{"id":37527,"date":"2019-10-31T10:11:17","date_gmt":"2019-10-31T09:11:17","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37527"},"modified":"2023-09-15T18:07:55","modified_gmt":"2023-09-15T17:07:55","slug":"cours-en-ligne-introduction-fonctions-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-introduction-fonctions-maths-sup\/","title":{"rendered":"Introduction Fonctions en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Cours : Fonctions en Maths Sup MPSI, PTSI, PCSI, MP2I<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Fonctions Premi\u00e8re partie en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1 Manipuler les d\u00e9finitions de base
\n1.1. D\u00e9finition et image.
\n1.2. Parit\u00e9
\n1.3. P\u00e9riodicit\u00e9
\n1.4. Fonction major\u00e9e, minor\u00e9e, born\u00e9e
\n1.5. Monotonie
\n1.6. Composition
\n1.7. Asymptote<\/a> horizontale ou verticale<\/p>\n

2. D\u00e9rivation
\n2.1. D\u00e9finition
\n2.2. Utilisation des op\u00e9rations
\n2.3. D\u00e9rivation et monotonie
\n2.4. Extremum d’une fonction r\u00e9elle
\n2.5. Calcul pratique de d\u00e9riv\u00e9es<\/a>
\n2.6. D\u00e9riv\u00e9es successives<\/p>\n

3. Fonction r\u00e9elle bijective
\n3.1. Fonction r\u00e9ciproque<\/a>
\n3.2. D\u00e9riv\u00e9e d’une fonction r\u00e9ciproque<\/p>\n

Toutes ces notions seront approfondies dans les chapitres continuit\u00e9<\/a> et d\u00e9rivabilit\u00e9. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 compl\u00e9ter ces notions avec les cours de maths<\/a>.<\/p>\n

La deuxi\u00e8me partie de m\u00e9thodes permet de bien r\u00e9diger l’\u00e9tude d’une fonction. Elle est suivie de 2 exemples.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

1. Manipuler les d\u00e9finitions de base<\/h3>\n

On note \"\mathcal{R} (O , \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} )\" un rep\u00e8re du plan lorsque l’on manipule des fonctions r\u00e9elles.
\nPour une fonction \"f\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles d\u00e9finie sur \"\mathcal{D}\", on note \"\Gamma\" l’ensemble<\/a> des points \"M(x) (x , f(x))\" lorsque \"x \in \mathcal{D}\"
\net on trace le graphe \"\Gamma\" de \"f\" dans le rep\u00e8re \"\mathcal{R}\".<\/p>\n

1.1. D\u00e9finition et image \"\mathcal{D}\" d’une fonction.<\/b>
\n\"\bullet\" S’assurer que la recherche du domaine de d\u00e9finition a \u00e9t\u00e9 faite par CNS !
\n⚠️ Un raisonnement<\/a> comme celui qui suit ne r\u00e9pond pas \u00e0 la question :
\n\u00e9crire \"f(x)\" d\u00e9fini implique \"x \in \mathcal {D'}\" donne seulement \"\mathcal{D} \subset \mathcal{D'}\".
\nIl est indispensable d’\u00e9tudier l’inclusion r\u00e9ciproque.
\nIl est conseill\u00e9 de raisonner lorsque c’est possible en mettant en \u00e9vidence une \u00e9quivalence.<\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9finit alors l’image de \"f\" :
\n\"\quad \quad f(\mathcal{D}) = \{ f(x) \, , \, x \in \mathcal{D}\}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires\u00a0<\/b>
\nSi \"f\" est continue<\/a> sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", \"f(I)\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\",
\nc’est \u00e0 dire si \"(a , b) \in I^2\" sont tels que \"f(a) < f(b)\",\u00a0pour tout \"k \in \; ]f(a) \, , \, f(b)[\", il existe \"x_0\" strictement compris entre \"a\" et \"b\" tel que \"f(x_0) = k\".<\/p>\n

