{"id":37563,"date":"2019-10-31T17:44:58","date_gmt":"2019-10-31T16:44:58","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37563"},"modified":"2022-07-12T14:31:20","modified_gmt":"2022-07-12T13:31:20","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-polynomes-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-polynomes-maths-sup\/","title":{"rendered":"Polyn\u00f4mes en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Les Polyn\u00f4mes en Maths Sup : Exercices corrig\u00e9s<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices : Racines, Polynomes<\/span><\/h2>\n
\n

1. Racines et d\u00e9compositions
\n2. Division euclidienne
\n3. Racines multiples
\n4. D\u00e9composition de polyn\u00f4mes
\n5. Polyn\u00f4mes v\u00e9rifiant une condition
\n6. Polyn\u00f4mes scind\u00e9s
\n7. Polyn\u00f4mes et limite de suites
\n8. Fonction \"\Delta\"
\n9. Divers<\/p>\n

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 <\/p>\n

1. Racines et factorisations<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"P = \displaystyle \prod _{k = 1} ^n \left ( \textrm{X} - r_k \right) \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\".
\nIl existe \"Q \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\" \u00a0tel que \"\quad \quad Q(\textrm{X}^2) = P(\textrm{X}) \, P(- \textrm{X})\"
\nQuelles sont les racines de \"Q\" ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"P(\textrm{X}) \, P(- \textrm{X}) =\" \"\quad \quad \displaystyle \prod _{k = 1} ^n \left ( \textrm{X} - r_k \right)\times (-1) ^n \prod _{k = 1} ^n \left ( \textrm{X} + r_k \right)\"<\/em>
\n\"P(\textrm{X}) \, P(- \textrm{X}) = \displaystyle (-1)^n \, \prod _{k = 1} ^n \left ( \textrm{X}^2 - r_k^2 \right)\"<\/em>
\nDonc \"Q = \displaystyle (-1)^n \, \prod _{k = 1} ^n \left ( \textrm{X} - r_k^2 \right)\"<\/em>
\na pour racines \"r_1^2 \, , \, r_2^2 \, , \, \cdots \, , r_n^2\,\".<\/em><\/div>\n

Exercice 2<\/b>
\nTrouver les racines de \"P = \textrm{X} ^4 - 5 \textrm{X} ^3 + 9 \textrm{X} ^2 - 15 \textrm{X} + 18\" sachant que le produit de deux d’entre elles vaut 6.<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

On note \"x_1\, ,\, x_2 \, ,\, x_3\" et \"x_4\" les racines de \"P\" dans \"\mathbb{C}\". On sait que \"x_1 \, x_2 = 6\" et que \"x_1\, x_2\, x_3\, x_4 = 18\" , donc \"x_3\, x_4 = 3\".<\/em>
\nOn \u00e9crit\u00a0<\/em>
\n\"P = (\textrm{X} - s \, \textrm{X} + 6)(\textrm{X} ^2 - s' \, \textrm{X} + 3)\"<\/em>
\n\"P = \textrm{X}^4 - (s + s')\textrm{X}^3 +(6 + 3 + s\, s') \textrm{X}^2\" \"\quad \quad \quad +\, (- 6 \,s' - 3 \, s) \textrm{X} + 18\"\u00a0<\/em>
\non obtient les CNS :<\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} s+s' = 5\\9 + s \, s' = 9 \\ 3 \,s + 6 \,s' = 15\end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nssi \"s + s' = 5, \, s\, s' = 0\,,\, s + 2\, s' = 5\" ssi \"s = 5\" et \"s' = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"P = (\textrm{X} - 5 \, \textrm{X} + 6)(\textrm{X} ^2 + 3)\"<\/em>
\n\"P = (\textrm{X} - 2) (\textrm{X} - 3) (\textrm{X} - \textrm{i} \, \sqrt{3}) (\textrm{X} + \textrm{i} \, \sqrt{3})\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nFactoriser, dans \"\mathbb{R} [\textrm{X}],\" le polyn\u00f4me \"P = (1 + \textrm{X} ^2 ) ^4 - 9\, \textrm{X} ^4\", sans chercher les racines de \"P\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : La factorisation repose sur la relation fondamentale v\u00e9rifi\u00e9e dans \"\mathbb{R} [\textrm{X}]\" : \"A^2 - B^2 = (A - B) (A + B)\" .<\/em>
\nOn obtient une premi\u00e8re factorisation de \"P\" :\u00a0<\/em>
\n\"\left ((1 + \textrm{X}^2)^2 + 3\, \textrm{X} ^2\right ) \, \left ((1 + \textrm{X}^2)^2 - 3 \, \textrm{X} ^2\right )\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"(1 + \textrm{X}^2)^2 - 3 \textrm{X} ^2 =\" \"\quad (\textrm{X}^2 - \sqrt{3} \, \textrm{X}^2 + 1) (\textrm{X}^2 + \sqrt{3} \, \textrm{X}^2 + 1)\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"(1 + \textrm{X}^2)^2 + 3 \textrm{X} ^2 = \textrm{X} ^4 + 5 \, \textrm{X} ^2 + 1\"<\/em>
\n\"(1 + \textrm{X}^2)^2 + 3 \textrm{X} ^2 = \displaystyle \left (\textrm{X} ^2 + \frac 5 2 \right ) ^2 - \frac {21} 4 =\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \left ( \textrm{X} ^2 + \frac 5 2 \, \textrm{X} - \frac {\sqrt{21}} 2 \right ) \, \left ( \textrm{X} ^2 + \frac 5 2 \, \textrm{X} + \frac {\sqrt{21}} 2 \right )\"<\/em><\/p>\n

\"P = \displaystyle (\textrm{X}^2 - \sqrt{3} \, \textrm{X}^2 + 1) (\textrm{X}^2 + \sqrt{3} \, \textrm{X}^2 + 1)\" \"\displaystyle . \left ( \textrm{X} ^2 + \frac 5 2 \, \textrm{X} - \frac {\sqrt{21}} 2 \right ) \, \left ( \textrm{X} ^2 + \frac 5 2 \, \textrm{X} + \frac {\sqrt{21}} 2 \right )\"<\/em><\/p>\n

Exercice 4\u00a0<\/b>
\nSoit \"P \in \mathbb{K} [ \textrm{X}]\"
\nQuestion 1<\/i>
\nPour tout \"i \in \mathbb{N} ,\, P( \textrm{X}) - \textrm{X}\" divise \"P( \textrm{X})^i - \textrm{X} ^i\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Si \"i \in \mathbb{N}^*\" ,<\/em>
\n\"\displaystyle P( \textrm{X})^i - \textrm{X} ^i = \left ( P( \textrm{X}) - \textrm{X} \right ) Q_i\" avec\u00a0<\/em>
\n\"Q_i = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{i - 1} P( \textrm{X})^k \, \textrm{X} ^{i - 1 - k}\".<\/em><\/p>\n

