{"id":37432,"date":"2019-10-29T17:14:01","date_gmt":"2019-10-29T16:14:01","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37432"},"modified":"2023-05-04T14:10:53","modified_gmt":"2023-05-04T13:10:53","slug":"cours-en-ligne-nombres-reels-maths-sup-exercices-corriges","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-nombres-reels-maths-sup-exercices-corriges\/","title":{"rendered":"Nombres r\u00e9els en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Exercices corrig\u00e9s sur les Nombres r\u00e9els en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices : In\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz<\/span><\/h2>\n
\n

1. Sur la partie enti\u00e8re
\n2. In\u00e9galit\u00e9s
\n3. Parties born\u00e9es
\n4. In\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz<\/p>\n

Ces exercices sur les nombres r\u00e9els sont classiques et incontournables pour certains. Il est primordial de bien comprendre le cours et de savoir traiter ces exercices pour la suite de maths sup. Si vous souhaitez aller plus loin et exceller, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 demander \u00e0 Groupe R\u00e9ussite de vous mettre en relation avec un professeur pour des cours particuliers de maths \u00e0 domicile<\/a>.<\/p>\n

1. Sur la partie enti\u00e8re en MPSI, PCSI, MP2I et PTSI<\/h2>\n

Exercice 1 <\/b><\/p>\n

\"\forall\, x \in \mathbb{R},\, \lfloor - x \rfloor = - \lfloor x \rfloor\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : La propri\u00e9t\u00e9 est fausse si \"x \notin \mathbb{Z}\", mais juste si \"x \in \mathbb{Z}\".<\/p>\n

On suppose que \"x \notin \mathbb{Z}\". On note \"x = n + \alpha\" avec \"n \in \mathbb{Z}\" et \"0 < \alpha < 1\"
\ndonc \"-x = -n - \alpha = - n - 1 + (1 - \alpha)\" avec \"-n - 1 \in \mathbb{Z}\" et \"0 \leq 1 - \alpha < 1\"
\ndonc \"\forall\, x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z} ,\, \lfloor - x \rfloor = - \lfloor x \rfloor - 1\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b><\/p>\n

\"\forall\, x \in \mathbb{R}, \, \lfloor 2\, x \rfloor- 2 \, \lfloor x \rfloor \in \{0 \,, \, 1\}\"<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On rappelle quei \"\forall\, n \in \mathbb{Z}, \, \forall\, x \in \mathbb{R}, \, \lfloor x + n\rfloor = \lfloor x \rfloor + n\".<\/p>\n

\"\bullet\" Premi\u00e8re m\u00e9thode <\/b><\/div>\n
<\/div>\n
On raisonne par encadrement.<\/div>\n
<\/div>\n
\"2 \, x - 1 < \lfloor 2\, x \rfloor \leq 2\, x\, \quad (1)\"<\/div>\n
<\/div>\n
et \"x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x\"<\/div>\n
<\/div>\n
donc \"2 \, x - 2 < 2\, \lfloor x \rfloor \leq 2\,x\"<\/div>\n
<\/div>\n
puis \"- 2\, x\leq - 2\, \lfloor x \rfloor < - 2\,x +2 \quad (2)\"<\/div>\n
<\/div>\n
par somme des deux in\u00e9galit\u00e9s (1) et (2),<\/div>\n
<\/div>\n
\"\quad \quad -1 < \lfloor 2\, x \rfloor- 2 \, \lfloor x \rfloor < 2\".<\/div>\n
<\/div>\n
Comme \"\lfloor 2\, x \rfloor- 2 \, \lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z}\",<\/div>\n
<\/div>\n
\"\quad \quad \quad \lfloor 2\, x \rfloor- 2 \, \lfloor x \rfloor \in \{0 \, 1\}\".<\/div>\n
\n

 <\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Autre m\u00e9thode<\/b> :<\/p>\n

On utilise la p\u00e9riodicit\u00e9 \"T\" de la fonction \"f\" ainsi d\u00e9finie et et on \u00e9tudie \"f\" sur \"[0 , \, T[\".<\/p>\n

Soit si \"x \in \mathbb{R}\",\u00a0 \"f(x) = \lfloor 2\, x \rfloor- 2 \, \lfloor x \rfloor\"<\/p>\n