\n

1.2. Parit\u00e9<\/b>
\nBut :\u00a0 \u00e9tudier la parit\u00e9 d’une fonction d\u00e9finie sur \"\mathcal{D}\".
\n\"\ast\" S’assurer que \"\mathcal{D}\" est centr\u00e9 en 0 c’est \u00e0 dire que \"x \in \mathcal{D} \Leftrightarrow - x \in \mathcal{D}\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour d\u00e9montrer que \"f\" est paire, d\u00e9montrer alors que \"\quad \forall \, x \in \mathcal{D} ,\, f(-x) = f(x)\".
\nDans ce cas, il suffit d’\u00e9tudier la fonction \"f\" sur \"\mathcal{D} \cap \mathbb{R}^+\" et si \"f\" est \u00e0 valeurs r\u00e9elles, son graphe est sym\u00e9trique par rapport \u00e0 \"Oy\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour d\u00e9montrer que \"f\" est impaire, d\u00e9montrer alors que \"\quad \forall \, x \in \mathcal{D} ,\, f(-x) = - f(x)\".
\nDans ce cas, il suffit d’\u00e9tudier la fonction \"f\" sur \"\mathcal{D} \cap \mathbb{R}^+\" et si \"f\" est \u00e0 valeurs r\u00e9elles, son graphe est sym\u00e9trique par rapport \u00e0 \"O\".<\/p>\n

1.3. P\u00e9riode\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Pour d\u00e9montrer qu’une fonction \"f\" est p\u00e9riodique sur \"\mathcal{D}\",
\nIl suffit de trouver un r\u00e9el \"T > 0\" tel que \"x \in \mathcal{D} \Rightarrow x + T \in \mathcal{D}\"
\net de d\u00e9montrer que \"\quad \quad \forall \, x \in \mathcal{D},\, f(x + T) = f(x)\"
\nOn dit alors que \"T\" est\u00a0une p\u00e9riode<\/i>\u00a0de \"f\" ou que \"f\" est \"T\"–p\u00e9riodique.<\/i><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est \"T\"-p\u00e9riodique, il suffit de l’\u00e9tudier sur un intervalle de longueur \"T\" que l’on pourra choisir de la forme \"[0 ,\, T] \cap \mathcal{D}\" ou \"[- T/2 , \, T/2] \cap \mathcal{D}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est \"T\"-p\u00e9riodique et r\u00e9elle , le graphe de \"f\" dans le rep\u00e8re \"\mathcal{R}\" est invariant par translation de vecteur<\/a> \"T \overrightarrow{i}\" c’est \u00e0 dire pour tout \"x \in \mathcal{D}\", \"\quad \quad \overrightarrow{ M(x) M(x + T)} =T\, \overrightarrow { i}\".<\/p>\n

👍 : Pour restreindre le domaine d’\u00e9tude d’une fonction, toujours commencer par la p\u00e9riodicit\u00e9, si elle est \"T\" -p\u00e9riodique et si elle est paire ou impaire, se restreindre d’abord \u00e0 \"[- T/2\, , \, T/2] \cap \mathcal{D}\".
\nCe qui permet \u00e9ventuellement de se restreindre ensuite \u00e0 une \u00e9tude sur \"[0 , \, T/2] \cap \mathcal{D}\".<\/p>\n

1.4. Fonction major\u00e9e, minor\u00e9e, born\u00e9e<\/b>
\n⚠️ \u00e0 l’ordre des quantificateurs
\nSoit \"f\" d\u00e9finie sur \"\mathcal{D}\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles.
\n\"\ast\" \"f\" est\u00a0major\u00e9e<\/i>\u00a0ssi \"\quad \exists \, M \in \mathbb{R}, \forall\, x \in \mathcal{D} , f(x) \leq M\".
\n\"\ast\" \"f\" est\u00a0minor\u00e9e<\/i>\u00a0ssi \"\quad \exists \, m \in \mathbb{R}, \forall\, x \in \mathcal{D} , f(x) \geq m\".<\/p>\n

