{"id":37551,"date":"2019-10-31T15:30:47","date_gmt":"2019-10-31T14:30:47","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37551"},"modified":"2023-09-15T18:22:51","modified_gmt":"2023-09-15T17:22:51","slug":"cours-en-ligne-equations-differentielles-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-equations-differentielles-maths-sup\/","title":{"rendered":"Equations diff\u00e9rentielles en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : \u00c9quations diff\u00e9rentielles en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Equations diff\u00e9rentielles en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1. \u00c9quation diff\u00e9rentielle\u00a0 lin\u00e9aire du premier ordre<\/b>
\n\"\quad\" 1.1. \u00c9quation homog\u00e8ne
\n\"\quad\" 1.2. Ensemble des solutions
\n\"\quad\" 1.3. Recherche d’une solution particuli\u00e8re de \"(\mathcal{E})\"
\n\"\quad\" 1.4. Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy-Lipschitz
\n\"\quad\" 1.5. Consignes de r\u00e9daction
\n\"\quad\" 1.6. Raccordement de solutions (en cours d’ann\u00e9e).<\/p>\n

2. \u00c9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire du second ordre \u00e0 coefficients constants.\u00a0<\/b>
\n\"\quad\" 2.1. \u00c9quation homog\u00e8ne
\n\"\quad\" 2.2. Ensemble des solutions
\n\"\quad\" 2.3. Recherche d’une solution particuli\u00e8re de \"(\mathcal{E})\"
\n\"\quad\" 2.4. Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy-Lipschitz
\n\"\quad\" 2.5. Consignes de r\u00e9daction.<\/p>\n

1. \u00c9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire du premier ordre<\/h3>\n

On note \"(\mathcal{E})\" \"y' + a(x) \, y = b(x)\" o\u00f9 \"a, b\" sont des fonctions continues sur un intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {K}\".<\/p>\n

1.1. R\u00e9solution de l’\u00e9quation sans second membre \"(\mathcal{H}) : y' + a(x) \, x\"<\/b>.
\nOn d\u00e9termine une primitive<\/a> \"A\" de \"x \mapsto a(x)\" sur l’intervalle \"I\".
\nLa solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H})\" est donn\u00e9e par : \"I \to \mathbb {K}, x \mapsto \lambda \textrm {e} ^{- A(x)}\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{K}\".<\/p>\n

Cas particulier<\/i>\u00a0:
\nsi \"a \in \mathbb{K}\", l’ensemble des solutions de \"y' + a\, y = 0\" sur \"\mathbb{R}\" est l’ensemble des fonctions \"\mathbb{R} \to \mathbb{K}\", \"x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{- a \, x}\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{K}\".<\/p>\n

👍 Dans le cas o\u00f9 \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\", une solution de \"(\mathcal{H})\" est soit nulle sur \"I\", soit ne s’annule pas sur \"I\" et garde alors un signe constant sur \"I\".
\nDonc lorsque la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H})\" s’\u00e9crit sous la forme \"\quad \quad x \mapsto \lambda \, \vert u(x) \vert \, v(x)\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\",
\ncomme la fonction \"x \mapsto u(x)\" ne s’annule pas sur \"I\", elle a un signe constant donc la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H})\" peut s’\u00e9crire
\n\"x \mapsto \lambda \, u(x) \, v(x)\" ou \"x \mapsto - \lambda \, u(x) \, v(x)\" donc en r\u00e9sum\u00e9 sous la forme \"\quad \quad x \mapsto \mu\; u(x) \, v(x)\" o\u00f9 \"\mu \in \mathbb{R}\".
\nOn peut donc \u00ab supprimer \u00bb la valeur absolue.<\/p>\n

exemple\u00a0<\/b>:
\nsolution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H})\" \"y' - \displaystyle \frac 3 x \, y = 0\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : La solution g\u00e9n\u00e9rale sur \"I_1 =\; ]- \infty ,\, 0[\" ou sur \"I_2 = ]0 , +\infty[\" est \"x \mapsto \lambda \, \vert x \vert ^3\" (car \"A(x) = - 3 \ln \vert x\vert\" soit encore \"x \mapsto \mu \, x ^3\" o\u00f9 \"\mu \in \mathbb{R}\".<\/em><\/p>\n

