{"id":37485,"date":"2019-10-30T17:12:08","date_gmt":"2019-10-30T16:12:08","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37485"},"modified":"2023-09-15T18:25:56","modified_gmt":"2023-09-15T17:25:56","slug":"cours-en-ligne-limites-et-continuite-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-limites-et-continuite-maths-sup\/","title":{"rendered":"Limites et continuit\u00e9 en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Limites et continuit\u00e9 en Maths Sup MPSI, PCSI, PTSI et MP2I<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Limites et continuit\u00e9 en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1. Limites
\n\"\quad\" 1.1. Savoir traduire la notion de limite
\n\"\quad\" 1.2. 0p\u00e9rations sur les limites
\n\"\quad\" 1.3. Utilisation d’in\u00e9galit\u00e9s
\n\"\quad\" 1.4. Suite et limite
\n\"\quad\" 1.5. Les limites usuelles
\n\"\quad\" 1.6. Quelques m\u00e9thodes pour lever des formes ind\u00e9termin\u00e9es
\n\"\quad\" 1.7. Le th\u00e9or\u00e8me de convergence monotone<\/p>\n

2. Continuit\u00e9
\n\"\quad\" 2.1. D\u00e9finitions
\n\"\quad\" 2.2. Op\u00e9rations sur les fonctions continues
\n\"\quad\" 2.3. Image d’une suite convergente<\/p>\n

3. Continuit\u00e9 sur un intervalle
\n\"\quad\" 3.1. Th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires
\n\"\quad\" 3.2. Image d’un segment
\n\"\quad\" 3.3. Th\u00e9or\u00e8me \u00ab\u00a0de la bijection\u00a0\u00bb.<\/p>\n

N’h\u00e9sitez pas \u00e0 contacter nos profs de maths<\/a> pour progresser en pr\u00e9pa scientifique.<\/p>\n

 <\/p>\n

1. Limites<\/h3>\n

1.1. Savoir traduire la notion de limite<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"a\" un \u00e9l\u00e9ment de \"I\" ou une extr\u00e9mit\u00e9 r\u00e9elle de \"I\" et \"L\" un r\u00e9el, \"f : I \to \mathbb {K}\" ou \"f : I \setminus \{a\} \to \mathbb{K}\".
\n\"\ast\" On dit que \"f\"\u00a0admet\u00a0<\/i>\"L\"\u00a0pour<\/i>\u00a0limite<\/i>\u00a0en<\/i>\u00a0\"a\" lorsque :
\n\"\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,\" \"\quad \quad \vert x - a \vert \leq \alpha \Rightarrow \, \vert f(x) - L \vert \leq \varepsilon\".
\net on \u00e9crit
\n\"\; \; \; \quad \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L\" ou \"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} {\longrightarrow } L\".<\/p>\n

\"\ast\" On dit que \"f\"\u00a0admet<\/i>\u00a0\"L\"\u00a0pour\u00a0<\/i>limite \u00e0 droite<\/i>\u00a0en<\/i>\u00a0\"a\" lorsque :
\n\"\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I,\" \"\quad \; a < x < a + \alpha \Rightarrow \, \vert f(x) - L \vert \leq \varepsilon\".
\nOn \u00e9crit
\n\"\; \; \quad \displaystyle \lim_{x \to a^{+}} f(x) = L\" ou \"f(a + \textrm{o}) = L\".<\/p>\n

\"\ast\" On dit que \"f\"\u00a0admet\u00a0<\/i>\"L\"\u00a0pour<\/i>\u00a0limite \u00e0 gauche<\/i>\u00a0en<\/i>\u00a0\"a\" lorsque :
\n\"\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,\" \"\quad \; a - \alpha < x < a \Rightarrow\, \vert f(x) - L \vert \leq \varepsilon\"
\nOn \u00e9crit
\n\"\; \; \displaystyle \lim_{x \to a^{-}} f(x) = L\" ou \"f(a - \textrm{o}) = L\".<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose dans cette partie que \"f\" est \u00e0 valeurs r\u00e9elles.
\n\"\ast\" On dit que \"f\" admet \"+\infty\" pour limite en \"a\" lorsque :
\n\"\forall\, A \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,\" \"\quad \quad \quad \vert x - a \vert \leq \alpha \Rightarrow \, f(x) \geq A\".
\nOn \u00e9crit
\n\"\quad \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = + \infty\" ou \"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} {\longrightarrow } + \infty\"<\/p>\n

\"\ast\" On dit que \"f\" admet \"-\infty\" pour limite en \"a\" lorsque :
\n\"\forall\, A \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,\" \"\quad \quad \quad \quad \vert x - a \vert \leq \alpha \Rightarrow\, f(x) \leq - A\"
\nOn \u00e9crit
\n\"\quad \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = - \infty\" ou \"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} {\longrightarrow } - \infty\"<\/p>\n

