{"id":37441,"date":"2019-10-29T19:35:34","date_gmt":"2019-10-29T18:35:34","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37441"},"modified":"2023-09-15T17:58:48","modified_gmt":"2023-09-15T16:58:48","slug":"cours-en-ligne-ensembles-et-applications-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-ensembles-et-applications-maths-sup\/","title":{"rendered":"Ensembles et applications en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Ensembles et applications en Maths Sup MP2I, MPSI, PCSI, PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Ensembles et applications en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1. Raisonnements sur les ensembles
\n2. Raisonnements sur les applications
\n3. Image directe et image r\u00e9ciproque
\n4. Relations d’\u00e9quivalence et d’ordre
\n5. Lois internes
\n6. Structures<\/p>\n

Ce chapitre fait partie des fondamentaux de l’ann\u00e9e de maths sup. Les raisonnements et les propri\u00e9t\u00e9s qui seront travaill\u00e9es en classe de MPSI, PCSI, PTSI ou encore de MP2I vous serviront durant les deux ann\u00e9es de CPGE. Pour exceller, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 faire appel \u00e0 nos meilleurs professeurs de maths \u00e0 domicile<\/a> qui vous aideront \u00e0 maitriser tous les \u00e9l\u00e9ments de ce chapitre.<\/p>\n

 <\/p>\n

1. Raisonnements sur les ensembles en MPSI, MP2I, PCSI, PTSI<\/h2>\n

1.1. \u00c9galit\u00e9 et inclusion\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que l’ensemble \"E\" est inclus dans l’ensemble \"F\", on d\u00e9montre que tout \u00e9l\u00e9ment de \"E\" est \u00e9l\u00e9ment de \"F\".<\/p>\n

Il faut prendre\u00a0le bon d\u00e9part<\/b>\u00a0:
\nSi la propri\u00e9t\u00e9 \"P\" est vraie, pour d\u00e9montrer que \"E \subset F\", on part de \"x \in E\", pour arriver \u00e0 \"x \in F\", en utilisant dans la d\u00e9monstration la propri\u00e9t\u00e9 \"P\".
\nUn raisonnement consistant \u00e0 traduire l’hypoth\u00e8se \"P\" ne permet pas de prendre le bon d\u00e9part, donc ne permet pas de prouver l’inclusion attendue.<\/p>\n

exemple<\/i>\u00a0: Soient \"A , \, B ,\, C\" trois parties de \"E\". D\u00e9montrer que \"\quad \quad B \subset C \Rightarrow A \cup B \subset A \cup C\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Il faut s’assurer de prendre le bon d\u00e9part\u00a0 :\u00a0 on cherche \u00e0 prouver une inclusion.\u00a0<\/em>
\nOn part donc de : \"x \in A \cup B\",\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" lorsque \"x \in A\", \"x \in A \cup C\"\u00a0 car \"A \cup B \subset A \cup C\"<\/em>
\n\"\ast\" lorsque \"x \in B\", \"x \in C\" car \"B \subset C\" donc \"x \in A \cup C\".<\/em>
\nDans les deux cas, \"x \in A \cup C\".\u00a0<\/em>
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"A \cup B \subset A \cup C\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que l’ensemble \"E\" n’est pas inclus dans l’ensemble \"F\", on cherche un \u00e9l\u00e9ment de \"E\" qui n’est pas \u00e9l\u00e9ment de \"F\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour utiliser le fait que \"E\" n’est pas inclus dans \"F\", on introduit \"e \in E\" tel que \"e \notin F\".<\/p>\n

\"\bullet\" Il est parfois possible de d\u00e9montrer l’inclusion \"E \subset F\" en raisonnant directement sur les ensembles et en utilisant les propri\u00e9t\u00e9s de l’intersection et de la r\u00e9union.<\/p>\n

exemple<\/i>\u00a0: Soient \"A , \, B ,\, C\" trois parties de \"E\". \u00a0D\u00e9montrer que \"\quad \quad A \cup B \subset A \cap C \Rightarrow B \subset C\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :\u00a0On utilise la suite<\/a> d’inclusions\u00a0 \"\quad \quad B \subset A \cup B \subset A \cap C \subset C\"\u00a0<\/em>
\npour d\u00e9montrer que \"B \subset C\".<\/em><\/p>\n

Si l’on veut raisonner avec les \u00e9l\u00e9ments, on part de \"x \in B\".\u00a0<\/em>
\nAlors \"x \in B \cup A\", donc \"x \in A \cap C\" et en particulier \"x \in C\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que tout \u00e9l\u00e9ment \"x\" de \"B\" est \u00e9l\u00e9ment de \"C\", donc prouv\u00e9 que \"B \subset C\".\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que les ensembles \"E\" et \"F\" sont \u00e9gaux, il suffit de prouver que \"E \subset F\" et que \"F \subset E\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que les ensembles E et \"F\" sont diff\u00e9rents, il suffit de trouver un \u00e9l\u00e9ment \"x\" de \"E\" qui n’est pas dans \"F\" ou de trouver un \u00e9l\u00e9ment \"y\" de \"F\" qui n’est pas dans \"E\".<\/p>\n

\"\bullet\" Il est parfois possible de d\u00e9montrer l’\u00e9galit\u00e9 \"E = F\" en raisonnant directement sur les ensembles et en utilisant les propri\u00e9t\u00e9s des lois intersection et r\u00e9union.<\/p>\n

exemple<\/i>\u00a0: Soient \"A , B, X , Y\" quatre parties de \"E\". Si \"A \cup B = E\", \"\; \; A \cap X = A \cap Y\" et \"B \cap X = B \cap Y\",
\non peut \u00e9tablir directement que \"X = Y\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On suppose que \"A \cap X = A \cap Y\" et \"B \cap X = B \cap Y\" o\u00f9 \"A \cup B = E\".<\/em>
\n\"X = E \cap X = ( A \cup B) \cap X\" \"X = (A \cap X) \cup (B \cap X)\"<\/em>
\nEn utilisant les hypoth\u00e8ses :\u00a0<\/em>
\n\"X = (A \cap Y) \cup (B \cap Y)= ( A \cup B) \cap Y\"<\/em><\/p>\n

\"X = E \cap Y = Y\".<\/em><\/div>\n
\n

A ne pas confondre les diff\u00e9rentes notations.
\nSi \"E\" est un ensemble, si \"A\" et \"B\" sont deux parties de \"E\" et \"x\" un \u00e9l\u00e9ment de \"E\", on \u00e9crit :
\n\"\ast\" \"x \in A\" ou \"x \notin A\"
\n\"\ast\" \"A \subset E\" ou \"A \in \mathcal {P} (E)\"
\n\"\ast\" \"x \in E\" mais \"\{x \} \subset E\"
\n\"\ast\" si \"A\" est inclus dans \"B\", \"A \subset B\" ou \"A \in \mathcal {P} (B)\".
\nBien distinguer \u00ab\u00a0\"\in\"\u00a0\u00bb de \u00ab\u00a0\"\subset\"\u00ab\u00a0.<\/p>\n

1.2. Compl\u00e9mentaires<\/b>
\nD\u00e9finition<\/i>\u00a0:
\nSi \"A\" est une partie de \"E\", le compl\u00e9mentaire de \"A\" \"\quad \quad \quad E \setminus A = \overline {A} = C_E A\"
\nest l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"E\" qui ne sont pas dans \"A\".<\/p>\n

