{"id":37535,"date":"2019-10-31T12:10:45","date_gmt":"2019-10-31T11:10:45","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37535"},"modified":"2023-09-15T18:20:44","modified_gmt":"2023-09-15T17:20:44","slug":"cours-en-ligne-primitives-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-primitives-maths-sup\/","title":{"rendered":"Primitives en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Cours : Primitives en MPSI, PCSI, MP2I et PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Primitives en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

Important : le seul but de ce chapitre est de savoir d\u00e9terminer une primitive d’une fonction continue<\/a> et d’introduire les th\u00e9or\u00e8mes d’int\u00e9gration par parties et de changement de variable.
\nLa th\u00e9orie de l’int\u00e9gration<\/a> sera \u00e9tudi\u00e9e au second semestre.<\/p>\n

1. Primitives
\n2. Utilisation des int\u00e9grales
\n3. Th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration par parties
\n4. Th\u00e9or\u00e8me de\u00a0changement de variable
\n5. Les primitives \u00e0 conna\u00eetre
\n6. Les primitives \u00e0 savoir calculer<\/p>\n

1. Cours sur les primitives en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I<\/h3>\n

On note \"\mathbb{K} = \mathbb{C}\" ou \"\mathbb{R}\" et \"I\" un intervalle contenant au moins deux points de \"\mathbb {R}\".<\/p>\n

D\u00e9finition<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0\u00a0<\/b>Si \"f\" est une fonction d\u00e9finie sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\", toute fonction \"F\" d\u00e9rivable sur \"I\" et telle que \"F' = f\" est appel\u00e9e UNE\u00a0primitive\u00a0<\/i>de \"f\" sur \"I\".
\n
\nPropri\u00e9t\u00e9s\u00a0\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0<\/b>\u00a0Si \"f\" d\u00e9finie sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\" admet une primitive \"F\", \"G\" est une primitive de \"f\" sur \"I\" ssi il existe \"\lambda \in \mathbb{K}\" tel que \"G = F + \lambda\".
\n\"\bullet\" Si \"f\" d\u00e9finie sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\" admet une primitive \"F\" et si \"a \in I\" et \"y_0 \in \mathbb{K}\", il existe une et une seule primitive \"F\" de \"f\" sur \"I\" telle que \"F(a) = y_0\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions<\/a> admettant respectivement \"F\" et \"G\" pour primitive sur \"I\",
\n\"\; \; \ast\" \"F + G\" est une primitive de \"f + g\" sur \"I\".
\n\"\; \; \ast\" Si \"\lambda \in \mathbb{K}\", \"\lambda \, F\" est une primitive de \"\lambda\, f\" sur \"I\".
\n\"\; \; \ast\" Soit \"f = g + \textrm{i}\, h\", o\u00f9 \"g\" et \"h\" sont d\u00e9finies sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\".
\n\"F\" est une primitive de \"f\" sur \"I\" ssi \"\mathcal{R}e(F)\" (resp \"\mathcal{I}m (F)\") est une primitive de \"g\" (resp. \"h\") sur \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" admet une primitive \"F\" sur l’intervalle \"I\", si la fonction \"u : J \to \mathbb{R}\" est d\u00e9rivable sur \"J\" et \u00e0 valeurs dans \"I\", \"F \circ u\" est une primitive de \"u' \, f \circ u\".<\/p>\n

\"cours<\/p>\n

\n

2. Utilisation des int\u00e9grales<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{C}\", on note \"f = g + \textrm{i} \, h\" o\u00f9 \"g\" et \"h\" sont continues \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {R}\"
\nsi \"a , b\" sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"I\",
\n\"\int_a^b f(t) \, \textrm{d} \, t = \int_a^b g(t) \, \textrm{d} \, t + \textrm{i} \int_a^b h(t) \, \textrm{d} \, t\".\u00a0<\/span><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{C}\", lorsque \"a \in I\", la fonction \"F : x \mapsto \int_a ^x f(t) \, \textrm{d} \, t\" est d\u00e9rivable sur \"I\" de d\u00e9riv\u00e9e<\/a> \u00e9gale \u00e0 \"f\".
\nC’est donc la primitive de \"f\" sur \"I\" s’annulant en \"a\" .
\nDans ce cas, \"F\" est de classe \"C ^1\" sur \"I\" (d\u00e9rivable \u00e0 d\u00e9riv\u00e9e continue).<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{C}\", pour toute primitive \"F\" de \"f\" sur \"I\", si \"(a ,\, x) \in I^2\",
\n\"\int_a ^x f(t) \, \textrm{d} \, t = F(x) - F(a) = \left [ F(t) \right] _ a ^x\"<\/p>\n

