{"id":37456,"date":"2019-10-30T15:23:26","date_gmt":"2019-10-30T14:23:26","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37456"},"modified":"2022-07-12T14:12:20","modified_gmt":"2022-07-12T13:12:20","slug":"cours-en-ligne-suites-numeriques-maths-sup-exercices-corriges","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-suites-numeriques-maths-sup-exercices-corriges\/","title":{"rendered":"Suites num\u00e9riques en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Exercices corrig\u00e9s sur les suites num\u00e9riques en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices : Limites de suites, constante d’Euler<\/span><\/h2>\n
\n

1. Utilisation des suites r\u00e9currentes du programme
\n2. Des limites<\/a> de suites simples
\n3. En utilisant des in\u00e9galit\u00e9s
\n4. Suite d\u00e9finie par une relation de r\u00e9currence<\/a>
\n5. Suite v\u00e9rifiant une in\u00e9galit\u00e9
\n6. Une superposition de racines carr\u00e9es
\n7. Constante d’Euler
\n8. Avec de la trigonom\u00e9trie<\/a>
\n9. La m\u00eame suite \u00e0 deux p\u00e9riodes diff\u00e9rentes de l’ann\u00e9e
\n10. Deux exercices th\u00e9oriques<\/p>\n

 <\/p>\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

1. Utilisation des suites num\u00e9riques r\u00e9currentes du programme<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nD\u00e9terminer \"(u_n)_n\,\" en fonction de \"u_0\" si \"\forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 1} = \displaystyle \sqrt{1 + \frac {u_{n } ^2} 2}\" .<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"v_n = u_n^2\".\u00a0<\/em>
\nLa relation implique \"v_{n + 1} = \displaystyle 1 + \frac {v_{n } } 2 \,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

C’est une suite arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique.\u00a0<\/em>
\nOn r\u00e9sout \"C = 1 + \displaystyle \frac C 2 \Leftrightarrow C = 2\".<\/em>
\nOn forme \"w_n = v_n - C\".\u00a0<\/em>
\nOn obtient \"\forall\, n \in \mathbb{N}, \, w_{n + 1} = \displaystyle \frac {w_n} 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"(w_n)_n\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"1/2\" et de premier terme \"\quad \quad \quad \quad w_0 = u_0^2 - 2\".\u00a0<\/em>
\nOn en d\u00e9duit que \"w_n = \displaystyle \frac 1 {2 ^n} w_ 0\" , donc \"v _n = 2 + \displaystyle \frac 1 {2 ^n} w_ 0\" puis\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad u_n = \displaystyle \sqrt {2+ \frac 1 {2 ^n} ( u_0^2 - 2) }\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nD\u00e9terminer la suite \"(u_n)_n\,\" sachant que \"u_0 = 1 ,\, u_1 = 2\" et pour tout \"n \geq 2\", \"\quad \quad u_n = \displaystyle \frac 2 {1 / u_{n - 1} + 1/u_{n - 2}}\" .<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Il ne faut pas oublier de justifier l’existence de la suite \"(u_n)_n\,\".\u00a0<\/em>
\n👍 On d\u00e9finit le terme d’indice \"n + 2\" en fonction des termes d’indices \"n\" et \"n + 1\", on utilise une hypoth\u00e8se de r\u00e9currence double contenant le r\u00e9sultat aux rangs \"n\" et \"n + 1\".\u00a0<\/em>
\nOn note\u00a0<\/em>
\n\u00a0 \u00a0 si \"n \in \mathbb{N}, \, H_n \, : \, u_n > 0 \, , \, u_{n + 1} > 0\".<\/em>
\n\"H_0\" est vraie par d\u00e9finition de \"u_0\" et \"u_1\,\".\u00a0<\/em>
\nOn suppose que \"H_n\" est vraie.\u00a0<\/em>
\nEn utilisant \"\displaystyle \frac 1 { u_{n}} + \frac 1 {u_{n +1}} \; > 0\", on en d\u00e9duit que \"u_{n + 2}\" est d\u00e9fini et \"\quad \quad u_{n + 2} = \displaystyle \frac 2 {1 / u_{n + 1} + 1/u_{n }} > 0\" .\u00a0<\/em>
\non a donc prouv\u00e9 que \"H_{n + 1}\" est vraie.\u00a0<\/em>
\nPar r\u00e9currence, on a prouv\u00e9 que la suite est d\u00e9finie et \u00e0 valeurs strictement positives.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On note \"\displaystyle v_n = \frac 1 {u_n}\".\u00a0<\/em>
\nLa suite \"(v_n)_n\" v\u00e9rifie\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \frac 1 {v_{n + 2} } = \frac 2 {v_n + v_{n + 1}}\"<\/em>
\nsoit \"2\, {v_{n + 2} } = {v_n + v_{n + 1}}\,\".<\/em>
\nC’est une suite r\u00e9currente lin\u00e9aire d’ordre 2 d’\u00e9quation caract\u00e9ristique\u00a0<\/em>
\n\"\quad 2 \, r^2 - r - 1 = (2 \, r + 1) (r - 1) = 0\"\u00a0<\/em>
\nIl existe \"(\lambda \, , \, \mu) \in \mathbb{R}^2\" tel que pour tout \"n\", \"\quad \quad \quad v_{n } = \displaystyle \lambda \frac {(-1) ^n} {2 ^n } + \mu\"\u00a0<\/em>
\navec \"v_0 = 1\" et \"v_1 = 1/2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On obtient les \u00e9quations<\/a><\/em>
\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} \lambda + \mu &=& 1\\ - \lambda / 2 + \mu &=& 1/2 \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad \Leftrightarrow \lambda = \displaystyle \frac 1 3\", \"\mu = \displaystyle \frac 2 3\"\u00a0<\/em>
\nalors \"v_n = \displaystyle \frac {(-1) ^n} {3 \,\, 2 ^n } + \frac 2 3\"<\/em>
\net \"u_n = \displaystyle \frac {3 \, \, 2 ^n} {2 ^{n + 1} + (-1) ^{n}}\; \; \;\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nD\u00e9terminer la suite \"(u_n)_n\" si \"u_0 > 0\" et \"u_1 > 0\" et pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"\quad \quad \quad u_{n + 2} = \left ( {u_{n + 1}^3 \, u_n } \right ) ^{1/4}\,\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Il ne faut pas oublier de justifier l’existence de la suite \"(u_n)_n\,\".\u00a0<\/em>
\nOn note\u00a0<\/em>
\n\u00a0 \u00a0si \"n \in \mathbb{N}, \, H_n \, : \, u_n > 0 \, , \, u_{n + 1} > 0\".<\/em>
\n\"H_0\" est vraie par d\u00e9finition de \"u_0\" et \"u_1\,\".\u00a0<\/em>
\nOn suppose que \"H_n\" est vraie.\u00a0<\/em>
\nOn en d\u00e9duit que \"u_{n + 2}\" est d\u00e9fini et que \"u_{n + 2} = \left ( {u_{n + 1}^3 \, u_n } \right ) ^{1/4} \, > 0\".<\/em>
\nDonc \"H_{n + 1}\" est vraie.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On peut calculer le \"\ln\" de la relation :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \displaystyle \ln(u_{n + 2}) = \frac 3 4 \ln(u_{n + 1}) + \frac 1 4 \ln(u_n)\"\u00a0<\/em>
\nsoit en posant \"v_n = \ln(u_n)\" :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad 4\, v_{n + 2} = 3 \, v_{n + 1} + \, v_n\"\u00a0<\/em>
\nc’est une suite r\u00e9currente lin\u00e9aire d’ordre 2, d’\u00e9quation caract\u00e9ristique \"\; \; 4 \, r ^2 - 3\, r - 1 = (4\, r + 1)\, (r - 1) = 0\"<\/em>
\nOn en d\u00e9duit qu’il existe \"(\lambda \, , \, \mu) \in \mathbb{R}^2\" tel que pour tout \"n\", \"\displaystyle v_{n } = \lambda \frac {(-1)^n} {4 ^n} + \mu\"\u00a0<\/em>
\navec \"v_0 = \lambda + \mu\" et \"v_1 = \mu - \lambda / 4\"\u00a0<\/em>
\nssi \"5 \, \mu = v_0 + 4\, v_1\" et \"\displaystyle \frac {5\, \lambda} 4 = v_0 - \, v_1\"\u00a0<\/em>
\nalors \"\forall \, n \in \mathbb{N}\,\", \"\displaystyle v_n = \frac 1 5 \left ( (v_0 - \, v_1) \frac {(-1)^n} {4 ^{n - 1} } + v_0 + 4\, v_1 \right )\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle u_n = \textrm{exp} \left ( \ln \left ( \frac {u_0} {u_1} \right ) \frac {(-1)^n} {5\, 4 ^{n - 1} } + \frac 1 5 \, \ln \left ( u_0 \, u_1^4 \right ) \right )\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle u_n = u_0^{1/5} \, u_1^{4/5} \; \textrm{exp} \left ( \ln \left ( \frac {u_0} {u_1} \right ) \frac {(-1)^n} {5 \, 4 ^{n - 1} } \right )\".<\/em><\/p>\n