Manipuler correctement les compl\u00e9mentaires :
\n\"\ast\" \"\overline {\varnothing} = E\" et \"\overline {E} = \varnothing\"
\n\"\ast\" Si \"A \subset E\", \"\; \overline {\, \overline {A}\, } = A\"
\n\"\ast\" Si \"A \subset E\" et \"B \subset E\",
\n\"\; \; \overline{ A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\" et \"\overline{ A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\".
\n\"\ast\" Pour toute famille non vide \"(A_i)_{i \in I}\" de parties de \"E\".
\n\"\; \quad \displaystyle \overline{ \bigcup _{i \in I} A_i } = \bigcap_{i \in I} \overline {A_i}\" et \"\displaystyle \overline{ \bigcap _{i \in I} A_i } = \bigcup_{i \in I} \overline {A_i}\,\".<\/p>\n

Une formule utile :
\nSi \"A\" et \"B\" sont deux parties de \"E\", \"\quad \quad A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})\".
\nElle d\u00e9coule de \"\quad \quad A = A \cap E = A \cap (B \cup \overline{B})\".<\/p>\n

1.3. Propri\u00e9t\u00e9s de la r\u00e9union et l’intersection<\/b>\u00a0(PCSI)
\nSoit \"E\" un ensemble.
\nSi \"A , B , C\" sont trois parties de \"E\",
\n\"\bullet\" Associativit\u00e9 :
\n\"\quad \ast\" \"A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\".
\n\"\quad \ast\" \"A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\".<\/p>\n

\"\bullet\" Commutativit\u00e9
\n\"\quad \ast\" \"A \cup B = B \cup A\".
\n\"\quad \ast\" \"A \cap B = B \cap A\".<\/p>\n

\"\bullet\" Avec \"\varnothing\" et \"E\",
\n\"\quad \ast\" \"A \cup \varnothing = A\".
\n\"\quad \ast\" \"A \cap \varnothing = \varnothing\".
\n\"\quad \ast\" \"A \cap E = A\".<\/p>\n

\"\bullet\" Distributivit\u00e9
\n\"\quad \ast\" de l’intersection par rapport \u00e0 la r\u00e9union
\n\"A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\".
\n\"\quad \ast\" de la r\u00e9union par rapport \u00e0 l’intersection
\n\"A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\".<\/p>\n

1.4. R\u00e9union et intersection d’une famille quelconque<\/b>
\nSoit \"E\" un ensemble et \"I\" un ensemble non vide.
\nOn suppose que \"\forall\, i \in I, \, A_i \subset E\".
\nSoit \"x \in E\".
\n\"\quad \displaystyle x \in \bigcup _{i \in I} A_i\" ssi \"\exists\, i \in I,\, x \in E_i\"
\n\"\quad \displaystyle x \in \bigcap _{i \in I} A_i\" ssi \"\forall\, i \in I,\, x \in E_i\,\".<\/p>\n

Dans la suite, on garde les m\u00eames notations.<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s\u00a0<\/i>
\n\"\bullet\" si \"B \subset E\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle B \cap \left ( \bigcup _{i \in I} A_i \right ) = \bigcup _{i \in I} (B \cap A_i)\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle B \cup \left ( \bigcap _{i \in I} A_i \right ) = \bigcap _{i \in I} (B \cup A_i)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Lois de Morgan
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle C_E \left ( \bigcup _{i \in I} A_i \right ) = \bigcap _{i \in I} (C_E \, A_i)\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle C_E \left ( \bigcap _{i \in I} A_i \right ) = \bigcup _{i \in I} (C_E \, A_i)\"<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. Raisonnements sur les applications en prepa maths sup<\/h2>\n

2.1. Les d\u00e9finitions\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Conna\u00eetre les diff\u00e9rentes notations
\nSi \"E\" et \"F\" sont deux ensembles non vides,
\n\"\ast\" \"\mathcal{F}(E , F) = F ^E\" est l’ensemble des applications de \"E\" dans \"F\".
\n\"\ast\" \"\textrm{Id}_E\" est l’\u00e9l\u00e9ment de \"E ^E\" d\u00e9fini par \"\quad \quad \forall \, x \in E, \, \textrm{Id}_E(x) = x\".
\n\"\ast\" Si \"A \subset B\", l’indicatrice de \"A\" est l’application not\u00e9e \"\mathbf{1}_A : A \to \mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"\mathbf{1}_A(x) = \left \{ \begin{matrix} 1&\textrm{ si }& x \in A\\ 0&\textrm{ si }& x \notin A\end{matrix} \right.\".<\/p>\n

👍 Si \"A\" et \"B\" sont deux parties de \"E\",
\n\"\ast\" \"A = B\" ssi \"\mathbf{1}_A = \mathbf{1}_B\"
\n\"\ast\" \"A \subset B\" ssi \"\mathbf{1}_A \leq \mathbf{1}_B\,\".
\nOn peut donc utiliser les fonctions<\/a> indicatrices pour d\u00e9montrer l’\u00e9galit\u00e9 ou l’inclusion de deux ensembles.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" est une partie de \"E\" et \"f \in E ^F\", la\u00a0restriction<\/i>\u00a0de \"f\" \u00e0 \"A\" est
\n\"f |_ A : A \to F\", \"\forall \, x \in A,\, f|_A(x) = f(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" est une partie de \"E\", on appelle\u00a0prolongemen<\/i>t de<\/i>\u00a0\"f \in A ^F\"\u00a0\u00e0\u00a0<\/i>\"E\" toute application \"g\"\u00a0 telle que la restriction de \"g\" \u00e0 \"A\" soit \u00e9gale \u00e0 \"f\".
\n\"\bullet\" Soient \"f \in E ^E\" et \"A\" une partie de \"E\",
\n\"\ast\" \"A\" est\u00a0stable<\/i>\u00a0par \"f\"
\n\"\quad\" ssi \"\forall\, x \in A, \, f(x) \in A\"
\n\"\quad\" ssi \"f(A) \subset A\".
\n\"\ast\" Si \"A\" est stable par \"f\", on peut d\u00e9finir l’application induite<\/i>\u00a0par<\/i>\u00a0\"f\"\u00a0sur<\/i>\u00a0\"A\" : \"\quad \quad f | _A : A \to A , x \mapsto f(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Composition<\/i>
\n\"\ast\" Soient \"E\", \"F\" et \"G\" 3 ensembles non vides, si \"f \in \mathcal{F}(E , F)\" et \"g \in \mathcal{F}(F , G)\", on peut d\u00e9finir \"g \circ f \in \mathcal{F}(E , G)\"
\npar \"\forall\, x \in E, \, (g \circ f) (x) = g(f(x))\"
\n⚠️ Toujours v\u00e9rifier que la composition a un sens.
\nSi \"(f, \, g) \in \mathcal{F}(E , E)^2\", on peut toujours d\u00e9finir \"f \circ g\" et \"g \circ f\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"E\", \"F\", \"G\" et \"H\" sont quatre ensembles non vides, si \"f \in \mathcal{F}(E , F)\", \"g \in \mathcal{F}(F , G)\" et \"h \in \mathcal{F}(G , H)\", \"\quad \quad h \circ (g \circ f ) = (h \circ g) \circ f\"
\nCette application est not\u00e9e \"h \circ g \circ f\".<\/p>\n

2.2. Injection<\/b>
\nDans ce paragraphe, \"f\" est une application de \"E\" dans \"F\".
\n\"\bullet\" pour d\u00e9montrer que \"f\" est une injection, on d\u00e9montre que si \"x\" et \"x'\" sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"E\" tels que \"f(x) = f(x')\", alors \"x = x'\".<\/p>\n

\"\bullet\" pour d\u00e9montrer que \"f\" est une injection, il suffit de montrer que \"f\" est la compos\u00e9e de deux injections.<\/p>\n