Soit \"f\" d\u00e9finie sur \"\mathcal{D}\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles ou complexes<\/a>.
\n\"\ast\" \"f\" est\u00a0born\u00e9e<\/i>\u00a0ssi \"\quad \exists \, M \in \mathbb{R}, \forall\, x \in \mathcal{D} , \vert f(x) \vert \leq M\".
\n👍 : Si \"f\" est \u00e0 valeurs r\u00e9elles, cela revient \u00e0 dire que \"f\" est major\u00e9e et minor\u00e9e, mais cette \u00e9criture est plus concise et maniable en pratique.<\/p>\n

1.5. Monotonie<\/b>
\n\"\bullet\" D\u00e9finitions
\nSoit \"f\" d\u00e9finie sur un intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\".
\n\"\ast\" \"f\" est\u00a0croissante<\/i>\u00a0sur \"I\" ssi
\n\"\forall \, (x ,\, y) \in I^2,\, (x < y \Rightarrow f(x) \leq f(y))\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f\" est\u00a0d\u00e9croissante\u00a0<\/i>sur \"I\" ssi
\n\"\forall \, (x ,\, y) \in I^2,\, (x < y \Rightarrow f(x) \geq f(y))\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f\" est\u00a0strictement croissante\u00a0<\/i>sur \"I\" ssi
\n\"\forall \, (x ,\, y) \in I^2,\, (x < y \Rightarrow f(x) < f(y))\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f\" est\u00a0strictement d\u00e9croissante<\/i>\u00a0sur \"I\" ssi
\n\"\forall \, (x ,\, y) \in I^2,\, (x < y \Rightarrow f(x) > f(y))\".<\/p>\n

Elle est\u00a0monotone<\/i>\u00a0(resp.\u00a0strictement monotone<\/i>) sur \"I\" ssi elle est croissante ou d\u00e9croissante (resp. strictement croissante ou strictement d\u00e9croissan- te) sur \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\" Somme de deux fonctions de m\u00eame monotonie.
\nSi \"f\" et \"g\" sont deux fonctions
\n… croissantes (resp. strictement croissantes) sur \"\mathcal{D}\", \"f + g\" est croissan- te (resp. strictement croissante) sur \"\mathcal{D}\".
\n… d\u00e9croissantes (resp. strictement d\u00e9- croissantes) sur \"\mathcal{D}\", \"f + g\" est d\u00e9crois- sante (resp. strictement d\u00e9croissante) sur \"\mathcal{D}\".<\/p>\n

⚠️ aux produits<\/a> de fonctions monotones ou strictement monotones\u00a0 il est indispensable de v\u00e9rifier qu’elles sont de signe constant et d’effectuer proprement le produit des in\u00e9galit\u00e9s.<\/p>\n

1.6. Composition<\/b>
\n\"\bullet\" Soient \"f\" d\u00e9finie sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", \"g\" d\u00e9finie sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et on suppose que \"f(I) \subset J\".
\n\"\ast\" Si \"f\" et \"g\" sont monotones (resp. strictement monotones) de m\u00eame sens de variation, \"g \circ f\" est croissante (resp. strictement croissante) sur \"I\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"f\" et \"g\" sont monotones (resp. strictement monotones) de sens contraires, \"g \circ f\" est d\u00e9croissante (resp. strictement d\u00e9croissante) sur \"I\".<\/p>\n

1.7. Asymptote horizontale ou verticale<\/b>
\n\"f : I \to \mathbb{R}\" et \"\Gamma\" sa repr\u00e9sentation graphique.
\nSoit \"a \in \mathbb{R}\"
\n\"\bullet\" si \"\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = a\", la droite d’\u00e9quation<\/a> \"y = a\" est asymptote \u00e0 \"\Gamma\".
\n\"\bullet\" si \"\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \infty\", la droite d’\u00e9quation \"x = a\" est asymptote \u00e0 \"\Gamma\".<\/p>\n

