{"id":37584,"date":"2019-11-01T12:01:28","date_gmt":"2019-11-01T11:01:28","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37584"},"modified":"2022-07-12T14:45:03","modified_gmt":"2022-07-12T13:45:03","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-arithmetique-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-arithmetique-maths-sup\/","title":{"rendered":"Arithm\u00e9tique en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercices corrig\u00e9s d’arithm\u00e9tique en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices :<\/p>\n

1. Divisibiit\u00e9
\n2. Sur les nombres premiers
\n3. PGCD
\n4. Produit<\/a> des diviseurs
\n5. Somme des diviseurs
\n6. Nombres de Mersenne
\n7. Nombres de Fermat
\n8. Triangles Pythagoriciens
\n9. Th\u00e9or\u00e8me de Wilson
\n10. Th\u00e9or\u00e8me chinois<\/p>\n

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 <\/p>\n

1. Divisibilit\u00e9<\/h2>\n

Exercice 1 : arithm\u00e9tique maths sup<\/strong>
\n\"\forall\, n \in \mathbb{N}\", \"7\" divise \"3 ^{2 n + 1} + 2 ^{n + 2}\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

Deux d\u00e9monstrations sont propos\u00e9es.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On raisonne avec la\u00a0relation de congruence modulo 7.<\/em>
\n\"3 ^2 \equiv 2 \; \; [7]\"<\/em>
\n\"3 ^{2 n + 1} = (3 ^2) ^n \times 3 \equiv 2^n \times 3 \; \; [7]\"<\/em>
\ndonc \"3 ^{2 n + 1} + 2 ^{n + 2} \equiv 2^n \times 3 + 2 ^n \times 4 \; \; [7]\"<\/em>
\nsoit \"3 ^{2 n + 1} + 2 ^{n + 2} \equiv 7 \times 2^n \; \; [7]\"<\/em>
\net 7 divise \"3 ^{2 n + 1} + 2 ^{n + 2}\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0D\u00e9monstration par r\u00e9currence<\/a>.<\/em>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", on note\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad H_n : 7\" divise \"u_n = 3 ^{2 n + 1} + 2 ^{n + 2}\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Pour \"n = 0\", \"3 ^{2 n + 1} + 2 ^{n + 2} = 3 + 4 = 7\" est divisible par 7.<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"H_n\" est vraie, il existe donc \"k\in \mathbb{N}\" tel que \"3 ^{2 n + 1} + 2 ^{n + 2} = 7 \, k\".<\/em>
\n\"u_{n + 1} = 3 ^{2 n + 3} + 2 ^{n + 3}\"<\/em>
\n\"u_{n + 1} = 9 \times 3 ^{2 n + 1} + 2 ^{n + 2}\"<\/em>
\n\"u_{n + 1} = 7\times 3 ^{2 n + 1} + 2 \left ( 3 ^{2 n + 1} + 2 ^{n + 1} \right)\"\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} = 7 \times 3 ^{2 n + 1} + 2 \, u_n\"\u00a0<\/em>
\n\"u_{n + 1} = 7 \times 3 ^{2 n + 1} + 14 \, k\" est divisible par 7.<\/em>
\nDonc \"H_{n + 1}\" est vraie.<\/em><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/strong>
\n\"\forall\, n \in \mathbb{N}\", \"35\" divise \"3 ^{6\, n} - 2 ^{6\, n}\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" On utilise les relations de congruence\u00a0modulo 7 et 5.<\/em>
\n\"\ast\" \"3 ^2 = 9 \equiv 4 \; \; [5]\"<\/em>
\ndonc \"3 ^{6 \, n} \equiv (2 ^2) ^{3 \, n} \; \; [5]\"<\/em>
\nsoit \"3 ^{6 \, n} \equiv 2 ^{6 \, n} \; \; [5]\"<\/em>
\nce qui donne \"5\" divise \"3 ^{6\, n} - 2 ^{6\, n}\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"3 ^2 = 9 \equiv 2 \; \; [7]\"<\/em>
\ndonc \"3 ^{6 \, n} \equiv (2 ) ^{3 \, n} \; \; [7]\"<\/em>
\npuis \"2 ^3 = 8 \equiv 1 \; \; [7]\"<\/em>
\ndonc \"(2 ^3)^ n \equiv 1 \; \; [7]\"<\/em>
\nsoit \"2 ^{3 \, n } \equiv 1 \; \; [7]\"<\/em>
\net alors \"2 ^{6 \, n } \equiv 1 \; \; [7]\"<\/em>
\nOn obtient : \"3 ^{6 \, n} \equiv 2 ^{6 \, n} \; \; [7]\"<\/em>
\nce qui donne \"7\" divise \"3 ^{6\, n} - 2 ^{6\, n}\".<\/em><\/p>\n

