{"id":37560,"date":"2019-10-31T16:34:59","date_gmt":"2019-10-31T15:34:59","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37560"},"modified":"2023-09-15T18:31:15","modified_gmt":"2023-09-15T17:31:15","slug":"cours-en-ligne-polynomes-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-polynomes-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur les Polyn\u00f4mes en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Polyn\u00f4mes en Maths Sup MPSI, PTSI, MP2I, PCSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Polyn\u00f4mes en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1. Un probl\u00e8me de notation et de vocabulaire
\n2. Op\u00e9rations sur les polyn\u00f4mes et degr\u00e9s
\n3. Polyn\u00f4me d\u00e9riv\u00e9
\n4. Racines multiples
\n5. Comment d\u00e9montrer qu’un polyn\u00f4me divise un autre polyn\u00f4me ?
\n6. Comment trouver le reste de la division de \"A\" par \"B\" ?
\n7. Nombre de racines d’un polyn\u00f4me.
\n8. Comment factoriser un polyn\u00f4me en produit de facteurs irr\u00e9ductibles ?
\n9. Polyn\u00f4mes scind\u00e9s
\n10. Utiliser la notion d’espace vectoriel<\/p>\n

On suppose dans tout ce chapitre sauf indication contraire que \"\mathbb{K}= \mathbb{R}\" ou \"\mathbb{C}\".<\/p>\n

 <\/p>\n

1. Un probl\u00e8me de notation et de vocabulaire<\/h3>\n

1.\u00a0<\/b>\u00a0Un polyn\u00f4me \"P \in \mathbb{K} [\textrm{X}]\" peut \u00eatre not\u00e9 \"P =\displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \,\textrm{X}^n\", en convenant que \"a_n = 0\" si \"n > \textrm{deg } P\", mais lorsqu’il est de degr\u00e9 \"p\", il peut aussi\u00a0 \u00eatre not\u00e9 \"\quad \quad P = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{p} a_n \,\textrm{X}^n\" avec \"a_p \neq 0\".
\nL’\u00e9galit\u00e9 \"P =\displaystyle \sum_{n = 0} ^{p} a_n \,\textrm{X}^n = 0\" signifie que \"\forall \, i \in [\![0 , \, p]\!], \, a_i = 0\".
\n\"\textrm{X}\" est l‘ind\u00e9termin\u00e9e\u00a0<\/i>du polyn\u00f4me \"P\", ce n’est ni un r\u00e9el ni un complexe.
\nOn ne peut donc \u00e9galer \"\textrm{X}\" \u00e0 un r\u00e9el ou un complexe<\/a> (puisqu’un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"1\" n’est pas \u00e9gal \u00e0 une constante qui est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 0).<\/p>\n

⚠️ Si l’on veut trouver les racines de \"P\" dans le corps \"\mathbb{K}\", il ne faut pas \u00e9crire \"P = 0\", mais il faut prendre \"x\in \mathbb{K}\" et r\u00e9soudre l’\u00e9quation<\/a> alg\u00e9brique\u00a0<\/i>\"\quad \quad \quad \quad \quad \quad P(x) = 0\".<\/p>\n

2.\u00a0\u00a0<\/b>Le polyn\u00f4me \"P = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \,\textrm{X}^n\" peut aussi \u00eatre not\u00e9 \"P = P(\textrm{X})\".
\nLa fonction<\/a> polyn\u00f4me associ\u00e9e au polyn\u00f4me<\/i>\u00a0\"P\" est la fonction not\u00e9e \"\widetilde{P}\" , ou encore \"P\", d\u00e9finie par \"\quad \forall\, x \in \mathbb{K}, \, P(x) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \,x^n\".
\nIl y a une bijection entre \"\mathbb{K} [\textrm{X}]\" et l’ensemble<\/a> des fonctions polyn\u00f4mes d\u00e9finies sur \"\mathbb{K}\" ce qui permet si n\u00e9cessaire d’identifier le polyn\u00f4me \"P\" et sa fonction polyn\u00f4me.<\/p>\n

2. Op\u00e9rations sur les polyn\u00f4mes et degr\u00e9s<\/h3>\n
\n

Dans ce paragraphe, \"\mathbb{K}\" peut aussi \u00eatre \u00e9gal \u00e0 \"\mathbb{Z}\" ou \"\mathbb{Q}\".<\/p>\n