👍 Un peu plus tard dans l’ann\u00e9e, vous pourrez dire que l’ensemble \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\" des solutions de \"(\mathcal{H})\" sur \"I\" est un espace vectoriel<\/a> de dimension 1 de base \"\quad \quad I \to \mathbb{K} , \, x \mapsto \textrm {e} ^{- A(x)}\".<\/p>\n

1.2. Ensemble des solutions\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" On note \"(\mathcal{E})\quad y' + a(x) \, y = b(x)\"
\n\"\quad \quad\quad\" et \"(\mathcal{H})\quad y' + a(x) \, y = 0\"
\nLa solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{E})\" est la somme<\/a> de la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H})\" et d’une solution particuli\u00e8re de \"(\mathcal{E})\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Principe de superposition des solutions<\/i>.
\nOn suppose que \"b = \lambda \, b_1 + \mu \, b_2\" o\u00f9 \"(\lambda \, \mu) \in \mathbb{K}^2\" et \"b_1\" et \"b_2\" sont continues sur \"I\".
\nSi \"y_1\" (resp \"y_2\") est solution particuli\u00e8re de \"y' + a(x) \, y = b_1(x)\"
\n(resp. de \"y' + a(x) \, y = b_2(x)\" )
\n\"\lambda \, y_1 + \mu \, y_2\" est solution particuli\u00e8re de \"y' + a(x) \, y = b(x)\".<\/p>\n

1.3. D\u00e9termination d’une solution particuli\u00e8re de\u00a0<\/b>\"(\mathcal{H})\".
\n\"\bullet\" Elle peut \u00eatre \u00e9vidente.<\/p>\n

\"\bullet\" Sinon, on utilise la m\u00e9thode de variation de la constante.
\nAyant trouv\u00e9 comme solution de \"(\mathcal{H})\", \"x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{-A(x)}\", on note \"\quad \quad \forall\, x \in I,\, y(x) = \lambda(x) \, \textrm{e} ^{-A(x)}\".
\nOn \u00e9crit que \"y\" est solution de \"(\mathcal{H})\" sur \"I\" Le terme en \"\lambda(x)\" doit dispara\u00eetre et on obtient :
\n\"y\" est solution sur \"I\" de \"(\mathcal{H})\"
\nssi \"\forall\, x \in I, \, \lambda'(x) \, \textrm{e}^{-A(x)} = b( x)\"
\nssi \"\forall \, x \in I,\, \lambda'(x) = \textrm{e} ^{A(x)}\, b( x)\".<\/p>\n

👍
\n\"\bullet\" En g\u00e9n\u00e9ral, on peut d\u00e9terminer une primitive de \"x \mapsto \textrm{e} ^{A(x)}\, b( x)\".
\n\"\bullet\" Si l’on ne sait pas d\u00e9terminer une primitive de cette fonction \u00e0 l’aide des fonctions usuelles<\/a>, on introduit \"x_0 \in I\" et on dit que \"\exists \, C \in \mathbb{K},\, \forall\, x \in I,\" \"\quad \,\displaystyle \lambda(x) = C + \int_{x_0} ^{x } b( t)\, \textrm{e} ^{A(t)}\, \textrm{d} \, t\" .
\nDans ce cas, l’ensemble<\/a> des solutions sur \"I\" est l’ensemble des fonctions \"I \to \mathbb{K}\", \"x \mapsto \displaystyle \, \left ( C + \int_{x_0} ^{x } b( t)\, \textrm{e} ^{A(t)}\, \textrm{d} \, t\right ) \, \textrm{e} ^{-A(x)}\"
\no\u00f9 \"C \in \mathbb{K}\".<\/p>\n