2. Des limites de suites simples<\/h2>\n
\n

exercice 1\u00a0<\/b>
\nPour \"n \geq 2,\, u_n = \displaystyle \frac {\ln(n ^2 + n + 1)} {\ln(n)}\". Vers quoi la suite converge ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On \u00e9crit
\n\"\displaystyle \ln(n ^2 + n + 1) = \ln \left ( n ^2 \left ( 1 + \frac 1 n + \frac 1 {n ^2} \right ) \right )\"
\n\"\displaystyle \quad \quad =2 \ln(n) + \ln \left ( 1 + \frac 1 n + \frac 1 {n ^2} \right )\"
\ndonc \"u_n = \displaystyle 2 + \frac 1 {\ln(n)} \ln \left ( 1 + \frac 1 n + \frac 1 {n ^2} \right )\"<\/p>\n

Comme \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \ln \left ( 1 + \frac 1 n + \frac 1 {n ^2} \right ) = 0\"
\net \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1 {\ln(n)} = 0\", \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 2\".<\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nPour \"n \geq 1,\, u_n = \displaystyle n \sin \frac {\pi} {n^2}\". Vers quoi la suite converge-t-elle ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :On d\u00e9montre que<\/em>
\n\"\quad \quad\" si \"x \in [0 , \pi],\" \"\, 0 \leq \sin(x) \leq x\" :\u00a0<\/em>
\nSoit \"f : x \mapsto x - \sin(x)\", \"f'(x) = 1 - \cos(x) \geq 0\" , \"f\" est croissante sur \"[0 \, , \, \pi]\" avec \"f(0) = 0\" donc \"f(x) \geq 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Alors \"\displaystyle 0 \leq u_n \leq n \frac {\pi} {n^2} \leq \frac {\pi} {n}\", donc par encadrement, \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 0\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nPour \"n \in \mathbb{N}\" \"\quad u_n = \sqrt{n ^2 +n + 1} - \sqrt{n ^2 - n + 1}\". Vers quoi la suite converge ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : En utilisant la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e,
\n\"\displaystyle u_n = \frac {(n^2 + n + 1) - (n ^2 - n + 1) } {\sqrt{n ^2 +n + 1} + \sqrt{n ^2 - n + 1}}\"
\n\"\displaystyle = \frac {2 \, n } {n \left ( \sqrt{1 + 1/n + 1 /n ^2 } + \sqrt{1 - 1/n + 1/n ^2 }\right ) }\"
\n\"\displaystyle= \frac {2 } { \sqrt{1 + 1/n + 1 /n ^2 } +\sqrt{1 - 1/n + 1/n ^2 }}\"
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \frac 2 2 = 1\"<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSi \"n \geq 2\", \"u_n = (n + 1) ^{1/\ln(n)}\". Vers quoi la suite converge ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"u_n > 0\" et \"\ln(u_n) = \displaystyle \frac {\ln(n + 1)} {\ln(n)}\".<\/em>
\nEn \u00e9crivant \"\ln(n + 1) = \ln(n) + \displaystyle \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right )\"<\/em>
\n\"\ln(u_n) = \displaystyle 1 + \frac 1 {\ln(n)} \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right )\".<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \frac 1 { \ln(n)} = 0\" et \"\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right ) = 0\"<\/em>
\n\"\Rightarrow \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \ln(u_n) = 1\"<\/em>
\nPar continuit\u00e9 de la fonction<\/a> exponentielle, \"\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n = \textrm{e}\".<\/em><\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nSi \"n \geq 2\" , \"u_n = (\ln n) ^{1/n}\". Vers quoi la suite converge ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\ln(u_n) = \displaystyle \frac {\ln(\ln n ) } {n} = \frac {\ln(\ln n ) } {\ln n } \, \frac {\ln n} n\"<\/em>
\nen utilisant \"\displaystyle \lim _{t \to + \infty} \frac {\ln t} t = 0\",\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim _{n \to + \infty}\ln(u_n) = 0\".<\/em>
\nPar continuit\u00e9 de la fonction exponentielle<\/a>, \"\displaystyle \lim _{n \to + \infty}u_n = 1\".<\/em><\/p>\n