Cons\u00e9quence<\/b>\u00a0: si l’on ne sait pas exprimer une primitive de la fonction continue \"f\" sur l’intervalle \"I\", si l’on choisit \"a \in I\", la fonction \"f\" d\u00e9finie par \"\quad \quad F : x \mapsto \int_a ^x f(t) \, \textrm{d} \, t\"
\nest une primitive de \"f\" sur \"I\".
\nCe sera le cas en particulier lorsque \"f : t \mapsto \textrm {e}^ { - \alpha \, t ^2}\" o\u00f9 \"\alpha \in \mathbb{R}^*\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

3. Th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration par parties<\/h3>\n

\"\bullet\"\u00a0\u00c9nonc\u00e9\u00a0<\/b>
\nSi les fonctions \"u\" et \"v\" sont de classe \"C ^1\" sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\" et si \"a\" et \"b\" sont deux \u00e9l\u00e9ments distincts de \"I\",
\n\"\int_a ^b u'(t)\, v(t) \, \textrm{d} \, t =\" \"\quad \quad \quad \left [ u(t) \, v(t) \right] _a ^b - \int_a ^b u(t)\ v'(t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9daction<\/b>\u00a0: Pour \u00eatre rigoureux il faut \u00e9crire (si n\u00e9cessaire apr\u00e8s recherche au brouillon) :
\nSoient \"u : t \mapsto \, ??? \,\" et \"v : t \mapsto \, ???\,\" deux fonctions de classe \"C ^1\" sur \"I\".
\nVous pouvez ensuite introduire les deux \u00e9critures suivantes qui vous permettent de m\u00e9moriser la d\u00e9marche
\n\"\left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&...\\v(t) &=&... \end{matrix} \right.\" et \"\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&...\\v'(t) &=&... \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

⚠️ Il faut faire attention \u00e0 ne pas \u00e9crire \u00ab\u00a0je pose \"u'(t) = ...\" donc \"u(t) = ...\"\u00ab\u00a0.
\nVous devez d\u00e9finir \"u\" avant de d\u00e9finir \"u'\".<\/p>\n

⚠️ N’oubliez pas d’\u00e9crire que \"u\" et \"v\" sont de classe \"C ^1\" sur \"I\" (\u00e0 condition bien s\u00fbr qu’elles le soient !)<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Comment choisir<\/b>\u00a0\"u\" et \"v\" ?
\n\"\ast\" Pour \"f(t) = P(t) \ln (Q(t))\" o\u00f9 \"P\" est une fonction polyn\u00f4me<\/a> (\u00e9ventuelle- ment \u00e9gale \u00e0 1), \u00a0\"u\" est une primitive de \"P\" et \"v : t \mapsto \ln( Q(t))\".
\nAttention \u00e0 l’intervalle, la fonction \"t \mapsto \ln (t)\" n’est pas de classe \"C^1\" sur \"[0 , + \infty[\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour \"f(t) = P(t)\, \textrm{Arctan} (Q(t))\" o\u00f9 \"P\" est une fonction polyn\u00f4me (\u00e9ventuel- lement \u00e9gale \u00e0 1), \u00a0\"u\" est une primitive de \"P\" et \"v : t \mapsto \textrm{Arctan} ( Q(t))\".<\/p>\n

👍 Une int\u00e9gration par parties a pour but de simplifier l’int\u00e9grale \u00e0 calculer et non de la compliquer !
\nEn g\u00e9n\u00e9ral, on choisit pour \"v\" la partie de l’expression dont on voudrait se d\u00e9barrasser sous r\u00e9serve de ne pas compliquer le r\u00e9sultat final !<\/p>\n

