{"id":37442,"date":"2019-10-29T19:35:36","date_gmt":"2019-10-29T18:35:36","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37442"},"modified":"2021-02-10T08:54:14","modified_gmt":"2021-02-10T07:54:14","slug":"cours-en-ligne-ensembles-et-applications-maths-sup-exercices-corriges","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-ensembles-et-applications-maths-sup-exercices-corriges\/","title":{"rendered":"Ensembles et applications en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Correction d’exercices sur les ensembles et applications en Math Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a>\u00a0Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices : Bijection, Lois Internes, Anneaux<\/h2>\n
\n

1. Sur les ensembles
\n2. Injection, surjection, bijection
\n3. Images directes et r\u00e9ciproques
\n4. Relations d’\u00e9quivalence
\n5. Relations d’ordre
\n6. Lois internes
\n7. Groupes
\n8. Anneaux
\n9. Structure d’anneau sur \"\mathcal{P}(E)\".<\/p>\n\t\t

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COURS EN PREPA MATHS SUP<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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1. Sur les ensembles<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoient \"A, B , C\" trois parties de \"E\".
\n\"A \cap B = A \cap C\" ssi \"A \cap \overline{B} = A \cap \overline{C}\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" On suppose que \"A \cap B = A \cap C\".<\/em>
\nSoit \"x \in A \cap \overline{B}\", \"x \notin B \Rightarrow x \notin A \cap B \Rightarrow x \notin A \cap C\".\u00a0<\/em>
\n\"x \in A\" et \"x \notin A \cap C \Rightarrow x \notin C \Rightarrow x \in \overline {C}\".\u00a0<\/em>
\nComme \"x \in A\", \"x \in A \cap \overline{C}\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 l’inclusion\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad\quad A \cap \overline{B} \subset A \cap \overline{C}\".\u00a0<\/em>
\nEn \u00e9changeant \"B\" et \"C\", on obtient l’inclusion contraire, donc par double inclusion \"A \cap \overline{B} = A \cap \overline{C}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"A \cap \overline{B} = A \cap \overline{C}\".<\/em>
\nL’implication pr\u00e9c\u00e9dente utilis\u00e9e avec \"\overline B\" et \"\overline C\" donne\u00a0<\/em>
\n\"\quad A \cap \overline{\overline {B}} = A \cap \overline{\overline{C}} \Leftrightarrow A \cap B = A \cap C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On a d\u00e9montr\u00e9 l’\u00e9quivalence.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoient \"A, \, B,\, C\" trois parties de \"E\".
\nTrouver une condition n\u00e9cessaire et suffisante pour que \"A \cup B= B \cap C\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Analyse<\/b><\/em>
\nSi \"A \cup B= B \cap C\",\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" \"A \subset A \cup B\" donc \"A \subset B \cap C \subset B\"\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" \"B \subset A \cup B\" donc \"B \subset B \cap C \subset C\"\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"A \subset B \subset C\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Synth\u00e8se<\/b>\u00a0<\/em>
\nSi \"A \subset B \subset C\", \"A \cup B = B\" et \"B \cap C = B\" donc \"A \cup B= B \cap C\".<\/em><\/p>\n

On a d\u00e9montr\u00e9 que \"\quad \quad A \cup B = B \cap C \Leftrightarrow A \subset B \subset C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSoient \"A\", \"B\" et \"C\" trois parties de \"E\". v\u00e9rifiant \"E = A \cup B\", \"A \cap C \subset B\" et \"B \cap C \subset A\".
\nAlors \"C \subset A \cap B\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"x \in C\".<\/em>
\n\"\bullet\" On suppose que \"x \notin A\", comme \"E = A \cup B\", \"x \in B\" , donc \"x \in B \cap C\" alors \"x \in A\". On aboutit \u00e0 une contradiction.<\/em>
\nIl est impossible que \"x \notin A\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On a prouv\u00e9 que \"x \in A\". Comme \"x \in C\", \"x \in A \cap C\", donc \"x \in B\".<\/em>
\nAlors \"x \in A \cap B\".<\/em><\/p>\n

On a prouv\u00e9 l’inclusion : \"C \subset A \cap B\".<\/em><\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSoient \"A\", \"B\" et \"C\" trois parties de \"E\".
\nSi \"A \cap B \subset A \cap C\" et \"A \cup B \subset A \cup C\", \"B \subset C\".\u00a0 Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"x \in B\".\u00a0<\/em>
\nOn distingue deux cas :\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\" \"x \in A\", alors \"x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \cap C\", donc \"x \in C\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"x \notin A\", \"x \in A \cup B \Rightarrow x \in A \cup C\" avec \"x \notin A\", \"x \in C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Dans les deux cas, \"x\in C\".<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"x \in B \Rightarrow x \in C\".\u00a0<\/em>
\nOn a \u00e9tabli que \"B \subset C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

2. Injection, surjection, bijection<\/h2>\n
\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"f\" une application de \"E\" dans \"E\" telle que \"f \circ f \circ f = f\".
\n\"f\" est injective si, et seulement si, \"f\" est surjective. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\bullet\"\u00a0On suppose que \"f\" est injective.<\/b><\/em>
\nPour tout \"x\" de \"E\", \"f \circ f \circ f (x) = f(x)\", donc \"f(f \circ f (x)) = f(x)\".<\/em>
\n\"f\" \u00e9tant injective, \"f \circ f (x) = x\", donc il existe \"t\" dans \"E\" (\"t = f (x)\") tel que \"x = f(t)\". On en d\u00e9duit que \"f\" est surjective.<\/em>
\nOn a donc prouv\u00e9 que si \"f\" est injective, \"f\" est surjective.<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On suppose que \"f\" est surjective.<\/b><\/em>
\nSoient \"x\" et \"y\" dans \"E\" tels que \"f(x) = f(y)\". Comme \"f\" est surjective, il existe \"t\" et \"t'\" dans \"E\" tels que \"x = f(t)\" et \"y = f(t')\". L’hypoth\u00e8se s’\u00e9crit \"\quad f \circ f (t) = f (x) = f(y) = f \circ f (t')\"<\/em>
\net en prenant l’image par \"f\" : \"\quad \quad \quad f \circ f \circ f (t) = f \circ f \circ f (t')\".<\/em>
\nComme \"f \circ f \circ f = f\", on en d\u00e9duit que \"f(t) = f(t')\" soit \"x = y\".\u00a0<\/em>
\nOn a ainsi prouv\u00e9 que \"f\" est injective.<\/em>
\nOn a donc \u00e9tabli que si \"f\" est surjective, \"f\" est injective.\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

