{"id":37555,"date":"2019-10-31T16:16:09","date_gmt":"2019-10-31T15:16:09","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37555"},"modified":"2024-07-17T08:39:10","modified_gmt":"2024-07-17T07:39:10","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-equations-differentielles-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-equations-differentielles-maths-sup\/","title":{"rendered":"Equations diff\u00e9rentielles en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices corrig\u00e9s sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices : Equations diff\u00e9rentielles<\/span><\/h2>\n
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    \n
  1. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 1<\/li>\n
  2. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 2<\/li>\n
  3. Syst\u00e8mes diff\u00e9rentiels<\/li>\n
  4. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 1<\/li>\n
  5. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 1 : probl\u00e8mes de raccords<\/li>\n
  6. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 2 : changement de fonction inconnue<\/li>\n
  7. Sur les graphes des solutions d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/li>\n
  8. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 2 : probl\u00e8mes de raccords<\/li>\n
  9. R\u00e9solution d’une \u00e9quation d’ordre 3 par changement de fonction inconnue<\/li>\n
  10. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 2 : solutions p\u00e9riodiques<\/li>\n
  11. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 2 : solutions de limite nulle<\/a> en \"+\infty\"<\/li>\n<\/ol>\n

    On cherchera dans les exercices qui suivent l’ensemble des solutions r\u00e9elles. Certains de ces exercices sont incontournables pour bien r\u00e9ussir en classe de MPSI, de PCSI, de PTSI ou encore de MP2I. Si vous ne parvenez \u00e0 les r\u00e9soudre ou \u00e0 comprendre tous les corrig\u00e9s contactez Groupe R\u00e9ussite pour des cours particuliers de maths \u00e0 domicile.<\/a> Un enseignant \u00e0 domicile vous aidera \u00e0 comprendre ce chapitre tr\u00e8s important pour la r\u00e9ussite de votre maths sup.<\/p>\n

    1. Exercices \u00e9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 1 en maths sup<\/h2>\n

    Exercice 1<\/b><\/p>\n

    R\u00e9soudre sur \"I _1 = \mathbb{R}^{+*}\" et sur \"I_2 = \mathbb{R} ^{- *}\"<\/p>\n

    L’\u00e9quation \"x \, y' + y = \ln\vert x \vert \\".<\/p>\n

    Exercice 2<\/b><\/p>\n

    \"y' + y = (x^2 - 2 \, x + 2) \, \textrm {e} ^{2 \, x}\"<\/p>\n

    \n

    Exercice 3\u00a0<\/b>
    \n\"y ' - 2 \, y = \textrm{sh} (x)- 2 \, x \, \textrm{ch} (x)\"<\/p>\n

    Exercice 4<\/b><\/p>\n

    Trouver \"f\" d\u00e9rivable sur \"[0 , \, 1]\" telle que \"\forall \, x \in [0 , \, 1] , \, f'(x) = f(x) + \int_0 ^1 f(t) \, \textrm{d} \, t\" et \"f(0) = 1\".<\/p>\n

    Exercice 5 <\/b><\/p>\n

    R\u00e9soudre sur \"]0 , \, 1[\" :<\/p>\n

    \"x \ln(x) \, y' - y = 3 \, x^2 \ln^2(x)\".<\/p>\n

     <\/p>\n\t\t

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    COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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    \n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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     <\/p>\n

    Correction de l’exercice 1<\/strong> :<\/p>\n

    \n

    On peut remarquer que \" \quad \quad \quad \quad \quad x \mapsto x \, y'(x) + y(x)\" est la d\u00e9riv\u00e9e<\/a> de \"x \mapsto x \, y(x)\" et on sait qu’une primitive de \"x \mapsto \ln \vert x \vert\" sur \"I_k\" est \"x \mapsto x \, \ln \vert x \vert - x\".<\/p>\n

    Il est alors plus simple de dire que \"y\" est solution sur \"I_k\"<\/p>\n

    ssi il existe \"a \in \mathbb {R}\" tel que \"\forall \, x \in I_k \, , \, x\, y(x) = x \, \ln \vert x \vert - x + a\".<\/p>\n

    La solution g\u00e9n\u00e9rale sur \"I_k\" est d\u00e9finie par<\/p>\n

    \"x \mapsto \displaystyle \ln \vert x \vert - 1 + \frac a x\" o\u00f9 \"a \in \mathbb {R}\"<\/p>\n<\/div>\n

    Correction de l’exercice 2<\/strong> :<\/p>\n

    \n

    \"x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{ - x}\"\u00a0 o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\" est la solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation sans second membre.<\/p>\n

    On cherche une solution de l’\u00e9quation compl\u00e8te sous la forme \"x \mapsto \lambda(x) \, \textrm{e} ^{- x}\"<\/p>\n

    \"y\" est solution\u00a0\u00a0ssi \"\forall\, x \in \mathbb {R}, \lambda'(x) \textrm {e} ^ {- x} = (x^2 - 2 x + 2) \, \textrm {e} ^{2 \, x}\"<\/p>\n

    ssi \"\forall\, x \in \mathbb {R}, \lambda'(x) = (x^2 - 2 x + 2) \, \textrm {e} ^{3 \, x}\"<\/p>\n

    On cherche \"\lambda\" sous la forme \"\lambda(x) = (a \, x^2 + b \, x + c) \, \textrm {e} ^{3 \, x}\"<\/p>\n

    \"\lambda'(x) = \left (3 (a \, x^2 + b \, x + c) + 2 \, a \, x + b \right ) \textrm {e} ^{3 \, x}\"<\/p>\n

    \"\lambda\" est solution<\/p>\n

    ssi \"\forall\, x \in \mathbb {R},\, 3 \, a \, x^2 + (3 \, b + 2 \, a ) x + 3 \, c + b)\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = x^2 - 2 \, x + 2\"<\/p>\n

    ssi \"\left \{ \begin{matrix} 3 \, a = 1 \\ 3 \, b + 2 \, a = - 2 \\ 3 \, c + b = 2 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

    ssi \"\displaystyle a = \frac 1 3 , \, b = \frac {-8} 9 , \, c = \frac {26 } {27}\".<\/p>\n

    On en d\u00e9duit que<\/p>\n

    \"\displaystyle x \mapsto \left ( \frac 1 3 \, x^3 - \frac 8 9 \, x ^2 + \frac {26 } {27} \right ) \textrm{e} ^{2 \, x}\" est une solution particuli\u00e8re.<\/p>\n

    L’ensemble<\/a> des solutions est l’ensemble des fonctions<\/p>\n

    \"\displaystyle x \mapsto \left ( \frac 1 3 \, x^3 - \frac 8 9 \, x ^2 + \frac {26 } {27} \right ) \textrm{e} ^{2 \, x} + a \, \textrm{e} ^{ - x}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb {R}\".<\/p>\n<\/div>\n

    Correction de l’exercice 3<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

    La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation homog\u00e8ne est \"x \mapsto a \, \textrm {e} ^{2 \, x}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{K}\".<\/p>\n

    En vue d’utiliser le principe de superposition des solutions, on \u00e9crit<\/p>\n

    \"\textrm{sh} (x) - 2 \, x \, \textrm{ch} (x) =\" \"\quad \quad \quad \displaystyle \left ( \frac 1 2 - x \right ) \, \textrm{e} ^x - \left ( \frac 1 2 + x \right ) \textrm{e} ^{- x}\".<\/p>\n

    On cherche une solution de<\/p>\n

    \"\quad \quad \displaystyle y ' - 2 \, y = \left ( \frac 1 2 - x \right ) \, \textrm{e} ^x\"<\/p>\n

    sous la forme \"y_1 : x \mapsto \lambda(x) \, \textrm{e} ^x\".<\/p>\n

    \"y_1\" est solution ssi \"\displaystyle \forall \, x \in \mathbb{R} , \, \lambda '(x) \, \textrm{e} ^{2 \, x} = \left ( \frac 1 2 - x \right ) \, \textrm{e} ^x\"<\/p>\n

    \"\Leftrightarrow \displaystyle \forall \, x \in \mathbb{R} , \, \lambda '(x) \, = \left ( \frac 1 2 - x \right) \textrm{e} ^{- \, x}\".<\/p>\n

    On cherche \"\lambda\" sous la forme \"\quad \quad \quad x \mapsto (a \, x + b) \, \textrm{e} ^{- \, x}\".<\/p>\n

    0n obtient \"\lambda'(x) = (- a \, x - b + a) \, \textrm{e} ^{- \, x}\"<\/p>\n

    ce qui donne \"- a = -1\" et \"a - b = 1/2\" ssi \"a = 1\" et \"b = 1/2\"<\/p>\n

    donc \"y_1 : x \mapsto \left ( x + \frac 1 2 \right ) \textrm{e} ^{x}\" est une solution particuli\u00e8re.<\/p>\n

    On cherche une solution de<\/p>\n

    \"\quad \quad \displaystyle y ' - 2 \, y = \left ( \frac 1 2 + x \right ) \, \textrm{e} ^{-x}\"<\/p>\n

    sous la forme \"y_2 : x \mapsto \lambda(x) \, \textrm{e} ^{-x}\".<\/p>\n

    \"y_2\" est solution ssi \"\displaystyle \forall \, x \in \mathbb{R} , \, \lambda '(x) \, \textrm{e} ^{2 \, x} = \left ( \frac 1 2 + x \right ) \, \textrm{e} ^x\"<\/p>\n

    \"\Leftrightarrow \displaystyle \forall \, x \in \mathbb{R} , \, \lambda '(x) \, = \left ( \frac 1 2 + x \right) \textrm{e} ^{-3 \, x}\"<\/p>\n

