{"id":37496,"date":"2019-10-30T17:12:10","date_gmt":"2019-10-30T16:12:10","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37496"},"modified":"2022-07-12T14:17:17","modified_gmt":"2022-07-12T13:17:17","slug":"cours-en-ligne-limites-et-continuite-maths-sup-exercices-corriges","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-limites-et-continuite-maths-sup-exercices-corriges\/","title":{"rendered":"Limites et continuit\u00e9 en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices corrig\u00e9s sur les limites et continuit\u00e9 en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices : Limites, Points fixes, Equation fonctionnelle<\/span><\/h2>\n
\n

1. Calcul de limites
\n2. Pour manipuler la notion de limite
\n3. \u00c9tudes de continuit\u00e9
\n4. Autour des valeurs interm\u00e9diaires
\n5. Fonction p\u00e9riodique et continue<\/a>
\n6. Points fixes
\n7. Continuit\u00e9 et suites
\n8. Continuit\u00e9 et image d’un segment
\n9. \u00c9quation fonctionnelle<\/a><\/p>\n

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 <\/p>\n

1. Calculs de limites<\/h2>\n

Les calculs sont effectu\u00e9s avec les outils de d\u00e9but d’ann\u00e9e.
\n\u00c0\u00a0la suite du symbole\u00a0👍, vous trouverez l’\u00e9tude des limites utilisant les \u00e9quivalents lorsque c’est possible.<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nSoit \"a > 0\" et \"a \neq 1\", \u00e9tude de la limite en \"0\" de \"\displaystyle x \mapsto \frac {a ^x - 1} {\sin(x)}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Il s’agit d’une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"0/0\".<\/em>
\n\"\displaystyle f(x) = \frac {a ^x - 1} {\sin(x)} = \frac {\textrm{e} ^{x\, \ln a } - 1} {x\, \ln a } \;\; \frac x {\sin(x)} \ln(a)\"<\/em>
\nen utilisant \"\quad \displaystyle \lim _ {t \to 0} \frac {\textrm{e} ^t - 1} t = \lim _ {t \to 0} \frac {\sin(t)} t = 1\",<\/em>
\non obtient : \"\displaystyle \lim _ {x \to 0} \frac {a ^x - 1} {\sin(x)} = \ln(a)\".<\/em><\/p>\n

👍 En utilisant les \u00e9quivalents :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \displaystyle a^x - 1 \underset {x \to 0} {\sim} x \, \ln a\"\u00a0et \"\displaystyle \sin x \underset {x \to 0} {\sim} x\",<\/em>
\n\"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} {\sim} \ln a \Rightarrow\displaystyle \lim _ {x \to 0} \frac {a ^x - 1} {\sin(x)} = \ln a\".\u00a0<\/span><\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nLimite \u00e0 droite en \"0\" de \"\quad \quad \displaystyle x \mapsto x \ln(\sin x)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : C’est une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"0 \times \infty\".<\/em>
\n\"\displaystyle x \ln(\sin x) = \sin x \, \ln(\sin x) \; \frac {x} {\sin x}\".<\/em>
\nEn utilisant \"\displaystyle \lim _ {t \to 0^+ } t \ln (t) = 0\" et \"\displaystyle \lim _ {t \to 0} \frac {\sin(t)} t = 1\", on obtient :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to 0 ^{+} } x \ln(\sin x) = 0\".<\/em><\/p>\n

👍 En utilisant les \u00e9quivalents :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle x \underset {x \to 0} {\sim} \sin x\" donc \"\quad \displaystyle x \ln(\sin x) \underset {x \to 0} {\sim} \sin x\, \ln(\sin x)\"<\/em>
\net on utilise \"\displaystyle \lim_{t \to 0^+} t \ln(t) = 0\" pour obtenir\u00a0\"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^{+} } x \ln(\sin x) = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b>
\nLimite en \"0\" de \"x \mapsto (1 + \tan(2 \, x)) ^{1/x}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : On \u00e9crit \"\displaystyle f(x) = \exp \left ( \frac { \ln(1 + \tan (2 \, x) ) } x \right ) \".<\/em>
\nOn a une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"0/0\" (ou \"1 ^{\infty}\" avant d’introduire la fonction exponentielle).\u00a0<\/em>
\nOn rappelle que\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim _ {t \to 0 } \frac {\ln (1 + t)} t = 1\" et \"\displaystyle \lim _ {t \to 0} \frac {\sin(t)} t = 1\",\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle u(x) = \frac{\ln(1 + \tan (2 \, x) ) } x\" \"\displaystyle u(x) = \frac {\ln(1 + \tan (2 \, x))}{\tan (2 \, x) } \, \frac {\sin (2 \, x) } {2 \, x} \, \frac 2 {\cos (2 \, x) }\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_ {x \to 0} u(x) = 1\times 1 \times 2\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to 0} (1 + \tan(2 \, x)) ^{1/x} = \textrm{e} ^2 .\"<\/em><\/p>\n

👍 En utilisant les \u00e9quivalents :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \ln(1 + \tan (2 \, x) ) \underset {x \to 0} {\sim} \tan (2 \, x) \underset {x \to 0} {\sim} 2 \, x\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle u(x) \underset {x \to 0} {\sim} 2\".<\/em>
\nOn termine par continuit\u00e9 de la fonction exponentielle<\/a>.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 4<\/b>
\nLimite en \"0\" de \"\quad \quad \displaystyle x \mapsto \frac 2 {\sin ^2 x} - \frac 1 {1 - \cos x}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Il s’agit d’une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\infty - \infty\".\u00a0<\/em>
\nOn r\u00e9duit au m\u00eame d\u00e9nominateur en remarquant qu’il est \u00e9gal \u00e0 \"\quad \quad \sin ^2 x = (1 - \cos x )(1 + \cos x)\".<\/em>
\n\"\displaystyle f(x) = \frac 2 {\sin ^2 x} - \frac 1 {1 - \cos x}\" \"\displaystyle f(x) = \frac {2 - 1 - \cos x} {\sin ^2 x} = \frac {1 - \cos x} {\sin^2 x}\".<\/em>
\n\"\displaystyle f(x) = \frac 1 {1 + \cos x}\".<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \lim_ {x \to 0} \frac 1 {\sin ^2 x} - \frac 1 {1 - \cos x} = \frac 1 2\".<\/em><\/p>\n