\"\ln(u_n) = \displaystyle \frac {\ln(\ln n ) } {n} = \frac {\ln(\ln n ) } {\ln n } \, \frac {\ln n} n\"
\nen utilisant \"\displaystyle \lim _{t \to + \infty} \frac {\ln t} t = 0\",
\n\"\displaystyle \lim _{n \to + \infty}\ln(u_n) = 0\".
\nPar continuit\u00e9 de la fonction exponentielle, \"\displaystyle \lim _{n \to + \infty}u_n = 1\".<\/p>\n

3. Utilisation d’in\u00e9galit\u00e9s<\/h2>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>Mines Telecom MP 2018
\nNature de la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral
\n\"u_n = \displaystyle \sum _{k = n ^2} ^{(n + 1)^2 } \frac 1 {\sqrt{k}}\". Converge-t-elle ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On additionne
\n\"\quad \quad (n + 1) ^2 - n ^2 + 1 = 2 \, n + 2\"
\ntermes compris entre
\n\"\displaystyle \frac {1} {\sqrt{(n + 1)^2}} = \frac 1 {n + 1 }\" et \"\displaystyle \frac {1} {\sqrt{n ^2}} = \frac 1 {n}\"
\ndonc \"\displaystyle \frac {2 n + 2} {n + 1} \leq u_n \leq \frac {2 n + 2} {n }\"
\nsoit \"\displaystyle 2 \leq u_n \leq 2 + \frac 2 n\,\".
\nPar encadrement par deux suites qui convergent vers \"2\",\u00a0la suite \"(u_n)_n\,\" converge vers \"2\".\u00a0<\/span>\u00a0<\/span><\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"u_0\" de \"]0 , \,1[\" et \"\quad \forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 1} = 1 + \displaystyle \frac {u_n } {n + 1}\".
\n\u00c9tude de la suite \"(u_n)_n\,\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit si \"n \in \mathbb{N}, \, H_n \, : \, 0 < u_n < 2\".\u00a0<\/em>
\n\"H_0\" est vraie et \"H_1\" aussi car \"u_1 = 1 + u_0 \in \; ]1 , \, 2[\".\u00a0<\/em>
\nOn suppose que \"H_n\" est vraie pour un entier \"n \geq 1\".\u00a0<\/em>
\nIl est \u00e9vident que\u00a0\"u_{n + 1} > 0\"\u00a0<\/em>
\net \"\displaystyle u_{n + 1} < 1 + \frac 2 {n + 1} \leq 2\" car \"n + 1 \geq 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Comme la suite \"(u_n)_n\" est born\u00e9e,\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n} {n + 1} = 0\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{n + 1} = 1\".\u00a0<\/em>
\nLa suite \"(u_n)_n\,\" converge vers \"1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nConvergence de la suite \"(u_n)_{n \geq 1}\" d\u00e9finie par \"\displaystyle u_{n + 1} = \frac {n \, u_n } {n + 1 + u_n}\" et \"u_1 > 0\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : Par r\u00e9currence simple,\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \forall\, n \in \matbb{N}^* n \geq 1, \, u_n > 0\".<\/em>
\nOn \u00e9crit la relation de d\u00e9finition sous la forme :\u00a0<\/em>
\n\"\quad (n + 1) \, u_{n + 1} + u_n \, u_{n + 1} = n \, u_n\"<\/em>
\ndonc si \"v_n = n \, u_n\,\", \"\quad \quad v_n - v _{n + 1} = u_n \, u_{n + 1} > 0\".\u00a0<\/em>
\nLa suite \"(v_n)_{n \geq 1}\" est d\u00e9croissante et \u00e0 valeurs positives.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"0 \leq v_n \leq v_1\" donne \"\displaystyle 0 < u_n \leq \frac {u_1} {n }\".<\/em>
\nPar encadrement, \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

4. Suites d\u00e9finies par une relation de r\u00e9currence<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit la suite \"(u_n)_{n \geq 1}\" d\u00e9finie par \"u_1 = 1\" et pour tout entier \"n \geq 2\", \"\quad \quad \quad u_n = \sqrt{n + u_{n - 1} } \,\".
\nQuestion 1<\/b>
\nMontrer que pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\quad \quad \quad u_n \leq \sqrt{2 \, n + 1}\".<\/p>\n

On obtient par \u00e9quivalence une in\u00e9galit\u00e9 v\u00e9rifi\u00e9e, donc on a prouv\u00e9 que\u00a0<\/em>
\n\"\quad \sqrt{n + 1 + \sqrt{2 \, n + 1} } \leq \sqrt{2 \, n + 3}\"<\/em>
\net alors \"u_{n + 1} \leq \sqrt{2 \, n + 3}\", ce qui justifie \"H_{n + 1}\".\u00a0<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.\u00a0<\/em><\/p>\n

👍 si \"a\" et \"b\" sont deux r\u00e9els positifs, d\u00e9montrer que \"a \leq b\" revient \u00e0 d\u00e9montrer que \"a^2 \leq b ^2\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nD\u00e9terminer \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n} {\sqrt{n}}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\displaystyle \frac {u_n } {\sqrt{n} } = \sqrt { 1 + \frac { u_{n - 1}} n }\; \;\",\u00a0<\/em>
\npuis en utilisant l’in\u00e9galit\u00e9 de la question 1, \"\displaystyle 0 \leq \frac { u_{n - 1}} n \leq \frac { \sqrt{2\, n - 1}} n\",\u00a0<\/em>
\npar encadrement, \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac { u_{n - 1}} n\, = 0\".<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n } {\sqrt{n} } = 1\" .\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b>
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} ({u_n} - {\sqrt{n}} ) = \frac 1 a\".<\/p>\n

