{"id":37430,"date":"2019-10-29T17:09:32","date_gmt":"2019-10-29T16:09:32","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37430"},"modified":"2023-09-15T17:56:00","modified_gmt":"2023-09-15T16:56:00","slug":"cours-en-ligne-nombres-reels-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-nombres-reels-maths-sup\/","title":{"rendered":"Nombres r\u00e9els en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Nombres r\u00e9els en Maths Sup MPSI, PTSI, MP2I et PCSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Nombres r\u00e9els en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1. \u00c9quation<\/a> et in\u00e9quation du second degr\u00e9
\n2. Quelques conseils et recommanda- tions pour les in\u00e9galit\u00e9s
\n3. Pour d\u00e9montrer une in\u00e9galit\u00e9 du type \"u(x) \leq v(x)\"
\n4. Utilisation de valeurs absolues
\n5. Parties major\u00e9es, minor\u00e9es, born\u00e9es
\n6. Utiliser la partie enti\u00e8re
\n7. Intervalles de \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Si vous ressentez le besoin, ne manquez pas de demander l’assistance d’un professeur particulier de maths<\/a>.<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

1. \u00e9quation et in\u00e9quation du second degr\u00e9<\/h3>\n

Dans la suite, on note \"\quad \quad P(x) = a \, x^2 + b \, x + c\"
\no\u00f9 \"(a , b , c) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^2\".<\/p>\n

\"\bullet\" 🧡 Si \"P\" admet deux racines r\u00e9elles \"x_1\" et \"x_2\,\",
\n\"\quad \displaystyle x_1 + x_2 = - \frac {b} a\" et \"\displaystyle x_1 \, x_2 = \frac {c} a\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9terminer \"u\" et \"v\" r\u00e9els dont on conna\u00eet la somme<\/a> \"S = u + v\" et le produit \"P = u \, v\", on \u00e9crit que \"u\" et \"v\" sont racines de l’\u00e9quation \"\quad \quad x ^2 - S \, x + P = 0\".
\nLe probl\u00e8me a une solution ssi \"S^2 - 4 \, P \geq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" 👍 pas de pr\u00e9cipitation dans la recherche des racines de \"P\" !
\n\"\ast\" Prendre le temps de chercher si \"1\" ou \"-1\" n’est pas racine de \"P\".
\n\"\ast\" Si \"P(1) = 0\", l’autre racine est \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \frac c a\".
\n\"\ast\" Si \"P(- 1) = 0\", l’autre racine est \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle - \frac c a\".
\nDans les deux cas, on d\u00e9termine l’autre racine en utilisant : \"\displaystyle \frac c a\" est le produit des racines.
\n\"\ast\" Ne passez pas \u00e0 c\u00f4t\u00e9 d’une identit\u00e9 remarquable :
\n\"\quad \quad x ^2 - 2 \, d \, x + d^2 = (x - d) ^2\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si l’on conna\u00eet les racines \"x_1\" et \"x_2\" de \"P\" o\u00f9 \"P(x) = a \, x^2 + b \, x + c\", on peut factoriser \"P(x)\" : \"\quad \quad P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\"
\n⚠️ \u00e0 ne pas oublier le coefficient \"a\" !<\/p>\n

\"\bullet\" Signe de \"P(x) = a \, x^2 + b \, x + c\".
\n\"\ast\" Si \"\Delta < 0\", pour tout r\u00e9el \"x\", \"P(x)\" est du signe de \"a\".
\n\"\ast\" Si \"\Delta = 0\", pour tout r\u00e9el \"x\", \"P(x)\" est du signe de \"a\" et non nul si \"x \neq \displaystyle \frac {- b} {2\, a}\".
\n\"\ast\" Si \"\Delta > 0\", \"P\" a deux racines distinctes \"x_1 < x_2 \,\",
\nsur \"]x_1 \, , \, x_2[\" , \"P(x)\" est du signe de \"- a\"
\nsur \"]-\infty \, , x_1| \, \cup \, ]x_2 \, , \, +\infty[\", \"P(x)\" est du signe de \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour placer un r\u00e9el \"t\" par rapport aux racines \"x_1 < x_2\" de \"P\" avec \"\quad \quad P(x) = a \, x^2 + b \, x + c\".
\n\"\ast\" Calculer \"P(t)\".
\n\"\ast\" Si \"a \,P(t) <0\", \"x_1 < t < x_2\,\".
\n\"\ast\" Si \"a \,P(t) > 0\", \"t\" est \u00e0 l’ext\u00e9rieur des racines.
\nOn rappelle que \"S = x_1 + x_2 = \displaystyle \frac { - b} a\"
\nOn cherche le signe de \"\displaystyle \frac S 2 - t\"
\n… Si \"\displaystyle \frac S 2 - t < 0\", alors \"x_1 < x_2 < t\"
\n(car \"S/2< t\" et \"t\" \u00e0 l’ext\u00e9rieur des racines donnent : \"t\" est \u00e0 \u00ab\u00a0droite\u00a0\u00bb de \"x_2\,\")
\n… Si \"\displaystyle \frac S 2 - t > 0\", alors \"t < x_1 < x_2\"
\n(car \"S/2> t\" et \"t\" \u00e0 l’ext\u00e9rieur des racines donnent : \"t\" est \u00e0 \u00ab\u00a0gauche\u00a0\u00bb du r\u00e9el \"x_1\,\").
\n👍 : on aura int\u00e9r\u00eat \u00e0 faire au brouillon un dessin de la droite r\u00e9elle, des points d’abscisse \"x_1\,\", \"x_2\" et \"t\" (et \"S/2\").<\/p>\n