Question 5<\/b>
\nLimite en \"+\infty\" de \"\displaystyle x \mapsto \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : C’est une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\infty - \infty\".<\/em>
\nEn utilisant la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e,<\/em>
\n\"f(x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}= \displaystyle \frac 1 {\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\"<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_ {x \to +\infty} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 6<\/b>
\nLimite \u00e0 droite en \"0\" de \"x \mapsto {x} ^{{(\cos x )} ^{1/x} }\"<\/p>\n

Question 7<\/b>
\nLimite \u00e0 droite en \"0\" de \"\quad \quad \quad \displaystyle x \mapsto {{(\sin x^2 )} ^{1/\ln x} }\".<\/p>\n

Question 8<\/b>
\nLimite \u00e0 droite en \"0\" de \"\displaystyle x \mapsto \frac {x ^x - 1 } {\ln (x + 1)}\".<\/p>\n

Question 9<\/b>
\nLimite \u00e0 droite en \"0\" de \"\quad \quad \quad \displaystyle x \mapsto {\ln(x + 1)} ^{1 / \ln x}\".<\/p>\n

Question 10\u00a0<\/b>
\nLimite en \"+\infty\" de \"x \mapsto \displaystyle \frac {x ^{x + 1 }} {(x + 1)^x }\".<\/p>\n

2. Pour manipuler la notion de limite.<\/h2>\n
\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction croissante sur \"\mathbb{R}^+\".
\nLes propri\u00e9t\u00e9s suivantes sont \u00e9quivalentes :
\n1) \"f\" a une limite finie en \"+\infty\"
\n2) la suite \"(f(n))_n\" converge.<\/p>\n

Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\bullet\" Si \"f\" a une limite \"L\" en \"+ \infty\", on sait que \"(f(n))_n\" converge vers \"L\".<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que la suite \"(f(n))_n\" converge vers \"L\".\u00a0<\/em>
\nC’est une suite croissante car \"f\" est croissante. Donc \"L\" est un majorant de la suite.<\/em>
\nPour tout \"x \in \mathbb{R} ^+ ,\, x \leq \lfloor x \rfloor + 1\", donc \"f(x) \leq f ( \lfloor x \rfloor + 1) \leq L\".\u00a0<\/em>
\nLa fonction \"f\" est croissante et major\u00e9e. Elle a une limite finie en \"+\infty\".\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Les deux propri\u00e9t\u00e9s sont \u00e9quivalentes.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoient \"a \in \mathbb{R}\" et \"f : [a , \, + \infty[ \to \mathbb{R}\" croissante qui admet une limite finie \"b\" en \"+ \infty\" . Soit \"g\" d\u00e9finie sur \"]a ,\, + \infty[\" par \"g(x) = \displaystyle \frac {f(x) - f(a)} {x - a}\".
\nOn suppose \"g\" croissante.
\nAlors \"f\" est constante. Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :\"\bullet\" Comme \"\displaystyle \lim_ {x \to +\infty } (f(x) - f(a)) = b - f(a)\"<\/em>
\net \"\displaystyle \lim_ {x \to +\infty } \frac 1 {x - a} = 0\",\u00a0<\/em>
\npar produit<\/a>, \"\displaystyle \lim_ {x \to +\infty } g(x) = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"g\" est croissante sur \"]a , \, + \infty[\" de limite nulle en \"+\infty\", donc \"\forall \, x > a, \, g(x) \leq 0\" soit \"f(x) - f(a) \leq 0\", in\u00e9galit\u00e9 qui reste vraie si \"x = a\".\u00a0<\/em>
\nPar croissance de \"f\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad\quad\"\u00a0 si \"x \geq a\", \"f(a) \leq f(x)\".<\/em>
\nDonc par double in\u00e9galit\u00e9,\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad\" si \"x \geq a\", \"f(x) = f(a)\".\u00a0<\/em>
\n\"f\" est constante.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R }^{+*}\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" telle que
\n\"\forall\, (x ,\, y) \in \mathbb{R}^{+*2}\" , \"\quad \quad \quad \displaystyle \vert f(x) - f(y) \vert \leq \frac 1 {x + y}\",
\nalors \"f\" est constante , vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On fixe \"a > 0\" et \"\displaystyle \vert f(x) - f(a) \vert \leq \frac 1 {x + a}\" .<\/em>
\nSi \"x\" tend vers \"+\infty\", par encadrement, \"f(x ) - f(a)\" admet une limite nulle, donc \"f\" admet \"f(a)\" pour limite en \"+\infty\".<\/em>
\nEn prenant \"b \neq a\" , \"f\" admet \"f(b)\" pour limite en \"+ \infty\".\u00a0<\/em>
\nDonc par unicit\u00e9 de la limite, \"f(a) = f(b)\" et \"f\" est constante.\u00a0<\/em><\/p>\n

R\u00e9ciproquement, toute fonction constante sur \"\mathbb{R }^{+*}\" v\u00e9rifie l’in\u00e9galit\u00e9 demand\u00e9e.\u00a0<\/em><\/p>\n