\"\ast\" Dans le cas o\u00f9 \"I\" contient un intervalle de la forme \"[a , +\infty[\",\u00a0on dit que \"f\" admet \"+\infty\" pour limite en \"+\infty\" lorsque :
\n\"\forall\, A \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, B \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,\" \"\quad \quad \quad \quad x \geq B \Rightarrow \, f(x) \leq - A\".
\nOn \u00e9crit
\n\"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty\" ou \"\displaystyle f(x) \underset {x \to + \infty } {\longrightarrow } + \infty\".<\/p>\n

On vous laisse \u00e9crire les autres cas donnant \"\displaystyle \lim_{x \to \varepsilon\, \infty} f(x) = \varepsilon ' \infty\" o\u00f9 \"\varepsilon\" et \"\varepsilon'\" sont \u00e9gaux \u00e0 \"+\" ou \"-\".<\/p>\n

\"\bullet\" Dans tous les cas (limite finie ou infinie), il y a unicit\u00e9 de la limite si elle existe.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" admet une limite finie en \"a\" (fini ou non), \"f\" est born\u00e9e au voisinage de \"a\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

\n

1.2. 0p\u00e9rations sur les limites<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0Convention d’\u00e9criture\u00a0<\/i>
\nOn note \"\overline {\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{+\infty,\, +\infty\}\".
\n\"\ast\" Addition :
\n\"(+ \infty) + (+\infty ) = +\infty\"
\n\"(- \infty) + (-\infty ) = -\infty\"
\nsi \"a \in \mathbb{R}\", \"(+ \infty) + a =a + (+\infty ) = +\infty\"
\n\"(- \infty) + a = (-\infty ) + a = -\infty\".<\/p>\n

\"\ast\" Produit :
\n\"(+ \infty) \times (+\infty ) = +\infty\"
\n\"(+ \infty) \times (-\infty ) = -\infty\".
\n\"(- \infty) \times (+\infty ) = -\infty\"
\n\"(- \infty) \times (-\infty ) = +\infty\".
\nSi \"a \in \mathbb{R}^ {+ *}\", \"(+ \infty) \times a = a \times (+\infty ) = +\infty\"
\n\"(- \infty) \times a = a \times (-\infty ) = -\infty\".
\nSi \"a \in \mathbb{R}^ {- *}\", \"(+ \infty) \times a = a \times (+\infty ) = -\infty\"
\n\"(- \infty) \times a = a \times (-\infty )= +\infty\".<\/p>\n

Les cas \"(+ \infty) - (+\infty )\" et \"0 \times \infty\" ou \"\infty \times 0\" sont dits\u00a0i<\/b>nd\u00e9termin\u00e9s<\/b>.<\/p>\n

\"\bullet\" Une\u00a0somme<\/a>\u00a0<\/i>de deux fonctions admettant une limite finie ou infinie en \"a\" admet une limite en \"a\" \u00e9gale \u00e0 la somme des limites lorsque l’on n’est pas dans le cas d’ind\u00e9termination de la somme.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\lambda \in \mathbb{K} ^*\" et si \"f\" admet une limite \"L \in \overline{\mathbb{R}}\" en \"a\", \"\lambda \, f\" admet \"\lambda\, L\" pour limite en \"a\" (avec les r\u00e8gles de calcul dans \"\overline{\mathbb{R}}\").<\/p>\n

\"\bullet\" Un\u00a0produit<\/i>\u00a0de deux fonctions admettant une limite finie ou infinie en \"a\" admet une limite en \"a\" \u00e9gale au produit des limites lorsque l’on n’est pas dans le cas d’ind\u00e9termination du produit.<\/p>\n