2. D\u00e9rivation<\/h3>\n

On note \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\" ou \"\mathbb{C}\".
\n2.1. D\u00e9finition<\/b>
\n\"\bullet\" \"f\" d\u00e9finie sur \"\mathcal{D}\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\",
\net \"a \in \mathcal{D}\" est d\u00e9rivable en \"a\" lorsque \"x \mapsto \displaystyle \frac {f(x) - f(a)} {x - a}\" admet une limite finie \"L\" en \"a\".
\nOn note \"L = f'(a)\".
\nElle est d\u00e9rivable sur \"\mathcal{D}\" lorsqu’elle est d\u00e9rivable en tout point de \"\mathcal{D}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Tangente\u00a0<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur \"\mathcal{D}\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {R}\", d\u00e9rivable en \"a \in \mathcal{D}\".
\nLe graphe de \"f\" admet une tangente en \"(a ,\, f(a))\" d’\u00e9quation
\n\"\quad \quad y - f(a) = f'(a) (x - a)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Tangente verticale<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur \"\mathcal{D}\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {R}\", continue en \"a \in \mathcal{D}\".
\nlorsque \"\displaystyle \lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a}= \infty\",
\nLe graphe de \"f\" admet une tangente verticale en \"(a ,\, f(a))\".<\/p>\n

2.2. Utilisation des op\u00e9rations\u00a0<\/b>
\n\"f\" et \"g\" des fonctions d\u00e9finies sur \"\mathcal{D}\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\", et \"a \in \mathcal{D}\".
\n\"\bullet\" Si \"\alpha\" et \"\beta\" sont \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}\", si\u00a0\"f\" et \"g\" sont d\u00e9rivables en \"a\" (resp. sur \"\mathcal{D}\"),
\n\"\alpha f + \beta\, g\" est d\u00e9rivable en \"a\" (resp. sur \"\mathcal{D}\")
\net \"(\alpha f + \beta \, g) '(a) = \alpha f ' (a) + \beta \, g'(a)\"
\n(resp \"(\alpha f + \beta\, g) = \alpha\, f' + \beta\, g'\" ).<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" et \"g\" sont d\u00e9rivables en \"a\" (resp. sur \"\mathcal{D}\"),\u00a0\"f \, g\" est d\u00e9rivable en \"a\" (resp sur \"\mathcal{D}\")
\net \"( f \, g) '(a) = f ' (a)\, g(a) + f(a) \,g'(a)\"
\n(resp \"( f \, g) '= f ' \, g + f \,g'\" ).<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" et \"g\" sont d\u00e9rivables en \"a\" (resp. sur \"\mathcal{D}\") et si \"g\" ne s’annule pas sur \"\mathcal{D}\",
\n\"\displaystyle \frac f g\" est d\u00e9rivable en \"a\" (resp. sur \"\mathcal{D}\")
\net \"\displaystyle \left ( \frac f g \right ) '(a) = \frac { f ' (a)\, g(a) - f(a) \,g'(a)} {g(a) ^2}\"
\n(resp \"\displaystyle \left ( \frac f g \right ) ' = \frac { f '\, - f \,g'} {g ^2}\" ).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Pour les fonctions \u00e0 valeurs complexes\u00a0<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur \"\mathcal{D}\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{C}\" et \"a \in \mathcal{D}\".
\nOn \u00e9crit pour tout \"x \in \mathcal{D}\",\"\quad \quad \quad \, f(x) = g(x) + \textrm{i} \, h(x)\"
\no\u00f9 \"g\" et \"h\" sont \u00e0 valeurs r\u00e9elles.
\n\"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" (resp. sur \"\mathcal{D}\")
\nssi \"g\" et \"h\" sont d\u00e9rivables en \"a\" (resp. sur \"\mathcal{D}\") et \"f'(a) = g'(a) + \textrm{i} \, h'(a)\"
\n(resp. \"f'= g'+ \textrm{i} \, h'\").<\/p>\n