Pour \"i = 0\", on \u00e9crit\u00a0\"P( \textrm{X})^i - \textrm{X} ^i = (P( \textrm{X}) - \textrm{X}) Q_0\" avec \"Q_0 = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 4<\/b>\u00a0(fin)
\nQuestion 2<\/i>
\n\"P(P( \textrm{X})) - P( \textrm{X})\" est divisible par \"P( \textrm{X}) - \textrm{X}\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"P(\textrm{X}) = \displaystyle \sum _ {i = 0} ^n a_i \, \textrm{X}^i\", donc \"P(P(\textrm{X})) = \displaystyle \sum _ {i = 0} ^n a_i\, P(\textrm{X})^i\"<\/em>
\net\u00a0<\/em>
\n\"P(P(\textrm{X})) -P(\textrm{X})= \displaystyle \sum _ {i = 0} ^n a_i \left ( P(\textrm{X})^i -\textrm{X}^i \right )\"<\/em>
\nen utilisant la question pr\u00e9c\u00e9dente<\/em>
\n\"P(P(\textrm{X})) -P(\textrm{X})= \displaystyle (P(\textrm{X}) - \textrm{X})\, \sum _ {i = 0} ^n a_i \, Q_i\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Donc \"P(P( \textrm{X})) - P( \textrm{X})\" est divisible par \"P( \textrm{X}) - \textrm{X}\".<\/em><\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\",\u00a0 on note \"P_n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \frac 1 {k!} \textrm{X}^k\"
\nQuestion 1.<\/i>
\nLes racines de \"P_n\" sont simples. Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"n \in \mathbb {N}^*\".\u00a0On remarque que\u00a0<\/em>
\n\"P_n= P_{n - 1} + \displaystyle \frac {\textrm{X}^n} {n!}\" et\u00a0<\/em>
\n\"P'_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {(k - 1) !} \textrm{X}^{k - 1}\"\u00a0<\/em>
\n\"P'_{n } = \displaystyle \sum _ {p = 0} ^{n - 1} \frac 1 {p!} \textrm{X}^p = P_{n - 1} \,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Si \"P_n\" avait une racine multiple \"a\", alors \"P_n(a) = P_n'(a) = 0\".<\/em>
\nDonc \"P_n(a) = P_{n - 1} (a) = 0 \Rightarrow a = 0\"<\/em>
\nComme \"P_n(0) = 1\", on aboutit \u00e0 une contradiction.<\/em>
\nLes racines de \"P_n\" sont simples.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 5<\/b>\u00a0(fin)
\nQuestion 2<\/i>
\nD\u00e9terminer le nombre de racines r\u00e9elles de \"P_n\,\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Il est \u00e9vident que si \"x \geq 0\",\"\, Pn(x) \geq 1\".\u00a0<\/em>
\n\"P_n\" n’a pas de racine sur \"\mathbb{R} ^+\".<\/em>
\n\u00a0<\/em>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", \"H_n\" : \"\forall\, x \in \mathbb{R}^-, P_{2n}(x) > 0\" et \"P_{2n+1}\" s’annule une seule fois sur \"]- \infty , 0[\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"P_0 = 1\" et \"P_1 = 1 + \textrm{X}\" donc \"H_0\" est vraie.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est v\u00e9rifi\u00e9e.<\/em>
\n\"\ast\" Comme \"P'_{2 n + 2} = P_{2n+1}\" et \"P_{2n+1}\" s’annule en une seule fois en \"\alpha < 0\".<\/em>
\n\"P_{2 n+1}(0) = 1 > 0\" et \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} P_{2 n + 1} (x) = - \infty\".<\/em>
\nComme deux fonctions<\/a> \u00e9quivalentes en \"a\" ont m\u00eame signe au voisinage de \"a\", on en d\u00e9duit que si \"x < \alpha,\, P_{2n+1}(x) < 0\" et \"P_{2n+1}(x) > 0\" si \"x \in \; ]\alpha , \, 0[\".<\/em>
\n\"P_{2n+2}\" est une fonction strictement d\u00e9croissante sur \"]-\infty , \, \alpha]\" et strictement croissante sur \"[\alpha , \, 0]\".<\/em>
\n\"P_{2n+2}(\alpha ) = P_{2n+1}(\alpha ) + \displaystyle \frac {\alpha ^{2 n + 2} } {(2\,n+2)! }\" \"P_{2n + 2} (\alpha) \displaystyle = \frac {\alpha ^{2 n + 2} } {(2\,n+2)! } > 0\", donc si \"x \in ]-\infty, 0],\, P_{2n+2}(x) > 0\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"P'_{2n + 3} = P_{2n+2}\,\", donc \"P_{2n+3}\" est une fonction strictement croissante sur \"\mathbb{R} ^{-}\" telle que \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} P_{2n+3}(x) = - \infty\" et \"P_{2n+3}(0)= 1\", \"P_{2n+3}\" d\u00e9finit une bijection de \"]- \infty , 0]\" sur \"]-\infty , 1]\", donc \"P_{2n+3}\" s’annule une seule fois sur \"]- \infty , \, 0]\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Ce qui prouve \"H_{n+1}\,\".\u00a0<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence<\/a>.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 7<\/b>
\nSoit \"P\in \mathbb{R}[\textrm{X}]\" un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n > 1\" ayant \"n\" racines distinctes r\u00e9elles. Montrer que \"P\" n\u2019a pas deux coefficients cons\u00e9cutifs nuls, autrement dit : \"\forall\, k \in [\![0 , \, n - 1]\!],\, (a_k \, , \, a_{k + 1})\neq (0,0)\".<\/p>\n