\"\bullet\" Si une fonction<\/a> \"f\" admet une limite finie \"L> 0\" en \"a\", alors \"f(x) > L/2\" au voisinage de \"a\".
\nSi une fonction \"f\" admet une limite infinie en \"a\", alors \"\vert f(x) \vert \geq 1\" au voisinage de \"a\".
\n\"\bullet\" \"\ast\" si une fonction \"f\" admet une limite \"L \in \mathbb {K} \setminus \{0\}\" en \"a\", la fonction \"\displaystyle \frac 1 f\" est d\u00e9finie au voisinage de \"a\" et admet\"\displaystyle \frac 1 L\"\u00a0pour limite en \"a\" .
\n\"\ast\" si une fonction \"f\" admet une limite \"\infty\" en \"a\" , la fonction\"\displaystyle \frac 1 f\"\u00a0est d\u00e9finie au voisinage de \"a\" et admet \"0\" pour limite en \"a\".
\n\"\ast\" si une fonction \"f\" admet une limite \"0\" en \"a\" et v\u00e9rifie \"f(x) > 0\" au voisinage de \"a\", la fonction \"\displaystyle \frac 1 f\" et admet \"+\infty\" pour limite en \"a\".
\n\"\ast\" si une fonction \"f\" admet une limite \"0\" en \"a\" et v\u00e9rifie \"f(x) < 0\" au voisinage de \"a\", la fonction \"\displaystyle \frac 1 f\"\u00a0et admet \"-\infty\" pour limite en \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" admet \"L\" pour limite en \"a\", \"\vert f \vert\" admet \"\vert L \vert\" pour limite en \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"f\" d\u00e9finie sur \"I\" et\u00a0\u00e0 valeurs complexes<\/a>\u00a0<\/i>; \"a\" fini ou infini et \"L \in \mathbb{C}\".
\n\"f\" admet \"L\" pour limite en \"a\" ssi \"\mathcal{R}e (f)\" et \"\mathcal{I}m (f)\" admettent respectivement \"\mathcal{R}e (L)\" et \"\mathcal{I}m (L)\" pour limite en \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Composition<\/i>
\nSoient \"a\" un \u00e9l\u00e9ment ou une extr\u00e9mit\u00e9 de \"I\", \"f\" d\u00e9finie sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {R}\" et \"g\" une fonction d\u00e9finie sur un intervalle \"J\" contenant \"f(I)\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\". Si \"f\" admet une limite r\u00e9elle ou infinie \"b\" en \"a\" et si \"g\" admet une limite r\u00e9elle ou infinie \"L\" en \"b\", alors \"g \circ f\" admet \"L\" pour limite en \"a\".<\/p>\n

1.3. Utilisation d’in\u00e9galit\u00e9s\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" \"f\" admet \"0\" pour limite en \"a\" ssi \"\vert u \vert\" admet \"0\" pour limite en \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe un voisinage \"\mathcal{V}\" de \"a\" sur lequel les fonctions r\u00e9elles \"u\", \"v\" et \"w\" v\u00e9rifient \"u(x) \leq v(x) \leq w(x)\" et si \"u\" et \"w\" ont m\u00eame limite finie \"L\" en \"a\", \"v\" admet \"L\" pour limite en \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si, au voisinage de \"a\", les fonctions r\u00e9elles \"u\" et \"v\" v\u00e9rifient \"u(x) \leq v(x)\",
\n\"\ast\" si \"\displaystyle \lim_ {x\to a} v(x) = - \infty\" , alors \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_ {x\to a} u(x)= - \infty\"
\n\"\ast\" si \"\displaystyle \lim _ {x\to a} u(x) = + \infty\" , alors \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim _ {x\to a} v(x)= + \infty\".<\/p>\n

1.4. Suite et limite\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Version PCSI
\nSi \"f : I \to \mathbb{K}\" admet une limite \"L\" en \"a\", pour toute suite \"(u_n)_n\" de \"I\" v\u00e9rifiant
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = a\", alors \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) = L\".<\/p>\n

Cons\u00e9quence<\/i>\u00a0: s’il existe deux suites<\/a> \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" de \"I\" telles que \"\quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) \neq \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(v_n)\" ,
\n\"f\" n’a pas de limite en \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Th\u00e9or\u00e8me de caract\u00e9risation s\u00e9quentielle de limite<\/i>\u00a0Version MPSI
\n\"f : I \to \mathbb{K}\" admet une limite \"L\" en \"a\" ssi pour toute suite \"(u_n)_n\" de \"I\" v\u00e9rifiant \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = a\", alors \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) = L\"<\/p>\n

Cons\u00e9quence\u00a0<\/i>: s’il existe deux suites \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" de \"I\" telles que \"\quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) \neq \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(v_n)\",
\n\"f\" n’a pas de limite en \"a\".<\/p>\n

exercice<\/b>\u00a0:
\n\"x \mapsto \displaystyle \sin \frac 1 x\" n’a pas de limite en \"0\"<\/p>\n

correction<\/strong> : Si \"n \in \mathbb{N}^*\", on introduit \"\displaystyle u_n = \frac 1 {n \, \pi}\" et \"\displaystyle v_n = \frac 2 {(4 \, n + 1) \, \pi}\" .
\nOn d\u00e9finit ainsi deux suites qui convergent vers \"0\" et v\u00e9rifient
\n\"\quad \quad f(u_n) = 0\" et \"f(v_n) = 1\".
\nLes suites \"(f(u_n))_n\" et \"(f(v_n))_n\" convergent vers des limites diff\u00e9rentes.
\nDonc \"f\" n’a pas de limite en \"0\".<\/div>\n
<\/div>\n
1.5. Les limites usuelles<\/b>
\n\"\bullet\" Celles qui proviennent des\u00a0taux d’accroissements<\/i>\u00a0:
\n\"\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{e} ^x - 1} {x} = 1\"
\n\"\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\ln(1 + x)} {x} = 1\"
\n\"\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\sin(x) } {x} = 1\"
\n\"\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {1 - \cos(x)} {x^2 / 2 } = 1\"
\n\"\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{Arcsin}(x) } {x} = 1\"
\n\"\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{Arctan}(x) } {x} = 1\"
\n\"\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {(1 + x) ^{\alpha} - 1 } {x} = \alpha\"<\/div>\n

