{"id":37567,"date":"2019-11-01T10:13:49","date_gmt":"2019-11-01T09:13:49","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37567"},"modified":"2023-09-15T18:36:55","modified_gmt":"2023-09-15T17:36:55","slug":"cours-en-ligne-arithmetique-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-arithmetique-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur l’arithm\u00e9tique en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Arithm\u00e9tique en Maths Sup en MPSI, PCSI et PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Maths sup Arithm\u00e9tique<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1. Divisibilit\u00e9
\n2. PGCD de deux \u00e9l\u00e9ments
\n3. Nombres premiers entre eux
\n4. PPCM
\n5. Nombres premiers
\n6. Relation de congruence
\n7. Synth\u00e8se des m\u00e9thodes<\/p>\n

On suppose dans tout ce chapitre sauf indication contraire que \"\mathbb{K}= \mathbb{R}\" ou \"\mathbb{C}\".<\/p>\n

Si vous rencontrez des difficult\u00e9s lors de votre entra\u00eenement sur l’arithm\u00e9tique, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 consulter nos profs de maths \u00e0 domicile<\/a>.<\/p>\n

 <\/p>\n

1. Divisibilit\u00e9<\/h3>\n

1.1. Diviseurs et multiples<\/b>
\n\"\bullet\" Si \"a\" et \"b \in \mathbb{Z}\",\u00a0il y a \u00e9quivalence entre :
\n\"\; \; \ast\" \"a\" divise \"b\" ou \"a\" est un diviseur de \"b\"
\n\"\; \; \ast\" \"b\" est un multiple de \"a\"
\n\"\; \; \ast\" il existe \"k \in \mathbb{Z}\" tel que \"b = a \, k\".
\nOn note \"a \, \vert \, b\".<\/p>\n

⚠️ Tout entier divise \"0\".
\n⚠️ \"0\" ne divise que lui-m\u00eame.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a \in \mathbb{Z}\",
\n\"\ast\" l’ensemble des multiples de \"a\" est \"\quad \quad \quad a \, \mathbb{Z} = \{ a\, k \, / \, k \in \mathbb{Z} \}\".
\n\"\ast\" Il n’y a pas de notation consacr\u00e9e pour les diviseurs de \"a\".
\nJ’utiliserai \"\mathcal{D}(a)\" pour noter l’ensemble des diviseurs de \"a\".
\n\"\ast\" \"\mathcal{D}(0) = \mathbb{Z}\"
\n\"\ast\" si \"n \in \mathbb{Z}\" et \"\vert n \vert \geq 2\",
\n\"\quad \quad \quad \{ \pm 1 , \, \pm n \} \subset \mathcal{D}(n)\".<\/p>\n

1.2. Propri\u00e9t\u00e9s<\/b>
\n\"\bullet\" la relation \u00ab\u00a0\"a \, \vert \, b\"\u00a0\u00bb est une relation d’ordre sur \"\mathbb{N}\" mais n’est pas une relation d’ordre sur \"\mathbb{Z}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si\u00a0 \"a,b,c , d \in \mathbb{Z}\",
\n\"\ast\" \"d \, \vert \, a\" et \"d \, \vert \, b\" \"\quad \quad \Rightarrow\"\u00a0\"\forall\, (u ,\, v) \in \mathbb{Z}^2, \, d \, \vert \, a\, u + b \, v\".
\n\"\ast\" \"a \, \vert \,b\" et \"c \, \vert \, d\" \"\Rightarrow\" \"a \, c \, \vert \, b \, d\"
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{N}^*\" et \"a \, \vert \, b\",\u00a0 \"a ^k \, \vert \, b ^k\".<\/p>\n

1.3. Diviseurs et multiples communs<\/b>
\nSi \"a_1\, ,\cdots ,\, a_n\" sont des \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{Z}\", on appelle
\n\"\ast\"\u00a0diviseur commun<\/i>\u00a0de \"a_1\, ,\cdots ,\, a_n\" tout \"d \in \mathbb{Z}\" tel que \"\forall\, k \in [\![1 , \, n]\! ], \, d \, \vert \, a_k \,\".
\n👍\"\pm 1\" sont des diviseurs communs \u00e0 toute famille finie d’\u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{Z}\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0multiple commun<\/i>\u00a0de \"a_1\, ,\cdots ,\, a_n\" tout \"m\in \mathbb{Z}\" tel que \"\forall\, k \in [\![1 , \, n]\! ], \, a_k \, \vert m\".
\n👍 \"a_1 \, \cdots \, a_n\" est un multiple commun de la famille\u00a0\"a_1\, ,\cdots ,\, a_n\,\" .<\/p>\n