On a donc prouv\u00e9 que si \"f\" est injective ou surjective, \"f\" est bijective. En composant la relation \"f \circ f \circ f = f\" par \"f ^{-1}\", on obtient \"f \circ f = \textrm{Id}_E\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nOn note \"U =\; ]0 , +\infty [ \times ]0 , +\infty [\" et
\n\"f : U \to U\", \"(x , \,y) \mapsto \displaystyle \left ( x \, y ,\, \frac {y} x \right )\".
\nQuestion 1<\/i>
\n\"f\" est injective. Est-ce Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Il est \u00e9vident que \"f\" est d\u00e9finie sur \"U\" \u00e0 valeurs dans \"U\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On suppose que \"f(x , \,y) = f(x' ,\, y')\" soit \"\displaystyle \left ( x \, y ,\, \frac {y} x \right )= \left ( x' \, y' ,\, \frac {y'} {x' }\right)\" donc \"x y = x' y'\" et \"\displaystyle \frac x y = \frac {x'} {y'}\".<\/em>
\nOn note \"t = \displaystyle \frac {y} x\".\u00a0<\/em>
\n\"t\in \mathbb{R} ^{+*}\" est tel que \"y = t \,x\" et \"y' = t\, x'\".<\/em>
\nLa relation \"x \,y = x' y'\" donne \"t \,x^2 = t\, x'^2\", puis \"x^2 = x'^2\" (\"t > 0\") et enfin \"x = x'\" car\u00a0<\/em>
\n\"x > 0\" et \"x' > 0\". On en d\u00e9duit que \"\quad \quad \quad y = t \,x = t \,x' = y'\".<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"\; \; f(x , \,y) = f(x' ,\, y') \Rightarrow (x , y) = (x' , \,y')\", donc \"f\" est injective.<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>(fin)
\nQuestion 2<\/i>
\n\"f\" est-elle bijective ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"(u , v) \in U\", on cherche \"(x ,\, y) \in U\" tel que \"f(x ,\, y) = (u , \,v)\".<\/em>
\nOn doit donc r\u00e9soudre le syst\u00e8me<\/a> :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} x \, y &=& u \\ y/x &=& v \end{matrix}\right.\" \"\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} v \, x^2 &=& u \\ y &=& v \, x \end{matrix}\right.\"<\/em>
\n\"\quad \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x^2 = u/v \\ y = v \, x \end{matrix}\right.\" \"\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x = \sqrt{ u/v} \\ y = v \, \, \sqrt{u/v} \end{matrix}\right.\"<\/em>
\ncar \"x > 0\".\u00a0<\/em>
\nLes valeurs \"x\" et \"y\" obtenues sont bien strictement positives.<\/em><\/p>\n

On a \u00e9tabli :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad f(x , \, y) = (u ,\, v)\" \"\quad \quad \Leftrightarrow \displaystyle (x , \, y) = \left ( \sqrt{\frac u v } \, , \, \sqrt{u \, v} \right )\".\u00a0<\/em>
\nOn en d\u00e9duit que \"f\" est surjective.\u00a0<\/em><\/p>\n

En r\u00e9sum\u00e9, \"f\" est une bijection de \"U\" sur \"U\" et \"\; \; f ^{-1} : U \to U,\, (u , v) \mapsto \displaystyle \left ( \sqrt{\frac u v } \, , \, \sqrt{u \, v} \right )\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSoient \"f\" une application de \"E\" dans \"F\", \"g\" une application de \"F\" dans \"G\" et \"h = g \circ f\".
\nQuestion 1<\/i>
\nSi \"h\" est surjective et \"g\" injective, \"f\" est surjective. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"y \in F\",\u00a0 \"g(y) \in H\".\u00a0<\/em>
\nComme \"h : E \to H\" est surjective, il existe \"x \in E\" tel que \"g(y) = h(x)\" soit \"g(y) = g (f(x))\".<\/em>
\nComme \"g\" est injective, \"y = f(x)\".<\/em>
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"f\" est surjective.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3\u00a0<\/b>(fin)
\nQuestion 2\u00a0<\/i>
\nSi \"h\" est injective et \"f\" surjective, \"g\" est injective. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"(y ,\, y') \in F^2\" tel que \"g(y) = g(y')\".<\/em>
\n\"f\" est une surjection de \"E\" sur \"F\".\u00a0<\/em>
\nIl existe \"x \in E\" et \"x' \in E\" tels que \"\quad \quad y = f(x)\" et \"y' = f(x')\"<\/em>
\ndonc \"g (f(x) ) = g(f(x'))\" \"\Rightarrow h(x) = h(x')\".\u00a0<\/em>
\n\"h\" est injective, donc \"x = x'\" alors \"y = y'\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"g\" est injective.<\/em><\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSoient \"E, \, F\" et \"G\" trois ensembles et \"f\" une application de \"F\" dans \"G\".
\nMontrer que \"f\" est injective ssi \"\forall\, (g ,\, h) \in( \mathcal{F}(E,\, F)) ^2 ,\" \"\quad \quad \quad \, ( f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h )\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0On suppose que \"f\" est injective.<\/b><\/em>
\nSoient \"g\" et \"h\" deux applications de \"E\" dans \"F\" telles que \"f \circ g = f \circ h\".<\/em>
\nAlors \"\forall \, x \in E ,\, f \circ g(x) = f \circ h(x)\", donc \"f ( g(x) ) = f ( h(x) )\", comme \"f\" est injective, on en d\u00e9duit que \"g(x) = h(x)\".<\/em>
\n\"g\" et \"h\" sont deux applications de \"E\" dans \"F\" telles que \"\forall\, x \in E\", \"g(x) = h(x)\", alors \"g = h\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Au lieu de montrer que si \"\forall\, (g ,\, h) \in \left (F ^E \right ) ^2 , \, ( f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h )\", alors \"f\" est injective, on d\u00e9montre la contrapos\u00e9e.<\/em>
\nC’est \u00e0 dire on d\u00e9montre que si \"f\" n’est pas injective, on peut trouver deux applications \"g\" et \"h\" de \"E\" dans \"F\" telles que \"g \neq h\" et \"f\circ g = f \circ h\".<\/em><\/p>\n

\"f\" n’est pas injective, donc il existe deux \u00e9l\u00e9ments distincts \"a\" et \"b\" de \"F\" tels que \"f(a) \neq f(b\").<\/em>
\nOn d\u00e9finit \"g : E \to F ,\, x \mapsto a\" et \"h : E \to F , \, x \mapsto b\".\u00a0<\/em>
\n\"g\" et \"h\" sont deux \u00e9l\u00e9ments distincts de \"\mathcal{F}(E,\, F)\".<\/em>
\nPour tout \"x \in E\", \"f \circ g(x) = f( g(x) ) = f(a) = f(b)\" \"f \circ g(x) = f( h(x) ) = f \circ h(x)\",\u00a0<\/em>
\nce qui prouve que \"f \circ g = f \circ h\".<\/em>
\nOn a donc \u00e9tabli que\u00a0<\/em>
\nsi\u00a0\u00a0\"\forall\, (g ,\, h) \in \left (F ^E \right ) ^2 ,\" \"\quad \quad \quad \, ( f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h )\",\u00a0<\/em>
\nalors \"f\" est injective.<\/em><\/p>\n\t\t

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STAGE INTENSIF MATHS SUP<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Profite de tes vacances pour progresser en maths et physique<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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96%<\/span><\/strong> \u00a0de r\u00e9ussite aux concours<\/span>
84%<\/strong><\/span> dans le TOP 10<\/span>
99%<\/span><\/strong> de recommandation \u00e0 leurs amis<\/span><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

3. images directes et r\u00e9ciproques<\/h2>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>
\nSoit \"f\" une application de \"E\" dans \"F\", montrer que \"f\" est surjective si, et seulement si, \"\quad \forall \, B \in \mathcal {P}(F), \, f(f^{-1}(B)) = B\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" On suppose que \"f\" est surjective. Soit \"B\" une partie quelconque de \"F\".<\/em>
\n\"\ast\" Pour tout \"y \in f(f^{-1}(B))\", il existe \"x\" dans \"f^{-1}(B)\" tel que \"y = f(x)\". Par d\u00e9finition de \"f^{-1}(B)\", \"f(x) \in B\", donc \"y = f(x) \in B\". On a donc \u00e9tabli que \"f(f^{-1}(B)) \subset B\".<\/em>
\n\"\ast\" Soit \"y \in B\". Comme \"f\" est surjective, il existe \"x \in E\" tel que \"y = f(x)\". Alors \"f(x) \in B\" donc \"x \in f^{-1}(B)\", on en d\u00e9duit que \"\; \; f(x) \in f(f^{-1}(B)) \Rightarrow y \in f(f^{-1}(B))\"\u00a0<\/em>
\nOn a d\u00e9montr\u00e9 que\u00a0 \"B \subset f(f^{-1}(B))\".<\/em>
\nDonc si \"f\" est surjective, pour toute partie \"B\" de \"F\", \"B = f(f^{-1}(B))\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que pour toute partie \"B\" de \"F\", \"B = f(f^{-1}(B))\".<\/em>
\nEn particulier pour \"B = F\", \"\quad \quad \quad F = f(f^{-1}(F))\".<\/em>
\nDonc pour tout \"y \in F\", \"y \in f(f^{-1}(F))\", il existe \"x \in f^{-1}(F)\" donc \"x \in E\" tel que \"y = f(x)\".\u00a0<\/em>
\nOn a \u00e9tabli que \"f\" est surjective.<\/em><\/p>\n

