{"id":37455,"date":"2019-10-30T15:23:30","date_gmt":"2019-10-30T14:23:30","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37455"},"modified":"2023-09-14T14:44:39","modified_gmt":"2023-09-14T13:44:39","slug":"cours-en-ligne-suites-numeriques-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-suites-numeriques-maths-sup\/","title":{"rendered":"Suites num\u00e9riques en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Suites num\u00e9riques en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Suites num\u00e9riques en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1. Les suites r\u00e9currentes particuli\u00e8res
\n2. Cas des suites monotones
\n3. Cas g\u00e9n\u00e9ral
\n4. Une aide pour les suites de la forme \"u_{n + 1} = f(u_n)\"
\n5. Suites d\u00e9finies implicitement.<\/p>\n

Ce cours en ligne propos\u00e9 gratuitement par Groupe R\u00e9ussite vous aidera \u00e0 comprendre le cours sur les suites en pr\u00e9pa maths sup et \u00e0 appr\u00e9hender les m\u00e9thodes qui vous permettront de r\u00e9soudre la plupart des exercices. Pour aller plus loin, nous vous proposons sur notre plateforme des professeurs particuliers de maths<\/a> pour vous aider \u00e0 travailler et \u00e0 \u00e9liminer les zones d’ombres du cours.<\/p>\n

 <\/p>\n

1. Les suites r\u00e9currentes particuli\u00e8res en MPSI, PCSI, MP2I et PTSI<\/h2>\n

1.1. Suites arithm\u00e9tiques<\/b><\/p>\n

On suppose que \"k \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

D :<\/b> Les suites arithm\u00e9tiques sont les suites d\u00e9finies par leur premier terme \"u_k\" et telles qu’il existe \"a \in \mathbb{C}\" tel que si \"n \geq k, \, u_{n + 1} = u_n + a\".<\/p>\n

\"a\" est appel\u00e9 la\u00a0raison<\/i>.<\/p>\n

P1 :\u00a0<\/b>La suite \"(u_n)_{n \geq k}\" arithm\u00e9tique<\/a> de raison \"a\" v\u00e9rifie \"\quad \forall \, n \geq k, \, u_n = u_k + (n - k)\, a\".<\/p>\n

P2 :<\/b> Si \"(u_n)_{n\geq k}\" est une suite arithm\u00e9tique et si \"q \geq p \geq k\",<\/p>\n

\" \quad \displaystyle \sum _ {i = p} ^{q} u_i = \frac {q - p + 1} 2 (u_p + u_q)\".<\/p>\n

Cas particulier\u00a0<\/i>: \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k = \frac {n(n + 1)} 2\"<\/p>\n

\n

1.2. Suites g\u00e9om\u00e9triques<\/b><\/p>\n

D :<\/b> Les suites g\u00e9om\u00e9triques sont les suites d\u00e9finies par leur premier terme \"u_k\" et telles qu’il existe \"q \in \mathbb{C}^*\" tel que si \"n \geq k, \, u_{n + 1} = q \, u_n\".<\/p>\n

\"q\" est appel\u00e9 la\u00a0raison.<\/i><\/p>\n

P1 :\u00a0<\/b>La suite \"(u_n)_{n \geq k}\" g\u00e9om\u00e9tri- que de raison \"q\" v\u00e9rifie<\/p>\n

\"\quad \quad \forall \, n \geq k, \, u_n = u_k \, q ^ {n - k}\,\".<\/p>\n

P2 :<\/b> Si \"(u_n)_{n\geq k}\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"q \neq 1\",<\/p>\n

si \"n \geq p \geq k, \, \displaystyle \sum _ {i = p} ^{n} u_i = u_p \frac {1 - q ^{n - p + 1}} {1 - q}\".<\/p>\n

Cas particulier qu’il est indispensable de conna\u00eetre par c\u0153ur :<\/p>\n

si \"q \neq 1\" , \"\displaystyle \sum _ {i = 0} ^n q ^i = \frac {1 - q ^{n + 1}} {1 - q}\".<\/p>\n

1.3. Suites arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9triques<\/b><\/p>\n

D :<\/b> Les suites arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9tri- ques sont les suites d\u00e9finies par une relation du type :<\/p>\n

il existe \"(a ,\, b) \in \mathbb{C} ^2\", o\u00f9 \"a \neq 1\",\"\quad \quad \forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 1} = a \, u_n + b\".<\/p>\n

M\u00e9thode :<\/b><\/p>\n

On commence par d\u00e9terminer un complexe<\/a> \"C\" tel que \"C = a \, C + b\".<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N},\" , on note \"\, w_n = u_n - C\".<\/p>\n

En faisant la soustraction des relations \"u_{n + 1} = a \, u_n + b\" et \"C = a\, C + b\", on d\u00e9montre que la suite \"(w_n)_n\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"a\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit \"w_n = a^n \, w_0\" o\u00f9 \"w_0 = u_0 - C\" puis on termine par \"u_n = w_n + C\".<\/p>\n

1.4. Suites r\u00e9currentes lin\u00e9aires d’ordre 2 <\/b><\/p>\n

Soit \"(a , \, b) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K}^*\".<\/p>\n

On veut d\u00e9terminer le terme g\u00e9n\u00e9ral des suites \"(u_n)_n\" v\u00e9rifiant \"\quad \forall \, n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 2} = a\, u_{n + 1} + b \, u_n \,\".<\/p>\n

On forme l’\u00e9quation<\/a> caract\u00e9ristique \"\quad \quad \quad x^2 - a \, x - b = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a01er cas.<\/b> L’\u00e9quation caract\u00e9ristique admet deux racines distinctes not\u00e9es \"r_1\" et \"r_2\" dans \"\mathbb{K}\" :<\/p>\n

il existe \"(\lambda , \, \mu) \in \mathbb{K} ^2,\"<\/p>\n

\"\quad \quad \quad \, \forall \, n \in \mathbb{N} , \, u_n = \lambda \, r_1 ^n + \mu \, r_2 ^n\,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a02\u00e8me cas.<\/b> L’\u00e9quation caract\u00e9ristique admet une racine double \"r\" :<\/p>\n

il existe \"(\lambda , \, \mu) \in \mathbb{K} ^2\", \"\quad \quad \quad \forall \, n \in \mathbb{N} , \, u_n = ( n \lambda + \mu) \, r ^n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a03\u00e8me cas.<\/b> \"(a , b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\" et l’\u00e9quation caract\u00e9ristique admet deux racines complexes conjugu\u00e9es not\u00e9es<\/p>\n

\"\rho \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \theta }\" et \"\rho \, \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, \theta }\" :<\/p>\n

il existe \"(\lambda , \, \mu) \in \mathbb{K} ^2,\" \"\forall \, n \in \mathbb{N} ,\" \"\quad u_n = \rho ^n \left ( \lambda \, \cos(n\, \theta) + \mu \, \sin (n \, \theta) \right )\".<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral, on calcule les constantes \"\lambda\" et \"\mu\" en utilisant les valeurs de \"u_0\" et \"u_1\" .<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. \u00c9tudier la convergence d’une suite monotone<\/h2>\n

2.1. Des conseils <\/b><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0a)<\/b>\u00a0Quand la suite est donn\u00e9e par r\u00e9currence : penser \u00e0 v\u00e9rifier qu’elle est bien d\u00e9finie.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0b)<\/b> Il vaut mieux \u00e9tudier la monotonie d’une suite \"(u_n)_n\" en \u00e9tudiant le signe de \"u_{n + 1} - u_n\" .<\/p>\n