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions constantes.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur \"]0 , \, 1[\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R} ^{+ *}\" v\u00e9rifiant \"\quad \quad \displaystyle \lim _{x \to 0^+} \left ( f(x) + \frac 1 {f(x)} \right ) = 2\",
\n\"\displaystyle \lim _{x \to 0^+} f(x) = 1\"<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nSoit \"a \in \mathbb{R}\" , \"f : [a , + \infty[ \to \mathbb{R}\" de limite nulle en \"+\infty\".
\nSoit \"g : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\" p\u00e9riodique.
\nOn suppose \"f + g\" croissante sur \"[a , \, + \infty[\".
\nLa fonction \"g\" est constante.<\/p>\n

Exercice 6
\n<\/b>Question 1<\/i>
\nSoit \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\" born\u00e9e sur tout intervalle de longueur \u00e9gale \u00e0 1 et telle que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x + 1) - f(x) = 0\".
\nMontrer que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {f(x)} x = 0\".<\/p>\n

Exercice 6<\/b>\u00a0(fin)
\nQuestion 2<\/i>
\nSoit \"f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\" born\u00e9e sur tout intervalle de longueur \u00e9gale \u00e0 1 et telle que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x + 1) - f(x) = L\" o\u00f9 \"L \in \mathbb{R}\".
\nAlors \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {f(x)} x = L\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

3.\u00a0\u00c9tudes de continuit\u00e9<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\n\u00c9tude de la continuit\u00e9 de \"\quad \quad f : x \mapsto \lfloor x \rfloor + \sqrt {x - \lfloor x \rfloor }\". \"f\" est continue en tout point, vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"f\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" car \"x - \lfloor x \rfloor \geq 0\".<\/em><\/p>\n

Soit \"n \in \mathbb{Z}\", si \"x \in [n , \, n + 1[\", \"\quad \quad f(x) = n + \sqrt{x - n}\"<\/em>
\nalors \"f\" est continue sur \"]n , \, n + 1[\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{x \to n^{+}} f(x) = n = f(n)\".<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{x \to n^{-}} f(x) =\lim_{x \to n^{-} } n - 1 + \sqrt{x - n + 1}\" \"\displaystyle \lim_{x \to n ^- }f(x) = n - 1 + 1 = f(n)\".<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"f\" est continue en \"n\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Conclusion : \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>\u00a0<\/span>\u00a0<\/span><\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction croissante sur \"I = \mathbb{R} ^{+*}\" telle que \"g : x \mapsto \displaystyle \frac {f(x)} x\" soit d\u00e9croissante sur \"I\".
\nQuestion 1<\/b>
\n\"f\" est continue sur \"I\". Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Par le th\u00e9or\u00e8me de la limite monotone pour tout \"a > 0\", \"f\" admet une limite \u00e0 gauche et \u00e0 droite en \"a\" v\u00e9rifiant\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad f(a - \textrm{o} ) \leq f(a) \leq f(a + \textrm{o} )\".<\/em><\/p>\n

Puis \"g\" \u00e9tant d\u00e9croissante sur \"I\", \"g\" admet aussi en \"a\" une limite \u00e0 gauche et une limite \u00e0 droite v\u00e9rifiant\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad g(a + \textrm{o} ) \leq g(a) \leq g(a - \textrm{o} )\"<\/em>
\nsoit \"\displaystyle \frac {f(a + \textrm{o} )} a \leq \frac {f(a) } a \leq \frac {f(a - \textrm{o})} a\"\u00a0<\/em>
\ndonc apr\u00e8s multiplication par \"a > 0\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad {f(a + \textrm{o} )} \leq {f(a) } \leq f(a - \textrm{o} )\"\u00a0<\/em>
\net \"f(a - \textrm{o} ) \leq f(a) \leq f(a + \textrm{o} )\"<\/em>
\nPar double in\u00e9galit\u00e9,\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad f(a - \textrm{o} ) =f(a) = f(a + \textrm{o} )\".<\/em>
\nLes limites \u00e0 droite et \u00e0 gauche de \"f\" en \"a\" sont \u00e9gales \u00e0 \"f(a)\", donc \"f\" est continue en \"a\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>(suite)
\nQuestion 2<\/b>
\nSi \"f\" n’est pas l’application nulle, \"f\" ne s’annule pas sur \"I\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On suppose qu’il existe \"a > 0\" tel que \"f(a) = 0\", alors \"g(a) = 0\".\u00a0<\/em>
\nComme \"f\" est croissante,\u00a0\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \forall \, x \in [a , \, + \infty[\", \"f(x) \geq f(a)\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"f(x) \geq 0\".<\/em>
\nComme \"g\" est d\u00e9croissante, \"g(x) \leq g(a)\" donc \"g(x) \leq 0\", alors \"f(x) \leq 0\".\u00a0<\/em>
\nPar double in\u00e9galit\u00e9 si \"x \geq a, \, f(x) = 0\".<\/em><\/p>\n

Puis \"f\" \u00e9tant croissante,\u00a0<\/em>
\nsi \"x \in \; ]0 , \, a[\" , \"f(x) \leq f(a)\" donc \"f(x) \leq 0\"<\/em>
\net \"g\" \u00e9tant d\u00e9croissante, \"g(x) \geq g(a)\" donc \"g(x) \geq 0\" et \"f(x) \geq 0\".\u00a0<\/em>
\nPar double in\u00e9galit\u00e9,\u00a0 \"\quad \quad \forall\, x \in \; ]0 ,\, a], \, f(x) = 0\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que si \"f\" s’annule, \"f\" est l’application nulle.\u00a0<\/em>
\nOn obtient le r\u00e9sultat attendu en prenant la contrapos\u00e9e.\u00a0<\/em><\/p>\n

