{"id":37528,"date":"2019-10-31T10:11:13","date_gmt":"2019-10-31T09:11:13","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37528"},"modified":"2022-07-12T12:58:46","modified_gmt":"2022-07-12T11:58:46","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-introduction-fonctions-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-introduction-fonctions-maths-sup\/","title":{"rendered":"Introduction Fonctions en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices corrig\u00e9s sur les fonctions en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices : Fonction monotone, r\u00e9ciproque et born\u00e9e\u00a0<\/span><\/h2>\n
\n

1. Fonctions monotones
\n2. Fonction r\u00e9ciproque<\/a>
\n3. Fonction born\u00e9e
\n4. \u00c9quations fonctionnelles<\/a>
\n5. Avec la partie enti\u00e8re
\n6. Calculs de d\u00e9riv\u00e9es<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

1. Fonctions monotones<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction croissante sur \"[0 \, , \, 1]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" telle qu’il existe \"a \in \; ]0 , \, 1[\" tel que \"\quad \quad \forall\, x \in \; ]0 , 1], \, f(x) = f(a \, x)\".
\n\"f\" est constante sur \"]0 , 1]\". Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\bullet\" Soit pour \"n \in \mathbb{N}\",\u00a0 \"H_n\" : \"f(a ^n) = f(1)\".<\/em>
\n\"\ast\" \"H_0\" est vraie car \"a^0 = 1\"\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" On suppose que \"H_n\" est vraie, en utilisant l’hypoth\u00e8se de r\u00e9currence<\/a> avec \"x = a^ n \in \; ]0 , 1[\" , \"f(1) = f( a ^n ) = f( a . a^n)\" donc \"f(a^{n + 1}) = f(1)\".<\/em>
\n\"H_{n + 1}\" est v\u00e9rifi\u00e9e.\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\bullet\" Comme \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} a ^n = 0\", pour tout \"x \in \; ]0, 1]\", il existe \"p \in \mathbb{N}\" tel que \"a ^p \leq x\"\u00a0<\/em>
\npar croissance de \"f\" :\"\quad \quad f(1) = f(a ^p) \leq f(x) \leq f(1)\".\u00a0<\/em>
\ndonc \"f(x) = f(1)\".\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

On a montr\u00e9 que \"f\" est constante sur \"]0 , \, 1]\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction croissante de \"[0, \, \, 1]\" dans \"[0, \, \, 1]\".
\nIl existe \"a \in [0, \, \, 1]\" tel que \"f(a) = a\".
\nindication<\/i> : introduire \"\quad E = \{ x \in [0, \, \, 1]\, /\, f(x) \leq x \}\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\bullet\" \"f(1) \leq 1\", donc\u00a0 \"1 \in E\".<\/em>
\n\"E\" est une partie non vide de \"\mathbb{R}\", minor\u00e9e par \"0\".\u00a0<\/em>
\n\"E\" admet une borne inf\u00e9rieure \"a \in [0 , \, 1]\".\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a \notin E\", \"f(a) > a\",\u00a0<\/em>
\ncomme \"a\" est la borne inf\u00e9rieure de \"E\" et \"f(a) > a\", \"f(a)\" n’est pas un minorant de \"E\", donc il existe \"x \in E\" tel que \"\quad\quad \quad \quad a \leq x < f(a)\".\u00a0<\/em>
\nPar croissance de \"f\", \"f(a) \leq f(x)\"\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

\n

et \"f(x) \leq x < f(a)\" car \"x \in E\",\u00a0<\/em>
\non en d\u00e9duit que \"f(a) < f(a)\", ce qui est absurde.\u00a0<\/em>
\nDonc on a prouv\u00e9 que \"a \in E\" et donc \"f(a) \leq a\".\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\bullet\" Si l’on avait \"f(a) < a\",\u00a0 par croissance de \"f\", on aurait \"f (f(a)) \leq f(a)\", donc \"f(a) \in E\".\u00a0<\/em>
\n\"f(a)\" serait un \u00e9l\u00e9ment de \"E\" strictement inf\u00e9rieure \u00e0 la borne inf\u00e9rieure de \"E\", ce qui est impossible.<\/em>
\nIl est impossible d’avoir \"f(a) < a\", comme \"f(a) \leq a\", on a prouv\u00e9 que \"\quad \quad \quad \quad \quad f(a) = a\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Donc \"f\" admet un point fixe sur \"[0 \, , \, 1]\".<\/em><\/p>\n<\/div>\n