2. Division euclidienne<\/h2>\n<\/div>\n
\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"t \in \mathbb{R}\" et \"n \in \mathbb{N}^*\" .
\nOn pose \"P_n = (\sin(t) \, \textrm{X} + \cos(t))^n\". D\u00e9terminer le reste de la division euclidienne<\/a> de \"P_n\" par \"\textrm{X} ^2 + 1\" puis par \"(\textrm{X} ^2 + 1)^2\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re question\u00a0<\/b><\/em>
\nD’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de division euclidienne, il existe \"Q \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" et deux r\u00e9els<\/a> \"a\" et \"b\" tels que \"\quad \quad P_n = (\textrm{X}^2 + 1)\, Q + a \, \textrm{X}+ b\".\u00a0<\/em>
\nEn particulier \"P_n(\textrm{i}) = b + \textrm{i}\, a\"<\/em>
\nor \"P_n(\textrm{i})= (\cos t + \textrm{i} \, \sin t )^n\" \"P_n(\textrm{i}) = \cos (n \, t) + \textrm{i} \, \sin (n \, t)\"<\/em>
\nen \u00e9galant parties r\u00e9elles et parties imaginaires : \"a = \sin(n \, t)\" et \"b = \cos(n \, t)\".\u00a0<\/em>
\nLe reste est \u00e9gal \u00e0 \"\sin(n \, t) \, \textrm{X} + \cos(n \, t)\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Deuxi\u00e8me question<\/b>\u00a0<\/em>
\nD’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de division euclidienne, il existe \"(Q , \, R) \in \mathbb{R} [\textrm{X}]^2\" tels que \"P_n = (\textrm{X}^2 + 1)^2 \, Q + R\" et \"\textrm{deg } R < 4\".\u00a0<\/em>
\n\"R = a \, \textrm{X} ^3 + b\, \textrm{X}^2 + c \, \textrm{X} + d\".\u00a0<\/em>
\nOn traduit que \"P_n - R\" est divisible par \"(\textrm{X}^2 + 1)^2\" ce qui impose\u00a0<\/em>
\n\"\quad (P_n - R)(\textrm{i}) = (P_n - R)'(\textrm{i}) = 0\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"\left \{ \begin {matrix} R(\textrm{i}) &=& P_n(\textrm{i})\\ R'(\textrm{i}) &=& P_n'(\textrm{i}) \end{matrix} \right.\"<\/em>
\nssi \"\left \{ \begin {matrix} - a \, \textrm{i} - b + c \, \textrm{i} + d &=& \textrm{e} ^{\textrm{i} \, n \, t}\\ -3 \, a + 2 \, b \, \,\textrm{i} + c &=& \,n \, \sin(t) \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (n - 1) \, t} \end{matrix} \right.\"<\/em>
\net en \u00e9galant les parties r\u00e9elles et imaginaires :\u00a0<\/em>
\nssi \"\left \{ \begin {matrix} - a + c &=& \sin(n t) \\- b + d &=& \cos (n\, t) \\ 2 \, b \ &=& \,n \, \sin(t) \, \sin((n - 1)t) \\ - 3 a + c &=& \,n \, \sin(t) \, \cos((n - 1)t) \end{matrix} \right.\"<\/em>
\nOn obtient \"b = \displaystyle \frac n 2 \, \sin(t) \, \sin((n - 1)t)\"<\/em>
\n\"b = \displaystyle \frac { n } 4 (\cos((n - 2) t) - \cos(n \, t))\"\u00a0<\/em>
\n\"d = \cos(n \, t) + b\"<\/em>
\n\"d= \displaystyle \frac { 4 - n } 4 \cos(n t) + \frac {n } 4 \cos((n - 2) t)\"<\/em>
\nPar \"L_1 - L_4\" :\u00a0 \u00a0<\/em>
\n\"2 \, a = -n \, \sin(t) \cos(n - 1)t) + \sin(n \, t)\"\u00a0<\/em>
\n\"2 \, a = \displaystyle \sin(n \, t) - \frac n 2 (\sin(n \, t) - \sin((n - 2)t)\"\u00a0<\/em>
\n\"2 \, a = \displaystyle \frac {2 - n} 2 \, \sin(n \, t) + \frac n 2 \, \sin((n - 2)t)\"\u00a0<\/em>
\n\"c = a + \sin(n t)\"\u00a0<\/em>
\n\"c = \displaystyle \frac {6 - n} 4 \, \sin(n \, t) + \frac n 4 \, \sin((n - 2)t)\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Le reste est \u00e9gal \u00e0\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \left ( \frac {2 - n} 4 \, \sin(n \, t) + \frac n 4 \, \sin((n - 2)t) \right ) \, \textrm{X} ^3\" \"\quad \displaystyle + \frac { n } 4 (\cos((n - 2) t) - \cos(n \, t)) \textrm{X}^2\" \"\quad \displaystyle + \, \left ( \frac {6 - n} 4 \sin(n \, t) + \frac n 4 \sin((n - 2)t)\right ) \textrm{X}\" \"\quad \displaystyle + \, \frac { 4 - n } 4 \, \cos(n \, t) + \frac {n } 4\, \cos((n - 2) t)\" .<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>CENTRALE 2004-
\nD\u00e9terminer les polyn\u00f4mes \"P \in \mathbb{K} [ \textrm{X} ]\" tels que \"P'\" divise \"P\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Si \"P = \lambda \in \mathbb{K}, \, P' = 0\" et \"P'\" divise \"P\" ssi \"P = 0\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" si \"\textrm{deg }(P) = 1\", on \u00e9crit \"P = \lambda \, \textrm{X} + \mu\" alors \"P' = \lambda \neq 0\", donc \"P'\" divise \"P\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Si \"\textrm{deg }(P) = n \geq 2\" et si \"P'\" divise \"P\", il existe \"(\lambda , \mu ) \in \mathbb{K}\" tel que \"\quad \quad \quad P = (\lambda \, \textrm{X} + \mu) P'\"\u00a0<\/em>
\nen comparant les termes de plus haut degr\u00e9, \"\lambda = 1/n\".\u00a0<\/em>
\nPar la formule de Leibniz avec les polyn\u00f4mes \"Q = \lambda \, \textrm{X} + \mu\" et \"P'\" sachant que \"Q ^{(i)} = 0\" si \"i \geq 2\",\u00a0<\/em>
\n\u00a0\"P^{k } = \lambda P ^{k } + \displaystyle \binom k 1 (\lambda \, \textrm{X} + \mu) P ^{(k + 1)}\"\u00a0<\/em>
\n\"\Leftrightarrow\" \"(1 - \lambda) P ^{(k)} = k(\lambda \, \textrm{X} + \mu)P ^{(k + 1)}\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"P ^{(k + 1)}\" divise \"(1 - \lambda) P^ {(k)}\"\u00a0 avec \"1 - \lambda \neq 0\" donc divise \"P^{(k)}\".<\/em><\/p>\n

On obtient donc : (*)<\/em>
\n\"(\ast) \quad\" \"P^{(n - 1)}\" divise \"P ^{(n - 2)}\", qui divise \"P ^{(n -3)}\",\u00a0 …. , qui divise \"P'\" , qui divise \"P\"<\/em>
\nComme \"\textrm{deg } P^{(n - 1)} = 1\", il existe \"a \in \mathbb{K}\" tel que \"a\" soit la seule racine de \"P ^{(n - 1)}\".\u00a0<\/em>
\nPar \"(\ast)\", \"\forall \, k \in [[0 , n - 1]]\" , \"P ^{(k)}(a) = 0\" et bien s\u00fbr \"P ^{(n)} (a) \neq 0\".\u00a0<\/em>
\n\"a\" est racine d’ordre \"n\" de \"P\".\u00a0<\/em>
\nOn peut \u00e9crire \"P = \alpha (\textrm{X} - a) ^n\" avec \"\alpha \neq 0\".<\/em><\/p>\n

R\u00e9ciproquement si \"P = \alpha (\textrm{X} - a) ^n\" avec \"\alpha \neq 0\" et \"n \in \mathbb{N} ^*\"\u00a0<\/em>
\n\"P' = n \, \alpha (\textrm{X} - a) ^{n - 1}\" divise \"P\" .<\/em><\/p>\n

En remarquant que si \"\textrm{deg } P = 1\", on peut aussi \u00e9crire \"P\" sous cette forme,\u00a0 et que le cas \"P = 0\" est obtenu pour \"\alpha = 0\"\u00a0<\/em>
\n\"P'\" divise \"P\" ssi il existe \"(a , \alpha ) \in \mathbb{K} ^2\" et \"n \in \mathbb{N}^*\" tel que \"P = \displaystyle \alpha (\textrm{X} - a) ^n\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nTrouver tous les polyn\u00f4mes \"P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"7\"
\npuis tous les polyn\u00f4mes tels que \u00a0\"(\textrm{X} - 1)^4\" divise \"P - 1\" et \"(\textrm{X} + 1)^4\" divise \"P + 1\" .<\/p>\n

Correction<\/strong> : Premi\u00e8re question\u00a0<\/b><\/em>
\n\"\ast\" \"P - 1\" est un multiple de \"(\textrm{X} - 1)^4\" ssi \"P(1) = 1, \, P'(1) = P''(1) = P^{(3)}(1) = 0\"<\/em>
\nssi \"(\textrm {X} - 1)^3\" divise \"P\, '\" et \"P(1) = 1\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"P + 1\" est un multiple de \"(\textrm {X} + 1)^4\" ssi \u00a0\"P(-1) = -1\" et \"\quad \quad \, P'(-1) = P''(-1) = P^{(3)}(-1) = 0\"\u00a0<\/em>
\nssi \"(\textrm {X} + 1)^3\" divise \"P\, '\" et \"P(-1) = -1\".<\/em><\/p>\n