\n

Correction<\/strong> : Pour lever l’ind\u00e9termination, on utilise la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e, puis l’on divise num\u00e9rateur et d\u00e9nominateur par \"\sqrt{n - 1}\" et \"\sqrt{n}\"\u00a0 respectivement, pour utiliser la question pr\u00e9c\u00e9dente :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle {u_n} - {\sqrt{n}} = \frac {{u_n}^2 - {n}} {{u_n} + {\sqrt{n}}}\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle {u_n} - {\sqrt{n}} = \frac {u_{n - 1}} {u_n + \sqrt{n}}\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle {u_n} - {\sqrt{n}} = \frac {u_{n - 1}/ \sqrt{n - 1} } {1+ {u_n}/\sqrt{n}}\; \frac {\sqrt{n - 1}} {\sqrt{n}}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

On utilise ensuite\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {\sqrt{n - 1}} {\sqrt{n}} = \lim_{n \to + \infty} {\sqrt{1 - \frac 1 n }} = 1\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n } {\sqrt{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac {u_{n - 1} } {\sqrt{n - 1 }} = 1\",<\/em>
\nalors \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} ({u_n} - {\sqrt{n}} ) = \frac 1 2\". <\/em><\/p>\n

5. Suite v\u00e9rifiant une in\u00e9galit\u00e9<\/h2>\n

Soit \"(u_n)_n\" une suite born\u00e9e telle que pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}^*\", \"2\, u_n \leq u_{n - 1} + u_{n + 1}\" .
\nQuestion 1<\/b>
\nSoit \"v_n = u_n - u_{n - 1}\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}^*\". Montrer que la suite \"(v_n)_{n \geq 1}\" est convergente.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"v_{n + 1} - v_n = (u_{n + 1} - u_{n } ) - (u_n - u_{n - 1} )\"<\/em>
\n\"v_{n + 1} - v_n = u_{n + 1}+ u_{n - 1} -2\, u_{n } \geq 0\"<\/em>
\n\"(v_n)_{n \geq 1}\" est une suite croissante.\u00a0<\/em><\/p>\n

C’est une diff\u00e9rence de deux suites born\u00e9es, elle est born\u00e9e.\u00a0<\/em>
\n\"(v_n)_{n \geq 1}\" est une suite croissante et major\u00e9e, elle est convergente.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nEn raisonnant par l’absurde, on peut d\u00e9montrer que la suite \"(v_n)_{n \geq 1}\" converge vers \"0\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"L\" la limite de la suite \"(v_n)_{n \geq 1}\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" On suppose que \"L > 0\".<\/em>
\nIl existe \"N \in \mathbb{N},\" si \"n \geq N, \, v_n \geq L /2\".\u00a0<\/em>
\nSoit \"n \geq N\",\u00a0\"\displaystyle \sum _{k = N} ^{n } v _ k \geq \sum _{k = N} ^{n } \frac L 2\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \sum _{k = N} ^{n } u _ {k + 1} - \sum _{k = N} ^{n } u _ {k } \geq \frac {(n - N + 1) L} 2\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \sum _{p = N+ 1 } ^{n + 1 } u _ {p} - \sum _{k = N} ^{n } u _ {k } \geq \frac {(n - N + 1) L} 2\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle u_{n + 1} - u_N \geq \frac {(n - N + 1) L} 2\"\u00a0<\/em>
\ndonne par minoration par une suite qui diverge vers \"+\infty\",\u00a0\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} {u_n}= + \infty\"<\/em>
\nce qui contredit le fait que la suite soit born\u00e9e.\u00a0<\/em><\/p>\n

Il est impossible que \"L > 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"L < 0\".<\/em>
\nIl existe \"N \in \mathbb{N},\" si \"n \geq N, \, v_n \leq L /2\".\u00a0<\/em>
\nSoit \"n \geq N\",\u00a0\"\displaystyle \sum _{k = N} ^{n } v _ k \leq \sum _{k = N} ^{n } \frac L 2\"\u00a0<\/em>
\navec un raisonnement analogue au pr\u00e9c\u00e9dent,\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \displaystyle u_{n + 1} - u_N \leq \frac {(n - N + 1) L} 2\"\u00a0<\/em>
\ndonne par majoration par une suite qui diverge vers \"-\infty\",\u00a0\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} {u_n}= - \infty\"<\/em>
\nce qui contredit le fait que la suite soit born\u00e9e.\u00a0<\/em><\/p>\n

Il est impossible que \"L < 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que \"L = 0\". <\/em>\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b>
\nOn peut prouver qu’il existe \"N \in \mathbb{N}\" tel que \"(u_n)_{n \geq N}\" soit monotone, donc la suite \"(u_n)_n\" converge. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : La suite \"(v_n)_{n \geq 1}\" est croissante et converge vers 0, donc \"0\" est la borne sup\u00e9rieure de la suite, ce qui donne\u00a0<\/em>
\nsi \"n \geq 1, \, v_n \leq 0\",\u00a0soit \"u_n \leq u_{n - 1}\,\".\u00a0<\/em>
\nLa suite \"(u_n)_{n }\,\" est d\u00e9croissante et born\u00e9e, elle converge.<\/em><\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

6. Une superposition de racines carr\u00e9es<\/h2>\n

Question 1<\/b>
\nSoit \"a > 0\", \"u_0 = \sqrt{a}\"
\net \"\forall \, n \in \mathbb{N}\" , \"u_{n+1} = \sqrt{a + u_n}\" .
\nOn note \"\alpha = \displaystyle \frac 1 2 \left ( 1 + \sqrt{1 + 4 \, a} \right )\".
\nMontrer que \"\forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_n \leq \alpha\".
\n\u00c9tudier la convergence de la suite \"(u_n)_n\,\".<\/p>\n