2. Fonction r\u00e9ciproque<\/h2>\n
\n

Exercice 1<\/b>
\n\"\displaystyle f :\; ] - 1 \, , 1 [ \to \mathbb{R} , x\mapsto \frac {x} {1 - x^2}\"
\nMontrer que \"f\" admet une fonction r\u00e9ciproque que l’on d\u00e9terminera.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" \"f\"\u00a0admet une fonction r\u00e9ciproque d\u00e9finie sur<\/b>\u00a0\"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
\n\"f\" est continue sur \"] - 1 \, , \, 1[\", d\u00e9rivable et\u00a0<\/em>
\n\"f'(x) = \displaystyle \frac {1 - x^2 + 2\, x^2} {(1 - x^2)^2} = \frac {1 + x^2} {(1 - x^2)^2} > 0\"<\/em>
\n\"f\" est strictement croissante, \"\displaystyle \lim _ {x \to - 1} f(x) = - \infty\" et\u00a0\"\displaystyle \lim _ {x \to 1} f(x) = + \infty\"<\/em>
\ndonc \"f\" d\u00e9finit une bijection de \"] - 1 , \, 1[\" sur \"\mathbb{R}\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Fonction r\u00e9ciproque<\/b><\/em>
\nOn r\u00e9sout l’\u00e9quation \"y = \displaystyle \frac {x} {1 - x^2}\" ssi\u00a0<\/em>
\n\"y (1 - x^2) = x\" ssi \"y\, x ^2 + x - y = 0\".<\/em>
\n\"\ast\" Si \"y = 0\", \"x = 0\".<\/em>
\n\"\ast\" Si \"y \neq 0\", l’\u00e9quation du second degr\u00e9 admet deux racines de produit \u00e9gal \u00e0 \"- 1\" donc de signe diff\u00e9rent\u00a0 (\"\Delta = 1 + 4 \, y ^2\" )<\/em>
\n\"\quad \quad \quad x_1 = \displaystyle \frac { - 1 - \sqrt{1 + 4 \, y ^2 } } {2 \, y}\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad\" et \"x_2 =\displaystyle \frac { - 1 + \sqrt{1 + 4 \, y ^2 }} {2\, y}\"\u00a0<\/em>
\nLorsque \"y < 0\", \"- 1 < x < 0\"<\/em>
\n\"x_2 < x_1\" et \"x_2\" et \"x_1\" sont de signe contraire,\u00a0alors \"x_2 < 0 < x_1\" donc la racine \u00e0 retenir est \"x_2\,\".<\/em><\/p>\n

Lorsque \"y > 0\", \"0 < x < 1\"\u00a0<\/em>
\n\"x_2 > x_1\" et \"x_2\" et \"x_1\" sont de signe contraire,\u00a0alors\u00a0 \"x_2 > 0 > x_1\" donc la racine \u00e0 retenir est \"x_2\,\".<\/em><\/p>\n