Comme \"P\, ' \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" , \"(\textrm{X} ^2 - 1)^3\" divise \"P'\" et \"\textrm{deg} \, P' = 6\", on en d\u00e9duit qu’il existe \"a \in \mathbb{R}, \, P' = a(\textrm{X}^2 - 1)^3\" \"P' = a \, (\textrm{X}^6 - 3 \, \textrm{X}^4 + 3 \, \textrm{X} ^2 - 1)\"<\/em>
\nssi Il existe \"b \in \mathbb{R}\", \"\displaystyle P = a \left ( \frac 1 7 \textrm{X}^7 - \frac 3 5 \textrm{X}^5 + \textrm{X}^3 - \textrm{X}\right ) + b\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On termine en utilisant \"P(1) = - 1 , \, P(-1) = 1\"\u00a0<\/em>
\nssi \"\displaystyle a \left ( \frac 1 7 - \frac 3 5 \right ) + b = -1\"<\/em>
\net \"\displaystyle a \left (- \frac 1 7 + \frac 3 5 \right ) + b = 1\"<\/em>
\nssi \"b = 0\" et \"\displaystyle a \frac { 16} {35} = 1\"<\/em>
\nssi \"\displaystyle a = \frac {35 } {16}\" et \"b= 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Le premier probl\u00e8me a une seule solution \"\quad P = \displaystyle \frac {35 } {16} \, \left ( \frac 1 7 \textrm{X}^7 - \frac 3 5 \textrm{X}^5 + \textrm{X}^3 - \textrm{X} \right )\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Deuxi\u00e8me partie<\/b>\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\" Si \"Q\" est solution et \"P\" le polyn\u00f4me pr\u00e9c\u00e9dent, \"Q - P\" est divisible par \"(\textrm{X} + 1)^4\" et \"(\textrm{X} - 1)^4\".\u00a0<\/em>
\nSoit il existe \"R \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" tel que \"Q - P = R \, (\textrm{X} + 1)^4\, (\textrm{X} - 1)^4\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" R\u00e9ciproquement s’il existe \"R \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" tel que \"Q = P + R \, (\textrm{X} + 1)^4\, (\textrm{X} - 1)^4\".\u00a0<\/em>
\nalors \"Q + 1 = (P + 1) + R \, (\textrm{X} + 1)^4\, (\textrm{X} - 1)^4\" est divisible par \"(\textrm{X} - 1)^4\".<\/em>
\nDe m\u00eame \"Q - 1\" est divisible par \"(\textrm{X} + 1)^4\".<\/em><\/p>\n

L’ensemble des solutions est l’ensemble des polyn\u00f4mes\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad P + R \, (\textrm{X} ^2 - 1)^4\" o\u00f9 \"R \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\"<\/em>
\n\"\quad\"\u00a0 et \"P = \displaystyle \frac {35 } {16} \, \left ( \frac 1 7 \textrm{X}^7 - \frac 3 5 \textrm{X}^5 + \textrm{X}^3 - \textrm{X} \right )\" .\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 4\u00a0<\/b>
\nSoit pour \"n\in \mathbb{N}^*\", le polyn\u00f4me :
\n\"P_n = 1 + \textrm{X} ^n + \textrm{X} ^{2 n} + \textrm{X} ^{3 n} + \textrm{X} ^{4 n}\"
\nQuestion 1<\/b>
\nD\u00e9terminer les racines de \"P_1\,\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nD\u00e9terminer l’ensemble des \"n\" tels que \"P_1\" divise \"P_n\".<\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

3. Racines multiples<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoient \"a \neq b\" dans \"\mathbb{C}\" et \"n \in \mathbb{N}^*\".
\nSoit \"A = (\textrm{X} - a) ^{2 \,n } + (\textrm{X} - b) ^{2 \,n }\".
\nD\u00e9terminer le reste de la division de \"A\" par \"B = (\textrm{X} - a) ^{2} \, (\textrm{X} - b) ^{2}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Par le th\u00e9or\u00e8me de division euclidienne, on peut trouver \"Q , R \in \mathbb{C}[\textrm{X}]\" tels que \"A = B \, Q + R\" et \"\textrm{deg } R < \textrm{deg } B\". .\u00a0<\/em>
\nOn traduit que \"B\" divise \"A - R\" par les conditions :<\/em>
\n\"A(a) = R(a) ,\, A'(a) = R'(a)\" \"A(b) = R(b) , \, A'(b) = R'(b)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"R(a) = R(b) = (a - b) ^{2 n}\".<\/em>
\nDonc \"R - (a - b) ^{2\,n}\" est nul en \"a\" et \"b\", il est donc divisible par \"(\textrm{X} - a)(\textrm{X} - b)\" et de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 3.\u00a0<\/em>
\nOn \u00e9crit \"R_1 = R - (a - b) ^{2\,n}\" \"R_ 1 = (\textrm{X} - a)(\textrm{X} - b)(\alpha \, X + \beta )\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"R_1' = R' = (\textrm{X} - b)(\alpha \, X + \beta )\" \"\quad + \, (\textrm{X} - a)(\alpha \, X + \beta ) + \alpha \,(\textrm{X} - a)(\textrm{X} - b)\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"A'(a) = R'(a) = (a - b) (\alpha \, a + \beta)\"<\/em>
\ndonne \"2 \, n(a - b) ^{2 n - 1} = (a - b) (\alpha \, a + \beta)\"<\/em>
\nssi \"2 \, n(a - b) ^{2 n - 2} = \alpha \, a + \beta\"\u00a0 \u00a0 (1)<\/em>
\n\"A'(b) = R'(b) = (b - a) (\alpha \, b + \beta)\"<\/em>
\ndonne \"2 \, n\, (b - a) ^{2 n - 1} = (b - a) (\alpha \, b + \beta)\"<\/em>
\nssi \"2\, n\, (a - b) ^{2 n - 2} = \alpha \, b + \beta\"\u00a0 \u00a0 \u00a0(2)<\/em><\/p>\n

On r\u00e9sout le syst\u00e8me<\/a>\u00a0<\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} \alpha \, a + \beta = 2\, n\, (a - b) ^{2 n - 2}\\ \alpha \, b + \beta = 2\, n\, (a - b) ^{2 n - 2} \end{matrix} \right.\"<\/em>
\nssi \"\alpha = 0\" et \"\beta = 2 \, n (a - b) ^{2 n - 2}\"\u00a0<\/em>
\ndonc le reste est \u00e9gal \u00e0\u00a0 \"(a - b) ^{2 n - 2} \left ( (a - b) ^2 + 2 n (\textrm{X} - a)(\textrm{X} - b)\right )\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoient \"P \,, \, Q \in \mathbb{C}[\textrm{X}]\", sans racine commune.
\nOn suppose que \"a\" est une racine multiple de \"P ^2 + Q^2\", alors \"a\" est racine de \"{P'}^2 +{Q'}^2\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

On \u00e9crit \"R = P ^2 + Q ^2= R_1 . R_2\" avec \"R_1 = P + \textrm{i} \, Q\" et \"R_2 = P - \textrm{i} \, Q\"<\/em>
\n\"R(a) = 0\" ssi \"R_1(a) \, R_2(a) = 0\".\u00a0<\/em>
\nSi l’on avait \"R_1(a) = R_2(a) = 0\", par somme<\/a> et diff\u00e9rence, on aurait\u00a0<\/em>
\n\"P(a) = 0\" et \"Q(a) = 0\" ce qui est exclu par hypoth\u00e8se.\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

Donc \"a\" est racine d’un seul des deux polyn\u00f4mes \"R_1\" , \"R_2\,\".<\/em>
\nOn peut supposer (en rempla\u00e7ant si n\u00e9cessaire \"Q\" par \"-Q\") que \"R_1(a) = 0\" et \"R_2(a) \neq 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Puis comme \"a\" est racine d’ordre au moins \u00e9gal \u00e0 2 de \"R_1 \, R_2\"\u00a0<\/em>
\n\"(R_1 \, R_2)'(a) = 0\" soit \"R_1(a) \, R'_2(a) + R'_1(a) \, R_2(a)= 0\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"R'_1(a) \, R_2(a)= 0\" avec \"R_2(a) \neq 0\" alors \"R'_1(a) = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