    On cherche \"\lambda\" sous la forme \"\quad \quad \quad \quad x \mapsto (a \, x + b) \, \textrm{e} ^{- 3\, x}\",<\/p>\n

    on obtient \"\lambda'(x) = (-3\, a \, x - 3 \, b + a) \, \textrm{e} ^{- 3 \, x}\"<\/p>\n

    ce qi donne \"- 3 \, a = 1\" et \"a - 3 \, b = 1/2\" ssi \"a = -1/3\" et \"b = -5/18\"<\/p>\n

    donc \"\displaystyle y_2 : x \mapsto \left ( - \frac 1 3 \, x - \frac 5 {18} \right ) \textrm{e} ^{- x}\" est une solution particuli\u00e8re.<\/p>\n

    \"\ast\" Par le principe de superposition des solutions \"z = y_1 - y_2\" est solution particuli\u00e8re<\/p>\n

    \"\displaystyle z : x \mapsto \left ( x + \frac 1 2 \right ) \textrm{e} ^{x} + \left ( \frac 1 3 \, x + \frac 5 {18} \right ) \textrm{e} ^{- x}\"<\/p>\n

    L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions<\/a> :<\/p>\n

    \"x \mapsto \displaystyle \left ( x + \frac 1 2 \right ) \textrm{e} ^{x} + \left ( \frac 1 3 \, x + \frac 5 {18} \right ) \textrm{e} ^{- x}\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, a \, \textrm {e} ^ {2 \, x}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb {R}\".<\/p>\n

    Correction de l’exercice 4<\/strong> :<\/p>\n

    \"f\" est solution d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle de la forme \"y' = y + a\".<\/p>\n

    La solution g\u00e9n\u00e9rale de \"y' = y\" est \"x \mapsto k \, \textrm {e} ^x\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

    \"x \mapsto a\" est solution particuli\u00e8re \u00e9vidente.<\/p>\n

    On en d\u00e9duit que \"\quad \quad \forall \, x \in [0 , \, 1 ] , f(x) = k \, \textrm {e} ^x + a\"<\/p>\n

    avec \"f(0) = 1\" soit \"k + a = 1\" soit \"a = 1 - k\".<\/p>\n

    On impose \"\int_0^1 f(t) \, \textrm{d} t = \left [ k \, \textrm {e} ^t \right ]_0 ^1 + a = k (\textrm{e} - 1) + a\"<\/p>\n

    Puis on traduit<\/p>\n

    \"\forall \, x \in [0 , \, 1] , \, f'(x) = f(x) + \int_0 ^1 f(t) \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

    ssi \"\forall \, x \in [0 , \, 1] ,\" \"\quad \, k \, \textrm {e} ^x = k \, \textrm {e} ^x + a + k \, (\textrm{e} - 1) + a\"<\/p>\n

    ssi \"0 = 2 \, a + k \, (\textrm{e} - 1)\".<\/p>\n

    Sachant que \"a = 1 - k\", on obtient \"2 + k(\textrm{e} - 3) = 0\" soit \"\displaystyle k = -\frac {2} {\textrm{e} - 3}\"<\/p>\n

    et donc \"a = \displaystyle \frac {\textrm{e} - 1} {\textrm{e} - 3}\".<\/p>\n

    La solution du probl\u00e8me est d\u00e9finie par \"f : \displaystyle x \mapsto \frac {1} {3 - \textrm{e}}\left (2 \, \textrm{e} ^x - \textrm{e} + 1 \right )\".<\/p>\n

    Correction de l’exercice 5<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

    On \u00e9crit l’\u00e9quation sous la forme \"\quad \quad \displaystyle y ' - \frac 1 {x \, \ln(x) } \, y = 3 \, x \, \ln(x)\".<\/p>\n

    Une primitive de \"\displaystyle a : \mapsto - \frac 1 {x \, \ln(x) }\" est \"x \mapsto - x \, \ln \vert \ln(x) \vert\"<\/p>\n

    donc la solution g\u00e9n\u00e9rale sur \"]0 ,\, 1[\" est \"x \mapsto \lambda\, \textrm{e} ^{ \ln \vert \ln(x) \vert}\" soit \"x \mapsto \mu \, \ln(x)\" o\u00f9 \"\mu \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

    On utilise la m\u00e9thode de variation de la constante \"x \mapsto \mu (x) \ln(x)\" est solution sur \"I = \; ]0 , \, 1[\" ssi<\/p>\n

    ssi \"\forall\, x \in I , \,\mu'(x) \, \ln(x) = 3 \, x \, \ln(x)\"<\/p>\n

    ssi \"\forall \, x \in I,\, \mu'(x) = 3 \, x\"<\/p>\n

    ssi \"\exists \, C \in \mathbb{R} , \forall\, x \in I, \, \displaystyle \mu(x) = \frac {3 \, x^2} 2 + C\"<\/p>\n

    La solution g\u00e9n\u00e9rale est d\u00e9finie par \"\quad x \mapsto \displaystyle \frac {3 \, x^2 \, \ln(x) } 2 + a \, \ln(x)\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

     <\/p>\n

    2. Exercices corrig\u00e9s \u00e9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 2 en maths sup<\/h2>\n<\/div>\n
    \n

    Exercice 1<\/b><\/p>\n

    \"y'' - 3 \, y' + 2 \, y = \textrm{e} ^x - x - 1\" avec\u00a0 \"y(0) = 0\" et \"y'(0) = 0\".<\/p>\n

    Exercice 2 <\/b><\/p>\n

    \"y'' + y' - 2 \, y = 8 \sin(x)\"<\/p>\n

    avec \"y(0) = 0\" et \"y'(0) = 1\".<\/p>\n

    Exercice 3<\/b><\/p>\n

    R\u00e9soudre \"\quad y'' - 2 \, y' + 2 \, y = \cos x + \textrm{e} ^x \, \sin x\".<\/p>\n

     <\/p>\n\t\t

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     <\/p>\n

    Correction de l’exercice 1<\/strong> :<\/p>\n

    \"\bullet\" \"P(r) = r ^2 - 3 \, r + 2 = (r - 1) (r - 2)\"<\/p>\n

    La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation homog\u00e8ne est \"x \mapsto a \, \textrm{e} ^{x}+ b \, \textrm{e }^{2 \, x}\" o\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb{R} ^2\".<\/p>\n

    On cherche une solution particuli\u00e8re de<\/p>\n

    \"y'' - 3 \, y' + 2 \, y = \textrm{e} ^x\" sous la forme \"y_1 : x \mapsto c \, x \, \textrm{e} ^x\" car \"1\" est racine simple de \"P\".<\/p>\n

    \"y_1'(x) = c (x + 1)\, \textrm{e} ^x\"<\/p>\n

    et \"y_1''(x) = c(x + 2) \, \textrm{e} ^x\".<\/p>\n

    \"y_1\" est solution ssi \"\forall \, x \in \mathbb{R} , \, c (2 - 3) \ \textrm{e} ^x = \textrm{e} ^x\" ssi \"c = - 1\"<\/p>\n

    donc \"y_1 : x \mapsto - x \, \textrm{e} ^x\".<\/p>\n

    On cherche une solution particuli\u00e8re de \"y'' - 3 \, y' + 2 \, y = - x - 1\" sous la forme \"y_2 : x \mapsto d \, x \, + e\"<\/p>\n

    \"y_2\" est solution ssi \"\forall \, x \in \mathbb{R} , \, - 3 \, d + 2 \, d \, x + 2 \, e = - x - 1\"<\/p>\n

    ssi \"2 \, d = -1\" et \"-3 \, d + 2 \, e = - 1\" ssi \"d = -1/2\" et \"e = - 5/4\"<\/p>\n

    soit \"y _ 2 : x \mapsto \displaystyle - \frac {x} 2 - \frac 5 4\".<\/p>\n

    La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation est donn\u00e9e par le principe de superposition des solutions par<\/p>\n

    \"x \mapsto \displaystyle - x \, \textrm{e} ^x - \frac {x} 2 - \frac 5 4 + a \, \textrm{e} ^{x} + b \, \textrm{e} ^{2 \, x}\"<\/p>\n

    o\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb{R}^2\".<\/p>\n

    \"\bullet\" On d\u00e9termine la fonction \"f\" v\u00e9rifiant les conditions initiales.<\/p>\n

    \"f(0) = 0\" ssi \"\displaystyle -\frac 5 4 + a + b = 0\"<\/p>\n

    et comme \"f'(x) = \displaystyle ( - x - 1) \, \textrm{e} ^x - \frac {1} 2 +2\, a \, \textrm{e}^{2 \, x} +b \, \textrm{e} ^ x\"<\/p>\n

    \"\displaystyle f'(0) = - 1 - \frac 1 2 + 2 \, a + b\".<\/p>\n

    On r\u00e9sout donc le syst\u00e8me :<\/p>\n

    \"\; \; \left \{ \begin{matrix} a + b = 5/4 \\ 2 \, a + b = 3/2 \end{matrix} \right.\"\u00a0ssi \"b = 1\" et \"a = 1/4\".<\/p>\n

    La fonction \"f\" cherch\u00e9e est d\u00e9finie par<\/p>\n

    \"f : x \mapsto \displaystyle - x \, \textrm{e} ^x - \frac {x} 2 - \frac 5 4 + \frac 1 4 \, \textrm{e} ^{ x} + \textrm{e} ^{2 \, x}\"<\/p>\n

    Correction de l’exercices 2<\/strong> :<\/p>\n

    L’\u00e9quation caract\u00e9ristique \"\quad \quad r ^2 + r - 2 = (r - 1) (r + 2) = 0\"<\/p>\n

    admet deux racines distinctes \"1\" et \"- 2\".<\/p>\n

    La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation homog\u00e8ne est \"x \mapsto A\, \textrm{e} ^{x} + B \, \textrm{e} ^{ - 2 \, x}\" o\u00f9 \"(A , \, B) \in \mathbb{R} ^2\".<\/p>\n