Si vous voulez absolument raisonner avec le quotient, vous devez commen- cer par dire que pour tout \"n \in \mathbb{N}, \, u_n > 0\" et d\u00e9montrer que<\/p>\n

… \"\displaystyle \frac {u_{n + 1}} {u_n} \geq 1\" pour tout \"n\" pour prouver que \"(u_n)_n\" est croissante<\/p>\n

… \"\displaystyle \frac {u_{n + 1}} {u_n} \leq 1\" pour tout \"n\" pour prouver que \"(u_n)_n\" est d\u00e9croissante<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0c)<\/b> Pour traduire que la suite r\u00e9elle \"(u_n)_n\" est major\u00e9e :<\/p>\n

on \u00e9crit qu’il existe \"M \in \mathbb{R}\" tel que pour tout \"n \in \mathbb{N}, \, u_n \leq M\"<\/p>\n

\u00e0 respecter l’ordre des quantificateurs math\u00e9matiques ;<\/p>\n

\"\quad \quad \exists \, M \in \mathbb{R} , \, \forall \, n \in \mathbb{N}, \, u_n \leq M\".<\/p>\n

s’il existe \"k \in \mathbb{N}^*\" tel que \"(u_n)_{n \geq k}\" soit major\u00e9e, la suite \"(u_n)_n\" est major\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0d)<\/b> Pour traduire que la suite r\u00e9elle \"(u_n)_n\" est minor\u00e9e :<\/p>\n

on \u00e9crit qu’il existe \"m \in \mathbb{R}\" tel que pour tout \"n \in \mathbb{N}, \, u_n \geq m\".<\/p>\n

\u00e0 respecter l’ordre des quantificateurs :<\/p>\n

\"\quad \quad \exists \, m \in \mathbb{R} , \, \forall \, n \in \mathbb{N}, \, u_n \geq m\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0e)<\/b> Pour traduire que la suite r\u00e9elle ou complexe \"(u_n)_n\" est born\u00e9e, on \u00e9crit qu’il existe \"M \in \mathbb{R} ^+\"tel que pour tout<\/p>\n

\"n \in \mathbb{N}, \, \vert u_n \vert \leq M\".<\/p>\n

\u00e0 respecter l’ordre des quantifica- teurs :<\/p>\n

\"\quad \; \exists \, M \in \mathbb{R}^+ , \, \forall \, n \in \mathbb{N}, \, \vert u_n \vert \leq M\".<\/p>\n

Pour une suite r\u00e9elle, il est nettement plus simple d’utiliser cette caract\u00e9risation que d’\u00e9crire qu’elle est major\u00e9e et minor\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0f)\u00a0<\/b>Pour l’\u00e9tude d’une suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"{u_n}^ {v_n}\" o\u00f9 \"\forall\, n \in \mathbb{N},\, u_n > 0\", \u00e9crire<\/p>\n

\"{u_n}^ {v_n}= \exp(v_n \ln ( u_n))\" et d\u00e9terminer la limite<\/a> de la suite \"(v_n \ln ( u_n))_n\" .<\/p>\n

Dans le cas o\u00f9<\/p>\n

\"\quad \; \displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n = 1\" et\"\displaystyle \lim_{n\to + \infty}v_n = \infty\",<\/p>\n

on a une forme ind\u00e9termin\u00e9e.<\/p>\n

2.2. Suite croissante <\/b><\/p>\n

Le r\u00e9sultat :<\/b><\/p>\n

Si \"(u_n)_n\" est croissante, \"(u_n)_n\" est convergente ssi elle est major\u00e9e<\/p>\n

\"\ast\" Si elle est major\u00e9e, elle converge vers \"L = \displaystyle \sup _{n \in \mathbb{N}} u_n\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Si elle n’est pas major\u00e9e, elle diverge vers \"+\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Si \"(u_n)_n\" est croissante, pour d\u00e9montrer qu’elle converge, il suffit de prouver qu’elle est major\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Pour trouver un majorant d’une suite croissante, on peut chercher quelle peut \u00eatre la limite \"L\" de la suite et d\u00e9montrer que<\/p>\n

pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"u_n \leq L\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Pour d\u00e9montrer qu’une suite croissante diverge vers \"+ \infty\", on peut supposer qu’elle converge et montrer qu’il y a une contradiction (par exemple en prouvant qu’elle devrait converger vers un nombre \"L \geq u_n\" puisque la limite d’une suite croissante est sa borne sup\u00e9rieure ).<\/p>\n

exemple 1<\/b><\/p>\n

\u00c9tude de la suite lorsque \"u_0 = 0\" et \"\forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 1} = \sqrt{u_n + 2}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\ast\" On d\u00e9montre facilement par r\u00e9curren- ce que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"u_n\" est d\u00e9fini et \"u_n \geq 0\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"u_1 = \sqrt{2} > u_0\,\".\u00a0<\/em>
\nSi l’on suppose d\u00e9montr\u00e9 que \"u_n < u_{n + 1}\" , alors \"2 + u_n < 2 + u_{n + 1}\" et comme la fonction<\/a> racine carr\u00e9e est strictement croissante : \"u_{n + 1} < u_{n + 2} \,\".<\/em>
\nPar r\u00e9currence sur \"n\", \"u_n < u_{n + 1}\,\". La suite est donc strictement croissante.<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Pour deviner un majorant de la suite, on raisonne ainsi :\u00a0<\/em>
\nSi la suite \"(u_n)_n\" est convergente, elle admet une limite \"L \geq 0\" (car \"u_n \geq 0\") et v\u00e9rifiant, en passant \u00e0 la limite dans la relation \"u_{n + 1} ^2 = 2 + u_n\,\", \"L^2 = L + 2\" soit \"L \in \{- 1 , 2\}\", donc \"L = 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On d\u00e9montre que \"(u_n)_n\" est major\u00e9e par 2.\u00a0<\/em>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", on note \"H_n : u_n < 2\".<\/em>
\n\"H_0\" est vraie, puisque \"u_0 = 0\".\u00a0<\/em>
\nSi elle est vraie au rang \"n\", \"u_n + 2 < 4\", donc \"u_{n+1} < 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" La suite est croissante et major\u00e9e par \"2\", elle converge, et on a vu que la seule limite possible \u00e9tait \u00e9gale \u00e0 \"2\", elle converge vers 2.<\/em><\/p>\n

exemple 2 <\/b><\/p>\n

\u00c9tude de la suite d\u00e9finie par \"u_0 = 1\" et \"\forall \, n \in \mathbb{N},\, u_{n + 1} = u_n + u_n^2\,\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\forall\, n \, u_{n + 1} = u_n + u_n^2 \geq u_n\,\", la suite est croissante. Si elle \u00e9tait convergente, elle convergerait vers \"L\" tel que \"L = L + L^2\", donc \"L = 0\". Mais comme \"L \geq u_0 \geq 1\", on aboutit \u00e0 une contradiction.<\/em>
\nLa suite \u00e9tant croissante, elle diverge vers \"+\infty\".<\/em><\/p>\n

Comme pour tout \"n \in \mathbb{N}, \, u_n \geq u_0\" , si la suite \u00e9tait convergente, elle convergerait vers \"L \geq u_0 > 2\" ce qui est impossible.\u00a0<\/em>
\nLa suite \"(u_n)_n\" est croissante et divergente, elle diverge vers \"+ \infty\".\u00a0<\/em><\/p>\n

2.3. Suite d\u00e9croissante<\/b><\/p>\n

Le r\u00e9sultat :<\/p>\n

Si \"(u_n)_n\" est d\u00e9croissante, \"(u_n)_n\" est convergente ssi elle est minor\u00e9e<\/p>\n