En utilisant \"{P'}^2 + {Q'}^2 = R'_1 \, R'_2\" , on a prouv\u00e9 que \"a\" est racine de \"{P'}^2 + {Q'} ^2\".\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

4. D\u00e9composition de polyn\u00f4mes<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" tel que \"\textrm{deg} \, P \geq 1\"
\nOn dit que \"P\" est positif si \"\quad \quad \quad \forall \, x \in \mathbb{R} , \, P(x) > 0\".
\nMontrer que \"P\" est positif ssi il existe deux polyn\u00f4mes \"R\" et \"S\" \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{R}\" n’ayant pas de racine r\u00e9elle commune tels que \"P = R^2 + S^2\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0Condition suffisante<\/b><\/em>
\nSi \"P = R^2 + S^2\", o\u00f9 \"(R , S) \in \mathbb{R} [\textrm{X}]^2\",\u00a0\"R\" et \"S\" n’ont pas de racine r\u00e9elle commune.<\/em>
\n\"\forall \, x \in \mathbb{R}, \, P(x) = R^2(x) + S^2(x) \geq 0\" car \"R(x)\" et \"S(x)\" sont r\u00e9els.<\/em>
\nSi \"P(x) = 0\", \"R(x) = S(x) = 0\" (comme somme nulle de deux r\u00e9els positifs ou nuls), ce qui est exclu lorsque \"x \in \mathbb{R}\", donc pour tout r\u00e9el \"x,\, P(x) > 0\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Condition n\u00e9cessaire\u00a0<\/b><\/em>
\nSi \"\forall \, x \in \mathbb{R}, P(x) > 0\", \"P\" n’a que des racines complexes non r\u00e9elles, elles sont deux \u00e0 deux conjugu\u00e9es (car \"P\" est \u00e0 coefficients r\u00e9els) et deux racines conjugu\u00e9es ont m\u00eame ordre de multiplicit\u00e9.\u00a0<\/em>
\nLa d\u00e9composition de \"P\" dans \"\mathbb{C} [\textrm{X}]\" est donc de la forme \"\displaystyle P = \lambda \prod _{k = 1} ^p (\textrm{X} - z_k) ^{\alpha_k} (\textrm{X} - \overline {z_k}) ^{\alpha_k}\" .<\/em>
\no\u00f9 \"\forall \, k \in [[1 ,\, p]] , \, z_k \notin \mathbb{R}\".<\/em><\/p>\n

On note \"n = \textrm{deg} \, (P)\", au voisinage de \"+\infty\", \"P(x) \underset {x \to + \infty} \sim \lambda \, x^n\".\u00a0<\/em>
\nSi l’on avait \"\lambda < 0\", on aurait \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} P(x) = - \infty\", donc pour \"x\" assez grand, \"P(x) < 0\", ce qui est absurde. On en d\u00e9duit que \"\lambda > 0\".\u00a0<\/em>
\nOn peut donc \u00e9crire \"P = Q \; \overline {Q}\", avec \"Q = \displaystyle \sqrt{\lambda} \,\prod _{k = 1} ^p (\textrm{X} - z_k) ^{\alpha_k}\,\".<\/em><\/p>\n

En introduisant la partie r\u00e9elle et la partie imaginaire des coefficients de \"Q\", on peut trouver \"R\" et \"S\" dans \"\mathbb{R}[\textrm{X}]\" tels que \"Q = R + \textrm{i} \, S\".\u00a0<\/em>
\nAlors \"\overline{Q} = R - \, \textrm{i} \, S\" et \"\quad \quad \quad P = Q \, \overline {Q} = R^2 + S^2\".\u00a0<\/em>
\n\"R\" et \"S\" ne peuvent pas avoir une racine r\u00e9elle commune \"a\", sinon P s’annulerait en \"a \in \mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
\nIl existe donc \"R\" et \"S\" \u00e0 coefficients r\u00e9els tels que \"P = R^2 + S^2\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"n\" un entier strictement positif. On note \"P_n = \textrm{X}^{2n } - 2\, \cos(na) \, \textrm{X} ^n + 1\" o\u00f9 \"0 < n\, a < \pi\"<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nD\u00e9composer \"P_n\" dans \"\mathbb{C}[\textrm{X}]\" puis dans \"\mathbb{R}[\textrm{X}]\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi \"t \in \mathbb{R}\",\u00a0 \"\displaystyle \prod _{k = 0} ^{n - 1} \left ( \cos (t) - \cos \left (a + \frac {2 \, k \, \pi} {n} \right ) \right )\" \"\displaystyle \quad \quad \quad = \frac {\cos(n \, t) -\cos(n\, a)} {2 ^{n - 1}}\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nEn d\u00e9duire une expression simple de \"\displaystyle \prod _{k = 1} ^{n - 1} \sin \frac {k \, \pi} n\".<\/p>\n

5.<\/span> Polyn\u00f4mes v\u00e9rifiant une condition<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

Exercice 1<\/b>\u00a0ENSEA 2015
\nL’ensemble des polyn\u00f4mes \"P\"\u00a0 de \"\mathbb{C} [ \textrm{X} ]\" tels que \"P(\mathbb{C})\" est inclus dans \"\mathbb{R}\" est l’ensemble des polyn\u00f4mes \u00e9gaux \u00e0 une constante r\u00e9elle. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Si \"P = \lambda \in \mathbb{C}\", \"P\" est solution ssi \"\lambda \in \mathbb{R}\"<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\textrm{deg} \, P \geq 1\", soit \"\textrm{i} \in \mathbb{C}\", le polyn\u00f4me \"Q = P - \textrm{i}\" est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 1, il admet au moins une racine dans \"\mathbb{C}\", donc il existe \"z\in \mathbb{C}\" tel que \"P(z) = \textrm{i}\" , donc \"P( \mathbb{C})\" n’est pas inclus dans \"\mathbb{R}\"\u00a0<\/em>
\nLes seules solutions sont les polyn\u00f4mes constants et r\u00e9els.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>T\u00e9l\u00e9com Sud Paris 2014
\nIl y a au moins deux polyn\u00f4mes \"P \in \mathbb{C} [ \textrm{X} ]\" tels que \"P(0) = 0\" et \"P(\textrm{X}^2 + 1) = P(\textrm{X})^2 + 1\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" On note \"a_0 = 0\" et si \"n _in \mathbb{N}, a_{n + 1} = 1+ a_n ^2\".<\/em>
\nOn d\u00e9finit ainsi une suite<\/a> strictement croissante car \"\forall\, n \in \mathbb{N},\, a_{n + 1} - a_ n = a_n ^2 - a_n + 1 > 0\" (le discriminant de \"t^2 - t - 1\" est strictement n\u00e9gatif).\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9montre que pour tout \"n \in \mathbb{N}\" , \"P(a_n) = a_n \,\".<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour \"n = 0\".\u00a0<\/em>
\nSi elle est vraie au rang \"n\", \"P(a_{n + 1}) = P(a_n^2 + 1) = P(a_n)^2 + 1\" \"P(a_{n + 1}) = a_n ^2 + 1 = a_{n + 1}\" , elle est vraie pour tout \"n\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Le polyn\u00f4me \"P - \textrm{X}\" s’annule une infinit\u00e9 de fois, donc \"P = \textrm{X}\".<\/em>
\nIl est \u00e9vident que le polyn\u00f4me \"\textrm{X}\" v\u00e9rifie les conditions.<\/em>
\nLe probl\u00e8me admet une unique solutionle polyn\u00f4me \"\textrm{X}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSoit P un polyn\u00f4me \u00e0 coefficients r\u00e9els de degr\u00e9 \"n\" v\u00e9rifiant : \"\forall \, k \in [\![1 , \, n + 1]\!], \, P(k) = \displaystyle \frac 1 k\" .
\nCalculer \"P(n + 2)\" puis \"P(n + j)\" lorsque \"j \geq 3\".<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSoit \"P \in \mathbb{R} [ \textrm{X} ]\",v\u00e9rifiant la contdition (*)
\n\"\textrm{X}^2 P(\textrm{X} + 1) P(\textrm{X} - 1) = (\textrm{X}^2 - 1)P\".
\nQuestion 1<\/b>
\nD\u00e9terminer les polyn\u00f4mes constants v\u00e9rifiant (*).<\/p>\n