La fonction r\u00e9ciproque est d\u00e9finie par \"y \mapsto \displaystyle \frac { - 1 + \sqrt{1 + 4 \,y ^2} } {2 \, y}\" si \"y \neq 0\" et \"0 \mapsto 0\" .<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nSoit \"f\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" par \"f(x) = \displaystyle \frac x {1 + \vert x \vert }\"
\nQuestion 1<\/i>
\n\"f\" est-elle d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Il est \u00e9vident que \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}^*\".<\/em>
\nOn \u00e9tudie le taux d’accroissement de \"f\" en \"0\" :<\/em>
\n\"T(x) = \displaystyle \frac {f(x) - f(0)} x = \frac {1 } {1 + \vert x\vert}\"<\/em>
\ncomme \"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {f(x) - f(0)} x = 1\" , \"f\" est d\u00e9rivable en \"0\" et \"f'(0) = 1\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>(fin)
\nQuestion 2<\/i>
\nMontrer que \"f\" d\u00e9finit une bijection et d\u00e9terminer \"f ^{- 1}\" .<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0D\u00e9finition et stricte monotonie de<\/b>\u00a0\"f\".<\/em>
\n\"f\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" et continue, \"f\" est impaire.\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"x \geq 0, \, f(x) = \displaystyle \frac x {1 + x}\".<\/em>
\n\"f\" est d\u00e9rivable sur \"]0 , \, + \infty[\" et \"\quad \forall \, x > 0,\displaystyle \, f '(x) = \frac 1 {(1 + x)^2}\, > \, 0\".<\/em>
\n\"\ast\" Si \"x \leq 0,\, f(x) = \displaystyle \frac x {1 - x}\".<\/em>
\n\"f\" est d\u00e9rivable sur \"]- \infty , \, 0[\" et \"\quad \displaystyle \forall\, x < 0, \, f '(x) = \frac 1 {(1 \, - x)^2}\, > \, 0\".<\/em>
\n\"\ast\" \"f'(0) = 1 > 0\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"f\" est strictement croissante sur \"\mathbb {R}\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"f\" est continue et strictement croissante sur \"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{x \to + \infty } f(x) = 1\",\u00a0\"\displaystyle \lim_{x \to - \infty } f(x) = - 1\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"f\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"] - 1\, , \, 1[\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Fonction r\u00e9ciproque\u00a0<\/b><\/em>
\n\"\ast\" \"f(0) = 0\" donc \"f ^{- 1} (0) = 0\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"y \in\; ]0 , \, 1[, \, \exists \, x > 0, \, f(x) = y\"\u00a0<\/em>
\nOn r\u00e9sout\u00a0 \"\displaystyle \frac x {1 + x} = y\"\u00a0<\/em>
\nssi \"x = y + y \, x\" ssi \"x (1 - \, y) = y\" ssi \"x = \displaystyle \frac y {1 - y}\" \"\displaystyle \Leftrightarrow x = \frac y {1 - \vert y\vert }\"<\/em>
\n\"\ast\" Si \"y \in \;]- 1 , 0[, \, \exists \,x < 0, \, f(x) = y\"\u00a0<\/em>
\nOn r\u00e9sout \"\displaystyle \frac x {1 - x} = y\"\u00a0<\/em>
\nssi \"x = y - y \, x\" ssi \"x (1 + \, y) = y\" ssi \"x = \displaystyle \frac y {1 + y}\" \"\Leftrightarrow \displaystyle x = \frac y {1 - \vert y\vert }\"<\/em><\/p>\n

On a prouv\u00e9 que pour tout r\u00e9el \"y\" , \"x = \displaystyle \frac y {1 - \vert y\vert }\".<\/em>
\ndonc \"f ^{- 1} :\; ]- 1 , \, 1[ \to \mathbb{R} ,\displaystyle y \mapsto \frac y {1 - \vert y\vert }\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3\u00a0<\/b>
\nOn note \"f : x \mapsto x^3 + 3 \, x + 2\".
\nQuestion 1\u00a0<\/i>
\n\"f\" admet une fonction r\u00e9ciproque \"g\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}\", strictement croissante car \"\forall \, x \in \mathbb{R} , \; f'(x) > 0\".\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\",\"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"f\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb {R}\" sur \"\mathbb {R}\".<\/em>
\nElle admet une fonction r\u00e9ciproque \"g\" strictement croissante et d\u00e9finie sur \"\mathbb {R}\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>\u00a0(suite)
\nQuestion 2\u00a0<\/i>
\nMontrer que \"g\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et exprimer \"g'\" en fonction de \"g\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On a vu que \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb {R}\" et que \"\forall \, x \in \mathbb {R} , \, f'(x) > 0\"<\/em>
\nPar th\u00e9or\u00e8me, \"g\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb {R}\" et \"\displaystyle \forall \, y \in \mathbb {R} , \, g'(y) = \frac {1 } {f' (g(y))} = \frac 1 {3 (g^2 (y) + 1)}\".<\/em><\/p>\n

On remarque que \"f(-1) = 0\", donc \"g(0) = - 1\".<\/em>
\n\"\displaystyle g'(0) = \frac 1 {3( 1 + 1) } = \frac 1 6\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>\u00a0(fin)
\nQuestion<\/i>\u00a03
\nMontrer que \"g\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"\mathbb {R}\", exprimer \"g''\" en fonction de \"g\" et donner la valeur de \"g''(0)\".<\/p>\n

Correction<\/em> : On utilise :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \displaystyle \forall \, y \in \mathbb {R} , \, g'(y) = \frac 1 {3 (g^2 (y) + 1)}\".<\/em><\/p>\n