\"\bullet\" pour d\u00e9montrer que \"f\" n’est pas injective, on cherche \"x \neq x'\" dans \"E\" tels que \"f(x) = f(x')\".<\/p>\n

⚠️ : pour d\u00e9montrer que sous l’hypoth\u00e8se \"H\", l’application \"f\" d\u00e9finie sur \"E\" est injective, il faut prendre le bon d\u00e9part :
\nOn part de \"x\" et \"y\" dans \"E\" tels que \"f(x) = f(y)\" et on obtient (en utilisant \"H\" au cours du raisonnement) que \"x = y\".<\/p>\n

exercice<\/i>\u00a0: Soit \"f \in E ^F\".
\nS’il existe \"g \in F ^H\" tel que \"g \circ f\" est injective, \"f\" est injective.<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"(x ,\, x') \in E^2\" tel que \"f(x) = f(x')\", ce sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"F\".\u00a0<\/em>
\nOn prend l’image par \"g\" : \"\quad \quad g(f(x)) = g(f(x'))\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad\" soit \"g \circ f (x) = g \circ f(x')\",\u00a0<\/em>
\ncomme \"g \circ f\" est injective, \"x = x'\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"f\" est injective.<\/em><\/p>\n

2.3. Surjection<\/b>
\nDans ce paragraphe, \"f\" est une application de \"E\" dans \"F\".
\n\"\bullet\" pour d\u00e9montrer que \"f\" est une surjection de \"E\" sur \"F\",\u00a0on d\u00e9montre que pour tout \u00e9l\u00e9ment \"y\" de \"F\", on peut trouver \"x\" dans \"E\" tel que \"y = f(x)\".
\nCe qui revient \u00e0 prouver que \"f(E) = F\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que \"f\" est surjective, il suffit de montrer que \"f\" est la compos\u00e9e de deux surjections.<\/p>\n

\"\bullet\" Pour prouver que \"f\" n’est pas surjective, on trouve \"y \in F\" tel que pour tout \"x \in E\", \"y \neq f(x)\".<\/p>\n

⚠️ : pour d\u00e9montrer que sous l’hypoth\u00e8se \"H\", l’application \"f\" d\u00e9finie sur \"E\" \u00e0 valeurs dans \"F\" est surjective, il faut prendre le bon d\u00e9part :
\nOn part de \"y \in F\" et il faut trouver \"x \in E\" (en utilisant \"H\" au cours du raisonnement) tel que \"y = f(x)\".<\/p>\n

Exercice<\/i>\u00a0: Soit \"f \in E ^F\".
\nS’il existe \"g \in H ^E\" tel que \"f \circ g\" est surjective, \"f\" est surjective.<\/p>\n

Correction<\/strong> : L’application \"f \circ g\" est d\u00e9finie et \"f \circ g : H \to F\".<\/em><\/p>\n

Soit \"y \in F\", comme \"f \circ g\" est surjective, il existe \"t \in H\" tel que \"\quad \quad \quad y = f \circ g(t) = f(g(t))\",\u00a0<\/em>
\non \u00e9crit donc \"y = f(x)\" o\u00f9 \"x = g(t) \in E\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"f\" est une surjection de \"E\" sur \"F\".\u00a0<\/em><\/p>\n

2.4. Bijection<\/b>
\nDans le paragraphe, \"f\" est une application de \"E\" dans \"F\".
\n\"\bullet\" Il y a \u00e9quivalence entre
\n\"\; \; \ast\" \"f\" est une bijection de \"E\" sur \"F\"
\n\"\; \; \ast\" \"f\" est injective et surjective
\n\"\; \; \ast\" pour tout \"y\" de \"F\", il existe un et un seul \"x\" de \"E\" tel que \"y = f(x)\"
\n\"\; \; \ast\" il existe \"(g , h) \in \mathcal{F}(F , E)^2\" tel que \"\quad \quad g \circ f = \textrm{Id}_E\" et \"f \circ h = \textrm{Id}_F\"
\n( alors \"g = h = f^{-1}\" ).<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas o\u00f9 \"f\" est une fonction d\u00e9finie dans un intervalle \"I\" de \"\mathbb{R}\" \u00e0 valeurs dans \"J \subset \mathbb{R}\", on peut chercher \u00e0 d\u00e9montrer que \"f\" est continue<\/a> sur \"I\", strictement monotone sur \"I\" et que \"f(I) = J\". Alors \"f\" est une bijection de \"I\" sur \"J\".
\nDans ce cas les graphes de \"f\" et de \"f ^{- 1}\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 la droite d’\u00e9quation<\/a> \"y = x\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f \in E ^E\" v\u00e9rifie \"f \circ f = \textrm{Id}_E\,\", alors \"f\" est une bijection et \"f ^{- 1} = f\".<\/p>\n

\"\bullet\" Lorsque \"f\" est une bijection de \"E\" sur \"F\", pour d\u00e9terminer \"f^{-1}\" :
\n\"\ast\" on peut r\u00e9soudre l’\u00e9quation : \"y \in F\" et \"x \in E\", \"y = f(x)\" , alors
\n\"\quad \quad f^{ -1} : F \to E ,\, y \mapsto x\".
\n\"\ast\" on peut d\u00e9terminer une fonction \"g\" de \"F\" dans \"E\" telle que \"g \circ f = \textrm{Id}_E\" ou telle que \"f \circ g = \textrm{Id}_F\" , alors \"g = f^{ -1}\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est une compos\u00e9e de deux bijections, \"f\" est bijective.<\/p>\n

\"\bullet\" ⚠️ si \"f \in E ^F\" et \"g \in F ^ G\", lorsque \"f\" et \"g\" sont des bijections, \"g \circ f\" est une bijection de \"E\" sur \"G\" et \"\quad \quad (g \circ f) ^{- 1}= f^{- 1} \circ g ^{- 1}\"<\/p>\n

Un petit dessin pour illustrer.<\/p>\n

\"surjection<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
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 <\/p>\n

3. Image directe et image r\u00e9ciproque<\/h2>\n

3.1. Les d\u00e9finitions\u00a0<\/b>
\nSoient \"f \in \mathcal{F}(E , F)\", \"A\" une partie de \"E\" et \"B\" une partie de \"F\".
\n\"\bullet\" Conna\u00eetre les d\u00e9finitions :
\n\"\ast\" l’image directe<\/i>\u00a0de<\/i>\u00a0\"A\"\u00a0par<\/i>\u00a0\"f\" :
\n\"\quad \quad f(A) = \{ f(x) / x \in A\}\"
\nc’est une partie de \"F\".
\n\"\ast\" l’image r\u00e9ciproque\u00a0<\/i>de<\/i>\u00a0\"B\"\u00a0par<\/i>\u00a0\"f\" :
\n\"\quad f ^{ - 1}(B) = \{x \in E / f(x) \in B \}\"
\nc’est une partie de \"E\".<\/p>\n

\"\bullet\" Savoir les traduire :
\n\"\ast\" \"y \in f(A)\" ssi \"\exists \, x \in A, \, y = f(x)\"
\n\"\ast\" \"x \in f ^{- 1}(B)\" ssi \"f(x) \in B\".<\/p>\n

⚠️ : Si \"B\" est une partie de \"F\", on peut d\u00e9finir \"f ^{-1}(B)\" m\u00eame si \"f\" n’est pas bijective.
\nLorsque \"f\" est bijective, \"f ^{-1}(B)\" est aussi l’image directe de \"B\" par l’application r\u00e9ciproque \"f ^{- 1}\".
\nOn peut d\u00e9finir pour tout \"y \in F\", \"f ^{- 1}( \{y \})\" qui est une partie de \"E\", mais pour d\u00e9finir \"f ^{- 1}(y)\", l’application \"f\" doit \u00eatre bijective et dans ce cas, \"f ^{- 1}(y)\" est un \u00e9l\u00e9ment de \"E\".<\/p>\n