\"f(x + 1) = \lfloor 2\, x + 2 \rfloor- 2 \, \lfloor x + 1 \rfloor\"<\/p>\n

Par le rappel,<\/p>\n

\"f(x + 1) = \lfloor 2\, x \rfloor + 2 - 2 \, \lfloor x \rfloor - 2\"<\/p>\n

\"\forall\, x \in \mathbb{R}, \, f(x + 1) = f(x)\".<\/p>\n

\"f\" est 1-p\u00e9riodique .<\/p>\n

\"\ast\" si \"x \in [0 , 1/2[,\, 2 \, x \in [0 , 1[\", et \"\quad \quad f(x) = 0 - 2 . 0 = 0\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"x \in [1/2 , 1[, \, 2 \, x \in [1 , 2[\", et \"\quad \quad f(x) = 1 - 2 . 0 = 1\"<\/p>\n

si \"x \in [0 , 1[\", \"f(x) \in \{0 \, , \, 1\}\".<\/p>\n

Par 1-p\u00e9riodicit\u00e9, le r\u00e9sultat est valable pour tout r\u00e9el \"x\".<\/p>\n<\/div>\n

Exercice 3<\/b><\/p>\n

Si \"n\" et \"p \in \mathbb{Z}\", calculer<\/p>\n

\"\quad a_n = \displaystyle\left \lfloor \frac {n +p} 2 \right \rfloor + \left \lfloor \frac {n - p + 1} 2 \right \rfloor\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : Les entiers \"n + p\" et \"n - p\" sont de m\u00eame parit\u00e9 (car leur somme \"2 \, n\" est paire).<\/p>\n

\"\bullet\" Cas o\u00f9\u00a0 \"n + p\" et \"n - p\" sont pairs.<\/p>\n

On \u00e9crit \"n + p = 2 \, q\" et \"n - p = 2\, q'\" avec \"(q , \, q') \in \mathbb{Z }^2\"<\/p>\n

donc \"n - p + 1 = 2\, q' + 1\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \frac {n +p} 2 \ = q\" et \"\displaystyle \frac {n -p +1 } 2 \ = q' + \frac 1 2\"<\/p>\n

\"a_n = q + q'\"<\/p>\n

or par somme de \"n + p = 2 \, q\" et \"n - p = 2\, q'\", \"2 \, n = 2 \, q + 2 \, q'\"<\/p>\n

donc \"a_n = n\".<\/p>\n

\"\bullet\" Cas o\u00f9 \"n + p\" et \"n - p\" sont impairs.<\/p>\n

On \u00e9crit \"n + p = 2 \, q + 1\" et \"n - p = 2\, q' + 1\" avec \"(q ,\, q') \in \mathbb{Z }^2\"<\/p>\n

donc \"n - p + 1 = 2\, q+ 2\"<\/p>\n

\"\displaystyle \frac {n +p} 2 \ = q + \frac 1 2\" et \"\displaystyle \frac {n -p +1 } 2 \ = q' + 1\"<\/p>\n

\"a_n = q + q ' +1\"<\/p>\n

or par somme de \"n + p = 2 \, q +1\" et \"n - p = 2\, q'+1\", \"2\, n = 2 \, q + 2\, q' +2\"<\/p>\n

donc \"a_n = n\".<\/p>\n

Dans les deux cas, \"a_n = n\".<\/p>\n

Exercice 4 <\/b><\/p>\n

Pour tout \"n \in \mathbb{N}\",<\/p>\n

\"\quad \displaystyle \left \lfloor \left (\, \sqrt{n} + \sqrt{n + 1} \, \right ) ^2 \right \rfloor \, = \, 4\, n + 1\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

\"\displaystyle a_n = \left (\, \sqrt{n} + \sqrt{n + 1} \, \right ) ^2\"<\/p>\n

\"a _n = n + n + 1 + 2 \sqrt{n(n + 1)}\"<\/p>\n

puis \"n ^2 \leq n ^2 + n < (n + 1/2)^2\"<\/p>\n

donc \"n \leq \sqrt{n(n + 1)} < n + 1/2\"<\/p>\n

et \"4 \, n + 1 \leq a_n < 2 \, n + 1 + 2\, n + 1\"<\/p>\n

ce qui donne \"\lfloor a_n \rfloor = 4 \, n + 1\" .<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
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\n\t\t\t

PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

2. In\u00e9galit\u00e9s des nombres r\u00e9els en prepa maths sup<\/h2>\n
\n

Exercice 1<\/b><\/p>\n

Soit \"n \in \mathbb{N}^*\".<\/p>\n

Montrer que \"\displaystyle (n!)^2 = \prod_{k = 1} ^{n} k(n - k + 1)\"<\/p>\n

En d\u00e9duire que \"\sqrt{n} \leq (n!) ^{1/n} \leq \displaystyle\frac {n + 1} 2\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle n! = \prod_{k = 1} ^{n} k = \prod_{p = 1} ^{n} (n - p + 1)\"<\/p>\n

par changement d’indice :<\/p>\n

\"k = n - p + 1\" ssi \"p = n - k + 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" On introduit la fonction \"f : x \mapsto x(n + 1 - x)\" d\u00e9finie sur \"[1 , n]\"<\/p>\n

\"f'(x) = n + 1 - 2\, x\".<\/p>\n

\"f\" est croissante sur \"[1 , (n + 1)/2]\" et d\u00e9croissante sur \"[(n + 1) / 2 , n]\", elle admet donc un maximum en \"(n + 1)/2\"<\/p>\n

et \"\displaystyle f \left ( \frac {n + 1} 2 \right ) = \frac {(n + 1)^2} 4\".<\/p>\n

Le minimum de \"f\"\u00a0 est \u00e9gal \u00e0 \"n\" car \"f(1) = f(n) = n\".<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant \"0 < n \leq k(n - k + 1) \leq \displaystyle \frac{(n + 1) ^2} 4\"<\/p>\n

et par produit de ces \"n\" in\u00e9galit\u00e9s :<\/p>\n

\"\quad \quad \displaystyle n ^n \leq (n!)^2 \leq \frac{(n + 1) ^{2 n} } {4^n}\"<\/p>\n

puis comme la fonction \"x \mapsto x ^{1 / (2n)}\" est croissante<\/p>\n

\"\quad \quad \displaystyle \sqrt{n} \leq (n! ) ^{1/n} \leq \frac{n + 1} 2\".\u00a0<\/span><\/p>\n

Exercice 2 <\/b><\/p>\n

Peut on d\u00e9terminer des r\u00e9els \"m\" tels que la fonction polyn\u00f4me<\/a> \"P\" d\u00e9finie par<\/p>\n

\"\;(m + 1)x ^2 - 2( m - 1) x + 3 m + 6\" soit n\u00e9gative ou nulle pour tout r\u00e9el \"x\" ? Est-ce Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Si \"m = - 1\" , \"4\, x + 3\" s’annule en changeant de signe en \"-3/4\", donc \"m = - 1\" ne convient pas.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"m \neq - 1\",<\/p>\n

\"\Delta = 4 (m - 1) ^2 - 4(3\, m + 6) (m + 1)\"<\/p>\n

\"\Delta = 4 (m ^2 - 2 \, m + 1 - 3\, m ^2 - 9 \, m - 6)\"<\/p>\n

\"\Delta = - 4( 2 \, m ^2 + 11\, m + 5)\"<\/p>\n

\"\Delta = - 4( m + 5)(2 \, m + 1)\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\Delta >0\" ssi \"- 5 < m < - 1/2\" , \"P\" s’annule en changeant de signe, donc \"m\" ne convient pas.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\Delta = 0\", \"P\" est du signe du coefficient de \"x^2\"\u00a0\u00a0donc du signe de \"m + 1\"<\/p>\n

\"P(x)\leq 0 \" ssi \"m = - 5\" et \"P(x) > 0\" si \"m = - 1/2\" et \"x \neq - 3\" (\"-3\" est la racine double de \"P\").<\/p>\n

Si \"\Delta < 0\", \"P\" ne s’annule pas et est du signe du coefficient \"m + 1\" de \"x^2\".<\/p>\n

Si \"m < - 5, \, P(x) < 0\".<\/p>\n

Si \"m > - 1/2, \, P(x) > 0\".<\/p>\n

En conclusion, \"P(x) \leq 0\" pour tout \"x\" ssi \"m \leq - 5\".\u00a0<\/span><\/p>\n

Exercice 3<\/b><\/p>\n

Suivant les valeurs du r\u00e9el \"m\", \u00e9tudier l’existence et le signe des racines r\u00e9elles de l’\u00e9quation<\/a><\/p>\n