👍 Soit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\", pour d\u00e9terminer une primitive de \"f\" par une int\u00e9gration par parties, on introduit \"a \in I\" (que l’on peut choisir simple) et on calcule pour \"x \in I\", \"\quad \quad \quad F(x) = \int_a^x f(t) \, \textrm{d} \, t\".
\nAyant obtenu \u00e0 la fin \"\quad \quad \quad F(x) = G(x) + \varphi(a)\"
\nla fonction \"G\" est une primitive de \"f\" sur \"I\".<\/p>\n

exemple 1<\/b> : fonction log<\/a>
\nPrimitives de \"x \mapsto \ln(x)\" sur \"\mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"F(x) = \int_{1} ^x \ln(t) \, \textrm{d} \, t\".
\nLes fonctions \"u : t \mapsto t\" et \"v : t \mapsto \ln(t)\" sont de classe \"C ^1\" sur \"\mathbb{R}^{+*}\".
\n\"\left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1\\v(t) &=&\ln(t) \end{matrix} \right.\" et \"\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t\\v'(t) &=&1/t \end{matrix} \right.\"
\n\"F(x) = \left [ t \ln(t) \right ] _1 ^x - \int_{1} ^x t / t \, \textrm{d} \, t\"
\n\"F(x) = \left [ t \ln(t) - t \right ] _1 ^x = x \, \ln(x) - x + 1\"
\nL’ensemble des primitives de \"\ln\" sur \"\mathbb{R}^{+*}\" est l’ensemble<\/a> des fonctions \"\quad \quad x \mapsto x \, \ln(x) - x + C\".<\/p>\n

exemple 2<\/b>\u00a0:
\nSi \"P\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\" \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\" et \"a \in \mathbb{K}^*\", \"x \mapsto P(x) \, \textrm{e} ^{a \, x}\" admet une primitive de la forme \"x \mapsto Q(x) \, \textrm{e} ^{a \, x}\" o\u00f9 \"Q\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On fixe \"a \in \mathbb{K}^*\".<\/em>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", soit \"H_n\" : Si \"P\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\" \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\", \"x \mapsto P(x) \, \textrm{e} ^{a \, x}\" admet une primitive de la forme \"x \mapsto Q(x) \, \textrm{e} ^{a \, x}\" o\u00f9 \"Q\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"H_0\" est vraie car \"x \mapsto \displaystyle \frac {\lambda} a \, \textrm{e} ^{a \, x}\" est une primitive de \"x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{a \, x}\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"H_n\" est vraie.\u00a0<\/em>
\nSoit \"P\" une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n + 1\" \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\".<\/em>
\nOn note \"F(x) = \int_0 ^x P(t) \, \textrm{e} ^{a \, t}\, \textrm{d} \, t\"<\/em>
\nLes fonctions \"u : t \mapsto \displaystyle \frac 1 a \textrm{e} ^{a \, t}\" et \"v = P\" sont de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
\n\"\left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&\textrm{e} ^{a \, t}&\\v(t) &=&P(t) \end{matrix} \right.\",\u00a0\"\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&\textrm{e} ^{a \, t}/ a \\v'(t) &=&P\,'(t) \end{matrix} \right.\"<\/em>
\nPar int\u00e9gration par parties :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \left [ \frac {P(t)} a \textrm{e} ^{a \, t} \right ] _0^x - \frac 1 a \int_0 ^x P\,'(t) \,\textrm{e} ^{a \, t} \textrm{d} \, t\"<\/em><\/p>\n

Comme \"P\,'\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\", par \"H_n\,\",\u00a0 il existe \"Q\" fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\" telle que \"t \mapsto Q(t) \, \textrm{e} ^{a \, t}\" est une primitive de \"t \mapsto P\,'(t) \, \textrm{e} ^{a \, t}\"<\/em>
\nalors \"F(x) = \displaystyle \left [ \frac 1 a \left ( P(t) - Q(t) \right ) \textrm{e} ^{a \, t} \right ] _ 0 ^x\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Donc \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 a \left ( P(x) - Q(x) \right ) \textrm{e} ^{a \, x}\" est une primitive de \"f\" et \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 a \left ( P(x) - Q(x) \right )\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n + 1\" (diff\u00e9rence d’une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n + 1\" et d’une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\").\u00a0<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence<\/a>.\u00a0<\/em><\/p>\n

