{"id":37538,"date":"2019-10-31T12:10:48","date_gmt":"2019-10-31T11:10:48","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37538"},"modified":"2023-09-14T07:59:51","modified_gmt":"2023-09-14T06:59:51","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-primitives-et-integrales-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-primitives-et-integrales-maths-sup\/","title":{"rendered":"Primitives et Int\u00e9grales en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices corrig\u00e9s sur les primitives et int\u00e9grales en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices : IPP, Int\u00e9grale de Wallis<\/span><\/h2>\n
\n

1. Avec seulement un peu de r\u00e9flexion
\n2. Par int\u00e9gration<\/a> par parties
\n3. Par changement de variable.
\n4. En utilisant les deux th\u00e9or\u00e8mes
\n5. Fonctions paires<\/a>, impaires, p\u00e9riodiques
\n6. Calcul d’int\u00e9grales sur un segment
\n7. Int\u00e9grales de Wallis (Premi\u00e8re partie)
\n8. Une famille d’int\u00e9grales d\u00e9pendant de 2 param\u00e8tres<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

1. Avec un peu de r\u00e9flexion des primitives simples<\/h2>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"f : x \mapsto \textrm{ch}(x) \, \cos(\textrm{sh}(x))\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

En notant \"u(x) = \textrm{sh}(x)\", on remarque que \"f(x) = u'(x) \cos( u(x))\" qui est la d\u00e9riv\u00e9e<\/a> de \"x \mapsto \sin(u(x))\".<\/em>
\nDonc les primitives de \"f\" sur \"\mathbb{R}\" sont les fonctions \"x \mapsto \sin(\textrm{sh}(x)) + C\" o\u00f9 \"C \in \mathbb{R}\".<\/em><\/div>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", primitives de \"\displaystyle f : x \mapsto \frac {\ln^n (x)} {x}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

On se place sur \"\mathbb{R}^ {+*}\".<\/em>
\nOn remarque que \"f(x) = u'(x) \, u ^n(x)\" avec \"u(x) = \ln(x)\".\u00a0<\/em>
\nPrimitives : \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {n + 1} \ln^{n + 1} (x) + C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"\displaystyle f : x \mapsto \frac {1} {x \ln (x)}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : On se place sur \"]0 , \, 1[\" ou sur \"]1\, , \, + \infty[\".\u00a0<\/em>
\nOn remarque que \"f(x) =\displaystyle \frac {u'(x)} {u (x)}\" avec \"u(x) = \ln(x)\".\u00a0<\/em>
\nPrimitives : \"x \mapsto \displaystyle \ln \vert \ln(x)\vert + C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 4<\/b>
\nSoit \"\alpha \in \mathbb{R}\". Primitives de \"\quad \quad \quad \displaystyle f : x \mapsto \frac {\ln^{\alpha} (x) } {x}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On se place sur \"]1 , + \infty[\" pour avoir\u00a0 \"\ln(x) >0\".<\/em>
\n\"f = u' \, u ^{\alpha}\" avec \"u : x \mapsto \ln(x)\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Si \"\alpha \neq - 1\",\u00a0<\/em>
\nprimitives : \"x \mapsto \displaystyle \frac {\ln^{\alpha + 1} (x) } {\alpha + 1} + C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Si \"\alpha = - 1\",\u00a0<\/em>
\nprimitives : \"x \mapsto \displaystyle \ln (\ln(x)) + C\".<\/em><\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSi \"a > 0\", primitives de \"\displaystyle x \mapsto \frac 1 {\sqrt{a^2 - x^2} }\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : On se place sur \"]- a,\, a[\" et on \u00e9crit \"f(x) = \displaystyle \frac 1 a \, \frac 1 {\sqrt{1 - (x/a)^2}}\"<\/em>
\nPrimitives : \"x \displaystyle \mapsto \textrm{Arcsin} \left ( \frac x a \right ) + C\".<\/em><\/p>\n

Question 6<\/b>
\nSi \"a > 0\" et \"a \neq 1\", primitives de \"x \mapsto a ^x\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"a ^x = \textrm{e} ^{x \ln (a)}\"<\/em>
\nPrimitives : \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {\ln a} \, a ^x + C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 7\u00a0<\/b>
\nPrimitives de
\n\"x \mapsto \cos^2(x)\" et \"x \mapsto \sin^2(x)\".<\/p>\n

Question 8<\/b>
\nPrimitives de
\n\"x \mapsto \cos^3(x)\" et \"x \mapsto\sin^3(x)\".<\/p>\n

Question 9<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \tan(x)\".<\/p>\n

Question 10\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {1 + \cos(x)}\".<\/p>\n

Question 11<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \frac {1 - \cos(x)} {1 + \cos(x)}\".<\/p>\n

Question 12\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \tan^3(x)\".<\/p>\n

Question 13\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"f : x \mapsto \cos(3 \, x) \, \textrm{e} ^{2\, x}\".<\/p>\n

Question 14\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto x \, \textrm{e} ^{ - a \, x^2}\" o\u00f9 \"a \neq 0\".<\/p>\n

Question 15\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e}^{- x} } {1 + \textrm{e} ^{- 2 \, x} }\"<\/p>\n

Question 17<\/b>
\nSoit \"a > 0\".\u00a0Primitives de \"\displaystyle x \mapsto \frac 1 {a ^2 - x^2}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On se place sur \"]- \infty,\, a[\" ou \"]- a ,\, a[\" ou \"]a , +\infty[\".<\/em>
\nOn cherche \"\alpha\" et \"\beta\" r\u00e9els tels que si \"x \neq \pm a\",\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle f(x) = \frac 1 {a ^2 - x^2} = \frac {\alpha } {x - a} + \frac {\beta }{x + a}\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle f(x) = \frac {\alpha(x + a) + \beta (x - a)} {x^2 - a^2}\"<\/em>
\nOn obtient les CNS\u00a0<\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} \alpha + \beta = 0 \\ a \, (\alpha - \beta ) = 1 \end{matrix} \right.\"\u00a0\"\Leftrightarrow\" \"\displaystyle \alpha = \frac 1 {2 \, a} = - \beta\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle \frac 1 {2 \, a} \left (\frac {1} {x - a} - \frac 1 {x + a}\right)\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Les primitives sont les fonctions :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \displaystyle x \mapsto \frac 1 {2 \, a}\, \ln \left \vert \frac {x - a} {x + a} \right \vert + C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 18\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"x \displaystyle \mapsto \frac 1 {x ^2 + x + 1}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Le d\u00e9nominateur n’a pas de racine r\u00e9elle, on l’\u00e9crit comme somme<\/a> de deux carr\u00e9s.\u00a0<\/em>
\n\"D(x) = x ^2 + x + 1 = \displaystyle \left ( x + \frac 1 2 \right ) ^2 + \frac 3 4\"<\/em><\/p>\n