\"(m - 1) x^2 - 2(m + 1) x + 4 m + 1 = 0\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Si \"m = 1\", l’\u00e9quation s’\u00e9crit \"- 4\, x + 5 = 0\", elle admet une seule racine positive.<\/p>\n

On suppose dans la suite<\/a> que \"m \neq 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\Delta = 4(m + 1) ^2 - 4 (m - 1) (4 \,m + 1) )\"<\/p>\n

\"\Delta = 4 (m ^2 + 2 m + 1 - 4 m ^2 + 4 m - m + 1)\"<\/p>\n

\"\Delta = 4 ( - 3\, m ^2 + 5 \, m + 2)\"<\/p>\n

\"\Delta = 8 (2 - m) (3 \, m + 1)\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\Delta < 0\" lorsque \"m < - 1/3\" ou \"m > 2\", il n’y a pas de racine r\u00e9elle.<\/p>\n

\"\ast\" \"\Delta = 0\" ssi \"m = 2\" ou \"m = - 1/3\"<\/p>\n

Si \"m = 2\", on obtient une racine double \u00e9gale \u00e0 3 et si \"m = - 1/3\" \u00e9gale \u00e0 \"-1/2\".<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"\Delta > 0\" soit \"- 1/3 < m < 2\".<\/p>\n

\"\ast\" La somme des racines est \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle S = \frac {2(m+ 1)} {m - 1}\" avec \"m + 1 > 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Le produit<\/a> des racines est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle P = \frac {4 \, m + 1} {m - 1}\".<\/p>\n

On est amen\u00e9 \u00e0 placer \"m\" par rapport \u00e0 \"-1/4\" et \"1\".<\/p>\n

… Si \"- 1/3 < m < - 1/4\", \"4\, m + 1 < 0\", \"m + 1 > 0\" et \"m - 1 < 0\", \"P > 0\" et \"S < 0\". Les deux racines sont n\u00e9gatives.<\/p>\n

… Si \"m = - 1/4\", \"P = 0\" et \"S < 0\", une racine est nulle, l’autre est strictement n\u00e9gative.<\/p>\n

… Si \"- 1/4 < m < 1\", \"S < 0\" et \"P < 0\". Les deux racines sont de signe oppos\u00e9.<\/p>\n

… Si \"1 < m < 2\", \"S > 0\" et \"P > 0\". Les deux racines sont strictement positives.<\/p>\n

3. Parties born\u00e9es en prepa MPSI, PTSI, PCSI et MP2I<\/h2>\n

Exercice 1<\/b><\/p>\n

\"A = \left \{ 3 - \displaystyle \frac 1 {2 ^n} \, , \, n \in \mathbb{N}\right \}\"<\/p>\n

est une partie de \"\mathbb{R}\" n’admettant pas de plus grand \u00e9l\u00e9ment mais telle que \"\sup A = 3\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" avait un plus grand \u00e9l\u00e9ment, il existerait \"p \in \mathbb{N}\" tel que \"3 - \displaystyle \frac 1 {2 ^p} = \max A\", alors on devrait avoir en particulier<\/p>\n

\"\displaystyle 3 - \frac 1 {2 ^{p + 1} } \; \leq 3 - \frac 1 {2 ^p}\"<\/p>\n

donc \"\displaystyle \frac 1 {2 ^p} \leq \frac 1 {2 ^{p + 1} }\" ce qui implique<\/p>\n

\"2 ^{p + 1} \leq 2 ^p\" ce qui est absurde .<\/p>\n

\"\bullet\" \"A\" est une partie de \"\mathbb{R}\", non vide et major\u00e9e par 3. Elle admet une borne sup\u00e9rieure v\u00e9rifiant<\/p>\n

\"\sup A \leq 3\".<\/p>\n

Pour tout \"\gamma < 3\", on d\u00e9montre que \"\gamma\" n’est pas un majorant de \"A\" en cherchant \"n\in \mathbb{N}\" tel que \"\displaystyle 3 - \frac 1 {2 ^n} > \gamma\"<\/p>\n

c’est \u00e9quivalent \u00e0 \"\displaystyle \frac 1 {2 ^n} < 3 - \gamma\".<\/p>\n