👍 On remarque que l’on a prouv\u00e9 que<\/em>
\nsi \"f \in E ^F\", l’inclusion \"f(f^{-1}(B)) \subset B\" est v\u00e9rifi\u00e9e pour toute partie \"B\" de \"F\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nSoit \"f\" une application de \"E\" dans \"E\".
\nOn note \"X = \{A \in \mathcal{P}(E)\, /\, f ^{-1} (f(A)) = A\}\".
\nQuestion 1\u00a0<\/i>
\n\"E \in X\" . Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On remarque d’abord que pour tout \"A \in \mathcal{P}(E)\", \"A \subset f ^{-1} (f(A))\" :\u00a0<\/em>
\ncar si \"x \in A,\, f(x) \in f(A)\", donc \"x \in f ^{-1} (f(A))\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Alors \"E \subset f ^{-1} (f(E))\" et comme l’inclusion \"f ^{-1} (f(E)) \subset E\" est \u00e9vidente, par double inclusion, \"f ^{-1} (f(E))= E\", donc \"E \in X\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>\u00a0(suite)
\nQuestion 2<\/i>
\nSi \"A\" et \"B\" sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"X\", \"A \cup B \in X\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soient \"A\" et \"B\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"X\", on suppose donc que \"f ^{-1} (f(A)) = A\" et \"f ^{-1} (f(B)) = B\".<\/em>
\nSoit \"x \in f ^{-1} (f(A \cup B))\", alors \"f(x) \in f(A \cup B)\", donc il existe \"x' \in A \cup B\" tel que \"f(x) = f(x')\".<\/em>
\nComme \"x' \in A\" ou \"x' \in B\", \"f(x') \in f(A)\" ou \"f(x') \in f(B)\", avec \"f(x) = f(x')\", donc \"f(x) \in f(A)\" ou \"f(x) \in f(B\"), alors \"x \in f ^{-1} (f(A))\" ou \"x \in f ^{-1} (f(B))\".<\/em>
\nD’apr\u00e8s l’hypoth\u00e8se sur \"A\" et \"B\", \"x \in A\" ou \"x \in B\" soit \"x \in A \cup B\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"\quad \quad f ^{-1} (f(A \cup B))\subset A \cup B\".\u00a0<\/em>
\nComme l’inclusion \"\quad \quad A \cup B \subset f ^{-1} (f(A \cup B))\"\u00a0<\/em>
\nest toujours v\u00e9rifi\u00e9e, par double inclusion, \"A \cup B = f ^{-1} (f(A \cup B))\" soit \"A \cup B \in X\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>\u00a0(suite)
\nQuestion 3<\/i>
\nSi \"A\" et \"B\" sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"X\", \"A \cap B \in X\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soient \"A\" et \"B\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"X\", on suppose donc que \"f ^{-1} (f(A)) = A\" et \"f ^{-1} (f(B)) = B\".<\/em>
\nSoit \"x \in f ^{-1} (f(A \cap B))\", alors \"f(x) \in f(A \cap B)\", donc il existe \"x' \in A \cap B\" tel que \"f(x) = f(x')\".<\/em>
\nPuisque \"f(x') \in f(A)\", \"f(x) \in f(A)\" donc \"x \in f ^{-1} (f(A))\", comme \"A \in X\", \"x \in A\".<\/em>
\nDe m\u00eame, \"x \in B\" donc \"x \in A \cap B\".\u00a0<\/em>
\nOn a d\u00e9montr\u00e9 que \"\quad \quad f ^{-1} (f(A \cap B)) \subset A \cap B\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Comme on a toujours \"\quad \quad \quad A \cap B \subset f ^{-1} (f(A \cap B))\",<\/em>
\n\u00a0par double inclusion,\u00a0<\/em>
\n\"A \cap B = f ^{-1} (f(A \cap B))\Rightarrow A \cap B \in X\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>\u00a0(fin )
\nQuestion 4\u00a0<\/i>
\n\"X = \mathcal{P}(E)\" si, et seulement si, \"f\" est injective.<\/p>\n

4. Relations d’\u00e9quivalence<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"E\" un ensemble non vide et \"F = \mathcal{F}(E , E)\".
\nOn rappelle que \"S_E\" est l’ensemble des bijections de \"E\" sur \"E\".
\nOn d\u00e9finit sur \"F\" la relation \"\mathcal{R}\" par
\n\"\; \; f\, \mathcal{R} \, g \Leftrightarrow \exists \, h \in S_E, \, g = h \circ f \circ h ^{- 1}\".
\n\"\mathcal{R}\" est une relation d’\u00e9quivalence sur \"F\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Soit \"f \in F\" et \"h = \textrm{Id}_E\,\", alors \"f = h \circ f \circ h ^{- 1}\" donc \"f\, \mathcal{R} \, f\".\u00a0<\/em>
\n\"\mathcal{R}\" est\u00a0r\u00e9flexive<\/b>.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"(f\, , \, g) \in F^2\" v\u00e9rifiant \"f\, \mathcal{R} \, g\".<\/em>
\nIl existe \"h \in S_E\" tel que \"g = h \circ f \circ h ^{- 1}\" alors \"f = h ^{-1} \circ g \circ h\" soit \"f = h' \circ g \circ h'^{-1}\" avec \"h' = h ^{- 1} \in S_E\,\".<\/em>
\n\"\mathcal{R}\" est\u00a0sym\u00e9trique.<\/b><\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"(f\, , \, g\, , \, h) \in F^3\" v\u00e9rifiant \"f\, \mathcal{R} \, g\" et \"g\, \mathcal{R} \, h\".<\/em>
\nIl existe \"(u \, , \, v) \in S_E^2\" tel que \"\quad g = u \circ f \circ u ^{- 1}\" et \"h = v \circ g \circ v ^{- 1}\"\u00a0<\/em>
\nalors \"h = v \circ ( u \circ f \circ u ^{- 1}) \circ v ^{- 1}\"\u00a0<\/em>
\npar associativit\u00e9 de la loi \"\circ\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad h =( v \circ u ) \circ f \circ (u ^{- 1} \circ v ^{- 1})\"\u00a0<\/em>
\npuis en utilisant \"u ^{- 1} \circ v ^{- 1} = (v \circ u) ^{- 1}\" en notant \"w = v \circ u \in S_E\,\", on a montr\u00e9 que \"h = w \circ f \circ w^{- 1}\" donc \u00a0\"f\, \mathcal{R} \, h\".<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"\mathcal{R}\" est\u00a0transitive.<\/b><\/em><\/p>\n

