R\u00e9solution de \"f(x) = \pi/2\" (avec \"x > 0\").
\n\"\displaystyle f(x) = \frac {\pi} 2 = \textrm{Arctan}(x) + \textrm{Arctan} \frac 1 x\"
\nssi \"\textrm{Arctan}(2 \, x) = \displaystyle \textrm{Arctan} \frac 1 x\"
\nssi \"\displaystyle 2 \, x = \frac 1 x\" ssi \"2 \, x^2 = 1\" ssi \"x = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{2} }\" car \"x > 0\".
\nOn en d\u00e9duit que \"\displaystyle f \left (\left [0 , \, \frac 1 { \sqrt{2}} \right [\right ) = \, \left [0 ,\, \frac {\pi} 2\right [\"
\net \"\displaystyle f\left ( \left ] \frac 1 {\sqrt{2}} , + \infty \right [\right ) = \,\left ]\frac {\pi} 2 , \, \pi \right [\"<\/p>\n

\"f(0) = 0\" donc \"g(0) = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" On calcule si \"x >0\" et \"x \neq 1/\sqrt{2}\",
\n\"\tan(f(x)) = \displaystyle \frac {x + 2\, x} {1 - 2 \, x^2} = \tan(y)\"
\nssi \"2 \, \tan(y) \, x^2 + 3 \, x - \tan(y) = 0\".
\nComme \"\tan y \neq 0\", cette \u00e9quation admet deux racines
\n\"\quad \quad \quad t_ 1 = \displaystyle \frac {-3 +\sqrt{9 + 8 \, \tan^2(y)}} {4 \, \tan y}\"
\n\"\quad \quad\" et \"t_ 2 = \displaystyle \frac {-3 -\sqrt{9 + 8 \, \tan^2(y)}} {4 \, \tan y}\".<\/p>\n

On sait que \"t_1 \, t_ 2 = \displaystyle - \frac 1 2\", les deux racines sont de signe contraire.
\n\"\ast\" Si \"\tan y > 0, \, t_1 > t_2\,\" \"\Rightarrow t_2 < 0 < t_1\,\".
\nLorsque \"y \in \; ]0 , \pi/2[, \tan(y) > 0\" et on doit retenir la racine positive,\u00a0on en d\u00e9duit que \"g(y) = t_2\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\tan y < 0, \, t_1 < t_2\, \Rightarrow t_1 < 0 < t_2\,\".
\nLorsque \"y \in\; ] \pi/2, \pi[,\, \tan(y) < 0\" et on doit retenir la racine positive,\u00a0on en d\u00e9duit que \"g(y) = t_2\,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Conclusion<\/b>
\nOn a prouv\u00e9 que si \"y \in \; ]0 , \pi[ \, \setminus \, \{\pi/2\}\" \"\quad \quad g(y) = \displaystyle \frac {- 3 +\sqrt{9 + 8 \, \tan^2(y)}} {4 \, \tan y}\"
\n\"g(0) = 0\", \"g(\pi/2) = 1/ \sqrt{2}\"
\net en utilisant \"g\" impaire,
\nsi \"y \in \; ] - \pi , \, 0[\, \setminus \, \{-\pi/2\}\" , \"\quad \quad g(y) = \displaystyle \frac {-3 +\sqrt{9 + 8 \, \tan^2(y)}} {4 \, \tan y}\"
\n\"g(-\pi/2) = - 1/ \sqrt{2}\".<\/p>\n

Plus de chapitres et de cours en maths gr\u00e2ce \u00e0 nos cours en ligne de Maths pour les \u00e9tudiants de pr\u00e9pa en Maths Sup :<\/p>\n