Comme on compare des r\u00e9els strictement positifs, c’est \u00e9quivalent \u00e0<\/p>\n

ssi \"\displaystyle \frac 1 {3 - \gamma} < 2 ^n\".<\/p>\n

La fonction<\/a> \"\ln\" \u00e9tant strictement croissante, on a la CNS<\/p>\n

ssi \"\displaystyle \ln \left ( \frac 1 {3 - \gamma} \right ) < \ln (2 ^n)\"<\/p>\n

ssi \"- \ln (3 - \gamma) < n \ln (2)\"<\/p>\n

en divisant par \"\ln(2) > 0\"<\/p>\n

ssi \"n > \displaystyle \frac {- \ln (3 - \gamma)} {\ln(2)}\"<\/p>\n

Il suffit de choisir \"n = \displaystyle \left \lfloor \frac {- \ln (3 - \gamma)} {\ln(2)} \right \rfloor + 1\" si c’est un entier positif et \"n\" = 0 sinon.<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"3 = \sup A\".\u00a0\u00a0<\/span><\/p>\n

Exercice 2<\/b><\/p>\n

Soient \"A\" et \"B\" deux parties non vides de \"\mathbb{R}\" telles que \"A \subset B\".<\/p>\n

Si \"B\" est born\u00e9e, \"A\" est born\u00e9e et<\/p>\n

\"\quad \sup A \leq \sup B\" et \"\inf B \leq \inf A\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"B\" est une partie born\u00e9e non vide de \"\mathbb{R}\", on peut d\u00e9finir \"M = \sup B\" et \"m = \inf B\".<\/p>\n

Pour tout \"a \in A\", \"a \in B\", donc \"m \leq a \leq M\"<\/p>\n

\"A\" est born\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" \"m\" est un minorant de \"A\", il est donc inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 la borne inf\u00e9rieure de \"A\", soit \"m \leq \inf A\" donc \"\inf B \leq \inf A\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"M\" est un majorant de \"A\", donc il est sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 la borne sup\u00e9rieure de \"A\", donc \"\sup A \leq M\", soit \"\quad \quad \quad \quad \sup A \leq \sup B\".<\/p>\n

Exercice\u00a0 3<\/b>
\nSoient \"a , b\" deux r\u00e9els non tous les deux nuls. On note \"\quad A = \{ a \cos(x) + b \sin(x) \, / \, x \in \mathbb{R} \}\".<\/p>\n

\"A\" admet un minimum et un maximum. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On introduit le complexe<\/a> non nul \"a + \textrm{i} \, b\" et sa forme exponentielle <\/a><\/p>\n

\"a + \textrm{i} \, b = \rho \;\textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t}\" avec \"\rho = \sqrt{a ^2 + b ^2} > 0\" et \"t \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Alors<\/p>\n

\"a \cos(x) + b \sin(x) =\" \"\quad \quad \rho \, ( \cos(t) \cos(x) + \sin(t) \sin(x))\"<\/p>\n

donc \"A = \{ \rho \cos(x - t) \, / \, x \in \mathbb{R} \}\".<\/p>\n

\"\cos(x - t)\" d\u00e9crit \"[- 1 ,\, 1]\" si \"x\" d\u00e9crit \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\max A\" et \"\min A\" existent et \"\max A = \rho = \sqrt{a ^2 + b ^2}\", \"\min A= - \rho = - \sqrt{a ^2 + b ^2}\".\u00a0<\/span><\/p>\n

Exercice 4\u00a0<\/b>
\nSoient \"A\" une partie borne non vide de \"\mathbb{R}\".\u00a0On note \"B = \{ - a \,/ \, a \in A\}\".
\n\"\sup B = - \inf A\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"A\" est une partie born\u00e9e non vide de \"\mathbb{R}\". On peut introduire \"M = \sup A\" et \"m = \inf A\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\forall\, b \in B\", on \u00e9crit \"b = - a\" avec \"a \in A\", donc \"m \leq a \leq M\" et alors \"\quad \quad \quad - M \leq b \leq - m\".
\n\"B\" est une partie born\u00e9e non vide de \"\mathbb{R}\" admettant \"- M\" pour minorant et \"- m\" pour majorant.
\ndonc \"- M \leq \inf B\" et \"\sup B \leq - m\".
\nsoit \"- \sup A \leq \inf B\" et \"\sup B \leq - \inf A\".<\/p>\n