Puis \"D(x) = \displaystyle \frac 3 4 \left ( \left ( \frac {2 \, x + 1} {\sqrt{3}} \right ) ^2 + 1 \right )\".<\/em><\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle \frac 4 3 \, \frac 1 {1 + u^2(x)}\" avec \"u(x) = \displaystyle \frac {2 \, x + 1} {\sqrt{3}}\".\u00a0<\/em>
\nUne primitive \"F\" est d\u00e9finie par\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad F(x) = \displaystyle \frac 4 3 \frac {\sqrt{3} } 2 \textrm{Arctan}(u(x))\".<\/em>
\nLs primitives s’\u00e9crivent :<\/em>
\n\"\quad x \mapsto \displaystyle \frac 2 {\sqrt{3} } \, \textrm{Arctan}\left ( \frac {2 \, x + 1} {\sqrt{3}} \right ) + C\".<\/em><\/p>\n

Question 19<\/b>
\nPrimitives de \"\displaystyle x \mapsto \frac 1 {x^2 + 2 \, x + 4}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}\".<\/em><\/p>\n

Le d\u00e9nominateur n’a pas de racine r\u00e9elle. On l’\u00e9crit comme somme de deux carr\u00e9s.\u00a0<\/em>
\n\"D(x) = x^2 + 2 \, x + 4 = (x + 1)^2 + 2\" \"D(x) = \displaystyle 2 \left ( \frac {(x + 1)^2} 2 + 1 \right)\"<\/em>
\n\"D(x) = \displaystyle 2 \left ( \left ( \frac {x + 1} {\sqrt{2}} \right ) ^2 + 1 \right)\"<\/em><\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle \frac 1 2 \, \frac 1 {1 + u^2(x)}\" avec \"u(x) = \displaystyle \frac {x + 1} {\sqrt{2}}\"<\/em><\/p>\n

\"x \displaystyle \mapsto \frac 1 {\sqrt{2} }\, \textrm{Arctan} \left (\frac {x + 1} {\sqrt{2}} \right )\" est une primitive de \"f\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 20\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \textrm{e} ^x \left ( \frac 1 x + \ln(x) \right )\"<\/p>\n

Correction<\/strong>: On remarque que \"f(x) = (u(x) + u'(x)) \, \textrm{e} ^x\" avec \"u(x) = \ln(x)\".\u00a0<\/em>
\nLes primitives sont les fonctions d\u00e9finies sur \"\mathbb{R}^{+*}\" par \"x \mapsto \ln(x) \, \textrm{e} ^x + C\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 21<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \sqrt { \frac {1 - x} {1 + x}}\"<\/p>\n

Question 22<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \textrm{ch}^ 3 (x)\"<\/p>\n<\/div>\n

2. Par int\u00e9gration par parties<\/h2>\n
\n

Question 1<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \textrm{Arcsin}(x)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On se place sur \"]- 1 , \, 1[\".\u00a0<\/em>
\nSoit si \"x \in \; ]- 1,\, 1[\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad F(x) = \int_0 ^x \textrm{Arcsin}(t)\, \textrm{d} t\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\u00a0\"u : t \mapsto t\" et \"v : t \mapsto \textrm{Arcsin}(t)\" sont des fonctions\u00a0 classe \"C ^1\" sur \"]- 1 , \, 1[\" .<\/em>
\n\"\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1\\v(t) &=&\textrm{Arcsin}(t) \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad\" et \"\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t\\v'(t) &=&1/\sqrt{1 - t ^2} \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nPar int\u00e9gration par parties,\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \left [ t \, \textrm{Arcsin}(t) \right] _0 ^x - \int_0 ^x \frac {t} {\sqrt{1 - t ^2}} \textrm{d} t\"<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \left [ t \, \textrm{Arcsin}(t) + {\sqrt{1 - t ^2}} \right] _0 ^x\"<\/em><\/p>\n

\"G : x \mapsto x \, \textrm{Arcsin}(x) + \sqrt{1 - x ^2}\" est une primitive de \"f\" sur \"]- 1 , \, 1[\".<\/em><\/p>\n

Remarque : On peut prolonger \"G\" par continuit\u00e9<\/a> en \"\pm 1\" par \"G(1) = \pi/2\" et \"G(-1) = - \pi/2\".<\/em><\/p>\n

\"G\" est continue sur \"[ - 1 \, ,1]\", \"G ' = f\" admet une limite \u00e9gale \u00e0 \"f(1) = \pi/2\" en 1 (resp. \"f(-1) = \pi/2\" en \"- 1\")<\/em>
\nAlors \"G\" est d\u00e9rivable en \"\pm 1\" et \"\quad \quad G'(1) = f(1)\" , \"G'(_1) = f(-1)\".<\/em>
\nDonc \"G\" est une primitive de \"f\" sur \"[ - 1 \, ,1]\".\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \frac {x} {\cos^2(x)}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On se place sur \"I_k = ] - \pi/2 + k \,\pi ,\, \pi/2 + k \, \pi[\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{Z}\".<\/em>
\nSoit \"x \in I_k\" et \"\displaystyle F(x) = \int_{k \, \pi} ^x \frac {t} {\cos^2(t)}\, \textrm{d} t\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Les fonctions \"u : t \mapsto \tan(t)\" et \"v : t \mapsto t\" sont de classe \"C ^1\" sur \"I_k\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1/{\cos^2(t)}\\v(t) &=&t \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad\" et \"\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&\tan(t)\\v'(t) &=&1\end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nPar int\u00e9gration par parties,\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \left [ t \, \tan t \right] _{k \, \pi} ^x - \int_{k\, \pi} ^x \frac {\sin(t) } {\cos(t)} , \textrm{d} t\".<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \left [ t \, \tan t + \ln \vert \cos t \vert \right] _{k \, \pi} ^x\"<\/em><\/p>\n

\"x \mapsto x\, \tan x + \ln \vert \cos x \vert\" est une primitive de \"f\" sur \"I_k\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto x^2 \, \textrm{e} ^{2\, x}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Plut\u00f4t que de faire deux int\u00e9grations par parties, il vaut mieux chercher une primitive sous la forme\u00a0 \"F : x \mapsto (a \, x^2 + b \, x + c ) \, \textrm{e} ^{2\, x}\".<\/em>
\n\"F'(x) = 2 \, (a \, x^2 + b \, x + c) \, \textrm{e} ^{2\, x}\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, (2\, a \, x + b) \, \textrm{e} ^{2\, x}\"<\/em>
\n\"\; = \left ( 2 \, a x^2 + (2 \, a + 2\, b) x + (2 \, c + b) \right ) \, \textrm{e} ^{2\, x}\"<\/em><\/p>\n

\"\forall \, x \in \mathbb{R},\, F'(x) = x^2 \, \textrm{e} ^{2\, x}\" ssi\u00a0<\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} 2\, a &=& 1 \\2(b + a) &=&0 \\ 2\, c + b &=& 0\end{matrix} \right.\"<\/em>
\nssi \"\displaystyle a = \frac 1 2 \, , \, b = \frac {-1} 2 \, , \, c = \frac 1 4\".<\/em><\/p>\n