1.4. Division euclidienne<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0Th\u00e9or\u00e8me de division euclidienne\u00a0<\/i>
\nSi \"a \in \mathbb{Z}\" et \"b \in \mathbb{N}^*\", il existe un unique couple \"(q ,\, r) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}\" tel que \"\quad \quad a = b \, q + r\" o\u00f9 \"0 \leq r \leq b - 1\"
\n\"q\" est le\u00a0dividende\u00a0<\/i>de \"a\" par \"b\"
\n\"r\" est le\u00a0reste<\/i>\u00a0de la division euclidienn<\/a>e de \"a\" par \"b\".<\/p>\n

Remarque<\/i>\u00a0: \"\displaystyle q = \left \lfloor \frac a b \right \rfloor\" et \"a \equiv r \;\; [b]\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. PGCD de deux \u00e9l\u00e9ments<\/h3>\n
\n

2.1. D\u00e9finition et propri\u00e9t\u00e9s du PGCD<\/b>
\n\"\bullet\" Soient \"a\" et \"b\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{Z}\".
\nOn appelle PGCD de \"a\" et \"b\" et on note \"a \wedge b\" l’entier naturel d\u00e9fini par
\n\"\ast\" si \"(a , b) = (0 , 0), \, a \wedge b = 0\"
\n\"\ast\" si \"(a , b) \neq (0 , 0)\", \"\quad a \wedge b = \max \{ d \in \mathbb{N}\, /\, d \, \vert \, a \textrm{ et } d \, \vert \, b \}\".<\/span><\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" Si \"a\" et \"b\" sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{Z}\",
\n\"\quad \quad a \wedge b = \vert a \vert \wedge \vert b \vert\"
\n\"\quad \quad a \wedge b = b \wedge a\"
\n\"\ast\" Si \"a \in \mathbb{N} , \, a \wedge 0 = a\".
\n\"\ast\" Si \"(a , b) \in \mathbb{Z}^2,\, a \wedge b = (a - b) \wedge b\".
\n\"\ast\" Si \"k \in \mathbb{Z}\", \"(k \, a) \wedge (k \, b) = \vert k \vert \, (a \wedge b)\".
\n\"\ast\" Si \"r\" est le reste de la division euclidienne de \"a \in \mathbb{Z}\" par \"b \in \mathbb{N}^*\", \"\quad \quad \quad \quad \quad a \wedge b = b \wedge r\".
\n\"\ast\" si \"a\", \"b\" et \"c\" sont dans \"\mathbb{Z}\"
\n\"\quad \quad \quad (a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)\"<\/p>\n

Relation de Bezout\u00a0<\/b>: soient \"a\" et \"b\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{Z }\", il existe \"u\" et \"v\" dans \"\mathbb{Z}\" tels que \"a \wedge b = a \, u + b \, v\"
\n⚠️\u00a0\"u\" et \"v\" ne sont pas uniques !
\nSi \"(u_0 ,\, v_0)\" est solution,\u00a0 pour tout \"k \in \mathbb{Z}\",\u00a0 \"(u_0 + k \, b, v_0 - k \, a)\" est solution.<\/p>\n

2.2. Algorithme d’Euclide<\/b>
\n\"\bullet\" Algorithme d’Euclide
\nSoient \"a\" et \"b\" dans \"\mathbb{N}\" tels que \"0 < b \leq a\"
\n\"\ast\" On note \"r_0 = a, \, r _ 1 = b\".
\n\"\ast\" Par r\u00e9currence<\/a> :
\nsi \"r _{k + 1} \neq 0\", on note \"r_{k + 2}\" le reste de la division euclidienne de \"r_k\" par \"r_{k + 1}\,\".
\n\"\ast\" Si \"r_{N - 1}\" est le dernier reste non nul (et donc \"r_N = 0\"),\u00a0\u00a0\"a \wedge b = r_{N - 1}\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Ces calculs permettent de trouver une relation de Bezout par une m\u00e9thode appel\u00e9e\u00a0remont\u00e9e de l’algorithme d’Euclide\u00a0<\/b>:
\nOn part de la relation
\n\"\quad \quad r _ {N - 3} = q_{N - 2} \, r_{N - 2} + r_{N - 1}\"
\n\u00e9crite sous la forme
\n\"\quad \quad r_{N - 1} = r _ {N - 3} - q_{N - 2} \, r_{N - 2}\"
\net on remplace \"r_{N - 2}\" en fonction<\/a> de \"r_{N-3}\" et \"r_{N - 4}\,\",\u00a0ce qui permet d’exprimer \"r_{N - 1}\" en fonction de \"r_{N-3}\" et \"r_{N - 4}\,\".
\nEt on r\u00e9it\u00e8re jusqu’\u00e0 exprimer \"r_{N - 1}\" en fonction de \"r_0\" et \"r_1\" donc en fonction de \"a\" et \"b\". On obtient une identit\u00e9 de Bezout.<\/p>\n