4. Autour des valeurs interm\u00e9diaires<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction r\u00e9elle continue sur \"[0 , \, + \infty[\" ayant une limite finie \"L\" en \"+ \infty\".
\nAlors \"f\" prend toute valeur entre \"f(0)\" et \"L\" (\"L\" exclu).<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re m\u00e9thode<\/b>\u00a0<\/em><\/div>\n
\n

La fonction \"\varphi :\; ]0 , \, 1] \to \mathbb{R}, \, \displaystyle x \mapsto \frac 1 x - 1\" est une fonction continue, strictement d\u00e9croissante admettant \"+\infty\" pour limite en \"0\" et v\u00e9rifiant \"\varphi(1) = 0\", c’est une bijection de \"]0 , \, 1]\" sur \"[0 , \, + \infty[\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" On d\u00e9finit \"g\" par\u00a0<\/em>
\n\"g(x) = f(\varphi(x))\" si \"x \in \; ]0 ,\, 1]\" et \"g(0) = L\".<\/em>
\n\"g\" est continue sur \"]0 , \, 1]\" par composition de fonctions continues.\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim _{x \to 0} g(x) = \displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t) = L\", donc \"g\" est continue en \"0\".<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\ast\" \"g\" est continue sur \"[0 , 1]\", \"g(0) = L\" et \"g(1) = f(0)\", donc \"g\" prend sur \"[0 , \, 1]\" toute valeur comprise entre \"f(0)\" et \"L\".\u00a0<\/em>
\nSi \"k\" est compris entre \"f(0)\" et \"L\" (exclu), il existe \"t \in \;]0 , 1]\" tel que \"g(t) = k\" (car \"g(0) = L\") soit \"f(x) = k\" o\u00f9 \"x = \varphi(t) \geq 0\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Autre d\u00e9monstration<\/b>\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Il n’y a rien \u00e0 prouver si \"f(0) = L\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" On suppose que \"f(0) < L\" et soit \"k\" tel que \"f(0) < k < L\".<\/em>
\nOn traduit la limite en \"+\infty\" en prenant \"\varepsilon = \displaystyle \frac { L - k} 2\" :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \exists \, A > 0, \, \forall \, x \geq A , \, \vert f(x) - L \vert \leq \frac {L - k} 2\"\u00a0<\/em>
\nsi \"x \geq A , f(x) - L \geq - \displaystyle \frac {L - k} 2\", donc en particulier \"f(A) \geq \displaystyle \frac {L + k} 2\" \"\Rightarrow f(A) > k\".<\/em>
\nAlors \"k \in \; ]f(0) ,\, f(A)[\", par le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9iaires, il existe \"x_0 \in \;]0 ,\, A[\" tel que \"f(x_0) = k\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"f(0) > L\" et soit \"k\" tel que \"L < k < f(0)\".<\/em>
\nOn traduit la limite en \"+\infty\" en prenant \"\displaystyle \varepsilon = \frac { k - L} 2\" :<\/em>
\n\"\displaystyle \exists \, A > 0, \, \forall \, x \geq A , \, \vert f(x) - L \vert \leq \frac {k - L} 2\"\u00a0<\/em>
\nsi \"x \geq A , \, f(x) - L \leq \displaystyle \frac {k - L} 2\", donc en particulier \"f(A) \leq \displaystyle \frac {L + k} 2 < k\"\u00a0<\/em>
\nalors \"k \in\; ]f(A) ,\, f(0)[\",\u00a0 par le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires, il existe \"x_0 \in\; ]0 ,\, A[\" tel que \"f(x_0) = k\".\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction r\u00e9elle continue sur \"\mathbb{R}\" ayant une limite finie \"L\" en \"+ \infty\" et une limite finie \"L'\" en \"- \infty\".
\nOn suppose \"L \neq L'\". Alors \"f\" prend toute valeur entre \"L\" et \"L'\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On d\u00e9finit \"\quad \varphi :\; ]0, \, 1[ \to \mathbb{R} , \, x \mapsto \displaystyle \ln \left ( \frac x {1 - x} \right )\".<\/em>
\n\"\varphi\" est une fonction continue, strictement croissante car \"\varphi'(x) = \displaystyle \frac 1 x + \frac 1 {1 - x} > 0\" de limite \u00e9gale \u00e0 \"- \infty\" en \"0\" et de limite \u00e9gale \u00e0 \"+\infty\" en \"1\"\u00a0<\/em>
\n\"\varphi\" d\u00e9finit une bijection de \"]0 , \,1[\" sur \"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On d\u00e9finit \"g\" sur \"[0 ,\, 1]\" par \"g(x) = f(\varphi(x))\" si \"x \in \;]0 , \, 1[\" , \"g(0) = L'\" et \"g(1) = L\".\u00a0<\/em>
\n\"g\" est continue sur \"]0 , \, 1[\" par composition<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{t \to - \infty} f(t) = L' = g(0)\"<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{t \to -+\infty} f(t) = L = g(1)\"<\/em>
\ndonc \"g\" est continue sur \"[0 , \, 1 ]\" et v\u00e9rifie \"g(0) = L'\" et \"g(1) = L\".\u00a0<\/em>
\nPar le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diai- res, pour tout \"k\" strictement compris entre \"L\" et \"L'\", il existe \"t \in \; ]0 , 1[\" tel que \"g(t) = k\" donc \"f(\varphi(t)) = k\", \"f\" prend la valeur \"k\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nNombre de fonctions continues sur \"\mathbb{R}\" v\u00e9rifiant \"\forall\, x \in \mathbb{R}, (f(x) - \textrm{e} ^{x} ) (\textrm{e} ^x \, f(x) - 1) = 0\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" L’\u00e9quation \"(y - \textrm{e} ^{x} ) (\textrm{e} ^x \, y - 1) = 0\" admet deux solutions \"\textrm{e} ^{x}\" et \"\textrm{e} ^{-x}\" qui sont distinctes lorsque \"x = 0\" et \u00e9gales \u00e0 \"1\" pour \"x = 0\".<\/em>
\nOn en d\u00e9duit que \"f(0) = 1\" et\u00a0 \"\quad \forall \, x \neq 0, \, f(x) \in \{ \textrm{e} ^{x}, \, \textrm{e} ^{-x}\}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe \"a > 0\" et \"b > 0\" tels que \"f(a) = \textrm{e} ^{a}\" et \"f(b) = \textrm{e} ^{-b}\", alors \"f(b)< 1 < f(a)\", par le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires, il existe \"c\" strictement compris entre \"a\" et \"b\" donc \"c > 0\" tel que \"f(c) = 1\". Or \"f(c) = \textrm{e} ^{c}\" ou \"f(c) = \textrm{e} ^{-c}\", dans les deux cas \"f(c) \neq 1\". On aboutit \u00e0 une contradiction et on a prouv\u00e9 que \"\forall \, x > 0,\, f(x) = \textrm{e} ^{x}\" ou \"\forall\, x > 0, \, f(x) = \textrm{e} ^{-x}\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe \"a < 0\" et \"b < 0\" tels que \"f(a) = \textrm{e} ^{a}\" et \"f(b) = \textrm{e} ^{-b}\", alors \"f(a)< 1 < f(b)\", par le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires, il existe \"c\" strictement compris entre \"a\" et \"b\" donc \"c < 0\" tel que \"f(c) = 1\". Or \"f(c) = \textrm{e} ^{c}\" ou \"f(c) = \textrm{e} ^{-c}\", dans les deux cas \"f(c) \neq 1\" . On aboutit \u00e0 une contradiction et on a prouv\u00e9 que \"\forall \, x < 0,\, f(x) = \textrm{e} ^{x}\" ou \"\forall\, x < 0, \, f(x) = \textrm{e} ^{-x}\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9finit les 4 fonctions \"f_1 \, f_2 , \, f_3 \, , \, f_4\" par\u00a0<\/em>
\n\"\quad \ast\" \"\forall \, x \in\mathbb{R } , \, f_1(x) = \textrm{e} ^x\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad \ast\" \"\forall \, x \in\mathbb{R} , \, f_2(x) = \textrm{e} ^{- x}\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad \ast\" \"f_3(x) = \left \{ \begin{matrix} \textrm{e} ^{x} & \textrm{ si } & x < 0\\ \textrm{e} ^{-x} & \textrm{ si } & x \geq 0 \end{matrix} \right.\"<\/em>
\n\"\quad \ast\" \"f_4(x) = \left \{ \begin{matrix} \textrm{e} ^{- x} & \textrm{ si } & x < 0\\ \textrm{e} ^{x} & \textrm{ si } & x \geq 0 \end{matrix} \right.\".<\/em><\/p>\n