\"\bullet\" Par utilisation d’une\u00a0composition\u00a0<\/b>
\nOn suppose que \"f : \mathcal{D} \to \mathbb{R}\", \"g : \mathcal{D'} \to \mathbb {K}\" et \"f(\mathcal{D} ) \subset \mathcal{D'}\".
\n\"\ast\" Si \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\", si \"g\" est d\u00e9rivable en \"b = f(a)\", \"g \circ f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et
\n\"\quad \quad (g \circ f)'(a) = f'(a) \, g'(f(a))\".
\n\"\ast\" si \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathcal{D}\", si \"g\" est d\u00e9rivable sur \"\mathcal{D}'\", \"g \circ f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathcal{D}\" et \"(g \circ f)' = f' \, g'\circ f\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\varphi\" est une fonction d\u00e9rivable sur \"\mathcal{D}\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{C}\" , \"g : t \mapsto \textrm{exp} (\varphi(t))\"
\nest d\u00e9rivable sur \"\mathcal{D}\" et \"\quad \forall\, t \in \mathcal{D}, g'(t) = \varphi'(t) \, \textrm{exp} (\varphi(t))\".<\/p>\n

2.3. D\u00e9rivation et monotonie<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction d\u00e9rivable sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\"
\n\"f\" est constante sur \"I\" ssi \"\quad \quad \forall \, x \in I,\, f'(x) = 0\".
\nRemarque : la propri\u00e9t\u00e9 reste vraie si \"f\" est \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{C}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et d\u00e9rivable sur \"J = \overset {\circ } I\", intervalle de \"I\" priv\u00e9 de ses bornes.
\n\"\ast\" \"f\" est croissante sur \"I\"
\nssi \"\forall \, x \in J,\, f'(x) \geq 0\".
\n\"\ast\" \"f\" est d\u00e9croissante sur \"I\"
\nssi \"\forall \, x \in J,\, f'(x) \leq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et d\u00e9rivable sur \"J = \overtset {\circ} I\", intervalle de \"I\" priv\u00e9 de ses bornes.
\n\"\ast\" \"f\" est strictement croissante sur \"I\"
\nssi \"\forall \, x \in J,\, f'(x) \geq 0\" et si \"f'\" ne s’annule sur aucun segment \"[a, b]\" o\u00f9 \"a , \,b\" sont \u00e9l\u00e9ments de \"J\" tels que \"a < b\"
\n\"\ast\" \"f\" est strictement d\u00e9croissante sur \"I\" ssi \"\forall \, x \in J,\, f'(x) \geq 0\" et si \"f'\" ne s’annule sur aucun segment \"[a, b]\" o\u00f9 \"a , \, b\" sont \u00e9l\u00e9ments de \"J\" tels que \"a < b\"
\nCons\u00e9quences<\/i>\u00a0:\u00a0\u00a0<\/i>
\nSoit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et d\u00e9rivable sur \"J\", intervalle de \"I\" priv\u00e9 de ses bornes.
\n\"\ast\" Si pour tout \"x \in J, f'(x) > 0\", \"f\" est strictement croissante sur \"I\".
\n\"\ast\" Si pour tout \"x \in J, f'(x) < 0\", \"f\" est strictement d\u00e9croissante sur \"I\".<\/p>\n

👍 : Pour \u00e9tudier le sens de variation d’une fonction \"f\" d\u00e9rivable :
\n\"\ast\" On calcule si \"x \in I,\, f'(x)\".
\n\"\ast\" On r\u00e9sout l’in\u00e9quation \"f'(x) > 0\".
\n⚠️ R\u00e9soudre \"f'(x) = 0\" ne donne pas le signe de \"f'(x)\" !<\/p>\n