\"x \mapsto \displaystyle \frac 1 4 \left ( 2 \, x ^2 - 2 \, x + 1 \right) \, \textrm{e} ^{2\, x}\" est une primitive de \"f\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 4<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Utilisation de l’indication\u00a0<\/em>
\nSi \"g(x) = \displaystyle \ln \left ( x + \sqrt{x ^2 + 1} \right )\", \"g\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" car \"-x \leq \vert x \vert < \sqrt{x ^2 + 1}\" donc \"x + \sqrt{x^2 + 1} > 0\".\u00a0<\/em>
\n\"g'(x) = \displaystyle \left ( 1 + \frac {x} {\sqrt{x^2+ 1}} \right ) \frac {1} { x + \sqrt{x ^2 + 1}}\"\u00a0<\/em>
\n\"g'(x) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{x^2+ 1}}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On cherche une primitive sur \"\mathbb{R}\"<\/em>
\nSoit si \"x \in \mathbb{R}\", \"F(x) = \int _0 ^x \sqrt{t ^2 + 1} \, \textrm{d} t\" .<\/em><\/p>\n

\"u : t \mapsto t\" et \"v : t \mapsto \sqrt{t ^2 + 1}\" sont des fonctions de classe \"C ^1\" sur \"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1\\v(t) &=&\sqrt{t ^2 + 1}\end{matrix} \right.\"<\/em>
\n\"\quad\" et \"\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t \\v'(t) &=&t /\sqrt{t ^2 + 1} \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nPar int\u00e9gration par parties,\u00a0<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \left [ t \sqrt{t ^2 + 1} \right] _ 0 ^x - \int_0 ^x \frac {t ^2} {\sqrt{t ^2 + 1}} \, \textrm{d} \, t\"<\/em><\/p>\n

On \u00e9crit \"\displaystyle \frac {t ^2} {\sqrt{t ^2 + 1}}= \frac {t ^2 + 1 } {\sqrt{t ^2 + 1}}- \frac {1} {\sqrt{t ^2 + 1}}\"<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = x \sqrt{x ^2 + 1} - \int_0 ^x \sqrt{t ^2 + 1} \, \textrm{d} \, t\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \int_0 ^x \frac 1 {\sqrt{t ^2 + 1}} \, \textrm{d} \, t\"<\/em>
\nOn utilise l’indication\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = x \sqrt{x ^2 + 1} - F(x)\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \left [ \ln \left ( t + \sqrt{t ^2 + 1} \right ) \right] _ 0 ^x\"<\/em>
\n\"\displaystyle 2 \, F(x) = x \sqrt{x ^2 + 1} + \ln \left ( x + \sqrt{x ^2 + 1} \right )\"<\/em><\/p>\n

Une primitive est\u00a0<\/em>
\n\"x \mapsto \displaystyle \frac 1 2 \left ( x \sqrt{x ^2 + 1} + \ln \left ( x + \sqrt{x ^2 + 1} \right )\right )\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 5<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto x \textrm{ Arctan}^2(x)\".<\/p>\n

3. Changement de variable<\/h2>\n

Les changements de variables<\/a> sont donn\u00e9s dans l’indication. Vous pouvez ainsi essayer de le deviner avant de consulter l’indication.<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {1 + \textrm{ch}(x)}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On d\u00e9finit si \"x \in \mathbb{R}\",<\/em>
\n\"\quad \quad \quad F(x) = \displaystyle \int_0 ^x \frac 1 {1 + \textrm{ch}(t)} \, \textrm{d} \, t\".<\/em>
\n\"\displaystyle\frac 1 {1 + \textrm{ch}(t)}= \frac 2 {\textrm{e}^t + \textrm{e}^{-t} + 2}\".\u00a0\u00a0<\/em>
\nApr\u00e8s multiplication du num\u00e9rateur et d\u00e9nominateur par \"\textrm{e}^t\" :<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \int_0 ^x \, 2 \, \frac {\textrm{e}^t} {\textrm{e}^{2\, t} + 2 \, \textrm{e}^t +1 } \, \textrm{d} \, t\".<\/em>
\n\u00a0\"\quad \quad \quad F(x) = \displaystyle2 \, \int_0 ^x \frac {\textrm{e}^t} {\left ( \textrm{e}^{ t} +1 \right) ^2} \, \textrm{d} \, t\".\u00a0<\/em><\/p>\n

En notant \"\varphi : t \mapsto \textrm{e}^t\", on a \u00e9crit\u00a0<\/em>
\n\"F(x) = 2\, \displaystyle \int_0 ^x \frac {\varphi'(t) } {(\varphi(t) + 1) ^2 } \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \left [ \frac { - 2} {\varphi(t) + 1} \right ] _ 0 ^x = \left [ \frac { - 2} {\textrm{e} ^t + 1} \right ] _ 0 ^x\"<\/em><\/p>\n

\"x \mapsto \displaystyle \frac { - 2} {\textrm{e} ^x + 1}\" est une primitive de \"f\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \frac {\sin(x)} {3 + \sin^2(x)}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

On cherche une primitive sur \"\mathbb{R}\" et on \u00e9crit \"\displaystyle \frac {\sin(x)} {3 + \sin^2(x)} = \frac {\sin(x)} {4 - \cos^2(x)}\".<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

Soit \"x\" un r\u00e9el.<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \int_0 ^x \frac {\sin(u)} {4 - \cos^2(u)} \, \textrm{d}\, u\"<\/em>
\ns’\u00e9crit si l’on note \"\varphi : u \mapsto \cos(u)\"<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \int_{0} ^x \frac { - \varphi'(u) } {4 - \varphi^2(u)} \, \textrm{d} \, u\"<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \int_{\varphi(0) } ^{\varphi(x)} \frac { 1} {t^2 - 4 } \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\nOn cherche deux r\u00e9els \"a\" et \"b\" tels que\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \displaystyle \frac { 1} {t^2 - 4 }= \frac { a} {t - 2 } + \frac { b} {t +2 }\"\u00a0<\/em>
\nce qui donne les deux \u00e9quations\u00a0<\/a><\/em>
\n\"\quad \quad a + b = 0\" et \"2 (b - a) = 1\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad \Leftrightarrow\"\u00a0 \"a = -1/2\" et \"b = 1/2\".\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \frac 1 4 \int_{1 } ^{\cos x} \left ( \frac { 1} {t - 2 } - \frac 1 {t+ 2 } \right ) \, \textrm{d} \, t\"<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \left [\frac 1 4 \ln \left ( \frac {\vert t - 2 \vert } {2 + t} \right ) \right ] _ 1 ^{\cos x }\"<\/em>
\nOn remarque que \"2 - \cos(x) > 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"x \displaystyle \mapsto \frac 1 4 \ln \left ( \frac {2 - \cos x } {2 + \cos x } \right )\" est une primitive de \"f\" .\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Question 3<\/b>
\nPrimitives de \"\displaystyle x \mapsto \frac {\textrm{th } x } {1 + \textrm{ch } x }\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On cherche une primitive sur \"\mathbb{R}\"<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \int_0 ^x \frac {\textrm{sh } u} { \textrm{ch } t( 1 + \textrm{ch } u) } \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\nOn note \"\varphi : u \mapsto \textrm{ch } u\", on remarque que\u00a0<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \int_{0} ^x \frac { \varphi'(u) } { \varphi(t) ( 1 + \varphi(u))} \, \textrm{d} \, u\".<\/em>
\ndonc \"F(x) = \displaystyle \int_{\varphi(0) } ^{\varphi(x)} \frac { 1 } { t ( 1 + t)} \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em><\/p>\n