\n

2. Quelques conseils et recommandations pour les in\u00e9galit\u00e9s<\/h3>\n

\"\bullet\" Pensez \u00e0 v\u00e9rifier les affirmations \u00e0 chaque \u00e9tape !
\n\"\ast\" Vous multipliez une in\u00e9galit\u00e9 par une expression : est-elle positive ou nulle ? ( ⚠️ m\u00e9fiez-vous des expressions qui d\u00e9pendent d’un param\u00e8tre ou d’une variable<\/a>).
\n\"\ast\" Si vous avez multipli\u00e9 par un nombre n\u00e9gatif, avez-vous chang\u00e9 le sens de l’in\u00e9galit\u00e9 ?
\n\"\quad \quad a \leq b\" et \"c \geq 0\" \"\Rightarrow a \, c \leq b \, c\".
\n\"\quad \quad a \leq b\" et \"c < 0\" \"\Rightarrow b \, c \leq a \, c\".<\/p>\n

\"\ast\" Vous supprimez dans une in\u00e9galit\u00e9 le d\u00e9nominateur, est-il strictement positif ?
\n\"\quad\" si \"b > 0\" , \"\displaystyle\frac {a} {b} \leq \frac {a'} {b} \Leftrightarrow a \leq a '\".<\/p>\n

\"\ast\" Vous multipliez deux in\u00e9galit\u00e9s entre-elles : aviez vous
\n\"\quad \quad 0 \leq a \leq b\" et \"0 \leq a' \leq b'\"
\npour pouvoir dire que \"a\, a' \leq b \, b'\" ?<\/p>\n

\"\ast\" Vous passez \u00e0 l’inverse : les nombres sont-ils strictement positifs ? Avez vous pens\u00e9 \u00e0 changer le sens de l’in\u00e9galit\u00e9 ?
\n\"\quad \quad 0 < a \leq b \Rightarrow \displaystyle \frac 1 b \leq \frac 1 a\".<\/p>\n

\"\ast\" Vous voulez conserver une in\u00e9galit\u00e9 stricte par multiplication par un r\u00e9el, ce nombre est-il strictement positif ?
\n\"\quad \quad a < b\" et \"c > 0\" \"\Rightarrow a\, c < b\, c\".<\/p>\n

\"\ast\" Vous \u00e9levez une in\u00e9galit\u00e9 au carr\u00e9 : les deux nombres sont-ils positifs ?
\n\"\quad \quad 0 \leq a \leq b \Rightarrow a^2 \leq b ^2\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9montrer une in\u00e9galit\u00e9 stricte demande en g\u00e9n\u00e9ral plus de pr\u00e9cautions que la d\u00e9monstration d’une in\u00e9galit\u00e9 large. Inutile de vous compliquer la vie quand ce n’est pas indispensable, d\u00e9montrer l’in\u00e9galit\u00e9 large si telle est la question !.<\/p>\n

\"\bullet\" Vous voulez majorer le r\u00e9el positif \"\displaystyle \frac a b\".
\nPrenez le temps de v\u00e9rifier que \"0 \leq a\" puis cherchez \"b' > 0\" tel que \"b \geq b' > 0\", alors \"\displaystyle \frac a b \leq \frac {a} {b'}\".
\nUn calcul de t\u00eate risque d’\u00eatre faux et ne sera jamais justifi\u00e9 !<\/p>\n