\"\ast\" Si elle est minor\u00e9e, elle converge vers \"L = \displaystyle \inf _{n \in \mathbb{N}} u_n\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Si elle n’est pas minor\u00e9e, elle diverge vers \"-\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0Pour trouver un minorant d’une suite d\u00e9croissante, on peut chercher quelle peut \u00eatre la limite \"L\" de la suite et d\u00e9montrer que pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"u_n \geq L\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0Pour d\u00e9montrer qu’elle diverge vers \"-\infty\", on peut supposer qu’elle converge et montrer qu’il y a une contradiction (par exemple en prouvant qu’elle devrait converger vers un nombre \"L \leq u_n\"\u00a0 puisque la limite d’une suite d\u00e9croissante est sa borne inf\u00e9rieure ).<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"f\" est une surjection de \"E\" sur \"F\".\u00a0<\/em><\/p>\n

exemple\u00a0<\/b><\/p>\n

\u00c9tude de la suite d\u00e9finie par<\/p>\n

\"\quad \forall\, n \in \mathbb{N},\,\displaystyle u_{n + 1} = \frac {4\, u_n - 1 - u_n^2} 2\"<\/p>\n

lorsque \"u_0 < 1\", puis \"1 < u_0 < 3\".<\/p>\n

\n

Correction<\/strong> : La suite est d\u00e9croissante car : <\/em><\/p>\n

\"\quad \displaystyle u_{n + 1} - u_n = - \frac 1 2 (1 - u_n)^2 \geq 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Pour deviner un minorant de la suite , on raisonne ainsi : <\/em><\/p>\n

Si la suite \"(u_n)_n\" est convergente, elle admet une limite \"L\" v\u00e9rifiant, en passant \u00e0 la limite dans la relation \"\quad \quad u_{n + 1} -</em>,<\/em><\/p>\n

\"0= - (1 - L) ^2\" soit \"L = 1\".<\/em><\/p>\n

On \u00e9tudie les deux cas demand\u00e9s.<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Cas \"u_0 < 1\".<\/em><\/p>\n

Comme la suite est d\u00e9croissante, pour tout \"n \in \mathbb{N}, \, u_n \leq u_0 < 1\".<\/em><\/p>\n

Si la suite \u00e9tait minor\u00e9e, elle converge- rait vers \"L \leq u_0 < 1\" et \"L = 1\" ce qui est impossible. <\/em><\/p>\n

La suite est d\u00e9croissante et non minor\u00e9e, elle diverge vers \"- \infty\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Cas \"1 < u_0 < 3\".<\/em><\/p>\n

Comme la suite est d\u00e9croissante, pour tout \"n \in \mathbb{N},\, u_n \leq u_0 < 3\".<\/em><\/p>\n

On d\u00e9montre par r\u00e9currence que pour tout \"n\", \"1 < u_n\,\".<\/em><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour \"n = 0\".<\/em><\/p>\n

Si elle est vraie au rang \"n\", <\/em><\/p>\n

\"u_{n + 1 } - 1 = \displaystyle \frac 1 2 \left ( {4\, u_n - 3 - u_n^2} \right )\" \"u_{n + 1} - 1 = \displaystyle \frac 1 2 {( u_n - 1)(3 - u_n)} > 0\" <\/em><\/p>\n

donc \"1 < u_{n + 1}\,\".<\/em><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence. Elle est vraie pour tout \"n\". <\/em><\/p>\n

La suite est d\u00e9croissante et minor\u00e9e par \"1\", elle converge vers \"1\" unique limite possible de la suite.\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Si \"u_0 > 3\", en utilisant : <\/em><\/p>\n

\"\quad u_{1 } - 1 = \displaystyle \frac 1 2 {( u_0 - 1)(3 - u_0)} < 0\"<\/em><\/p>\n

on obtient \"u_1 < 1\" et d’apr\u00e8s le premier cas (en commen\u00e7ant la suite au rang 1), la suite diverge vers \"- \infty\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Si la suite \"(u_n)_n\" est strictement d\u00e9croissante et converge vers \"L\", pour tout \"n \in \mathbb{N}, \, u_n > L\".<\/p>\n

Justification<\/strong> : On sait que \"L = \displaystyle \inf _ {p \in \mathbb{N}} u_p\,\", <\/em><\/p>\n

donc \"\forall\, n \in \mathbb{N},\, u_{n + 1} \geq L\" et \"u_n > u_{n + 1}\" <\/em><\/p>\n

\"\Rightarrow u_n > L\".<\/em><\/p>\n

Retenir l’astuce d’introduire \"u_{n + 1}\" !<\/p>\n

2.4. Suites adjacentes<\/b><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.\u00a0<\/b>On donne deux suites \u00e0 \u00e9tudier : on peut chercher \u00e0 d\u00e9montrer qu’elles sont adjacentes.<\/p>\n

On doit prouver que l’une des suites est croissante, l’autre d\u00e9croissante et que la diff\u00e9rence converge vers \"0\".<\/p>\n

Si les suites \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" sont adjacentes, elles convergent vers la m\u00eame limite \"L\" qui est encadr\u00e9e pour tout entier \"n\" par<\/p>\n

\"u_n\" et \"v_n\,\".<\/p>\n

Il est parfois possible d’exprimer la limite commune \"L\".<\/p>\n

On d\u00e9termine le signe de \"u_n - v_n\" de fa\u00e7on \u00e0 voir quelle doit \u00eatre la suite croissante et la suite d\u00e9croissante.<\/p>\n

Si \"\forall \, n \in \mathbb{N}, \,u_n - v_n \geq 0\", on prouve que \"(u_n)_n\" est d\u00e9croissante et \"(v_n)_n\" est croissante.<\/p>\n

Si \"\forall \, n \in \mathbb{N}, \,u_n - v_n \leq 0\", on prouve que \"(u_n)_n\" est croissante et \"(v_n)_n\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

Un exemple classique <\/b><\/p>\n

Les relations :\u00a0 pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\",<\/p>\n

\"\quad u_n = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \frac 1 {k! }\" et \"v_n = u_n + \displaystyle \frac 1 {n . \, n !}\"<\/p>\n

d\u00e9finissent des suites adjacentes de limite irrationnelle.<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong> : \"\bullet\" Convergence des suites\u00a0<\/b><\/em><\/p>\n

\"\ast\" Il est \u00e9vident que \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} (v_n - u_n ) = 0\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}^* , \, \displaystyle u_{n + 1} - u_n = \frac 1 {(n + 1)!} > 0\". La suite \"(u_n)_{n \geq 1}\" est strictement croissante. <\/em><\/p>\n

\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}^* ,\" <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle v_n - v_{n + 1} =\" \"\quad \quad \displaystyle \frac {1 } {n \, n !} - \frac 1 {(n + 1) \, (n + 1)! } - \frac 1 {(n + 1)!}\".<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle v_n - v_{n + 1} =\" \"\displaystyle \quad \frac {(n +1) ^2 - n - n (n + 1)} {n (n + 1) \, (n + 1)! }\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle v_n - v_{n + 1} = \frac {1} {n (n + 1) \, (n + 1)! } > 0\"<\/em><\/p>\n

La suite \"(v_n)_{n \geq 1}\" est strictement d\u00e9croissante.\u00a0<\/em><\/p>\n

Les suites \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" sont adjacentes, elles convergent vers la m\u00eame limite \"L\", de plus \"L \geq u_1\" donne \"L \geq 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0La limite<\/b>\u00a0\"L\"\u00a0est irrationnelle<\/b>. <\/em><\/p>\n