Rappel<\/b>
\n\"\textrm{deg}( 0 ) = - \infty\" et sinon \"\textrm{deg} (P) \in \mathbb{N}\".
\nSi \"P\neq 0\", \"\textrm{deg }P = n\" ssi \"n\" est le plus grand entier \"k\" tel que \"a_k\neq 0\".
\nOn convient que \"\quad \quad ( - \infty) + ( - \infty) = - \infty\"
\net si \"n \in \mathbb{N} , \, - \infty + n = - \infty\"
\n\"\quad \quad \quad \quad \quad \max(n , - \infty) = n\".<\/p>\n

On note
\n\"\quad P = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{+\infty} a_k \, \textrm{X}^k\" et \"Q = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{+\infty} b_k \, \textrm{X}^k\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1. Somme
\n<\/b>\"\textrm{deg} (P + Q) \leq \max (\textrm{deg} (P) \, , \, \textrm{deg} (Q))\"
\n\"\ast\" si \"\textrm{deg} (P) \neq \textrm{deg} (Q)\",
\n\"\textrm{deg} (P + Q) = \max (\textrm{deg} (P) \, , \, \textrm{deg} (Q) )\"
\n\"\ast\" si \"\textrm{deg} (P ) = \textrm{deg} (Q) = n\" et \"P + Q \neq 0\"
\n… si \"a_n + b_n \neq 0\", \"\textrm{deg} (P + Q)= n\"
\n… sinon, trouver le plus grand entier \"p < n\" tel que \"a_p + b_p \neq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Produit<\/b>
\n\"\textrm{deg} (P \,Q) = \textrm{deg} (P) \, +\, \textrm{deg} (Q)\"
\nOn rappelle que
\n\"\ast\" si \"P = \displaystyle \sum _{k = 0}^{+\infty} a_k\, \textrm{X} ^k\" et \"Q = \displaystyle \sum _{k = 0}^{+\infty} b_k\, \textrm{X} ^k\",
\n\"\quad \quad \quad \quad P \, Q = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{+\infty} c_k \, \textrm{X}^k\"
\no\u00f9 \"\forall\, k \in \mathbb{N}, \, c_k = \displaystyle \sum _{i + j = k} a_i \, b_j\".
\n\"\ast\" dans le cas o\u00f9 l’on \u00e9crit
\n\"\quad P = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{p} a_k \, \textrm{X}^k\" et \"Q = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{q} b_k \, \textrm{X}^k\"
\n\"P \, Q = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{p + q} c_k \, \textrm{X}^k\" o\u00f9 si \"k\in [\![0, p + q]\!]\",
\n\"c_k = \displaystyle \sum _{i + j = k,\, 0\leq i \leq p, \, 0\leq j \leq q } a_i \, b_j\,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0D\u00e9riv\u00e9es<\/b><\/a>
\n\"\ast\" Si \"\textrm{deg} (P)\geq 1\", \"\quad \quad \textrm{deg} (P') = \textrm{deg} (P) - 1\"
\n\"\ast\" Si \"\textrm{deg} (P)\geq n\" et \"k \leq n\", \"\quad \quad \textrm{deg} (P^{(k)}) = \textrm{deg} (P) - k\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0Si \"k \in \mathbb{N}^*\" et \"P \neq 0\",\u00a0 \u00a0 \"\quad \quad \textrm{deg} (P(\textrm{X}^k)) = k \; \textrm{deg} (P)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0Si \"P \neq 0\" et \"Q \neq 0\",
\n\"\quad \textrm{deg} (P(Q (\textrm{X}))) = \textrm{deg} (P)\, \textrm{deg} (Q)\".
\nOn rappelle que\u00a0\"\quad \quad P(Q (\textrm{X})) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{+\infty} a_k \, Q^k (\textrm{X})\".<\/p>\n

⚠️ Si \"a \in \mathbb{K}\", on fera attention \u00e0 ne pas confondre \"P(\textrm{X} + a) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{\infty} a_k (\textrm{X} + a)^k\" et le produit<\/a> des polyn\u00f4mes \"\textrm{X} + a\" et \"P\".<\/p>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

3. Polyn\u00f4me d\u00e9riv\u00e9<\/h3>\n

3.1. Polyn\u00f4me d\u00e9riv\u00e9\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0D\u00e9finition<\/i>\u00a0Si \"P = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{+\infty} a_k \, \textrm{X}^k\", \"P' = \displaystyle \sum _{k = 1} ^{+\infty} k \, a_k \, \textrm{X}^{k - 1}\" \"\displaystyle P' =\sum _{p = 0} ^{+\infty} (p+1) \, a_{p + 1} \, \textrm{X}^{p}\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Op\u00e9rations<\/i>\u00a0Si \"(P ,\, Q) \in \mathbb{K} [\textrm{X}]\" et \"\alpha , \, \beta \in \mathbb{K}\",
\n\"\ast\" \"(\alpha P + \beta \, Q)' = \alpha P' + \beta \, Q'\"
\n\"\ast\" \"(P \, Q)' = P' \, Q + P \, Q'\".<\/p>\n