\"\bullet\" Les r\u00e9sultats sur les\u00a0croissances compar\u00e9es :\u00a0<\/i>
\n\"\quad \ast\" Si \"\alpha > 0\",
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0^+ }{x ^{\alpha}\, \ln(x) } = 0\",\u00a0\"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac {\ln(x) } {x^{\alpha} } = 0\"<\/p>\n

\"\quad \ast\" Si \"\alpha \in \mathbb{R}\", \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} x ^{\alpha} \, \textrm{e} ^{ - x} = 0\".<\/p>\n

1.6. Quelques m\u00e9thodes pour lever des formes ind\u00e9termin\u00e9es<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0M1 :<\/b>\u00a0La limite du quotient de deux fonctions polyn\u00f4mes<\/a> en \"\infty\" est la limite du quotient des termes de plus haut degr\u00e9.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2 :<\/b> En faisant appara\u00eetre les quotients ou produits de termes \u00e9nonc\u00e9s dans le \u00a7 \"1.5.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3 :<\/b>\u00a0Pour une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\infty - \infty\", mettre en facteur le terme qui tend le plus vite vers \"\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4 :<\/b> Pour un quotient de deux termes qui tendent vers 0, mettre en facteur au num\u00e9rateur et au d\u00e9nominateur, le terme qui tend le moins vite vers 0.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5 :\u00a0<\/b>Pour un quotient de deux termes qui tendent vers l’infini, mettre en facteur au num\u00e9rateur et au d\u00e9nominateur, le terme qui tend le plus vite vers l’infini.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6 :<\/b>\u00a0Se souvenir que dans le cas de la limite de \"u(x) ^{v(x)}\" lorsque \"u(x)\" tend vers \"1\" et \"v(x)\" tend vers l’infini, on a une forme ind\u00e9termin\u00e9e, car on cherche la limite de \"\textrm{e} ^{v(x) \, \ln(u(x))}\".<\/p>\n

Et vous aurez un peu plus tard la possibilit\u00e9 d’utiliser des \u00e9quivalents ou des d\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/a> pour lever des ind\u00e9terminations.<\/p>\n

Important :
\nDans tout probl\u00e8me de r\u00e9daction de\u00a0 limite, commencer \u00e0 transformer \u00e9ventuellement l’\u00e9criture.
\nCe n’est qu’au dernier moment lorsque vous \u00eates en mesure de justifier l’zxistence de la limite que vous pouvez \u00e9crire \"\displaystyle \lim _{x \to a} f(x) = ...\"
\nVous ne devez pas \u00e9crire une succession d’\u00e9galit\u00e9s du type
\n\"\displaystyle \lim _{x \to a} f(x) = \displaystyle \lim _{x \to a} f_1(x) = \displaystyle \lim _{x \to a} f_2(x) = ...\" pour arriver \u00e0 la fin \u00e0 \"= L\" !<\/p>\n

L’utilisation des \"\varepsilon\" ne doit se faire qu’en d\u00e9sespoir de cause, quand vous \u00eates bien s\u00fbr d’avoir examin\u00e9 toutes les autres possibilit\u00e9s de d\u00e9monstration.
\nRetenez qu’il r\u00e9server ces d\u00e9coupages d’\"\varepsilon\" aux exercices th\u00e9oriques et aux d\u00e9monstrations de cours.<\/p>\n