Pour tout \"n \in \mathbb{N}^* , \; u_{n + 1} \leq L \leq v_{n + 1}\,\", <\/em><\/p>\n

donc \"u_n < u_{n + 1} \leq L \leq v_{n + 1} < v_n\" donne \"u_{n} < L < v_{n} \,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On raisonne par l’absurde et on suppose que \"L \in \mathbb{Q}\". Il existe donc \"(p , q) \in \mathbb{N}^{*2}\" tel que \"L = \displaystyle \frac p q\". <\/em><\/p>\n

On vient de prouver que \"\displaystyle u_{q} < \frac p q < v_{q} \,\". <\/em><\/p>\n

En multipliant par \"q !\" <\/em><\/p>\n

\"\quad \quad \quad \displaystyle q! \, u_{q} < p \, (q - 1)! < q! \, v_{q}\,\".<\/em><\/p>\n

\"q! \, u_{q} = \displaystyle \sum _{k = 0} ^q \frac {q! } {k!} \in \mathbb{N}\"<\/em><\/p>\n

car si \"0 \leq k \leq q,\" <\/em><\/p>\n

\"\quad \quad \displaystyle \frac {q! } {k!} = q (q - 1) \, \cdots \, (q - k + 1) \in \mathbb{N}\" <\/em><\/p>\n

\"q!\; v_{q} = q! \; u_{q} + 1\" est l’entier cons\u00e9cutif \u00e0 \"q! \; u_q\,\". <\/em><\/p>\n

\"p\, (q - 1)!\" est un entier strictement compris entre deux entiers cons\u00e9cutifs, on aboutit \u00e0 une contradiction. <\/em><\/p>\n

La limite \"L\" est irrationnelle.\u00a0<\/em><\/p>\n

On d\u00e9montrera ult\u00e9rieurement que \"L = \textrm{e} ^1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.\u00a0<\/b>Dans certains cas, on parvient \u00e0 d\u00e9montrer que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"u_n \leq v_n\" , avec \"(u_n)_n\" croissante et<\/p>\n

\"(v_n)_n\" d\u00e9croissante, sans parvenir \u00e0 prouver que la suite \"(u_n - v_n)_n\" converge vers \"0\".<\/p>\n

On d\u00e9montre qu’alors la suite \"(u_n)_n\" est major\u00e9e par \"v_0\" (puisque pour tout \"n \in \mathbb{N},\; u_n\leq v_n \leq v_0\" ) et que la suite<\/p>\n

\"(v_n)_n\" est minor\u00e9e par \"u_0\" (puisque pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"u_0 \leq u_n \leq v_n\" ).<\/p>\n

Elles sont toutes deux convergentes. On peut \u00e9ventuellement chercher \u00e0 d\u00e9montrer que les limites des deux suites sont \u00e9gales.<\/p>\n

3. Convergence de suites dans le cas g\u00e9n\u00e9ral en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI<\/h2>\n

3.1. En utilisant les th\u00e9or\u00e8mes sur les convergences<\/b><\/p>\n

Il n’est pas toujours indispensable d’\u00e9tudier la monotonie d’une suite pour en justifier la convergence (ou la divergence).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1<\/b>\u00a0: La somme, le produit<\/a> de deux suites convergentes sont des suites convergentes et<\/p>\n

\"\ast\" Somme de deux suites convergentes<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} (u_n + v_n ) = \lim_{n \to + \infty} u_n + \lim_{n \to + \infty} v_n\"<\/p>\n

\"\ast\" Produit de deux suites convergentes<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} (u_n \, v_n ) = \lim_{n \to + \infty} u_n \times \lim_{n \to + \infty} v_n\"<\/p>\n

\"\ast\" Produit d’une suite convergente par \"\lambda \in \mathbb{K}\",\u00a0\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} (\lambda \, u_n ) = \lambda \lim_{n \to + \infty} u_n \,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2<\/b>\u00a0: Si les suites \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" convergent respectivement vers \"L\" et \"L'\" avec \"L' \neq 0\", il existe un entier \"N\" tel que si \"n \geq N,\, v_n \neq 0\" et la suite \"\displaystyle \left ( \frac {u_n} {v_n} \right ) _{n \geq N}\" converge vers \"\displaystyle \frac L {L'}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3<\/b>\u00a0: Si la suite \"(u_n)_n\" diverge vers \"+ \infty\" (resp. \"- \infty\"), il existe un entier \"N\" tel que si \"n \geq N,\, u_n \neq 0\" et la suite \"\displaystyle \left ( \frac 1 {u_n} \right ) _{n \geq N}\" converge vers \"0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4<\/b>\u00a0: Si la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"0\" et s’il existe un entier \"N\" tel que si \"n \geq N,\, u_n > 0\" (resp.\u00a0 \"u_n < 0\"),
\nla suite \"\displaystyle \left ( \frac 1 {u_n} \right ) _{n \geq N}\" diverge vers \"+ \infty\" (resp. vers \"- \infty\").<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5<\/b>\u00a0: Si la fonction \"f : I \to \mathbb{R}\" est continue en \"a \in I\" et si la suite \"(u_n)_n\" de \"I\" converge vers \"a\", \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) = f(a)\".<\/p>\n

3.2. Utiliser des in\u00e9galit\u00e9s<\/b><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Pour d\u00e9montrer que la suite \"(u_n)_n\" converge vers 0, il suffit de prouver que \"(\vert u_n \vert )_n\" converge vers 0.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Si \"\exists \, N \in \mathbb{N}, \, \forall\, n \geq N, \, u_n \geq v_n\" et \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = + \infty\", alors la suite \"(u_n)_n\" diverge vers \"+ \infty\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Si \"\exists\, N \in \mathbb{N}, \, \forall\, n \geq N, \, u_n \leq v_n\" et \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = - \infty\", alors la suite \"(u_n)_n\" diverge vers \"- \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>Th\u00e9or\u00e8me d’encadrement <\/i><\/p>\n

Si \"\exists \,N \in \mathbb{N}, \, \forall\, n \geq N, \, v_n \leq u_n \leq w_n\" et si les suites \"(v_n)_n\" et \"(w_n)_n\" convergent vers la m\u00eame limite \"L\", alors \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = L\".<\/p>\n

Conseil : \u00e9viter tout nom \u00ab\u00a0exotique\u00a0\u00bb pour d\u00e9signer le th\u00e9or\u00e8me d’encadre- ment.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0\"u_n = a_n \, b_n\,\" o\u00f9 la suite \"(a_n)_n\" est born\u00e9e et la suite \"(b_n)_n\" converge vers 0, alors la suite \"(u_n)_n\" converge vers 0.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.\u00a0<\/b>S’il existe \"a\" et \"k \in [0 ,\, 1[\" tels que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"\quad \quad \vert u_{n+1} - a \vert \leq k \, \vert u_{n} - a \vert\",
\non d\u00e9montre que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"\quad \quad \vert u_{n} - a \vert \leq k ^n \vert u_{0} - a \vert\"
\npuis comme \"k \in [0 , \,1[\", la suite \"(k ^n)_n\" converge vers \"0\" et par encadrement la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"a\".<\/p>\n

3.3. En utilisant les suites extraites<\/b><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1 :<\/b> Si la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"L\", toute suite extraite \"(u _ {\varphi(n)} )_n\" converge vers \"L\".<\/p>\n