En \u00e9crivant \"1 = (1 + t) - t\", on peut \u00e9crire puis <\/em>simplifier les fractions<\/a>\u00a0 :<\/em>
\n\"\displaystyle \frac 1 {t(t + 1)} = \frac {1 + t}{t(1 + t)} - \frac t {t(1 + t)}\"\u00a0<\/em>
\net obtenir :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \int_{1 } ^{\textrm{ch }(x)} \left ( \frac { 1 } { t} - \frac 1 { 1 + t}\right ) \, \textrm{d} \, t\"<\/em>
\n\"F(x) = \displaystyle \left [ \ln \frac t {1 + t} \right ] _1 ^{\textrm{ch } x}\" .<\/em><\/p>\n

\"x \mapsto \displaystyle \ln \frac {\textrm{ch } x} {1 + \textrm{ch } x}\" est une primitive de \"f\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 4<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x ( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x}) }\".<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \sqrt{\textrm{e} ^x - 1}\".<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {t + 3 + 2 \sqrt{t - 1}}\".<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

\n

4. Et avec les deux th\u00e9or\u00e8mes<\/h2>\n

Question 1<\/b>
\nPrimitives de \"x \mapsto \ln \left ( 1 + \sqrt{x} \right )\" .<\/p>\n

Correction<\/strong> : On se place sur \"I = \mathbb{R}^{+ *}\".<\/em>
\nSi \"x \in I\", \"F(x) = \int _0 ^x \ln \left ( 1 + \sqrt{t} \right )\, \textrm{d} t\"<\/em><\/p>\n

\u00a0\"u : t \mapsto t\" et \"v : t \mapsto \ln \left ( 1 + \sqrt{t} \right )\" sont des fonctions de classe \"C ^1\" sur \"I\".\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1\\v(t) &=&\ln \left ( 1 + \sqrt{t} \right ) \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad\" et \"\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t\\v'(t)&=& 1 / (2\sqrt{t}\, (1 + \sqrt{t})) \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nPar int\u00e9gration par parties,\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \left [ t \, \ln \left ( 1 + \sqrt{t} \right)\right] _{0} ^x\" \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle - \int_0 ^x \frac {\sqrt{t} } {2\, (1 + \sqrt{t}) } \, \textrm{d} t\"<\/em><\/p>\n

On utilise maintenant un changement de variable pour calculer \"\quad \quad \displaystyle G(x) = \int_0 ^x \frac {\sqrt{t} } {2\, (1 + \sqrt{t}) } \textrm{d} t\"<\/em>
\nLa fonction \"\varphi : u \mapsto u ^2\" est de classe \"C^1\" sur \"I\" (\"u = \sqrt{t}\")\u00a0<\/em>
\nSi \"t = 0\", \"u = 0\" et si \"t = x\", \"u = \sqrt{x}\".\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle G(x) = \int_0 ^{\sqrt{x}} \frac u {2(1 + u)} \, {2\, u} \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac {u ^2} {1 + u} = \frac {u ^2 - 1} {1 + u}+ \frac {1} {1 + u}\" \"\displaystyle \frac {u^2 } {u ^2 + 1} = u - 1 + \frac 1 {1 + u}\"\u00a0<\/em>
\n\"G(x) = \displaystyle \left [ \frac {u ^2} 2 - u + \ln(1 + u) \right] _0 ^{\sqrt{x}}\"<\/em><\/p>\n

Une primitive de \"f\" sur \"I\" est\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle x \mapsto (x - 1) \, \ln \left ( 1 + \sqrt{x} \right ) - \frac {x} 2 + \sqrt{x}+ C\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nPrimitives de \"\displaystyle x \mapsto \frac {\ln \left ( \sqrt{x} - 1 \right )} {x \, \sqrt{x} }\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On se place sur \"I = \; ]1 , \, + \infty[\".<\/em>
\nSi \"x \in I\", \"F(x) =\displaystyle \int _4 ^x \frac {\ln \left ( \sqrt{t} - 1 \right )} {t \, \sqrt{t}} \, \textrm{d} t\"<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" La fonction \"\varphi : u \mapsto u ^2\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^+\" (et \"t = u ^2\").<\/em>
\nSi \"t = 4\", \"u = 2\" et si \"t = x\", \"u = \sqrt{x}\".<\/em>
\nPar changement de variable\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle F(x) = \int_2^{\sqrt{x}} \frac {\ln \left ( u - 1 \right )} {u ^3} \, 2 \, u \, \textrm{d} u\" \"\displaystyle F(x) = 2 \int_2^{\sqrt{x}} \frac {\ln \left ( u - 1 \right )} {u^2 } \textrm{d} u\"<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"w : u \mapsto \displaystyle \frac 1 {u ^2}\" et \"v : u \mapsto \ln(u - 1)\" sont des fonctions de classe \"C ^1\" sur \"I\".\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} w'(u)&=&- 1/u\\v(u) &=&\ln ( u - 1 ) \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad\" et \"\left \{\ \begin{matrix} w(u)&=&1/u^2 \\v'(u)&=& 1 / ( u - 1) \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nPar int\u00e9gration par parties,\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle F(x)= \left [ \frac { - 2 \ln(u - 1)} {u} \right] _ 2^{\sqrt{x}}\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \int _2 ^{\sqrt{x}} \frac {2}{u\, (u - 1)} \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\nEn utilisant \"\displaystyle \frac {2}{u\, (u - 1)} = \frac 2 {u - 1} - \frac 2 u\", \"F(x)\" est \u00e9gal \u00e0 :\u00a0\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \left [ \frac { - 2 \ln(u - 1)} {u} + 2 \ln(u - 1) - 2 \ln(u ) \right] _ 2^{\sqrt{x}}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle x \mapsto \frac {- 2 \ln(\sqrt{x} - 1)} {\sqrt{x}} + 2 \ln \left ( \frac {\sqrt{x} - 1} {\sqrt{x} } \right )\"<\/em>
\nest une primitive de \"f\"\u00a0<\/em>
\nsoit aussi\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle x \mapsto 2 \, \left ( 1 - \frac { 1} {\sqrt{x}} \right ) \, \ln(\sqrt{x} - 1) - \ln(x)\"\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

5. Fonctions paires, impaires, p\u00e9riodiques<\/h2>\n

Question 1<\/b>
\nToute primitive d’une fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\"\u00a0 et p\u00e9riodique de p\u00e9riode \"T > 0\" est p\u00e9riodique de p\u00e9riode \"T\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"f : t \mapsto 1\" est p\u00e9riodique de p\u00e9riode \"T\" et \"F : t \mapsto t\" est une primitive de \"F\" qui n’est pas p\u00e9riodique.<\/em><\/p>\n