On v\u00e9rifie que \"f_3\" et \"f_4\" sont continues en \"0\" en \u00e9tudiant les limites \u00e0 droite et \u00e0 gauche de \"0\" \u00e9gales \u00e0 la valeur de la fonction en \"0\".\u00a0<\/em>
\nIl est \u00e9vident que \"f_1\" et \"f_2\" sont continues sur \"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
\nLes 4 fonctions v\u00e9rifient l’\u00e9quation initiale.\u00a0<\/em>
\nElle admet donc 4 solutions distinctes.\u00a0<\/em><\/p>\n

\n

5. Fonction p\u00e9riodique et continue<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction continue, non constante et p\u00e9riodique .
\nL’ensemble des p\u00e9riodes strictement positives admet un plus petit \u00e9l\u00e9ment. C’est ce r\u00e9el que l’on nomme souvent par abus de langage la p\u00e9riode de \"f\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" On note \"E\" l’ensemble des p\u00e9riodes strictement positives de \"f\".<\/em>
\n\"E\" est une partie non vide de \"\mathbb{R}\"\u00a0 et minor\u00e9e par \"0\". \"E\" admet une borne inf\u00e9rieure que l’on note \"T\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Par propri\u00e9t\u00e9 de la borne inf\u00e9rieure, il existe une suite \"(u_n)_n\" de \"E\" qui converge vers \"T\".\u00a0<\/em>
\nComme \"u_n\" est une p\u00e9riode de \"f\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \forall \, x \in \mathbb{R} , \ f(x + u_n) = f(x)\".\u00a0<\/em>
\nComme \"f\" est continue en passant \u00e0 la limite dans la relation pr\u00e9c\u00e9dente, on obtient :\u00a0\"\forall \, x \in \mathbb{R} , \ f(x + T) = f(x)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Comme \"f\" n’est pas constante, il existe \"a \neq 0\" telle que \"f(a) \neq f(0)\".\u00a0<\/em>
\nPuis pour tout \"n \in \mathbb{N}\", on note \"p_n\" la partie enti\u00e8re de \"\displaystyle \frac a {u_n}\".\u00a0<\/em>
\nOn \u00e9crit \"\displaystyle \frac a {u_n} = p_n + t_n\" avec \"t_n \in [0 , 1[\".<\/em>
\nDonc \"\exists \, a_n \in [0 , \, u_n[\" et \"p_n \in \mathbb{Z}\" tels que \"a = p_n \, u_n + a_n\" avec \"a_n = t_n \, u_n\,\" , donc \"f(a) = f(a_n)\".<\/em><\/p>\n