(On rappelle que \"\varphi\" est une fonction strictement croissante de \"\mathbb{N}\" dans \"\mathbb{N}\").<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Si l’on trouve deux suites extraites de \"(u_n)_n\" qui admettent des limites diff\u00e9rentes, la suite \"(u_n)_n\" diverge.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b> Pour montrer que \"(u_n)_n\" converge vers \"L\", il suffit de prouver que \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_ {2n} = L\" et<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{2 n + 1} = L\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4<\/b>\u00a0:\u00a0Th\u00e9or\u00e8me de Bolzano Weierstrass<\/i>.<\/p>\n

Si la suite \"(u_n)_n\" r\u00e9elle ou complexe est born\u00e9e, il existe une suite extraite convergente.<\/p>\n

3.4. Cas des suites complexes<\/b><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Pour prouver qu’une suite complexe \"(u_n)_n\" converge, on peut<\/p>\n

d\u00e9montrer que les suites \"(a_n)_n\" et \"(b_n)_n\" o\u00f9 \"a_n = \mathcal{R}\textrm{e} \, (u_n)\" et \"b_n = \mathcal{I}\textrm{m}\, (u_n)\" convergent.<\/p>\n

Dans ce cas,<\/p>\n

\"\quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_ {n} = \lim_{n \to + \infty} a_ {n} + \textrm{i} \, \lim_{n \to + \infty} b_ {n}\,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b> On peut chercher le module \"\rho_n\" de \"u_n\" et un argument \"\theta_n\" de \"u_n\".<\/p>\n

Si l’on peut d\u00e9montrer que \"(\rho_n)_n\" converge vers \"r\" et \"(\theta _ n)_n\" converge vers \"t\", en \u00e9crivant \"\quad u_n = \rho_n \, \cos(\theta_n) + \textrm{i } \rho_n \, \sin(\theta_n)\",<\/p>\n

\"a_n = \mathcal{R}\textrm{e}\, (u_n) = \rho_n \, \cos(\theta_n)\" et \"b_n = \mathcal{I}\textrm{m}\, (u_n) = \rho_n \, \sin(\theta_n)\" convergent vers \"r \cos t\" et \"r \sin t\" respectivement,<\/p>\n

donc la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"r \cos t + \textrm{i} \, r \sin t\".<\/p>\n

3.5. Sommes de suites qui convergent vers 0<\/b><\/p>\n

On suppose dans ce paragraphe que \"\displaystyle u_n = \sum _ {k = 0} ^n \varphi(k , n)\".<\/p>\n

il est interdit de faire la somme des limites puisqu’il ne s’agit pas d’une somme d’un nombre fix\u00e9 de suites.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0On peut chercher quel est le plus petit des termes et le plus grand des termes \"\varphi( n , k )\" et encadrer \"u_n\" entre deux suites. On pourra conclure si les deux suites qui encadrent \"u_n\" ont m\u00eame limite.<\/p>\n

Par contre si \"p\" est un entier fix\u00e9,<\/p>\n

\"\displaystyle u_n = \sum _ {k = 0} ^p \varphi(k , n)\" est la somme de \"p + 1\" suites, il suffit de chercher la limite de la suite \"(\varphi(k , n))_n\" pour \"0 \leq k \leq p\".<\/p>\n

exemple 1<\/b><\/p>\n

\u00c9tude de la suite d\u00e9finie pour \"n \in \mathbb{N}^*\"\u00a0 par \"\displaystyle u_n = \sum_{k = 0} ^ n \frac 1 {\sqrt{n ^2 + k}}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

Comme pour tout \"k\" entre \"0\" et \"n \geq 1\", \"0 < n \leq {\sqrt{n ^2 + k} }\leq \sqrt{n ^2 + n}\"<\/em><\/p>\n

\"0 < n \leq {\sqrt{n ^2 + k} } \leq \sqrt{n ^2 + 2 n + 1}\"<\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle \frac 1 {n + 1} \leq \frac 1 {\sqrt{n ^2 + k}} \leq \frac 1 n\"<\/em><\/p>\n

puis par somme, \"\displaystyle \frac {n + 1} {n + 1} \leq u_n \leq \frac {n + 1} n\", par encadrement entre deux suites qui convergent vers<\/em><\/p>\n

\"1\", la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"1\".<\/em><\/p>\n

Par contre : <\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

si \"p \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle v_n = \sum_ {k = 0} ^ p \frac 1 {\sqrt{n ^2 + k}}\", <\/em><\/p>\n

\"v_n\" est la somme de \"p + 1\" (fix\u00e9) termes qui convergent tous vers \"0\". Donc la suite \"(v_n)_n\" converge vers \"0\".<\/em><\/p>\n

exemple 2<\/b><\/p>\n

La suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"S_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 k\" diverge vers \"+\infty\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

C’est une suite croissante :\u00a0 \"S_{n + 1} - S_n = \displaystyle \frac 1 {n + 1} > 0\". <\/em><\/p>\n

\"S_{2 n } - S_n = \displaystyle \sum _{k = n + 1}^{2 n} \frac 1 k \geq \sum _{k = n + 1}^{2 n} \frac 1 {2 n}\"<\/em><\/p>\n

\"S_{2 n} - S_n \geq \displaystyle \frac {n} {2 n}\".<\/em><\/p>\n

Si la suite \"(S_n)_n\" convergeait vers \"L\", on aurait en passant \u00e0 la limite \"L - L \geq \displaystyle \frac 1 2\", ce qui est impossible. <\/em><\/p>\n

La suite croissante est divergente, elle diverge vers \"+\infty\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2. Deuxi\u00e8me p\u00e9riode<\/b>. Reconna\u00eetre une\u00a0somme de Riemann.\u00a0<\/em>
\nSi \"f\" est une fonction continue sur \"[a, \, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\", on note pour \"n \in \mathbb{N}^*\",<\/em>
\n\"R_n(f) = \displaystyle \frac {b - a} n \, \sum _{k = 0} ^{n - 1} f \left ( a + k \, \frac {b - a} n \right )\"\u00a0<\/em>
\net\u00a0\u00a0\"R'_n(f) = \displaystyle \frac {b - a} n \, \sum _{k = 1} ^{n } f \left ( a + k \, \frac {b - a} n \right )\"\u00a0<\/em>
\nles sommes<\/a> de Riemann d’ordre \"n\" associ\u00e9es \u00e0 la fonction \"f\".\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} R_n(f) = \int_a ^b f(t) \, \textrm{d} t\".\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} R'_n(f) = \int_a ^b f(t) \, \textrm{d} t\".\u00a0<\/em><\/p>\n

👍 En g\u00e9n\u00e9ral \"[a, b] = [0 , 1]\" et il suffira de reconnaitre :
\n\"R_n(f) = \displaystyle \frac {1} n \, \sum _{k = 0} ^{n - 1} f \left ( \frac {k} n \right )\"
\nou \"R'_n(f) = \displaystyle \frac {1} n \, \sum _{k = 1} ^{n} f \left ( \frac {k} n \right )\"
\nqui sont les termes g\u00e9n\u00e9raux de deux suites qui convergent vers \"\int_0 ^1 f(t) \, \textrm{d} t\".<\/p>\n

exemple 3<\/b>
\n\"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \sum_{k = n + 1} ^{2n} \frac 1 k\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : En posant \"p = n + k\",\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle u_n = \sum_{k = n + 1} ^{2n} \frac 1 k = \sum_{p = 1} ^{n} \frac 1 {p + n}\"<\/em>
\n\"\displaystyle u_n = \frac 1 n \, \sum_{p = 1} ^{n} \frac 1 {1 + (p / n)}\".<\/em><\/p>\n