⚠️ Il faudra faire attention :
\n\"\quad \ast\" Lorsque \"x\" est \u00e9l\u00e9ment de \"E\", \"f(x)\" est un \u00e9l\u00e9ment de \"F\" et\u00a0\"f(\{x \})\" est une partie de \"F\".
\n\"\quad \ast\" Lorsque \"A\" est une partie de \"E\", \"f(A)\" est une partie de \"F\".
\n\"\quad \ast\" Lorsque \"B\" est une partie de \"F\", \"f ^{ -1} (B)\" est une partie de \"E\".<\/p>\n

Deux images pour illustrer (image directe puis image r\u00e9ciproque)<\/p>\n

\"image
image directe<\/figcaption><\/figure>\n
\"image
image r\u00e9ciproque<\/figcaption><\/figure>\n

3.2. Les propri\u00e9t\u00e9s<\/b>
\nSoit \"f\" une application de \"E\" dans \"F\".
\n\"\bullet\" \"f\" est une surjection de \"E\" sur \"F\" ssi \"f(E) = F\".<\/p>\n

\"\bullet\" Vous pouvez utiliser les \u00e9vidences :
\n\"\; \ast\" \"A \subset A' \subset E\" \"\Rightarrow f(A) \subset f(A')\".
\n\"\; \ast\" \"B \subset B' \subset F\" \"\Rightarrow f^{-1} (B) \subset f^{-1}(B')\".<\/p>\n

Dans la suite, les propri\u00e9t\u00e9s \u00e9nonc\u00e9es ne sont pas explicitement au programme mais seront d\u00e9montr\u00e9es dans une des autres t\u00e2ches.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0les propri\u00e9t\u00e9s de l’image directe\u00a0<\/i>
\nSi \"A \subset E\" et \"B \subset E\",
\n\"\quad \ast\" \"f( A \cup B) = f(A) \cup f(B)\"
\n\"\quad \ast\" \"f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)\"
\n⚠️ inclusion seulement dans le cas g\u00e9n\u00e9ral : prendre \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto x^2\", \"A = \{1 \}\" et \"B = \{ - 1\}\", \"f(A) = f(B) = \{1\}\" et \"f(A\cap B) = \varnothing\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0les propri\u00e9t\u00e9s de l’image r\u00e9ciproque\u00a0<\/i>
\nSi \"A \subset F\" et \"B \subset F\",
\n\"\; \ast\" \"f^{-1} ( A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)\"
\n\"\; \ast\" \"f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f(B)\"
\n\"\; \ast\" \"f ^{-1}\left(C_F\, A\right) = C_E \, f ^{-1}(A)\".<\/p>\n

\"\bullet\" les propri\u00e9t\u00e9s combin\u00e9es
\n\"\quad \ast\" Si \"A \subset E\", \"A \subset f ^{- 1} (f(A))\"
\n\"\quad \ast\" Si \"B \subset F\", \"f( f ^{- 1} (B)) \subset B\".
\n⚠️ en g\u00e9n\u00e9ral ce ne sont que des inclusions<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re propri\u00e9t\u00e9\u00a0<\/b><\/em>
\n\"\ast\" Si \"A \subset E\" ,\u00a0<\/em>
\npour tout \"x \in A\", \"f(x) \in f(A)\" donc par d\u00e9finition de l’image r\u00e9ciproque, \"\quad \quad \quad x \in f ^{- 1} (f(A))\".<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"A \subset f ^{- 1} (f(A))\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\"\u00a0un exemple d’inclusion stricte.\u00a0<\/em>
\nPrendre \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, x \to 0\"<\/em>
\n\"A = \{1\}\", \"f(A) = \{0\}\" et \"f ^{- 1} (f(A)) = \mathbb{R}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Deuxi\u00e8me propri\u00e9t\u00e9\u00a0<\/b><\/em>
\n\"\ast\" Si \"B \subset F\",\u00a0<\/em>
\npour tout \"y \in f( f ^{- 1} (B))\", il existe \"x \in f ^{- 1} (B)\" tel que \"y = f(x)\" et par d\u00e9finition de l’image r\u00e9ciproque, \"f(x) \in B\" soit \"y \in B\".<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"f( f ^{- 1} (B)) \subset B\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\"\u00a0un exemple d’inclusion stricte.\u00a0<\/em>
\nPrendre \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, x \to 0\"<\/em>
\n\"B =\{1\}\", \"f ^{-1}(B) = \varnothing\" et \"f( f ^{- 1} (B)) = \varnothing\"<\/em><\/p>\n

4. Relation d’\u00e9quivalence et relation d’ordre<\/h2>\n

4.1. Relation binaire<\/b>
\nSoit \"E\" un ensemble
\n\"\bullet\" Se donner une\u00a0relation binaire<\/i>\u00a0\"\mathcal{R}\" sur \"E\" revient \u00e0 se donner une partie \"\Gamma\" de \"E \times E\" et on \u00e9crit alors \"\quad \quad \quad x \, \mathcal {R} \, y \Leftrightarrow (x , \, y) \in \Gamma\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"\mathcal{R}\" une relation binaire sur l’ensemble \"E\".
\n\"\ast\" \"\mathcal{R}\" est\u00a0r\u00e9flexive\u00a0<\/i>si \"\forall \, x \in E, \, x \, \mathcal{R}\, x\"
\n\"\ast\" \"\mathcal{R}\" est\u00a0sym\u00e9trique<\/i>\u00a0si \"\quad (x, y) \in E^2,\, x \, \mathcal{R} \, y \Rightarrow y \, \mathcal{R} \, x\"
\n\"\ast\" \"\mathcal{R}\" est\u00a0antisym\u00e9trique\u00a0<\/i>si \"(x, y) \in E^2, \, (x \, \mathcal{R} \, y\" et \"y \, \mathcal{R}\, x ) \Rightarrow x = y\"
\n\"\ast\" \"\mathcal{R}\" est\u00a0transitive\u00a0<\/i>si \"(x, y, z) \in E^3,\"
\n\"(x\, \mathcal{R} \, y\" et \"y \, \mathcal{R}\, z) \Rightarrow x\, \mathcal{R} \, z\"<\/p>\n

4.2. D\u00e9finitions\u00a0<\/b>
\nSoit \"E\" un ensemble.
\n\"\bullet\" Une relation binaire \"\mathcal{R}\" sur \"E\" est une\u00a0relation d’\u00e9quivalence<\/i>\u00a0lorsqu’elle est r\u00e9flexive, sym\u00e9trique et transitive.<\/p>\n

exemples<\/i>\u00a0:
\n\"\ast\" Sur tout ensemble \"E\", \u00a0\u00bb \"x = y\" \u00a0\u00bb d\u00e9finit une relation d’\u00e9quivalence.
\n\"\ast\" Sur l’ensemble \"\mathcal{D}\" des droites du plan \"\mathcal{P}\" la relation \u00a0\u00bb \"D\" est parall\u00e8le \u00e0 \"D'\" \u00a0\u00bb d\u00e9finit une relation d’\u00e9quivalence.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\mathcal{R}\" est une relation d’\u00e9quivalence sur \"E\" et \"x \in E\",
\nla\u00a0classe d’\u00e9quivalence\u00a0<\/i>de \"x\" suivant \"\mathcal{R}\" est la partie de \"E\" d\u00e9finie par
\n\"\quad \quad \textrm{Cl}(x) = \{ y \in E \, / \, x \, \mathcal{R} \, x \}\"
\nelle peut aussi \u00eatre not\u00e9e \"\dot x\" ou \"\overline {x}\".
\n\"\ast\" \"x \in \textrm{Cl}(x)\"
\n\"\ast\" si \"(x , y) \in E^2\", \"\textrm{Cl}(x) = \textrm{Cl}(y)\" ou \"\textrm{Cl}(x) \cap \textrm{Cl}(y) = \varnothing\".
\n\"\ast\" \"E = \displaystyle \bigcup _{x \in E} \textrm{Cl}(x)\".
\nL’ensemble des classes d’\u00e9quivalence forme une\u00a0partition<\/i>\u00a0de \"E\".<\/p>\n