\"\bullet\" On termine en donnant l’ensemble des solutions, ou en cherchant la solution v\u00e9rifiant la condition initiale donn\u00e9e par l’\u00e9nonc\u00e9.<\/p>\n

en MPSI <\/strong>👍 Un peu plus tard dans l’ann\u00e9e, vous pourrez dire que l’ensemble \"\mathcal{S}(\mathcal{E})\" des solutions de \"(\mathcal{E})\" sur \"I\" est un sous-espace affine de l’espace vectoriel des fonctions d\u00e9rivables<\/a> sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\".<\/p>\n

1.4. Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy-Lipschitz\u00a0<\/b>
\nTh\u00e9or\u00e8me de Cauchy-Lipschitz<\/i>\u00a0:
\nSi les fonctions \"a\" et \"b\" sont continues sur l’intervalle \"I\",
\npour tout \"(x_0 ,\, y_0) \in I \times \mathbb{K}\", il existe une unique solution \"f\" de
\n\"\quad \quad \quad y' + a(x) y = b(x)\"
\nv\u00e9rifiant \"f(x_0) = y_0\,\".<\/p>\n

Remarque\u00a0<\/b>: Elle peut s’exprimer sous la forme : si \"x \in I\", \"f(x) = \displaystyle \, \left ( y_0 + \int_{x_0} ^{x } b( t)\textrm{e} ^{A(t)}\, \textrm{d} \, t\right ) \, \textrm{e} ^{- A(x)}\" avec \"\displaystyle A(x) = \int_{x_0} ^{x } {a(t)}\, \textrm{d} \, t\" .<\/p>\n

1.5. Consignes de r\u00e9daction\u00a0<\/b>
\nSoit \"(\mathcal{E }) : y' + a(x) \, y = b(x)\".
\nDans la suite<\/a>, \"I\" est un intervalle sur lequel les fonctions<\/a> \"a\" et \"b\" sont continues.
\nOn note \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\" si les fonctions \"a\" et \"b\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et \"\mathbb{K} = \mathbb{C}\" si les fonctions \"a\" et \"b\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{C}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Noter \"(\mathcal{H }) : y' + a(x) y = 0\".
\nDire :\u00a0 \u00a0 on introduit \"A : I \to \mathbb{K}\" une primitive de \"a\" sur l’intervalle \"I\",
\nla solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H })\" sur \"I\" est la fonction \"x \mapsto k\, \textrm{e} ^ {-A(x)}\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{K}\".
\nLorsque \"(\mathcal{E }) = (\mathcal{H })\", terminer la r\u00e9daction par :
\nl’ensemble des solutions de \"(\mathcal{H })\" sur \"I\" est l’ensemble des fonctions \"\quad I \to \mathbb{K},\, x \mapsto k \, \textrm{e} ^{-A(x)}\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{K }\".<\/p>\n

\"\bullet\" Lorsqu’il y a un second membre et pas de solution particuli\u00e8re \u00e9vidente, dire :
\non cherche une solution particuli\u00e8re par la m\u00e9thode de variation de la constante. On \u00e9crit :
\n\"x \mapsto \lambda(x) \, \textrm{e} ^{- A(x)}\" est solution de \"(\mathcal{E })\" sur \"I\"
\nssi \"\forall\, x \in I\,, \, \lambda'(x) \textrm{e} ^{ - A(x)} = b(x)\"
\nssi \"\forall\, x \in I\,, \, \lambda'(x) = b(x) \, \textrm{e} ^{ A(x)}\"
\nssi \"\exists \, C \in \mathbb{K} ,\, \forall\, x \in I\, ,\, \lambda(x) = F(x) + C\" o\u00f9 \"F\" est une primitive sur \"I\" de \"\quad \quad \quad x \mapsto b(x) \, \textrm{e} ^{ A(x)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Terminer en disant au choix :
\n\"\; \; \ast\" la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{E })\" sur \"I\" est d\u00e9finie par \"I \to \mathbb{K}\", \"\quad x \mapsto (F(x) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{-A(x)}\" o\u00f9 \"\alpha \in \mathbb{K}\".
\nou
\n\"\; \; \ast\"\u00a0 l’ensemble des solutions de \"(\mathcal{E })\" sur \"I\" est l’ensemble des fonctions \"I \to \mathbb{K}\", \"x \mapsto (F(x) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{-A(x)}\" o\u00f9 \"\alpha \in \mathbb{K}\"
\nou encore
\n\"\; \; \ast\"\u00a0 \"\mathcal{S}_{I } (\mathcal{E })\" (ensemble des solutions de \"(\mathcal{E})\" sur \"I\") est \u00e9gal \u00e0 l’ensemble
\n\"\left \{ I \to \mathbb{K} ,\, x \mapsto (F(x) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{-A(x)} \, / \, \alpha \in \mathbb{K} \right \}\" .<\/p>\n