3.2. D\u00e9rivations successives<\/b>
\n\"\bullet\" Si \"P\in \mathbb{K} [\textrm{X}]\",\u00a0 on d\u00e9finit par r\u00e9currence<\/a> :
\n\"P ^{(0)} = P\" et si \"n \in \mathbb{N}, P ^{(n + 1)} = \left ( P ^{n } \right ) '\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si\u00a0\"P = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{n} a_k \, \textrm{X}^k\", \"P^{(n)} = n! \, a_n\,\".
\nSi \"k > \textrm{deg } (P),\, P ^{(k)} = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n\in \mathbb{N}\", \"a \in \mathbb{K}\" et \"P = (\textrm{X} - a) ^n\"
\nlorsque \"0 \leq k \leq n\" \" \quad \quad \displaystyle P ^{(k)} = \frac {n!} {(n - k)! } (\textrm{X} - a) ^{n - k}\"
\net si \"k > n,\, P^{(k)} = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Formule de Leibniz\u00a0<\/b>
\nSi\u00a0 \"(P,\, Q) \in \mathbb{K} [\textrm{X}]^2\" et \"n \in \mathbb{N}\",
\n\"\quad (P \, Q) ^{(n)} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k \, P ^{(k)} \, Q^{(n - k)}\".<\/p>\n

3.3. Formule de Taylor\u00a0<\/b>
\nSi \"P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\" est non nul et \"a \in \mathbb{K}\",
\nsi\"\, n = \textrm{deg}(P)\",\u00a0\"\quad \quad \quad \displaystyle P = \sum _ {k = 0} ^n \frac {P^{(k)}(a)} {k \!} \, (\textrm{X} - a) ^k\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Si \"P = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{p} a_k \, \textrm{X}^k\", \"\quad \forall\, k \in [\![0,\, n]\!]\, , \displaystyle a_k = \frac {P^{(k)}(0)} {k \!}\".<\/p>\n

4. Racines multiples<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\", \"a \in \mathbb{K}\" et \"k \in \mathbb{N}^*\", il y a \u00e9quivalence entre
\n\"\ast\" \"a\" est\u00a0racine d’ordre<\/i>\u00a0\"k\" de \"P\"
\n\"\ast\" \"(\textrm{X} - a) ^k\" divise \"P\" et \"(\textrm{X} - a) ^{k + 1}\" ne divise pas \"P\".
\n\"\ast\" Il existe \"Q \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\" tel que \"\quad \quad P = (\textrm{X} - a) ^k \, Q\" avec \"Q(a) \neq 0\"
\n\"\ast\" \"P(a) = P'(a) = \cdots \, P^{(k - 1)} (a) = 0\" et \"P^{(k )} (a) \neq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a\" est racine d’ordre \"k\geq 2\" de \"P\",\u00a0 \"a\" est racine d’ordre \"k - 1\" de \"P'\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a \in \mathbb{C}\" est racine d’ordre \"k\" de \"P \in \mathbb{C}[\textrm{X}]\", \"\overline {a}\" est racine d’ordre \"k\" de \"\overline{P}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}\" est racine d’ordre \"k\" de \"P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]\", \"\overline {a}\" est racine d’ordre \"k\" de \"P\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a\" est racine de \"P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\setminus \{0\}\", \"a\" admet un ordre de multiplicit\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal au degr\u00e9 de \"P\".<\/p>\n

5. Comment d\u00e9montrer qu’un polyn\u00f4me divise un autre polyn\u00f4me ?<\/h3>\n

🧡\u00a0Th\u00e9or\u00e8me de division euclidienne<\/b>
\nSi \"(A , B) \in \mathbb{K} [\textrm{X}] ^2\" avec \"B \neq 0\", il existe un unique couple \"(Q , R) \in \mathbb{K} [\textrm{X}] ^2\" tel que \"A = B \, Q + R\"
\n\"\quad \quad\" o\u00f9 \"\textrm{deg } (R) < \textrm{deg } (Q)\".
\n\"R\" est le\u00a0reste<\/i>\u00a0de la division euclidienne<\/a> de \"A\" par \"B\".
\n\"Q\" est le\u00a0quotient<\/i> de la division euclidienne de \"A\" par \"B\".<\/p>\n