On note \"f : x \mapsto \displaystyle \frac 1 {1 + x}\".\u00a0<\/em>
\n\"f\" est continue sur \"[0 , \, 1]\".<\/em>
\n\"u_n = R'_n(f) = \displaystyle \frac {1} n \, \sum _{p = 1} ^{n} f \left ( \frac {p} n \right )\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} u_n = \int_0 ^1 f(t) \, \textrm{d} t = \left [ \ln(1 + t) \right] _0 ^1\" \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \ln(2)\".<\/em><\/p>\n

3.6. En d\u00e9sespoir de cause<\/b>
\nLa d\u00e9monstration de la convergence d’une suite par les \u00ab\u00a0\"\varepsilon\"\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0\"N\" \u00a0\u00bb doit \u00eatre r\u00e9serv\u00e9e aux cas \u00a0\u00bb th\u00e9oriques\u00a0\u00bb quand on a \u00e9puis\u00e9 toutes les autres pistes
\n(un exemple de situation o\u00f9 il faut utiliser les \u00ab\u00a0\"\varepsilon\"\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0\"N\" \u00a0\u00bb : d\u00e9monstration de la moyenne de Cesaro) .<\/p>\n

Rappels<\/i>\u00a0:
\n\"\bullet\" La suite \"(u_n)_n\" converge vers \"L\" ssi
\n\"\forall\, \varepsilon \in \mathbb{R}^{+*}, \, \exists \, N \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \mathbb{N},\" \"\quad \quad \quad \,\left ( n \geq N \Rightarrow \vert u_n - L \vert \leq \varepsilon \right )\".<\/p>\n

\"\bullet\" La suite \"(u_n)_n\" diverge vers \"+\infty\" ssi
\n\"\forall\ A \in \mathbb{R}^{+*}, \, \exists \, N \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \mathbb{N},\" \"\quad \quad \quad \quad \,\left ( n \geq N \Rightarrow u_n \geq A \right )\".<\/p>\n

\"\bullet\" La suite \"(u_n)_n\" diverge vers \"-\infty\" ssi
\n\"\forall\ A \in \mathbb{R}^{+*}, \, \exists \, N \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \mathbb{N},\" \"\quad \quad \quad \quad \left ( n \geq N \Rightarrow u_n \leq - A \right )\".<\/p>\n

⚠️ Il faut aussi savoir faire la n\u00e9gation des trois affirmations pr\u00e9c\u00e9dentes.<\/p>\n

\"\bullet\" La suite \"(u_n)_n\" ne converge pas vers \"L\" ssi \"\exists\, \varepsilon \in \mathbb{R}^{+*}, \, \forall \, N \in \mathbb{N},\" \"\quad \quad \exists \, n \in \mathbb{N},\, n \geq N \textrm{ et } \vert u_n - L \vert > \varepsilon\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" La suite \"(u_n)_n\" ne diverge pas vers \"+\infty\" ssi \"\exists\ A \in \mathbb{R}^{+*}, \, \forall \, N \in \mathbb{N},\" \"\quad \quad \exists\, n \in \mathbb{N},\, n \geq N \textrm{ et } u_n < A\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" La suite \"(u_n)_n\" ne diverge pas vers \"-\infty\" ssi \"\exists\ A \in \mathbb{R}^{+*}, \, \forall \, N \in \mathbb{N},\" \"\quad \quad \exists \, n \in \mathbb{N}, \,n \geq N \textrm{ et } u_n > - A\".\u00a0<\/em><\/p>\n

⚠️ Savoir red\u00e9montrer les propri\u00e9t\u00e9s suivantes :
\n\"\bullet\" Si la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"L > 0\",
\n\"\exists \, N \in \mathbb{N},\, n \geq N \Rightarrow u_n \geq \displaystyle \frac L 2\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"L < 0\",
\n\"\exists \, N \in \mathbb{N},\, n \geq N \Rightarrow u_n \leq \displaystyle \frac L 2\".<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong> : \"\bullet\" Si la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"L > 0\", on traduit cette limite en prenant \"\varepsilon = L / 2\",\u00a0<\/em>
\n\"\exists \, N \in \mathbb{N},\, n \geq N \Rightarrow \vert u_n - L \vert \leq \displaystyle \frac L 2\"<\/em>
\ndonc \"- L / 2 \leq u_n - L\" \"\Rightarrow u_n \geq L / 2\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Si la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"L < 0\", on applique le premier r\u00e9sultat \u00e0 la suite \"(- u_n)_n\" qui converge vers \"- L > 0\", donc \"\exists \, N \in \mathbb{N},\, n \geq N \Rightarrow - u_n \geq \displaystyle - \frac L 2\".<\/em>
\nOn termine en multipliant l’in\u00e9galit\u00e9 par \"-1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

4. Une aide pour les suites \"u_{n + 1} = f(u_n)\"<\/h2>\n

⚠️ Il n’y a aucun r\u00e9sultat au program- me, il faudra donner des explications compl\u00e8tes.
\nOn suppose dans cette partie que \"f\" est continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"I\" (on dit que \"I\" est un intervalle \"f\"-stable).
\nPar d\u00e9monstration par r\u00e9currence, on d\u00e9montre que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"u_n \in I\".<\/p>\n

Les racines de \"f(x) = x\" sont appel\u00e9es\u00a0points fixes<\/i>\u00a0de \"f\".<\/p>\n

👍 On peut s’aider d’un dessin pr\u00e9cis.
\nOn repr\u00e9sente le graphe de \"f\" et la droite \"\Delta\"\u00a0 d’\u00e9quation \"y = x\".
\nOn se donne \"u_0\" , on en d\u00e9duit le point \"(u_0 \, , \, u_1)\" puis en d\u00e9terminant l’intersection la droite d’\u00e9quation \"y = u_1\" et \"\Delta\", on obtient le point \"(u_1 \, , \, u_1)\" que l’on projette sur \"Ox\" pour obtenir \"(u_1 \, , \, 0)\".
\nOn r\u00e9it\u00e8re la construction.
\nCela peut donner une id\u00e9e des d\u00e9monstrations \u00e0 effectuer.<\/p>\n

4.1. Fonction croissante sur \"I\", intervalle \"f\"– stable\u00a0<\/b>
\nOn suppose dans ce paragraphe que \"u_0 \in I\" et \"u_{n + 1} = f(u_n)\" o\u00f9 \"f\" est continue et croissante de \"I\" dans \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9sultat 1<\/b>\u00a0:
\nLa suite \"(u_n)_n\" est monotone, on cherche son sens de variation en utilisant le signe de \"f(u_0) - u_0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u_0 \leq u_1\,\", on d\u00e9montre que \"\forall\, n \in \mathbb{N}, \, H_n : u_n \leq u_{n + 1}\" est v\u00e9rifi\u00e9e.\u00a0<\/em>
\n\"H_0\" est vraie.\u00a0<\/em>
\nSi \"H_n\" est vraie, par croissance de \"f\" sur \"I\" et sachant que l’on raisonne avec des points de \"I\"\u00a0<\/em>
\n\"\; \; f(u_n) \leq f(u_{n + 1})\" soit \"u_{n + 1} \leq u_{n + 2} \,\",\u00a0<\/em>
\nce qui prouve \"H_{n + 1}\,\".\u00a0<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Suite du raisonnement :<\/b>
\nOn introduit la fonction \"\quad \quad g : x \mapsto f(x) - x\".
\nSi \"g\" s’annule sur \"I\" en \"a_1 \, < \, \cdots \, < a_p\,\", on sera amen\u00e9 \u00e0 \u00e9tudier les cas :
\n\"\ast\" \"u_0 \in \{a_1 \, ,\, \cdots \, ,\, a_p \}\", on d\u00e9montre que la suite est stationnaire
\n\"\ast\" \"u_0 < a_1\" (si cette in\u00e9galit\u00e9 est possible)
\n\"\ast\" il existe \"k \in [\![1 , p - 1]\!]\" tel que \"a_k < u_0 < a_{k + 1}\"
\n\"\ast\" \"u_0 > a_p\" (si cette in\u00e9galit\u00e9 est possible).<\/p>\n