1.7. Le th\u00e9or\u00e8me de convergence monotone<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"I =\; ]a ,\, b[\" (\"a\" et \"b\" finis ou infinis) et \"f\" une fonction croissante sur \"]a , \, b[\".
\n\"\ast\" \"f\" admet une limite finie \"L\" en \"b\" ssi \"f\" est major\u00e9e sur \"I\" et dans ce cas
\n\"\quad \quad \displaystyle \lim_{x \to b} f (x)= \sup _ {x \in I} f(x)\".
\n\"\ast\" Si \"f\" n’est pas major\u00e9e sur \"I\", \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to a} f (x)= + \infty\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f\" admet une limite finie \"\lambda\" en \"a\" ssi \"f\" est minor\u00e9e sur \"I\" et dans ce cas
\n\"\quad \quad \displaystyle \lim_{x \to a} f (x) = \inf _ {x \in I} f(x)\".
\n\"\ast\" Si \"f\" n’est pas minor\u00e9e sur \"I\", \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = - \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"I = \; ]a ,\, b[\" (\"a\" et \"b\" finis ou infinis) et \"f\" une fonction d\u00e9croissante sur \"I\".
\n\"\ast\" \"f\" admet une limite finie \"L\" en \"b\" ssi \"f\" est minor\u00e9e sur \"I\" et dans ce cas
\n\"\quad \quad \displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = \inf _ {x \in I} f(x)\".
\n\"\ast\" Si \"f\" n’est pas minor\u00e9e sur \"I\", \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = - \infty\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f\" admet une limite finie \"\lambda\" en \"a\" ssi \"f\" est major\u00e9e sur \"I\" et dans ce cas,
\n\"\quad \quad \displaystyle \lim_ {x \to a} f(x) = \sup _ {x \in I} f(x)\"
\n\"\ast\" Si \"f\" n’est pas major\u00e9e sur \"I\", \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to a} f (x) = + \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction croissante sur \"I\", pour tout \"c \in I\", diff\u00e9rent des bornes de \"I\", \"f\" admet une limite \u00e0 gauche et une limite \u00e0 droite en \"c\" v\u00e9rifiant
\n\"\quad \quad f(c - \textrm{o}) \leq f(c) \leq f(c + \textrm{o})\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction d\u00e9croissante sur \"I\" , pour tout \"c \in I\", diff\u00e9rent des bornes de \"I\", \"f\" admet une limite \u00e0 gauche et une limite \u00e0 droite en \"c\" v\u00e9rifiant
\n\"\quad \quad f(c + \textrm{o}) \leq f(c) \leq f(c - \textrm{o})\".<\/p>\n

Cons\u00e9quences<\/b>\u00a0:
\n\"\ast\" Pour prouver qu’une fonction d\u00e9finie sur \"[a ,\, b[\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" admet une limite finie en \"b\", il suffit de prouver qu’elle est croissante et major\u00e9e, ou qu’elle est d\u00e9croissante et minor\u00e9e.
\n\"\ast\" Pour prouver qu’une fonction d\u00e9finie sur \"]a ,\, b[\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" admet une limite finie en \"a\", il suffit de prouver qu’elle est croissante et minor\u00e9e ou qu’elle est d\u00e9croissante et major\u00e9e.<\/p>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. Continuit\u00e9<\/h3>\n

2.1. D\u00e9finitions<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur un intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\".
\n\"\ast\" Si \"a \in I\", \"f\" est continue en \"a\" ssi \"\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a)\" ssi
\n\"\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,\" \"\quad \vert x - a \vert \leq \alpha \Rightarrow\, \vert f(x) - f(a) \vert \leq \varepsilon\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a \in I\" n’est pas le maximum de \"I\", \"f\" est continue \u00e0 droite en \"a\" ssi \"\displaystyle \lim_{x\to a^{+} } f(x) = f(a)\" ssi
\n\"\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I\" \"\quad \, a \leq x \leq a + \alpha \Rightarrow \, \vert f(x) - f(a) \vert \leq \varepsilon\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a \in I\" n’est pas le minimum de \"I\", \"f\" est continue \u00e0 gauche en \"a\" ssi \"\displaystyle \lim_{x\to a^{-} } f(x) = f(a)\" ssi
\n\"\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,\" \"\quad \, a - \alpha \leq x \leq a \Rightarrow\, \vert f(x) - f(a) \vert \leq \varepsilon\"<\/p>\n

\"\ast\" \"f\" est continue sur \"I\" ssi \"f\" est continue en tout point de \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"I\" un intervalle et \"a \in I\".
\nSi \"f\" est une fonction d\u00e9finie sur \"I \setminus \{a\}\" et admettant une limite finie \"L\" en \"a\", on dit que \"f\" est prolongeable par continuit\u00e9 en<\/i>\u00a0\"a\".
\nOn peut alors d\u00e9finir\u00a0le prolongement par continuit\u00e9<\/i>\u00a0\"\tilde {f}\"\u00a0de\u00a0<\/i>\"f\" en \"a\" par :
\n\"\quad \tilde {f} (x) = \left \{ \begin{matrix} f(x) & \textrm{ si } & x \in I \setminus \{a\} \\ L & \textrm{ si } & x = a \end{matrix} \right.\"
\nEn g\u00e9n\u00e9ral, on le note encore \"f\".<\/p>\n