Comme \"5 \wedge 7 = 1\",\u00a0 \"35\" divise \"3 ^{6\, n} - 2 ^{6\, n}\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Autre m\u00e9thode.<\/em>
\nOn suppose que \"n \geq 1\" car \"\quad \quad 3 ^{6\, n} - 2 ^{6\, n} = 0 = 0 \times 35\".<\/em><\/p>\n

On rappelle que si \"p \in \mathbb{N}^*\", \"\quad \displaystyle x ^p - y^p = (x - y) \sum _{k = 0} ^{p - 1} x ^k \, y ^{p - 1 - k}\".\u00a0<\/em>
\n\u00a0\"3 ^{6 } - 2 ^6 = 729 - 64 = 665 = 7 \times 5 \times 19\"\u00a0<\/em>
\navec \"x = 3 ^6\" et \"y = 2 ^6\"<\/em>
\n\"u_n = (3 ^6 - 2 ^6 ) \, Q\" o\u00f9 \"\quad Q = \displaystyle \sum_ {k = 0} ^{n - 1} (3 ^6) ^k \, (2 ^6) ^{n - 1 - k} \in \mathbb{N}\"<\/em>
\n\"u_n = 35 \times 19 \times Q\".<\/em>
\nOn peut remarquer que cette m\u00e9thode prouve m\u00eame que \"u_n\" est divisible par \"\quad \quad \quad 35\times 19 = 665\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/strong>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", \"n ^2\" divise \"(n + 1) ^n - 1\" Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Par le bin\u00f4me de Newton,\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad (n + 1) ^n = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k n ^k\"<\/em>
\n\"\quad \quad (n + 1) ^n - 1 = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \binom n k n ^k\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \binom n 1 \, n = n ^2 \equiv 0 \; \; [n ^2]\"\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"2 \leq k \leq n\", \"n ^2\" divise \"n ^k\", donc \"\displaystyle \binom n k \, n ^k \equiv 0 \;\; [n ^2]\".<\/em>
\nalors \"(n+ 1) ^n - 1 \equiv 0 \; \; [n ^2]\"\u00a0<\/em>
\net \"n ^2\" divise \"(n+ 1) ^n - 1\".<\/em><\/p>\n

Exercice 4<\/strong>
\nSoient \"a\" et \"b\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{N}\"
\nIl y a \u00e9quivalence entre
\n1)\u00a0\"7\" divise \"a\" et \"b\"
\n2)\u00a0\"a^2 + b^2\" est un multiple de \"7\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"7\" divise \"a\" et \"b\", \"7\" divise \"a^2\" et \"b ^2\" , donc divise \"a ^2 + b^2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9montre la contrapos\u00e9e.<\/em>
\nOn suppose que \"7\" ne divise pas \"a\" ou \"b\".\u00a0<\/em>
\nOn peut se ramener au cas o\u00f9 \"7\" ne divise pas \"a\".\u00a0<\/em>
\nOn utilise la relation de congruence modulo 7.<\/em>
\n\"\ast\" \"x \equiv 0\;\;[7] \Rightarrow x^2 \equiv 0\;\;[7]\"<\/em>
\n\"\ast\" \"x \equiv 1\;\;[7]\" ou \"x \equiv 6\;\;[7]\" \"\Rightarrow x^2 \equiv 1\;\;[7]\"<\/em>
\n\"\ast\"\u00a0\"x \equiv 2\;\;[7]\" ou \"x \equiv 5\;\;[7]\" \"\Rightarrow x^2 \equiv 4\;\;[7]\"<\/em>
\n\"\ast\" \"x \equiv 3\;\;[7]\" ou \"x \equiv 4\;\;[7]\" \"\Rightarrow x^2 \equiv 2\;\;[7]\"<\/em><\/p>\n

\"a^2\" est congru modulo 7 \u00e0 \"1\", \"2\" ou \"4\".<\/em>
\n\"b^2\" est congru modulo 7 \u00e0 \"0\", \"1\", \"2\" ou \"4\".\u00a0<\/em>
\nDonc \"a ^2 + b^2\" est congru modulo 7 \u00e0 la somme des congruences soit \u00e0 \"k\", avec \"1 \leq k \leq 6\", il n’est jamais congru \u00e0 0 donc \"7\" ne divise pas \"a^2 + b ^2\".<\/em><\/p>\n