1.6. Raccordement de solutions\u00a0<\/b>
\n⚠️ Paragraphe utile en cours d’ann\u00e9e, les raisonnements<\/a> n\u00e9cessitent en g\u00e9n\u00e9ral des \u00e9quivalents et des d\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/a>.<\/p>\n

R\u00e9solution de
\n\"\quad (\mathcal{E}) \, \alpha(x) y' + \beta(x) y = \gamma(x)\".
\nSupposons pour fixer les id\u00e9es que \"I = ]a ,\, b[\" et que \"\alpha\" ne s’annule qu’en un point \"c\" de \"]a ,\, b[\".
\nOn note \"I_1 =\; ]a ,\, c[\" et \"I_2 =\; ]c , \, b[\", en divisant par \"\alpha(x)\" on obtient une \u00e9quation dite\u00a0normalis\u00e9e\u00a0<\/i>de la forme
\n\"(\mathcal{E}')\"\u00a0 :\u00a0 \"y' + a(x) y = b(x)\" o\u00f9 les fonctions \"a\" et \"b\" sont continues sur chacun des intervalles \"I_1\" et \"I_2\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" On r\u00e9sout \"(\mathcal{E}')\" sur chacun des intervalles \"I_1\" et \"I_2\,\".<\/p>\n

👍 : il est en g\u00e9n\u00e9ral possible de poser \"j \in \{1 \, , \, 2\}\" et de r\u00e9soudre \"(\mathcal{E}')\" sur \"I_j\" sans \u00eatre oblig\u00e9 de le faire deux fois.
\nIl faudra \u00e0 la fin donner l’ensemble des solutions sur \"I_1\" puis l’ensemble des solutions sur \"I_2\,\". Il est conseill\u00e9 de nommer les constantes d\u00e9finissant la solution g\u00e9n\u00e9rale par des lettres diff\u00e9rentes.<\/p>\n

\"\bullet\" On pose
\n\"\quad f(x) = \left \{ \begin{matrix} f_1(x) &\textrm{si}& x \in \; ]a , \, c [ \\ f_2(x) &\textrm{si}& x \in \; ]c , \, b [ \end{matrix} \right.\"
\no\u00f9 \"f_1\" est solution de \"(\mathcal{E})\" sur \"]a ,\, c[\" et \"f_2\" est solution de \"(\mathcal{E})\" sur \"]c ,\, b[\".<\/p>\n

\"\bullet\" Puis
\n\"\ast\"\u00a0a)<\/b>\u00a0on cherche s’il est possible (en choisissant \u00e9ventuellement les constantes) de prolonger \"f\" par continuit\u00e9<\/a> en \"c\", donc en d\u00e9montrant que la limite \u00e0 gauche de \"c\" de la fonction \"f_1\" est \u00e9gale \u00e0 la limite \u00e0 droite de \"f_2\" en \"c\".
\nSi c’est le cas,
\n\"\ast\"\u00a0b)<\/b>\u00a0on cherche si la fonction \"f\" est d\u00e9rivable en \"c\".
\nSi c’est le cas,
\n\"\ast\"\u00a0c)<\/b>\u00a0on cherche si \"f\" est encore solution de \"(\mathcal{E})\" en \"c\".
\nDans ce cas, la (ou les) fonction(s) obtenue(s) est (sont) solution(s) de \"(\mathcal{E})\" sur \"]a ,\, b[\".
\nOn dit que l’on a raccord\u00e9 les solutions en\u00a0<\/i>\"c\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