2.4. Extremum d’une fonction r\u00e9elle<\/b>
\n\"\bullet\" \"f\" d\u00e9finie sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\",
\n\"\ast\" \"f\" admet un\u00a0maximum<\/i>\u00a0sur \"I\" s’il existe \"a\in I\" tel que \"\forall \, x \in I, f(x) \leq f(a)\".
\n\"\ast\" \"f\" admet un\u00a0minimum\u00a0<\/i>sur \"I\" s’il existe \"a\in I\" tel que \"\forall \, x \in I, f(x) \geq f(a)\".
\n\"\ast\" \"f\" admet un\u00a0extremum\u00a0<\/i>sur \"I\" si \"f\" admet un minimum ou un maximum sur \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"f\" d\u00e9finie sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\",
\n\"\ast\" \"f\" admet un\u00a0maximum local en\u00a0<\/i>\u00a0\"a \in I\" s’il existe \"\alpha > 0\" tel que \"\forall \, x \in I \; \cap\; ]a - \alpha , a + \alpha[,\, f(x) \leq f(a)\".
\n\"\ast\" \"f\" admet un\u00a0minimum local<\/i>\u00a0en \"a \in I\" s’il existe \"\alpha > 0\" tel que \"\forall \, x \in I\; \cap \; ]a - \alpha , a + \alpha[,\, f(x) \geq f(a)\".
\n\"\ast\" \"f\" admet un\u00a0extremum local en\u00a0<\/i>\u00a0\"a \in\" si \"f\" admet un minimum ou un maximum local en \"a \in I\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" d\u00e9finie sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et admet un extremum local en \"a\in I\",\u00a0diff\u00e9rent des bornes<\/b>\u00a0et est d\u00e9rivable en \"a\", \"f'(a) = 0\".
\n⚠️ La r\u00e9ciproque est fausse : prendre \"f : x \mapsto x^3\" sans extremum local en \"0\" alors que \"f'(0) = 0\".<\/p>\n

👍 Sous les hypoth\u00e8ses pr\u00e9c\u00e9dentes, si \"f'\" s’annule en \"a\" et change de signe en \"a\", \"f\" admet un extremum local en \"a\".<\/p>\n

👍 Si \"f = \displaystyle \frac u v\" est telle que \"f'(\alpha) = 0\" avec \"v(\alpha)\, v'\alpha) \neq 0\" , \"f(\alpha) = \displaystyle \frac {u'(\alpha)} {v'(\alpha)}\".<\/p>\n

D\u00e9monstration<\/strong> : En effet \"f' = \displaystyle \frac {u' \, v - u \, v'} {v ^2}\".<\/em>
\nComme \"f'(\alpha) = 0\", \"\quad \quad u'(\alpha) \, v(\alpha) - u(\alpha) \, v'(\alpha) = 0\",\u00a0<\/em>
\nen divisant par \"v(\alpha)\, v'\alpha) \neq 0\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {u(\alpha)} {v(\alpha)}= \frac {u'(\alpha)} {v'(\alpha)}\".<\/em><\/p>\n

2.5. Calcul pratique de d\u00e9riv\u00e9es<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0Notation<\/b>
\n👍 Important : Il faut essayer de ne plus \u00eatre oblig\u00e9 d’\u00e9crire les formules de d\u00e9rivation utilis\u00e9es.
\nSi vous ne pouvez pas vous en emp\u00eacher, il faut prendre la pr\u00e9caution d’\u00e9crire par exemple \"(u \, v) ' = u' \, v + u \, v'\"
\nou \"(u \, v) ' (x) = u' (x) \, v(x) + u (x) \, v'(x)\"
\nmais JAMAIS \"(u (x) \, v(x)) ' = u'(x) \, v(x) + u (x) \, v' (x)\"
\ncar on d\u00e9rive une fonction et non un r\u00e9el<\/a> !<\/p>\n

Des astuces dans les points suivants :
\n\"\bullet\"\u00a0👍 Pour aller plus vite :
\n\"\ast\" si \"(a , b , c , d) \in \mathbb{R}^4\" et \"f : x \displaystyle \mapsto \frac {a \, x + b} {c \, x + d}\"
\nen tout point o\u00f9 \"f\" est d\u00e9finie, \"\quad \quad f '(x) = \displaystyle \frac {a \, d - b \, c} {(c \, x + d)^2 }\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour d\u00e9river \"\displaystyle \frac 1 {u ^n}\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{R}\", il est plus simple d’\u00e9crire : \"v = u ^{- n}\" puis \"v' = - n \, u' \, u ^{ - n - 1}\" \"\Rightarrow\" \"\displaystyle \left ( \frac 1 {u ^n} \right )' = \frac {n \, u'} {u ^{n + 1} }\"
\nIl est tr\u00e8s maladroit d’utiliser la d\u00e9riv\u00e9e d’un quotient !<\/p>\n