\"\mathcal{R}\" est une relation d’\u00e9quivalence sur \"F\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nSoit \"E\" un ensemble contenant au moins deux \u00e9l\u00e9ments et \"x\" un \u00e9l\u00e9ment de \"E\" fix\u00e9.
\nOn d\u00e9finit \"\mathcal{R}\" sur \"\mathcal{P}(E)\" par :
\n\"A \, \mathcal{R} \, B\" ssi \"x \in A \cap B\" ou \"x \in \overline{A} \cap \, \overline{B}\"
\nQuestion 1<\/i><\/b>
\n\"\mathcal{R}\" est une relation d’\u00e9quivalence sur \"\mathcal{P}(E)\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Soit \"A \in \mathcal{P}(E)\".<\/em>
\n\u00a0\"\ast\" Si \"x \in A\",\u00a0 \"x \in A \cap A\" donc \"A \, \mathcal{R} \,A\".\u00a0<\/em>
\n\u00a0\"\ast\" Si \"x \notin A\", \"x \in \overline{A}\" donc \"x \in \overline{A} \cap \overline{A}\", donc \"A \, \mathcal{R} \,A\".\u00a0<\/em>
\nPar disjonction des cas, on a prouv\u00e9 que \"A \, \mathcal{R} \,A\".<\/em>
\nLa relation est\u00a0r\u00e9flexive<\/b>.\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"(A \, , \,B) \in \mathcal{P}(E)^2\",\u00a0<\/em>
\nsi \"A \, \mathcal{R} \, B\", alors \"B \, \mathcal{R} \, A\" par commutativit\u00e9 de la loi \"\cap\".<\/em>
\nLa relation est\u00a0sym\u00e9trique.<\/b><\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"(A \, , \,B\, , \, C) \in \mathcal{P}(E)^3\",\u00a0<\/em>
\nsi \"A \, \mathcal{R} \, B\" et \"B \, \mathcal{R} \, C\", on distingue les cas :\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" \"x \in A \cap B\" et \"x \in B \cap C\", alors \"x \in A \cap C\" donc \"A \, \mathcal{R} \, C\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" \"x \in \overline{A} \cap \, \overline{B}\" et \"x \in \overline{B} \cap \, \overline{C}\", alors \"x \in \overline{A} \cap \, \overline{C}\" donc \"A \, \mathcal{R} \, C\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Il est impossible d’avoir \"x \in A \cap B\" et \"x \in \overline{B} \cap \overline{C}\", car on devrait avoir \"x \in B \cap \overline {B}\".<\/em>
\n\"\ast\" Il est impossible d’avoir \"x \in B \cap C\" et \"x \in \overline{A} \cap \overline{B}\", car on devrait avoir \"x \in B \cap \overline {B}\".<\/em>
\nPar disjonction des cas, on a prouv\u00e9 que \"A \, \mathcal{R} \, C\".\u00a0<\/em>
\n\"\mathcal{R}\" est\u00a0transitive.\u00a0<\/b><\/em><\/p>\n

\"\mathcal{R}\" est une relation d’\u00e9quivalence sur \"\mathcal{P}(E)\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>(fin)
\nQuestion 2<\/i><\/b>
\nQuel est le nombre de classes d’\u00e9quivalence ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\ast\" Soit \"A = \{x \}\".\u00a0<\/em>
\nOn remarque que \"A \, \mathcal{R} \,A'\" ssi \"x \in A'\"\u00a0<\/em>
\ncar la relation \"x \in \overline{A} \cap \overline {A'}\" est impossible et \"x \in A \cap A'\" ssi \"x \in A'\".\u00a0<\/em>
\nDonc \"\textrm{Cl}(A) = \{ A' \in \mathcal{ P}(E) \, / \, x \in A'\}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Soit \"B = \overline {\{x \}}\".\u00a0<\/em>
\nOn remarque que \"B' \, \mathcal{R} \,B\" ssi \"x \notin B'\"\u00a0<\/em>
\ncar la condition \"x \in B \cap B'\" est impossible et \"x \in \overline{B} \cap \overline {B'}\" ssi \"x \in \overline {B'}\" ssi \"x \notin B'\".<\/em>
\nAlors \"\textrm{Cl}(B) = \{ B' \in \mathcal{ P}(E) \, / \, x \notin B'\}\".<\/em><\/p>\n

Toute partie \"C\" de \"E\" v\u00e9rifie\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" soit \"x \in C\", alors \"C \in \, \textrm{Cl}(A)\"\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" soit \"x \notin C\", alors \"C \in \textrm{Cl}(B)\".<\/em>
\nOn a donc trouv\u00e9 toutes les classes d’\u00e9quivalence.\u00a0<\/em>
\nIl y en a deux.\u00a0<\/em><\/p>\n

5. Relations d’ordre<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"E\" un ensemble contenant au moins deux \u00e9l\u00e9ments et \"x\" un \u00e9l\u00e9ment de \"E\" fix\u00e9.
\nSur \"\mathcal{P}(E)\", on d\u00e9finit \"\mathcal{R}\" par
\n\"\quad A \, \mathcal{R} \, B\" ssi \"A = B\" ou \"x \in A \cap \overline{B}\".
\nQuestion 1<\/i>
\n\"\mathcal{R}\" est une relation d’ordre sur \"\mathcal{P}(E)\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Soit \"A \in \mathcal{P}(E)\", comme \"A = A\", \"A \, \mathcal{R} \,A\".\u00a0<\/em>
\nLa relation est\u00a0r\u00e9flexive<\/b>.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"(A \, , \,B) \in \mathcal{P}(E)^2\",\u00a0<\/em>
\nOn suppose que \"A \, \mathcal{R} \, B\" et \"B \, \mathcal{R} \, A\".<\/em>
\nSi l’on avait \"A \neq B\", on aurait \"x \in A \cap \overline{B}\" et \"x \in B \cap \overline{A}\", donc on aurait \"x \in A \cap \overline{A}\", ce qui est impossible.\u00a0<\/em>
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"A = B\".<\/em>
\nLa relation est\u00a0antisym\u00e9trique<\/b>.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"(A \, , \,B\, , \, C) \in \mathcal{P}(E)^3\",\u00a0<\/em>
\nOn suppose que \"A \, \mathcal{R} \, B\" et \"B \, \mathcal{R} \, C\".<\/em>
\n\"\ast\" Si \"A = B\" et \"B = C\" alors \"A = C\", donc \"A \, \mathcal{R} \, C\".<\/em>
\n\"\ast\" Si \"A = B\" et \"x \in B \cap \overline{C}\", alors \"x \in A \cap \overline{C}\" donc \"A \, \mathcal{R} \, C\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"x\in A \cap \overline{B}\" et \"B = C\", alors \"x \in A \cap \overline{C}\" donc \"A \, \mathcal{R} \, C\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Les conditions \"x \in A \cap \overline{B}\" et \"x \in B \cap \overline {C}\" sont incompatibles car elles donnent \"x \in B\" et \"x \notin B\".\u00a0<\/em>
\nPar disjonction des cas, on a prouv\u00e9 que \"A \, \mathcal{R} \, C\".\u00a0<\/em>
\nLa relation est\u00a0transitive<\/b>.<\/em><\/p>\n

La relation \"\mathcal{R}\" est une relation d’ordre.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 1<\/b>\u00a0(suite)
\nQuestion 2<\/i>
\nC’est une relation d’ordre total. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On introduit \"y \in E\" tel que \"y \neq x\".<\/em>
\nOn note \"A = \{x \}\" et \"B = \{x \, , \, y \}\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" \"A \neq B\" et \"x \notin A \cap \overline {B}\", donc \"A \, \mathcal{R} \, B\" n’est pas v\u00e9rifi\u00e9e.<\/em>
\n\"\ast\" \"B \neq A\" et \"x \notin B \cap \overline {A}\", donc \"B \, \mathcal{R} \, A\" n’est pas v\u00e9rifi\u00e9e.<\/em><\/p>\n