\"\bullet\" Vous voulez prouver que \"\quad \quad \forall \, x \in \, I , \, f(x) \geq 0\".
\n⚠️ : Si vous partez de l’in\u00e9galit\u00e9 \"f(x) \geq 0\" pour arriver par des implications ou sans faire appara\u00eetre le type de raisonnement<\/a> \u00e0 une in\u00e9galit\u00e9 vraie, vous n’aurez pas prouv\u00e9 que \"f(x) \geq 0\".
\nIl est indispensable dans ce type de raisonnement de mettre en \u00e9vidence un raisonnement correct par \u00e9quivalen- ce pour arriver \u00e0 une propri\u00e9t\u00e9 vraie pour tout \"x \in I\".<\/p>\n

\"\bullet\" ⚠️ faute : ne faites pas de diff\u00e9rence d’in\u00e9galit\u00e9s !
\nsi vous avez \"a \leq b\" et \"c \leq d\", vous pouvez conclure que \"a - d \leq b - c\" et surtout pas \"a - c \leq b - d\" !<\/p>\n

\"\bullet\" ⚠️ faute : pas de quotient d’in\u00e9galit\u00e9s
\nsi vous avez \"0 < a \leq b\" et \"0 < c \leq d\", vous pouvez conclure que \"\displaystyle \frac a d \leq \frac b c\" et surtout pas \"\displaystyle \frac a c \leq \frac b d\" !<\/p>\n

\"\bullet\" Ne croyez pas aux miracles : quand on demande de prouver qu’une in\u00e9galit\u00e9 \"(I_1)\" implique une in\u00e9galit\u00e9 \"(I_2)\", il est rare qu’en faisant subir diff\u00e9rentes transformations \u00e0 \"(I_1)\" on ait la chance de tomber sur \"(I_2)\".<\/p>\n

Voici un exemple de ce qu’il ne faut pas faire :<\/b>
\nSi l’hypoth\u00e8se est \"- 1 \leq x \leq 1\" et la conclusion \"- 1 \leq 4 \, x^3 - 3 \, x \leq 1\",<\/p>\n

\"\bullet\" croire au miracle serait de commencer par \u00e9crire
\n\"\quad \; - 4 \leq 4 \, x ^3 \leq 4\" et \"- 3 \leq - 3\, x \leq 3\"
\npuis par somme \"-7 \leq 4 \, x^3 - 3 x \leq 7\", vous \u00eates bien loin de l’in\u00e9galit\u00e9 \u00e0 prouver.<\/p>\n

\"\bullet\" Ce qu’il faut faire : factoriser \"\quad 1 - (4 \, x ^3 - 3 \, x)\" et \"(4 \, x ^3 - 3 \, x) + 1\"
\npour d\u00e9montrer que ces expressions sont positives ou nulles sur \"[ - 1 \, , \, 1]\".<\/p>\n

On introduit \"P\" et \"Q\"
\n\"\ast\" \"P(x) = 1 - (4 \, x ^3 - 3 \, x)\", \"P\" admet 1 pour racine, donc on peut \u00e9crire
\n\"P(x) = 1 + 3 \, x - 4\, x^3\"
\n\"P(x) = (1 -x) (1 +a \, x + 4 \, x^2)\"
\n(on compare les termes constants et les coefficients de plus haut degr\u00e9 pour n’avoir qu’un seul coefficient \u00e0 d\u00e9terminer.)
\nOn obtient \"a = 4\" en cherchant le coefficient de \"x\" : \"- 1 + a = 3\".
\n\"P(x) =(1 - x)(1 + 2 \, x) ^2\" est du signe de \"1 - x\".
\nDonc si \"x \in [- 1 , \, 1], P(x) \geq 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Puis \"Q(x) = (4 \, x ^3 - 3 \, x) + 1\" admet \"- 1\" pour racine, donc on peut \u00e9crire
\n\"Q(x) = 4 \, x ^3 - 3 \, x + 1\" \"Q(x) = (x + 1)(4 \, x^2 + b \, x + 1)\"
\net on obtient \"b = - 4\" donc
\n\"Q(x) = (x + 1) (2 \, x - 1) ^2\" est du signe de \"x + 1\".
\nDonc si \"x \in [- 1 , \, 1], Q(x) \geq 0\".<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que si \"x \in [- 1 , \, 1]\", \"4 \, x ^3 - 3 \, x \in [- 1 , \, 1]\".<\/p>\n