\"\bullet\" Puis en introduisant \"\quad \quad \quad B' = \{ - b \, / \, b \in B \} = A\",
\nle raisonnement<\/a> pr\u00e9c\u00e9dent donne en \u00e9changeant \"A\" et \"B\",
\n\"\quad - \sup B \leq \inf A\" et \"\sup A \leq - \inf B\".
\nSoit \"- \inf A \leq \sup B\" et \"\inf B \leq -\sup A\".<\/p>\n

Par double in\u00e9galit\u00e9,
\n\"\quad - \sup A = \inf B\" et \"\sup B = - \inf A\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

4. In\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz en prepa maths sup<\/h2>\n

Exercice 1<\/b><\/p>\n

On suppose que \"n \in \mathbb{N}^*\" et que \"(a _ 1 \, , \cdots \, , \, a_n)\" et \"(b _ 1 \, , \cdots \, , \, b_n)\" sont deux familles de r\u00e9els.<\/p>\n

Question 1 <\/i><\/p>\n

Soit \"t \in \mathbb{R}\" et \"P(t) = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n ( t \, a_k + b_k) ^2\"<\/p>\n

En d\u00e9veloppant \"P(t)\", montrer l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz :<\/p>\n

\"\displaystyle \left ( \sum _{k = 1 } ^n a_k \, b_k \right ) ^2 \leq \left ( \sum _ {k = 1} ^n a_k ^2 \right ) \left ( \sum _ {k = 1} ^n b_k ^2 \right )\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"P(t) = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n ( t \, a_k + b_k) ^2\"<\/p>\n

\"\; = \displaystyle t ^2 \sum _{k = 1} ^n a_k ^2 + 2 t \, \sum _{k = 1} ^n a_k \, b_k + \sum _ {k = 1} ^n b_k ^2\"<\/p>\n

Expression que l’on \u00e9crit sous la forme<\/p>\n

\"P(t) = A \, t ^2 + 2 \, B \, t + C\".<\/p>\n

On doit avoir pour tout r\u00e9el \"t\", \"P(t) \geq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A = 0\", comme somme nulle de r\u00e9els positifs ou nuls, on en d\u00e9duit que<\/p>\n

\"\forall\, k \in [\![1 , \, n]\!], a_k = 0\"\u00a0 et l’in\u00e9galit\u00e9 est \u00e9vidente, car elle s’\u00e9crit \"0 \leq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A \neq 0\", \"P\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 2 qui est positive ou nulle pour tout \"t\", donc<\/p>\n

\"\Delta \leq 0\" soit \"B ^2 - A\, C \leq 0\" ce qui est l’in\u00e9galit\u00e9 demand\u00e9e. \u00a0<\/span><\/p>\n

Question 2<\/i><\/p>\n

L’in\u00e9galit\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente est une \u00e9galit\u00e9 si, et seulement si,<\/p>\n

\"\quad \quad \; \; \forall\, k \in [\![1 , n]\!] , \, a_k = 0\"<\/p>\n

\"\quad\" ou \"\exists \, \lambda\in \mathbb{R}\", \"\forall k \in [\![1 , n]\!] , \, b_k = \lambda \, a_k \,\".<\/p>\n

\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On garde les notations de la d\u00e9monstration de la question pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"A = 0\", il y a \u00e9galit\u00e9 et cela correspond \u00e0 la CNS : \"\forall \, k , a_k = 0\" .<\/p>\n

\"\ast\" Si \"A \neq 0\" et s’il y a \u00e9galit\u00e9, le discriminant de l’\u00e9quation est nul, donc il existe \"\mu \in \mathbb{R},\"<\/p>\n

\"P(\mu) = 0\" soit comme somme nulle de r\u00e9els positifs ou nuls, \"\forall\, k ,\, \mu\, a_k + b_k = 0\" donc \"b_k = - \mu \, a_k\"<\/p>\n

On d\u00e9montre la r\u00e9ciproque.<\/p>\n

On suppose qu’il existe \"\lambda \in \mathbb{R},\"\u00a0 \"\quad \quad \forall k \in [\![1 , n]\!] , \, b_k = \lambda \, a_k \;\".<\/p>\n

\"\displaystyle \sum _{k = 1 } ^n a_k \, b_k = \lambda \sum _{k = 1 } ^n a_k^2\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \sum _{k = 1 } ^n b_k ^2 = \lambda^2 \sum _{k = 1 } ^n a_k^2\".
\nL’\u00e9galit\u00e9 est alors \u00e9vidente.<\/p>\n