2.3. Algorithme d’Euclide \u00e9tendu\u00a0<\/b>
\nOn se ram\u00e8ne au cas o\u00f9 \"a\" et \"b\" sont dans \"\mathbb{N}\" avec \"0 < b \leq a\"
\nOn note \"r_0 = a\", \"r_ 1 = b\".
\nOn note \"r_N\" le premier reste nul dans la suite<\/a> des divisions euclidiennes.
\nPlus pr\u00e9cis\u00e9ment si \"k\in [\![0 , N - 2]\!]\", on \u00e9crit :\u00a0\u00a0\u00a0\"r_{k } = r_{k + 1} \, q_{k + 1} + r_{k + 2}\" avec \"0 \leq r_{k + 2} < r_{k + 1}\,\".
\nOn suppose \"r_{N - 1} \neq 0\" et \"r_N = 0\".<\/p>\n

Alors les familles d\u00e9finies par
\n\"\ast\" \"u_0 = 1\", \"u_ 1 = 0\"
\n\"\ast\" \"v_ 0 = 0\" , \"v_1 = 1\"
\n\"\ast\" \"\forall\, k\in [\![0 , N - 2]\!]\"
\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} u_{k + 2}&=& u_k - q_{k + 2} \, u_{k + 1} \\ v_{k + 2}&=& v_k - q_{k + 2}\, v_{k + 1} \end{matrix} \right.\"
\nsont telles que \"\quad \forall\, k \in [\![0 , N]\!], \, r _ k = a \, u_k + b \, v_k\"
\net on retient que
\n\"\quad \quad a \wedge b =a \, u_{N - 1} + b \, v_{N - 1}\" .<\/p>\n

On peut mener les calculs en tableau :
\ninitialisation\u00a0<\/i>
\n\"\quad \quad \left \vert \begin{matrix}0 & a & &... & & 1 & 0 \\ 1 &b & &...& & 0 &1 \end{matrix} \right \vert\"<\/p>\n

Calcul de la ligne \"k + 2\" si l’on conna\u00eet les\u00a0 lignes<\/i>\u00a0\"k\" et \"k + 1\" si \"k + 2 \leq N - 1\"
\n\"\left \vert \begin{matrix}k & r_k & q_k&u_k & v_k \\ k + 1 &r_{k + 1} & q_{k + 1} &u_{k + 1} & v_{k + 1}\\ k + 2 & & & & \end{matrix} \right \vert\"
\n\"\ast\" par division euclidienne de \"r_k\" et \"r_{k + 1} \,\", on calcule le quotient plac\u00e9 en \"q_{k + 2}\" et le reste plac\u00e9 en \"r_{k + 2} \,\".<\/p>\n

\"\left \vert \begin{matrix}k & r_k & q_k&u_k & v_k \\ k + 1 &r_{k + 1} & q_{k + 1} &u_{k + 1} & v_{k + 1}\\ k + 2 &r_{k + 2} & q_{k + 2} & & \end{matrix} \right \vert\"
\n\"\ast\" on calcule \"u_{k + 2} = u_k - u_{k + 1 } \, q_{k + 2}\"
\net on calcule de m\u00eame \"v_{k + 2} \,\" ce qui permet de compl\u00e9ter la ligne \"k + 2\" :
\n\"\left \vert \begin{matrix}k & r_k & q_k&u_k & v_k \\ k + 1 &r_{k + 1} & q_{k + 1} &u_{k + 1} & v_{k + 1}\\ k + 2 &r_{k + 2} & q_{k + 2} &u_{k + 2} & v_{k + 2} \end{matrix} \right \vert\"<\/p>\n

On termine en ayant<\/i>\u00a0:
\n\"\left \vert \begin{matrix}N - 2 & r_{N - 2} & q_{N - 2} &u_{N - 2} & v_{N - 2} \\ N - 1 &r_{N - 1} & q_{N - 1} &u_{N - 1} & v_{N - 1}\\ N &0 & & & \end{matrix} \right \vert\"
\nLes calculs de \"u_N\" et \"v_N\" sont inutiles.<\/p>\n