2.2. Op\u00e9rations sur les fonctions continues<\/b>
\n\"\bullet\" Toute somme, produit par un scalaire, produit de fonctions continues en \"a\" (resp. sur \"I\") est continue en \"a\" (resp. sur \"I\").<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"g\" ne s’annule pas sur \"I\", si \"f\" et \"g\" sont continues en \"a \in I\" (resp. sur \"I\"), \"\displaystyle \frac f g\" est continue en \"a\" (resp. sur \"I\").<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f : I \to \mathbb{C}\", \"f\" est continue en \"a\" (resp. sur \"I\") ssi \"\mathcal{R}e(f)\" et \"\mathcal{I}m(f)\" sont continues en \"a\" (resp. sur \"I\").<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est continue en \"a\" (resp sur \"I\"), \"\vert f \vert\" est continue en \"a\" (resp. sur \"I\").<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" d\u00e9finie sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {R}\" , \"g\" d\u00e9finie sur \"J\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {C}\" et \"a \in I\". On suppose que \"f(I) \subset J\".
\n\"\ast\" Si \"f\" est continue en \"a\" et \"g\" est continue en \"f(a)\", \"g \circ f\" est continue en \"a\".
\n\"\ast\" Si \"f\" est continue sur \"I\" et \"g\" est continue sur \"J\", \"g \circ f\" est continue sur \"I\".<\/p>\n

2.3. Image d’une suite convergente<\/b>
\nRappel d’un th\u00e9or\u00e8me d\u00e9j\u00e0 \u00e9nonc\u00e9 :<\/i>
\nSi \"f\" est d\u00e9finie sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {K}\" et \"a \in I\", pour toute suite \"(u_n)_n\" de \"I\" qui converge vers \"a\", la suite \"(f(u_n))_n\" converge vers \"f(a)\".<\/p>\n

👍\u00a0Exemple important d’utilisation<\/i>\u00a0:
\nSoit \"f : I \to I\" et la suite \"(u_n)_n\" de points de \"I\" d\u00e9finie par \"u_0 \in I\" et \"\quad \quad \forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_{n+1} = f(u_n)\".
\nLorsque l’on a prouv\u00e9 qu’elle converge vers \"L\" et que \"f\" est continue en \"L\", en passant \u00e0 la limite dans la relation \"u_{n+1} = f(u_n)\", on obtient \"L = f( L )\".<\/p>\n

\n

Exercice important<\/b>\u00a0:
\nD\u00e9terminer l’ensemble des fonctions \"f\" continues en \"0\" telles que \"\forall\, (x,\, y) \in \mathbb{R}^2,f(x + y) = f(x) + f(y)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\bullet\"\u00a0Parit\u00e9 et continuit\u00e9 de<\/b>\u00a0\"f\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" En prenant \"x = y = 0\", on obtient \"f(0) = 2 \, f(0)\", donc \"f(0) = 0\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" En prenant \"x\" quelconque et \"y = -x\", \"0 = f(0) = f(x - x) = f(x) + f(-x)\" donc \"f(-x) = - f(x)\".<\/em>
\n\"f\" est impaire.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Soit \"a\" un r\u00e9el.\u00a0<\/em>
\nEn \u00e9crivant \"\; \; f(x) = f(x - a + a) = f(x - a) + f(a)\"\u00a0<\/em>
\net en utilisant la continuit\u00e9 de \"f\" en \"0\", on obtient \"\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)\" car \"f(0) = 0\", donc \"f\" est continue en \"a\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"x\" un r\u00e9el fix\u00e9.\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N},\" on note \"\quad \quad \quad H_n : f(n \, x) = n \, f(x)\".\u00a0<\/em>
\n\"H_0\" est vraie car \"f(0) = 0\" .\u00a0<\/em>
\nOn suppose que \"H_n\" est vraie, en utilisant l’hypoth\u00e8se sur \"f\" aux points \"n \, x\" et \"x\", on obtient :<\/em>
\n\"f((n + 1) x ) = f(n \, x) + f(x)\" \"f(n + 1)x) = n \, f(x) + f(x)\"\"f((n + 1) x) = (n + 1) \, f(x)\".<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 \"H_{n + 1} \,\".<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence<\/a> sur \"n\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\", on pose \"p = - n \in \mathbb{N}\".<\/em>
\n\"f(n \, x) = f( - p\, x) = - f(p \, x) = - p \, f(x)\"\u00a0 donc \"f(n \, x) = n \, f(x)\".\u00a0<\/em>
\nOn a donc prouv\u00e9 que pour tout \"n \in \mathbb{Z }\" et tout r\u00e9el \"x\", \"f(n \, x)= n \, f(x)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Soit \"r \in \mathbb{Q}\" que l’on \u00e9crit sous la forme \"\displaystyle r = \frac p q\" avec \"p \in \mathbb{Z}\" et \"q \in \mathbb{N} ^*\".\u00a0<\/em>
\n\"f( q \, r \, x) = q\, f(r \, x)\" par le r\u00e9sultat pr\u00e9c\u00e9dent appliqu\u00e9 \u00e0 \"r \, x\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"p \, f(x) = f( p \, x) = f(q \, r \, x) = q\, f(r \, x)\" , ce qui s’\u00e9crit aussi \"f( r \, x) = r \, f(x)\" .\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"t \in \mathbb{R}\". Il existe une suite \"(r_n)_n\" de rationnels qui converge vers \"t\".\u00a0<\/em>
\nOn a d\u00e9montr\u00e9 que\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \forall \, n \, \in \mathbb{N}, \, f( r_n\, . 1 ) = r_n \, f(1)\".\u00a0<\/em>
\nComme \"f\" est continue en \"t\", on obtient en passant \u00e0 la limite : \"f(t) = t \, f(1)\".\u00a0<\/em>
\nIl existe donc \"a \in \mathbb{R}\" tel que \"\quad \quad \quad \forall\, t \in \mathbb{R }, \, f(t) = a\, t\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" R\u00e9ciproquement,\u00a0 si \"a\" est un r\u00e9el, la fonction \"f : t \mapsto a \, t\" est continue en \"0\" et v\u00e9rifie :<\/em>
\n\"\forall\, (x,\, y) \in \mathbb{R}^2,f(x + y) = f(x) + f(y)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