Alors \"g'\" est d\u00e9rivable et\u00a0<\/em>
\n\"\forall\, y \in \mathbb{R} , \, \displaystyle g ''(y) = \frac { - 2 \, g'(y)} {3 (g^2 (y) + 1)^2 }\"<\/em>
\nen rempla\u00e7ant \"g'\" en fonction de \"g\",\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle g ''(y) = \frac { - 2 } {9 (g^2 (y) + 1)^3 }\".<\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle g ''(0) = \frac { - 2 } {9 (g^2 (0) + 1)^3 } = \frac {- 2} {9 . (1 + 1) ^3}\"<\/em>
\n\"\displaystyle g ''(0) = \frac {- 1} {36}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nQuestion 1<\/i>
\nSoit \"a < b\". D\u00e9montrer que\u00a0 la fonction \"f : \, ]a ,\, b[ \to \mathbb{R},\, x \mapsto \displaystyle \frac 1 {a - x} + \frac 1 {b - x}\"
\nest une bijection de \"]a , \,b[\" sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Exercice 4\u00a0<\/b>(fin)
\nQuestion 2<\/i>
\nD\u00e9terminer la fonction r\u00e9ciproque de \"f\".<\/p>\n\t\t

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

3. Fonction born\u00e9e<\/h2>\n

On d\u00e9finit si \"x > 0\", \"f(x) = \displaystyle \frac {x - \lfloor x \rfloor } {x ( x + 1)}\"
\nQuestion 1<\/b>
\n\"f\" est born\u00e9e. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Si \"x \in \; ]0 ,\, +\infty[,\, 0 \leq x - \lfloor x \rfloor < x\" donc \"\displaystyle 0 \leq f(x) \leq \frac {x } {x (x + 1)} \leq \frac 1 {x + 1} \leq 1\"\u00a0<\/em>
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"f\" est born\u00e9e.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nD\u00e9terminer \"M = \displaystyle \sup _ {x > 0} f(x)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant si \"x \in \; ]0 ,\, +\infty[,\" \"\displaystyle f(x) \leq \frac {x } {x (x + 1)} \leq \frac 1 {x + 1} \leq 1\", \"M \leq 1\"\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\" En utilisant si \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle \, f \left ( \frac 1 n \right ) = \frac {1/n} {1/n (1/n + 1)} = \frac n {n + 1}\"<\/em>
\ndonc \"\ \displaystyle \, f \left ( \frac 1 n \right )= \frac n {n + 1} \leq M\",\u00a0\u00e0 la limite<\/a>, \"1 \leq M\".<\/em><\/div>\n
Par double in\u00e9galit\u00e9, \"M = 1\".\u00a0<\/em><\/div>\n

Question 3<\/b>
\nD\u00e9terminer\u00a0\"m= \displaystyle \inf_{x \in [0 , + \infty[} f(x)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" En utilisant si \"x \in \; ]0 ,\, +\infty[,\" \" \displaystyle 0 \leq f(x)\", \"m \geq 0\".<\/em>
\n\"\bullet\" En remarquant que \"f(1) = 0\", \"m \leq 0\".<\/em>
\nPar double in\u00e9galit\u00e9, \"m = 0\".\u00a0<\/em>
\nOn a de plus d\u00e9montr\u00e9 que \"0\" est le minimum de \"f\". Il est obtenu en tous les points \"n \in \mathbb{N}^*\".\u00a0<\/em><\/p>\n

4. \u00c9quation fonctionnelle<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nTrouver toutes les bijections \"f\" de \"[0 , \, 1]\" sur lui-m\u00eame telles que
\n\"\quad \forall \, x \in [0,\, 1], \, f( 2 \, x - f(x) ) = x\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Comme \"f ^{ - 1}\" existe, on obtient \"\forall \, x \in [0 , \, 1],\, 2 \, x - f(x) = f ^{ - 1} (x)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" R\u00e9ciproquement \"f = \textrm{Id} _{[0, \, 1]}\" est solution du probl\u00e8me.\u00a0<\/em>
\nLe probl\u00e8me admet une seule solution \"\textrm{Id} _{[0,\, 1]}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nLe but de l’exercice est d’\u00e9tudier les fonctions \"f : [0 ,\, 1] \to |0 , \, 1]\"\u00a0 telles\u00a0 que
\n\"\forall\, (x , y) \in [0 , \, 1]^2, \, \vert f(x) - f(y)\vert \geq \vert x - y\vert\"
\nQuestion 1<\/i>
\nSi \"f\" est solution du probl\u00e8me propos\u00e9,
\n( \"f(0) = 0\" et \"f(1) = 1\") ou (\"f(0) = 1\" et \"f(1) = 0\"). Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"f\" de \"[0 ,\, 1]\" dans \"(0 ,\, 1]\" telle que \"\forall \, (x, \, y) \in [0, \, 1]^2, \; \vert f(x) - f(y)\vert \geq \vert x - y\vert\".<\/em><\/p>\n