Si l’on avait \"T = 0\", par encadrement, on aurait \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_n = 0\", puis par continuit\u00e9 de \"f\", \"\quad \quad f(a) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(a_n) = f(0)\"\u00a0<\/em>
\nce qui contredit \"f(a) \neq f(0)\".<\/em><\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que \"T > 0\".\u00a0<\/em>
\nL’ensemble des p\u00e9riodes strictement positives de \"f\" admet un plus petit \u00e9l\u00e9ment.\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

Le r\u00e9sultat pr\u00e9c\u00e9dent n’est pas valable si \"f\" est discontinue, vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

On d\u00e9finit \"f(x) = 1\" si \"x \in \mathbb{Q}\" et \"f(x) = 0\" si \"x \notin \mathbb{Q}\".<\/div>\n

Pour tout \"r \in \mathbb{Q}^{+*}\", \"f(x + r) = f(x)\" (car \"x + r\" est rationnel ssi \"x\" est rationnel, et irrationnel ssi \"x\" est irrationnel).<\/p>\n

Il n’existe pas de plus petite p\u00e9riode strictement positive.<\/p>\n

On d\u00e9montre que \"f\" est discontinue en tout point.
\n\"\ast\" Si \"a \in \mathbb{Q}\", il existe une suite \"(x_n)_n\" d’irrationnels qui converge vers \"a\", \"f(a_n) = 0\", la suite \"(f(a_n))_n\" ne converge pas vers \"f(a) = 0\".
\n\"\ast\" Si \"a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\",\u00a0 il existe une suite \"(b_n)_n\" de rationnels qui converge vers \"a\", \"f(b_n) = 1\", la suite \"(f(b_n))_n\" ne converge pas vers \"f(a)\".<\/p>\n

Exercice 2<\/strong>
\nSoit \"f\" une fonction continue de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" et 1-p\u00e9riodique.
\nMontrer que pour tout r\u00e9el \"a\" non nul, il existe un r\u00e9el \"c\" tel que \"f(c + a) = f(c)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"g : x \mapsto f(x + a) - f(x)\".\u00a0<\/em>
\n\"g\" est 1-p\u00e9riodique.\u00a0<\/em>
\n\"g\" est continue sur \"[0 , \, 1]\". Elle est born\u00e9e et atteint ses bornes.\u00a0<\/em>
\nOn introduit\u00a0<\/em>
\n\"\quad m = \displaystyle \inf _{t \in [0 , \, 1]} f(t)\" et \"M = \displaystyle \sup _{t \in [0 , \, 1]} f(t)\" .<\/em>
\nIl existe \"x_1 \in [0 , \, 1]\" tel que \"f(x_1) = m\" et \"x _ 2 \in [0 ,\, 1]\" tel que \"f(x_2) = M\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Gr\u00e2ce \u00e0 la p\u00e9riodicit\u00e9 de \"f\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad \displaystyle m = \inf _{t \in \mathbb{R}} f(t)\" et \"\displaystyle M = \sup _{t \in \mathbb{R}} f(t)\".\u00a0<\/em>
\n\"g(x_1) = f(x _ 1 + a) - f(x_1) \geq 0\" car \"f(x_1 + a) \geq m\"<\/em>
\n\"g(x_2) = f(x _ 2 + a) - f(x_2) \leq 0\" car \"f(x_2 + a) \leq M\".<\/em>
\n\"g(x_1) \, g(x_2) \leq 0\" donne par le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires l’existence d’un r\u00e9el \"c\" tel que \"g(c) = 0\" soit \"\quad \quad \quad f(c + a) = f(c)\".<\/em><\/p>\n

6. Points fixes<\/h2>\n

On rappelle que\u00a0 \"f : I \to \mathbb{R}\"\u00a0 admet un point fixe sur \"I\" s’il existe \"a \in I\" tel que f(a) = a<\/p>\n

Exercice 1<\/strong>
\nSoit \"f\" une fonction strictement croissante sur \"\mathbb{R}\"\u00a0 et sans point fixe. Montrer que \"f \circ f\" n’a pas de point fixe.<\/p>\n

correction<\/strong> : On suppose donc que la fonction continue \"g : x \mapsto f(x) - x\" ne s’annule pas. Donc elle est soit \u00e0 valeurs strictement positives soit \u00e0 valeurs strictement n\u00e9gatives.<\/em>
\n\"\bullet\" Si \"\forall\, x \in \mathbb{R}, \, g(x) > 0\", \"f(x) > x\".\u00a0<\/em>
\nPar stricte croissance de \"f\", \"f (f(x)) > f(x)\" donc \"f (f(x)) > x\" et \"f \circ f\" n’a pas de point fixe.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\forall\, x \in \mathbb{R}, \, g(x) < 0\", \"f(x) < x\".\u00a0<\/em>
\nPar stricte croissance de \"f\" , \"f (f(x)) < f(x)\" donc \"f (f(x)) < x\" et \"f \circ f\" n’a pas de point fixe.\u00a0<\/em><\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 par disjonction des cas que \"f \circ f\" n’a pas de point fixe.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/strong>
\nSoit \"f\" une application continue de \"[0 ,\, 1]\" dans \"[0 ,\, 1]\" telle que \"f \circ f = f\". On note \"E = \{ x \in [0 ,\, 1]\, / \, f(x) = x \}\"
\nQuestion 1
\nMontrer que \"f( [0 ,\, 1]) \subset E\" .<\/p>\n