Les \u00e9l\u00e9ments \"A\" et \"B\" ne sont pas comparables pour la relation \"\, \mathcal{R}\,\" qui n’est pas totale.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nSoit \"E\" un ensemble et \"H\" une partie fix\u00e9e de \"E\" distincte de \"\varnothing\" et de \"E\".
\nOn d\u00e9finit la relation \"\mathcal{R}\" sur \"\mathcal{P} (E)\" par :
\n\"\forall (A , \, B) \in \mathcal{P} (E)^2\", \"A \, \mathcal{R} \, B\" ssi \"A\cap H \subset B \cap H\" et \"B \cap \overline{H} \subset A \cap \overline {H}\".
\n
\nQuestion 1\u00a0<\/i>
\n\"\mathcal{R}\" est une relation d’ordre sur \"\mathcal{P} (E)\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Pour tout \"A \in \mathcal{P} (E) ,\, A \cap H \subset A \cap H\" et \"A \cap \overline {H} \subset A \cap\overline {H}\", donc \"A \, \mathcal{R} \, A\".<\/em>
\nLa relation \"\mathcal{R} \,\" est une relation\u00a0r\u00e9flexive<\/b>.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"\forall\, (A ,\, B) \in \mathcal{P} (E)^2\", si \"A \, \mathcal{R} \, B\" et \"B \, \mathcal{R} \, A\".\u00a0<\/em>
\n\"A \cap H \subset B \cap H\" et \"B \cap \overline {H} \subset A \cap \overline {H}\"\u00a0<\/em>
\n\"B \cap H \subset A \cap H\" et \"A \cap \overline {H} \subset B \cap \overline {H}\"\u00a0<\/em>
\n\"\Rightarrow A \cap H = B \cap H\" et \"A \cap \overline {H} = B \cap \overline {H}\"<\/em>
\nOn termine en utilisant \"A = A \cap (H \cup \overline{H} ) = (A \cap H ) \cup (A \cap \overline{H})\"<\/em>
\n\"A = (B \cap H ) \cup (B \cap \overline{H}) = B \cap E = B\".\u00a0 \u00a0<\/em>
\nDonc la relation \"\mathcal{R}\" est\u00a0antisym\u00e9trique<\/b>.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"\forall\, (A , B , C) \in \mathcal{P} (E)^3\",\u00a0<\/em>
\nsi \"A \, \mathcal{R} \, B\" et \"B \, \mathcal{R} \, C\".\u00a0<\/em>
\n\"\; \; A \cap H \subset B \cap H\" et \"B \cap \overline {H} \subset A \cap \overline{H}\",\u00a0<\/em>
\n\"\; \; B \cap H \subset C \cap H\" et\u00a0 \"C \cap \overline {H} \subset B \cap \overline{H}\"\u00a0<\/em>
\ndonc par transitivit\u00e9 de l’inclusion,\"\; \; A \cap H \subset C \cap H\" et \"C \cap \overline {H} \subset A \cap \overline{H}\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"A \, \mathcal{R} \, C\".<\/em>
\nLa relation est donc\u00a0transitive.<\/b><\/em><\/p>\n

La relation \"\mathcal{R}\" est une relation d’ordre sur \"\mathcal{P} (E)\" .<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>\u00a0(suite)
\nQuestion 2\u00a0<\/i>
\nOn a d\u00e9fini une relation d’ordre total ou partiel ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Si l’on cherche \u00e0 comparer \"\varnothing\" et \"E\" ,<\/em>
\n\"E\cap \overline{H} = \overline{H}\" n’est pas inclus dans \"\varnothing \cap \overline{H} = \varnothing\" donc \"\varnothing \, \mathcal{R} \, E\" est fausse.<\/em><\/p>\n

\"E \cap H = H\" n’est pas inclus dans \"\varnothing \cap H = \varnothing\", donc \"E \, \mathcal{R} \, \varnothing\" est fausse.<\/em><\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"E\" et \"\varnothing\" ne sont pas comparables pour la relation d’ordre \"\mathcal{R}\" . Il s’agit d’une\u00a0relation d’ordre partiel<\/b>.<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>\u00a0(fin)
\nQuestion 3.\u00a0<\/i>
\n\"\forall\, A \in \mathcal{P} (E)\", \"\overline{H} \mathcal {R} A\" et \"A \mathcal {R} H\".
\n\"H\" (resp. \"\overline {H}\") est appel\u00e9 plus grand \u00e9l\u00e9ment (resp. plus petit \u00e9l\u00e9ment) pour cette relation d’ordre.<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" On d\u00e9montre que \"H\" est plus grand \u00e9l\u00e9ment de \"\mathcal{P} (E)\" pour la relation \"\mathcal{R}\" :<\/em>
\n\"\forall\, A \in \mathcal{P} (E)\", \"A \cap H \subset H\" donc \"A \cap H \subset H \cap H\"<\/em>
\net \"H \cap \overline {H} = \varnothing \subset A \cap \overline {H}\",\u00a0<\/em>
\ndonc \"A \, \mathcal{R} \, H\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9montre que \"\overline {H}\" est le plus petit \u00e9l\u00e9ment de P (E) pour la relation \"\mathcal{R}\" :<\/em>
\n\"\forall\, A \in \mathcal{P} (E)\", \"\overline {H}\cap H = \varnothing \subset A \cap H\" et \"A \cap \overline {H} \subset \overline {H} = \overline {H} \cap \overline {H}\", donc \"\overline {H} \, \mathcal{R} \, A\".<\/em><\/p>\n

6. Loi de composition interne<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nOn suppose que \"E\" est un ensemble non vide.
\nSi \"v \in E ^E\", on note \"v_0 = \textrm{Id} _ E\" et si \"n \in \mathbb{N}, v _{n + 1} = v_n \circ v\".
\nOn se donne \"u \in E ^E\" et on note : \"\quad \quad \mathcal{C} = \{ v \in E ^E \, / \, u \circ v = v \circ u \}\".<\/p>\n

Question 1<\/i>.
\nSi \"(v ,\, w) \in \mathcal{C}^2, \, v \circ w \in \mathcal{C}\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

correction<\/strong> : On suppose que \"(v , w) \in \mathcal{C}^2\"<\/em>
\nPar associativit\u00e9 de la loi \"\circ\",\u00a0<\/em>
\n\"(v \circ w) \, \circ u = v \circ (w \circ u)\"\u00a0<\/em>
\ncomme \"w \in \mathcal{C}\",<\/em>
\n\"(v \circ w) \, \circ u = v \circ (u \circ w)\"\u00a0<\/em>
\npar associativit\u00e9 de la loi \"\circ\",<\/em>
\n\"(v \circ w) \, \circ u = (v \circ u ) \circ w\"\u00a0<\/em>
\ncomme \"v \in \mathcal{C}\",<\/em>
\n\"(v \circ w) \, \circ u = (u \circ v ) \circ w\"\u00a0<\/em>
\npar associativit\u00e9 de la loi \"\circ\",<\/em>
\n\"(v \circ w) \, \circ u = u \circ ( v \circ w)\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"v \circ w \in \mathcal{C}\".<\/em><\/p>\n