Question 2.<\/b><\/p>\n

Si \"f\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" et \"T\"-p\u00e9riodique, si \"F\" est une primitive de \"f\" telle que \"F(T) = F(0)\", \"F\" est \"T\"-p\u00e9riodique<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"\quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \, G(x) = F(x + T) - F(x)\".\u00a0<\/em>
\n\"G\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et \"\forall\, x \in \mathbb{R},\, G'(x) = F'(x + T) - F'(x)\" \"G'(x) = f(x + T) - f(x) = 0\".\u00a0<\/em>
\nDonc \"G\" est constante et comme \"G(0) = F(T) - F(0) = 0\", \"G\" est nulle, ce qui donne : \"F\" est \"T\"– p\u00e9riodique.\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b>
\nToute primitive d’une fonction continue sur \"\mathbb{R}\" et paire est impaire. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : La fonction \"x \mapsto 1\" est paire, \"x \mapsto x + 1\" est une primitive de \"f\" qui n’est pas impaire.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 4<\/b>
\nLa primitive nulle en 0 d’une fonction continue paire sur \"\mathbb{R}\" est impaire. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

Soit \"f\" une fonction continue sur \"\mathbb{R}\" et \"F\" la primitive de \"f\" v\u00e9rifiant \"F(0) = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On note pour \"\forall\, x\in \mathbb{R}\", \"\quad \quad \quad G(x) = F( - x) + F(x)\".<\/em>
\n\"G\" est d\u00e9rivable et pour tout r\u00e9el<\/a> \"x\",\u00a0<\/em>
\n\"G('x) = - F'(-x) + F'(x )\" \"G'(x) = - f(-x) + f(x) = - f(x) + f(x)\" \"\forall\, x \in \mathbb{R},\, G'(x) = 0\".\u00a0<\/em>
\n\"G\" est une fonction constante sur \"\mathbb{R}\" avec \"G(0) = 0\", donc \"G = 0\" ce qui prouve que \"F\" est impaire.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 5<\/b>
\nToute primitive d’une fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" et impaire est paire.<\/p>\n

Exercice 1<\/b>
\nSi \"f\" est continue sur \"[ - a,\, a]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\"
\n\"\ast\" si \"f\" est paire, \"\quad \quad \int_{ - a} ^a f(t) \, \textrm{d} \, t = 2 \int_{0} ^a f(t) \, \textrm{d} \, t\"
\n\"\ast\" si \"f\" est impaire, \"\int_{ - a} ^a f(t) \, \textrm{d} \, t = 0\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSi \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\" et p\u00e9riodique de p\u00e9riode \"T\".
\nPour tout \"a ,b \in \mathbb{R}\",
\n\"\quad \ast\" \"\int _ {a + T } ^{b + T} f(t) \, \textrm{d} \, t = \int _ {a } ^{b } f(u) \, \textrm{d} \, u\"
\n\"\quad \ast\" \"\int _ {a } ^{a + T} f(t) \, \textrm{d} \, t = \int _ {b } ^{b + T} f(t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

6. Calcul d’int\u00e9grales<\/h2>\n

Pour chaque question, on cherchera le domaine de d\u00e9rivabilit\u00e9 et la d\u00e9riv\u00e9e.<\/p>\n

Exercice 1<\/b>
\nCalculer \"\displaystyle \int_{1} ^{\textrm{e} } \ln ^2(x) \, \textrm{d} t\" .<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"u : t \mapsto t\" et \"v : t \mapsto \ln^2(t)\" sont des fonctions de classe \"C ^1\" sur \"[1 , e]\".\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1\\v(t) &=&\ln ^2 (t)\end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad\" et \"\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t \\v'(t) &=&2 \ln(t) / t \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nPar int\u00e9gration par parties,<\/em>
\n\"I = \int_{1} ^{\textrm{e} } \ln ^2(t) \, \textrm{d} t\"\u00a0<\/em>
\n\"I = \left [ t \ln^2 (t) \right] _1^{\textrm{e} } - \int_1^{\textrm{e} } 2 \, t \ln(t) \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\net en utilisant une primitive classique :\u00a0<\/em>
\n\"I = \left [ t \ln^2 (t) - 2 \, t \, \ln(t) + 2\, t \right] _1^{\textrm{e} }\"<\/em>
\n\"I = \textrm{e} - 2 \, \textrm{e} + 2 \, \textrm{e} - 2\"\u00a0<\/em>
\n\"I = \textrm{e} - 2\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nCalculer \"\displaystyle \int _ {0} ^{\pi/2} \frac {\cos t } {\cos t + \sin t } \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\displaystyle I = \int _ {0} ^{\pi/2} \frac {\cos t } {\cos t + \sin t } \, \textrm{d} \, t \; \; (1)\"<\/em>
\nLa fonction \"\varphi : u \mapsto \pi/2 - u\" est une fonction de classe \"C ^1\" sur \"[0 , \, \pi/2]\".<\/em>
\n\"I = \int_{\varphi(\pi/2)} ^{\varphi(0)} f(t) \, \textrm{d} \, t\"<\/em>
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable, \"I = \int_{\pi/2} ^{0} f ( \varphi (u)) \, \varphi'(u) \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\n\"I\" est \u00e9gal \u00e0\u00a0\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \int _ {\pi/2}^{0} \frac {\cos (\pi/2 - u) } {\cos (\pi/2 - u) + \sin (\pi/2 - u) } \, (- 1) \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle I = \int _ {0} ^{\pi/2} \frac {\sin u } {\sin u + \cos u } \, \textrm{d} \, u\" (2)\u00a0<\/em><\/p>\n

En additionnant (1) et (2) :<\/em>
\n\"2 \, I = \displaystyle \int _ {0} ^{\pi/2} \frac {\cos t + \sin t } {\cos t + \sin t } \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"I = \displaystyle \int _ {0} ^{\pi/2} 1\, \textrm{d} \, t = \frac {\pi} 2\"\u00a0<\/em>
\nalors \"I = \displaystyle \frac {\pi} 4\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3\u00a0<\/b>
\nCalculer \"\displaystyle \int_0^{\pi} \cos(p \, t) \, \cos(n \, t)\, \textrm{d} \, t\" o\u00f9 \"n\" et \"p\" sont entiers.<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"I(n , p) = \int_0^{\pi} \cos(p \, t) \, \cos(n \, t)\, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\navec un peu de trigonom\u00e9trie en maths sup<\/a> :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \cos(p \, t) \, \cos(n \, t)\" \"\displaystyle \quad \quad = \frac 1 2 \left ( \cos((n + p)t) + \cos((n - p) t) \right )\"<\/em>
\nPuis si \"k \in \mathbb{Z}^*,\" \" \, J_ k = \int _{0 } ^{\pi} \cos(k \, t) \, \textrm{d} \, t =\displaystyle \left [ \frac 1 k \sin(k \, t) \right] _ 0 ^{\pi} =0\"<\/em>
\net \"\int _{0 } ^{\pi} \cos(0. \, t) \, \textrm{d} \, t = \left [\; t \; \right] _ 0 ^{\pi} =\pi\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"n = p = 0\", \"I(0 , \, 0) = J_0 = \pi\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"n = p > 0\",\u00a0\u00a0<\/em>
\n\"I (n , \, n) = \displaystyle \frac 1 2 \left (J_{2 n} + J_0 \right ) = \frac {\pi} 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"n \neq p\", \"n + p > 0\" et \"n - p \neq 0\" donc \"I(n , \, p) = 0\".<\/em><\/p>\n