\"\ast\" Pour d\u00e9river \"\displaystyle \frac u {v ^n}\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{R}\", il est plus simple d’\u00e9crire : \"w = u \, v ^{- n}\" et d’utiliser la d\u00e9riv\u00e9e d’un produit
\n\"\quad \quad w' = u \, v ^{- n} - n\, u \, v' \, v ^{ - n - 1}\"
\nde r\u00e9duire ensuite au m\u00eame d\u00e9nomi- nateur
\ndonc \"\displaystyle \left ( \frac u {v ^n} \right )' = \frac {u' \, v - n \,u \, v' } {v ^{n + 1} }\".
\n⚠️ Pour ce calcul, il est tr\u00e8s-tr\u00e8s maladroit d’utiliser la d\u00e9riv\u00e9e d’un quotient !
\n👍\u00a0 Il faut retenir que par d\u00e9rivation, le \u00ab\u00a0degr\u00e9\u00a0\u00bb du d\u00e9nominateur n’augmente que d’une unit\u00e9 et ne double que si \"n = 1\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour d\u00e9river \"\displaystyle \frac {u \, v} {w}\", il est plus simple d’\u00e9crire\u00a0\"\displaystyle u \, v \, \frac 1 w\" et de d\u00e9river sous la forme d’un produit
\n\"(u \, v \, (1 / w) )' =\" \"\quad \quad u' \, v \, w ^{- 1} + u \, v' \, w ^{- 1} - u \, v \, w' \, w ^{- 2}\"
\net de r\u00e9duire ensuite au m\u00eame d\u00e9nominateur.<\/p>\n

2.6. D\u00e9riv\u00e9es successives<\/b>
\n\"\bullet\" Si \"f : I \to \mathbb{K}\", on d\u00e9finit sous r\u00e9serve d’existence \"f^{(n)}\" par
\n\"f^{(0)} = f\", \"f^{(1)} = f'\" et \"f^{(n+1 )} = (f^{(n)})'\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9es successives \u00e0 savoir calculer rapidement
\n\"\ast\" si \"n \in \mathbb{N}\" et \"a \in \mathbb{C}\",\u00a0\"u : x \mapsto (x - a) ^n\"
\n… si \"p \leq n\", \"\quad u ^{(p)}(x) = \displaystyle \frac {n!} {(n - p)!} (x - a)^{n - p}\"
\n… si \"p >n\", \"u ^{(p)}(x) = 0\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"a \in \mathbb{C}\" et\u00a0\u00a0\"u : x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x - a}\"
\nsi \"n \in \mathbb{N} ^*\", \"u ^{(n)}(x) = \displaystyle \frac {n!\, (-1) ^n } {(x - a) ^{n + 1}} .\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"a \in \mathbb{C}\" et\u00a0\u00a0\"u : x \mapsto \displaystyle \frac 1 {a - x}\",
\nsi \"n \in \mathbb{N} ^*\", \"u ^{(n)}(x) = \displaystyle \frac {n!} {(a - x) ^{n + 1}}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Utiliser les th\u00e9or\u00e8mes de d\u00e9rivation. Soit \"n \in \mathbb{N}^*\".
\nSi \"u\" et \"v\" sont \"n\" fois d\u00e9rivables sur \"I\", il en est de m\u00eame de toute combinaison lin\u00e9aire, du produit, du quotient \"u/v\" si \"v\" ne s’annule pas, de la compos\u00e9e \"u \circ v\" sous r\u00e9serve de sa d\u00e9finition.
\nVous verrez plus tard la formule de Leibniz :
\n\"\quad (u \, v) ^{(n)} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k u^{(k)} \, v^{(n - k)}\".<\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