⚠️ Justifiez les diff\u00e9rentes \u00e9tapes du raisonnement en d\u00e9pla\u00e7ant correctement les parenth\u00e8ses.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>(suite)
\nQuestion 2\u00a0<\/i>
\nPour tout \"n \in \mathbb{N}, u_n \in \mathcal{C}\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Pour tout \"n \in \mathbb{N}\", soit \"H_n : u_n \in \mathcal{C}\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"u_ 0 = \textrm{Id}_E\" donc \"u_0 \circ u = u = u \circ u_0\" et \"u_0 \in \mathcal{C}\".\u00a0<\/em>
\n\"H_0\" est vraie.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est vraie.\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ u = (u_n \circ u) \circ u\"<\/em>
\nPar \"H_n\",\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ u = (u \circ u_n) \circ u\"<\/em>
\npar associativit\u00e9 de la loi \"\circ\",<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ u = u \circ (u_n \circ u)\"<\/em>
\npar d\u00e9finition de \"u_{n + 1}\,\",\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ u = u \circ u_{n + 1}\"<\/em>
\ndonc \"u_{n + 1} \in \mathcal{C}\".<\/em>
\n\"H_{n + 1}\" est vraie.\u00a0<\/em><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence<\/a>.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 1<\/b>\u00a0(suite)
\nQuestion 3<\/i>
\nSi \"v \in \mathcal{C}\", \"\forall\, n \in \mathbb{N}, u_n \circ v = v \circ u_n\,\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"v \in \mathcal{C}\". On note :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \forall\, n \in \mathbb{N},\, H_n : u_n \circ v = v \circ u_n\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"H_0\" est \u00e9vidente car \"u_0 = \textrm{Id} _ E\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est vraie.\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ v = (u_n \circ u) \circ v\"<\/em>
\npar associativit\u00e9,\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ v = u_n \circ (u \circ v)\"<\/em>
\ncomme \"v \in \mathcal{C}\",\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ v = u_n \circ (v \circ u)\"<\/em>
\npar associativit\u00e9,<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ v = (u_n \circ v )\circ u\"<\/em>
\npar \"H_n\"\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ v = (v \circ u_n) \circ u\"<\/em>
\npar associativit\u00e9<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ v = v \circ (u_n \circ u )\"<\/em>
\net en utilisant la d\u00e9finition de \"u_{n + 1}\"<\/em>
\n\"u_{n + 1} \circ v = v \circ u_{n + 1}\"<\/em>
\nce qui prouve \"H_{n + 1}\,\".<\/em><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 1<\/b>\u00a0(fin)
\nQuestion 4<\/i>
\nSi \"v \in \mathcal{C}\", \"\forall\, n \in \mathbb{N}, (u \circ v)_n = u_n \circ v_n\,\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"v \in \mathcal{C}\". On note :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \forall\, n \in \mathbb{N},\" \"H _n : (u \circ v)_n = u_n \circ v_n\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"H_0\" est \u00e9vidente car \"(u\circ v)_0 = u_0 = v_0 = \textrm{Id}_E\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est vraie.\u00a0<\/em>
\n\"(u \circ v) _{n + 1} = (u \circ v) _ n \circ (u \circ v)\".<\/em>
\npar \"H_n\,\" ,<\/em>
\n\"(u \circ v) _{n + 1} = (u_n \circ v_n ) \circ (u \circ v)\".<\/em>
\nPar associativit\u00e9,\u00a0<\/em>
\n\"(u \circ v) _{n + 1} = u_n \circ (v_n \circ u )\circ v)\".<\/em>
\nen utilisant la question 3 par \u00e9change de \"u\" et \"v\"\u00a0<\/em>
\n\"(u \circ v) _{n + 1} = u_n \circ (u \circ v_n )\circ v)\".<\/em>
\npar associativit\u00e9,\u00a0<\/em>
\n\"(u \circ v) _{n + 1} = (u_n \circ u ) \circ (v_n \circ v)\"<\/em>
\nsoit \"(u \circ v) _{n + 1} = u_{n + 1} \circ v_{n + 1}\"<\/em>
\nce qui prouve \"H_{n + 1}\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

\n\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"Prendre\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

7. Groupes<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"(G ,\, .)\" un groupe. On suppose que \"A\" et \"B\" sont deux sous-groupes de \"G\".
\n\"A \cup B\" est un sous-groupe de \"G\" ssi \"A \subset B\" ou \"B \subset A\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Si \"A \subset B\" , \"A \cup B = B\" est un sous-groupe de \"G\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"B \subset A\" , \"A \cup B = A\" est un sous-groupe de \"G\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"B\" n’est pas inclus dans \"A\" et \"A\" n’est pas inclus dans \"B\", il existe \"b \in B\" tel que \"b \notin A\" et \"a \in A\" tel que \"a \notin B\".<\/em>
\nSoit \"c = a \, b\"\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"c \in A\", alors \"b = a ^{- 1} \, c\" serait un \u00e9l\u00e9ment du groupe \"A\" ce qui est exclu.\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"c \in B\" , alors \"a = c \, b ^{- 1}\" serait un \u00e9l\u00e9ment du groupe \"B\" ce qui est exclu.\u00a0<\/em>
\ndonc \"c \notin A \cup B\".\u00a0<\/em>
\nOn a trouv\u00e9 deux \u00e9l\u00e9ments \"a\" et \"b\" de \"A \cup B\" tels que \"a\, b\notin A \cup B\".\u00a0<\/em>
\nDonc \"A \cup B\" n’est pas un sous-groupe de \"(G,\, .)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nOn note si \"(a , \, b) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C},\" \"\quad \quad f _{(a , \,b)} : \mathbb{C}\to \mathbb{C} , z \mapsto a \, z + b\".
\n\"G = \{ f_{(a ,\, b)} \, / \, (a , \,b) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C} \}\" est un groupe pour la loi \"\circ\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" \"f_{(a, b)}\" est une bijection de \"\mathbb{C}\" dans lui m\u00eame car\u00a0<\/em>
\nsi \"u \in \mathbb{C}\" , \"u = f_{(a ,\, b)} (z)\" ssi \"u = a \,z + b\" ssi \"z = \displaystyle \frac {u - b} {a}\".\u00a0<\/em>
\ndonc l’\u00e9quation<\/a> \"u = f_{(a , \,b)} (z)\" admet une et une seule solution pour tout \"u\in \mathbb{C}\".\u00a0<\/em>
\nOn remarque que l’on a prouv\u00e9 en m\u00eame temps que \"(f_{(a ,\, b)}) ^{- 1} = f_{( 1/a , \,- b / a)}\"<\/em>
\nAlors \"G\" est une partie du groupe \"(S_{\mathbb{C}}\,, \, \circ)\"<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"G\" est non vide car \"\textrm{Id} _ {\mathbb {C}} = f _ {(1 , 0)}\in G\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"(a , \,b) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}\" et \"(c ,\, d) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}\".<\/em>
\n\"\forall z \in \mathbb{C}, \,\"\u00a0<\/em>
\n\"f _{(c , \,d)} \circ f_{(a , \,b)} (z) = f _{(c , \,d)}(a \, z + b)\" \"f _{(c , \,d)} \circ f_{(a , \,b)} (z) = c(a \, z + b) + d\"<\/em>
\n\"f _{(c , \,d)} \circ f_{(a ,\,b)} (z) = (a \, c ) z + c \, b + d\".\u00a0<\/em>
\nComme \"a \, c \neq 0\",\u00a0<\/em>
\n\"f _{(c , \,d)} \circ f_{(a ,\, b)} = f_{(a \, c, \, c\, b + d)} \in G\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Et on avait prouv\u00e9 que \"\quad (f_{(a , \,b)}) ^{- 1} = f_{( 1/a ,\, - b / a)} \in G\".<\/em>
\nDonc \"G\" est un sous-groupe de \"(S_{\mathbb{C}}\,, \, \circ)\" .<\/em><\/p>\n