En prenant \"x = 0\" et \"y = 1\",\u00a0<\/em>
\n\"\vert f(1) - f(0) \vert \geq \vert 1 - 0\vert\", donc \"\quad \quad \quad \vert f(1) - f(0) \vert \geq 1\"<\/em>
\net comme \"f(1) - f(0) \in [ - 1 , \, 1]\", \"\quad \quad \quad \vert f(1) - f(0)\vert \leq 1\".<\/em>
\nPar double in\u00e9galit\u00e9 \"\vert f(1) - f(0) \vert = 1\"\u00a0<\/em><\/p>\n

donc \"f(1) - f(0) = 1\" ou \"f(0) - f(1) = 1\"<\/em>
\nce qui donne :<\/em>
\n\"1 \leq f(0) + 1 = f(1) \leq 1\"\u00a0<\/em>
\nou \"1 \leq f(1) + 1 = f(0) \leq 1\"<\/em>
\n\"\Rightarrow\" (\"f(0) = 0\" et \"f(1) = 1\" )\u00a0<\/em>
\nou (\"f(1) = 0\" et \"f(0) = 1\" ).<\/em><\/p>\n

Question 2<\/i>
\nNombre de solutions v\u00e9rifiant de plus\u00a0 \"f(0) = 0\".<\/p>\n

\n

Correction<\/strong> : On suppose \"f(0) = 0\", alors \"f(1) = 1\".<\/em>
\nPour tout \"x \geq 0,\, \vert f(x) - f(0) \vert \geq \vert x - 0 \vert\"<\/em>
\ndonne \"f(x) \geq x\".\u00a0<\/em>
\nPuis \"\vert f(1) - f(x) \vert \geq \vert 1 - x \vert\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"1 - f(x) \geq 1 - x\" \"\Rightarrow x \geq f(x)\"\u00a0<\/em>
\nPar double in\u00e9galit\u00e9, \"f(x) = x\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"f = \textrm{Id} _{[0, 1]}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

Si \"f(0) = 0\", \"f = \textrm{Id} _{[0, \, 1]}\" .\u00a0<\/em>
\nIl est \u00e9vident que \"\textrm{Id} _{[0, \, 1]}\" v\u00e9rifie la condition et \"f(0) = 0\".<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

Question 3<\/b>
\nNombre de solutions du probl\u00e8me propos\u00e9 ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :\u00a0On suppose que \"f (0)= 1\".<\/em>
\nOn note \"g : x \mapsto 1 - f(x)\".<\/em>
\n\"g : [0 ,\, 1] \to [0 , \, 1]\" v\u00e9rifie\u00a0 \"\forall \, (x , y) \in [0 , 1]^2\",<\/em>
\n\"\vert g(x) - g(y)\vert = \vert f(y) - f(x) \vert \geq \vert x - y \vert\"<\/em>
\navec \"g(0) = 0\", donc \"g = \textrm{Id} _{[0, 1]}\" et pour tout \"x \in [0 , 1], \, f(x) = 1 - x\"<\/em><\/p>\n

Le probl\u00e8me a au plus deux solutions : \"\quad \quad \quad x \mapsto x\" et \"x \mapsto 1 - x\".\u00a0<\/em>
\nIl est \u00e9vident que ces deux fonctions sont solutions.\u00a0<\/em>
\nLe probl\u00e8me a exactement deux solutions.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3\u00a0<\/b>
\nSoit \"f\" non nulle de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" telle que \"\forall (x,\,y) \in \mathbb{R}^2, f(x + y) = f(x) + f(y)\" \"\quad \quad \quad\" et \"f(x\, y) = f(x) f(y)\".
\nQuestion 1\u00a0<\/i>
\n\"f(n) = n\" pour tout \"n \in \mathbb{N}\"<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nPour tout rationnel \"r\", \"f(r) = r\".<\/p>\n