Si \"(A , B) \in \mathbb{K} [\textrm{X}]^2\", \"B\" divise \"A\" s’il existe \"Q\in \mathbb{K} [\textrm{X}]\" tel que \"A = B \, Q\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Le polyn\u00f4me \"A\" est divisible par \"X - a\" ssi \"A(a) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Si \"(a_i)_{1 \leq i \leq n}\" sont \"n \geq 1\" \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}\" deux \u00e0 deux distincts,
\nle polyn\u00f4me \"A\" est divisible par \"\; \; B = (\textrm{X} - a_1)\, (\textrm{X} - a_2)\cdots \, (\textrm{X} - a_n)\" ssi \"\forall \, i \in [\![1 , \, n]\!], A(a_i) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Soient \"k \in \mathbb{N}^*\" et \"a \in \mathbb{K}\".
\nLe polyn\u00f4me \"A\" est divisible par \"B = (\textrm{X} - a)^k\" ssi \"\; \; A(a) = A'(a) = \cdots = A^{(k-1)}(a) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>Si \"p \leq n\" o\u00f9 \"n = \textrm{deg}(P)\", on note \"B = (\textrm{X} - a) ^p\".
\nEn cons\u00e9quence de la formule de Taylor,
\n\"\ast\" \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^{p - 1} \frac {P^{(k)}(a)} {k \!} \, (\textrm{X} - a) ^k\" est le reste de la division de \"P\" par \"B\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \sum _ {k = p} ^{n} \frac {P^{(k)}(a)} {k \!} \, (\textrm{X} - a) ^{k - p}\" est le quotient de la division de \"P\" par \"B\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0Si \"(a_i)_{1 \leq i \leq n}\" sont \"n \geq 1\" \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}\" deux \u00e0 deux distincts, tels que \"\forall \, i \in [\![1 , \, n]\!]\", \"(\textrm{X} - a_i)^{k_i}\" divise \"A \in \mathbb{K} [\textrm{X}]\", le produit \"\displaystyle \prod_{i = 1} ^n (\textrm{X} - a_i)^{k_i}\"
\ndivise \"A\" dans \"\mathbb{K} [\textrm{X}]\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.<\/b>\u00a0Le polyn\u00f4me \"A \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" est divisible par \"B = \textrm{X} ^2 + p \, \textrm{X} + q\" o\u00f9 \"p^2 - 4 \, q < 0\" ssi \"A(z) = 0\" o\u00f9 \"z\" est l’une des deux racines complexes de \"B\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.<\/b>\u00a0Soient \"A \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" et \"z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}\".
\nSi \"(\textrm{X} - z)^k\" divise \"A\", le polyn\u00f4me \"(\textrm{X} - z)^k \, (\textrm{X} - \overline{z} )^k\" divise \"A\".<\/p>\n

exemple\u00a0<\/b>:
\nCNS pour que \"B = \textrm{X}^2 + \textrm{X} + 1\" divise \"A = \textrm{X} ^n + \textrm{X} + 1\" lorsque \"n \in \mathbb{N}, n \geq 2\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"B = \textrm{X}^2 + \textrm{X} + 1\" a pour racines \"\textrm{j}\" et \"\textrm{j} ^2\".<\/em>
\n\"B\" divise \"A = \textrm{X} ^n + \textrm{X} + 1\" ssi \"A(\textrm{j} ) = 0\"<\/em>
\nor \"A(\textrm{j} ) = \textrm{j}^n + \textrm{j} + 1 = \textrm{j}^n - \textrm{j} ^2\"<\/em>
\n\"A(\textrm{j} ) = 0 \Leftrightarrow \textrm{j}^n = \textrm{j} ^2\" \"\quad \quad \quad \; \; \Leftrightarrow \exists \, k \in \mathbb{N}\,, \, n = 3\, k + 2\".<\/em><\/p>\n

6. Comment trouver le reste de la division de \"A\" par \"B\" ?<\/h3>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Le reste de la division de \"A\" par \"X - a\" est \u00e9gal \u00e0 \"A(a)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Si \"(a_i)_{1 \leq i \leq n}\" sont \"n \geq 1\" \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}\" deux \u00e0 deux distincts, on d\u00e9termi- ne le reste de la division de \"A\" par \"B = \displaystyle \prod _{i = 1} ^n (\textrm{X} - a_i)\" en \u00e9crivant que le reste \"R\" est de degr\u00e9 strictement inf\u00e9rieur \u00e0 \"n\" donc de la forme \"R = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} r_k \, \textrm{X} ^k\", que \"A = B\, Q + R\" et en introduisant les \"n\" \u00e9quations : \"\forall \, i \in [\![1 , \, n]\!]\",\u00a0 \u00a0\"A(a_i) = B(a_i ) \, Q(a_i ) + R(a_i) = R(a_i)\" on obtient un syst\u00e8me lin\u00e9aire<\/a> de \"n\" \u00e9quations \u00e0 \"n\" inconnues permettant de d\u00e9terminer les \"r_i\,\".<\/p>\n

exemple 1<\/b>\u00a0 : Reste de la division de \"A = \textrm{X} ^n + 1\" par \"B = \textrm{X} (\textrm{X} - 1)\".
\nexemple 2\u00a0<\/b>: Reste de la division de \"A = \textrm{X} ^n + 1\" par \"B = X^2 + 1\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

exemple 1<\/b><\/em>
\n\"A = \textrm{X} ^n + 1\" et \"B = \textrm{X} (\textrm{X} - 1)\".<\/em><\/div>\n