4.3.Congruence<\/b>
\n\"\bullet\" Si \"t \in \mathbb{R}^*\", on d\u00e9finit si\u00a0 \"(x, \, y) \in \mathbb{R}^2\",
\n\"\; \; x \equiv y \; \; [t] \Leftrightarrow \exists \, n \in \mathbb{Z} , \ x- y = n \, t\"
\nC’est une relation d’\u00e9quivalence sur \"\mathbb{R}\" appel\u00e9e\u00a0relation de congruence modulo\u00a0<\/i>\"t\" (cas usuel en trigonom\u00e9trie<\/a> : \"t = 2 \, \pi\" ou \"t = \pi\").<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0 Si \"n \in \mathbb{N}^*\", on d\u00e9finit si \"(x , \, y) \in \mathbb{Z}^2\",
\n\"x \equiv y \; \; [n] \Leftrightarrow \exists\, p \in \mathbb{Z} , \ x- y = n \, p\"
\nC’est une relation d’\u00e9quivalence sur \"\mathbb{Z}\" appel\u00e9e\u00a0relation de congruence modulo \"n\"<\/i>.
\nPour la relation de congruence modulo \"n\", il y a \"n\" classes d’\u00e9quivalence d\u00e9finies pour\u00a0\"k \in [\![0 , \, n - 1]\!]\" par\u00a0 \"\quad\quad \overline k = \{k + n\, p \,/ \, p \in \mathbb{Z}\}\".<\/p>\n

Exercice\u00a0<\/b>
\nLa relation de congruence modulo \"n\" est une relation d’\u00e9quivalence sur \"\mathbb{Z}\" v\u00e9rifiant
\nsi \"x \equiv y \; \; [n]\" et \"z \equiv u \; \; [n]\",
\n\"\; \; x + z\equiv y + u \; \; [n]\" et \"x\, z \equiv y \, u \; \; [n]\".<\/p>\n

\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

\n

\"\bullet\"\u00a0Relation d’\u00e9quivalence\u00a0<\/b><\/em>
\n\"\ast\" Pour tout \"x \in \mathbb {Z}, \, x - x = 0 . n\" donc \"x \equiv x \; \; [n]\".<\/em>
\n\"\ast\" Si \"(x ,\, y) \in \mathbb{Z}^ 2\" v\u00e9rifie \"x \equiv y \; \; [n]\" \"\exists\, p \in \mathbb{Z} , \ x- y = n \, p\" donc \"y - x = n \, (- p)\" avec\"- p \in \mathbb{Z}\", donc \"y \equiv x \; \; [n]\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"(x ,\, y, \, z ) \in \mathbb{Z}^ 3\" v\u00e9rifie \"x \equiv y \; \;[n]\" et \"y \equiv z \; \; [n]\".<\/em>
\n\"\exists (p\, , \, q) \in \mathbb{Z}^2 , \ x- y = n \, p\" et \"y - z = n \, q\", donc \"x - z = n (p + q)\" avec \"p + q \in \mathbb{Z}\", donc \"x \equiv z \; \; [n]\".\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

On a d\u00e9montr\u00e9 que la relation de congruence modulo \"n\" est une relation d’\u00e9quivalence sur \"\mathbb{Z}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Classes d’\u00e9quivalence.<\/b><\/em>
\n\"\ast\" On suppose que \"0 \leq i < j < n\", alors \"i\" et \"j\" ne sont pas congrus modulo \"n\".<\/em>
\nEn effet \"0 < j - i < n\" n’est pas divisible par \"n\",\u00a0alors \"\overline i \neq \overline j\".\u00a0 Il y a donc au moins \"n\" classes d’\u00e9quivalence.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"j \in \overline i\" ssi \"j - i\" est un multiple de \"n\", donc \"\overline i = \{i + n\, p \,/ \, p \in \mathbb{Z}\}\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Pour tout \"x \in \mathbb {Z}\", par division euclidienne<\/a>, on \u00e9crit \"x = p \, n + r\" avec \"r \in [\![0 , n - 1]\!]\" et \"p \in \mathbb{Z}\", donc \"x \equiv r \; \; [n]\" et \"x \in \dot r\".<\/em><\/p>\n

Pour la relation de congruence modulo \"n\", il y a \"n\" classes d’\u00e9quivalence<\/em>
\nsi \"k \in [\![0 , \, n - 1]\!]\",\u00a0\"\overline k = \{k + n\, p \,/ \, p \in \mathbb{Z}\}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Op\u00e9rations sur les congruences.\u00a0<\/b><\/em>
\nOn suppose que \"x \equiv y \; \;[n]\" et \"z \equiv u \; \; [n]\"<\/em>
\n\"\exists \, (p \, , \, q) \in \mathbb{Z}^2\" tel que \"x = y + n \, p\" et \"z = u + n \, q\".<\/em>
\n\"\ast\" Par somme, \"x + z = y + u + n(p + q)\" avec \"p + q \in \mathbb{Z}\" donc \"x + z\equiv y + u \; \; [n]\".<\/em>
\n\"\ast\" Par produit<\/a>,\u00a0\u00a0<\/em>
\n\"x \, z = y \, u + n (p \, u + q \, y + n\, p \, q)\" avec \"p \, u + q \, y +n\, p \, q \in \mathbb{Z}\", donc \"x\, z \equiv y \, u \; \; [n]\".\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

4.4. Relation d’ordre<\/b><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

Soit \"E\" un ensemble non vide.
\n\"\bullet\" Une relation binaire sur \"E\" est une\u00a0relation d’ordre\u00a0<\/i>lorsqu’elle est r\u00e9flexive, antisym\u00e9trique et transitive.
\nOn la note souvent \"\preceq\".
\nOn dit alors que l’ensemble \"(E\, ,\, \preceq)\" est un\u00a0ensemble ordonn\u00e9.<\/i><\/p>\n

\"\bullet\" La relation d’ordre \"\preceq\" sur \"E\" est une\u00a0relation d’ordre total<\/i>\u00a0lorsque pour tout \"(x ,\, y) \in E^2\" , au moins une des deux relations \"x \preceq y\" ou \"y \preceq x\" est v\u00e9rifi\u00e9e.
\nOn dit alors que \"(E\, ,\, \preceq)\" est un\u00a0ensemble totalement ordonn\u00e9.<\/i><\/p>\n