Conclusion\u00a0<\/b>:
\nIl y a \u00e9galit\u00e9 ssi \"\forall k \in [\![1 \, , \, n]\!],\, a_k = 0\"\u00a0 ou \"\exists\, \lambda \in \mathbb{R}, \, \forall\, k\in [\![1 \, , \, n]\!],\, b_k = \lambda\, a_k\;\".<\/p>\n

Il est \u00e9vident que l’on peut \u00e9changer les deux familles \"a\" et \"b\" dans la condition pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n

Exercice 2<\/b> Deuxi\u00e8me d\u00e9monstration<\/b><\/p>\n

On suppose que \"n \in \mathbb{N}\" et que \"(a _ 1 \, , \cdots \, , \, a_n)\" et \"(b _ 1 \, , \cdots \, , \, b_n)\" sont deux familles de r\u00e9els.<\/p>\n

Question 1<\/i><\/p>\n

\"\forall \, (x,\, y) \in \mathbb{R}^2 \" , \"\vert x \, y \vert \displaystyle \leq \frac 1 2 (x ^2 + y ^2)\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\displaystyle \frac {x^2 + y ^2 } 2 - \vert x \, y \vert = \frac {(\vert x \vert - \vert y \vert ) ^2} 2 \geq 0\" .<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/i><\/p>\n

\"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \vert a_k \, b_k \vert \leq \frac 1 2 \sum _ {k = 1} ^n (a_k ^2 + b_k ^2)\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On additionne les \"n\" in\u00e9galit\u00e9s<\/p>\n

\"\vert a_k \, b_k \vert \leq \displaystyle \frac 1 2 (a_k ^2 + b_k ^2)\".<\/p>\n

Question 3\u00a0<\/b><\/p>\n

On suppose que les deux familles \"(a _ 1 \, , \cdots \, , \, a_n)\" et \"(b _ 1 \, , \cdots \, , \, b_n)\" contiennent au moins un \u00e9l\u00e9ment non nul.<\/p>\n

Soit \"A = \displaystyle\sqrt{ \sum _ {k = 1} ^n a_k ^2}\" et \"B = \displaystyle \sqrt{\sum _ {k = 1} ^n b_k ^2}\".<\/p>\n

En utilisant les r\u00e9els \"\displaystyle x_k = \frac {a_k} A\" et \"\displaystyle y_k =\frac {b_k } B\" si\u00a0 \"1 \leq k \leq n\", d\u00e9montrer l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz :<\/p>\n

\"\displaystyle \left ( \sum _{k = 1 } ^n a_k \, b_k \right ) ^2 \leq \left ( \sum _ {k = 1} ^n a_k ^2 \right ) \left ( \sum _ {k = 1} ^n b_k ^2 \right )\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n x_k ^2 = \frac 1 {A ^2} \sum _{k = 1} ^{n} a_k ^2 = 1\"<\/p>\n

de m\u00eame \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n y_k ^2 = \frac 1 {B ^2} \sum _{k = 1} ^{n} b_k ^2 = 1\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \vert x_k \, y_k \vert \leq \frac 1 2 \sum _ {k = 1} ^n (x_k ^2 + y_k ^2) \leq 1\"<\/p>\n

donne \"\displaystyle \frac 1 {A B} \sum _ {k = 1} ^n \vert a_k \, b_k \vert \leq 1\"<\/p>\n

soit \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \vert a_k \, b_k \vert \leq A \, B\".<\/p>\n

Par l’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire,<\/p>\n

\"\quad \displaystyle \left \vert \sum _ {k = 1} ^n a_k \, b_k \right \vert \leq \sum _ {k = 1} ^n \vert a_k \, b_k \vert \leq A \, B\"<\/p>\n

puis en \u00e9levant au carr\u00e9,<\/p>\n

\"\displaystyle \left ( \sum _ {k = 1} ^n a_k \, b_k \right ) ^2 \leq \left ( \sum _ {k = 1} ^n a_k ^2 \right ) \, \left ( \sum _ {k = 1} ^n b_k ^2 \right )\"<\/p>\n

On a donc obtenu une autre d\u00e9monstration de l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz dans le cas de deux familles de r\u00e9els non tous nuls.<\/p>\n

Si l’une des familles est nulle, l’in\u00e9galit\u00e9 est \u00e9vidente car elle s’\u00e9crit \"0 \leq 0\".<\/p>\n<\/div>\n

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