\"\ast\" sur la ligne \"N - 1\" donnant le dernier reste non nul,\u00a0on obtient \"a \wedge b = r_{N - 1}\,\",\u00a0 \"u_{N - 1}\" et \"v _{N - 1}\"<\/p>\n

👍 cette m\u00e9thode est la m\u00e9thode \u00e0 utiliser en Python pour programmer le calcul du pgcd et de la relation de Bezout.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>: relation de Bezout pour \"a = 151\" et \"b = 77\" par la remont\u00e9e de l’algorithme et par l’algorithme d’Euclide \u00e9tendu.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Algorithme d’Euclide.\u00a0<\/em>
\nLes divisions successives donnent :\u00a0<\/em>
\n\"151 = 1 \times 77 + 74\"\u00a0<\/em>
\n\"77 = 1 \times 74 + 3\"<\/em>
\n\"74 = 24 \times 3 + 2\"<\/em>
\n\"3 = 1 \times 2 + 1\"<\/em>
\nle reste suivant est nul\u00a0<\/em>
\nLe dernier reste non nul est \u00e9gal \u00e0 1, donc \"a \wedge b = 1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Bezout par remont\u00e9e de l’algorithme d’Euclide\u00a0<\/em>
\n\"1 = 3 - 1 \times 2\"<\/em>
\n\"1 = 3 - (74 - 24 \times 3) = 3 \times 25 - 74\"<\/em>
\n\"1 = (77 - 74) \times 25 - 74\"\u00a0<\/em>
\n\"1 = 77 \times 25 - 74 \times 26\"\u00a0<\/em>
\n\"1 = 77 \times 25 - (151 - 77) \times 26\"\u00a0<\/em>
\n\"1 = 77 \times 51 - 151 \times 26\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Par l’algorithme d’Euclide \u00e9tendu\u00a0<\/em>
\n\"\left \vert \begin{matrix}0 & 151 &\cdots &1 & 0 \\ 1 &77 &\cdots &0 & 1\\ 2 &74 & 1 &1 & - 1 \\ 3 &3 & 1 &-1 & 2 \\ 4 &2&24 &2 5 & - 49 \\ 5 &1&1 & -26 & 51 \\ 6&0& & & \end{matrix} \right \vert\"<\/em><\/p>\n

Dans les deux cas, \"51 \times a - 26 \times b = 1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

3. Nombres premiers entre eux<\/h3>\n

3.1. Deux nombres premiers entre eux\u00a0<\/b>
\nD\u00e9finition<\/i>\u00a0:
\nSoient \"a\" et \"b\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{Z}^*\". On dit que \"a\" et \"b\" sont\u00a0premiers entre eux<\/i>\u00a0lorsque \"a \wedge b = 1\".<\/p>\n

👍 \"a \wedge b = 1\" ssi \"\pm 1\" sont les seuls diviseurs communs de \"a\" et \"b\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s<\/i>
\n\"\bullet\"\u00a0Th\u00e9or\u00e8me de Bezout\u00a0<\/b>
\nSoient \"a\" et \"b\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{Z }\".
\n\"a \wedge b = 1\" ssi il existe \"u\" et \"v\" dans \"\mathbb{Z}\" tels que \"a \, u + b \, v = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"(a,b,c) \in \mathbb{Z}^3\",
\n\"c \wedge a = 1\" et \"c \wedge b = 1\" \"\Rightarrow c \wedge a \, b = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Th\u00e9or\u00e8me de Gauss\u00a0<\/b>
\nSoient \"a\", \"b\" et \"c\" dans \"\mathbb{Z}\".
\n\"a \wedge b = 1\" et \"a \,\vert \, b \, c\" \"\Rightarrow\" \"a \, \vert \, c\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"a\", \"b\" et \"c\"\u00a0 dans \"\mathbb{Z}\".
\n\"a\" divise \"c\", \"b\" divise \"c\" et \"a \wedge b = 1\"
\n\"\quad \quad \quad \Rightarrow\" \"a \, b\" divise \"c\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"a\" et \"b\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{Z }^*\" et \"d = a \wedge b\",
\nalors \"a = d \, a'\" et \"b = d \,b'\"
\n\"\quad \quad\" o\u00f9 \"(a', b') \in \mathbb{Z}^2\" et \"a' \wedge b' = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout \"r \in \mathbb{Q}^*\", il existe un unique couple \"(p , \,q) \in \mathbb{Z} ^* \times \mathbb{N}^*\" tels que \"r = \displaystyle \frac p q\" avec \"p \wedge q = 1\".
\nOn dit que \"\displaystyle \frac p q\" est la\u00a0forme irr\u00e9ductible<\/i>\u00a0du rationnel \"r\".<\/p>\n