👍\u00a0 il sera plus simple d’\u00e9crire \"F(x) = Q(x) \, \textrm{e} ^{a \, x}\" avec \"P\" et \"Q\" de m\u00eame degr\u00e9, de calculer \"F'\" et d’\u00e9crire \"F' = f\" pour d\u00e9terminer \"F\".\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

4. Th\u00e9or\u00e8me de changement de variable<\/h3>\n

\"\bullet\"\u00a0Enonc\u00e9<\/b>\u00a0: Si \"\varphi\" est une fonction r\u00e9elle de classe \"C ^1\" sur l’intervalle \"I\" et si \"f\" est continue sur \"\varphi(I)\", pour tous \"a\" et \"b\" de \"I\",
\n\"\quad \int_{\varphi(a)} ^{\varphi(b)} f(t) \, \textrm{d} t = \int_ a ^b f (\varphi(u)) \, \varphi'(u) \, \textrm{d} \, u\"<\/p>\n

\"\bullet\" Une premi\u00e8re fa\u00e7on d’appliquer le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable est de reconna\u00eetre dans l’int\u00e9grale \u00e0 calculer une expression de la forme\u00a0\u00a0\"\int_ a ^b f (\varphi(u)) \, \varphi'(u) \, \textrm{d} \, u\" .
\nOn obtient alors une int\u00e9grale \u00e9gale \u00e0\u00a0\"\int_{\varphi(a)} ^{\varphi(b)} f(t) \, \textrm{d} t\".<\/p>\n

M\u00e9thode pratique<\/b>
\nSoit \u00e0 calculer \"\int_A ^B f(t) \, \textrm{d} \, t\".
\n\"t\" \u00e9tant l’ancienne variable, chercher \u00e0 \u00e9crire \"t = \varphi (u)\" o\u00f9 \"\varphi\" est de classe \"C^1\" sur un intervalle \"J\" \u00e0 valeurs dans \"I\".
\n\"\ast\" v\u00e9rifier que l’on peut \u00e9crire \"A = \varphi(a)\" et \"B = \varphi(b)\" (ce sera le cas si \"\varphi\" est une bijection de \"J\" sur \"I\").
\n\"\ast\" remplacer \"t\" par \"\varphi(u)\" dans l’expression \"f(t)\"
\n\"\ast\" remplacer \"\textrm{d} \, t\" par \"\varphi'(u) \, \textrm{d} \, u\".<\/p>\n

⚠️ lorsque l’\u00e9nonc\u00e9 donne le changement de variable sous la forme \"u = \Psi(t)\", il faut v\u00e9rifier que la fonction \"\Psi\" est bijective ce qui permet de se ramener \u00e0 une \u00e9criture de la forme \"t = \varphi(u)\" et d’utiliser la m\u00e9thode indiqu\u00e9e ci-dessus sous r\u00e9serve que \"\varphi\" soit de classe \"C^1\".<\/p>\n

⚠️ Lorsque l’on \u00e9crit \"t = \varphi(u)\", cela suppose que \"u\" est d\u00e9fini de fa\u00e7on unique.
\n\"\ast\" si l’on pose \"t = u ^2\", il faut ajouter \"u \geq 0\", ou dire que l’on utilise \"\Psi : t \mapsto \sqrt{t}\".
\n\"\ast\" si l’on pose \"t = \sin(u)\", on impose \"\vert u \vert \leq \pi /2\", ou dire que l’on utilise \"\Psi : t \mapsto \textrm{Arcsin} (t)\".
\n\"\ast\" si l’on pose \"t = \cos(u)\", on impose \"u \in [0 , \, \, \pi]\", ou dire que l’on utilise \"\Psi : t \mapsto \textrm{Arccos} (t)\".
\n\"\ast\" si l’on pose \"t = \tan(u)\", on impose \"- \pi/2 < u < \pi/2\", ou dire que l’on utilise \"\Psi : t \mapsto \textrm{Arctan}(t)\".
\n\"\ast\" si l’on pose \"t = \tan(u/2)\", on impose \"- \pi < u < \pi\", ou dire que l’on utilise \"\Psi : t \mapsto 2 \, \textrm{Arctan}(t)\".<\/p>\n