3. Pour d\u00e9montrer une in\u00e9galit\u00e9 du type \"u(x) \leq v(x)\"<\/h3>\n

👍 Il est conseill\u00e9 de se ramener syst\u00e9matiquement (sauf en pr\u00e9sence de racine carr\u00e9e) \u00e0 une in\u00e9quation de la forme \"v(x) - u(x) \geq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"u\" et \"v\" sont des fonctions polyn\u00f4mes<\/a>, est-il possible de factoriser \"u - v\" ? (chercher s’il y a des racines \u00e9videntes et ensuite chercher le signe des facteurs ainsi mis en \u00e9vidence.)<\/p>\n

\"\bullet\" \"u\" et \"v\" sont des fractions rationnelles<\/a> r\u00e9duire \"u - v\" au m\u00eame d\u00e9nominateur pour \u00e9crire \"u(x) - v(x) = \displaystyle \frac {P(x)} {Q(x)}\" et \u00e9tudier le signe de \"P(x)\" et celui de \"Q(x)\".
\nIl est conseill\u00e9 de pr\u00e9senter les r\u00e9sultats avec un tableau de signes.<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que \"\sqrt{u(x)} \leq v(x)\"
\nOn v\u00e9rifie que \"u(x)\" et \"v(x)\" sont \u00e0 valeurs positives ou nulles, on utilise ensuite l’\u00e9quivalence :
\n\"\quad \sqrt{u(x)} \leq v(x)\" \"\Leftrightarrow u(x) \leq v^2(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que \"u(x) \leq \sqrt{v(x)}\"
\n\"\ast\" l’in\u00e9galit\u00e9 est \u00e9vidente lorsque \"u(x) < 0\" et \"v(x) \geq 0\"
\n\"\ast\" dans le cas o\u00f9 \"u(x) \geq 0\" et \"v(x) \geq 0\"
\n\"u(x) \leq \sqrt{v(x)}\" \"\Leftrightarrow u^2(x) \geq v(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que \"\vert u(x) \vert \leq v(x)\",
\non peut :
\n\"\ast\" prouver que \"- v(x) \leq u(x) \leq v(x)\"
\n\"\ast\" \u00e9tudier le signe de \"u(x)\" pour \u00e9ventuellement supprimer la valeur absolue
\n\"\ast\" apr\u00e8s avoir v\u00e9rifi\u00e9 que \"v(x) \geq 0\" , utiliser
\n\"\quad \vert u(x) \vert \leq v(x)\" \"\Leftrightarrow u^2(x) \leq v ^2(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Dans les autres cas, on \u00e9tudie les variations de \"w : x \mapsto u(x) - v(x)\".
\nOn donne le tableau de variations (ce qui est toujours plus explicite qu’un long discours).<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que \"u(x) < v(x)\" sur \"I =\; ]a , \, b]\" ou \"I =\; ]a , \,\, b[\".
\n\"\ast\" si vous voulez utiliser la valeur en \"a\", il suffit de pouvoir dire que \"v - u\" est continue sur \"J = [a , \, b[\" ou \"[a ,\, b]\", que \"v - u\" est strictement croissante sur \"I\" (c’est le cas si \"(v - u)'(x) > 0\" sur \"I\". ) Dire ensuite que \"u\" est strictement croissante sur \"J\" (attention pas sur \"I\") et que si \"x \in J,\" \"\quad \quad v (x) - u(x) > v(a) - u(a)\",
\nil suffit que \"v(a) - u(a) \geq 0\". pour obtenir l’in\u00e9galit\u00e9 stricte souhait\u00e9e.<\/p>\n

Exemple<\/b>\u00a0prouver que pour tout \"x > 0,\" \"\quad \quad \quad \,\ln(1 + x) < x\".<\/p>\n

Correction :<\/b>
\nOn note \"f : x \mapsto x - \ln(1 + x)\".
\n\"f\" est continue sur \"[0 , \, + \infty[\", d\u00e9rivable<\/a> sur \"\mathbb{R }^{+ *}\" et \"f'(x) = \displaystyle \frac x {1 + x} > 0\" si \"x > 0\".
\n\"f\" est strictement croissante sur \"\mathbb{R}^+\" , donc si \"x > 0,\, f(x) > f(0)\" soit \"f(x) > 0\".<\/p>\n

4. Utilisation de valeurs absolues<\/h3>\n

\"\bullet\" In\u00e9galit\u00e9 triangulaire<\/b>\u00a0:
\n\"\ast\" si \"x\" et \"y\" sont des r\u00e9els, \"\quad \quad \vert x + y \vert \leq \vert x \vert + \vert y \vert\"
\n\"\ast\" et sa cons\u00e9quence : \"\quad \quad \vert \, \vert x \vert - \vert y \vert \, \vert \leq \vert x - y \vert\".<\/p>\n