Correction<\/strong> : Si \"y \in f( [0 ,\, 1])\", il existe \"x \in[0 ,\, 1]\" tel que \"y = f(x)\".<\/em>
\n\"y \in [0 , \, 1]\" et \"f(y) = f\circ f (x) = f(x) = y\", donc \"y \in E\".<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"f( [0 ,\, 1]) \subset E\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0(suite)<\/strong>
\nQuestion 2\u00a0<\/strong>
\nMontrer que \"E\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\", puis un segment.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Comme \"f( [0 ,\, 1])\" est non vide, \"E\" est non vide.\u00a0<\/em>
\nSoient \"a\" et \"b\" dans \"E\" tels que \"a \leq b\".\u00a0<\/em>
\nPour tout \"t \in |0 , \, 1]\", soit \"\quad \quad c = t \, a + (1 - t ) \, b \in [0 , \, 1 ]\"\u00a0<\/em>
\n\"c = t \, f(a) + (1 - t ) \, f(b)\" est compris entre \"f(a)\" et \"f(b)\", donc par le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires, il existe \"d \in [a , \, b]\" tel que \"c = f(d)\".\u00a0<\/em>
\nDonc \"c \in E\" par la question pr\u00e9c\u00e9dente.\u00a0<\/em>
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"E\" est un intervalle.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"E\" est une partie born\u00e9e non vide de \"\mathbb{R}\" , \"E\" admet une borne sup\u00e9rieure \"M \leq 1\" et une borne inf\u00e9rieure \"m \geq 0\".\u00a0<\/em>
\nOn en d\u00e9duit que \"E \subset [m ,\, M]\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Il existe une suite \"(a_n)_n\" d’\u00e9l\u00e9ments de \"E\" telle que \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_n = m\".<\/em>
\n\"\forall \, n \in \mathbb{N}, \, f(a _n) = a_n\,\", par continuit\u00e9 de \"f\" \"f(m) = m\", donc \"m \in E\".<\/em>
\n\"\ast\" Il existe une suite \"(b_n)_n\" d’\u00e9l\u00e9ments de \"E\" telle que \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} b_n = M\".<\/em>
\n\"\forall \, n \in \mathbb{N}, \, f(b _n) = b_n\,\", par continuit\u00e9 de \"f\" \"f(M) = M\", donc \"M \in E\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"E\" est un intervalle contenant \"m\" et \"M\", alors \"[m , \, M] \subset E\".<\/em>
\nPar double inclusion, \"E = [m , M]\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0(suite)<\/strong>
\nQuestion 3<\/strong>
\nD\u00e9terminer \"E\".\u00a0 Donner un exemple de fonction \"f\" v\u00e9rifiant ces conditions.<\/p>\n

Correction<\/strong> : On a vu que \"E = [m , M]\" et \"f( [0 ,\, 1]) \subset E\".\u00a0<\/em>
\nDe plus \"(m , M) \in f ([0 , 1]) ^2\" et \"f ([0 , 1])\" est un intervalle, donc \"[m , \, M] \subset f ([0 , 1])\"<\/em>
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"\quad \quad E = f ([0 , 1]) = [m , \,M]\".<\/em><\/p>\n

R\u00e9ciproquement, si \"f\" est une fonction continue sur \"[0 , 1]\" telle qu’il existe \"m\" et \"M\" v\u00e9rifiant \"0 \leq m \leq M \leq 1\" et telle que \"\quad \quad \quad \forall \, x \in [m , \, M] , \, f(x) = x\"<\/em>
\n\"\quad \quad\" et \"f ([0 , 1] ) \subset [m , \, M]\",<\/em>
\n\"\forall \, x \in [0 , \, 1] , \, f(x) \in [m , \, M],\" donc \"f(f(x)) = f(x)\" ce qui prouve que \"f \circ f = f\".\u00a0<\/em><\/p>\n

exemple\u00a0d’une telle fonction :<\/em>
\nOn suppose que \"0 < m < M < 1\".\u00a0<\/em>
\nOn d\u00e9finit \"f\" par :\u00a0<\/em>
\n\"\quad f(x) = m\" si \"x\in [0 , m[\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad f(x) = x\" si \"x \in [m , \, M]\"<\/em>
\n\"\quad f(x) = M\" si \"x \in [M , \, 1]\".<\/em><\/p>\n

\"f\" est une fonction affine par morceaux.\u00a0<\/em>
\nOn v\u00e9rifie que \"f\" est croissante sur \"[0 , 1]\", continue (en justifiant la continuit\u00e9 en \"m\" et \"M\"), avec \"f(0) = m\" et \"f(1) = M\".<\/em>
\n\"f([0 , \, 1]) = [m ,\, M]\" et \"\quad \quad \forall \, x \in [m , \, M] , \, f(x) = x\".<\/em><\/p>\n

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7. Continuit\u00e9 et suites<\/h2>\n

Exercice 1<\/strong>
\nSoient \"f\" et \"g\" deux applications r\u00e9elles continues sur \"[0 , \, 1]\" telles que : \"\quad \forall x \in [0 ,\, 1], 0 < f(x) < g(x)\".
\nSoit \"(x_n)_{n \geq 1}\" une suite d’\u00e9l\u00e9ments de \"[0 , \, 1]\".
\nOn pose : \"\forall n \in \mathbb{N} , y_n = \displaystyle \left ( \frac {f(x_n)} {g(x_n)} \right ) ^n\". Montrer que la suite \"(y_n)_{n \geq 1}\" converge et d\u00e9terminer sa limite.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"h = \displaystyle \frac f g\" est continue sur \"[0 , \, 1]\" comme quotient d’applications continues sur \"[0 , \, 1]\" tel que le d\u00e9nominateur ne s’annule pas sur \"[0 , \, 1]\". \"h\" admet un maximum \"M\" sur \"[0 , \, 1]\" atteint en un point \"c\", comme \"0 < h(c) < 1\", \"0 < M < 1\"\u00a0<\/em>
\net \"h(x_n) \leq M\".\u00a0<\/em>
\n\"\forall \, n \in \mathbb{N}^*, \, 0 \leq y_n \leq M ^n\".\u00a0<\/em>
\nComme \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} M ^n = 0\" car \"0 < M < 1\"<\/em>
\nPar encadrement,\u00a0la suite \"(y_n)_{n \geq 1}\" converge vers 0.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/strong>
\nSoit \"f\" une application continue sur \"[0 , \, 1]\" \u00e0 valeurs dans \"[0 , \, 1]\".
\nQuestion 1.<\/strong>
\nPour tout entier naturel \"n\" non nul, prouver l’existence d’un r\u00e9el \"x_n\" dans \"[0 , \, 1]\" tel que \"f(x_n) = x_n^n\"<\/p>\n