Question 3\u00a0<\/em>
\n\"f\" est croissante.<\/p>\n

Question 4\u00a0<\/em>
\nLe nombre de solutions du probl\u00e8me<\/p>\n

5. Avec la partie enti\u00e8re<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"x \in \mathbb{R}\",
\n\"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \left \lfloor \frac {\lfloor n \, x \rfloor } n \right \rfloor = \lfloor x \rfloor\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re m\u00e9thode<\/b><\/em>
\nOn \u00e9crit \"x = p + \alpha\" avec \"p \in \mathbb{Z}\" et \"\alpha \in [0 \, , \, 1[\", donc\u00a0\"n \, x = n \, p + n \, \alpha\"\u00a0 o\u00f9\u00a0\"n\, \alpha \in [0 , n[\".<\/em>
\nOn peut \u00e9crire \"n \, \alpha = k + \beta\" avec \"k \in \mathbb{N}\" et \"0 \leq k < n\" et \"\beta \in [0\, , \, 1[\"<\/em>
\n\"n \, x = n \, p + k + \beta\", donc \"\lfloor n \, x \rfloor= n\, p + k\"<\/em>
\n\"\displaystyle \frac {\lfloor n \, x \rfloor} n = p + \frac k n\" avec \"0 \leq \displaystyle \frac k n < 1\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \left \lfloor \frac {\lfloor n \, x \rfloor } n \right \rfloor = p = \lfloor n \, x \rfloor\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Deuxi\u00e8me m\u00e9thode<\/b>\u00a0<\/em>
\nSoit \"\forall\, x \in \mathbb{R}, \, f(x) = \displaystyle \left \lfloor \frac {\lfloor n \, x \rfloor } n \right \rfloor - \lfloor x \rfloor\".<\/em>
\n\"\ast\" On calcule \"f(x + 1)\" :\u00a0<\/em>
\n\"{\lfloor n \, (x+1) \rfloor } = {\lfloor n \, x \rfloor } +n\" car \"n \in \mathbb{N}\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \frac {\lfloor n \, (x+1) \rfloor } n = \frac {\lfloor n x \rfloor } n + 1\",\u00a0<\/em>
\net \"\lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1\",\u00a0<\/em>
\n\"f(x + 1) = \displaystyle \frac {\lfloor n x \rfloor } n + 1 -\lfloor x \rfloor - 1\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"\forall \, x \in \mathbb {R} ,\, f(x + 1) = f(x)\"<\/em>
\n\"f\" est 1-p\u00e9riodique.<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"x \in [0 , 1[\".<\/em>
\n\"\lfloor x \rfloor = 0\" et \"0 \leq \lfloor n\, x \rfloor < n\" car \"0 \leq n \, x < n\"\u00a0<\/em>
\n\u00a0\"\Rightarrow \displaystyle 0 \leq \frac {\lfloor n x \rfloor } n < 1\"\u00a0\"\Rightarrow \displaystyle \left \lfloor \frac {\lfloor n \, x \rfloor } n \right \rfloor= 0\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"f(x) = 0\" si \"x \in [0 , \, 1[\" et \"f\" est une fonction 1-p\u00e9riodique donc \"f = 0\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\".\u00a0 Pour tout r\u00e9el<\/a> \"x\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} \left \lfloor x + \frac {k} n \right \rfloor =\left \lfloor n \, x \right \rfloor\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"\displaystyle f(x) = \sum _ {k = 0} ^{n - 1} \left \lfloor x + \frac {k} n \right \rfloor - \left \lfloor n \, x \right \rfloor\".<\/em>
\n\"\ast\" P\u00e9riodicit\u00e9 de \"f\" :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle f\left (x + \frac 1 n \right )=\" \"\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} \left \lfloor x + \frac {k + 1} n \right \rfloor - \left \lfloor n \, x + 1 \right \rfloor\"<\/em>
\nen posant \"p = k + 1\",\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle f\left (x + \frac 1 n \right )= \sum _ {p = 1} ^{n} \left \lfloor x + \frac {p} n \right \rfloor - \left \lfloor n \, x \right \rfloor - 1\"<\/em>
\nCompte tenu de la valeur suppl\u00e9mentai- re \"p = n\" et de la valeur \"p = 0\" absente :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle f\left (x + \frac 1 n \right )= \left \lfloor x + \frac {n} n \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor - 1 + f(x)\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle f\left (x + \frac 1 n \right )= f(x)\".\u00a0<\/em>