\n

2. \u00c9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire du second ordre \u00e0 coefficients constants.<\/h3>\n

Hypoth\u00e8ses<\/b>\u00a0: soit \u00e0 r\u00e9soudre l’\u00e9quation \"\quad (\mathcal{E}) : a\, y'' + b\, y' + c\, y = f(x)\"
\no\u00f9 \"(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2\" et \"f\" est une fonction continue sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\". On note \"(\mathcal{H}) : a\, y'' + b \, y' + c \, y = 0\".<\/p>\n

2.1. R\u00e9solution de \"a \, y'' + b\, y' + c \, y = 0\" o\u00f9 \"(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2\".<\/b>
\nOn note \"P(r) = a \, r^2 + b\, r + c\".<\/p>\n

Si l’\u00e9quation caract\u00e9ristique<\/i>\u00a0\"P(r) = 0\"
\n\"\ast\" a deux racines distinctes \"\alpha\" et \"\beta\" dans \"\mathbb{K}\", on introduit :
\n… \"h_1 : x \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, x}\"
\n… \"h_2 : x \mapsto \textrm {e} ^{\beta \, x}\".<\/p>\n

\"\ast\" a une racine double \"\alpha\", on introduit :
\n… \"h_1 : x \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, x}\"
\n… \"h_2 : x \mapsto x\, \textrm {e} ^{\alpha \, x}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\", complexes<\/a> conjugu\u00e9es : \"\alpha + \textrm {i} \, \beta\" et \"\alpha - \textrm {i} \, \beta\" , o\u00f9 \"\beta \neq 0\", on introduit :
\n… \"h_1 : x \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, x}\, \cos(\beta\, x)\"
\n… \"h_2 : x \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, t}\, \sin(\beta\, x)\".<\/p>\n

Dans chacun des trois cas, l’ensemble des solutions de \"(\mathcal{H})\" s’\u00e9crit
\n\"\mathcal{S}(\mathcal{H}) = \left \{ \lambda \, h_1 + \mu \, h_2 \, / \, (\lambda , \, \mu) \in \mathbb{R} ^2 \right \}\".<\/p>\n

\"\ast\" et pour aller plus vite : dans le\u00a0 cas\u00a0 \u00a0 \"y'' + \, \omega^2\, y = 0\" avec \"\omega > 0\"
\n… \"h_1 : x \mapsto \cos(\omega \, x)\"
\n… \"h_2 : x \mapsto \sin(\omega \, x)\".<\/p>\n

\"\ast\" et pour aller plus vite : dans le cas \"y'' - \, \omega^2\, y = 0\" avec \"\omega > 0\"
\n… \"h_1 : x \mapsto \textrm{ch}(\omega \, x)\"
\n… \"h_2 : x \mapsto \textrm{sh}(\omega \, x)\".
\nou
\n… \"h_1 : x \mapsto \textrm{e}^{\omega \, x}\"
\n… \"h_2 : x \mapsto \textrm{e}^{ - \omega \, x}\".<\/p>\n

👍 Un peu plus tard dans l’ann\u00e9e, vous pourrez dire que l’ensemble \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\" des solutions de \"\mathcal{H}\" sur \"I\" est un espace vectoriel de dimension 2 de base \"(h_1 \, , \, h_2)\".<\/p>\n