Question 2.\u00a0<\/b>
\nOn suppose que \"P\" admet une racine \"a\", o\u00f9 \"a\" n’est pas un entier naturel. Montrer que \"a - 1\" est racine de \"P\".
\nEn d\u00e9duire que toute racine \"a\" de \"P\" est \u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nOn suppose que \"b \in \mathbb{N}^*\" est une racine de \"P\" . Montrer que \"b + 1\" est racine de \"P\". En d\u00e9duire une contradiction.<\/p>\n

Question 4.\u00a0<\/b>
\nD\u00e9duire des calculs pr\u00e9c\u00e9dents, l’ensemble<\/a> des polyn\u00f4mes v\u00e9rifiant (*).<\/p>\n

6. Polyn\u00f4mes scind\u00e9s<\/h2>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>CCP 2013
\nSoit \"P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]\" tel que \"\textrm{deg} \, (P) = n \in \mathbb{N}^*\" et \"P\" unitaire.
\nQuestion 1<\/b>
\nSoit \"a \in \mathbb{R}\". Montrer que pour tout \"z \in \mathbb{C}\", \"\vert z - a \vert \geq \vert \mathcal{I}m \, z \vert\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"z = x + \textrm{i } \, y\" avec \"x\" et \"y\" r\u00e9els et \"y \neq 0\".<\/em>
\n\"\vert z - a\vert ^2 = (x - a)^2 + y^2 \geq y ^2\", donc \"\vert z - a \vert \geq \vert \mathcal{I}m \, z \vert\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nMontrer que \"P\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{R}\" ssi pour tout \"z \in \mathbb{C}, \, \vert P(z)\vert \geq \vert \mathcal{I}m z \vert ^n\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" On suppose que \"P\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{R}\", il existe donc \"a_ 1 \, , \, \cdots \, , \, a_n \,\" dans \"\mathbb{R}\" tels que pour tout \"z \in \mathbb{C}, \, P(z) = \displaystyle \prod_ {k = 1} ^n (z - a_k )\" .<\/em>
\nAlors \"\vert P(z)\vert = \displaystyle \prod_ {k = 1} ^n \vert z - a_k \vert \geq \vert \mathcal{I}m \, z \vert ^n\" .\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"\quad \quad \forall\, z \in \mathbb{C}, \, \vert P(z)\vert \geq \vert \mathcal{I}m \, z \vert ^n\" .<\/em>
\nSoit \"a\" une racine complexe de \"P\".<\/em>
\nAlors \"\vert P(a) \vert = 0 \Rightarrow \vert \mathcal{I}m \, a \vert ^n = 0\" donc \"a \in \mathbb{R}\" .<\/em>
\nToutes les racines complexes de \"P\" sont r\u00e9elles, donc \"P\" qui est scind\u00e9 sur \"\mathbb{C}\" est en fait scind\u00e9 sur \"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>ARTS2015
\nSoit \"P\" un polyn\u00f4me de \"\mathbb{R} [ \textrm{X} ]\" scind\u00e9 \u00e0 racines r\u00e9elles simples. On pose \"Q = \textrm{X} P(\textrm{X})\".
\nMontrer que \"Q'\" est scind\u00e9 \u00e0 racines r\u00e9elles simples.<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

On note \"n = \textrm{deg} P\".<\/em>
\n\"\bullet\" 1er cas : on suppose que \"0\" n’est pas racine de \"P\", donc le polyn\u00f4me \"Q\" admet \"n + 1\" racines distinctes que l’on range par ordre strictement croissant sous la forme \"x_1 < x_2 <\cdots < x_{n + 1}\" .\u00a0<\/em>
\nOn applique le th\u00e9or\u00e8me de Rolle \u00e0 \"Q\" sur l’intervalle \"[x_k , x_{k + 1}]\" o\u00f9 \"k \in [[1 , \, n]]\" .\u00a0<\/em>
\nOn en d\u00e9duit qu’il existe \"y_k \in \; ]x_k ,\, x_{k + 1}[\"tel que \"Q'(y_k) = 0\".\u00a0<\/em>
\nOn a donc d\u00e9termin\u00e9 \"n\" racines distinctes pour \"Q'\". Comme \"\textrm{deg} \, Q = n + 1\", \"\textrm{deg} \,Q' = n\", le polyn\u00f4me \"Q'\" est donc scind\u00e9 \u00e0 racines simples.\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\bullet\" 2\u00e8me cas : on suppose que \"0\" est racine de \"P\". Le polyn\u00f4me Q s’annule donc en \"n\" r\u00e9els que l’on range sous forme strictement croissante\u00a0<\/em>
\n\"x_1 < x_2 <\cdots < x_{n }\" et il existe \"i \in [[1 , \, n]]\" tel que \"x_i = 0\".\u00a0<\/em>
\nOn applique le th\u00e9or\u00e8me de Rolle \u00e0 \"Q\" sur l’intervalle \"[x_k\, ,\, x_{k + 1}]\" o\u00f9 \"k \in [[1 , \, n - 1]]\" .<\/em><\/p>\n

On en d\u00e9duit qu’il existe \"y_k \in \; ]x_k ,\, x_{k + 1}[\"tel que \"Q'(y_k) = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Puis comme \"0\" est racine double de \"Q\", \"Q'(0) = 0\" et \"0 \neq y_k\" pour tout \"k\".<\/em>
\nOn a donc d\u00e9termin\u00e9 \"n\" racines distinctes pour \"Q'\". Comme \"\textrm{deg} \,Q' = n\", le polyn\u00f4me \"Q'\" est donc scind\u00e9 \u00e0 racines simples.\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Exercice 3\u00a0<\/b>Centrale 2014 et 2018
\nSoient \"P, Q \in \mathbb{C} [ \textrm{X} ]\" non constants. On suppose que \"P\" et \"Q\" ont les m\u00eames racines \"\lambda _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \lambda _ r\" avec pour ordres de multiplicit\u00e9s respectifs \"\alpha _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \alpha _ r\" et \"\beta _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \beta _ r\" dans \"\mathbb{N}^*\".
\nOn suppose que les polyn\u00f4mes \"P - 1\" et \"Q - 1\" ont les m\u00eames racines \"\mu _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \mu _ s\" avec pour ordres de multiplicit\u00e9s respectifs \"\gamma _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \gamma _ s\" et \"\delta _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \delta _ s\" dans \"\mathbb{N}^*\".<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nMontrer que pour tout \"i \in [\![1 , \, r]\!]\", \"\alpha_ i\" est racine de \"P'\" avec pour ordre de multiplicit\u00e9 \"\alpha_i - 1\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nMontrer de m\u00eame que pour tout \"j \in [\![1 , \, s]\!]\", \"\mu_j\" est racine de \"P'\" avec pour ordre de multiplicit\u00e9 \"\gamma_ j - 1\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nEn d\u00e9duire que \"\textrm{deg} \,P \leq r + s - 1\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\n\"P = Q\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