\n\"f\" est \"\displaystyle \frac 1 n\"– p\u00e9riodique.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Si \"x \in [0 ,\, 1/n[\" , \"n \, x \in [0 , 1[\", donc \"\left \lfloor n \, x \right \rfloor = 0\".<\/em>
\nPour tout \"0 \leq k \leq n - 1\", \"\quad \displaystyle 0 \leq x + \frac k n < \frac 1 n + \frac {n - 1} n \leq 1\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \left \lfloor x + \frac {k} n \right \rfloor = 0\"\u00a0<\/em>
\net \"f(x) =0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Par \"\displaystyle \frac 1 n\"– p\u00e9riodicit\u00e9, \"f\" est nulle sur \"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nR\u00e9soudre si \"x\" est r\u00e9el :\u00a0 \u00a0\"\displaystyle \left \lfloor \frac {x + 1} 3 \right \rfloor + \left \lfloor \frac {x +2} 3 \right \rfloor =\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left \lfloor \frac {x + 1} 2 \right \rfloor + \frac {x - 1} 2\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Transformation de la relation<\/b><\/em>
\nComme \"\displaystyle \frac {x - 1} 2\" est une somme<\/a> et diff\u00e9rence de parties enti\u00e8res, c’est un entier, donc \"x - 1 = 2 \,p\" avec \"p \in \mathbb{Z}\"<\/em>
\nalors \"x + 1 = 2 \, p + 2\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \left \lfloor \frac {x + 1} 2 \right \rfloor + \frac {x - 1} 2 = p + 1 + p = x\"<\/em>
\net l’\u00e9quation s’\u00e9crit \"\quad \quad \displaystyle \left \lfloor \frac {x + 1} 3 \right \rfloor + \left \lfloor \frac {x +2} 3 \right \rfloor = x\"\u00a0<\/em>
\no\u00f9 \"x\" est un entier impair.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Analyse<\/b>\u00a0<\/em>
\nOn d\u00e9finit sur \"\mathbb{Z}\", \"\quad \quad f(x) = \displaystyle \left \lfloor \frac {x + 1} 3 \right \rfloor + \left \lfloor \frac {x +2} 3 \right \rfloor - x\".\u00a0<\/em>
\n\"f(x + 3) = \displaystyle \left \lfloor \frac {x + 1} 3 + 1 \right \rfloor + \left \lfloor \frac {x +2} 3 + 1 \right \rfloor\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - \, x - 3\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad = \displaystyle \left \lfloor \frac {x + 1} 3 \right \rfloor + \left \lfloor \frac {x +2} 3 \right \rfloor + 2 - x - 3\"\u00a0<\/em>
\n\"\forall\, x \in \mathbb{Z},\, f(x + 3) = f(x) - 1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Synth\u00e8se\u00a0<\/b><\/em>
\nOn cherche les entiers impairs \"x\" tels que \"f(x) = 0\"\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" \"f(0) = 0\", \"f(1) = 1 - 1 = 0\" , \"f(2) = 1 + 1 - 2 = 0\".\u00a0\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"k \in \{0 , 1 , 2 \}\", pour tout \"p \in \mathbb{N}\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad f(3 (p + 1) + k) = f(3\,p + k ) - 1\".\u00a0<\/em>
\nLes trois suites \"(f(3\, p + k))_{p \geq 0}\" sont des suites arithm\u00e9tiques de terme initial nul et de raison \"-1\"\u00a0 donc\u00a0 si \"p \in \mathbb{N}\",\u00a0<\/em>
\n\"f(3\, p) = f(1 + 3\, p) = f(2 + 3\, p) = - p\".<\/em>
\n\"\ast\"\u00a0\"\forall\, x \in \mathbb{Z}, \,f(x - 3) = f(x) + 1\"<\/em>
\nsi \"k \in \{0 , 1 , 2 \}\", pour tout \"p \in \mathbb {N}\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad \ f(- 3 (p + 1) + k) = f(- 3\,p + k ) + 1\".<\/em>
\nLes trois suites \"(f(- 3 \, p + k))_{p\geq 0}\" sont des suites arithm\u00e9tiques de terme initial nul et de raison \u00e9gale \u00e0 \"1\", donc \"f(- 3\, p) = f(1 - 3\, p) = f(2 - 3\, p) = p\".<\/em>
\n\"\ast\" \"f(x ) = 0\" ssi \"x = 0, \, 1 , \, 2\" , mais seul l’entier impair \"1\" convient.\u00a0<\/em><\/p>\n