2.2. Ensemble des solutions<\/b>
\n\"\bullet\" On note \"(\mathcal{E})\quad a \, y'' + b \, y' + c \, y = f(x)\" et \"(\mathcal{H})\quad a \, y'' + b \, y' + c \, y = 0\"
\nLa solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{E})\" est la somme de la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H})\" et d’une solution particuli\u00e8re de \"(\mathcal{E})\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Principe de superposition des solutions<\/i>.
\nOn suppose que \"f = \lambda \, f_1 + \mu \, f_2\" o\u00f9 \"(\lambda \, \mu) \in \mathbb{K}^2\" et \"f_1\" et \"f_2\" sont continues sur \"I\".
\nSi \"y_1\" (resp \"y_2\") est solution particuli\u00e8re de \"a \, y'' + b \, y' + c \, y = f_1(x)\"
\n(resp. de \"a \, y'' + b \, y' + c \, y = f_2(x)\" )
\n\"\lambda \, y_1 + _mu \, y_2\" est solution particuli\u00e8re de \"a \, y'' + b \, y' + c \, y = f(x)\" .<\/p>\n

2.3. Recherche d’une solution particuli\u00e8re de<\/b>\u00a0\"(\mathcal{E})\"
\n\"(\mathcal{E}) : a y'' + b y' + c y = f(x)\" o\u00f9 \"(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2\"
\nOn note \"P(r) = a \, r^2 + b \, r + c\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Penser au principe de superposition des solutions pour trouver une solution particuli\u00e8re avec un second membre plus simple.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Utilisation de la fonction conjugu\u00e9e.
\nSi \"(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb{R} ^3\" et si \"I \to \mathbb {C }\", \"x \mapsto y(x)\" est solution de \"a \, y'' + b\, y' + c \, y = f(x)\" la fonction \"I \to \mathbb {C }\", \"x \mapsto \overline {y(x)}\" est solution de \"a\, y'' + b \, y' + c\, y = \overline {f(x)}\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Cas o\u00f9 \"f(x) = A \, \textrm{e} ^{\lambda \, x}\" o\u00f9 \"(A \,, \, \lambda ) \in \mathbb{K}^* \times \mathbb{K}\"
\n\"\ast\" Si \"P(\lambda ) \neq 0\" , on cherche une solution particuli\u00e8re sous la forme
\n\"\quad \quad x \mapsto B \,\textrm{e} ^{\lambda \, x}\" o\u00f9 \"B \in \mathbb{K}\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"P(\lambda ) = 0\" et \"P'(\lambda ) \neq 0\", on cherche une solution particuli\u00e8re sous la forme
\n\"\quad \quad x \mapsto B\, x \,\textrm{e} ^{\lambda \, x}\" o\u00f9 \"B \in \mathbb{K}\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"P(\lambda ) = P'(\lambda ) =0\", on cherche une solution particuli\u00e8re sous la forme
\n\"\quad x \mapsto B\, x^2 \,\textrm{e} ^{\lambda \, x}\" o\u00f9 \"B \in \mathbb{K}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0\"f(x) = B \, \cos(\omega \, x)\" ou \"f(x) = B \, \sin(\omega \, x)\"
\n\"\ast\" Chercher une solution particuli\u00e8re \"y_P\" \u00e0 valeurs complexes de
\n\"\quad \quad a \, y'' + b \, y' + c \, y = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \omega \, x}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"B \, \mathcal{R}e (y_p)\" est une solution particuli\u00e8- re de \"a \, y'' + b \, y' + c \, y = B \, \cos(\omega \, x)\"<\/p>\n

\"\ast\" \"B \, \mathcal{I}m (y_p)\" est une solution particuli\u00e8- re de \"a \, y'' + b \, y' + c \, y = B \, \sin(\omega \, x)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0Second membre de la forme \"f\" fonction polyn\u00f4me<\/a> de degr\u00e9 \"n\" \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\" de degr\u00e9 \"n\" et avec \"c \neq 0\", chercher une solution sous la forme d’une fonction polyn\u00f4me de m\u00eame degr\u00e9.<\/p>\n