    On cherche une solution particuli\u00e8re de \"y'' + y' - 2 \, y = 8 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\" de la forme \"y_0 : x \mapsto a \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{C}\".<\/p>\n

    \"y_0(x) = a\, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\"<\/p>\n

    \"y_0'(x) = a\, \textrm{i} \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\"<\/p>\n

    \"y_0''(x) = - a\, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\".<\/p>\n

    \"y_0\" est solution ssi \"\forall \, x \in \mathbb{R} , \, a ( - 1 + \textrm{i} - 2) \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x} = 8 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\"<\/p>\n

    ssi \"a( 3 - \textrm{i}) = -8\" ssi \"\displaystyle a = - \frac{4} 5 ( 3 + \textrm{i})\"<\/p>\n

    \"\displaystyle y_0 : x \mapsto - \frac{4} 5( 3 + \textrm{i}) \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\"<\/p>\n

    Puis \"\mathcal{I}m (y_0)\" est solution particuli\u00e8re de \"y'' + y' - 2 \, y = 8 \sin(x)\"<\/p>\n

    soit :\u00a0 \"\displaystyle x\mapsto - \frac{4} 5( 3\, \sin x +\cos x)\".<\/p>\n

    On en d\u00e9duit que la solution g\u00e9n\u00e9rale est d\u00e9finie par \"x \displaystyle \mapsto A \, \textrm{e} ^{x} + B \, \textrm{e} ^{ - 2 \, x} - \frac{4} 5( 3\, \sin x +\cos x)\"<\/p>\n

    Traduction des conditions initiales\u00a0<\/b><\/p>\n

    \"f(0) = 0\" et \"f'(0) = 1\"<\/p>\n

    ssi \"A + B = 4/5\" et \"A - 2 \, B = 17/5\"<\/p>\n

    ssi \"B = -13/15\" et \"A = 5/3\"<\/p>\n

    La fonction cherch\u00e9e est d\u00e9finie par<\/p>\n

    \"x \displaystyle \mapsto \frac 5 3 \textrm{e} ^{x} - \frac {13} {15} \textrm{e} ^{ - 2 \, x} - \frac{4} 5( 3\, \sin x +\cos x)\"<\/p>\n

    Correction de l’exercice 3<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

    L’\u00e9quation caract\u00e9ristique<\/p>\n

    \"\quad \quad P(r) = r ^2 - 2 \, r + 2 = 0\"<\/p>\n

    admet deux racines \"1 + \textrm{i}\" et \"1 - \textrm{i}\".<\/p>\n

    La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’equation homog\u00e8ne est<\/p>\n

    \"\quad \quad x \mapsto \textrm{e} ^x \left ( A \, \cos x + B \, \sin x \right)\"<\/p>\n

    o\u00f9 \"(A , \, B) \in \mathbb{R} ^2\"<\/p>\n

    On cherche une solution particuli\u00e8re<\/p>\n

    \"y _1\" de \"y'' - 2 y' + 2 y = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\" sous la forme \"y_1 : x \mapsto a \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{C}\".<\/p>\n

    \"y_1'(x) = a \,\textrm{i}\, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\"<\/p>\n

    \"y_1''(x) = - a \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\".<\/p>\n

    \"y_1\" est solution<\/p>\n

    ssi \"\forall \, x \in \mathbb{R},\, a \left ( - 1 - 2 \, \textrm{i} + 2 \right ) \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x} = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\"<\/p>\n

    ssi \"\, a( 1 - 2\, \textrm{i}) = 1\" ssi \"a = \displaystyle \frac { 1 + 2 \, \textrm{i}} {5}\".<\/p>\n

    Puis \"y_2 = \mathcal {R}e(y_1)\" est solution particuli\u00e8re de \"y'' - 2 y' + 2 y = \cos x\"<\/p>\n

    ce qui donne \"y_2 : x \mapsto \displaystyle \frac 1 5 \left ( \cos x - 2 \, \sin x \right )\"<\/p>\n

    On cherche une solution particuli\u00e8re \"y _3\" de \"y'' - 2 y' + 2 y = \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i}) \, x}\" sous la forme \"y_3 : x \mapsto a \,x \, \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i}) \, x}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{C}\".<\/p>\n

    \"y_3'(x) = a \left ( (1 + \textrm{i})\, x + 1 \right ) \, \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i}) \, x}\"<\/p>\n

    \"y_3''(x) = a \left ( (1 + \textrm{i})^2 \, x + 2 (1 + \textrm{i}) \right ) \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i}) \, x}\"<\/p>\n

    \"y_3''(x) = a \left ( 2\, \textrm{i} \, x + 2 (1 + \textrm{i}) \right ) \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i}) \, x}\"<\/p>\n

    \"y_3\" est solution ssi pour tout r\u00e9el \"x\",<\/p>\n

    \"\quad a \left ( 2 (1 + \textrm{i}) - 2 \right ) \, \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i} )\, x} = \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i}) \, x}\"<\/p>\n

    ssi \"2 \, \textrm{i} \, a = 1\" ssi \"a = - \textrm{i} / 2\"<\/p>\n

    soit \"y _ 3: x \mapsto \displaystyle \frac {- \textrm{i} \, x} 2 \, \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i}) \, x}\"<\/p>\n

    Et \"y_4 = \mathcal{I}m (y_3)\" est solution particuli\u00e8re de \"y'' - 2 y' + 2 y = + \textrm{e} ^x \, \sin x\"<\/p>\n

    \"y_4 : x \mapsto \displaystyle \frac {- x} 2 \, \cos x \, \textrm{e} ^x\".<\/p>\n

    La solution g\u00e9n\u00e9rale est d\u00e9finie par \"x \mapsto \displaystyle \frac {- x} 2 \, \cos x \, \textrm{e} ^x \"\quad \quad \quad\quad \quad + \, \textrm{e} ^x \left ( A \, \cos x + B \, \sin x \right)\"<\/p>\n

    o\u00f9 \"(A , \, B) \in \mathbb{R} ^2\" .<\/p>\n

     <\/p>\n

    3. Syst\u00e8mes diff\u00e9rentiels : exercices en MPSI, MP2I, PTSI et PCSI<\/h2>\n

    Exercice 1<\/b>
    \nD\u00e9terminer l’ensemble des fonctions \"x\" et \"y\" de la variable \"t\" v\u00e9rifiant sur \"\mathbb {R}\" \"\quad \left \{ \begin{matrix} x' &=& x + y + t\\ y' &=& - 2 \, x - \, y + \textrm{e} ^{2 \, t} \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

    Correction<\/strong> : \"\bullet\" En utilisant \"\quad \quad \forall \, t \in \mathbb {R}, \; x'(t) = x(t) + y(t) + t\",\u00a0<\/em>
    \non peut conclure que par somme<\/a> de 3 fonctions d\u00e9rivables, \"x'\" est d\u00e9rivable.\u00a0Puis en d\u00e9rivant :\u00a0<\/em>
    \n\"\quad \forall \, t \in \mathbb {R}\", \"x''(t) = x'(t) + y'(t) + 1\".<\/em>
    \nOn utilise la seconde \u00e9quation du syst\u00e8me \"y'(t) = - 2 \, x(t) - \, y(t) + \textrm{e} ^{2 \, t}\"<\/em>
    \npour obtenir :\u00a0<\/em>
    \n\"\; \; x''(t) = x'(t) - 2 \, x(t) - y(t) + \textrm{e} ^t + 1\".<\/em>
    \nDe la premi\u00e8re \u00e9quation, on tire \"y(t)\" en fonction de \"x\" et \"t\" :<\/em>
    \n\"\quad \quad y(t) = x'(t) - x(t) - t\"<\/em>
    \n\u00a0ce qui donne pour tout r\u00e9el \"t\",\u00a0<\/em>
    \n\"x''(t) = x'(t) - 2 \, x(t) - x'(t) + \, x(t)\" \"\quad \quad \quad \quad \quad + \, t + \textrm{e} ^{2 \, t} + 1\".<\/em>
    \nsoit \"x''(t) = - \, x(t) + \, t + 1 + \textrm{e} ^{2 \, t}\".<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\"\u00a0R\u00e9solution de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/b>\u00a0<\/em>
    \n\"\ast\" L’\u00e9quation \"x'' + x = 0\" a pour solution g\u00e9n\u00e9rale \"\; \; t \mapsto a \, \cos(t) + b \, \sin(t)\" o\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb{R}^2\" .\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\ast\"\u00a0Il est \u00e9vident que \"x_1 : t \mapsto t + 1\" est solution particuli\u00e8re de\u00a0\u00a0\"x'' + \, x = \, t + 1\"<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" \"x_2 : t \mapsto \alpha \, \textrm{e} ^{2 \, t}\" est solution particuli\u00e8re de \"x'' + x = \textrm{e} ^{2 \, t}\"\u00a0ssi \"4 \, \alpha + \alpha = 1\" ssi \"\alpha = 1/5\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    On en d\u00e9duit qu’il existe \"(a ,\, b) \in \mathbb {R} ^2\",\u00a0<\/em>
    \n\"\forall \, t \in \mathbb {R}\", \"\displaystyle x(t) = a \, \cos t + b \, \sin t +\frac 1 5 \textrm{e} ^{2 \, t} + \, t+ 1\".<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" En utilisant : \"y(t) = x'(t) - x(t) - t\", on obtient apr\u00e8s calculs, pour tout r\u00e9el \"t\",\u00a0<\/em>
    \n\"\displaystyle y(t) = - ( a + b) \, \sin t + (b - a) \, \cos t\" \"\displaystyle \quad \quad \quad +\, \frac 1 5 \,\textrm{e} ^{2 \, t} - 2 \, t\".<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\"\u00a0Il reste \u00e0 \u00e9tudier la r\u00e9ciproque.\u00a0<\/b><\/em>
    \nLa premi\u00e8re \u00e9quation est v\u00e9rifi\u00e9e, car c’est elle qui a servi \u00e0 d\u00e9terminer \"y(t)\".\u00a0<\/em>
    \nIl reste \u00e0 v\u00e9rifier la deuxi\u00e8me.\u00a0<\/em>
    \nOn calcule si \"t \in \mathbb{R}\"<\/em>
    \n\"u(t) = y'(t) + 2 \, x(t) + \, y(t)\" en utilisant \"y(t) = x'(t) - x(t) - t\", donc \"y'(t) = x''(t) - x'(t) - 1\",<\/em>
    \n\"u(t) = x''(t) - x'(t) - 1 + 2 \, x(t)\" \"\quad \quad \quad \quad + \, x'(t) - x(t) - t\"<\/em>
    \n\"u(t) = x''(t) + x(t) - t - 1 = \textrm {e} ^{2 \, t}\" en utilisant l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle dont \"x\" est solution, on a donc obtenu\u00a0<\/em>
    \n\"\forall\, t \in \mathbb{R},\, y'(t) = - 2 \, x(t) - \, y(t) + \textrm{e} ^{2 \, t}\"\u00a0<\/em>
    \nla deuxi\u00e8me \u00e9quation est v\u00e9rifi\u00e9e.\u00a0<\/em>
    \nLa r\u00e9ciproque est vraie.\u00a0<\/em><\/p>\n