3. Fonction r\u00e9elle bijective<\/h3>\n

3.1. Fonction r\u00e9ciproque<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction strictement monotone sur l’intervalle \"I\", \"f\" d\u00e9finit une bijection de \"I\" sur \"f(I)\".
\nc’est \u00e0 dire
\n\"\quad \forall \, y \in f(I), \, \exists \, ! \, \in I, \, y = f(x)\".
\nLa fonction \"f\" admet une fonction r\u00e9ciproque \"g = f ^{ - 1} : \, f(I) \to I\" strictement monotone de m\u00eame sens de variation que \"f\".<\/p>\n

👍 : Les graphes de \"f\" et \"g\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 la droite d’\u00e9quation \"y = x\".<\/p>\n

\"\bullet\" Th\u00e9or\u00e8me (souvent appel\u00e9 th\u00e9or\u00e8me de la bijection)
\nSoit \"f\" une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle \"I\", \"f\" d\u00e9finit une bijection de \"I\" sur \"f(I)\" sa fonction r\u00e9ciproque est continue et strictement monotone sur \"f(I)\", de m\u00eame sens de variation que \"f\".<\/p>\n

👍 Comment d\u00e9terminer \"f(I)\" lorsque \"f\" est continue sur \"I\" ?
\n\"\ast\" \"I = [a \, , \, b]\"
\n… \"f(I) = [f(a) \, , \, f(b)]\" si \"f\" est strictement croissante.
\n… \"f(I) = [f(b) \, , \, f(a)]\" si \"f\" est strictement d\u00e9croissante.<\/p>\n

\"\ast\" \"I = [a \, , \, b[\"
\n… \"\displaystyle f(I) = \left [f(a) \, , \, \lim_{x \to b} f(x) \right [\" si \"f\" est strictement croissante.
\n… \"\displaystyle f(I) = \left ]\lim_{x \to b} f(x) \, , \, f(a)\right ]\" si \"f\" est strictement d\u00e9croissante.<\/p>\n

Je vous laisse adapter dans le cas o\u00f9 \"I =\; ]a , b]\".<\/p>\n

\"\ast\" \"I = ]a \, , \, b[\"
\n… \"\displaystyle f(I) = \left ]\lim_{x \to a} f(x) \, , \, \lim_{x \to b} f(x) \right [\" si \"f\" est strictement croissante.
\n… \"\displaystyle f(I) = \left ]\lim_{x \to b} f(x) \, , \, \lim_{x \to a} f(x) \right ]\" si \"f\" est strictement d\u00e9croissante.<\/p>\n

⚠️ \u00e0 ne pas confondre la fonction r\u00e9ciproque \"f ^{- 1}\" de \"f\" lorsqu’elle existe et la fonction inverse \"\displaystyle \frac 1 f\" lorsqu’on peut la d\u00e9finir.<\/p>\n

3.2. D\u00e9riv\u00e9e de la fonction r\u00e9ciproque\u00a0\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0Version 1<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"R\".
\nSi \"f\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et si \"\quad \quad \forall\, x \in J,\, f'(x) \neq 0\",
\n\"\ast\" \"f\" d\u00e9finit une bijection de \"I\" sur \"f (I)\"
\n\"\ast\" \"f ^{- 1}\" est d\u00e9rivable sur \"f(I)\".
\n\"\forall \, y \in f(I)\", \"(f ^{- 1})'(y) = \displaystyle \frac 1 {f ' (f ^{-1}(y))}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Version 2<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"R\".
\nOn note \"J\" l’intervalle \"I\" priv\u00e9 de ses bornes.
\nSi \"f\" est d\u00e9rivable sur \"J\" et si \"\quad \quad \forall\, x \in J,\, f'(x) \neq 0\",
\n\"\ast\" \"f\" d\u00e9finit une bijection de \"I\" sur \"f (I)\"
\n\"\ast\" \"f ^{- 1}\" est d\u00e9rivable sur \"f(J)\".
\n\"\forall \, y \in f(J)\", \"(f ^{- 1})'(y) = \displaystyle \frac 1 {f ' (f ^{-1}(y))}\".<\/p>\n

Pr\u00e9parez la suite de l’ann\u00e9e de Maths Sup gr\u00e2ce aux prochains chapitres de math\u00e9matiques de MPSI, PTSI et PCSI :<\/p>\n