Il existe \"(Q , R) \in \mathbb{R} [\textrm{X}]^2\" tel que \"A = B \, Q + R\" avec \"\textrm{deg } R < \textrm{deg } B\", donc \"R = a \, \textrm{X} + b\" o\u00f9 \"a\" et \"b\" sont deux r\u00e9els.\u00a0<\/em>
\nComme \"A(0) = R(0)\" et \"A(1) = R(1)\", on obtient \"1 = b\" et \"2 = a + b\" donc \"b = 1\" et \"a = 1\". Le reste est \u00e9gal \u00e0 \"\textrm{X} + 1\".<\/em><\/p>\n

exemple 2<\/b><\/em>
\n\"A = \textrm{X} ^n + 1\" et \"B = X^2 + 1\".<\/em>
\nIl existe \"(Q , R) \in \mathbb{R} [\textrm{X}]^2\" tel que \"A = B\, Q + R\" avec \"\textrm{deg } R < \textrm{deg } B\", donc \"R = a \, \textrm{X} + b\" o\u00f9 \"a\" et \"b\" sont deux r\u00e9els.\u00a0<\/em>
\nComme \"A(\textrm{i}) = R(\textrm{i}) , \, \textrm{i}^n + 1 = a \, \textrm{i} + b\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"n = 2\, p\" , \"(-1)^p + 1 = a\, \textrm{i} + b\" avec \"a\" et \"b\" r\u00e9els<\/a>, donc \"a = 0\" et \"b = (-1)^p + 1\", le reste est \u00e9gal \u00e0 \"R = 1 + (- 1)^p\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"n = 2\, p + 1\", \"\textrm{i}\, (- 1)^p + 1 = a \, \textrm{i} + b\" avec \"a\" et \"b\" r\u00e9els, donc \"a = (-1)^p\" et \"b = 1\", le reste est \"R. = (-1)^p \, \textrm{X} + 1\".<\/em><\/p>\n

On remarque que \"B\" divise \"A\" ssi il existe \"q \in \mathbb{N}\" tel que \"n = 4\, q + 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Pour d\u00e9terminer le reste \"R\" de la division de \"A\" par \"(X - a)^ k\", on \u00e9crit que \"A - R\" est divisible par \"(\textrm{X} - a)^k\" , c’est-\u00e0-dire que
\n\"\; \forall \, i \in [\![0 , \, k - 1]\!], \; A^{(i) } (a) = R^{(i)}(a)\",
\nDonc \"R = \displaystyle \sum _ {i = 0} ^{k - 1} \frac {A^{[i)} (a)} {i !} (\textrm{X} - a) ^{i}\"\u00a0en utilisant la formule de Taylor.<\/p>\n

exemple 3
\n<\/b>Reste de la division de \"A = \textrm{X} ^n + 1\" o\u00f9 \"n \geq 3\" par \"(\textrm{X} - 1)^3\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Le reste \"R\" de la division par \"(\textrm{X} - 1)^3\" est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"2\" qui v\u00e9rifie : \"A - R\" est divisible par \"(\textrm{X} - 1)^3\"<\/em>
\ndonc \"(A - R) (1) = (A - R)'(1) = 0\" et \"(A - R)''(1) = 0\"<\/em>
\nsoit \"R(1) = A(1) = 2 ,\, R'(1) = A'(1) = n\" et \"R''(1) = A''(1) = n (n - 1)\" .<\/em>
\nPar la formule de Taylor, \"R = R(1) + R'(1) (\textrm{X} - 1)\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \frac 1 2 R''(1) (\textrm{X} - 1) ^2\"\u00a0<\/em>
\n\"R = 2 + n(\textrm{X} - 1) + \displaystyle \frac 1 2 n(n - 1) (\textrm{X} - 1)^2\" .<\/em><\/p>\n

7. Nombre de racines d’un polyn\u00f4me<\/h3>\n

7.1. Th\u00e9or\u00e8me de D’Alembert-Gauss.<\/b>
\nSi \"A \in \mathbb{C} [\textrm{X}]\" est de degr\u00e9 au moins \u00e9gal \u00e0 1, \"A\" admet au moins une racine r\u00e9elle.<\/p>\n