👍 On commence dans le cas d’une fonction croissante, \u00e0 donner le tableau de variation de \"f\" et le signe de \"g(x)\".
\nFaire appara\u00eetre dans le tableau de variation de \"f\" les z\u00e9ros de \"g\".<\/p>\n

Un exemple d’illustration graphique :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

4.2. Fonction d\u00e9croissante sur\u00a0<\/b>\"I\",\u00a0intervalle<\/b>\u00a0\"f\"-stable<\/b>
\nOn suppose dans ce paragraphe que \"u_0 \in I\" et \"u_{n + 1} = f(u_n)\" o\u00f9 \"f\" est continue et d\u00e9croissante de \"I\" dans \"I\".
\nSi \"u_0\" est un point fixe \"a\" de \"f\", la suite est constante \u00e9gale \u00e0 \"a\" .<\/p>\n

Premi\u00e8re m\u00e9thode\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0R\u00e9sultat 1\u00a0<\/b>:
\nLes suites \"(u_{2n})_n\" et \"(u_{2 n + 1} )_n\" sont monotones et varient en sens contraire. On cherche les sens de variation en utilisant le signe de \"f \circ f (u_0) - u_0\,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9sultat 2<\/b>\u00a0: On cherche les points fixes de \"f \circ f\" sur \"I\".
\n👍 Si \"f\" est une fonction polyn\u00f4me<\/a>, on peut trouver une fonction polyn\u00f4me \"Q\" telle que \"f \circ f (x) = (f(x) - x) \, Q(x)\"
\nPuis on \u00e9tudie la suite \"(u_{2n})_n\" en se pla\u00e7ant sur un intervalle dont les bornes sont deux points fixes cons\u00e9cutifs de \"h\", en v\u00e9rifiant que ces intervalles sont \"h\"-stables.<\/p>\n

d\u00e9monstration r\u00e9sultat 1<\/strong> : On note \"h = f \circ f\",\u00a0\"h\" est une fonction croissante de \"I\" dans \"I\".\u00a0<\/em>
\nLa suite \"(u_{2n})_n\" est d\u00e9finie par\u00a0<\/em>
\n\"u_0 \in I\" et \"\forall \, n \in \mathbb{N}, \, u_{2(n + 1)}= h(u_{2\, n})\"\u00a0<\/em>
\ndonc elle est monotone.\u00a0<\/em><\/p>\n

Puis comme \"u_{2 n + 1} = f(u_{2n})\" avec \"f\" d\u00e9croissante, la suite \"(u_{2 n + 1})_n\" est monotone et varie en sens contraire de la suite \"(u_{2n})_n \,\".<\/em><\/p>\n

Deuxi\u00e8me m\u00e9thode\u00a0<\/b>:\u00a0<\/em>
\nles calculs pr\u00e9c\u00e9dents peuvent \u00eatre lourds et l’\u00e9nonc\u00e9 peut proposer de trouver \"k \in [0 , \, 1[\" tel que\"\quad \forall \, x \in I,\, \vert f(x) - a \vert \leq k \, \vert x - a \vert\".\u00a0<\/em>
\nOn utilise ensuite la m\u00e9thode M6 du paragraphe 3.2.<\/em><\/p>\n

Un exemple d’illustration graphique :<\/p>\n

\"cours<\/p>\n

Il est des cas o\u00f9 l’on sait r\u00e9soudre alors que la fonction \"f\" change de monotonie.
\nExemple<\/b>\u00a0:
\n\u00c9tude de la suite d\u00e9finie par \"u_ 0 \in \mathbb{R}\" et \"u_{n + 1} = f(u_n)\" o\u00f9 \"\quad \quad f : x \mapsto \displaystyle \frac {4 \, x - 1 - x^2} 2\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On reprend une \u00e9tude plus syst\u00e9matique de l’exemple 3 du \u00a72.3.\u00a0<\/em>
\n\"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et \"f'(x) = 2 - x\".<\/em>
\n\"f\" est croissante sur \"]- \infty\, , \, 2]\" et d\u00e9croissante sur \"[2 \, , \, +\infty[\" avec \"f(2) = 5/2\".<\/em>
\n\"f(x) - x = \displaystyle - \frac 1 2 (1 - x)^2\".<\/em>
\nOn en d\u00e9duit que la suite \"(u_n)_n\" est toujours d\u00e9croissante et que si la suite converge, elle converge vers \"1\".\u00a0<\/em>
\nOn remarque que \"f(1) = 1\" et \"f(3) = 1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On distingue les cas suivants :\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\" \"u_0 = 1\", la suite est constante \u00e9gale \u00e0 1.\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\" \"u_0 = 3\", \"u_1 = 1\", la suite est stationnaire et converge vers \"1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Cas<\/b>\u00a0\"u_0 < 1\".<\/em>
\nL’intervalle \"]- \infty\, , \, 1[\" est \"f\"-stable, la suite \"(u_n)_n\" est d\u00e9croissante et \"u_n < 1\".\u00a0<\/em>
\nSi elle \u00e9tait convergente vers \"L\", \"L = 1\".<\/em>
\nEn utilisant \"u_n \leq u_0 < 1\", \u00e0 la limite \"L \leq u_0 < 1\" ce qui est impossible.\u00a0<\/em>
\nLa suite est d\u00e9croissante et divergente, elle diverge vers \"- \infty\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Cas<\/b>\u00a0\"u_0 > 3\".<\/em>
\nAttention l’intervalle \"]3 \, , \, + \infty[\" n’est pas stable.\u00a0<\/em>
\nMais \"f\" \u00e9tant strictement d\u00e9croissante sur \"[3 \, , \, + \infty[\", \"u _ 1 < f(3)\" donc \"u_1 < 1\". On se ram\u00e8ne au cas pr\u00e9c\u00e9dent \u00e0 partir du rang 1, la suite \"(u_n)_n\" diverge vers \"- \infty\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Cas<\/b>\u00a0\"1 < u_0 < 3\"\u00a0<\/em>
\nEn utilisant les variations de \"f\" , \"\quad \quad f(]1\, , \, 3[) =\; ]1 \, , \, 5/2] \subset\, ]1 \,,\, 3[\",\u00a0<\/em>
\npar r\u00e9currence, pour tout \"n\", \"1 < u_n < 3\".<\/em>
\nLa suite est d\u00e9croissante et minor\u00e9e par \"1\", elle converge vers \"1\" unique limite possible de la suite.\u00a0<\/em>
\nConclusion<\/b>\u00a0<\/em>
\nLa suite converge vers \"1\" lorsque \"1 \leq u_0 \leq 3\" et diverge vers \"- \infty\" sinon.\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