\"\bullet\" La relation d’ordre \"\preceq\" sur \"E\" est une\u00a0relation d’ordre partiel\u00a0<\/i>lorsqu’ il existe \"(x ,\, y) \in E^2\" tel que les relations \"x \preceq y\" et \"y \preceq x\" soient fausses.
\nOn dit alors que \"(E \,,\, \preceq)\" est un\u00a0ensemble partiellement ordonn\u00e9<\/i>.<\/p>\n

exemples<\/i>
\n\"\ast\" sur \"\mathbb{R}\", la relation \"x \leq y\" d\u00e9finit une relation d’ordre total.
\n\"\ast\" Si \"E\" est un ensemble contenant au moins deux \u00e9l\u00e9ments,\u00a0la relation \"A \subset B\" d\u00e9finit une relation d’ordre partiel sur \"\mathcal{P}(E)\".
\n\"\ast\" Si \"A\" est une partie contenant au moins deux \u00e9l\u00e9ments, la relation d\u00e9finie sur \"\mathcal{F}(A , \mathbb{R})\" par
\n\"\quad f \leq g \Leftrightarrow \forall\, x \in A, \, f(x) \leq g(x)\"
\nest une relation d’ordre partiel.<\/p>\n

5. Loi interne<\/h2>\n

\"\bullet\" D\u00e9finir une\u00a0loi de composition interne<\/i>\u00a0sur un ensemble \"E\" revient \u00e0 se donner une application \"f : E \times E \to E\".
\nSi \"a , b \in E\", on note souvent \"f(a , b) = a \ast b\" ou \"A\, \textrm{T} \,b\" ou \"a + b\" etc …
\nexemples<\/i>\u00a0:
\n\"\ast\" Sur \"\mathcal{P}(E)\", l’intersection, la r\u00e9union.
\n\"\ast\" Sur \"\mathcal{F}(A , \mathbb{R})\", l’addition d\u00e9finie si \"f , g \in \mathcal{F}(A , \mathbb{R})\" par \"\; \forall \, x \in A, (f + g)(x) = f(x) + g(x)\".
\n\"\ast\" Sur \"\mathcal{F}(E , E)\", la loi \"\circ\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer qu’une loi de composition interne \"\ast\" d\u00e9finie sur \"E\" est\u00a0associative<\/i>, on d\u00e9montre que \"\forall\, (a ,\, b ,\, c) \in E^3 , \, a \ast (b \ast c) = (a \ast b) \ast c\"
\n\"\bullet\"\u00a0Pour d\u00e9montrer qu’une loi de composition interne \"\ast\" d\u00e9finie sur \"E\" n’est pas associative, on trouve trois \u00e9l\u00e9ments \"a,\, b\" et \"c\" de \"E\" tels que \"\quad \; a \ast (b \ast c) \neq (a \ast b) \ast c\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer qu’une loi de composition interne \"\ast\" d\u00e9finie sur \"E\" est\u00a0commutative, o<\/i>n d\u00e9montre que \"\quad \quad \forall\, (a ,\, b) \in E^2,\, a \ast b = b \ast a\".
\n\"\bullet\"\u00a0Pour d\u00e9montrer qu’une loi de composition interne \"\ast\" d\u00e9finie sur \"E\" n’est pas commutative, on trouve deux \u00e9l\u00e9ments \"a\" et \"b\" de \"E\" tels que \"\quad \quad \quad a \ast b \neq b \ast a\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer qu’une loi de composition interne \"\textrm{T}\" d\u00e9finie sur \"E\" est\u00a0distributive par rapport \u00e0 la loi<\/i>\u00a0\"\ast\", on d\u00e9montre que \"\forall\, (a ,\, b ,\, c) \in E^3 , \,\"
\n\"\quad \quad a \textrm{T} (b * c) = (a\, \textrm{T} \, b) \ast(a \, \textrm{T}\, c)\"
\n\"\quad\" et \"(b \ast c)\, \textrm{T}\, a = (b \, \textrm{T} \, a) \ast(c\, \textrm{T} \ a)\".
\n👍 la deuxi\u00e8me \u00e9galit\u00e9 \u00e9tant inutile si la loi \"\textrm{T}\" est commutative.
\n\"\bullet\"\u00a0Pour d\u00e9montrer qu’une loi de composition interne \"\textrm{T}\" d\u00e9finie sur \"E\" n’est pas distributive par rapport \u00e0 la loi \"\ast\", on trouve trois \u00e9l\u00e9ments \"a,\, b\" et \"c\" de \"E\" tels que
\n\"\quad a \, \textrm{T}\, (b * c) \neq (a\, \textrm{T} \, b) \ast(a \, \textrm{T}\, c)\"
\nou \"(b \ast c) \, \textrm{T} \, a \neq (b\, \textrm{T} \, a) \ast(c\, \textrm{T} \, a)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer qu’une loi de composition interne \"\ast\" d\u00e9finie sur \"E\"\u00a0admet un \u00e9l\u00e9ment neutre<\/i>\u00a0:
\na)<\/b>\u00a0si l’on a l’intuition de la valeur de l’\u00e9l\u00e9ment neutre \"e\", on v\u00e9rifie que l’on a bien \"\forall\, z \in E, \, z \ast e = e \ast z = z\".
\n👍 La d\u00e9monstration de \"z \ast e = z\" suffit dans le cas d’une loi commutative.
\nb)<\/b>\u00a0sinon, on \u00e9crit que \"\quad \quad \forall\, z \in E , \, z \ast e = e \ast z = z\",
\npour chercher \u00e0 d\u00e9terminer \"e\".
\nSi le raisonnement n’a pas \u00e9t\u00e9 fait par \u00e9quivalence, apr\u00e8s avoir trouv\u00e9 \"e\", il faut v\u00e9rifier que pour tout \"z\" de \"E\",
\n\"\quad \quad \quad z \ast e = e \ast z = z\".
\n👍\u00a0\u00a0La recherche de \"e\" peut se faire uniquement au brouillon, et dans un devoir on peut se limiter au raisonnement d\u00e9crit en a).<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer qu’un \u00e9l\u00e9ment \"z\" admet\u00a0un sym\u00e9trique<\/i>\u00a0pour la loi de composition interne \"\ast\" d’\u00e9l\u00e9ment neutre e,
\na)\u00a0<\/b>si l’on a l’intuition de la valeur du sym\u00e9trique \"z'\" de \"z\" : on v\u00e9rifie que l’on a bien \"z \ast z' = z' \ast z = e\".
\n👍 La d\u00e9monstration de l\u00a0\u00bb\u00e9galit\u00e9 \"z \ast z' = e\" suffit dans le cas d’une loi commutative.
\nb)<\/b>\u00a0sinon, on \u00e9crit que \"\quad \quad \quad z \ast z' = z' \ast z = e\"
\npour chercher \u00e0 d\u00e9terminer \"z'\".
\nSi le raisonnement n’a pas \u00e9t\u00e9 fait par \u00e9quivalence, apr\u00e8s avoir trouv\u00e9 \"z'\", il faut v\u00e9rifier que \"z \ast z' = z' \ast z = e\".
\n👍 La recherche de \"z'\" peut se faire uniquement au brouillon, et dans un devoir, on peut se limiter au raisonnement d\u00e9crit en a).<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer que la partie \"A\" de \"E\" est une partie stable pour la loi de composition interne \"\ast\" d\u00e9finie sur \"E\", on doit prouver que pour tous \"a\" et \"b\" de \"A\", \"a \ast b\" est \u00e9l\u00e9ment de \"A\".
\n\"\bullet\"\u00a0Pour prouver que \"A\" n’est pas une partie stable pour la loi \"\ast\", on doit trouver \"a\" et \"b\" dans \"A\" tels que \"a \ast b\" ne soit pas \u00e9l\u00e9ment de \"A\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s
\n<\/b>Si la loi interne \"\ast\" est associative,
\n\"\ast\" si l’\u00e9l\u00e9ment neutre existe, il est unique
\n\"\ast\" si la loi \"\ast\" poss\u00e8de un \u00e9l\u00e9ment neutre, le sym\u00e9trique de \"z\" lorsqu’il existe est unique.<\/p>\n