    Conclusion<\/b>\u00a0: les solutions du syst\u00e8me<\/a> sont d\u00e9finies pour tout r\u00e9el \"t\" par :<\/em>
    \n\"\displaystyle x(t) = a \, \cos t + b \, \sin t +\frac 1 5 \textrm{e} ^{2 \, t} + \, t+ 1\"<\/em>
    \net \"\displaystyle y(t) = - ( a + b) \, \sin t + (b - a) \, \cos t\" \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, \frac 1 5 \,\textrm{e} ^{2 \, t} -2 \, t\"<\/em>
    \no\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb {R}^2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    Exercice 2<\/b>
    \nD\u00e9terminer l’ensemble des fonctions \"x\" et \"y\" de la     variable<\/a> \"t\" v\u00e9rifiant sur \"\mathbb {R}\"
    \n\"\quad \quad \left \{ \begin{matrix} x''&=& x' + y' - y \\ y'' &=& x' + y' - x \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

    Correction<\/strong> :<\/p>\n

    \n

    On sait qu’un syst\u00e8me de deux \u00e9quations \"L_1 \,, \, L _2\" est \u00e9quivalent au syst\u00e8me form\u00e9 par \"L_1 + L_2\" et \"L_1 - L_2\"<\/em><\/p>\n

    On obtient donc le syst\u00e8me \u00e9quivalent\u00a0<\/em>
    \n\"\left \{ \begin{matrix} (x+ y)''&=& 2(x + y)' - (x + y )\\ x '' - y'' &=& x - y \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
    \n\"\ast\" en posant \"u = x + y\", on r\u00e9sout \"u'' = 2 \, u' - u\" dont l’\u00e9quation caract\u00e9ristique \"r ^2 - 2 \, r + 1 = (r - 1) ^2\" admet comme solution g\u00e9n\u00e9rale \"\quad \quad \quad u : t \mapsto (a \, t + b) \, \textrm{e} ^t\".\u00a0<\/em>
    \n\"\ast\" En posant \"v = x - y\", on r\u00e9sout \"v'' = v\" ce qui donne \"v : t \mapsto A\, \textrm {e} ^t + B \, \textrm {e} ^{ - t}\" o\u00f9 \"(A , \, B) \in \mathbb{R} ^2\".\u00a0<\/em>
    \n\"\ast\" On termine en utilisant\u00a0<\/em>
    \n\"x = \displaystyle \frac 1 2 ( u + v)\" et \"y = \displaystyle \frac 1 2 ( u - v)\",<\/em>
    \nce qui donne pour tout \"t \in \mathbb {R} , \,\"\u00a0<\/em>
    \n\"x(t) =\displaystyle \frac 1 2 \left ( a \, t + b + A \right ) \, \textrm{e} ^t + \frac B 2 \,\textrm{e} ^{ - t}\"\u00a0<\/em>
    \n\"y(t) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( a \, t + b - A \right ) \, \textrm{e} ^t - \frac B 2 \, \textrm{e} ^{ - t}\" .<\/em>
    \no\u00f9 \"(a ,\, b , \, A ,\, B) \in \mathbb{R} ^4\".<\/em><\/p>\n<\/div>\n

    4. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 1, solution p\u00e9riodique<\/h2>\n

    Soit \"f\" une fonction continue sur \"\mathbb{R}\" et 1-p\u00e9riodique. Soit \"a \in \mathbb{R}^*\".
    \nIl existe une unique solution de \"y' + a \, y = f(x)\" qui est 1-p\u00e9riodique. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

    Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0On r\u00e9sout d’abord l’\u00e9quation.<\/b><\/em>
    \n\"\ast\" \"x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{ - a \, x}\" est solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation sans second membre.<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" On utilise la m\u00e9thode de variation de la constante \"x \mapsto \lambda(x) \, \textrm{e} ^{ - a \, x}\" est solution de l’\u00e9quation<\/em>
    \nssi \"\forall\, x \in \mathbb{R} , \,\lambda'(x) \, \textrm{e} ^{ - a \, x} = f(x)\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"\forall\, x \in \mathbb{R} , \,\lambda'(x) = \, \textrm{e} ^{ a \, x} \, f(x)\"<\/em>
    \nssi \"\exists \,C \in \mathbb{R} , \, \forall\, x \in \mathbb{R} ,\" \"\quad \quad \quad \quad \,\lambda(x) = \int_0 ^x \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t + C\".<\/em><\/p>\n

    On en d\u00e9duit que la solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation est donn\u00e9e par\u00a0<\/em>
    \n\"\quad \quad x \mapsto \left ( \int_0 ^x \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t + C \right ) \, \textrm{e} ^{a \, x}\"<\/em>
    \no\u00f9 \"C \in \mathbb{R}\".<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\"\u00a0Recherche d’une solution 1-p\u00e9riodi- que :\u00a0<\/b><\/em>
    \n\"y\" est \"1\"-p\u00e9riodique<\/em>
    \nssi \"\forall \, x \in \mathbb{R} ,\"<\/em>
    \n\"\left ( \int_0 ^{x + 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t + C \right ) \, \textrm{e} ^{a \, x+ a }\" \"\quad \quad \quad = \left ( \int_0 ^x \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t + C \right ) \, \textrm{e} ^{a \, x}\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"\forall\, x \in \mathbb{R}\",\u00a0<\/em>
    \n\"\int_0 ^{x + 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t + C\" \"\quad \quad \quad = \textrm{e} ^{- a } \left ( \int_0 ^x \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t + C \right )\" \u00a0(*)<\/em>
    \nOn calcule par la relation de Chasles :\u00a0<\/em>
    \n\"\int_0 ^{x + 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t=\"<\/em>
    \n\"\quad \int_0 ^{ 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t + \int_1 ^{x + 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t\"<\/em>
    \nOn utilise le changement de variable : \"\varphi : u \mapsto u - 1\" dans la deuxi\u00e8me     int\u00e9grale<\/a> (\"t = u - 1\"), \"\varphi\" est de classe \"C ^1\" sur \"\mathbb {R}\" :\u00a0<\/em>
    \n\"\int_1 ^{x + 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t= \int_0 ^{x } \textrm{e} ^{ a \, (u - 1)} \, f(u - 1) \, \textrm{d} \, u\"<\/em>
    \nce qui donne puisque \"f\" est \"1\"-p\u00e9riodique\u00a0<\/em>
    \n\"\int_1 ^{x + 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t= \textrm{e} ^{ - a} \int_0 ^{x } \textrm{e} ^{ a \, u } \, f(u) \, \textrm{d} \, u\"<\/em><\/p>\n

    La condition n\u00e9cessaire et suffisante (*) s’\u00e9crit alors \"\forall\, x \in \mathbb{R}\",\u00a0<\/em>
    \n\"\int_0 ^{ 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t + \textrm{e} ^{ - a} \int_0 ^{x } \textrm{e} ^{ a \, u } \, f(u) \, \textrm{d} \, u\"\u00a0<\/em>
    \n\" \quad + \, C = \textrm{e} ^{- a } \left ( \int_0 ^x \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t + C \right )\"<\/em>
    \nssi \"\int_0 ^{ 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t + C = C \, \textrm{e} ^{- a }\"<\/em>
    \nssi \"C( \textrm{e} ^{ - a} - 1 ) = \int_0 ^{ 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t\"<\/em>
    \nssi \"C= \displaystyle \frac 1 { \textrm{e} ^{ - a} - 1 } \, \int_0 ^{ 1} \textrm{e} ^{ a \, t} \, f(t) \, \textrm{d} \, t\".<\/em><\/p>\n

    Conclusion<\/b>\u00a0: il existe une et une seule solution \"1\"– p\u00e9riodique.\u00a0<\/em>\u00a0<\/em><\/p>\n

    5. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 1 : probl\u00e8mes de raccords<\/h2>\n<\/div>\n<\/div>\n
    \n

    Exercice 1<\/b>
    \n\"2 \, x \, y' + y - x^2 = 0\" \u00e0 r\u00e9soudre sur \"I_1 = \mathbb{R } ^{- *}\" ou \"I_2 = \mathbb{R} ^{+*}\".
    \nPuis d\u00e9terminer les solutions sur\u00a0 \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

    Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re partie\u00a0<\/b><\/em>
    \n0n r\u00e9sout l’\u00e9quation sur \"I_1 = \mathbb{R } ^{- *}\" ou \"I_2 = \mathbb{R} ^{+*}\" apr\u00e8s l’avoir \u00e9crite sous la forme \"\displaystyle y' + \frac {1} {2 \, x} y = \frac {x} 2\".<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" La solution g\u00e9n\u00e9rale de \"\displaystyle y' + \frac {1} {2 \, x} y = 0\" est \"x \mapsto \lambda \textrm{e} ^{- \ln \vert x \vert / 2}\" soit \"\displaystyle x \mapsto \frac {\lambda} {\sqrt {\vert x \vert }}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" On utilise la m\u00e9thode de variation de la constante avec \"y : x \mapsto \displaystyle \frac {\lambda(x)} {\sqrt{\varepsilon \, x } }\" o\u00f9 \"\varepsilon = 1\" sur \"I_2\" et \"\varepsilon = - 1\" sur \"I_1\".<\/em>
    \n\"y\" est solution sur \"I_k\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"\forall \, x \in I_k \, , \, \displaystyle \frac {\lambda'(x) } {\sqrt{\varepsilon \, x } } = \frac {x} 2\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"\forall \, x \in I_k \, , \, \displaystyle {\lambda'(x) } = \frac {x {\sqrt{\varepsilon \, x } }} 2\"\u00a0<\/em>
    \nOn utilise \"x \mapsto x \, \sqrt{ x} = x^{3/2}\" de primitive \"\displaystyle x \mapsto \frac {2 \, x ^{5/2} } 5\" si\u00a0 \"\varepsilon = 1\"<\/em>
    \net \"x \mapsto x \, \sqrt {- x}= - (- x)^{3/2}\" de primitive \"\displaystyle x \mapsto \frac {2 \, (-x) ^{5/2}} 5\" si \"\varepsilon = -1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"y\" est solution sur \"I_k\"<\/em>
    \nssi \"\exists \, C \in \mathbb{R} , \, \forall \, x \in I_k \, ,\" \"\quad \quad \quad \, \displaystyle {\lambda(x) } = \frac { (\varepsilon \, x ) ^{5/2} } 5 + C\"\u00a0<\/em>
    \nDonc la solution g\u00e9n\u00e9rale sur \"I_2\" est\u00a0<\/em>
    \n\"\displaystyle x \mapsto \frac a {\sqrt{x} } + \frac {x^2} 5\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\"<\/em>
    \net sur \"I_1\" :\u00a0 \"\displaystyle x \mapsto \frac b {\sqrt{- x} } + \frac {x^2} 5\" o\u00f9 \"b \in \mathbb{R}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\"\u00a0Deuxi\u00e8me partie\u00a0<\/b><\/em>
    \nRecherche d’une solution sur \"\mathbb{R}\" de \"\quad \quad \quad 2\, x \, y' + y - x^2 = 0\".<\/em>
    \nOn note \"f(x) = \displaystyle \frac b {\sqrt{- x} } + \frac {x^2} 5\" si \"x < 0\"<\/em>
    \net \"f(x) = \displaystyle \frac a {\sqrt{x} } + \frac {x^2} 5\" si \"x > 0\".<\/em>
    \n\"\ast\" Si \"a \neq 0\" ou \"b \neq 0\", \"f\" n’a pas de limite finie en \"0\".<\/em>
    \n\"\ast\" Si \"a = b = 0\", les limites de \"f\" \u00e0 gauche et \u00e0 droite de \"0\" sont nulles.\u00a0<\/em>
    \nOn pose \"f(0) = 0\".<\/em>
    \nDans ce cas, pour tout \"x\", \"f(x) = \displaystyle \frac {x^5} 2\".<\/em>
    \n\"f\" est alors d\u00e9rivable en \"0\" et \"f'(0) = 0\".\u00a0<\/em>
    \nOn v\u00e9rifie que \"2 \, 0 \, f'(0) + f(0) - 0 ^2 = 0\", donc \"f\" est encore solution de \"(\mathcal{E})\" en \"0\".<\/em>
    \nElle est solution sur \"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    Conclusion<\/b>\u00a0: L’\u00e9quation admet une unique solution sur \"\mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"x \displaystyle \mapsto \frac {x^5} 2\".<\/em><\/p>\n

    Exercice 2<\/b>
    \nR\u00e9soudre l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"\quad \quad \quad (\mathcal{E}) : x y' - 2 y = x^3 + 2\"
    \nsur \"\mathbb{R}^ {+*}\" et sur \"\mathbb{R}^{-*}\".
    \nD\u00e9terminer les solutions sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

    Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0R\u00e9solution sur<\/b>\u00a0 \"I_1 = \mathbb{R}^{-*}\" et sur \"I_2 = \mathbb{R}^{+*}\".<\/em>
    \nOn \u00e9crit l’\u00e9quation sous la forme \"(\mathcal{E}'): \displaystyle y ' - \frac 2 x \, y = x^2 + \frac 2 x\" et on r\u00e9sout l’\u00e9quation sur \"I_k\" avec \"k = 1 , 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" La solution g\u00e9n\u00e9rale sur \"I_k\" de \"\displaystyle y ' - \frac 2 x \, y = 0\" est \"x \mapsto \lambda \, x^2\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\" car \"x \displaystyle \mapsto - \frac 2 x\" admet comme primitive \"x \mapsto -2 \, \ln \vert x \vert\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" On utilise la m\u00e9thode de variation de la constante.\u00a0<\/em>
    \n\"x \mapsto \displaystyle \lambda (x) \, x^2\" est solution de \"(\mathcal{E'})\" sur \"I_k\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"\forall \, x \in I_k \, ,\, x ^2 \, \lambda'(x) = \displaystyle x^2 + \frac 2 x\"<\/em>
    \nssi \"\forall \, x \in I_k \, ,\, \lambda'(x) = \displaystyle 1 + \frac 2 {x ^3}\"<\/em>
    \nssi \"\exists \, C \in \mathbb{R}, \, \forall \, x \in I_k \, ,\" \"\quad \quad \quad \, \lambda(x) = \displaystyle x - \frac 1 {x ^2} + C\".<\/em><\/p>\n

    L’ensemble des solutions de \"(\mathcal{E}')\" sur \"I_1\" est l’ensemble des fonctions \"\quad \quad x \mapsto \displaystyle a \, x ^2 + x ^3 - 1\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\".<\/em>
    \nL’ensemble des solutions de \"(\mathcal{E}')\" sur \"I_2\" est l’ensemble des fonctions \"\quad \quad x \mapsto \displaystyle b \, x^2 + x ^ 3 - 1\" o\u00f9 \"b \in \mathbb{R}\"<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\"\u00a0Recherche de solutions de\u00a0<\/b>\"(\mathcal{E})\" sur \"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
    \nOn note \"f(x) = \left \{ \begin{matrix} a \, x^2 + x ^3 - 1 \textrm{ si } x < 0\\ b \, x^2 + x ^3 - 1 \textrm{ si } x > 0 \end{matrix} \right.\"<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" Pour tout \"a\" et \"b\", \"f\" admet \"- 1\" pour limite en \"0\". On pose \"f(0) = -1\".\u00a0<\/em>
    \nOn introduit le taux d’accroissement de \"f\" en \"0\" :\u00a0<\/em>
    \n\"\displaystyle T(x) = \frac {f(x) - f(0)} x = \left \{ \begin{matrix} a \, x + x ^2 \textrm{ si } x < 0\\ b \, x + x ^2 \textrm{ si } x > 0 \end{matrix} \right.\"<\/em>
    \n\u00a0alors \"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {f(x) - f(0)} x = 0\".<\/em>
    \n\"f\" est d\u00e9rivable en \"0\" et \"f'(0) = 0\".\u00a0<\/em>
    \n\"f\" est encore solution de l’\u00e9quation en \"0\" car \"0 \times f'(0) - 2 \, f(0) = 0 ^3 + 2\"\u00a0<\/em><\/p>\n

    L’\u00e9quation \"(\mathcal{E})\" admet une infinit\u00e9 de solutions sur \"\mathbb{R }\".\u00a0<\/em>
    \nLeurs graphes passent tous par l’origine.<\/em><\/p>\n

    ⚠️ On peut remarquer que le th\u00e9or\u00e8me de Cauchy-Lipschitz ne s’applique pas sur \"\mathbb{R}\" car le coefficient de \"y'\" s’annule.\u00a0<\/em><\/p>\n

    6. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 2 : changement de fonction inconnue<\/h2>\n

    Pour chaque question, on cherchera le domaine de d\u00e9rivabilit\u00e9 et la d\u00e9riv\u00e9e.<\/p>\n

    Exercice 1<\/b>
    \nR\u00e9soudre sur \"I = \mathbb {R } ^ {+*}\" l’\u00e9quation \"\displaystyle x^2 \,y''(x) + x \, y'(x) + \left ( x^2 - \frac 1 4 \right ) y = 0\" en posant \"\displaystyle u(x) = \sqrt{x} \, y(x)\"<\/p>\n