5. Suites d\u00e9finies implicitement<\/h2>\n

Pour d\u00e9montrer qu’une \u00e9quation \u00e9crite sous la forme \"f_n(x) = 0\" admet une seule solution \"x_n\" dans l’intervalle \"I\" et \u00e9tudier la suite \"(x_n)_n\,\" :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0On d\u00e9montre que \"f_n\" d\u00e9finit une bijection de \"I\" sur \"f_n(I)\", avec \"0 \in f_n(I)\" (en d\u00e9montrant que \"f_n\" est continue et strictement monotone sur \"I\").
\nOn obtient ainsi l’existence et l’unicit\u00e9 de \"x_n\,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0L’\u00e9nonc\u00e9 ne demande pas de justifier la monotonie de la suite mais seulement d’\u00e9tudier sa convergence.
\nPour d\u00e9terminer la limite de \"(x_n)_n\,\" , \u00e9crire l’\u00e9quation \"f_n (x_n) = 0\", de fa\u00e7on \u00e0 pouvoir passer \u00e0 la limite dans l’\u00e9quation ainsi obtenue en raisonnant par des encadrements.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0L’\u00e9nonc\u00e9 demande de justifier la monotonie de la suite.
\n\"\ast\" On peut calculer \"f_{n + 1} (x_n)\" en injectant dans cette relation l’\u00e9quation v\u00e9rifi\u00e9e par \"x_n\,\" (obtenue avec \"f_n (x_n) = 0\") et d\u00e9terminer son signe.
\nSi \"f_{n + 1}\" est strictement croissante,
\n… \"f_{n + 1}(x_n ) < 0\" s’\u00e9crit \"\quad \quad \quad f_{n + 1}(x_n) < f_{n + 1} (x_{n + 1})\"
\net donne \"x_n < x_{n+1}\"
\n… \"f_{n + 1}(x_n ) > 0\" s’\u00e9crit \"\quad \quad \quad f_{n + 1}(x_n) > f_{n + 1} (x_{n + 1})\"
\net donne \"x_n > x_{n+1}\,\".<\/p>\n

Si \"f_{n + 1}\" est strictement d\u00e9croissante,
\n… \"f_{n + 1}(x_n ) < 0\" s’\u00e9crit \"\quad \quad \quad f_{n + 1}(x_n) < f_{n + 1} (x_{n + 1})\"
\net donne \"x_n > x_{n+1}\"
\n… \"f_{n + 1}(x_n ) > 0\" s’\u00e9crit \"\quad \quad \quad f_{n + 1}(x_n) > f_{n + 1} (x_{n + 1})\"
\net donne \"x_n < x_{n+1}\,\".
\n(S’aider si n\u00e9cessaire d’un tableau de variation). Dans ce cas, on a d\u00e9montr\u00e9 que la suite \"(x_n)_n\,\" est monotone.<\/p>\n

\"\ast\" Il reste alors \u00e0 d\u00e9montrer selon le cas que \"(x_n)_n\,\" est major\u00e9e ou minor\u00e9e.<\/p>\n

\"\ast\" Pour d\u00e9terminer la limite de \"(x_n)_n\,\" , \u00e9crire l’\u00e9quation \"f_n (x_n) = 0\", de fa\u00e7on \u00e0 pouvoir passer \u00e0 la limite dans l’\u00e9quation ainsi obtenue.<\/p>\n

exemple 1<\/b>
\nMontrer que l’\u00e9quation \"\quad \quad \quad \textrm{e} ^x + n\, x - 2 = 0\"
\nadmet une unique solution \"a_n\" .
\nD\u00e9montrer que la suite \"(a_n)_n\" converge, trouver sa limite et et celle de \"(n\, a_n)_n\,\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" On note \"f_n : x \mapsto \textrm{e} ^ x + n\, x - 2\".\u00a0<\/em>
\n\"f_n\" est continue et strictement croissan- te sur \"\mathbb{R}\", \"\displaystyle \lim _ {x \to - \infty} f_n(x) = - \infty\" et \"\displaystyle \lim _ {x \to + \infty} f_n(x) = + \infty\".<\/em>
\n\"f_n\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"\mathbb {R}\", il existe un unique r\u00e9el \"a_n\" tel que \"f_n(a_n) = 0\".<\/em>
\n\"f_n(0) = - 1\" et \"f_n(1) = \textrm{e} + n - 2 > 0\" donnent \"a_n \in \; ]0 \, ,\, 1[\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" En \u00e9crivant \"a_n = \displaystyle \frac { 2 - \textrm{e} ^{a_n}} n \; \;\" avec \"2 - \textrm{e} < 2 - \textrm{e} ^{a_n}< 1\", \"\displaystyle 0 < a_n < \frac 1 n\", par encadrement, la suite \"(a_n)_n\" converge vers \"0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" En \u00e9crivant \"n \, a_n = 2 - \textrm{e} ^{a_n}\" , \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \, a_n = 1\", donc \"\displaystyle a_n \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 n \,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

exemple 2<\/b>.
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\". Montrer que l’\u00e9quation \"\quad \quad \quad \ln(1 + x) - n\, x + 1 = 0\"
\nadmet une unique solution \"a_n\,\" dans \"\mathbb{R}^+\"
\nTrouver le sens de variation de la suite \"(a_n)_n\,\", montrer qu’elle converge et trouver sa limite.<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"f_n :\mathbb{R} ^+ \to \mathbb{R}, \; x \mapsto \ln(1 + x) - n\, x + 1\".<\/em>
\n\"f_n\" est d\u00e9rivable<\/a> sur \"\mathbb{R} ^+\" et \"f _n'(x) = \displaystyle \frac 1 {x + 1} - n = \frac {1 - n - n \, x } {x + 1}< 0\" si \"x > 0\".\u00a0<\/em>
\n\"f_n\" est continue sur \"\mathbb{R}^+\", strictement d\u00e9croissante , \"f_n(0) = 1\" et on d\u00e9montre que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f_n(x) = - \infty\" en \u00e9crivant \"f_n(x) = \displaystyle x \left ( \frac {\ln(1 + x) } {1 + x} \, \frac {1 + x} x - n + \frac 1 {x + 1} \right )\"<\/em><\/p>\n

\"f_{n + 1} (a_n) = f_n(a_n) - a_n = - a_n < 0\"<\/em>
\n\"f_{n + 1} (a_n) < f_{n + 1} (a_{n + 1})\" et \"f_{n + 1}\" est strictement d\u00e9croissante donc \"\quad \quad \quad \quad \quad a_n > a_{n + 1}\,\".<\/em><\/p>\n

La suite \"(a_n)_n\,\" est d\u00e9croissante et minor\u00e9e par \"0\", elle converge. On note \"L\" sa limite.<\/em>
\nOn \u00e9crit \"\displaystyle a_n = \frac {\ln(1 + a_n) + 1} {n}\".\u00a0<\/em>
\nLa suite \"( \ln(1 + a_n) + 1)_n\" converge vers \"\ln(1 + L) + 1\" et \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1 n = 0\", donc\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_n = 0\".<\/em><\/p>\n

En \u00e9crivant \"n \, a_n = \ln(1 + a_n) +1\", on obtient \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \, a_n = 1\".<\/em>
\nCe qui donne \"\displaystyle a_n \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 n \,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

De nombreux autres cours en ligne d\u00e9di\u00e9s au programme de maths en Maths Sup sont disponibles totalement gratuitement, dont les cours suivants :<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong> : \"\bullet\" Si \"u_0 \geq u_1\,\", on d\u00e9montre que \"\forall\, n \in \mathbb{N}, \, H_n : u_n \geq u_{n + 1}\" est v\u00e9rifi\u00e9e.\u00a0<\/em>
\n\"H_0\" est vraie.\u00a0<\/em>
\nSi \"H_n\" est vraie, par croissance de \"f\" sur \"I\" et sachant que l’on raisonne avec des points de \"I\"\u00a0<\/em>
\n\"\; \; f(u_n) \geq f(u_{n + 1})\" soit \"u_{n + 1} \geq u_{n + 2}\",\u00a0<\/em>
\nce qui prouve \"H_{n + 1}\".\u00a0<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence<\/a>.<\/em><\/p>\n