7. Polyn\u00f4mes et limite de suites<\/h2>\n

Soit \"n\in \mathbb{N}^*\" un entier strictement positif. On note \"P_n = \displaystyle \frac 1 {2 \, \textrm{i} } \left ( (\textrm{X} + \textrm{i} )^{2n+1} - (\textrm{X} - \textrm{i} )^{2n+1} \right)\".
\nQuestion 1<\/b>
\nMontrer que \"P_n\" est un polyn\u00f4me \u00e0 coefficients r\u00e9els. Pr\u00e9ciser son degr\u00e9 et son coefficient dominant.<\/p>\n

Correction<\/strong> : On utilise le bin\u00f4me de Newton :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle 2 \, \textrm{i} \, P_n =\" \"\displaystyle \sum _{k = 0} ^{2 n + 1} \binom {2n + 1} k \textrm{i} ^{k} (1 - (- 1) ^k) \textrm{X} ^{2 n + 1 - k}\"\u00a0<\/em>
\n\u00a0\u00a0\u00a0si \"k = 2p\", \"(1 - (- 1) ^k) = 0\"\u00a0<\/em>
\n\u00a0\u00a0\u00a0si \"k = 2 p + 1\", \"(1 - (- 1) ^k) = 2\" et \"\textrm{i}^k = \textrm{i} \, (-1) ^p\"<\/em>
\nOn se limite aux indices \"k = 2 p + 1\" avec \"0 \leq p \leq n\".\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle 2 \, \textrm{i} \, P_n = \sum _{p = 0} ^{ n } \binom {2n + 1} {2 p + 1} 2 \, \textrm{i} \, (- 1) ^{p} \, \textrm{X} ^{2 n - 2 p }\"\u00a0<\/em>
\net apr\u00e8s simplification par \"2 \, \textrm{i}\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle P_n = \sum _{p = 0} ^{ n } \binom {2n + 1} {2 p + 1} (- 1) ^{p} \textrm{X} ^{2 n - 2 p }\"\u00a0<\/em>
\nC’est un polyn\u00f4me \u00e0 coefficients r\u00e9els, de degr\u00e9 \"2 n\", de coefficient dominant (obtenu pour \"p = 0\") \u00e9gal \u00e0 \"\quad \quad \quad \displaystyle \binom {2 n + 1} {1} (- 1) ^0 = 2\, n + 1\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nD\u00e9terminer les racines de \"P_n\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"P_n(z) = 0 \Leftrightarrow (z + \textrm {i} )^{2n+1 } = (z - \textrm {i} )^{2n+1}\"\u00a0<\/em>
\n\"\textrm {i}\" n’\u00e9tant pas solution de cette \u00e9quation<\/a>, on peut \u00e9crire en posant \"Z = \displaystyle \frac {z + \textrm {i} } {z - \textrm {i} }\"\u00a0<\/em>
\n\"P_n(z) = 0 \Leftrightarrow Z^{2n+1} = 1\"<\/em><\/p>\n

\"Z = \displaystyle \frac {z + \textrm {i} } {z - \textrm {i} }\" ssi \"Z(z - \textrm {i} ) = z + \textrm {i}\"<\/em>
\nssi \"z(Z - 1) = \textrm {i} (1 + Z)\"<\/em><\/p>\n

On remarque qu’il est impossible d’avoir \"Z = 1\" et qu’alors \"z = \displaystyle \frac {\textrm {i} (1 + Z) } {Z - 1}\" .\u00a0<\/em><\/p>\n

Il reste \u00e0 simplifier cette expression lorsque \"Z\" est une racine \"(2 n + 1)\"-\u00e8me de \"1\" diff\u00e9rente de \"1\" soit lorsque \"Z = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, k \pi / n}\" avec \"k \in [\![1 , \, 2 n + 1]\! ]\"\u00a0<\/em>
\nOn note dans la suite \"t_ k = \displaystyle \frac{\textrm{i} \, k \pi} n\".<\/em>
\nLes racines de \"P_n\" sont les complexes<\/a>\u00a0<\/em>
\n\"z_k = \displaystyle \textrm {i} \frac {1 + \textrm{e}^{2 \, \textrm{i} \, t_k} } { \textrm{e}^{2 \, \textrm{i} \, t_k} - 1 }\".<\/em><\/p>\n

En utilisant les r\u00e9sultats classiques ;\u00a0<\/em>
\n\"\quad 1 + \textrm{e}^{2 \, \textrm{i} \, t_k} = \displaystyle 2 \cos(t_k) \textrm{e}^{ \textrm{i} \, t_k}\"<\/em>
\n\"\quad \textrm{e}^{2 \, \textrm{i} \, t_k} - 1 = \displaystyle 2 \, \textrm{i} \sin (t_k) \textrm{e}^{ \textrm{i} \, t_k}\"<\/em>
\n\"z_k = \displaystyle \textrm {i} \frac {2 \cos( t_k) } { 2 \, \textrm{i} \sin( t_k) } = \textrm{cotan} (t_k)\".<\/em><\/p>\n

\"P_n\" admet \"n\" racines \"z_k = \displaystyle \textrm{cotan} \frac {k \, \pi} {2 n + 1}\" o\u00f9 \"k \in [\![1 , 2 \,n ]\! ]\".<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b>
\nMontrer qu’il existe un polyn\u00f4me \"Q_n\" \u00e0 coefficients r\u00e9els tel que \"\quad \quad \quad P_n(\textrm{X}) = Q_n(\textrm{X}^2)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On a prouv\u00e9 que \"\displaystyle P_n = \sum _{p = 0} ^{ n } \binom {2n + 1} {2 p + 1} \, (- 1) ^{p} \, \textrm{X} ^{2 n - 2 p }\"\u00a0<\/em>
\nen posant \"\displaystyle Q_n = \sum _{p = 0} ^{ n } \binom {2n + 1} {2 p + 1} (- 1) ^{p} \, \textrm{X} ^{ n - p }\".\u00a0<\/em>
\n\"Q_n\" est un polyn\u00f4me \u00e0 coefficients r\u00e9els tels que \"P_n(\textrm{X}) = Q_n( \textrm{X}^2)\".<\/em><\/p>\n

On rappelle que \"P_n\" est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"2 n\" de coefficient dominant \u00e9gal \u00e0 \"2 n + 1\" et dont les racines sont les complexes \"z_k\" :\u00a0<\/em>
\ndonc \"P_n =\" \"\displaystyle (2 n + 1) \prod _{k = 1} ^{2 n } (\textrm{X} - z_k)\"<\/em><\/p>\n

\"z_k = \displaystyle \textrm{cotan} \frac {k \, \pi} {2 n + 1}\" o\u00f9 \"k \in [\![1 , 2 n ]\! ]\"<\/em>
\n\"z_{2 n + 1 - k} = \displaystyle \textrm{cotan} \left ( \pi - \frac {k \, \pi} {2 n + 1} \right )\"<\/em>
\n\"z_{2 n + 1 - k} = - z_{k}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

On \u00e9crit\u00a0<\/em>
\n\"P_n = \displaystyle (2 n + 1) \prod _{k = 1} ^{n } (\textrm{X} - z_k) \, \prod _{k = n + 1 } ^{2 n } (\textrm{X} - z_k)\"\u00a0<\/em><\/p>\n