Exercice 4\u00a0<\/b>
\nCalculer \"\displaystyle \int _{- 1} ^{1} \textrm{e} ^{\textrm{Arccos }t } \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\varphi : u \mapsto \cos(u)\" est de classe \"C ^1\" sur \"[0 , \, \pi]\" \u00e0 valeurs dans \"[-1 , \, 1]\".\u00a0<\/em>
\n\"I = \int_{\varphi(\pi)} ^{\varphi(0)} f(t) \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable, \"I = \int_{\pi} ^0 f ( \varphi(u) ) \,\varphi'(u) \, \textrm{d} \, u\".\u00a0<\/em>
\n\"I = \displaystyle \int _{\pi} ^0 \textrm{e} ^u \, (- \sin (u) ) \, \textrm{d} \, u\" \"I= \int _0 ^{\pi} \textrm{e} ^u \, \sin (u) \, \textrm{d} \, u\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"F : \displaystyle u \mapsto \frac 1 {1 + \, \textrm{i} } \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i} )\, u }\" est une primitive de \"f : u \mapsto \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i})\, u}\".\u00a0<\/em>
\n\"\forall \, u \in \mathbb{R}, \, F(u) = \displaystyle \frac {1 -\, \textrm{i} } {2} \, \textrm{e} ^u \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, u}\"<\/em>
\net \"G = \mathcal{I}m (F)\" est une primitive de \"g : u \mapsto \sin u \, \textrm{e} ^u\"\u00a0<\/em>
\n\"\forall\, u \in \mathbb{R}, \, G(u) = \displaystyle \frac {\sin u - \cos u } 2 \, \textrm{e}^u\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On termine avec \"I = G(\pi) - G(0) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{\pi} + 1} 2\"\u00a0<\/em>
\nR\u00e9ponse :\u00a0\"\displaystyle \frac {\textrm{e} ^{\pi} + 1} 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nCalculer : \"\displaystyle \int _{0} ^{1/2} \frac {x^3} {\sqrt{1 - x^2} } \, \textrm{d} \, x\" .<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\varphi : [0 , \pi/6] \to [0 , 1/2], \, u \mapsto \sin(u)\" est une fonction de classe \"C^1\" et\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle I = \int _{0} ^{1/2} \frac {t^3} {\sqrt{1 - t^2} } \, \textrm{d} \, t = \int _{\varphi(0)}^{\varphi(\pi/6)} f(t) \, \textrm{d} \, t\"<\/em>
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable,\u00a0\"I = \int _{0}^{\pi/6} f( \varphi(u) ) \, \varphi'(u)\, \textrm{d} \, u\".<\/em>
\n\"I = \displaystyle \int _ {0} ^{\pi/6} \frac {\sin ^3(u)} {\vert \cos(u) \vert } \; ( \cos u ) \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\n\"\cos (u) > 0\" sur le segment d’int\u00e9gration.\u00a0<\/em>
\n\"I = \displaystyle \int _ {0} ^{\pi/6} {\sin ^3(u)} \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\n\"I = \displaystyle \int _ {0} ^{\pi/6} \sin u \left ( 1 - {\cos ^2(u)} \right ) \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\n\"I = \displaystyle \left [ - \cos(u) + \frac 1 3 \cos ^3(u) \right ] _ 0 ^{\pi/6}\"<\/em>
\n\"I = \displaystyle 1 - \frac {\sqrt{3}} 2 + \frac {3 \, \sqrt{3} } {3 . 8} - \frac 1 3\"<\/em>
\n\"I = \displaystyle \frac 2 3 - \frac {3 \, \sqrt{3}} 8\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 6\u00a0<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", justifier l’existence de \"\quad \quad \quad I_n = \int_{0} ^1 x ^n \ln(x) \, \textrm{d} \, x\".
\nCalculer \"I_n \,\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"n \in \mathbb{N}\".\u00a0<\/em>
\nSoit \"f _n : x \mapsto x ^n \, \ln(x)\", \"f_n : 0 \mapsto 0\", \"f_n\" est une fonction continue sur \"[0 ,\, 1]\" ce qui justifie l’existence de \"I_n\,\".\u00a0<\/em>
\nOn note \"F_n\" la primitive de \"f_n\" s’annulant en 1.<\/em><\/p>\n

Alors si \"a \in \; ]0 , 1],\" \"I_n (a) = \int_{a} ^1 f_n(x) \, \textrm{d} \, x = - F_n(a)\"\u00a0<\/em>
\nComme \"F_n\" est continue en \"0\", alors \"\displaystyle \lim _ {a \to 0} I_n(a) = -F_n(0) = I_n\,\".<\/em><\/p>\n

Il n’est pas possible d’int\u00e9grer par parties sur \"[0 , \, 1]\" en prenant pour l’une des fonctions la fonction \"\ln\", mais on peut int\u00e9grer par parties sur \"[a , \,1]\".\u00a0<\/em>
\nOn d\u00e9finit\u00a0<\/em>
\n\"\quad \displaystyle u : x \mapsto \frac {x^{n + 1}} {n + 1}\" et \"v : x \mapsto \ln(x)\",\u00a0<\/em>
\nces fonctions \u00e9tant de classe \"C^1\" sur \"[a , \, 1]\", on peut donc int\u00e9grer par parties :\u00a0<\/em>
\n\"I_n(a) = \displaystyle \left | \frac {x^{n + 1}} {n + 1} \ln(x) \right ] _ a ^1 - \int _a ^1 \frac {x ^{n+1} } {(n + 1) x } \, \textrm{d} \, x\"<\/em>
\n\"I_n(a) = \displaystyle \left [ \frac {x^{n + 1}} {n + 1} \ln(x) - \frac {x^{n + 1}} {(n + 1) ^2} \right ] _ a ^1\"<\/em>
\n\"I_n(a) = \displaystyle - \frac {1} {(n + 1) ^2} - \frac {a^{n + 1}} {n + 1} \ln(a)\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \frac {a^{n + 1}} {(n + 1) ^2}\"<\/em>
\nSi \"a\" tend vers \"0\", on obtient \u00e0 la limite la valeur de \"I_n\" :\u00a0\"I_n = \displaystyle \frac {- 1} {(n + 1) ^2}\".<\/em><\/p>\n

Exercice 7<\/b>
\nTrouver \"a\" tel que\u00a0 : \"\; \; \displaystyle \int_0 ^{\pi/4} \ln(1 + \tan(x))\, \textrm{d} \, x=\frac {\pi \, \ln 2} a\".<\/p>\n

Exercice 8<\/b>
\nQuestion 1<\/i>
\nSoit \"f\" une fonction continue sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles telle que
\n\"\quad \forall \, x \in [a , \, b] , \, f(a + b - x) = f(x)\".
\n\"2 \, \int_a ^b x \, f(x) \, \textrm{d} \, x = (a + b) \int_a ^ b f(x) \, \textrm{d} \, x\"<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nCalculer \"\displaystyle \int_0 ^{\pi} \frac {x} {1 + \sin (x)} \, \textrm{d} \, x\".<\/p>\n