\"\bullet\" En pratique, on doit vous donner le changement de variable (il est possible qu’on ne le fasse pas lorsqu’il est de la forme \"\varphi : u\mapsto \alpha\, u + \beta\").
\nMais vous penserez peut-\u00eatre tout seul aux changements de variables<\/a> suivants ?
\n\"\ast\" \"\int_{a} ^{b} f(t^2 ) \, \textrm{d} t\", on pose \"\varphi (u) = \sqrt{u}\"
\nce qui donne \"t^2 = u\"
\n\"\ast\" \"\int_{a} ^{b} f(\textrm{e} ^{ t } ) \, \textrm{d} t\", on pose \"\varphi (u) = \ln(u)\"
\nce qui donne \"\textrm{e} ^t = u\"
\n\"\ast\" \"\int_{a} ^{b} f\left (\sqrt{\alpha \, t + \beta } , t \right ) \, \textrm{d} t\"
\npour avoir \"u = \sqrt{\alpha \, t + \beta }\", on pose \"\varphi : u \mapsto \displaystyle \frac {u ^2 - \beta } {\alpha}\".<\/p>\n

👍\u00a0Soit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\", pour d\u00e9terminer une primitive de \"f\" par changement de variable, on introduit \"a \in I\" (que l’on peut choisir simple) et on calcule pour \"x \in I\", \"\quad \quad \quad F(x) = \int_a^x f(t) \, \textrm{d} \, t\".
\nLorsque le calcul se fait par changement de variable de la forme \"t = \varphi(u)\", on impose que \"\varphi\" d\u00e9finisse une bijection pour pouvoir \u00e9crire :
\n\"\displaystyle F(x) = \int_{\varphi(\varphi ^{- 1}(a))} ^{\varphi(\varphi ^{- 1}(x))} f(t) \, \textrm{d} \,t\" \"F(x) \displaystyle = \int_ {\varphi ^{- 1}(a)} ^{\varphi ^{- 1}(x)} f (\varphi(u)) \, \varphi'(u) \, \textrm{d} \, u\" .
\nAyant obtenu \u00e0 la fin \"\quad \quad \quad F(x) = G(x) + \varphi(a)\",
\nla fonction \"G\" est une primitive de \"f\" sur \"I\".<\/p>\n

👍 On peut aussi effectuer le changement de variable en raisonnant\u00a0 ainsi ce qui rend la r\u00e9solution plus simple :
\n\"\ast\" on remplace \"t\" par \"\varphi(u)\"
\n\"\ast\" on remplace \"\textrm{d} \, t\" par \"\varphi'(u) \, \textrm{d} \, u\"
\n\"\ast\" on change les bornes en se posant les questions suivantes :
\n… Quelle est la valeur de \"u\" lorsque \"t = a\" (c’est \"u = \varphi^{- 1} (a)\") ?
\n… Quelle est la valeur de \"u\" lorsque \"t = x\" (c’est \"\varphi ^{ - 1} (x)\") ?<\/p>\n

exemple 1<\/b>
\nTrouver une primitive de \"\quad \quad \quad t \mapsto \displaystyle \frac 1 {2 + \sqrt{t + 1}}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" \"D : t \mapsto 2 + \sqrt{t + 1}\" est d\u00e9finie sur \"[- 1 \,, \, + \infty[\" est strictement croissante et v\u00e9rifie \"D(- 1) = 2\" donc \"D(t) > 0\".\u00a0<\/em>
\nLa fonction \"f\" est continue sur \"[ - 1\,, \, \infty[\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On note si \"x \geq - 1\" ,\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad F(x) = \displaystyle \int_0 ^x \frac 1 { 2 + \sqrt{t + 1}} \, \textrm{d} \, t\".<\/em>
\nLa fonction \"\psi : t \mapsto \sqrt{t + 1}\" est de classe \"C ^1\" sur \"]- 1 \, , \, +\infty[\", sa fonction r\u00e9ciproque est \"\varphi : u \mapsto u ^2 - 1\" de classe \"C^1\" sur \"[-1, \, +\infty[\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On pose \"\varphi : u \mapsto u ^2 - 1\", on obtient \"t = u ^2 - 1 \Leftrightarrow u = \sqrt{ t +1}\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" On remplace \"\textrm{d} \, t\" par \"\varphi'(u) \, \textrm{d} \, u\" soit par \"\displaystyle 2 \, u \, \textrm{d}\,u\"<\/em>
\n\"\ast\" Changement des bornes.\u00a0<\/em>
\nSi \"t = 0\", \"u = 1\"<\/em>
\nsi \"t = x\", \"u = \sqrt{x + 1}\".<\/em><\/p>\n