\"\ast\" sa g\u00e9n\u00e9ralisation \u00e0 \"n\" r\u00e9els \"(x _1 \, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n )\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \left \vert \sum _ {k = 1} ^n x_ k \right \vert \leq \sum _ {k = 1} ^{n} \vert x_ k \vert\".<\/p>\n

\"\bullet\" Une astuce de calcul classique :
\nsi \"x\" et \"a\" sont r\u00e9els
\n\"\vert x \vert = \vert x + a + (- a) \vert \leq \vert x + a \vert + \vert a \vert\".
\net aussi
\n\"\vert x \vert = \vert x - a + (a) \vert \leq \vert x - a \vert + \vert a \vert\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que \"\vert f(x)\vert \leq \alpha\", il suffit de prouver que \"f(x) \leq \alpha\" et \"- f(x) \leq \alpha\".<\/p>\n

\"\bullet\" Conna\u00eetre l’\u00e9quivalence \u00e9vidente :
\n\"\quad \quad \vert y \vert \leq \alpha\" \"\Leftrightarrow - \alpha \leq y \leq \alpha\"<\/p>\n

\"\bullet\" ⚠️ aux risques d’erreurs
\nSi \"a \leq b\" , vous ne pouvez pas conclure que \"\vert a \vert \leq \vert b \vert\".
\nPar exemple \"- 2 \leq 1\" et \"\vert - 2 \vert > \vert 1 \vert\".<\/p>\n

\"\bullet\" 👍 : pour obtenir une majoration de \"\vert f(x) \vert\", commencer par \u00e9crire \"\vert f(x)\vert\" avant de faire quelque majoration que ce soit sur \"f(x)\", il sera trop tard pour passer \u00e0 la valeur absolue, sauf si les in\u00e9galit\u00e9s portent sur des nombres positifs !<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

5. Parties major\u00e9es, minor\u00e9es, born\u00e9es<\/h3>\n

5.1. D\u00e9finition<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"A\" une partie non vide de \"\mathbb{R}\",
\n\"\ast\" \"A\" est\u00a0major\u00e9e<\/i>\u00a0s’il existe \"M \in \mathbb{R}\" tel que \"\forall \, a \in A,\, a \leq M\".
\n⚠️ \u00e0 l’ordre des quantificateurs !
\n\"M\" est un\u00a0majorant<\/i>\u00a0de \"A\" et tout r\u00e9el \"M' \geq M\" est un majorant de \"A\".<\/p>\n

\"\ast\" \"A\" est\u00a0minor\u00e9e<\/i>\u00a0s’il existe \"m \in \mathbb{R}\" tel que \"\forall \, a \in A,\, m \leq a\"
\n⚠️ \u00e0 l’ordre des quantificateurs !
\n\"m\" est un\u00a0minorant<\/i>\u00a0de \"A\" et tout r\u00e9el \"m' \leq m\" est un minorant de \"A\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"A\" une partie non vide
\n\"\ast\" Si \"A\" est une partie de de \"\mathbb{R}\", \"A\" est\u00a0born\u00e9e<\/i>\u00a0si elle est major\u00e9e et minor\u00e9e.
\n👍 Il est plus simple de traduire \"A\" born\u00e9e par : il existe \"M \in \mathbb{R}^+\" tel que \"\forall \, a \in A,\, \vert a \vert \leq M\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"A\" est une partie de \"\mathbb{C}\", \"A\" est\u00a0born\u00e9e<\/i>\u00a0s’il existe \"M \in \mathbb{R}^+\" tel que \"\forall \, a \in A,\, \vert a \vert \leq M\"<\/p>\n

5.2. Plus grand et plus petit \u00e9l\u00e9ment\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Une partie non vide de \"\mathbb{R}\" admet un\u00a0plus grand \u00e9l\u00e9ment\u00a0<\/i>\"M\" lorsqu’il existe \"M \in A\" tel que \"\forall \, a \in A,\, a \leq M\".
\nAlors \"M\" est unique et not\u00e9 \"\quad \quad \quad \quad M = \max A\".<\/p>\n