3.2. G\u00e9n\u00e9ralisation au cas de \"r \geq 3\" entiers\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Si \"r\in \mathbb{N}\" , \"r \geq 3\" et \"(a_1 \, , \cdots \,, a_r) \in \mathbb{Z}^r\",
\non appelle PGCD de \"(a_1 \, , \cdots \,, a_r)\" et on note \"a_1 \wedge \cdots \wedge a_r\" l’entier naturel d\u00e9fini par
\n\"\ast\" si \"(a_1 \, , \cdots \, , a_r) = (0 , \, \cdots \, ,0)\",
\n\"\quad \quad \quad a_1 \wedge \cdots \wedge a_r = 0\"
\n\"\ast\" si \"(a_1 \, , \cdots \, , a_r) \neq (0 , \, \cdots \, ,0)\",
\n\"a_1 \wedge \cdots \wedge a_r =\" \"\quad \quad \max \{ d \in \mathbb{N}\, /\, \forall \, k \in [\![1 , r]\!],\, d \, \vert \, a_k \}\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Identit\u00e9 de Bezout\u00a0<\/b>
\nSi \"r\in \mathbb{N}\", \"r \geq 3\" et \"(a_1 \, ,\cdots \, ,a_r) \in \mathbb{Z}^r\",
\nIl existe \"(u_1 ,\, \cdots \, , u_r) \in \mathbb{Z}^r\" tel que
\n\"\quad a_1 \wedge \cdots \wedge a_r = \displaystyle \sum _{k = 1} ^r a_k \, u_k \,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"r\in \mathbb{N}\", \"r \geq 3\" et \"(a_1 \, ,\cdots \, ,a_r) \in \mathbb{Z}^r\",
\n\"a_1 \wedge \cdots \wedge a_r = (a_1 \wedge \cdots \wedge a_{r - 1} ) \wedge a_r\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"r\in \mathbb{N}\", \"r \geq 3\" et \"(a_1 \,, \cdots \, , a_r) \in \mathbb{Z}^r\", on dit que :
\n\"\ast\" \"(a_1 \, , \cdots \, , a_r)\" sont premiers dans leur ensemble si\u00a0\"a_1 \wedge \cdots \wedge a_r = 1\"
\n\"\ast\" \"(a_1 \, , \cdots \, , a_r)\" sont premiers 2 \u00e0 2 si \"\forall \, i \neq j ,\, a_i \wedge a_j = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Th\u00e9or\u00e8me de Bezout<\/b>
\nSi \"r\in \mathbb{N}\" , \"r \geq 3\" et \"(a_1 \, ,\cdots \, ,a_r) \in \mathbb{Z}^r\",
\n\"(a_1 \, ,\cdots \, ,a_r)\" sont premiers dans leur ensemble<\/a> ssi \u00a0\"\exists \, (u_1 ,\, \cdots \, , u_r) \in \mathbb{Z}^r\",\u00a0\"\displaystyle \sum _{k = 1} ^r a_k \, u_k = 1\".<\/p>\n