L’ensemble<\/a> des fonctions solutions du probl\u00e8me est l’ensemble des fonctions\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} , \, t \mapsto a \, t\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\".<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

3. Continuit\u00e9 sur un intervalle<\/h3>\n

3.1. Th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0\u00c9nonc\u00e9<\/i>\u00a0:
\nSoit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", si \"a\" et \"b\" sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"I\" tels que \"f(a) < f(b)\", pour tout \"k \in\; ]f(a) , \, f(b)[\", il existe \"c\" strictement compris entre \"a\" et \"b\" tel que \"f(c) = k\".
\nCe que l’on peut r\u00e9sumer par : \"f\" prend toute valeur entre \"f(a)\" et \"f(b)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Cons\u00e9quence<\/i>\u00a0:
\nSoit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", si \"a\" et \"b\" sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"I\" tels que \"a < b\" et \"f(a). f(b) < 0\", il existe \"c \in\; ]a , \, b[\" tel que \"f(c) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Raisonnement par dichotomie<\/i>
\nSoit \"f\" une fonction continue sur \"[a , b]\" (\"a < b\") \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" telle que \"f(a) \, f(b) < 0\", le raisonnement suivant d\u00e9finit deux suites \"(a_n)_n\" et \"(b_n)_n\" adjacentes qui convergent vers \"c\" tel que \"f(c) = 0\".<\/p>\n

voir le principe de dichotomie \u00e0 conna\u00eetre :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" On pose \"a_0 = a\" et \"b_0 = b\".
\n\"\bullet\" On suppose \"a_n\" et \"b_n\" d\u00e9finis tels que \"f(a_n) \, f(b_n) \leq 0\" et \"0 \leq b_n - a_n \leq \displaystyle \frac {b - a} {2 ^n}\"
\nOn introduit \"c_n = \displaystyle \frac {a_n + b_n } 2\".
\n\"\ast\" Si \"f(a_n) \, f(c_n) \leq 0\",\u00a0 on pose \"\quad \quad a_ {n + 1} = a_n\" et \"b_{n + 1} = c_n\"
\n\"\ast\" Si \"f(a_n) \, f(c_n) > 0\", on pose \"\quad \quad a_ {n + 1} = c_n\" et \"b_{n + 1} = b_n\"
\nalors \"a_n \leq a_ {n + 1}< b_ {n + 1}\leq b_n\,\",\u00a0 \u00a0\"\; \; \quad f(a_{n + 1} ) \, f(b_{n + 1} ) \leq 0\"
\n\"\quad\" et \"0 \leq b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \displaystyle \frac {b - a} {2 ^{n + 1}}\".<\/p>\n

On d\u00e9finit ainsi deux suites adjacentes qui convergent vers \"c\".<\/p>\n

⚠️ Important : il faut savoir coder le principe de dichotomie en Python.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1 : <\/b>Pour d\u00e9montrer qu’une \u00e9quation<\/a> du type \"f(x) = g(x)\" admet une solution sur un intervalle \"I\", il suffit de prouver que \"h = f - g\" est continue sur \"I\" et de prouver qu’il existe \"a < b\" dans \"I\" tels que \"h(a)\, h(b) \geq 0\".
\nPar le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires, \"h\" s’annule sur \"[a , \,b]\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2 :<\/b> Pour d\u00e9montrer qu’une \u00e9quation du type \"f(x) = g(x)\" admet une unique solution sur un intervalle \"I\", il suffit de prouver que \"h = f - g\" est continue strictement monotone sur \"I\" et que \"0 \in h(I)\".
\nCar alors \"h\" d\u00e9finit une bijection de \"I\" sur \"h(I)\" donc s’annule une et une seule fois sur \"I\".<\/p>\n

exercice<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction continue de \"[a , \, b]\" dans \"[a , \,b]\".
\nIl existe \"c \in [a , \, b ]\" tel que \"f(c) = c\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"g : x \mapsto f(x) - x\" , \"g\" est continue sur \"[a , \, b]\"<\/em>
\n\"g(a) = f(a) - a \geq a - a \geq 0\" et \"g(b) = f(b) - b \leq b - b \leq 0\".<\/em>
\nPar le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires, il existe \"c \in [a , \, b]\" tel que \"g(c) = 0\" soit \"f(c) = c\"\u00a0<\/em><\/p>\n