On pose \"p = 2 n + 1 - k\" dans\u00a0<\/em>
\n\"A = \displaystyle \prod _{k = n + 1 } ^{2 n } (\textrm{X} - z_k)\"\u00a0<\/em>
\n\"A = \displaystyle \prod _{p = 1 } ^{n } (\textrm{X} - z_{2 n + 1 - p})\"<\/em>
\n\"A = \displaystyle \prod _{p = 1 } ^{n } (\textrm{X} + z_{p})\"<\/em>
\ndonc\u00a0<\/em>
\n\"P_n = \displaystyle (2 n + 1) \prod _{k = 1} ^{ n } (\textrm{X} - z_k) \, \prod _{p = 1 } ^{n } (\textrm{X} + z_{p})\"<\/em>
\n\"P_n = \displaystyle (2 n + 1) \prod _{k = 1} ^{ n } (\textrm{X} ^2 - z_k^2 )\"<\/em>
\nPuis comme \"P_n(\textrm{X}) = Q_n( \textrm{X}^2)\",<\/em>
\n\"Q_n = \displaystyle (2 n + 1) \prod _{k = 1} ^{ n } (\textrm{X} - z_k^2 )\"<\/em><\/p>\n

Les racines de \"Q_n\" sont \"\quad u_k = \textrm{cotan}^2 \displaystyle \frac {k \, \pi} {2 n + 1}\" pour \"k \in [\![1 , \, n]\!]\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 4<\/b>
\nCalculer \"\displaystyle S_n = \sum _ {k = 1} ^{n} \textrm{cotan}^2 \frac {k \, \pi} {2 n + 1}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : C’est la somme des racines du polyn\u00f4mes \"Q_n\,\".\u00a0<\/em>
\nLe coefficient dominant de \"Q_n\" est \"a_n = {2 n + 1}\".<\/em>
\nLe coefficient \"a_{n - 1}\" de \"\textrm{X} ^{n - 1}\" dans \"Q_n\" donc celui de \"\textrm{X} ^{2 n - 2}\" dans \"P_n\,\".\u00a0<\/em>
\nLes calculs de la premi\u00e8re question donnent : \"a_{n - 1} = \displaystyle \binom {2n + 1} {3} (- 1) ^{1}\"\u00a0<\/em>
\n\"a_{n - 1} = \displaystyle - \frac {(2 n + 1)(2 n)(2 n - 1)} 6\"<\/em><\/p>\n

\"S_n\" est la somme des \"n\" racines de \"Q_n\"\u00a0<\/em>
\n\"S_n = \displaystyle - \frac {a_{n - 1}} {a_n} = \frac {n(2 n - 1)} 3\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 5\u00a0<\/b>
\nOn note \"I = \displaystyle \left ]0 , \frac {\pi} 2 \right [\"
\nMontrer que \"\forall\, x \in I, \, \displaystyle \textrm{cotan} (x) \leq \frac 1 x \leq \frac 1 {\sin(x)}\".<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nSoit \"\displaystyle T_n = \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {k ^2}\"
\nMontrer que la suite \"(T_n)_{n \geq 1}\" converge et d\u00e9terminer sa limite<\/a>.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

8. Fonction \"\Delta\"<\/h2>\n

Question 1<\/b>
\n\"A_0 = 1\" et si \"p \in \mathbb{N}^*,\" \"A_p = \displaystyle \frac 1 {p!} \textrm{X} (\textrm{X}-1) \, \cdots \, (\textrm{X} - p + 1)\"
\n\"\forall\, x \in \mathbb{Z} \, , \, A_p(x) \in \mathbb{Z}\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : La propri\u00e9t\u00e9 est \u00e9vidente si \"p = 0\".\u00a0<\/em>
\nOn suppose que \"p \in \mathbb{N}^*\".\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\" si \"x \in [\![0 \, , p - 1]\!],\, A_p(x) = 0 \in \mathbb{Z}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" si \"x \in \mathbb{N}\" et \"x \geq p\".\u00a0<\/em>
\n\"A_p(x) = \displaystyle \frac 1 {p!} x (x-1) \, \cdots \, (x - p + 1)\"<\/em>
\n\"A_p(x) = \displaystyle \frac 1 {p!} \, \frac {x!} {(x - p)!} = \binom {x} p \in \mathbb{Z}\"<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" si \"x \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\".\u00a0<\/em>
\nOn \u00e9crit \"x = - k\" avec \"k \in \mathbb{N}^*\"\u00a0<\/em>
\n\"A_p(x) = \displaystyle \frac 1 {p!} \, (-1) ^p \, k(k+1) \, \cdots \, (k + p - 1)\"<\/em>
\n\"A_p(x) = \displaystyle \frac 1 {p!} \, (-1) ^p \, \frac {(k+p - 1)!} {(k - 1)! }\"<\/em>
\n\"A_p(x) = \displaystyle (-1) ^p \, \binom{k+p - 1} {p!} \in \mathbb{Z}\"<\/em><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 a \u00e9t\u00e9 prouv\u00e9e par disjonction de cas.\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSoit si \"P \in \mathbb{R} [ \textrm{X} ]\" \"\quad \quad \Delta (P) = P( \textrm{X} + 1) - P( \textrm{X})\" .
\na)\u00a0<\/b>Quel est le degr\u00e9 de \"\Delta (\textrm{X} ^k)\" si \"k \in \mathbb{N}^*\" ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\ast\" \"\Delta (\textrm{X} ^0) = 0\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"k \in \mathbb{N}^*\",\u00a0<\/em>
\n\"\Delta (\textrm{X} ^k) = (\textrm{X} + 1) ^k - \textrm{X}^k\" \"\Delta (\textrm{X} ^k) = \displaystyle \sum _{i = 0} ^k \binom {k} i \textrm{X} ^i - \textrm{X}^k\"<\/em>
\nalors \"\textrm{deg} \, \Delta (\textrm{X} ^k) = k - 1\" si \"k\geq 1\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nb)<\/b>\u00a0Calculer \"\textrm{deg} (\Delta (P))\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nCalculer si \"p \in \mathbb{N}\", \"\Delta(A_p)\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nSoit \"P \in \mathbb{R}_n [ \textrm{X}]\".
\nIl y a \u00e9quivalence entre
\n1)\u00a0<\/b>\"\forall \, x \in \mathbb{Z},\, P(x) \in \mathbb{Z}\"
\n2)\u00a0<\/b>\"\exists \, (a_0 \, \cdots \, \, a_n) \in \mathbb{Z}^ {n + 1}\" tel que \"\quad \quad \quad P = \displaystyle \sum_{k = 0} ^n a_k \, A_k\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n<\/div>\n

9. Divers<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>\u00a0MinesPonts 2015
\nPour \"P \in \mathbb{R} [ \textrm{X} ]\" de degr\u00e9 \"n \geq 1\" \u00e9crit sous la forme \"P = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n a_k \, \textrm{X}^k\",
\nmontrer que \"\forall \, k \in [\![0 , \, n]\!], \vert a_k \vert \leq M\" avec \"M = \displaystyle \sup_{\vert z \vert = 1} \vert P(z) \vert\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>\u00a0Centrale PSI 2018
\nQuestion 1<\/b>\u00a0Soit \"P \in \mathbb{C}[\textrm{X}]\".
\nSi \"\forall\, x \in \mathbb{R},\, P(x) \in \mathbb{R}\", \"P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nTrouver \"P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]\" contenant un coefficient strictement n\u00e9gatif et tel que \"\forall\, x \in \mathbb{R}, \, P(x) \geq 0\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nOn dit que \"R \in \mathbb{R}[\textrm{X}]\" est \u00e0 valeurs positives lorsque
\n\"\quad \quad \quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \, R(x) \geq 0\".
\na)<\/b>\u00a0Soit \"P \in \mathbb{R}_n[\textrm{X} ]\" \u00e0 valeurs positives,
\n\"Q = \displaystyle \sum _{k = 0}^n P ^{(k)}\" est \u00e0 valeurs positives. Vrai ou Faux ?
\nb)\u00a0<\/b>La r\u00e9ciproque est vraie\u00a0<\/span><\/p>\n

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