Le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable donne : \"F(x) = \displaystyle \int_{0} ^{\sqrt{x + 1}} \frac 1 {2 + u } \, \, ( 2 \, u ) \, \textrm{d} u\"\u00a0<\/em>
\nPuis en utilisant \"\quad \quad \displaystyle \frac {2 \, u} {2 + u } = \frac {2 \, u + 4 } {2 + u }- \frac {4} {2 + u }\"<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \left [\, 2 \, u - 4\, \ln \vert 2 + u \vert \,\right ] _0 ^{\sqrt{x +1}}\"<\/em><\/p>\n

👍 Une primitive de \"f\" est \"x \displaystyle \mapsto 2 \sqrt{x +1} - 4 \ln \left ( 2 + \sqrt{x + 1} \right ) + C\".<\/em><\/p>\n

exemple 2\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {\sin(x)}\" sur \"]0,\,\pi [\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\displaystyle f(x) = \frac 1 {\sin(x)} = \frac {\sin(x)} {\sin^2(x)} = \frac {\sin(x)} {1 - \cos^2(x)}\"<\/em>
\nOn cherche une primitive sur \"]0 , \, \pi[\".<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \int_{\pi/2} ^x \ \frac {\sin(u)} {1 - \cos^2(u)} \, \textrm{d} \, u\".<\/em><\/p>\n

On remarque que si l’on pose \"\varphi : u \mapsto \cos(u)\",\u00a0on a \u00e9crit \"F(x) = \displaystyle \int_{\pi/2} ^x \frac {- 1} {1 - \varphi^2 (u) } \varphi '(u) \, \textrm{d} \, u\".\u00a0<\/em>
\nle th\u00e9or\u00e8me de changement de variable donne\u00a0<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \int_{\varphi(\pi/2)} ^{\varphi(x)} \frac {- 1} {1 - t^2 } \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\n\"= \displaystyle \int_{0} ^{\cos(x)} \left ( \frac {- 1} {2 (1 - t) } + \frac {- 1} {2 (1 + t) } \right ) \, \textrm{d} \, t\"<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \left [ \frac 1 2 \ln \left ( \frac {1 - t } {1 + t}\right ) \right]_{0} ^{\cos(x)}\"<\/em><\/p>\n

Une primitive est donc \"\quad \quad x \displaystyle \mapsto \frac 1 2 \ln \frac {1 - \cos(x) } {1 + \cos(x)}\"<\/em>
\nque l’on peut aussi \u00e9crire \"x \mapsto \displaystyle \ln \left \vert \tan \frac x 2 \right \vert\"<\/em><\/p>\n

On en d\u00e9duit qu’une primitive de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {\cos(x)}\" sur \"]-\pi/2 \, , \, \pi/2 [\" est\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad x \mapsto \displaystyle \ln \left \vert \tan \left ( \frac x 2 + \frac {\pi} 4 \right ) \right \vert\".<\/em>
\nOn a utilis\u00e9 \"\displaystyle \cos(x) = \sin \left ( x + \frac {\pi} 2 \right )\".\u00a0<\/em><\/p>\n