3.2. Image d’un segment\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Toute fonction r\u00e9elle \"f\" d\u00e9finie et continue sur \"[a, \, b]\" est born\u00e9e et atteint ses bornes :
\nc’est \u00e0 dire on peut d\u00e9finir \"\displaystyle M = \sup_{x \in |a, b] } f(x)\" et \"\displaystyle m = \inf_{x \in |a, b] } f(x)\",
\net il existe \"(c , d) \in [a, \, b]^2\" tels que \"\quad \quad m = f(c)\" et \"M = f(d)\".
\nDe plus, \"\quad \forall\, x \in [a , \, b ], \, f(c) \leq f(x) \leq f(d)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour toute fonction r\u00e9elle \"f\" d\u00e9finie et continue sur \"[a, \, b]\", il existe \"m\" et \"M\" r\u00e9els<\/a> tels que \"f( [a , \, b ]) = [m , M]\".
\nL’image d’un segment par une application continue est un segment.<\/p>\n

\"\bullet\" Toute fonction complexe \"f\" d\u00e9finie et continue sur \"[a, \, b]\" est born\u00e9e et on peut introduire \"\displaystyle M = \sup_{x \in |a, b] } \vert f(x) \vert\" .
\n(car la fonction \"\vert f \vert\" est une fonction r\u00e9elle continue sur un segment).<\/p>\n

3.3. Th\u00e9or\u00e8me \u00ab\u00a0de la bijection\u00a0\u00bb<\/b>
\nTh\u00e9or\u00e8me<\/i>
\nToute fonction \"f\" continue et strictement monotone sur un intervalle \"I\" d\u00e9finit une bijection de \"I\" sur \"f(I)\".
\nSa fonction r\u00e9ciproque<\/a> est continue sur l’intervalle \"f(I)\" et est strictement monotone sur \"f(I)\", de m\u00eame sens de variation que \"f\".<\/p>\n

⚠️ : Il existe des bijections discontinues en tout point .
\nLa fonction \"f : x \mapsto x - 1\" si \"x \in \mathbb{Q}\" et \"x \mapsto 1+ x\" si \"x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\" est une bijection discontinue en tout point.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Discontinuit\u00e9 en tout point\u00a0<\/b><\/em>
\n\"\ast\" \"f\" est discontinue en \"a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\", car il existe une suite \"(u_n)_n\" de rationnels qui converge vers \"a\" donc telle que \"f(u_n) = u_n - 1\", la suite \"( f (u_n) )_n\" converge vers \"a - 1 \neq f(a)\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"f\" est discontinue en tout point \"a \in \mathbb{Q}\", car il existe une suite \"(u_n)_n\" d’ irrationnels qui converge vers \"a\" donc telle que \"f(u_n) = u_n + 1\", la suite \"( f (u_n) )_n\" converge vers \"a + 1 \neq f(a)\".\u00a0<\/em>
\n\"f\" est donc discontinue en tout point.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"f\" est\u00a0surjective<\/b><\/em>
\nSi \"y \in \mathbb{Q}\" , \"y = f(y + 1)\" car \"y + 1 \in \mathbb{Q}\".<\/em>
\nSi \"y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\", \"y = f(y - 1)\" car \"y - 1 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9montre que \"f\" est\u00a0injective<\/b>.\u00a0<\/em>
\nOn suppose que \"f(x) = f(y)\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"f(x) \in \mathbb{Q}, \, f(x) = x - 1\" et donc \"f(y) = y - 1\", alors \"x = y\" .\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"f(x) \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, \, f(x) = x + 1\" et donc \"f(y) = y + 1\", alors \"x = y\" .\u00a0<\/em>
\nDans les deux cas, \"x = y\" .\u00a0<\/em><\/p>\n

On a donc d\u00e9montr\u00e9 que \"f\" est une bijection de \"\mathbb{R }\" sur lui m\u00eame discontinue en tout point.\u00a0<\/em><\/p>\n

MPSI seulement
\nth\u00e9or\u00e8me\u00a0<\/b>
\nSi \"f\" est continue et injective sur l’intervalle \"I\", \"f\" est strictement monotone sur \"I\".<\/p>\n

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