On suppose dans la suite que la loi est associative.
\nQuand la loi est not\u00e9e additivement, si la loi poss\u00e8de un \u00e9l\u00e9ment neutre, il est not\u00e9 \"0\" et le sym\u00e9trique de \"x\", s’il existe, est not\u00e9 \"- x\" et appel\u00e9\u00a0oppos\u00e9<\/i>\u00a0de<\/i>\u00a0\"x\" .
\nQuand la loi est not\u00e9e multiplicativement, si la loi poss\u00e8de un \u00e9l\u00e9ment neutre, il est not\u00e9 \"1\" et le sym\u00e9trique de \"x\", s’il existe, est not\u00e9 \"x^{- 1}\" et appel\u00e9 inverse<\/i>\u00a0de<\/i>\u00a0\"x\".<\/p>\n

prop<\/b> Soit \"E\" un ensemble muni d’une loi interne associative not\u00e9e multiplicativement.
\nSi \"x\" et \"y\" poss\u00e8dent un inverse, \"x \, y\" poss\u00e8de un inverse et \"\quad \quad \quad (x \, y) ^{- 1} = y ^{- 1} \, x ^{- 1}\".<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>:
\nSoit \"E\" un ensemble contenant au moins deux \u00e9l\u00e9ments. Quelles sont les propri\u00e9t\u00e9s des lois internes \u00ab\u00a0\"\cup\"\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0\"\cap\"\u00a0\u00bb dans \"\mathcal{P}(E)\" ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Propri\u00e9t\u00e9s de la r\u00e9union<\/b>\u00a0:\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" La r\u00e9union est associative et commutative.\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" \"\varnothing\" est \u00e9l\u00e9ment neutre pour la loi \"\cup\"<\/em>
\ncar pour tout \"A \in \mathcal {P}(E), \, A \cup \varnothing = A\".<\/em>
\n\"\ast\" Seul \"\varnothing\" a un sym\u00e9trique pour la loi \"\cup\"<\/em>
\nCar si \"A \neq \varnothing\", pour tout \"B \in \mathcal {P}(E)\" , \"A \subset A \cup B\" , donc \"A \cup B \neq \varnothing\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Propri\u00e9t\u00e9s de l’intersection<\/b>\u00a0:\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" L’intersection est associative et commutative.\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" \"E\" est \u00e9l\u00e9ment neutre pour la loi \"\cap\"<\/em>
\ncar pour tout \"A \in \mathcal {P}(E), \, A \cap E = A\".<\/em>
\n\"\ast\" Seul \"E\" a un sym\u00e9trique pour la loi \"\cap\"<\/em>
\nCar si \"A \neq E\", pour tout \"B \in \mathcal {P}(E)\" , \"A \cap B \subset A\" , donc \"A \cap B \neq E\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Propri\u00e9t\u00e9s conjointes :\u00a0<\/b><\/em>
\n\"\ast\" La r\u00e9union est distributive par rapport \u00e0 l’intersection :\u00a0<\/em>
\nsi \"(A , \, B , \, C) \in \mathcal {P}(E)^3,\"<\/em>
\n\"\quad A \cup ( B \cap C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" L’intersection est distributive par rapport \u00e0 la r\u00e9union :\u00a0<\/em>
\nsi \"(A , \, B , \, C) \in \mathcal {P}(E)^3,\"<\/em>
\n\"\quad A \cap ( B \cup C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

6. Structures<\/h2>\n

6.1. Groupe\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"G\" un ensemble non vide muni d’une loi interne not\u00e9e \"\ast\".
\nOn dit que \"(G , \ast)\" est un\u00a0groupe<\/i>\u00a0si, et seulement si,
\n\"\ast\" la loi \"\ast\" est associative
\n\"\ast\" la loi \"\ast\" poss\u00e8de un \u00e9l\u00e9ment neutre not\u00e9 \"e\"
\n\"\ast\" tout \u00e9l\u00e9ment \"x\" de \"G\" poss\u00e8de un sym\u00e9trique not\u00e9 \"x^{-1}\".
\nSi, de plus, la loi \"\ast\" est commutative, le groupe est dit\u00a0commutatif<\/i>.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0exemples<\/i>\u00a0:
\n\"\ast\" Si \"E\" est un ensemble non vide, l’ensemble des bijections de \"E\" sur \"E\" est un groupe pour la loi \"\circ\", appel\u00e9 groupe des permutations de \"E\" et not\u00e9 \"S_E\".
\n\"\ast\" \"(\mathbb{C}\, ,\, +)\" est un groupe commutatif
\n\"\ast\" \"(\mathbb{C}^*\, ,\, \times )\" est un groupe commutatif.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0notations<\/i>\u00a0:
\nSi \"(G ,\, +)\" est un groupe d’\u00e9l\u00e9ment neutre \"0_G\,\" et \"x \in G\", on d\u00e9finit
\n\"\quad \ast\" \"0 . x = 0_G\"
\n\"\quad\" et si \"n \in \mathbb {N}, \, (n + 1) x = n \,x + x\"
\n\"\quad \ast\" si \"n \in \mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}, \, n\, x = (-n) (-x)\".<\/p>\n

Si \"(G , \, .)\" est un groupe d’\u00e9l\u00e9ment neutre \"1_G\" et \"x \in G\", on d\u00e9finit
\n\"\quad \ast\" \"x^0 = 1_G\" et si \"n \in \mathbb {N}, \, x ^{n + 1} = x^n . x\"
\n\"\quad \ast\" si \"n \in \mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}, \, x^n = (x^{-1})^{-n}\".<\/p>\n

exercice\u00a0<\/i>:
\nSi \".\" est une loi de composition interne sur \"E\", associative et admettant un \u00e9l\u00e9ment neutre \"e\", l’ensemble \"U\" des \u00e9l\u00e9ments inversibles de \"E\" est un groupe pour la multiplication.<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong> : \"\ast\" \"U\" est non vide car \"e\" est inversible, d’inverse \u00e9gal \u00e0 lui m\u00eame.\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"(x , y) \in U^2\", on a vu que \"x \, y\" est inversible.\u00a0<\/em>
\nDonc la loi \".\" est une loi interne dans \"U\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" La multiplication est associative dans \"U\" car elle l’est dans \"E\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" \"e\" est encore \u00e9l\u00e9ment neutre dans \"U\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"x \in U\", \"x^{- 1}\" est inversible d’inverse \u00e9gal \u00e0 \"x \in U\", donc \"x ^{- 1} \in U\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"(U , \, . \, )\" est un groupe .\u00a0<\/em><\/p>\n

6.2. Sous-groupe<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"(G , \ast )\" un groupe et \"H\" une partie non vide de \"G\". Il y a \u00e9quivalence entre
\n\"\ast\" \"H\" est un sous-groupe de \"(G , \, \ast)\".
\n\"\ast\" \"\forall\, (a , b) \in H^2,\, a \ast b \in H\"
\net \"\forall\, a \in H,\, a ^{- 1} \in H\"
\n\"\ast\" \"\forall\, (a , b) \in H^2,\, a^{- 1} \ast b \in H\"
\nalors \"(H, \, \ast \,)\" est un groupe.<\/p>\n

👍 : Pour d\u00e9montrer que \"H\" est non vide, on d\u00e9montre que \"H\" contient l’\u00e9l\u00e9ment neutre de \"G\".<\/p>\n