2. Sur les nombres premiers<\/h2>\n

Exercice 1<\/strong><\/p>\n

\"\displaystyle \sqrt[5\, ] {\frac 3 4}\" est un irrationnel. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction <\/strong>: On suppose qu’il existe \"a, b \in \mathbb{N}^*\" tels que \"\displaystyle \left ( {\frac 3 4} \right ) ^{1/5} = \frac a b\" \"\Rightarrow\" \"\displaystyle \frac 3 4 = \frac {a^5} {b ^5}\"\u00a0 \"\Rightarrow 3 \, b ^5 = 4 \, a ^5\"<\/em>
\nalors \"v_3(3) + v_3(b ^5) = v_3(4) + v_3(a ^5)\"\u00a0<\/em>
\n\"\Rightarrow\"\u00a0 \"1 + 5 \, v_3(b) = 5 \, v_3(a)\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"1 = 5(v_3(a) - v_3(b))\" donnerait \"5\" divise \"1\" ce qui est absurde.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \left ( \frac 3 4 \right ) ^{1/5}\" est un irrationnel.<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/strong>
\nSoit \"p\" un nombre premier impair tel que \"p\" divise \"n ^2 + 1\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}^*\".
\n\"p \equiv 1\;\; [4]\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"p\" divise \"n ^2 + 1\" donc \"n ^2 \equiv - 1 \; \; [p]\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"p\" est impair, on l’\u00e9crit \"p = 2 \, q + 1\" avec \"q \in \mathbb{N}^*\" car \"p \neq 1\".\u00a0<\/em>
\n\"p\" divise \"n ^2 + 1\" \"\Rightarrow\" \"p\" ne divise pas \"n\"\u00a0 (car si \"p \, \vert \, n\", \"p\, \vert \, n ^2\" , donc \"p\" divise 1, ce qui est impossible).<\/em>
\nPar le petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat : \"\quad \quad \quad n ^{p - 1} \equiv 1 \; \; [p]\"<\/em>
\nor \"n ^2 \equiv - 1 \; \; [p]\" \"\Rightarrow\"\u00a0\"n ^{2 \, q} = (n ^2) ^q \equiv (- 1) ^q \; \; [p]\"<\/em>
\ndonc \"1 \equiv (-1) ^q \; \; [p]\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"p \geq 3\" et \"p\" divise \"1 - (- 1) ^{q}\in \{0 , 2\}\" donc \"(-1) ^q = 1\" alors \"q = 2 \, q'\".\u00a0<\/em>
\nOn a \u00e9crit \"p = 4 \, q' + 1\" donc \"p \equiv 1 \; \; [4]\".<\/em><\/strong><\/p>\n

Exercice 3<\/strong>
\nIl existe une infinit\u00e9 de nombres premiers de la forme \"4 \, p + 1\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On raisonne par l’absurde en supposant qu’il n’y en a qu’un nombre fini d’entiers de la forme \"4 \, p_k + 1\" pour \"1 \leq k \leq r\"\u00a0<\/em>
\n\"r \geq 2\" car \"5\" et \"13\" sont premiers et de la forme \"4 \,p + 1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On note \"q = p_1 \, .\cdots \, . \, p_r\" et \"N = 4 \, q^2 + 1\"\u00a0<\/em>
\n\"N\" est de la forme \"4 \, Q + 1\"\u00a0 o\u00f9 \"Q \in \mathbb{N}^*\".<\/em>
\nSi \"p\" est un nombre premier divisant \"N\", il est impair. Il divise \"(2 \, q) ^2 + 1\"\u00a0\u00a0<\/em>
\nalors \"p\" est de la forme \"4 \, n + 1\" d’apr\u00e8s l’exercice 2 qui pr\u00e9c\u00e8de.\u00a0<\/em><\/p>\n

S’il existait \"k \in [![1 , r]]\" tel que \"p = p_k\,\", alors \"p\" divise \"4 \, q^2\" et \"N\" donc \"p\" divise 1, ce qui est impossible.\u00a0<\/em><\/p>\n

On a prouv\u00e9 un nombre premier \"N\" de la forme \"4 \, Q + 1\" diff\u00e9rent des \"4 \, p_k + 1\" pour \"1 \leq k \leq r\".<\/em>
\nIl y a donc une infinit\u00e9 de nombres premiers de la forme \"4 \, p + 1\".<\/em><\/p>\n