4. PPCM<\/h3>\n

\"\bullet\" Soient \"a\" et \"b\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{Z}\".
\nOn appelle PPCM de \"a\" et \"b\" et on note \"a \vee b\" l’entier naturel d\u00e9fini par
\n\"\ast\" \"a \vee 0 = 0 \vee a = 0\"
\n\"\ast\" si \"a \, b \neq 0\", \"a \vee b = \min \{ m \in \mathbb{N}\, /\, a \, \vert \, m \textrm{ et } b \, \vert \, m \}\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s<\/b>\u00a0:
\nSoient \"a\" et \"b\" de \"\mathbb{Z}^*\"
\n\"\ast\" \"a \, \mathbb{Z} \, \cap \, b \, \mathbb{Z} = (a \vee b) \, \mathbb{Z}\"
\n\"\ast\" \"(a \wedge b) \, (a \vee b) = \vert a \, b \vert\"
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{Z}^*\", \"(k \, a ) \vee (k \, b) = \vert k \vert \, (a \vee b)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"r\in \mathbb{N}\", \"r \geq 3\" et \"(a_1 \,, \cdots \, , a_r) \in \mathbb{Z}^r\",
\non d\u00e9finit le PPCM de \"(a_1 \, , \cdots \, , a_r)\" par
\n\"\ast\" si \"\displaystyle \prod_{i = 1} ^r a_i = 0\",\u00a0\"a_1 \vee \, \cdots \, \vee a_r = 0\"
\n\"\ast\" si \"\displaystyle \prod_{i = 1} ^r a_i \neq 0\",
\n\"a_1 \vee \, \cdots \, \vee a_r\" est le plus petit \"m \in \mathbb{N}^*\" tel que \"\forall\, i \in [\![1 , \, r]\!], \, a_i \, \vert \, m\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"r\in \mathbb{N}\", \"r \geq 3\" et \"(a_1 \, ,\cdots \, ,a_r) \in \mathbb{Z}^r\",
\n\"a_1 \vee \cdots \vee a_r =(a_1 \vee \cdots \vee a_{r - 1} ) \vee a_r\,\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

5. Nombres premiers<\/h3>\n

5.1. Ensemble \"\mathbb{P}\"<\/b>
\n\"\bullet\" \"p \in \mathbb{N} \setminus \{0 , \, 1 \}\" est\u00a0premier<\/i>\u00a0lorsque les seuls diviseurs positifs de \"p\" sont \"1\" et \"p\".
\nOn note \"\mathbb{P}\" l’ensemble des nombres premiers.<\/p>\n

\"\bullet\" \"\mathbb{P}\" est un ensemble infini.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \geq 2\", \"n\" n’est pas premier ssi \"n\" admet un diviseur premier inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"\sqrt{n}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Crible d’Eratosth\u00e8ne<\/i>
\nSoit \"N \in \mathbb{N}\", \"N \geq 2\". Pour obtenir la liste des nombres premiers inf\u00e9rieurs ou \u00e9gaux \u00e0 \"N ^2\",
\n\"\ast\" on \u00e9crit la liste \"L\" des entiers entre \"2\" et \"N^2\".
\n\"\ast\" pour tout \"k \in [\![2 ,\, N]\!]\", si \"k\" n’a pas \u00e9t\u00e9 supprim\u00e9 par le passage pr\u00e9c\u00e9dent, on supprime dans la liste \"L\" les multiples de \"k\" strictement sup\u00e9rieurs \u00e0 \"k\" qui n’ont pas encore \u00e9t\u00e9 supprim\u00e9s lors des \u00e9tapes pr\u00e9c\u00e9dentes.<\/p>\n

La liste obtenue apr\u00e8s le dernier passage est la liste des nombres premiers entre \"2\" et \"N ^2\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Dans la liste des entiers de \"2\" \u00e0 \"100\",<\/em>
\n\"\ast\" on barre les nombres pairs entre \"4\" et 100<\/em>
\n\"\ast\" on barre les multiples stricts de 3 non encore barr\u00e9s soit \"9 , \, 15 , \, \cdots \, , 99\"<\/em>
\n\"\ast\" on barre les multiples stricts de 5 soit \"25, 35 , 55, 65, 85, 95\" multiples de \"5\" qui n’avaient pas encore \u00e9t\u00e9 barr\u00e9s<\/em>
\n\"\ast\" on barre les entiers \"49 , 77 , 91\" multiples de \"7\" qui n’avaient pas encore \u00e9t\u00e9 barr\u00e9s.\u00a0<\/em>
\nLes entiers premiers inf\u00e9rieurs \u00e0 100 sont donc \"2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43\" \"47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 91 , 97\".<\/em><\/p>\n

\"nombres<\/p>\n

5.2. Valuation \"p\"-adique<\/b>
\n\"\bullet\" Si \"p \in \mathbb{P}\" et \"n \in \mathbb{Z}^*\",
\nla valuation<\/i>\u00a0\"p\"–adique de<\/i>\u00a0\"n\" est \"\quad \quad v_p(n) = \max \{k \in \mathbb{N}\, / \, p^k \, \vert \, n \}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"p \in \mathbb{P}\" et \"(a , b) \in {\mathbb{Z}^*}^2\"
\n\"\quad \ast\" \"v_p( a) = v_p (\vert a \vert )\"
\n\"\quad \ast\" \"v_p( a \, b ) = v_p ( a ) +v_p ( b )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a \in \mathbb{Z}^*\", l’ensemble des \"p \in \mathbb{P},\" tels que \"v_p(a) \neq 0\" est fini.
\nOn dit que la famille \"(v_p(a))_{p \in \mathbb{P}}\" est une famille d’entiers presque nuls.<\/p>\n