Question 2.<\/strong>
\nOn suppose de plus que \"f\" est strictement d\u00e9croissante.
\na)\u00a0Pour tout entier naturel \"n\" non nul, il existe un unique r\u00e9el \"x_ n\" dans \"[0 , \, 1]\" tel que \"f(x_n) = x_n^n\"<\/p>\n

b)\u00a0 La suite \"(x_n)_{n\geq 1}\" est croissante.<\/p>\n

c)\u00a0Donner la limite de la suite \"(x_n)_n\"<\/p>\n

8. Continuit\u00e9 et image d’un segment<\/h2>\n

Exercice 1<\/strong>
\nSoit \"f\" une fonction continue sur \"\mathbb{R}\" et telle que \"\quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = \lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty\".
\nAlors \"f\" admet un minimum sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Exercice 2<\/strong>
\nSoient \"f\" et \"g\" deux fonctions continues sur \"I = [a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\".
\nSi \"u \in \mathbb{R}\" , on note \"\quad \quad \displaystyle F(u) =\sup _{x \in I} (f(x) + u\, g(x))\".
\nMontrer que \"\forall\, (u , \, v) \in I ^2\",\"\quad \displaystyle \vert F(u) = F(v) \vert \leq \vert u - v \vert\; \sup _{x \in I} \vert g(x) \vert\".<\/p>\n

Exercice 3<\/strong>
\nSoit \"f\" une fonction continue sur \"\mathbb{R}^+\"
\nSi \"x \geq 0\", on note \"\displaystyle F(x) = \sup_{t \in [0 , \, x]} f(t)\".
\nMontrer que \"F\" est croissante et continue sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

9. \u00c9quation fonctionnelle<\/h2>\n

Exercice 1<\/strong>
\nSoient \"a\" et \"b\" deux r\u00e9els<\/a> tels que \"\vert a \vert < 1\".
\nL’ensemble des fonctions continues de \"\mathbb{R}\to \mathbb{R}\" v\u00e9rifiant \"\quad \quad \forall\, x \in \mathbb{R}\, , \, f (a\, x + b) = f(x)\"
\nest l’ensemble des fonctions constantes.<\/p>\n

Exercice 2<\/strong>
\nSoit \"E\" l’ensemble des applications<\/a> continues de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" v\u00e9rifiant :
\n\"\ast\" \"\forall\, (x, y) \in \mathbb{R}^2\", \"f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x)f(y)\" (*)
\n\"\ast\" \"f\" n’est pas l’application nulle
\n\"\ast\" \"f\" s’annule au moins une fois sur \"\mathbb{R}\"<\/p>\n

Question 1<\/strong>
\nV\u00e9rifier que pour tout \"a \in \mathbb{R}\", la fonction \"x \mapsto \cos(a \, x)\" appartient \u00e0 \"E\".<\/p>\n

Question 2<\/strong>
\nD\u00e9terminer la valeur de \"f(0)\" et \u00e9tudier la parit\u00e9 de \"f\".<\/p>\n

Question 3<\/strong>
\nOn note \"E( f ) = \{x > 0 \, /\, f(x) = 0\}\".
\na)\u00a0Montrer que \"E( f )\"admet une borne inf\u00e9rieure que l’on note \"a\".<\/p>\n

b)\u00a0Prouver que \"f(a) = 0\" et en d\u00e9duire que \"a > 0\".<\/p>\n

c)\u00a0Montrer que \"\forall\, x \in [0 ,\, a[, \, f(x) > 0\".<\/p>\n

b)\u00a0Montrer que pour tout entier naturel \"q\" : \"\displaystyle f \left (\frac a {2 ^q} \right ) = g \left (\frac a {2 ^q} \right )\".<\/p>\n

c)\u00a0Montrer que \"\forall \, (p , q) \in \mathbb{N }^2, \displaystyle f \left (\frac {p \, a} {2 ^q} \right ) = g \left (\frac {p \, a} {2 ^q} \right )\" .<\/p>\n

Question 4<\/strong>
\nOn pose \"b = \displaystyle \frac {\pi} {2 \, a}\" et on note \"\quad \quad g : x \mapsto \cos(b \,x)\".
\na)\u00a0Montrer que pour tout entier naturel \"q\", \"\displaystyle f \left (\frac a {2 ^q} \right ) + 1 = 2 \left ( f \left (\frac a {2 ^{q+1}} \right )\right ) ^2\".<\/p>\n

d)\u00a0Soient \"x \in \mathbb{R}^{+*}\" fix\u00e9 et si \"n \in \mathbb{N}\", \"k_n = \displaystyle \left \lfloor \frac {2 ^n \, x} {a} \right \rfloor\" . Montrer que la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n = k_n \displaystyle \frac {a} {2^ n}\" converge vers \"x\".<\/p>\n

e)\u00a0Montrer que \"f = g\" .<\/p>\n

Question 5<\/strong>
\nEn d\u00e9duire l’ensemble \"E\".<\/p>\n

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