\"\bullet\" Une partie non vide de \"\mathbb{R}\" admet un\u00a0plus petit \u00e9l\u00e9ment<\/i>\u00a0\"m\" lorsqu’il existe \"m \in A\" tel que \"\forall \, a \in A,\, m \leq a\".
\nAlors \"m\" est unique et not\u00e9 \"m = \min A\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"x\" et \"y\" sont r\u00e9els, on note
\n\"\ast\" \"\max(x , y)\" le plus grand \u00e9l\u00e9ment de \"\{x \, , \, y\}\"
\n\"\ast\" \"\min (x , y)\" le plus petit \u00e9l\u00e9ment de \"\{x \, , \, y\}\".
\nOn peut v\u00e9rifier que
\n\"\ast\" \"\max (x , \, y) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( x + y + \vert x - y \vert \right )\"
\n\"\ast\" \"\min (x , \, y) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( x + y - \vert x - y \vert \right )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Cas particuliers.
\n\"\ast\" Toute partie finie non vide de \"\mathbb{R}\" admet un plus petit et un plus grand \u00e9l\u00e9ment.
\n\"\ast\" Toute partie non vide de \"\mathbb{N}\" admet un plus petit \u00e9l\u00e9ment
\n\"\ast\" Toute partie finie non vide de \"\mathbb{N}\" admet un plus grand \u00e9l\u00e9ment.<\/p>\n

5.3. Borne sup\u00e9rieure<\/b>
\n\"\bullet\" Si \"A\" est une partie major\u00e9e non vide de \"\mathbb{R}\", l’ensemble<\/a> des majorants de \"A\" admet un plus petit \u00e9l\u00e9ment qui est appel\u00e9\u00a0borne sup\u00e9rieure<\/i>\u00a0de \"A\" et not\u00e9 \"\sup A\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" est une partie major\u00e9e non vide de \"\mathbb{R}\", il y a \u00e9quivalence entre :
\n\"\ast\" \"\alpha = \sup A\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, a \in A ,\, a \leq \alpha\"
\net pour tout \"\gamma < \alpha ,\, \gamma\" n’est pas un majorant de \"A\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, a \in A ,\, a \leq \alpha\"
\net pour tout \"\gamma < \alpha\",\u00a0 \"\exists\, b \in A ,\, \gamma < b\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, a \in A ,\, a \leq \alpha\"
\net il existe une suite<\/a> \"(a_n)_n\" de \"A\" qui converge vers \"\alpha\".<\/p>\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

\n

\"\bullet\" Si \"\alpha = \sup A\"
\n\"\ast\" \"\forall \, a \in A ,\, a \leq \alpha\"
\n\"\ast\" \"\forall \, n \in \mathbb{N}\", \"\displaystyle \alpha - \frac 1 {n + 1} < \alpha\" donc n’est pas un majorant de \"A\", il existe donc \"a_n \in A\" tel que \"\displaystyle \alpha - \frac 1 {n + 1} < a_n \leq \alpha\".
\nPar encadrement, \"\displaystyle \lim _{n \to +\infty} a_n = \alpha\".<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que\u00a0\"\forall \, a \in A ,\, a \leq \alpha\" et qu’il existe une suite \"(a_n)_n\" de \"A\" qui converge vers \"\alpha\"
\nSoit \"\gamma < \alpha\" et on traduit \"\displaystyle \lim _{n \to +\infty} a_n = \alpha\", en prenant \"\varepsilon = (\alpha - \gamma) / 2\"
\nil existe \"N \in \mathbb{N}\" tel que si \"n \geq N\", \"\quad \quad \vert a_n - \alpha \vert \leq \varepsilon\" \"\Rightarrow \displaystyle - \frac {\alpha - \gamma} 2 \leq a_n - \alpha\"
\nen particulier, \"\displaystyle a_N \geq \frac {\alpha + \gamma} 2 > \gamma\".
\nOn a prouv\u00e9 que \"\gamma\" n’est pas un majorant de \"A\".<\/p>\n<\/div>\n

👍 seule l’implication :
\nSi \"A\" est une partie major\u00e9e non vide de \"\mathbb{R}\",
\n\"\alpha = \sup A\" \"\Rightarrow\" Il existe une suite \"(a_n)_n\" de \"A\" qui converge vers \"\alpha\"
\nest au programme.
\nC’est en fait l’implication la plus utile.<\/p>\n

👍 Si l’ensemble \"A\" admet une borne sup\u00e9rieure \"M\",
\n\"\ast\" si \"M'\" est un r\u00e9el tel que pour tout \"a \in A\", \"a \leq M'\", \"M'\" est un majorant de \"A\", donc \"M \leq M'\".
\n\"\ast\" en introduisant une suite bien choisie \"(a_n)_n\" de \"A\", si cette suite converge vers \"L\", en \u00e9crivant que pour tout \"n \in \mathbb{N}\" , \"a_n \leq M\" et en passant \u00e0 la limite<\/a>, on obtient \"L \leq M\".<\/p>\n