Exercice 3\u00a0<\/b>
\nSoient \"(G , .)\" un groupe et\u00a0\"H\" un sous-groupe de \"G\".
\nSi \"a \in G\", on note \"\quad a\, H\, a^{- 1} = \left \{ a\, x\, a ^{- 1} \, / \, x \in H \right \}\".
\n\"a\, H \, a ^{ - 1}\" est un sous-groupe de \"G\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"H' = a \, H\, a ^{ - 1}\".\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\" \"H'\" est une partie de \"G\".\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\" Comme \"H\" contient \"1_G\,\", \"H'\" contient \"a . 1_G \, . a ^{- 1} = 1_G \,\".<\/em>
\n\"\bullet\" Soit \"( u ,\, v) \in H'^2\", il existe \"x\" et \"y\" dans \"H\" tels que \"u = a \, x \, a ^{-1}\" et \"v = a \, y \, a ^{-1}\".<\/em>
\n\"u \, v ^{- 1} = ( a \, x \, a ^{-1}) \, ( a \, y \, a ^{-1}) ^{- 1}\"<\/em>
\n\"u \, v ^{- 1} = ( a \, x \, a ^{-1}) \, ( a \, y^{-1} \, a ^{-1})\"<\/em>
\n\"u \, v ^{- 1} = a \, x \, (a ^{-1} \, a) \, y^{-1} \, a ^{-1}\"<\/em>
\n\"u \, v ^{- 1} = a \, x \, y^{-1} \, a ^{-1} = a \, z \, a ^{- 1}\" avec \"z = x \, y^{-1} \in H\", donc \"u \, v ^{- 1} \in H'\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On a montr\u00e9 que \"H'\" est un sous-groupe de \"(G , \, . )\". C’est un groupe.\u00a0<\/em><\/p>\n

8. Anneau<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"(A , + , .)\" est un anneau
\nOn dit que \"x \in A\" est un diviseur de \"0\" si \"x \neq 0\" et il existe \"y \neq 0\" tel que \"x \, y = 0\" ou \"y \, x = 0\".<\/p>\n

On note \"U = \{ x \in A \, / \, \exists \, y \in A ,\, x \, y = y\, x = 1 \}\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/i>
\nSoit \"(x , \, y) \in A^2\".
\n\"1 - x \, y \in U\" ssi \"1 - y \, x \in U\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" On suppose que \"z = 1 - x\, y \in U\" ,\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" on peut donc introduire\u00a0<\/em>
\n\"(1 - y \, x) (1 + y \, z ^{ - 1} x ) = 1 - y \, x\" \"\quad \quad \quad \quad \quad + \, y \, z ^{ - 1} x - y \, x\, y \,z ^{ - 1} \, x\"\u00a0<\/em><\/p>\n

On simplifie :\u00a0<\/em>
\n\"y \, z ^{ - 1} x - y \, x\, y \,z ^{ - 1} \, x = y\, (1 - x\, y ) z ^{- 1} \, x\"<\/em>
\n\"y \, z ^{ - 1} x - y \, x\, y \,z ^{ - 1} \, x = y \, z \, z ^{ - 1} \, x = y \, x\"\u00a0<\/em>
\ndonc\u00a0<\/em>
\n\"(1 - y \, x) (1 + y \, z ^{ - 1} x ) = 1 - y \, x + y \, x = 1\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On calcule\u00a0<\/em>
\n\"(1 + y \, z ^{ - 1} x ) (1 - y \, x) = 1 - y \, x\" \"\quad \quad \quad \quad \quad +\, y \, z ^{ - 1} x - y \,z ^{ - 1} \, x \, y \, x\"\u00a0<\/em>
\nOn simplifie\u00a0<\/em>
\n\"y \, z ^{ - 1} x - y \,z ^{ - 1} \, x\, y \, x = y \, z^{- 1} (1 - x\,y)\, x\"<\/em>
\n\"y \, z ^{ - 1} x - y \,z ^{ - 1} \, y \, x = y\, z ^{-1} \, z \, x = y \, x\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"(1 + y \, z ^{ - 1} x ) (1 - y \, x) = 1 - y \, x + y \, x = 1\"<\/em><\/p>\n

On a prouv\u00e9 que\u00a0<\/em>
\n\"(1 - y \, x) (1 + y \, z ^{ - 1} x ) =\" \"\quad \quad \quad \quad (1 + y \, z ^{ - 1} x ) (1 - y \, x) = 1\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"1 - y \, x \in U\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad\" si \"1 - x \, y \in U, \,1 - y \, x \in U\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" En \u00e9changeant \"x\" et \"y\", on obtient :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad\" si \"1 - y \, x \in U, \,1 - x \, y \in U\".<\/em><\/p>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>(fin)
\nQuestion 2<\/i>
\nOn suppose que \"(a, \, b) \in A^2\", \"a \, b \in U\" et \"b \, a\" n’est pas un diviseur de \"0\".
\nAlors \"a\" et \"b\" sont \u00e9l\u00e9ments de \"U\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Comme \"a\, b \in U\", il existe \"c \in A\" tel que \"(a \, b )\, c = c\,(a \, b) = 1\".\u00a0<\/em>
\nOn multiplie la relation \"a\,b\, c = 1\" \u00e0 droite par \"a\" et \u00e0 gauche par \"b\", on obtient\u00a0<\/em>
\n\"(b \, a) (b \, c \, a) = b\, a\" donc \"b\, a( b\, c \, a - 1) = 0\".\u00a0<\/em>
\nComme \"b \,a\" n’est pas un diviseur de \"0\", \"b\, c \, a - 1 = 0\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On a donc prouv\u00e9 que \"b\,(c \, a) = 1\" et par hypoth\u00e8se \"(c \, a ) \, b = 1\" donc \"b \in U\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On a prouv\u00e9 que \"(b \, c) \, a = 1\" et par hypoth\u00e8se \"a \, (b \, c) = 1\" donc \"a \in U\".\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>: \u00e9l\u00e9ments nilpotents
\nSoit \"(A , \, + ,\, .)\" un anneau. On note \"1\" l’\u00e9l\u00e9ment neutre pour la multiplication.
\nOn dit qu’un \u00e9l\u00e9ment \"a \in A\" est nilpotent s’il existe \"n \in \mathbb{N }^*\" tel que \"a^n = 0\".
\nQuestion 1<\/i>
\nSi \"x \in A\" est nilpotent, montrer que \"1 - x\" est inversible et calculer son inverse<\/p>\n