5.3. D\u00e9composition primaire<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"(\alpha_p) _ {p \in \mathbb{P}}\" une famille d’entiers presque nulle (c’est \u00e0 dire \"\alpha _ p = 0\" sauf \u00e9ventuellement pour un nombre fini d’entiers )
\n\"\ast\" si \"\forall\, p \in \mathbb{P}, \alpha _ p = 0\", on note \"\quad \quad \quad \displaystyle \prod_ {p \in \mathbb{P} } p ^{\alpha_p} = 1\"
\n\"\ast\" si \"\{ p \in \mathbb{P} \, / \, \alpha _ p\neq 0 \}= \{p_1 , \, \cdots \, , p_k\}\", on note \"\displaystyle \prod_ {p \in \mathbb{P} } p ^{\alpha_p} = \prod_{i = 1}^k {p_i} ^{\alpha _{p_i}}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Tout entier \"n \in \mathbb{N}^*\" s’\u00e9crit d’une et d’une seule fa\u00e7on sous la forme
\n\"\quad \quad \quad n = \displaystyle \prod _{p \in \mathbb{P}} p ^{v_p(n)}\".
\nCette d\u00e9composition est appel\u00e9e\u00a0d\u00e9composition primaire de<\/i>\u00a0\"n\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"a\" et \"b\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{Z}^*\"
\n\"\ast\" \"a\" divise \"b\" ssi \"\forall\, p \in \mathbb{P}\", \"v_p(a) \leq v_p(b)\"
\n\"\ast\" \"a \wedge b = \displaystyle \prod _{p \in \mathbb{P}} p ^{\min (v_p(a), \, v_p(b))}\"
\n\"\ast\" \"a \vee b = \displaystyle \prod _{p \in \mathbb{P}} p ^{\max (v_p(a),\, v_p(b))}\".<\/p>\n

6. Relation de congruence<\/h3>\n

6.1. Rappels<\/b>
\n\"\bullet\" Si \"n \in \mathbb{N}^*\",\u00a0 \"(x , y) \in \mathbb{Z}^2\",
\n\"x \equiv y\;\;[n]\"\u00a0 \"\Leftrightarrow n \, \vert \, x - y\"
\n\"\Leftrightarrow \exists \, p \in \mathbb{Z} , \ x- y = n \, p\"
\nd\u00e9finit une relation d’\u00e9quivalence sur \"\mathbb{Z}\" appel\u00e9e\u00a0relation de congruence modulo<\/i>\u00a0\"n\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour la relation de congruence modu- lo \"n\", il y a \"n\" classes d’\u00e9quivalence :
\n\"\forall\, r \in [\![0 , \, n - 1]\!]\",\u00a0\"\dot r = \{r + n\, p \,/ \, p \in \mathbb{Z}\}\".<\/p>\n

6.2. Propri\u00e9t\u00e9s<\/b>
\n\"\bullet\" la relation de congruence modulo \"n\" est une relation d’\u00e9quivalence sur \"\mathbb{Z}\" v\u00e9rifiant si \"x \equiv y \;\; [n]\" et \"z \equiv u \;\; [n]\",
\n\"\ast\" \"x + z\equiv y + u \;\; [n]\"
\n\"\ast\" \"x\, z \equiv y \, u \;\; [n]\"
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{N}\", \"x ^k \equiv y ^k \;\;[n]\"
\n\"\ast\" si \"m \in \mathbb{N}^*\", \"m \, x \equiv m\, y \;\; [m \, n]\"<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"(n,\, r) \in {\mathbb{N}^{*} } ^2\" et \"(a , \, b) \in \mathbb{Z}^2\".
\n\"n \wedge r = 1\" et\u00a0\"r \, a \equiv r\, b \; \; [n]\" \"\Rightarrow a \equiv b \; \; [n]\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat\u00a0<\/i>
\nSoit \"p\" un nombre premier.
\n\"\; \; \ast\" pour tout \"a \in \mathbb{Z}\", \"a ^p \equiv a \; \; [p]\"
\n\"\; \; \ast\" si \"p\" ne divise pas \"a\", \"a ^{p - 1} \equiv 1 \; \; [p]\".<\/p>\n