7. Int\u00e9grales de Wallis (le d\u00e9but)<\/h2>\n

Question 1<\/b>
\nSoit si \"n \in \mathbb{N}\", \"W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n (t) \textrm{d} \, t\", alors \"W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n (t) \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : En utilisant le changement de variable \"\varphi : u \mapsto \pi/2 - u\", de classe \"C^1\" sur \"[0 ,\, \pi/2]\",\u00a0<\/em>
\n\"W_n = \int _ { \pi/2} ^0 \cos^n (\pi/2 - u) ( - 1)\, \textrm {d} \, u\" soit \"W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n (u)\, \textrm{d} \, u\".<\/em><\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\n\"\int_0^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t = a \, W_n\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : En utilisant le changement de variable \"\varphi : u \mapsto \pi - u\", de classe \"C^1\" sur \"[0 ,\, \pi]\",\u00a0<\/em>
\n\"\int_{\pi/2} ^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t = \int_{\varphi(\pi/2)} ^{\varphi(0)} \sin^n (t) \textrm{d} \, t\"<\/em>
\n\"\int_{\pi/2} ^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t = \int_{\pi/2} ^{0} \sin^n (\pi - u) (- 1) \textrm{d} \, u\"<\/em>
\n\"\int_{\pi/2} ^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t = \int_{0} ^{\pi/2} \sin^n (u) \textrm{d} \, u = W_n \,\".<\/em>
\nOn termine par la relation de Chasles :\u00a0<\/em>
\n\"\int_0^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t =\" \"\quad \quad \int_0^{\pi/2} \sin^n (t) \textrm{d} \, t + \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t\"<\/em>
\n\"\int_0^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t = 2 \, W_n\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3\u00a0<\/b>
\n\"\forall \, n \in \mathbb{N}, n \geq 2, \, n Wn = a \, W_{n - 2}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : En int\u00e9grant \"W_n\" par parties avec les fonctions de classe \"C^1\" sur \"I\" :\u00a0<\/em>
\n\"u : t \mapsto - \cos(t)\" et \"v : t \mapsto \sin^{n - 1} (t)\",\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&\sin(t) \\v(t) &=&\sin ^{n-1} (t)\end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad\" et \"\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&- \cos(t) \\v'(t) &=&(n - 1) \cos(t) \, sin ^{n - 2} (t) \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"Wn = \left [ - \cos(t)\, \sin ^{n - 1} (t) \right ] _0 ^{\pi/2}\" \"\quad\quad +\, (n- 1) \int _ 0 ^{\pi/2} \cos^2 (t) \sin ^{n - 2} (t) \, \textrm{d} \, t\".\u00a0<\/em>
\nEn utilisant \"\cos^2 t = 1 - \sin^2 t\", on obtient par lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale \"\quad \quad W_n = (n - 1) (W_{n - 2} - W_n)\"<\/em>
\ndonc \"n \, W_n = (n - 1) \, W_{n - 2}\,\".<\/em><\/p>\n

Question 4<\/b>
\n\"\forall \, n \in \mathbb{N}^*,\, n \, W_n \, W_{n - 1} = \displaystyle \frac {\pi} 2\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit pour \"n \in \mathbb{N} , \, n \geq 2,\, a_n = n\, W_n \, W_{n - 1}\"<\/em>
\n\"a_{ n + 1} = ((n + 1) \, W_{n + 1})\, W_n\"\u00a0<\/em>
\n\"a_{n + 1} = (n \, W_{n - 1} ) \, W_n = a_n\, \".<\/em>
\nLa suite<\/a> \"(a_n)_{n \geq 1}\" est constante, donc \"a_n = a_1 = W_1 \, W_0 = \displaystyle \frac {\pi} 2\".<\/em><\/p>\n

Question 5.<\/b>
\n\"\forall \, n \in \mathbb{N}, \,\displaystyle W_ {2n} = \binom {2 n} {n} \frac {\pi} {2^{2 n + 1}}\".<\/p>\n

Question 6.<\/b>
\nValeur de \"W_{2 n + 1}\,\".<\/p>\n

 <\/p>\n

8. Une famille d’int\u00e9grales d\u00e9pendant de deux param\u00e8tres<\/h2>\n

Si \"(n , p) \in \mathbb{N}^2\", on d\u00e9finit
\n\"\quad \quad I(n , p) = \int_0 ^1 t ^n \, (1 - t) ^p \, \textrm{d} \, t\".
\nQuestion 1<\/b>
\nSi \"p \in \mathbb{N}^*\" et \"n \in \mathbb{N}\", exprimer \"I(n , p)\" en fonction de \"I(n + 1 , p - 1)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On utilise une int\u00e9gration par parties avec \"\displaystyle u : t \mapsto \frac {t ^{n + 1}} {n + 1}\" et \"v : t \mapsto (1 - t) ^p\" qui sont de classe \"C ^1\" sur \"[0 , \,1]\".\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&t ^n \\v(t) &=&(1 - t) ^p \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\n\"\quad\" et \"\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t^{n + 1} / (n + 1) \\v'(t) &=&- p \, (1 - t) ^{p - 1} \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle I(n , \, p) = \left [ \frac {t ^{n + 1}} {n + 1}\, (1 - t) ^p \right]_0 ^1\" \"\quad \quad \quad \; \displaystyle +\, \frac {p} {n + 1} \int_0 ^1 t ^{n + 1} \, (1 - t) ^{p - 1} \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"\displaystyle I(n , \, p) = \frac {p} {n + 1} \, I(n + 1 , \, p - 1)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nCalculer \"I(n , \, p)\" pour \"n, \, p \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note si \"n \in \mathbb{N}\", \"\quad H_n : \forall \, p \in \mathbb{N}, \displaystyle I(n , \, p) = \frac {p! \, n !} {(n + p + 1)! }\"<\/em>
\net on raisonne par r\u00e9currence<\/a>.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"I(0, \, p) = \int _ 0 ^1 (1 - t) ^p \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle I(0 , \, p) = \left [ \frac {- (1 - t) ^{p + 1} } {p + 1} \right] _0 ^1 = \frac 1 {p + 1}\" \"\displaystyle I(0, \, p) = \frac {0! \, p! } {( p + 1)!}\".\u00a0<\/em>
\nDonc \"H_0\" est vraie.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est vraie.\u00a0<\/em>
\nOn utilise la formule de la question 1 en repla\u00e7ant \"p\" par \"p + 1\".\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle I(n ,\, p+1 ) = \frac {p+1 } {n+1} \, I(n + 1 , \, p)\"\u00a0<\/em>
\n\"I(n +1 , \, p) = \displaystyle \frac {n + 1} {p + 1} \, I(n , \, p+1 )\"\u00a0<\/em>
\npuis avec \"H_n\" :\u00a0<\/em>
\n\"I(n +1 , \, p) = \displaystyle \frac {n + 1} {p + 1} \frac {(p+1)! \, n !} {(n + p + 1 + 1)! }\"\u00a0<\/em>
\n\"I(n +1 , \, p) = \displaystyle \frac {p! \, (n + 1) !} {(n + p +2)! }\"\u00a0<\/em>
\nce qui prouve \"H_{n + 1}\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 a \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.<\/em><\/p>\n