Remarque<\/i>\u00a0:
\nsi \"(H , \ast)\" est un sous groupe de \"(G , \, \ast )\" lui m\u00eame sous-groupe de \"(G' , \, \ast)\" , \"(H , \, \ast)\" est un sous-groupe de \"(G' , \, \ast)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0exemples\u00a0<\/i>
\n\"\ast\" \"\mathbb{Z}\" , \"\mathbb{Q}\", \"\mathbb{R}\" sont des sous-groupes pour la loi \"+\" de \"(\mathbb{C}\, ,\, + )\".<\/p>\n

6.3. Anneau\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"A\" un ensemble non vide muni de deux lois de composition internes not\u00e9es \u00ab\u00a0\"+\"\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0\".\"\u00ab\u00a0.
\nOn dit que \"(A\, ,\, +\, ,\, \, .\times )\" est un\u00a0anneau<\/i>\u00a0si, et seulement si,
\n\"\quad\ast\" \"(A\, , \,+)\" est un groupe commutatif (l’\u00e9l\u00e9ment neutre pour l’addition est not\u00e9 \"0_A\" ou \"0\" s’il n’y a pas de confusion possible, le sym\u00e9trique de \"a \in A\" pour l’addition est not\u00e9 \"- a\")
\n\"\quad\ast\" la multiplication est associative, poss\u00e8de un \u00e9l\u00e9ment neutre not\u00e9 \"1_A\" (ou \"1\" s’il n’y a pas de confusion possible) et la multiplication est distributive par rapport \u00e0 l’addition.
\nSi la multiplication est commutative, l’anneau est dit\u00a0commutatif<\/i>.<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"(A , + , \, . )\" un anneau et \"I\" une partie non vide.
\nSur \"\mathcal{F}(I , A)\", on d\u00e9finit deux lois internes par
\nsi \"(f , g) \in \mathcal{F}(I , A)^2\",
\n\"\ast\" \"f + g\" est d\u00e9finie par \"\quad \forall\, x \in I, (f + g)(x) = f(x) + g(x)\"
\n\"\ast\" \"f . g\" est d\u00e9finie par \"\quad \forall\, x \in I, (f . g)(x) = f(x) . g(x)\".
\n\"\mathcal{F}(I , A)\" est un anneau commutatif.
\nL’\u00e9l\u00e9ment neutre pour l’addition est \"O : I \to A , x \mapsto 0_A\,\".
\nL’\u00e9l\u00e9ment neutre pour la multiplication est\u00a0 \"\mathds{1} : I \to A , x \mapsto 1_A\,\".<\/p>\n

⚠️ Si \"(A , + , .)\" est un anneau, \"a \neq 0\" et \"b \neq 0\" n’impliquent pas \"a \, b \neq 0\".
\nh.p. Si \"(A , + , .)\" est un anneau tel que si \"(a , b) \in A^2, a\, b = 0 \Rightarrow a = 0\" ou \"b = 0\", on dit que l’anneau est\u00a0int\u00e8gre<\/i>.<\/p>\n

En cours d’ann\u00e9e, vous rencontrerez les anneaux suivants :
\n\"\ast\" \"(\mathbb{K}[\textrm{X}],\, + ,\, .)\" l’anneau des polyn\u00f4mes<\/a> \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\"
\n\"\ast\" \"(\mathcal{L}(E), \, + , \, \circ)\" l’anneau des endomorphismes de \"E\"
\n\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}^*\", \"(\mathcal{M}_n (\mathbb{K}), \, + , \, .)\" l’anneau des matrices carr\u00e9es d’ordre \"n\" \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\".<\/p>\n

Calculs dans l’anneau\u00a0<\/b>\"(A\, ,\, + \, , \, . )\",
\n\"\ast\" Si \"(a , b) \in A^2\", on note \"\quad \quad \quad a - b = a + (-b)\"<\/p>\n

On note si \"a \in A\" et \"n \in \mathbb{N}\"
\n\"\ast\" \"n . a\" est d\u00e9fini par r\u00e9currence<\/a> par
\n\"\quad \quad 0 . a = 0\", \"\quad\"
\n\"\quad\" et\u00a0 \"\forall\, n \in \mathbb{N}, (n + 1) \, a = n \, a + a\"
\nPuis si \"n \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}, n \, a = ( - n) (-a)\".<\/p>\n

\"\ast\" \"a^n\" est d\u00e9fini par r\u00e9currence par
\n\"\quad a^0 = 1\" et si \"n \in \mathbb{N}, a^{n + 1} = a ^{n} . a\"<\/p>\n

Prop<\/b>\u00a0: Si \"(a \, , \, b) \in A^2\"
\n\"\ast\" \"\forall\, (n ,\, p) \in \mathbb{Z}^2\",
\n\"\quad \quad n(a + b) = n\, a + n\, b\"
\n\"\quad\" et \"n\, (a \,b) = (n \,a)\, b = a\, (n \,b)\"
\n\"\quad\" et \"n\, a + p\, a = (n + p)\, a\"
\n\"\ast\" \"\forall\, (n \, , \, p) \in \mathbb{N}^2\", \"a ^n \, . \, a ^p = a ^{n + p}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"(A\, ,\, + \, , \, . )\" un anneau et \"n \in \mathbb{N}^*\". Si \"a\" et \"b\" sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"A\" tels que ⚠️ \"a \, b = b \, a\",
\n\"\ast\"\u00a0formule de Leibniz<\/b>\u00a0:
\n\"\quad a^n - b ^n = (a - b) \displaystyle \left ( \sum _ {k = 0} ^{n - 1} a ^ k \, b ^{n - 1 - k} \right )\"<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0bin\u00f4me de Newton :<\/b>
\n\"\quad \quad (a + b) ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n}{k} \, a ^k \, b ^{n - k}\".<\/p>\n

6.4. Corps<\/b>
\nUn\u00a0corps<\/i>\u00a0est un triplet \"(\mathbb{K} , \, + ,\, .)\" tel que \"(\mathbb{K} , \, + ,\, .)\" est un anneau commutatif contenant au moins deux \u00e9l\u00e9ments et tel que tout \u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{K}^*\" est inversible pour la multiplication.<\/p>\n

exemples\u00a0<\/i>
\n\"(\mathbb{Q},\, + , \, .)\", \"(\mathbb{R},\, + , \, .)\" et \"(\mathbb{C},\, + , \, .)\" sont des corps.
\nEn cours d’ann\u00e9e, vous rencontrerez
\n\"(\mathbb{K}(\textrm{X}),\, + , \, .)\" le corps des fractions rationnelles<\/a> \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\".<\/p>\n

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\"\ast\" \"\mathbb{Q}^*\", \"\mathbb{R}^*\" sont des sous-groupes pour la loi \".\" de \"(\mathbb{C}^*\, , \, .)\".
\n\"\ast\" \"(\mathbb{U}\, , \, . )\" (ensemble des complexes<\/a> de module 1) est un sous groupe de \"(\mathbb{C} ^* \, , \, .)\" et pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geq 2\" , \"\mathbb{U}_n\" (ensemble des racines \"n\" -i\u00e8mes de 1) est un sous-groupe de \"(\mathbb{U}\, , \, . )\".
\nEn cours d’ann\u00e9e\u00a0<\/i>:
\n\"\ast\" L’ensemble \"\textrm{GL}(E)\" des automorphismes de \"E\" est un sous-groupe de \"S_E\,\" .
\n\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq 2\", l’ensemble \"\textrm{GL} _ n ( \mathbb{K} )\" des matrices carr\u00e9es d’ordre \"n\" \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\" inversibles est un groupe pour la multiplication des matrices<\/a>, appel\u00e9\u00a0groupe sp\u00e9cial lin\u00e9aire d’ordre\u00a0<\/i>\"n\".<\/p>\n