exemple 3<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \frac {1} {1 + \sqrt{1 - x^2}}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On se place sur \"] - 1 ,\, 1 [\".\u00a0<\/em>
\nSoit si \"x \in\; ] - 1 ,\, 1 [\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad F(x) = \displaystyle \int_0^x \frac 1 {1 + \sqrt{1 - t^2}} \textrm{d} \, t\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On introduit \"\varphi : u \mapsto \sin(u)\" d\u00e9finie sur \"] - \pi/2 , \pi/2[\"\u00a0<\/em>
\nalors \"t = \varphi(u) = \sin (u)\"<\/em>
\n\"\sqrt{1 - t ^2} = \sqrt{1 - \sin^2(u)} = \vert \cos (u) \vert\" \"\sqrt{1 - t ^2} = \cos(u)\" car \"\vert u \vert < \pi/2\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"t = 0, \, u = 0\"<\/em>
\n\"\ast\" si \"t = x\", \"u = \textrm{Arcsin}(x)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"F(x) = \displaystyle \int_0^x \frac 1 {1 + \sqrt{1 - t^2}} \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \int_{0} ^{\textrm{Arcsin}(x)}\frac 1 {1 + \cos (u)} \cos{(u)} \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle g(u) = \frac {\cos(u) } {1 + \cos(u)} = 1 - \frac 1 {1 + \cos (u)}\"<\/em>
\n\"\displaystyle g(u) = 1 - \frac 1 {2 \, \cos^2(u/2)}\"<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \left [ u - \tan \left ( \frac u 2 \right ) \right ] _ 0^{\textrm{Arcsin}(x)}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Primitives \"x \displaystyle \mapsto \textrm{Arcsin}(x) - \tan \left ( \frac {\textrm{Arcsin}(x)} 2 \right ) + C\"\u00a0<\/em><\/p>\n

On peut simplifier cette relation.\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \tan \frac t 2 = \frac {\sin(t/2)} {\cos(t/2)} = \frac {2 \, \sin(t/2) \, \cos(t /2) } {2 \, \cos^2(t/2)}\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \tan \frac t 2 = \frac {\sin(t)} {1 + \cos(t)}\"<\/em>
\nDans le cas o\u00f9 \"t = \textrm{Arcsin}(x)\", \"\sin(t) = x\" et \"\cos(t) = \sqrt{1 - x^2}\",<\/em>
\ndonc les primitives s’\u00e9crivent\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad x \displaystyle \mapsto \textrm{Arcsin}(x) - \frac {x} {\sqrt{1 - x^2}} + C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

5. Les primitives \u00e0 conna\u00eetre<\/h3>\n

\"\bullet\" sur \"\mathbb{R}\" :
\n\"\; \; \ast\" \"x \mapsto \textrm{Arctan}(x)\" est une primitive de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1{1 + x^2}\"
\n\"\; \;\ast\" \"\displaystyle x \mapsto \frac 1 {n + 1} x ^{n + 1}\" est une primitive de \"x \mapsto x ^n\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}\"
\n\"\; \; \ast\" \"x \mapsto \textrm{e} ^x\" est une primitive de \"x \mapsto \textrm{e} ^x\"
\n\"\; \; \ast\" soit \"(a , b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\",
\n\"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {a +\textrm{i} \, b} \textrm{e} ^{(a + \textrm{i}\, b) x }\" est une primitive de \"x \mapsto \displaystyle \textrm{e} ^{(a + \textrm{i}\, b)x }\"
\n\"\; \; \ast\" \"x \mapsto \cos(x)\" est une primitive de \"x \mapsto \sin(x)\"
\n\"\; \; \ast\" \"x \mapsto -\sin(x)\" est une primitive de \"x \mapsto \cos(x)\"
\n\"\; \; \ast\" \"x \mapsto \textrm{ch}(x)\" est une primitive de \"x \mapsto \textrm{sh}(x)\"
\n\"\; \; \ast\" \"x \mapsto \textrm{sh}(x)\" est une primitive de \"x \mapsto \textrm{ch}(x)\"
\n\"\; \; \ast\" \"x \mapsto \textrm{th}(x)\" est une primitive de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {\textrm{ch}^2(x)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" sur \"\mathbb{R}^{+*}\" ou sur \"\mathbb{R}^{- *}\" :
\n\"\; \; \ast\" si \"n \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\" et \"n \neq - 1\",
\n\"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {n + 1} x ^{n + 1}\" est une primitive de \"x \mapsto x ^n\"
\n\"\; \; \ast\" \"x \mapsto \ln \vert x \vert\" est une primitive de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 x\".<\/p>\n

\"\bullet\" sur \"\mathbb{R}^{+*}\" :
\n\"\; \; \ast\" si \"\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\", \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {\alpha + 1} x ^{\alpha + 1}\" est une primitive de \"x \mapsto x ^{\alpha}\".
\n\"\; \; \ast\" \"x \mapsto x \, \ln(x) - x\" est une primitive de \"x \mapsto \ln(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" sur \"] - 1 \, , \, 1[\",\u00a0\"x \mapsto \textrm{Arcsin}(x)\" est une primitive de \"\displaystyle x \mapsto \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}\" .<\/p>\n