5.4. Borne inf\u00e9rieure<\/b>
\n\"\bullet\" Si \"A\" est une partie minor\u00e9e non vide de \"\mathbb{R}\", l’ensemble des minorants de \"A\" admet un plus grand \u00e9l\u00e9ment qui est appel\u00e9\u00a0borne inf\u00e9rieure<\/i>\u00a0de \"A\" et not\u00e9 \"\inf A\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" est une partie minor\u00e9e non vide de \"\mathbb{R}\", il y a \u00e9quivalence entre :
\n\"\ast\" \"\beta = \inf A\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, a \in A ,\, \beta \leq a\"
\net pour tout \"\gamma > \beta ,\, \gamma\" n’est pas un minorant de \"A\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, a \in A ,\, \beta \leq a\"
\net pour tout\u00a0 \"\gamma > \beta\",\u00a0 \"\exists \, b \in A ,\, b < \gamma\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, a \in A ,\, \beta \leq a\"
\net Il existe une suite \"(a_n)_n\" de \"A\" qui converge vers \"\beta\"<\/p>\n

d\u00e9monstration de la derni\u00e8re \u00e9quivalence<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\beta = \inf A\"
\n\"\ast\" \"\forall \, a \in A ,\, \beta \leq a\"
\n\"\ast\" \"\forall \, n \in \mathbb{N}\", \"\displaystyle \beta + \frac 1 {n + 1} > \beta\" donc n’est pas un minorant de \"A\", il existe donc \"a_n \in A\" tel que\u00a0\u00a0\"\displaystyle \beta \leq a_n < \beta + \frac 1 {n + 1}\".
\nPar encadrement, \"\displaystyle \lim _{n \to +\infty} a_n = \beta\".<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que\u00a0\"\forall \, a \in A ,\, \beta \leq a\" et qu’il existe une suite \"(a_n)_n\" de \"A\" qui converge vers \"\beta\".
\nSoit \"\beta < \gamma\". On traduit \"\displaystyle \lim _{n \to +\infty} a_n = \beta\" , en prenant \"\varepsilon = (\gamma - \beta) / 2\",\u00a0il existe \"N \in \mathbb{N}\" tel que si \"n \geq N\", \"\quad \quad \vert a_n - \beta \vert \leq \varepsilon\"\u00a0\"\Rightarrow \displaystyle a_n - \beta \leq \frac {\gamma - \beta} 2\"
\nen particulier \"\displaystyle a_N \leq \frac {\gamma + \beta} 2 < \gamma\".
\nOn a prouv\u00e9 que \"\gamma\" n’est pas un minorant de \"A\".<\/p>\n

👍 seule l’implication :
\nSi \"A\" est une partie minor\u00e9e non vide de \"\mathbb{R}\",
\n\"\beta = \inf A\" \"\Rightarrow\" Il existe une suite \"(a_n)_n\" de \"A\" qui converge vers \"\alpha\"
\nest au programme.
\nC’est en fait l’implication la plus utile.<\/p>\n

👍 Si l’ensemble \"A\" admet une borne inf\u00e9rieure \"m\",
\n\"\ast\" si \"m'\" est un r\u00e9el tel que pour tout \"a \in A\", \"a \geq m'\", \"m'\" est un minorant de \"A\", donc \"m' \leq m\".
\n\"\ast\" en introduisant une suite bien choisie \"(a_n)_n\" de \"A\", si cette suite converge vers \"L\", en \u00e9crivant que pour tout \"n \in \mathbb{N}\" , \"a_n \geq m\" et en passant \u00e0 la limite, on obtient \"L \geq m\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" est une partie non vide de \"\mathbb{R}\"
\n\"\alpha = \max A\" ssi \"\alpha \in A\" et \"\alpha = \sup A\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" est une partie non vide de \"\mathbb{R}\"
\n\"\beta= \min A\" ssi \"\beta \in A\" et \"\beta = \inf A\".<\/p>\n

exemple<\/b>\u00a0: si \"a , \, b\" sont r\u00e9els et v\u00e9rifient \"a < b\", \"[a , b [\" est un intervalle born\u00e9, admettant une borne sup\u00e9rieure \"a\", mais pas de plus grand \u00e9l\u00e9ment, et admet un plus petit \u00e9l\u00e9ment \u00e9gal \u00e0 \"b\".<\/p>\n