3. PGCD<\/h2>\n

Exercice 1<\/strong>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\".
\na)\u00a0Le pgcd de\u00a0 \"n ^2 +n\" et \"2 \, n + 1\"<\/p>\n

b)\u00a0Le pgcd de\u00a0\"n ^3 + 2 \, n\" et \"n ^4 + 3 n^2 + 1\"<\/p>\n

Exercice 2<\/strong>
\nR\u00e9soudre l’\u00e9quation \"437 \, x + 241 \, y = 1\" dans \"\mathbb{Z}^2\".<\/p>\n

Exercice 3<\/strong>
\nR\u00e9soudre :\u00a0\"x \vee y - x \wedge y = 243\".<\/p>\n

Exercice 4<\/strong>
\nD\u00e9terminer les entiers naturels \"x\" et \"y\" ayant respectivement 21 et 10 divi- seurs dans \"\mathbb{N}\" tels que \"x \wedge y = 18\"<\/p>\n

Exercice 5<\/strong>
\nR\u00e9soudre dans \"\mathbb{N}^*\"\u00a0\"\left \{ \begin{matrix} x + y &=& 56 \\ x \vee y &=& 105 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Exercice 6<\/strong>
\nR\u00e9soudre dans \"\mathbb{N}^*\"\u00a0 \u00a0\"\quad \quad \quad \left \{ \begin{matrix} x \wedge y &=& x - y \\ x \vee y &=& 72 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

4. Produits des diviseurs<\/h2>\n

Soit \"n\" un entier de d\u00e9composition primaire \"n = \displaystyle \prod _ {i = 1} ^r p_i ^{\alpha _ i}\".
\nQuestion 1<\/strong>
\nQuel est le nombre \"N\" de diviseurs dans \"\mathbb{N}\" de \"n\" ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"d \in \mathbb{N}\" divise \"n\" ssi sa d\u00e9composition primaire \"d = \displaystyle \prod _{p \in \mathbb{P} } p ^{v_p(d)}\" v\u00e9rifie\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \forall\, p \in \mathbb{P} ,\, v_p(d) \leq v_p(n)\".<\/em><\/p>\n

Avec les notations de l’\u00e9nonc\u00e9, \"d\" divise \"n\"\u00a0ssi \"d = \displaystyle \prod _ {i = 1} ^r p_i ^{\beta _ i}\" avec \"0 \leq \beta_i \leq \alpha_i\" pour \"1 \leq i \leq r\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Le nombre de diviseurs dans \"\mathbb{N}\" de \"n\" est \u00e9gal au nombre d’\u00e9l\u00e9ments de l’ensemble \"\displaystyle \prod _ {i = 1} ^r [[ 0 \,,\, \alpha_i]] \;\",\u00a0\"\displaystyle N = \prod_{i = 1} ^n (1 + \alpha _ i)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2<\/strong>
\nCalculer \"\Pi(n) = \displaystyle \prod _{d \in \mathbb{N}^*, \, d \, \vert \, n} d\".<\/p>\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

On note \"\mathcal{D}(n) = \{ d \in \mathbb{N}^* \, / \, d \, \vert \, n \}\".<\/em><\/p>\n

\"\varphi : \mathcal{D}(n) \to \mathcal{D}(n) , d \mapsto \displaystyle \frac {n} d\" est une bijection, donc \"\Pi(n) = \displaystyle \prod _{d \in \mathbb{N}^* ,\, d \, \vert \, n} \frac n d\"\u00a0<\/em>
\net par produit\u00a0<\/em>
\n\"(\Pi(n))^2 = \displaystyle \prod _{d \in \mathbb{N}^*, \, d \, \vert \, n} n = n ^N\"\u00a0<\/em>
\no\u00f9 \"N\" est le nombre de diviseurs de \"n\" que l’on a calcul\u00e9 dans la premi\u00e8re question : \"\displaystyle N = \prod_{i = 1} ^r (1 + \alpha _ i)\".<\/em><\/p>\n

Alors \"\Pi(n) = n ^{N/2}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/strong>
\nD\u00e9terminer l’ensemble<\/a> des entiers \"n \in \mathbb{N}^*\" tels que \"\displaystyle \prod _{d \in \mathbb{N}^*, \, d \, \vert \, n,\, d < n} d = n\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"N\" le nombre de diviseurs dans \"\mathbb{N }\" de \"n\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \prod _{1 \leq d \, \vert \, n, d < n} d = n\" ssi \"\displaystyle \prod _{1 \leq d \, \vert \, n} d = n ^2\"\u00a0<\/em>
\nssi \"\Pi_(n) = n ^2\" ssi \"n ^{N /2} = n ^2\"\u00a0<\/em>
\nssi \"\displaystyle N = \prod_{i = 1} ^r (1 + \alpha _ i) = 4\".<\/em><\/p>\n