7. Synth\u00e8se de m\u00e9thodes<\/h3>\n

7.1. D\u00e9terminer le pgcd<\/b>\u00a0de<\/b>\u00a0\"a\" et \"b\"\u00a0si\u00a0<\/b>\"a \, b\neq 0\"
\nSe ramener si n\u00e9cessaire au cas \"a \in \mathbb{N}^*\" et \"b \in \mathbb{N}^*\" puisque \"\quad \quad \quad a \wedge b = \vert a \vert \wedge \vert b \vert\".
\n\"\bullet\" Utiliser l’algorithme d’Euclide.
\n\"\bullet\" Utiliser la d\u00e9composition primaire de \"a\" et \"b\".<\/p>\n

7.2.<\/b>\u00a0Montrer que<\/b>\u00a0\"a \wedge b = 1\"\u00a0si\u00a0<\/b>\"(a ,\, b) \in \mathbb{N}^{*2}\"
\n\"\bullet\" Utiliser l’algorithme d’ Euclide.
\n\"\bullet\" Introduire \"d \in \mathbb{N}^*\" diviseur de \"a\" et \"b\" et montrer que \"d = 1\".
\n\"\bullet\" Utiliser la d\u00e9composition primaire de \"a\" et \"b\".
\n\"\bullet\" Supposer qu’il existe \"p \in \mathbb{P}^*\" qui divise \"a\" et \"b\" et d\u00e9montrer que l’on arrive \u00e0 une contradiction.
\n\"\bullet\" Trouver \"u\" et \"v\" dans \"\mathbb{Z}\" tels que \"a \, u + b \, v = 1\".<\/p>\n

7.3. Utiliser<\/b>\u00a0\"a \wedge b = 1\" si \"(a ,\, b) \in \mathbb{N}^{*2}\"
\n\"\bullet\" \"\forall\, p \in \mathbb{P}^*, \, v_p(a) \, v_p(b) = 0\".
\n\"\bullet\" Si \"d \in \mathbb{N}^*\" divise \"a\" et \"b\", \"d = 1\".
\n\"\bullet\" Introduire \"u\" et \"v\" dans \"\mathbb{Z}\" tels que \"a \, u + b \, v = 1\".
\n\"\bullet\" Si de plus \"a\" divise \"b \, c\", \"a\" divise \"c\" (th\u00e9or\u00e8me de Gauss).<\/p>\n

7.4. D\u00e9montrer que\u00a0<\/b>\"b \in \mathbb{N}^*\"\u00a0divise\u00a0<\/b>\"a \in \mathbb{Z}\"
\n\"\bullet\" Trouver \"k \in \mathbb{Z}\" tel que \"a = b \, k\".
\n\"\bullet\" Montrer que le reste de la division euclidienne de \"a\" par \"b\" est nul.
\n\"\bullet\" Montrer que \"a \equiv 0 \; \; [b]\".
\n\"\bullet\" Montrer que \"\forall\, p \in \mathbb{P}, \, v_p(b) \leq v_p(a)\".
\n\"\bullet\" \u00c9crire \"b = x_1 \, \cdots \, x_r\" o\u00f9 \"( x_1 \,, \cdots \,, x_r ) \in \mathbb{N}^{*r}\" sont premiers deux \u00e0 deux et montrer que \"\forall\, i \in [\![1, \, r]\!]\", \"x_i\" divise \"a\".
\n\"\bullet\" Montrer que \"( x_1 \,, \cdots \,, x_r ) \in \mathbb{N}^{*r}\" v\u00e9rifie \"\forall\, i \in [\![1, \, r]\!]\", \"x_i\" divise \"a\" et que \"b = x_1\, \vee\, \cdots \,\vee \, x_r \,\".
\n\"\bullet\" Appliquer le th\u00e9or\u00e8me de Fermat :
\n\"\quad \ast\" montrer que \"b\" est premier et que \"a = n ^ b - n\" avec \"n \in \mathbb{Z}\"
\n\"\quad\ast\" montrer que \"b\" est premier et que \"a = n ^{b - 1} - 1\" avec \"n \wedge b = 1\".<\/p>\n

7.5. D\u00e9montrer que<\/b>\u00a0\"n \in \mathbb{N}^*\"\u00a0n’est pas premier\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" Trouver \"d\" diviseur de \"n\" tel que \"1 < d < n\".
\n\"\ast\" Trouver un entier \"p\" premier tel que \"p\" divise \"n\".
\n(on rappelle qu’un nombre \"n \in \mathbb{N}^*\" non premier admet un diviseur premier \"d\" tel que \"d \leq \sqrt{n}\").<\/p>\n

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