correction<\/strong> : Si \"n \in \mathbb{N}\", on note \",H_n \, : \, u_n \leq \alpha\".<\/em>
\n\"\ast\" Comme \"\quad\displaystyle \frac 1 2 \left ( 1 + \sqrt{1 + 4\, a} \right ) \geq \frac 1 2 \left (\sqrt{4 \,a} \right ) = \sqrt{a}\",<\/em>
\non a prouv\u00e9 que \"u_0 \leq \alpha\".<\/em>
\n\"\ast\" On suppose que \"H_n\" est v\u00e9rifi\u00e9e.\u00a0<\/em>
\nLa fonction<\/a> \"x \mapsto \sqrt{a + x}\" \u00e9tant croissante, par \"H_n\"\u00a0\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} \leq \sqrt{a + \alpha}\"\u00a0 \u00a0 (*)\u00a0<\/em>
\n\"a + \alpha = \displaystyle \frac 1 2 \left ( 2 \,a + 1 + \sqrt{1 + 4\, a} \right )\"<\/em>
\n\"a + \alpha = \displaystyle \frac 1 4 \left ( 4\, a + 2 + 2\, \sqrt{1 + 4\, a} \right )\"<\/em>
\n\"a + \alpha = \displaystyle \frac 1 4 \left ( 1 + (\sqrt{1 + 4\, a}) ^2 + 2\, \sqrt{1 + 4 \,a} \right )\"<\/em>
\n\"a + \alpha = \displaystyle \frac 1 4 \left ( 1 + \sqrt{1 + 4 \,a} \, \right ) ^2 = \alpha ^2\"<\/em>
\n(*) donne \"u_{n + 1} \leq \alpha\".\u00a0\u00a0<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"u_{n + 1} - u_n = \sqrt {a + u_n } - u_n\"\u00a0<\/em>
\nen multipliant par la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} - u_n = \displaystyle \frac {a + u_n - u_n^2} {\sqrt {a + u_n } + u_n } \;\".\u00a0\u00a0<\/em>
\nLes racines de \"a + x - x^2 = 0\" sont\u00a0<\/em>
\n\"\alpha\" et \"\beta = \displaystyle \frac {1 - \sqrt{1 + 4\, a}} 2 < 0\".\u00a0<\/em>
\n\"a + u_n - u_n^2= (\alpha - u_n) (u_n - \beta)\"\u00a0<\/em>
\navec \"u_n - \beta \geq - \beta > 0\" car \"u_n \geq 0\"\u00a0<\/em>
\net \"\alpha - u_n \geq 0\", donc \"u_{n + 1} - u_n \geq 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

La suite \"(u_n)_n\" de r\u00e9els positifs est croissante et major\u00e9e, elle converge vers \"L \geq 0\" tel que \"L ^2 = a + L\" (\u00e9quation obtenue en passant \u00e0 la limite dans la relation \"u_n^2 = a + u_n\"),\u00a0ce qui donne \"L \in \{\alpha \, , \, \beta \}\", donc \"L = \alpha\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nOn suppose toujours \"a > 0\".
\nSoit une suite \"(a_n)_{n \geq 1}\" telle que \"\quad \quad \forall\, n \in \mathbb{N}^*, \, 0 \leq a_n \leq a\".
\nOn d\u00e9finit pour \"n \in \mathbb{N}^*,\" \"\quad \, v_n = \sqrt{a_1 + \sqrt {a_2 \, + \cdots \, + \sqrt{a_n }}}\"
\nLa suite \"(v_n)_{n \geq 1}\" converge.<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" En utilisant \"a_n \leq a_n +\sqrt{a_{n + 1}}\" et la croissance de la fonction racine carr\u00e9e,\u00a0<\/em>
\n\"\sqrt{a_n} \leq \sqrt{a_n +\sqrt{a_{n + 1}}}\"\u00a0<\/em>
\npuis \"\sqrt{a_{n - 1} + \sqrt{a_n}} \leq \sqrt{a_{n - 1} + \sqrt{a_n +\sqrt{a_{n + 1}}}}\"\u00a0<\/em>
\net en r\u00e9it\u00e9rant le raisonnement, \"v_n \leq v_{n + 1}\, \".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant \"\forall \, k \in \mathbb{N}^* \, , \, a_k \leq a\" ,<\/em>
\n\"\quad \quad v_n \leq \sqrt{a + \sqrt {a \, + \cdots \, + \sqrt{a }}}\"<\/em>
\n(avec \"n\" signes \"\sqrt{\, .\, }\,\") .\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"v_n \leq u_n\" donc \"v_n \leq \alpha\".\u00a0<\/em>
\nLa suite \"(v_n)_{n \geq 1}\" est croissante et major\u00e9e, elle est convergente.\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

\n

7. Constante d’Euler<\/h2>\n

Question 1<\/b>
\nMontrer que pour tout \"x \geq 0\",\"\quad \quad \displaystyle \frac x {x+1}\leq \ln(1 + x)\leq x\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Soit \"u : x \mapsto x - \ln(1 + x)\".\u00a0<\/em>
\n\"u\" est d\u00e9rivable<\/a> sur \"\mathbb{R} ^+\" et \"u'(x) = 1 - \displaystyle \frac 1 {x + 1} = \frac {x} {x + 1} \geq 0\".\u00a0<\/em>
\n\"u\" est croissante sur \"\mathbb{R} ^+\" donc<\/em>
\n\"\forall\, x \geq 0, \, u(x) \geq u(0)\" soit \"u(x) \geq 0\"<\/em>
\n\"\Rightarrow x - \ln(1 + x) \geq 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"v : x \mapsto \displaystyle \ln(1 + x)- \frac x {x+1}\".\u00a0<\/em>
\n\"v\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R} ^+\" et \"v'(x) = \displaystyle \frac 1 {x + 1} - \frac 1 {(x + 1)^2} = \frac {x} {(x + 1)^2} \geq 0\"\u00a0<\/em>
\n\"v\" est croissante sur \"\mathbb{R} ^+\" donc<\/em>
\n\"\forall\, x \geq 0,\, v(x) \geq v(0)\" soit \"v(x) \geq 0\"\u00a0<\/em>
\n\"\Rightarrow \displaystyle \ln(1 + x) - \frac x {x+1} \geq 0\".\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2.<\/b>
\nMontrer que la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 k - \ln(n)\" converge.
\nOn notera \"\gamma\" sa limite\u00a0\u00a0que l’on ne cherchera pas \u00e0 calculer.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Monotonie \"a_{n + 1} - a_n = \displaystyle \frac 1 {n + 1} - \ln(n + 1) + \ln(n)\"\u00a0<\/em>
\n\"a_{n + 1} - a_n = \displaystyle \frac 1 {n + 1} - \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right )\"\u00a0<\/em>
\nEn utilisant la question 1 pour \"x = 1/ n\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac {1/n} {1 + 1/n} - \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right ) \leq 0\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"\displaystyle \frac 1 {n + 1} - \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right ) \leq 0\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"a_{n + 1}- a_n \leq 0\".\u00a0<\/em>
\nLa suite \"(a_n)_{n\geq 1}\" est d\u00e9croissante.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant la premi\u00e8re question,\u00a0<\/em>
\npour tout \"k \geq 1, \; \displaystyle \ln \left ( 1 + \frac 1 k \right ) \leq \frac 1 k\"<\/em>
\ndonc par somme<\/a>,\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \sum_{k = 1} ^n \frac 1 k \geq \sum _ {k = 1} ^n (\ln(k + 1) - \ln(k))\"<\/em>
\n\"\displaystyle u_n = \sum _ {k = 1} ^n (\ln(k + 1) - \ln(k))\"<\/em>
\n\"\displaystyle u_n = \sum _ {k = 1} ^n \ln(k + 1) - \sum _ {k = 1} ^n\ln(k)\"<\/em>
\n\"\displaystyle u_n = \sum _ {p = 2} ^{n + 1} \ln(p) - \sum _ {k = 1} ^n\ln(k)\" \"u_n = \ln(n + 1) - \ln(1)\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \sum_{k = 1} ^n \frac 1 k \geq \ln(n + 1)\"\u00a0<\/em>
\net \"a_{n } \geq \ln(n + 1) - \ln(n) > 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