Si \"r \geq 3\", \"\displaystyle \prod_{i = 1} ^r (1 + \alpha _ i) \geq 8\" car \"1 + \alpha _ i \geq 2\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"r \leq 2\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"r = 1\", on obtient la CNS : \"\quad \quad 1 + \alpha _ 1 = 4 \Leftrightarrow \alpha_1 = 3\".\u00a0<\/em>
\nCe qui donne la CNS : \"\exists \, p \in \mathbb{P}, \, n = p ^3\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"r = 2\", on obtient la CNS : \"\quad \quad (1 + \alpha _ 1)(1 + \alpha _2) = 4\"<\/em>
\nssi \"1 + \alpha _ 1 = 1 + \alpha _2 = 2\"\u00a0<\/em>
\nssi \"\exists \, (p ,\, p') \in \mathbb{P}^2\", \"p \neq p'\" tel que \"n = p \, p'\".\u00a0<\/em><\/p>\n

En r\u00e9sum\u00e9, l’ensemble des solutions est l’ensemble des entiers tels que\u00a0<\/em>
\n\"\; \;\; \exists \, p \in \mathbb{P}, \, n = p ^3\"\u00a0<\/em>
\nou \"\exists\, (p , \, p') \in \mathbb{P}^2\", \"p \neq p'\" tel que \"n = p \, p'\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 4<\/strong>
\nD\u00e9terminer \"n\in \mathbb{N }^*\" tel que \"\quad \quad \quad \Pi(n) = 10\, 077\, 696\"<\/em><\/p>\n

Correction : On cherche la d\u00e9composition primaire de \"10\, 077\, 696 = 2 ^ 9 \times 3 ^9\".\u00a0<\/em>
\nLes seuls diviseurs premiers de \"n\" sont \"2\" et \"3\".\u00a0<\/em>
\nOn \u00e9crit \"n = 2 ^\alpha \, 3 ^\beta\" et \"N = (\alpha + 1) (\beta + 1)\"\u00a0<\/em>
\nPar le calcul pr\u00e9c\u00e9dent,\u00a0<\/em>
\n\"\quad \Pi(n) = n ^{N/2} = 2^{\alpha \, N/2} \, 3 ^{\beta \, N /2}\"<\/em>
\nce qui donne \"\alpha \, N = 18\" et \"\beta \, N = 18\"\u00a0<\/em>
\ndonc par quotient \"\alpha = \beta\".\u00a0<\/em>
\nOn r\u00e9sout \"\beta (\alpha + 1) (\beta + 1) = 18\" ssi\u00a0<\/em>
\n\"\beta (\beta + 1)^2 = 18 = 2 \times 3^2\"<\/em>
\nalors \"\beta ^3 \leq 18 \Rightarrow\" \"\beta = 1\" ou \"\beta = 2\".\u00a0<\/em>
\n\"\beta = 1\" n’est pas solution.<\/em>
\n\"\beta = 2\" est solution.\u00a0<\/em><\/p>\n

Puis \"\alpha = 2\", donc \"n = 2 ^2 \, 3 ^2 = 36\".<\/em><\/p>\n

On peut v\u00e9rifier puisque le raisonnement n’a pas \u00e9t\u00e9 fait par \u00e9quivalence que \"\Pi(36 ) = 36 ^{3.3/2} = 6 ^ 9 = 10\,077\,696\".<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

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 <\/p>\n

5. Somme des diviseurs<\/h2>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^*\", on note \"\quad \quad \mathcal{D}(n) = \{ d \in \mathbb{N}^* \, /\, d \, \vert \, n\}\"
\net \"\sigma(n) = \displaystyle \sum _ {d \in \mathcal{D}(n)} d\".
\nQuestion 1<\/strong>
\nCalculer \"\sigma(p ^k)\" lorsque \"k \in \mathbb{N}\" et \"p \in \mathbb{P}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :\"\mathcal{D}(p ^k) = \{ p ^i \, / \, i \in [[0 ,\, k]] \}\".<\/em>
\n\"\sigma(p ^k) = \displaystyle \sum _ {i = 0} ^k p ^i = \frac {p ^{k + 1} - 1} {p - 1}\;\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/strong>
\nSi \"(m , n ) \in (\mathbb{N}^*)^2\" et \"m \wedge n = 1\", montrer que \"\sigma(m \, n) = \sigma(m) \, \sigma(n)\"<\/p>\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