    Correction<\/strong> : 👍 Il est important de ne pas oublier de d\u00e9montrer que \"u\" est deux fois d\u00e9rivable.<\/em>
    \n👍 On d\u00e9rive \"y\" en fonction de \"u\" et non \"u\" en fonction de \"y\" pour remplacer dans l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle.\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" Si \"y\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"I\" par produit de deux fonction 2 fois d\u00e9rivable sur \"I\", \"u\" l’est aussi.<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" On \u00e9crit \"\displaystyle y(x) = u(x) \, x ^{ - 1/2}\" ce qui permet de d\u00e9river plus facilement \"y\" en fonction de \"u\".\u00a0<\/em>
    \nPour tout \"x \in I\",\u00a0<\/em>
    \n\"y(x) = u(x) \, x ^{ - 1/2}\"<\/em>
    \n\"\displaystyle y'(x) = u'(x) \, x ^{ - 1/2} - \frac 1 2 u(x) \, x ^{- 3 /2}\"<\/em>
    \n\"\displaystyle y''(x) = u''(x) \, x ^{ - 1/2} - 2 . \frac 1 2 u'(x) \, x ^{- 3 /2}\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad + \, \frac 3 4 u(x) \, x ^{- 5 /2}\"<\/em><\/p>\n

    👍 On remplace dans l’\u00e9quation, en regroupant directement les termes en \"u\", ceux en \"u'\" et le seul terme en \"u''\".\u00a0<\/em>
    \n\"y\" est solution sur \"I\" ssi \"\forall\, x \in I\",<\/em>
    \n\"\displaystyle u''(x) \, x ^{3/2} + \left ( - x ^ {1/2} + x ^{- 1/2} \right ) u'(x)\" \"\displaystyle + \, \left ( \frac 3 {4 \, \sqrt{x}} - \frac 1 {2 \, \sqrt{x}} + x ^{3/2} - \frac 1 {4 \, \sqrt{x}} \right ) u(x)\" \"= 0\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"\forall\, x \in I, \, x^{3/2} \left ( u''(x) + u(x) \right )= 0\"<\/em>
    \nssi \"\forall\, x \in I, \, u''(x) + u(x)= 0\"<\/em>
    \nssi \"\exists (a , \, b) \in \mathbb{R} ,\" \"\quad \quad \,\forall\, x \in I, u(x) = a \, \cos(x) + b\, \sin(x)\".<\/em><\/p>\n

    ⚠️ \u00e0 ne pas oublier de donner les solutions \"y\".<\/em>
    \nL’ensemble des solutions sur \"I\" est l’ensemble des fonctions\u00a0<\/em>
    \n\"\displaystyle x \mapsto \frac {a \, \cos(x) + b\, \sin(x)} {\sqrt{x}}\" o\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb {R}^2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    Exercice 2<\/b>
    \nR\u00e9soudre l’\u00e9quation \"x^2 \, y'' + 4 \, x \, y' + (2 - x^ 2) y = 1\" sur \"I = \mathbb{R}^{+ *}\" en posant \"u(x) = x^2 \, y (x)\"<\/p>\n

    Correction<\/strong> : 👍 Il est important de ne pas oublier de d\u00e9montrer que \"u\" est deux fois d\u00e9rivable.<\/em>
    \n👍 On d\u00e9rive \"y\" en fonction de \"u\" et non \"u\" en fonction de \"y\" pour remplacer dans l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle.\u00a0<\/em>
    \nSi \"y\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"I\", \"u\" l’est aussi.\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\"\u00a0Recherche de la nouvelle \u00e9quation diff\u00e9rentielle\u00a0<\/b><\/em>
    \nSi \"x \in I\",\u00a0<\/em>
    \n\"y(x) = \displaystyle \frac {u(x)} {x^2 }\"<\/em>
    \n\"y'(x) = \displaystyle \frac {u'(x)} {x^2} - \frac {2 \, u(x)} {x^3}\"<\/em>
    \n\"y'(x) = \displaystyle \frac {u''(x)} {x^2} - \frac {4 \, u'(x)} {x^3} + \frac {6 \, u(x)} {x^4}\".<\/em><\/p>\n

    On remplace dans l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle en regroupant d\u00e8s le d\u00e9but les termes en \"u(x)\" et \"u'(x)\" :\u00a0<\/em>
    \n\"y\" est solution sur \"I\" ssi pour tout \"x \in I\"\u00a0<\/em>
    \n\"\displaystyle u''(x) + u'(x) \left ( - \frac {4} x + \frac {4} x \right )\" \"\quad \quad \displaystyle + \, u(x) \left ( \frac {6} {x^2} - \frac {4} {x^2} + \frac 2 {x^2} - 1 \right ) = 1\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"\forall\, x \in I,\, u''(x) - u(x) = 1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\"\u00a0D\u00e9termination de<\/b>\u00a0\"u\"\u00a0<\/em>
    \n\"\ast\" La solution g\u00e9n\u00e9rale de \"u'' - u = 0\" est \"x \mapsto a \, \textrm{e} ^{x} + b \, \textrm{e} ^{- x}\" o\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb{R}^2\".\u00a0<\/em>
    \n\"\ast\" La fonction \"x \mapsto - 1\" est solution particuli\u00e8re de \"u'' - u = 1\"<\/em>
    \n\"\ast\" La solution g\u00e9n\u00e9rale de \"u'' - u = 1\" est\u00a0<\/em>
    \n\"x \mapsto a \, \textrm{e} ^{x} + b \, \textrm{e} ^{- x} - 1\" o\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb{R}^2\"\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" ⚠️ \u00e0 donner les solutions \"y\".\u00a0<\/em>
    \nL’ensemble des solutions de \"(\mathcal{E})\" sur \"I\" est l’ensemble des fonctions\u00a0<\/em>
    \n\"\quad \quad x \displaystyle \mapsto \frac 1 {x^2} \left ( a \, \textrm{e} ^{x} + b \, \textrm{e} ^{- x} - 1\right )\"<\/em>
    \n\u00a0o\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb{R}^2\".<\/em><\/p>\n

    Exercice 3<\/b>
    \n\"(\mathcal{E}) : x^2 \, \textrm{e} ^y \, y' - \textrm{e} ^y + 1 = 0\" \u00e0 r\u00e9soudre sur \"I = \mathbb{R } ^{+ *}\"<\/p>\n

    Correction<\/strong> :<\/p>\n

    \n

    Si l’on pose \"z = \textrm{e} ^y\", \"z\" est d\u00e9rivable et on obtient une \u00e9quation lin\u00e9aire du premier ordre \"x ^2 \, z' + z - 1 = 0\" que l’on r\u00e9sout sur \"I = \mathbb{R } ^{+ *}\" apr\u00e8s l’avoir \u00e9crite sous la forme \"\displaystyle z' - \frac {1} { x^2 } z = -\frac 1 {x^ 2 }\" et que l’on note \"(\mathcal{E}')\".<\/em><\/p>\n

     <\/p>\n

    \"\bullet\" Une primitive de \"x \mapsto \displaystyle \frac {-1} { x^2 }\" est \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x}\" donc la solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation homog\u00e8ne sur \"I\" est \"x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{ - 1 / x}\"<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" il est \u00e9vident que \"x \mapsto 1\" est solution de l’\u00e9quation compl\u00e8te.\u00a0<\/em>
    \nDonc la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{E}')\" est \"x \mapsto \lambda \, \, \textrm{e} ^{ - 1 / x} + 1\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" On a pos\u00e9 \"z = \textrm{e} ^y\", donc la fonction\u00a0 \"z : x \mapsto \lambda \, \, \textrm{e} ^{ - 1 / x} + 1\" doit \u00eatre \u00e0 valeurs strictement positives.\u00a0<\/em>
    \n\"\ast\" si \"\lambda \geq 0\", \"z\" est \u00e0 valeurs strictement positives.\u00a0<\/em>
    \n\"\ast\" Si \"\lambda < 0\", \"z\" est strictement d\u00e9croissante sur \"I\", admet \"1\" pour limite en \"0\" et \"\lambda + 1\" pour limite en \"+\infty\". Donc \"z\" est \u00e0 valeurs strictement positives ssi \"\lambda + 1 > 0\".<\/em><\/p>\n

    On a donc prouv\u00e9 que \"z\" est \u00e0 valeurs strictement positives ssi \"\lambda > - 1\".\u00a0<\/em>
    \nLa solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation \"(\mathcal{E})\" sur \"I\" est donc\u00a0<\/em>
    \n\"\quad x \mapsto \ln \left ( 1 + \lambda \, \textrm{e} ^{ - 1/x} \right )\" o\u00f9 \"\lambda > - 1\".<\/em><\/p>\n

    ⚠️ cet exercice demandait une discussion apr\u00e8s avoir d\u00e9termin\u00e9 \"z\" pour obtenir \"y\".\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

    7. Sur les graphes des solutions d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/h2>\n

    On se place sur \"I = \;] - \pi/2 \; , \, \pi/2[\".
    \net soit \"(\mathcal {E}) : y' = y \tan(x) - \cos^2(x)\"<\/p>\n

    Question 1<\/b>.
    \nR\u00e9soudre l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle.<\/p>\n

    Correction<\/strong> : \"\bullet\" On r\u00e9sout l’\u00e9quation homog\u00e8ne.\u00a0<\/em>
    \n\"x \mapsto - \tan(x)\" admet comme primitive sur \"I\" : \"x \mapsto \ln( \cos x )\"<\/em>
    \ndonc \"x \mapsto \lambda \, \textrm {e } ^ {- \ln( \cos(x))}\" soit \"x \displaystyle \mapsto \frac {\lambda } {\cos x}\"\u00a0 est la solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation homog\u00e8ne.<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" On utilise la m\u00e9thode de variation de la constante\u00a0<\/em>
    \n\"x \displaystyle \mapsto \frac {\lambda (x) } {\cos x}\" est solution de \"(\mathcal{E})\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"\displaystyle \forall \; x \in I , \, \frac {\lambda' (x) } {\cos x} = - \cos^2(x)\"<\/em>
    \nssi \"\forall \; x \in I , \, \lambda' (x) = - {\cos x}( 1 - \sin^2(x))\"<\/em>
    \nssi \"\displaystyle \exists \, C \in \mathbb {R},\forall \; x \in I ,\" \"\quad \quad \quad \displaystyle \, \lambda (x) = - {\sin x}+ \frac {\sin^3(x))} 3\".<\/em><\/p>\n