La suite \"(a_n)_{n\geq 1}\" est d\u00e9croissante et minor\u00e9e par 0, elle converge vers un r\u00e9el \"\gamma\" appel\u00e9 constante d’Euler.\u00a0<\/em>
\n\"\gamma \approx 0.577\".<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b>
\nD\u00e9terminer la limite de la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"R_n = \displaystyle \sum _ {k = n + 1} ^{2 n } \frac 1 k\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note dans la suite \"H_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 k\", donc \"H_n = a_n + \ln(n)\".\u00a0<\/em>
\n\"R_n = H_{2 n} - H_n\" \"R_n = a_{2 n } - a_n + \ln(2 \, n) - \ln(n)\"<\/em>
\n\"R_n = a_{2 n } - a_n + \ln(2)\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} R_n = \gamma - \gamma + \ln(2)\".\u00a0<\/em>
\n\"(R_n)_n\" converge vers \"\ln(2)\".<\/em><\/div>\n
<\/div>\n
Question 4\u00a0<\/strong>
\nOn note \"\displaystyle S_n = \sum _{k = 1}^n \frac {(-1)^{k + 1} } {k}\".
\nMontrer que la suite \"(S_n)_n\" converge et d\u00e9terminer sa limite.<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n

Correction<\/strong> : \"\displaystyle S_{2 n } - H_{2 n} = \sum _ {k = 1} ^{2 n} \left ( \frac {(-1)^{k + 1} } {k} - \frac {1 } {k} \right )\"\u00a0<\/em>
\nsi \"k = 2\, p + 1,\, (-1)^{k + 1} - 1 = 0\"\u00a0<\/em>
\nsi \"k = 2 \, p ,\, (-1)^{k + 1} - 1 = - 2\"<\/em>
\nIl ne subsiste que les termes lorsque \"k = 2 \, p\" avec \"1 \leq p \leq n\",\u00a0<\/em>
\ndonc \"\displaystyle S_{2 n } - H_{2 n} = \sum _ {p = 1} ^{n} \frac {- 2} {2p}\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"\displaystyle S_{2 n } - H_{2 n} = - H_n\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"S_{2 n} = H_{2 n } - H_n = R_n\"<\/em>
\net \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_{2 n} = \ln(2)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Comme \"\displaystyle S_{2 n + 1} = S_{2 n} + \frac 1 {2 n + 1}\",\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_{2 n + 1} = \ln(2)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Par propri\u00e9t\u00e9 des suites extraites, \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \ln(2)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 5<\/b>
\nOn suppose que la suite \"(x_n)_{n> 0}\" est d\u00e9finie par \"x_1 \in \mathbb{R}\" et \"\quad \quad \forall\, n \in \mathbb{N}^*, \, x_{n + 1} + x_n = \displaystyle \frac 1 n\".
\nSi \"n \geq 2\", exprimer \"x_n\" en fonction de \"S_{n - 1}\" et \"x_1\,\".
\nEn d\u00e9duire une CNS pour que la suite \"(x_n)_n\" converge.<\/p>\n

Question 6<\/b>
\n\u00c9tude de la convergence des suites \"(c_n)_{n > 0}\" et \"(d_n)_{n > 0}\" d\u00e9finies par leurs premiers termes \"c_1\" et \"d_1\" et les relations
\n\"\quad \quad \forall \, n \, \in \mathbb{N}^*, \, \displaystyle c_{n + 1} = d_n + \frac 1 n\" \"\quad \quad \quad \quad \textrm{et } \displaystyle d_{n + 1} = c_n - \frac 1 n\" .<\/p>\n

8. Avec de la trigonom\u00e9trie<\/h2>\n

Soit \"t \in [0 , \pi/2[\" et si \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\quad \quad P_n = \displaystyle \prod _{k = 1}^n \left ( 1 - \tan^2 \left ( \frac t {2 ^k} \right ) \right)\".
\nJustifier l’existence de \"P_n\,\", d\u00e9montrer que la suite converge et trouver sa limite.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" \"\displaystyle 0 \leq \frac t {2 ^k} \leq t < \frac {\pi} 2\" donc \"P_n\" est d\u00e9fini.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose dans la suite que \"t \neq 0\" car sinon \"P_n = 1\".\u00a0<\/em>
\nOn rappelle que si \"2 \, u \in [0 , \, \pi/2[\" , \"\quad \quad \tan(2\, u) = \displaystyle \frac {2 \, \tan(u)} {1 - \tan^2(u)}\".\u00a0<\/em>
\ndonc si \"u \in \; \displaystyle \left ]0 , \frac { \pi} 4\right [,\" \"\quad \quad \quad \, \displaystyle 1 - \tan^2(u) = \frac {2 \tan(u)} {\tan(2\,u)}\"<\/em>
\nSi \"k \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle 0 \leq \frac t {2 ^k} < \frac {\pi} 4\",\u00a0<\/em>
\n\u00a0\"\quad \quad \quad P_n = \displaystyle \prod _{k = 1}^n \frac {2 \tan(t / 2 ^{k})} {\tan(t / 2 ^{k - 1} )}\"<\/em>
\nPuis avec \"p = k - 1\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \displaystyle \prod _{k = 1}^n {\tan(t / 2 ^{k - 1} )} = \prod _{p = 0}^{n - 1} {\tan(t / 2 ^{p} )}\",<\/em>
\n\"P_n = \displaystyle 2 ^n \frac {\tan(t / 2 ^{n} )} {\tan(t) }\".<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle 2 ^n \, {\tan(t / 2 ^{n} )} = \frac {2 ^n \, \sin(t/2 ^n)} {\cos(t / 2^n)}\"\u00a0<\/em>
\nOn rappelle que \"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\sin(x)} x = 1\",\u00a0<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac {\sin(t/2^n )} {t / 2 ^n} = 1\"<\/em>
\n\"\Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to +\infty} 2 ^n\, {\sin(t/2^n )} = t\"<\/em>
\n\"\Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to +\infty} 2 ^n\, {\tan(t/2^n )} = t\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} P_n = \displaystyle \frac t {\tan(t)}\".<\/em><\/p>\n