En particulier, \"I(n , \, n) = \displaystyle \frac {(n!)^2} {(2 \, n + 1)!}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSi \"a < b\" et \"n, \, p \in \mathbb{N}\", calculer
\n\"J(n , p) = \int_a ^b (t - a)^n \, (b - t) ^p \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n<\/div>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\bullet\"\u00a0Recherche<\/b>\u00a0: On cherche un changement de variable de la forme \"t = \alpha \, u + \beta\" tel que\u00a0<\/em>
\n\"\quad t = a \Leftrightarrow u = 0\" et \"t = b\Leftrightarrow u = b\".\u00a0<\/em>
\nOn r\u00e9sout donc le syst\u00e8me\u00a0<\/a><\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} \beta = a\\ \alpha + \beta = b\end{matrix} \right.\"\u00a0ssi \"\beta = a, \, \alpha = b - a\"<\/em>
\nOn a donc obtenu \"t = (b - a) u + a\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9daction<\/b>\u00a0<\/em>
\n\"\varphi : [0 ,\, 1] \to [a , \, b], \, u \mapsto \displaystyle (b - a)\, u + a\"<\/em>
\n\"\varphi\" est de classe \"C ^1\" et\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad J(n ,\, p) = \int _ {\varphi(0)} ^{\varphi(1)} f(t) \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\ndonne par le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable :\u00a0<\/em>
\n\"\quad J(n , \, p) = \int _ {0} ^{1} f(\varphi(u)) \,\varphi'(u) \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\n\"t - a = (b - a) u\" et \"b - t = (b - a) (1 - u)\"\u00a0<\/em>
\n\"J(n , p) =\" \"\; \int _ {0} ^{1} (b - a)^n u ^n (b - a) ^p (1 - u) ^p \, (b - a) \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
\n\"J(n , p) = (b - a) ^{n + p + 1} I( n, \, p)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle J(n , p) = (b - a) ^{n + p + 1} \frac {p! \, n !} {(n + p + 1)! }\".\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Question 4<\/b>
\nSoit \"n ,\, p \, \in \mathbb{N}\". Calculer
\n\"K(n , p) = \int_0 ^{\pi/2} \cos^{2 n + 1} (\theta) \, \sin^{2 p + 1} ( \theta) \, \textrm{d} \theta\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : La fonction \"\varphi : |0 , \pi/2] \to [0 , 1] , \theta \mapsto \cos^2(\theta)\" est une bijection de classe \"C^1\".\u00a0<\/em>
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable\u00a0<\/em>
\n\"I(n , p) = \int_{\varphi(\pi/2)} ^{\varphi(0)} f(t) \, \textrm{d} \, t\"\u00a0<\/em>
\n\"I(n , p) = \int _ {\pi/2} ^{0} f(\varphi(\theta)) \,\varphi'(\theta) \, \textrm{d} \, \theta\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"f(\varphi(\theta)) = \cos^{2\, n} (\theta)\, ( 1 - \cos^2 (\theta) ) ^p\"<\/em>
\n\"f(\varphi(\theta)) = \cos^{2\, n} (\theta)\, \sin^{2\, p} (\theta)\"<\/em>
\n\"\varphi'(\theta) = - 2 \, \sin (\theta) \, \cos(\theta)\".\u00a0<\/em>
\n\"f(\varphi(\theta)) \varphi'( \theta) = - 2 \cos ^{2 n + 1} (\theta) \, \sin ^{2 p + 1} (\theta)\"\u00a0<\/em>
\n\"I(n , \, p) = - 2 \int _ {\pi/2} ^{0} \cos^{2\, n + 1 } (\theta)\, \sin^{2\, p + 1 } \textrm{d} \, \theta\"\u00a0<\/em>
\n\"I(n , \, p) = 2 \, K(n ,\, p)\"<\/em>
\ndonc \"K(n , p) = \displaystyle \frac {p! \, n !} {2\, (n + p + 1)! }\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}\".
\nEn d\u00e9duire la valeur de \"\quad \quad \quad \int_0 ^{\pi/2 } \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"K(n , n) = \int_0 ^{\pi/2} \cos^{2 n + 1} (\theta) \, \sin^{2 n + 1} ( \theta) \, \textrm{d}\, \theta\"<\/em>
\n\"K(n , n) = \displaystyle \frac 1 {2 ^{2 n + 1} }\, \int_0 ^{\pi/2} \sin^{2 n + 1} (2 \,\theta) \, \, \textrm{d} \, \theta\"<\/em>
\nen utilisant le changement de variable \"u = 2 \, \theta\",\u00a0\"2 ^{2 n + 1} K(n , n) = \, \int_0 ^{\pi} \sin^{2 n + 1} (u) \, 1 / 2 \, \textrm{d}\, u\"<\/em>
\n\"2 ^{2 n + 2 } K(n , n) = \, \int_0 ^{\pi} \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u\"<\/em>
\nPuis par le changement de variable \"v = \pi - u\" :\u00a0<\/em>
\n\"\int_{\pi/2} ^{\pi} \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u =\" \"\quad \quad \quad \int_{\pi/2} ^{0} \sin^{2 n + 1} (\pi - v) (-1) \, \textrm{d} v\"<\/em>
\n\"\int_{\pi/2} ^{\pi} \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u = \int_{0} ^{\pi/2 } \sin^{2 n + 1} ( v) \, \textrm{d} v\"<\/em><\/p>\n

et par la relation de Chasles :\u00a0<\/em>
\n\"2 ^{2 n+ 2 } K(n , n) = 2 \, \int_0 ^{\pi/2 } \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u\"<\/em>
\ndonc \"\int_0 ^{\pi/2 } \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u = 2 ^{2 n + 1 } K(n ,\, n)\"<\/em>
\n\"\int_0 ^{\pi/2 } \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u = \displaystyle \frac {2 ^{2 n }\, (n!)^2} {(2 \, n + 1 )!}\".<\/em><\/p>\n

Question 6<\/b>
\nSi \"(p , n ) \in \mathbb{N}^2\", calculer \"\quad \quad \displaystyle \sum_{k = 0} ^p \binom p k \frac {(- 1) ^k } {n + k + 1}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Si \"(p , n ) \in \mathbb{N}^2\", \"I(n , \, p) = \int_0 ^1 t ^n \, (1 - t) ^p \, \textrm{d} \, t\"<\/em>
\n\"\displaystyle I(n ,\, p) = \frac {p! \, n !} {(n + p + 1)! }\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Par le bin\u00f4me de Newton :\u00a0<\/em>
\n\"t ^n \, (1 - t) ^p = \displaystyle t ^n \, \sum _ {k = 0} ^p \binom p k \, (- 1) ^k \, t ^k\"<\/em>
\n\"t ^n \, (1 - t) ^p = \displaystyle \, \sum _ {k = 0} ^p \binom p k \, (- 1) ^k \, t ^{k + n}\".<\/em>
\nPar lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle I(n , p) = \sum _ {k = 0} ^p \binom p k \left [ \frac {( - 1) ^k \, t ^{n + k + 1} } {n + k + 1} \; \; \; \right] _ 0 ^1.\"<\/em>
\nsoit \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^p \binom p k \,\frac {( - 1) ^k} {n + k + 1} = \frac {p! \, n! } {(n+ p + 1)!}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

N’h\u00e9sitez pas \u00e0 utiliser les autres cours en ligne de maths au programme de Maths Sup, pour vous aider et vous guider dans vos r\u00e9visions personnelles :<\/p>\n