6. Utiliser la partie enti\u00e8re<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"x \in \mathbb{R}\",
\n\"\ast\" \"\lfloor x \rfloor\" est l’unique \u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{Z}\" tel que \"\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1\".
\n\"\ast\" C’est aussi l’unique \u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{Z}\" tel que \"x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x\".
\n\"\ast\" C’est l’unique \u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{Z}\" tel que \"x = \lfloor x \rfloor + \alpha\" o\u00f9 \"\alpha \in [0 \, , \, 1[\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"x_n = \lfloor x . 10 ^n \rfloor . 10 ^{-n}\" v\u00e9rifie
\n\"\ast\" \"x_n \leq x < x_n + 10 ^{- n}\".
\nOn dit que \"x_n\" est la\u00a0valeur approch\u00e9e par d\u00e9faut de<\/i>\u00a0\"x\" \u00e0 \"10 ^{-n}\" pr\u00e8s et que \"x_n + 10 ^{- n}\" est la\u00a0valeur approch\u00e9e par exc\u00e8s<\/i>\u00a0de \"x\" \u00e0 \"10^{-n}\" pr\u00e8s.
\n\"\ast\" La suite \"(x_n)_n\" est une suite de rationnels qui converge vers \"x\".<\/p>\n

\"\bullet\" La fonction<\/a> \"x \mapsto \lfloor x \rfloor\" est croissante sur \"\mathbb{R }\" et v\u00e9rifie
\n\"\quad \forall \, x \in \mathbb{R},\, \lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" Cons\u00e9quence pour d\u00e9montrer qu’une expression \"f(x)\" d\u00e9pendant de\u00a0la partie enti\u00e8re<\/i>\u00a0est nulle, il suffit de trouver une p\u00e9riode \"P\" de \"f\" et de d\u00e9montrer que \"f(x) = 0\" si \"x \in [0 ,\, P[\".<\/p>\n

exemple<\/b>
\nCalculer \"\displaystyle \left \lfloor x + \frac 1 2 \right \rfloor- \left \lfloor x - \frac 1 2 \right \rfloor\".<\/p>\n

Correction<\/strong><\/p>\n

Soit \"f(x) = \displaystyle \left \lfloor x + \frac 1 2 \right \rfloor- \left \lfloor x - \frac 1 2 \right \rfloor\".
\nEn utilisant \"\forall\, y \in \mathbb {R}, \lfloor y + 1 \rfloor = \lfloor y \rfloor + 1\",
\nOn obtient pour tout \"x \in \mathbb{R}\",
\n\"f(x + 1) = \displaystyle \left \lfloor x + \frac 1 2 \right \rfloor + 1 - \left \lfloor x - \frac 1 2 \right \rfloor - 1\"
\n\"f(x + 1) = f(x)\".
\n\"f\" est 1-p\u00e9riodique
\n\"\ast\" Si \"x \in [0 , 1/2[,\, x + 1/2 \in [1/2 , 1[\" et \"x - 1/2 \in [-1/2 \, , \, 0[\", \"f(x) = 0 - (-1) = 1\"
\n\"\ast\" Si \"x \in [1/2 , 1[, \, x + 1/2 \in [1 , 3/2[\" et \"x - 1/2 \in [0 \, , \, 1/2[\", \"f(x) = 1 - 0 = 1\".<\/p>\n

\"\forall\, x \in [0 , 1[,\, f(x) = 1\".
\nPar 1-p\u00e9riodicit\u00e9, le r\u00e9sultat est valable pour tout r\u00e9el \"x\".<\/p>\n

7. Intervalle de \"\mathbb{R}\"<\/h3>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que qu’une partie non vide \"I\" de \"\mathbb{R}\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\", on prouve que si \"(a , b) \in I^2\" avec \"a \leq b\" \"[a , b] \subset I\" c’est \u00e0 dire que \"\quad \forall\, t \in [0 , 1], t \, a + (1 - t) \ b \in I\".<\/p>\n

\"\bullet\" Tout intervalle ouvert non vide de \"\mathbb{R}\" contient un rationnel (et un d\u00e9cimal) et un irrationnel.
\nOn dit que l’ensemble des d\u00e9cimaux, \"\mathcal{Q}\" et \"\mathcal{R} \setminus \mathcal{Q}\" sont denses dans \"\mathcal{R}\".<\/p>\n

Poursuivez vos r\u00e9visions avec les chapitres suivants du programme de math\u00e9matiques en Maths Sup :<\/p>\n