Le probl\u00e8me admet une seule solution\u00a0 : \"x = 1\".\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

6. Calculs de d\u00e9riv\u00e9es de fonctions en maths sup<\/h2>\n

Pour chaque question, on cherchera le domaine de d\u00e9rivabilit\u00e9 et la d\u00e9riv\u00e9e.<\/p>\n

Question 1<\/b>
\n\"f : x \mapsto \displaystyle \frac {4 \, x + 3 } {1 - x}\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"g : x \mapsto \displaystyle \frac {4 \, \textrm{e} ^{ 3 \,x} + 3 } {1 - \textrm{e} ^{ 3 \,x}}\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\n\"h : x \mapsto \displaystyle \frac {4 \, \ln \vert x \vert + 3 } {1 -\ln \vert x \vert}\".<\/p>\n

Question 4\u00a0<\/b>
\n\"x \mapsto \displaystyle \frac {x^3 \, \ln(x) + 2 \, x + 3} {x^2}\".<\/p>\n

Question 5<\/b>
\n\"x\displaystyle \mapsto \frac {x^2} {x^3 + x + 2}\"<\/p>\n

Question 6\u00a0<\/b>
\n\"x \mapsto \displaystyle \frac {x^2 + 1} {(x - 1) ^4}\".<\/p>\n

Question 7<\/b>
\n\"x \mapsto \displaystyle \frac {x^4 + 3 \, x + 1} {x^2 \, (x + 1) ^3}\"<\/p>\n

Question 8<\/b>
\n\"\displaystyle x \mapsto \ln \left ( \frac {x^2 + 1} {x( 2 \, x - 4 )} \right )\".<\/p>\n

Question 9<\/b>
\n\"\displaystyle x \mapsto \sqrt {\frac {1 - x} {1 + x} }\".<\/p>\n

Question 10<\/b>
\nSoit \"h > 0\", \"x \mapsto \sqrt{x + \sqrt {x^2 + h} }\" .<\/p>\n

Question 11<\/b>
\n\"x \mapsto \ln \left ( {x + \sqrt {x^2 - 1} } \right )\".<\/p>\n

Question 12<\/b>
\n\"x \mapsto \displaystyle x \, \exp \left ( \frac {- 1} {x^2} \right )\"<\/p>\n

Question 13<\/b>
\n\"x \mapsto \displaystyle \exp \left ( \frac {2 \, x- 1} {x^2 + 2} \right )\"<\/p>\n

Question 14<\/b>
\n\"x \mapsto \displaystyle \frac {x} {\ln(x) - 1}\".<\/p>\n

Question 15<\/b>
\n\"x \mapsto \cos \left ( 4 \,x \, \sin(\ln(x ) \right )\".<\/p>\n

Question 16<\/b>
\n\"x \mapsto \displaystyle \frac {\sqrt{x^2 + 1} \cos(x) } {\sin^2 (x)}\".<\/p>\n

Faites la diff\u00e9rence en cours de maths, gr\u00e2ce aux m\u00e9thodes et aux conseils de nos cours en ligne de Maths pour les taupins en Maths Sup :<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"x \in \mathbb{R}\", on note \"u_0 = x\" et \"\forall \, n \in \mathbb{N}, u_{n + 1} = f(u_n)\".<\/em>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\",\u00a0 \"2\, u_n - f(u_n) = f ^{- 1} (u_n)\" soit \"2 \, u _n - u_{n + 1} = u_{n - 1}\" soit :<\/em>
\n\"\forall\, n \in \mathbb{N } ^*, \, u_{n + 1} - u_{n } = u_n - u_{n - 1}\"<\/em>
\nSi \"v_n = u_n - u_{n - 1}\" , \"v _{n + 1 } = v_n\,\", donc \"(v_n)_n\" est constante \u00e9gale \u00e0 \"v_1\,\".<\/em>
\n\"(u_n)_n\" est une suite arithm\u00e9tique de raison<\/a> \"v_1\,\".\u00a0<\/em>
\nSi \"v_1 \neq 0\" , \"u_n = u_1 + n\, v_1\" v\u00e9rifie \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \vert u_n \vert = + \infty\" ce qui contredit le fait que \"(u_n)_n\" est une suite de \"[0 , \, 1]\" donc une suite born\u00e9e.\u00a0<\/em>
\nAlors \"v_1 = 0\" et \"(u_n)_n\" est une suite<\/a> constante, donc \"u_1 = f(x) = u_0\" soit \"f(x) = x\".\u00a0<\/em>
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"f = \textrm{Id} _{[0,\, 1]}\"\u00a0<\/em><\/p>\n