Justification de M5 : <\/strong>On suppose que \"f(x) = \displaystyle \sum_ {k =0 } ^n \alpha _k \, x ^k\".\u00a0<\/em>
\nOn cherche \"g(x) = \displaystyle \sum_ {k =0 } ^n \beta _k \, x ^k\"<\/em>
\n\"g'(x) = \displaystyle \sum_ {k =1} ^n k \; \beta _k \, x ^{k - 1 }\" \"\displaystyle g'(x)= \sum_ {k =0} ^{n - 1} (k + 1) \, \beta _{k + 1} \, x ^k\"<\/em>
\n\"g''(x) = \displaystyle \sum_ {k =1} ^{n - 1} (k + 1) \, k \, \beta _{k + 1} \, x ^{k - 1}\"<\/em>
\n\"g''(x) = \displaystyle \sum_ {k =2} ^{n - 1} (k + 1) (k + 2) \, \beta _{k + 2}\, x ^{k}\"<\/em>
\n\"a \; g''(x) + b \, g'(x) + c\, g(x) = \displaystyle \sum_ {k = 0} ^ n d_k \, x ^k\"\u00a0<\/em>
\no\u00f9 \"d_ n= c \, \beta _ n\, \",\u00a0\"d_{n - 1} = c \, \beta _ {n - 1} + b \,n \, \beta_{n}\"<\/em>
\net si \"0 \leq k \leq n - 2\", \"d_k = c \, b_k + b \, (k + 1) \, b_{k + 1}\" \"\quad \quad \quad \quad\quad \quad + \, a \, (k + 2) (k + 1) \, b _{k + 2}\,\".<\/em>
\nLe syst\u00e8me<\/a> \"\forall\, k \in [\![0 \, , n]\!],\, d_k = \alpha _ k\"\u00a0 admet une unique solution lorsque \"c \neq 0\" (on commence par r\u00e9soudre le cas \"k = n\" puis \"k = n - 1\" etc … pour terminer par \"k = 0\").<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2.4. Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy-Lipschitz\u00a0<\/b>
\nSoit \"(a , \, b ,\,c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2\"
\nSoit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\".
\nPour tout \"x _0 \in I\" et \"(y_0\, , \, y_1) \in \mathbb{K}^2\",
\nil existe une unique solution \"\varphi\" de \"\quad \quad a \, y'' + b\, y' + c \, y = f(x)\"
\nv\u00e9rifiant \"\varphi(x_0) = y_0\" et \"\varphi'(x_0) = y_1\,\".<\/p>\n

2.5. Consignes de r\u00e9daction\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" R\u00e9soudre d’abord l’\u00e9quation homog\u00e8ne \"a \, y'' + b\, y' + c \, y = 0\", introduire les fonctions \"h_1\" et \"h_2\" d\u00e9finies dans le paragraphe 2.3. selon la valeur de \"\Delta\".
\nEt \u00e9crire que l’ensemble des solutions de \"(\mathcal{H})\" est
\n\"\mathcal{S}(\mathcal{H}) = \left \{ \lambda \, h_1 + \mu \, h_2 \, / \, (\lambda , \, \mu) \in \mathbb{R} ^2 \right \}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas o\u00f9 il y a un second membre, d\u00e9terminer une solution particuli\u00e8re \"y_P\" de \"(\mathcal{E})\" et \u00e9crire
\n\"\ast\" \"\mathcal{S}(\mathcal{E})\" est \u00e9gal \u00e0 \"\left \{ \lambda \, h_1 + \mu \, h_2 + y_P \, / \, (\lambda , \, \mu) \in \mathbb{R} ^2 \right \}\"
\n\"\ast\" ou \"x \mapsto \lambda \, h_1(x) + \mu \, h_2(x) + y_P(x)\" o\u00f9 \"(\lambda , \, \mu)\in \mathbb{R} ^2\" est solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{E})\".<\/p>\n

\"\bullet\" S’il y a lieu d\u00e9terminer la ou les solution(s) v\u00e9rifiant la ou les condition(s) initiales(s) donn\u00e9e(s).<\/p>\n

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