Le nombre de racines distinctes d’un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n \geq 1\" est major\u00e9 par \"n\".<\/p>\n

7.2. Comment utiliser qu’un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\" admet au plus \"n\" racines distinctes ?<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Pour d\u00e9montrer que le polyn\u00f4me \"P\" est nul, il suffit de prouver que \"P\" a une infinit\u00e9 de z\u00e9ros.
\nM1bis.<\/b>\u00a0Pour prouver que \"P\" est nul, on peut raisonner par l’absurde et supposer que \"P\" est de degr\u00e9 \"n\". Si l’on peut trouver \"n+1\" racines distinctes de \"P\", \"P\" est nul.
\nM1ter.\u00a0<\/b>Pour d\u00e9montrer que les polyn\u00f4mes \"P\" et \"Q\" sont \u00e9gaux, il suffit de trouver \"n\" racines distinctes de \"P - Q\" lorsque \"\textrm{deg }(P - Q) < n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Un polyn\u00f4me \u00e0 coefficients r\u00e9els de degr\u00e9 impair a au moins une racine r\u00e9elle.
\nLe nombre de racines non r\u00e9elles d’un polyn\u00f4me \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{R}\" est pair.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Les seuls polyn\u00f4mes p\u00e9riodi- ques sont les polyn\u00f4mes constants, ou ce qui est \u00e9quivalent :
\nsi \"P \in \mathbb{K} [\textrm{X}]\" v\u00e9rifie : il existe \"a \in \mathbb{K}^*\" tel que \"\forall \, x \in \mathbb{K}, \, P(x + a) = P(x)\",
\n\"P\" est constant.<\/p>\n

7.3. Application aux polyn\u00f4mes d’interpolation de Lagrange<\/b>
\n(en exercice en PCSI).
\nSoient \"(a_0\, , \,a_1\, ,\, \cdots \, , \,a_n)\" \"n + 1\" \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}\", deux \u00e0 deux distincts.
\nR\u00e9sultat 1\u00a0<\/b>
\nPour tout \"i\" de \"[\![0 , n]\!],\" il existe un unique polyn\u00f4me \"L_i \in \mathbb{K}_n[{\textrm X}]\" tel que
\n\"\forall j \in [\![0 , n]\!]\", \"L_i(a_j)= \delta_{i , j}\,\".
\nLes polyn\u00f4mes \"(L_i)_{ 0 \leqslant i \leqslant n}\" sont appel\u00e9s polyn\u00f4mes d’interpolation de Lagrange sur les points \"(a_0\, , \, a_1\, ,\, .\cdots \, , \, a_n).\"
\nR\u00e9sultat 2<\/b>
\nPour tout \"i\" de \"[\![0 , n]\!]\",
\n\"L_i = \displaystyle\prod_{0\leqslant j\leqslant n,\,j\neq i}\left(\frac{ {\textrm X} - a_j}{a_i-a_j}\right)\".
\nR\u00e9sultat 3<\/b>
\n\"\forall\; (b_0 \, ,\, b_1 \, ,\; \cdots \; ,\, b_n) \in \mathbb{K}^{n + 1}\", \"\exists\, ! \, P\in \mathbb{K}_n[{\textrm X}]\" tel que \"\forall \, i \in [\![0 , n]\!]\", \"P(a_i)= b_i\,\", de plus \"P =\displaystyle\sum_{i=0}^{n}b_i\, L_i \,\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