9. La m\u00eame suite \u00e0 deux p\u00e9riodes diff\u00e9rentes de l’ann\u00e9e<\/h2>\n

Version premier semestre\u00a0<\/b>
\nSi \"n \geq 1\",\"\quad u_n = \displaystyle \sum _{ k = 1} ^n \frac 1 {\sqrt{(n + k) (n + k + 1)} }\".
\nLa suite \"(u_n)_n\" est convergente. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" \"u_{n + 1} = \displaystyle \sum _{ k = 1} ^{n + 1} \frac 1 {\sqrt{(n + 1 + k) (n + k + 2)} }\"<\/em>
\n⚠️ \u00e0 bien remplacer \"n\" par \"n + 1\" \u00e0 trois emplacements !\u00a0<\/em>
\nPuis en posant \"p = k + 1\",\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} = \displaystyle \sum _{ p = 2} ^{n + 2} \frac 1 {\sqrt{(n + p) (n + p + 1)} }\"<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On note \"\varphi(p) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{(n + p) (n + p + 1)} }\"<\/em>
\n\"u_{n + 1} = \displaystyle \sum _{ p = 2} ^{n + 2} \varphi(p)\"<\/em>
\n\"= \displaystyle \sum _{ p = 1} ^{n } \varphi(p) - \varphi(1) + \varphi(n + 1) + \varphi(n + 2)\"<\/em>
\ndonc \"u_{n + 1} - u_n =\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \varphi(n + 1) + \varphi(n + 2) - \varphi(1)\"<\/em>
\n\"u_{n + 1} - u_n = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{(2 n + 1)(2 n + 2) } }\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \frac 1 {\sqrt{(2 n + 2)(2 n + 3)} }\"\"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -\, \frac 1 {\sqrt{(n + 1)(n + 2) }}\"\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} - u_n = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 n + 2 }} \; v_n\" o\u00f9 \"v_n = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 n + 1 }} + \frac 1 {\sqrt{2 n + 3 }} - \frac 2 {\sqrt{2 n + 4} } \"<\/em>
\npuis \"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 n + 1 }} > \frac 1 {\sqrt{2 n + 4 }}\"\u00a0<\/em>
\net \"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 n + 3 }} > \frac 1 {\sqrt{2 n + 4 }}\"\u00a0<\/em>
\ndonnent \"v_n > 0\" et \"u_{n + 1} - u_n > 0\".<\/em>
\nLa suite est croissante.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"u_n\" est la somme de \"n\" termes tous inf\u00e9rieurs ou \u00e9gaux \u00e0 \"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{(n + 1)(n + 2)} }\leq \frac 1 n\", donc \"u_n \leq \displaystyle \frac n n\".\u00a0<\/em>
\nLa suite est croissante et major\u00e9e par 1, elle converge.\u00a0<\/em><\/p>\n

Version deuxi\u00e8me semestre\u00a0<\/b>
\nSi \"n \geq 1\", \"\quad u_n = \displaystyle \sum _{ k = 1} ^n \frac 1 {\sqrt{(n + k) (n + k + 1)} }\".
\nLa suite converge vers \"\ln 2\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Pour tout \"k > 0\",\u00a0<\/em>
\n\"n + k \leq \sqrt{(n + k) (n + k + 1)} \leq n + k + 1\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \frac 1 {n + k + 1} \leq \frac 1 {\sqrt{(n + k) (n + k + 1)} }\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad \displaystyle \leq \frac 1 {n + k}\"<\/em>
\npar somme, on \u00e9crit \"a_n \leq u_n \leq b_n\"\u00a0<\/em>
\navec \"a_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {n + k + 1}\"\u00a0<\/em>
\net \"b_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {n + k}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On remarque en posant \"p = k + 1\"\u00a0<\/em>
\n\"a_n = \displaystyle \sum _ {p = 2} ^{n +1} \frac 1 {n + p}\"\u00a0<\/em>
\n\"a_n = \displaystyle b_n + \frac 1 {2\, n + 1} - \frac 1 {n + 1}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Puis en notant \"f : x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x + 1}\",<\/em>
\n\"b_n = \displaystyle \frac 1 n \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {1 + k/n}\"\u00a0<\/em>
\n\"b_n = \displaystyle \frac 1 n \sum _ {k = 1} ^n f \left ( \frac k n \right )\".\u00a0<\/em>
\nOn reconna\u00eet une somme de Riemann associ\u00e9e \u00e0 la fonction \"f\" continue sur \"[0\, , \, 1]\", donc \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} b_n = \int_0 ^1 \, f(t) \, \textrm {d} t\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} b_n = \left [ \ln(1 + t) \right]_0 ^1 = \ln 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Puis comme \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_n = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} b_n\"<\/em>
\npar encadrement, la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"\ln 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

10. Deux exercices th\u00e9oriques (correction dans l’application mobile)<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"(u_n)_n\" une suite r\u00e9elle born\u00e9e et \"L \in \mathbb{R}\".
\nSi toutes les suites extraites et convergentes de \"(u_n)_n\" convergent vers \"L\", la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"L\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSi la suite \"(u_n)_n\" converge et ne prend qu’un nombre fini de valeurs, elle est stationnaire.<\/p>\n