    L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions \"x \mapsto \displaystyle \frac {\sin ^3 x } {3 \cos x } - \tan(x) + \frac {\lambda } {\cos x}\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\" .\u00a0<\/em><\/p>\n

    Question 2<\/b>
    \nD\u00e9terminer l’ensemble des points des courbes repr\u00e9sentatives des solutions \u00e0 tangente horizontale.<\/p>\n

    Question 3\u00a0<\/b>
    \nD\u00e9terminer l’ensemble des points des courbes repr\u00e9sentatives o\u00f9 \"y''(x) = 0\".<\/p>\n

    8. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 2, probl\u00e8me de raccord<\/h2>\n

    exercice 1<\/b>
    \n\"y'' + y = \vert x \vert + 1\".<\/p>\n

    Correction<\/strong> : \"\bullet\" La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation homog\u00e8ne est \"x \mapsto a \cos(x) + b \sin(x)\" o\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb {R}^2\".<\/em>
    \nIl est \u00e9vident que \"x \mapsto x + 1\" est solution particuli\u00e8re sur \"\mathbb {R}^{+*}\" de \"y'' + y = x + 1\".\u00a0<\/em>
    \nDonc la solution g\u00e9n\u00e9rale sur \"\mathbb {R}^ {+* }\" est \"\quad \quad x \mapsto x + 1 + a \, \cos(x) + b \, \sin(x)\"\u00a0<\/em>
    \no\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb{R}^2\".<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" Il est \u00e9vident que \"x \mapsto - x + 1\" est solution particuli\u00e8re sur \"\mathbb {R}^{-*}\" de \"y'' + y = - x + 1\".\u00a0<\/em>
    \nDonc la solution g\u00e9n\u00e9rale sur \"\mathbb {R}^ {-* }\" est \"\quad x \mapsto - x + 1 + c \cos(x) + d \sin(x)\"\u00a0<\/em>
    \no\u00f9 \"(c , \, d) \in \mathbb{R}^2\".<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\"\u00a0Recherche d’une solution sur\u00a0<\/b>\"\mathbb{R}\".<\/em>
    \nOn d\u00e9finit \"f(x) =\" \"\left \{ \begin{matrix} -x + 1 + a \cos(x) + b \sin(x)\textrm{ si } x < 0\\ x + 1 + c \cos(x) + d \sin(x)\textrm{ si } x > 0 \end{matrix} \right.\"<\/em>
    \n\"\ast\" \"f\" admet \"1 + a\" pour limite \u00e0 gauche en \"0\" et \"1 + c\" pour limite \u00e0 droite en \"0\".\u00a0<\/em>
    \n\"f\" est prolongeable par continuit\u00e9 en \"0\" ssi \"a = c\" ce que l’on suppose dans la     suite<\/a>.\u00a0<\/em>
    \nOn pose alors \"f(0) = a + 1\"<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" Si \"x < 0\"<\/em>
    \n\"\displaystyle \frac {f(x) - f(0)} x =\" \"\displaystyle \quad\quad \quad \quad a\, \frac {\cos(x) - 1} x + b \, \frac {\sin(x)} x - 1\"<\/em>
    \ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^{-}} \frac {f(x) - f(0)} x = b - 1\"<\/em>
    \nen utilisant \"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\sin(x) } x = 1\" et \"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {1 - \cos(x) } {x} = - (\cos)'(0) = \sin(0) 0\".<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" Si \"x > 0\",<\/em>
    \n\"\displaystyle \frac {f(x) - f(0)} x =\" \"\displaystyle \quad \quad\quad \quad a\, \frac {\cos(x) - 1} x + d \, \frac {\sin(x)} x + 1\"<\/em>
    \ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^{+}} \frac {f(x) - f(0} x = d + 1\".<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" 0n en d\u00e9duit que \"f\" est d\u00e9rivable en \"0\" ssi \"b - 1 = d + 1\" ssi \"d = b - 2\"<\/em>
    \nce que l’on suppose dans la suite.\u00a0<\/em>
    \nAlors \"f'(0) = b - 1\"<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" Alors\u00a0\"f(x) =\" \"\left \{ \begin{matrix} -x + 1 + a\, \cos(x) + b\, \sin(x)\textrm{ si } x < 0\\ x + 1 + a \cos(x) + (b - 2) \sin(x)\textrm{ si } x \geq 0 \end{matrix} \right.\"<\/em>
    \ndonc \"f'(x) =\" \"\left \{ \begin{matrix} - 1 - a \sin(x) + b \cos(x)\textrm{ si } x \geq 0\\ 1 - a \sin(x) + (b - 2) \cos(x)\textrm{ si } x \geq 0 \end{matrix} \right.\"<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" Si \"x < 0\"<\/em>
    \n\"\displaystyle \frac {f'(x) - f'(0)} x = - a\, \frac {\sin(x)} x + b \frac {\cos(x) - 1 } x\"<\/em>
    \ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^{-}} \frac {f'(x) - f'(0)} x = - a\".<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" Si \"x > 0\"<\/em>
    \n\"\displaystyle \frac {f'(x) - f'(0)} x =\" \"\displaystyle \quad \quad \quad - a\, \frac {\sin(x)} x + (b - 2) \frac {\cos(x) - 1 } x\"<\/em>
    \ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^{+}} \frac {f'(x) - f'(0)} x = - a\".<\/em>
    \n\"f\" est deux fois d\u00e9rivable en \"0\" et \"f''(0) = - a\".<\/em><\/p>\n

    On v\u00e9rifie ensuite que \"f''(0) + f(0) = - a + a + 1 = \vert 0 \vert + 1\", donc \"f\" est solution sur \"\mathbb {R }\".<\/em><\/p>\n

    Les solutions sont d\u00e9finies par\u00a0<\/em>
    \n\"f(x) =\" \"\left \{ \begin{matrix} -x + 1 + a \cos(x) + b \sin(x)\textrm{ si } x < 0\\ x + 1 + a \cos(x) + (b - 2) \sin(x)\textrm{ si } x \geq 0 \end{matrix} \right.\" o\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb {R } ^2\".\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

    Exercice 2<\/b>
    \n\"y'' + 2\, y' + y = \textrm {e } ^{\vert x \vert}\"<\/p>\n

    Correction<\/strong> : \"\bullet\" R\u00e9solution sur \"I_1 = \mathbb {R }^{+*}\"\u00a0et<\/b>\u00a0\"I_2 = \mathbb {R }^{-*}\".<\/em>
    \n\"\ast\" La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation homog\u00e8ne est \"x \mapsto (a \, x + b) \textrm {e } ^ {-x}\".<\/em>
    \n\"\ast\" On cherche une solution particuli\u00e8re sur \"I_1\" de \"y'' + 2 \, y' + y = \textrm {e } ^{ x }\" sous la forme \"y_1 : x \mapsto A \, \textrm {e} ^{ x}\"<\/em>
    \n\"y_1\" est solution sur \"I_1\" ssi \"A + 2 \, A + A = 1\" ssi \"A = 1/4\".<\/em>
    \nLa solution g\u00e9n\u00e9rale sur \"I_1\" est d\u00e9finie par \"\displaystyle x \mapsto (a \, x + b) \, \textrm {e} ^{- x} + \frac 1 4 \textrm{e} ^{x}\" o\u00f9\u00a0\"(a , \, b) \in \mathbb{R}^2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" On cherche une solution particuli\u00e8re sur \"I_2\" de \"y'' + 2 y' + y = \textrm {e } ^{ -x }\" sous la forme \"y_2 : x \mapsto A \,x ^2 \textrm {e} ^{- x}\"<\/em>
    \n\"y_2(x) = A \,x ^2 \textrm {e} ^{ -x}\"<\/em>
    \n\"y_2'(x) = A \,(-x ^2 + 2 \, x) \, \textrm {e} ^{ -x}\"<\/em>
    \n\"y_2''(x) = A \,(x ^2 - 4 \, x + 2 ) \, \textrm {e} ^{- x}\"<\/em>
    \n\"y_2\" est solution sur \"I_2\" ssi \"\forall \, x \in I_2 \, , \, 2 \, A \, \textrm {e} ^{- x} = \textrm {e} ^{ -x}\" ssi \"A = 1/2\"<\/em>
    \nLa solution g\u00e9n\u00e9rale sur \"I_2\" est d\u00e9finie par \"\displaystyle x \mapsto (c \, x + d) \, \textrm {e} ^{- x} + \frac {x^2} 2 \textrm{e} ^{-x}\" o\u00f9\u00a0\"(c , \, d) \in \mathbb{R}^2\".<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\"\u00a0Recherche d’une solution sur\u00a0<\/b>\"\mathbb {R}\".\u00a0<\/em>
    \nOn note \"f(x) = \left \{ \begin{matrix} (x ^2 / 2 + c \, x + d) \, \textrm {e} ^{-x} \textrm{ si } x < 0\\ (a \, x + b)\, \textrm{e} ^{ - x } + \textrm{e} ^{x} / 4 \textrm{ si } x > 0 \end{matrix} \right.\"<\/em>
    \n\"\ast\" \"f\" admet \"d\" pour limite \u00e0 gauche en \"0\" et \"b + 1/4\" pour limite \u00e0 droite en \"0\".\u00a0<\/em>
    \n\"f\" est prolongeable par continuit\u00e9 en \"0\" ssi \"d = b + 1/4\" ce que l’on suppose dans la suite.\u00a0<\/em>
    \nOn pose alors \"f(0) = d = b + 1/4\".<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" Si \"x < 0\",<\/em>
    \n\"\displaystyle \frac {f(x) - f(0)} x = \left ( \frac x 2 + c \right ) \, \textrm{e} ^{- x } + d \, \frac {\textrm{e} ^{- x} - 1} x\"\u00a0<\/em>
    \ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^{-}} \frac {f(x) - f(0)} x = c - d\"<\/em>
    \nen utilisant \"\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac {\textrm{e} ^{t} - 1 } t = 1\" donc\u00a0<\/em>
    \n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{e} ^{-x} - 1 } x = -1\".<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" Si \"x > 0\",<\/em>
    \n\"\displaystyle \frac {f(x) - f(0)} x =\" \"\quad \quad \quad \displaystyle a \, \textrm{e} ^{- x } + b \, \frac {\textrm {e }^{-x} - 1} x + \frac 1 4 \, \frac {\textrm{e} ^{ x} - 1} x\"\u00a0<\/em>
    \n\"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^ {-} } \frac {f(x) - f(0)} x = a - b + \frac 1 4\".<\/em><\/p>\n