8. Comment factoriser un polyn\u00f4me en produit de facteurs irr\u00e9ductibles ?<\/h3>\n

Rappel :\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" Les polyn\u00f4mes irr\u00e9ductibles de \"\mathbb{C} [\textrm{X}]\" sont les polyn\u00f4mes de degr\u00e9 1.
\n\"\ast\" Les polyn\u00f4mes irr\u00e9ductibles de \"\mathbb{R} [\textrm{X}]\" sont les polyn\u00f4mes de degr\u00e9 1 et les polyn\u00f4mes\u00a0 \"\lambda (\textrm{X}^2 + p \, \textrm{X} + q)\" o\u00f9 \"\lambda\", \"p\" et \"q\" sont des r\u00e9els tels que \"p ^2 - 4\, q < 0\" et \"\lambda \neq 0\".
\n\"\ast\" Tout polyn\u00f4me de \"\mathbb{K} [\textrm{X}]\" de degr\u00e9 au moins \u00e9gal \u00e0 1 s’\u00e9crit d’une unique fa\u00e7on (\u00e0 l’ordre pr\u00e8s des facteurs) comme produit de polyn\u00f4mes irr\u00e9duc- tibles dans \"\mathbb{K} [\textrm{X}]\".
\nC’est-\u00e0-dire
\n\"\ast\" Si \"P \in \mathbb{C}[\textrm{X}]\" n’est pas constant de coefficient dominant \"\lambda\", il existe \"n \in \mathbb{N}^*\", des complexes \"(a_k)_{1\leq k \leq n}\" deux \u00e0 deux distincts et des entiers \"(\alpha_k)_{1 \leq k \leq n}\" strictement positifs tels que
\n\"\quad \quad \quad P = \displaystyle \lambda \prod _ {k = 1} ^n (\textrm{X} - a_k) ^{\alpha_ k}\".
\n\"\ast\" Si \"P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]\" n’est pas constant de coefficient dominant \"\lambda\", il existe
\n… \"n \in \mathbb{N}\", des complexes \"(a_k)_{1\leq k \leq n}\" deux \u00e0 deux distincts et des entiers \"(\alpha_k)_{1 \leq k \leq n}\" strictement positifs,
\n… \"r \in \mathbb{N}\" et une famille de couples deux \u00e0 deux distincts \"(p_k \, , \, q_k) \in \mathbb{R}^2\" tels que \"p_k^2 - 4 \, q _k < 0\" et une famille d’entiers strictement positifs \"(\beta_k)_{1 \leq k \leq r}\"
\ntels que\u00a0 \"P\" s’\u00e9crive :
\n\"\displaystyle\lambda \prod _ {k = 1} ^n (\textrm{X} - a_k) ^{\alpha_ k} \prod _{k = 1} ^r (\textrm{X} ^2 + p_k \, \textrm{X} + q_k) ^{\beta _ k}\".<\/p>\n

Il y a unicit\u00e9 \u00e0 l’ordre pr\u00e8s des facteurs de cette d\u00e9composition.<\/p>\n

⚠️ dans la factorisation, ne pas oublier de multiplier par le coefficient domi- nant.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Pour factoriser un polyn\u00f4me bicarr\u00e9, on l’\u00e9crit sous la forme \"\quad \quad A^2 - B^2 = (A - B) (A + B )\".<\/p>\n

exemple 1<\/b>\u00a0:\u00a0\u00a0Factoriser\u00a0 dans \"\mathbb{R}[\textrm{X} ]\" \"\textrm{X} ^4 + 1\" et \"\textrm{X}^4 + \textrm{X} ^2 + 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Pour factoriser un polyn\u00f4me \"P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" dans \"\mathbb{R} [\textrm{X}]\" (lorsque la d\u00e9composition n’est pas \u00e9vidente), on cherche les racines de \"P\".
\nOn les classe en
\n\"\quad \ast\" racines r\u00e9elles
\n\"\quad \ast\" racines complexes non r\u00e9elles que l’on regroupe deux par deux en racines conjugu\u00e9es .
\nNe pas oublier devant la factorisation le coefficient dominant du polyn\u00f4me .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Pour factoriser dans \"\mathbb{R} [\textrm{X}]\" un polyn\u00f4me de la forme \"\textrm{X}^n - 1\" ou \"\textrm{X}^n + 1\" (ou tout polyn\u00f4me faisant intervenir les racines \"n\"-i\u00e8mes d’un complexe) :
\nces racines \"n\"-i\u00e8mes d\u00e9pendent d’un entier \"k\" qui doit prendre \"n\" valeurs cons\u00e9cutives enti\u00e8res.
\n👍 Choisir si possible ces valeurs cons\u00e9cutives de fa\u00e7on \u00e0 pouvoir regrouper facilement les racines conjugu\u00e9es.<\/p>\n

exemple 3 :<\/b>\u00a0Factoriser \"\textrm{X}^{2n} - 1\" et \"\textrm{X}^{2 n + 1} - 1\" dans \"\mathbb{R}[\textrm{X}]\".<\/p>\n

9. Polyn\u00f4mes scind\u00e9s<\/h3>\n

D :\u00a0<\/b>Un polyn\u00f4me \"P\in \mathbb{K}[\textrm{X}]\" de degr\u00e9 \"n \geq 1\" est\u00a0scind\u00e9 sur\u00a0<\/i>\"\mathbb{K}\" lorsqu’on peut l’\u00e9crire sous l’une des deux formes suivantes :
\n\"\quad \ast\" \"P = \displaystyle a_n \prod_{k = 1} ^n (\textrm{X} - x_k)\"
\no\u00f9 \"(x_k)_{1 \leq k \leq n}\" est une famille de \"n\" \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}\" et \"a_n\" son coefficient dominant.<\/p>\n