11. Exercices Suppl\u00e9mentaires (correction dans l’application mobile)<\/h2>\n

1. Exercice 1<\/h3>\n

Suite d\u00e9finie par \"u_0 \geq 0\" et \"\; \; u_{n + 1} = f(u_n)\" o\u00f9 \"f(x) = \displaystyle \frac {3+ 2 \, x^2} 5\".
\nQuestion 1<\/b>
\nIl y a \"a\" suites constantes.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi \"0 \leq u_0 < 3/2\", la suite converge vers ?<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSi \"u_0 > 3/2\", \"(u_n)_n\" converge, vrai ou faux ?<\/p>\n

2. Exercice 2<\/h3>\n

Soit la suite d\u00e9finie par \"u_0 \geq 0\" et \"\; \; u_{n + 1} = f(u_n)\" o\u00f9 \"f(x) = \displaystyle \frac {1 - x^2} 2\".
\nQuestion 1\u00a0\u00a0<\/b>
\n\"f\" admet deux points fixes v\u00e9rifiant \"\alpha < 0 < \beta\" vrai ou faux ?<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nLa suite est stationnaire pour \"k\" valeurs initiales positives de \"u_0\,\". vrai ouf aux ?<\/p>\n

Question 3<\/b>
\n\"f\circ f(x) - x\" est du signe de \"f(x) - x\", vrai ou faux ?<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nSi \"u_0 \in [0 , \, 1]\", la suite converge, vrai ou faux ?<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSi \"u_0 > - \alpha\", \"(u_{ n })_n\" diverge vers \"+\infty\".<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nSi \"1 < u_0 < - \alpha\", \"(u_{ n })_n\" diverge ?<\/p>\n

3. Un autre exemple de fonction d\u00e9croissante<\/h3>\n

La suite d\u00e9finie par \"u_0 \in [0 \, , \, 1]\" et \"u_{n + 1} = f(u_n)\" o\u00f9 \"f(x) = 1 - x^2\" est convergente ssi elle est stationnaire. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

4. Exercice<\/h3>\n

Question 1<\/b>
\nLes relations \"- 2 \leq u_0 \leq 2\" et \"\; \; u_{n + 1} = f(u_n)\" o\u00f9 \"f(x) = \sqrt{2 - x}\" d\u00e9finissent une suite. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}, \, n \geq 2\" \"\quad \left \vert u_{n + 1} - 1 \right \vert \leq \displaystyle \frac 1 {1 + \sqrt{0,6}} \left \vert u_{n} - 1 \right \vert\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nLa suite \"(u_n)_n\" converge vers ?<\/p>\n

5. Exercice 5 avec un calcul num\u00e9rique<\/h3>\n

Soit la suite d\u00e9finie par \"u_0 \in \mathbb{R}\" et \"u_{n + 1} = f(u_n)\" o\u00f9 \"f(x) = \displaystyle \frac {1} {1 + \textrm{e} ^x }\"
\nQuestion 1<\/b>
\nMontrer que \"f\" admet un unique point fixe \"L\".
\nMontrer que si \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\quad \quad \displaystyle \vert u_{n + 1} - L \vert \leq \frac 1 4 \vert u_n - L \vert\"
\nEn d\u00e9duire la convergence de la suite.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nDonner un intervalle de longueur inf\u00e9rieure \u00e0 \"10^{- 5}\" contenant la limite de la suite.<\/p>\n

6. Exercice 6<\/p>\n

Soit la suite d\u00e9finie par \"u_0 > 0\" et \"u_{n + 1} = f(u_n)\" o\u00f9 \"f(x) = \displaystyle \frac {x} 4 + \frac 3 {2\, x}\".
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nLa suite \"(u_n)_{n > 0}\" est bien d\u00e9finie et minor\u00e9e par un r\u00e9el strtictement positif. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi la suite converge, sa limite est \u00e9gale \u00e0 \"\sqrt{a}\"<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*,\" \"\quad \, \left \vert u_{n + 1} - \sqrt{2} \right \vert \leq \displaystyle \frac {a } 4 \left \vert u_{n} - \sqrt{2} \right \vert\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nLa suite converge.<\/p>\n

7. Dernier exemple<\/h3>\n

Soit la suite d\u00e9finie par \"u_0 \geq 0\" et \"u_{n + 1} = f(u_n)\" o\u00f9 \"f(x) = \displaystyle \frac {1+ x^2} {x - 1}\".
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\n\u00c9tudier les variations de \"f\" et le signe de \"f(x) - x\".<\/p>\n

\"exercices<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nL’intervalle \"] - \infty \, , \, 1[\" est \"f\"-stable et on peut en d\u00e9duire que la suite converge.<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nL’intervalle \"]1 , + \infty[\" est \"f\"-stable et on peut en d\u00e9duire que la suite converge.<\/p>\n

Boostez vos r\u00e9sultats ainsi que votre moyenne en MPSI, PCSI et PTSI avec les cours en ligne et les exercices corrig\u00e9s au programme de Maths :<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit si \"n \in \mathbb{N}^*\, , H_n \, : u_n \leq \sqrt{2 \, n + 1}\"\u00a0<\/em>
\nPour \"n = 1,\, u_1 = 1 < \sqrt{3}\" , donc \"H_1\" est v\u00e9rifi\u00e9e.<\/em>
\nOn suppose que \"H_n\" est vraie :<\/em>
\n\"u_{n + 1} = \sqrt{n + 1 + u_n }\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"u_{n + 1} \leq \sqrt{n + 1 + \sqrt{2\, n + 1} }\"\u00a0<\/em>
\nque l’on doit comparer \u00e0 \"\sqrt{2 \, n + 3}\".\u00a0<\/em>
\nLes r\u00e9els<\/a> compar\u00e9s \u00e9tant positifs ou nuls, on peut raisonner par \u00e9quivalence en \u00e9levant les termes au carr\u00e9 :\u00a0<\/em>
\n\"\sqrt{n + 1 + \sqrt{2 \, n + 1} } \leq \sqrt{2 \, n + 3}\"<\/em>
\n\"\Leftrightarrow {n + 1 + \sqrt{2 \, n + 1} } \leq {2 \, n + 3}\"<\/em>
\n\"\Leftrightarrow { \sqrt{2 \, n + 1} } \leq {n + 2}\"<\/em>
\n\"\Leftrightarrow { {2\, n + 1} } \leq {n^2 + 4\, n + 4}\"<\/em>
\n\"\Leftrightarrow n ^2 + 2\, n + 3 \geq 0\".<\/em><\/p>\n