    \"f\" est d\u00e9rivable en \"0\"<\/em>
    \nssi \"c - d = a - b + 1/4\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"c - b - 1/4 = a - b + 1/4\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"c = a + 1/2\"<\/em>
    \net dans ce cas \"f'(0) = c - d = a - b + 1/4\", ce que l’on suppose dans la suite.\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" Si \"x< 0\", \"\displaystyle f'(x) = \left ( - \frac {x^2} 2 + (1 - c) x + c - d \right ) \, \textrm{e} ^ {- x}\"<\/em>
    \n\"\displaystyle \frac {f'(x) - f'(0)} x =\" \"\displaystyle \quad \left ( - \frac {x} 2 + 1 - c \right ) \, \textrm{e} ^ {- x} + (c - d) \, \frac {\textrm {e} ^{-x} - 1} x\"<\/em>
    \n\"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^ {-} } \frac {f'(x) - f'(0)} x = 1 - c - (c - d)\".<\/em><\/p>\n

    \"\ast\" Si \"x >0\", \"\displaystyle f'(x) =\left ( - a \, x - b + a \right ) \, \textrm {e } ^ {-x } + \frac 1 4 \, \textrm {e } ^x\"\u00a0<\/em>
    \n\"\displaystyle \frac {f'(x) - f'(0)} x =\" \"\displaystyle\;\; \; - a \, \textrm{e} ^{- x} + (a - b) \, \frac {\textrm {e} ^{-x} - 1} x + \frac 1 4 \frac {\textrm {e} ^{x} - 1} x\"<\/em>
    \n\"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^ {+} } \frac {f'(x) - f'(0)} x = - 2 \, a + b + \frac 1 4\".<\/em>
    \n\"f'\" est d\u00e9rivable en \"0\" ssi \"\displaystyle 1 + d - 2\, c = - 2 \, a + b + \frac 1 4 = - 2 \, a + d\" ssi \"1 = 2 \, c - 2 \, a\" condition d\u00e9j\u00e0 introduite.\u00a0<\/em><\/p>\n

    Les fonctions solutions sont d\u00e9finies par :\u00a0<\/em>
    \n\"f(x) = \displaystyle (a \, x + b) \, \textrm{e} ^{- x} + \frac 1 4 \textrm{e} ^{ x}\" si \"x \geq 0\"<\/em>
    \net si \"x < 0\",\u00a0<\/em>
    \n\"f(x)= \displaystyle \left ( \frac {x ^2 } 2 + \left (a + \frac 1 2 \right ) x + b + \frac 1 4 \right ) \textrm{e} ^{- x}\"<\/em>
    \no\u00f9 \"(a , \, b) \in \mathbb{R}^2\".\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

    9. R\u00e9solution d’une \u00e9quation d’ordre 3 par changement de fonction inconnue<\/h2>\n

    R\u00e9soudre\u00a0sur \"I = \; ] - \pi/2 \, , \, \pi/2[\"
    \n\"(y ^{(3)} + y' ) \, \cos(x) + (y'' + y) \, \sin(x)\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad = \sin(x)\".<\/p>\n

    Correction :<\/strong><\/p>\n

    \"\bullet\" On note \"z = y'' + y\" et on r\u00e9sout l’\u00e9quation :\u00a0<\/em>
    \n\"(\mathcal{E}_0) : \cos(x) \, z' + \sin(x) \, z = \sin(x)\"\u00a0<\/em>
    \nque l’on \u00e9crit\u00a0<\/em>
    \n\"\quad \quad \quad z' + \displaystyle \frac {\sin x} {\cos x} z = \frac {\sin(x) } {\cos(x)}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"a : x \mapsto \displaystyle \frac {\sin x} {\cos x}\" admet comme primitive\u00a0<\/em>
    \n\"x \mapsto - \ln (\cos x )\" donc la solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation homog\u00e8ne est\u00a0\"x \mapsto \lambda \, \exp(\ln \cos x )\"\u00a0<\/em>
    \nsoit \"x \mapsto \lambda \cos (x)\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\" .<\/em>
    \n\"x \mapsto 1\" est solution particuli\u00e8re \u00e9vidente.<\/em>
    \nLa solution g\u00e9n\u00e9rale de\u00a0\u00a0\"(\mathcal{E}_0)\" est \"x \mapsto \lambda \, \cos x + 1\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" On r\u00e9sout maintenant \"y'' + y = \lambda \cos x\"<\/em>
    \n\"\ast\" La solution g\u00e9n\u00e9rale de \"y'' + y = 0\" est \"x \mapsto A\, \cos x + B \, \sin x\" o\u00f9 \"(A ,\, B) \in \mathbb{R}^2\".<\/em>
    \n\"\ast\" On cherche une solution particuli\u00e8re \"y_1\" de \"y'' + y = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}\" sous la forme \"y_1 : x \mapsto a \, x \, \textrm {e} ^{\textrm{i} \, x}\"<\/em>
    \n\"y_1 ( x) = a \, x \, \textrm {e} ^{\textrm{i} \, x}\"<\/em>
    \n\"y_1 '( x) = a \,( \textrm{i} \, x + 1) \, \textrm {e} ^{\textrm{i} \, x}\"<\/em>
    \n\"y_1 ''( x) = a \,( - x + 2 \, \textrm{i} ) \, \textrm {e} ^{\textrm{i} \, x}\"<\/em>
    \n\"y_1\" est solution ssi pour tout r\u00e9el \"x\",<\/em>
    \n\"a \left ( - x + x + 2 \, \textrm{i} \right ) \textrm {e} ^{\textrm{i} \, x} = \textrm {e} ^{\textrm{i} \, x}\"\u00a0<\/em>
    \nssi \"2 \, a \, \textrm{i} = 1\" ssi \"a = \displaystyle \frac {\textrm{i}} 2\".<\/em>
    \nDonc \"y_1 : x \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{i}} 2 \, \textrm {e} ^{\textrm{i} \, x}\".<\/em>
    \nPuis \"y_2 = \lambda \, \mathcal{R}e(y_1)\" est solution particuli\u00e8re de \"y'' + y = \lambda \cos x\"<\/em>
    \nsoit \"y_2 : x \mapsto \displaystyle \frac {\lambda} 2 \, x \sin (x)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    \"\bullet\" \"x \mapsto 1\" est solution \u00e9vidente de \"y'' + y = 1\".<\/em><\/p>\n

    L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions\u00a0<\/em>
    \n\"x \mapsto \displaystyle \frac {\lambda} 2 \, x \sin (x) + 1 + A\, \cos x + B\, \sin x\" o\u00f9 \"(\lambda , \, A , \, B) \in \mathbb{R}^3\".\u00a0<\/em><\/p>\n

    10. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 2, solutions p\u00e9riodiques<\/h2>\n

    Question 1<\/b>
    \nQuels sont les     r\u00e9els<\/a> \"r\" tels que \"h : x \mapsto \textrm{e} ^{r \, x}\" soit p\u00e9riodique de p\u00e9riode \"T > 0\" ?<\/p>\n

    Question 2<\/b>
    \nOn suppose que \"(a ,\, b , \, c) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^2\"
    \nTrouver une CNS pour que toutes les solutions r\u00e9elles de \"\quad\quad \quad a\,y'' + b \, y' + c \,y = 0\"
    \nsoient p\u00e9riodiques de m\u00eame p\u00e9riode \"T > 0\".<\/p>\n

     <\/p>\n\t\t

    \n\t\t\t\t\t
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    COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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     <\/p>\n

    11. \u00c9quations diff\u00e9rentielles d’ordre 2, solutions de limite nulle<\/h2>\n

    Question 1<\/b><\/p>\n

    Soient \"( b, \, c) \in \mathbb{R} ^2\" et \"b ^2 \geq 4\, c\", toutes les solutions de \"\quad \quad (\mathcal{H}) : y'' + b \, y' + c \, y = 0\"
    \nadmettent \"0\" pour limite en \"+ \infty\"
    \nssi (\"b ^2 > 4\, c\" et \"b < 0\" et \"c > 0\" )
    \nou (\"b ^2 = 4 \, c\" et \"b< 0\" ).<\/p>\n

    Question 2<\/b>
    \nSoient \"( b, \, c) \in \mathbb{R} ^2\" et \"b ^2 < 4\, c\", toutes les solutions r\u00e9elles de \"\quad \quad (\mathcal{H}) : y'' + b \, y' + c \, y = 0\"
    \nadmettent \"0\" pour limite en \"+\infty\" ssi \"b > 0\".<\/p>\n

    Soyez s\u00fbrs de vos connaissances en vous entra\u00eenant sur les divers exercices de cours en ligne de Maths pour les Maths Sup, parmi lesquels :<\/p>\n