\"\bullet\" sur tout intervalle de la forme \"]- \pi/2 + k \, \pi , \pi/2 + k \, \pi[\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{Z}\" :
\n\"x \mapsto \tan(x)\" est une primitive de \"x \mapsto 1 + \tan^2(x)= \displaystyle \frac 1 {\cos^2(x)}\".<\/p>\n

6. Les primitives \u00e0 savoir calculer<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"(a , b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\", pour trouver une primitive de \"g : x \mapsto \cos(b \, x) \, \textrm{e} ^{a \, x}\" ou de \"h : x \mapsto \sin(b \, x) \, \textrm{e} ^{a \, x}\", on introduit
\n\"f : x \mapsto \textrm{e} ^{(a + \textrm{i} \, b)x }\" dont une primitive est : \"\quad \quad \quad F : x \mapsto \displaystyle \frac 1 {a +\textrm{i} \, b} \textrm{e} ^{(a + \textrm{i}\, b) x }\".
\nUne primitive \"G\" de \"g\" (resp. \"H\" de \"h\") est \"G = \mathcal{R}e(F)\" (resp \"H = \mathcal{I}m(F)\").
\nLes calculs donnent
\n\"G : x \mapsto \displaystyle \frac {a\, cos(b\,x) + b \, \sin(b\, x)} {a^2 + b^2} \, \textrm{e} ^{a\, x}\"
\n\"H : x \mapsto \displaystyle \frac {a\, \sin(b\,x) - b \, \cos(b\, x)} {a^2 + b^2} \, \textrm{e} ^{a\, x}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Pour trouver une primitive de \"\quad \quad x \displaystyle \mapsto \frac 1 {a \, x ^2 + b \, x + c}\"
\no\u00f9 \"(a , b , c) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R} ^2\" , on note \"P(x) = a \, x ^2 + b \, x + c\" et on distingue les cas :
\n\"\ast\" \"P\" a une racine double \"r\", on \u00e9crit \"P(x) = a(x - r) ^2\".
\nUne primitive de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {a(x - r) ^2}\" est \"x \displaystyle \mapsto \frac {- 1} {a ( x- r)}\" sur tout intervalle ne contenant pas \"r\".<\/p>\n

\"\ast\" \"P\" a deux racines r\u00e9elles distinctes \"r _1 < r_2\" , on \u00e9crit \"\quad \quad P(x) = a(x - r_1)(x - r_ 2)\"
\nOn cherche \"\lambda\" et \"\mu\" dans \"\mathbb{K}\"\u00a0 tels que \"\quad \quad \displaystyle \frac 1 {P(x)} = \frac {\lambda } { x - r _ 1} + \frac {\mu} {x - r _ 2}\"
\net \"\displaystyle \frac 1 P\"\u00a0 admet pour primitive \"x \mapsto \displaystyle \lambda \ln \vert x - r _ 1 \vert + \mu \ln \vert x - r_2 \vert\" sur tout intervalle ne contenant ni \"r_1\" ni \"r_2\,\".<\/p>\n

\"\ast\" \"P\" n’a pas de racine r\u00e9elle.
\nOn \u00e9crit \"P(x) = \displaystyle a \left ( \left (x + \frac {b} {2 a} \right ) ^2 + \frac {4\, a \, c - b ^2} {4 \, a ^2} \right)\"
\nsoit une expression de la forme \"P(x) = a\left ( (x + p)^2 + q^2 \right )\" \"P(x) = \displaystyle a \, q^2 \left ( \left ( \frac {x + p} q \right )^2 + 1 \right )\"
\net \"\displaystyle x \mapsto \frac 1 {a \, q} \textrm{Arctan} \left (\frac {x + p} q \right )\" est une primitive de \"\displaystyle \frac 1 P\".<\/p>\n

B\u00e9n\u00e9ficiez de nombreux cours en ligne gratuits et de cours de maths \u00e0 domicile<\/a> au programme de Maths Sup, pour prendre de l’avance et am\u00e9liorer vos r\u00e9sultats en pr\u00e9pa :<\/p>\n