\"\quad \ast\" Il existe \"p \in \mathbb{N} ^*\" une famille \"(x_k)_{1 \leq k \leq p}\" d’\u00e9l\u00e9ments 2 \u00e0 2 distincts de \"\mathbb{K}\" et une famille \"(\alpha _k)_{1 \leq k \leq p} \in \mathbb{N}^{* p}\", de somme \u00e9gale \u00e0 \"n\" tels que \"\quad \quad P = \displaystyle a_n \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\alpha_k}\"
\no\u00f9 \"a_n\" est son coefficient dominant.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"P\in \mathbb{K}[\textrm{X}]\" de degr\u00e9 \"n \geq 1\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{K}\" et si \"x_1 \, , \, \cdots \,, \, x_n\" sont ses \"n\" racines, lorsque \"P = \displaystyle \sum_{k = 0} ^{n} a_k \,\textrm{X}^k\",
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n x_i = \frac {- a_{n - 1}}{a_n}\"
\n\"\quad \quad \textrm{ et } \displaystyle \prod _ {i = 1} ^n x_i = (-1) ^n \, \frac { a_{0}}{a_n}\".<\/p>\n

🧡 Savoir d\u00e9montrer les r\u00e9sultats suivants
\n\"\bullet\"\u00a0R1\u00a0<\/b>: Si \"P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{R}\" \u00e0 racines distinctes de degr\u00e9 \"n \geq 2\", \"P'\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{R}\" \u00e0 racines distinctes.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R2<\/b>\u00a0: Si \"P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{R}\" de degr\u00e9 \"n \geq 2\", \"P'\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R3.\u00a0<\/b>Si \"P = \displaystyle a_n \prod_{k = 1} ^n (\textrm{X} - x_k)\"
\nlorsque \"x \in \mathbb{K} \setminus \{ (x_k)_{1 \leq k \leq n}\}\",
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {P'(x)}{ P(x) } =\sum _{k = 1} ^n \frac 1 {x - x_k}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R4.\u00a0<\/b>Si \"P = \displaystyle a_n \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\alpha_k}\"
\nlorsque \"x \in \mathbb{K} \setminus \{ (x_k)_{1 \leq k \leq n} \}\",
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {P\, '(x)}{ P(x) } =\sum _{k = 1} ^p \frac {\alpha_k} {x - x_k}\".<\/p>\n

10. Utiliser la notion d’espace vectoriel<\/h3>\n

Une compilation de r\u00e9sultats sur les polyn\u00f4mes et espaces vectoriels<\/a><\/p>\n

\"\bullet\" \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension infinie, stable par multipli- cation.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"(P_1\, , \, \cdots \, , \, P_n)\" est une famille de polyn\u00f4mes de degr\u00e9s 2 \u00e0 2 distincts, c’est une famille libre de \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \in \mathbb{N}\", \"\mathbb{K}_n[\textrm{X}]\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\", de dimension \"n + 1\".
\n\"\ast\" \"(1 , \, \textrm{X}, \, \cdots \, ,\, \textrm{X}^n)\" est la base canon- ique de \"\mathbb{K}_n[\textrm{X}]\".
\n\"\ast\" Si \"\forall\, k \in [\![0 \, , \, n]\,],\" \"P_k \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\" est de degr\u00e9 \"k\", \"(P_0\, , \, P_1\, , \, \cdots \, , \, P_n)\" est une base de \"\mathbb{K}_n[\textrm{X}]\".
\n\"\ast\" Si \"P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\" est de degr\u00e9 \"n\", \"\quad \quad \quad (P,\, P' , \, \cdots \, , \, P ^{(n)})\"
\nest une base de \"\mathbb{K}_n[\textrm{X}]\".
\n\"\ast\" Soient \"a_0\, , \,a_1\, ,\, ...\, , \,a_n\,\", \"n + 1\" \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}\", deux \u00e0 deux distincts. La famille \"(L_i)_{ 0 \leqslant i \leqslant n}\" des polyn\u00f4mes d’interpolation de Lagrange sur les points \"(a_0\, , \, a_1 \, ,\, ...\, , \, a_n)\" est une base de \"\mathbb{K}_n[\textrm{X}]\". Pour tout \"Q \in \mathbb{K}_n[\textrm{X}]\", \"Q = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n Q(a_k) \, L_k\,\". (MPSI seulement)<\/p>\n

Si vous ma\u00eetrisez le chapitre sur les polyn\u00f4mes, prenez de l’avance en combinant avec les cours de maths<\/a> sur les r\u00e9visions des chapitres qui vont suivre comme :<\/p>\n