Correction : Si \"x \in A\" est nilpotent, on introduit \"n \in \mathbb{N}^*\" tel que \"x ^n = 1\".
\nLes \u00e9l\u00e9ments \"1\" et \"x\" permutent, donc
\n\"1 = 1 - x^n = (1 - x) \displaystyle\left ( \sum _ {k = 0} ^{n - 1} x ^k \right )\"
\n\"1 = 1 - x^n = \displaystyle \left ( \sum _ {k = 0} ^{n - 1} x ^k \right ) (1 - x)\"
\ndonc \"1 - x\" est inversible d’inverse \u00e9gal \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} x ^k\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>\u00a0(suite)
\nQuestion 2<\/i>
\nSoient \"a\" et \"b\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"A\" tels que \"a\" soit inversible, \"a\, b = b \,a\" et \"b\" soit nilpotent. Montrer que \"a + b\" est inversible et donner son inverse.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" On d\u00e9montre par r\u00e9currence que pour tout \"p \in \mathbb{N}^*\", \"H_p : a \, b ^p = b ^p \, a\".<\/em>
\n\"H_1\" est vraie par hypoth\u00e8se sur \"a\" et \"b\".<\/em>
\nSi \"H_p\" est vraie, alors \"a \, b ^{p + 1} = a \, (b \, b ^p) = (a \, b) \, b ^p\"<\/em>
\npar associativit\u00e9, puis par \"a \, b = b \,a\",<\/em>
\n\"\quad \quad a \, b ^{p + 1} = (b \, a)\, b ^p = b \, (a \, b^p)\"\u00a0<\/em>
\npuis en utilisant \"H_p\" et l’associativit\u00e9,\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad a \, b ^{p + 1} = b \, (b ^p \, a ) = (b \, b ^p )\, a = b ^{p + 1} \, a\".\u00a0<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9montre par r\u00e9currence que pour tout \"p \in \mathbb{N}\" , \"H_p : (a \, b) ^p = a^p \, b ^p\".<\/em>
\n\"H_1\" est \u00e9vidente.\u00a0<\/em>
\nOn suppose que \"H_p\" est vraie.\u00a0<\/em>
\n\"(a \, b) ^{p + 1} = (a \, b )^p \, (a \, b) = (a^p \, b ^p) \, (a \, b)\"<\/em>
\n\"(a \, b) ^{p + 1} = a^p \, (b ^p \, a ) \, b = a^p \, (a \, b ^p ) \, b\"<\/em>
\nen utilisant la premi\u00e8re partie.\u00a0<\/em>
\n\"(a \, b) ^{p + 1} = ( a^p \, a) \, (b ^p \, b) = a^{p + 1} \, b ^{p + 1}\".<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On note \"x = - a ^{ - 1} \, b\".\u00a0<\/em>
\nSi \"a \, b = b \, a\" , \"a ^{- 1} \, a \, b \, a ^{- 1} = a ^{- 1} \, b \, a \, a^{- 1}\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"b \, a^{- 1} = a ^{- 1} b\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On introduit \"n \in \mathbb{N}^*\" tel que \"b ^n = 0\".\u00a0<\/em>
\nOn a montr\u00e9 que \"a^{-1} \, b = b \, a^{- 1}\" et la deuxi\u00e8me partie ci-dessus donne\u00a0 :\u00a0\u00a0<\/em>
\n\"( a^{- 1} \, b ) ^n = (a ^{-1} ) ^n \, b ^n = (a ^{-1}) ^n\, 0 = 0\"\u00a0<\/em>
\net \"x ^n = (-1) ^n ( a^{- 1} \, b ) ^n = 0\".\u00a0<\/em>
\nPar la question1, \"1 - x\" est inversible, soit \"1 + a ^{ - 1} \, b\" est inversible. Puis comme \"a\" est inversible, par produit<\/a> \"a( 1 + a ^{- 1} \, b) = a + b\" est inversible.\u00a0<\/em><\/p>\n

👍 On a d\u00e9montr\u00e9 des propri\u00e9t\u00e9s utiles dans d’autres exercices.<\/em>
\nDans un anneau \"A\", si \"a \, b = b \, a\",<\/em>
\n\"\quad\" \"\forall\, p \in \mathbb{N}, \, a \,b ^p = b ^p \, a\" et \"(a \, b)^p = a ^p \, b^p\".<\/em>
\nOn pourrait en d\u00e9duire que \"\quad \; \; \forall\, (p\, , \, n) \in \mathbb{N}^2, \,a^n \, b ^p = b ^p \, a^n\".<\/em>
\nSi de plus \"a\" est inversible, \"\quad \quad \quad a ^{- 1} \, b = b \, a^{- 1}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>\u00a0(suite)
\nQuestion 3<\/i>
\nSoient \"a\" et \"b\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"A\" tels que \"a\, b = b \,a\".
\na)\u00a0<\/b>Si \"a\" et \"b\" sont nilpotents et \"a \, b = b \, a\", montrer que \"a + b\" est nilpotent.
\nb)<\/b>\u00a0Si \"a\" est nilpotent et si \"a \, b = b \, a\", montrer que \"a \,b\" est nilpotent.
\nc)\u00a0<\/b>Si \"a \, b\" est nilpotent, montrer que \"b\, a\" est nilpotent.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Partie a)\u00a0<\/b><\/em>
\nOn note \"(n\, , \, p) \in \mathbb{N}^{*2}\" tels que \"a ^n = 0\" et \"b ^p = 0\".\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\" Si \"a \, b = b \, a\", on peut utiliser la formule du bin\u00f4me de Newton,\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle (a + b) ^{n + p} = \sum _{k = 0} ^{n + p} \binom {n + p} {k} a ^k \, b ^ {n + p - k}\"\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" si \"0\leq k \leq n\", \"p + n - k \geq p\" donc \"b ^ {n + p - k} = 0\" et \"a ^k \, b ^ {n + p - k} = 0\".\u00a0\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" si \"k \geq n + 1\", \"a ^k = 0\", donc \"a ^k \, b ^ {n + p - k} = 0\".\u00a0<\/em>
\nPar somme, \"(a + b) ^{n + p} = 0\",\u00a0\"a + b\" est nilpotent.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Partie b)<\/b><\/em>
\nOn a vu aussi dans la question 2 que \"(a \, b ) ^n = a ^n \, b ^n\" si \"a \, b = b \, a\".<\/em>
\nComme \"a^n = 0\", \"(a \, b ) ^n = 0\".<\/em>
\n\"a \, b\" est nilpotent.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Partie c)\u00a0<\/b><\/em>
\nOn \u00e9tablit par r\u00e9currence :\u00a0<\/em>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", \"H_n : (b \, a) ^{n + 1} = b\, (a \, b)^n \, a\".<\/em>
\n\"\ast\" \"b\, (a \, b) a = (b \, a) \, (b \, a) = (b \, a) ^2\".\u00a0<\/em>
\nOn a d\u00e9montr\u00e9 que \"H_1\" est vraie.\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" On suppose que \"H_n\" est vraie.\u00a0<\/em>
\n\"(b \, a) ^{n + 2} =( b \, a) \, (b \, a) ^{n + 1}\" \"(b \, a) ^{n + 2} = (b \, a) (b \, (a \, b) ^n \, a)\"<\/em>
\n\"(b \, a)^{n + 1} = b (a \, b) \, (a \, b) ^n \, a\" \"(b \, a) ^{n + 1} = b\ (a \, b)^{n + 1} \, a\".<\/em>
\nCe qui prouve \"H_{n + 1}\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"a \, b\" est nilpotent. Il existe donc \"n \in \mathbb{N}\" tel que \"(a \, b )^n = 0\".<\/em>
\n\"(b \, a) ^{n + 1} = b \, ( b \, a )^n \, a = b . 0 . a = 0\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"b \, a\" est nilpotent.<\/em><\/p>\n

9. Structure d’anneau sur \"\mathcal{P}(E)\".<\/h2>\n

Exercice<\/b>
\nOn d\u00e9finit si \"(A , B) \in \mathcal{P}(E) ^2\",
\n\"\quad \quad A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\".<\/p>\n

Question 1<\/i>
\nMontrer que \"\quad A\, \Delta\, B = (A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A})\".<\/p>\n

Exprimer la fonction<\/a> indicatrice de \"A \, \Delta \, B\" \u00e0 l’aide des fonctions indicatrices de \"A\" et de \"B\".<\/p>\n

Question 3<\/i>
\nLa loi \"\Delta\" est-elle commutative ?<\/p>\n

Question 4\u00a0<\/i>
\nMontrer que la loi \"\Delta\" est associative.<\/p>\n

Question 5<\/i>
\n\"(\mathcal{P}(E) , \, \Delta)\" est-il un groupe commutatif ?<\/p>\n\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"Prendre\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

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