On d\u00e9finit\u00a0<\/em>
\n\"\varphi : \mathcal{D}(m) \times \mathcal{D}(n) \to \mathcal{D}(m \, n)\" \"\quad\quad \quad \quad \; \; (u \, , \, v) \mapsto u \, v\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Il est \u00e9vident que si \"u\" divise \"m\" et \"v\" divise \"n\", \"u \, v\" divise \"m \,n\", donc \"\varphi\" est \u00e0 valeurs dans \"\mathcal{D}(m \, n)\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On d\u00e9montre que \"\varphi\" est surjective.<\/em>
\nSoit \"d \in \mathcal{D}(m \, n)\".<\/em>
\nSi \"p \in \mathbb{P},\, v_p(d) \leq v_p(m \, n)\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"v_p(d) \leq v_p(m) + v_p(n)\".\u00a0<\/em>
\nComme \"m \wedge n = 1, \, v_p(m ) \, v_p(n) = 0\"<\/em>
\nDonc si \"p\" est un diviseur premier de \"d\", \"p\" est un diviseur de \"m\" ou un diviseur de \"n\" mais n’est pas un diviseur des deux.\u00a0<\/em>
\nEn regroupant dans \"u\" les facteurs tels que \"v_p(m) > 0\" et dans \"v\" ceux tels que \"v_p(n) > 0\", on peut \u00e9crire \"d = u \, v\" avec \"u \, \vert \, m\" et \"v \,\vert \, n\".<\/em>
\nOn a \u00e9crit \"d = \varphi (u , v)\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9montre que \"\varphi\" est injective.<\/em>
\nSi \"d = u \, v = u' \, v'\" avec \"(u , \, u') \in \mathcal{D}(m)^2\" et \"(v , \,v') \in \mathcal{D}(n)^2\",<\/em>
\n\"u\" divise \"u' \, v'\" et \"u \wedge v' = 1\" car \"u \wedge n = 1\", donc \"u\" divise \"u'\".\u00a0<\/em>
\nEn \u00e9changeant \"u\" et \"u'\", \"u'\" divise \"u\". Comme ils sont dans \"\mathbb{N}^*\", \"u = u'\", donc \"v = v'\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que l’application \"\varphi : \mathcal{D}(m) \times \mathcal{D}(n) \to \mathcal{D}(m \, n),\"\u00a0 \"\quad\quad \quad \quad \quad (u \, , \, v) \mapsto u \, v\"\u00a0<\/em>
\nest une bijection.<\/em><\/p>\n

Alors \"\displaystyle \sigma (m \, n) = \sum_ {u \in \mathcal{D}(m )\,, \, v \in \mathcal{D}( n)} u \, v\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \sigma (m \, n) = \sum_ {u \in \mathcal{D}(m )} u\; \sum_ { v \in \mathcal{D}( n)} v\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"\sigma(m \, n) = \sigma(m) \, \sigma(n)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/strong>
\nCalculer \"\sigma(n)\" lorsque la d\u00e9composi- tion primaire de \"n\" est \"\displaystyle \prod_{k = 1} ^r p_k ^{\alpha _ k}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0 Si \"r \in \mathbb{N} ^*\", on note<\/em>
\n\"H_r\" : si les entiers \"m_i\" (o\u00f9 \"1 \leq i \leq r\" ) sont deux \u00e0 deux premiers entre eux, \"\quad \sigma(m_1 \, \cdots \, \, m_r) = \sigma(m_1) \, \cdots \, \sigma(m_r)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"H_1\" est \u00e9vidente.\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" On suppose que \"H_r\" est vraie.\u00a0<\/em>
\nSi les entiers \"m_i\" (o\u00f9 \"1 \leq i \leq r + 1\" ) sont deux \u00e0 deux premiers entre eux, les entiers \"m = m_1 \, \cdots \, \, m_r\" et \"m _ {r + 1}\" sont premiers entre eux (un diviseur premier de \"m_{r+1}\" ne peut \u00eatre un diviseur de \"m\"), donc par la question 2,\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \sigma(m \, m_{r + 1} ) = \sigma(m) \, \sigma (m_{r + 1})\"<\/em>
\nce qui donne \"H_{r + 1}\" en utilisant \"H_r\,\" pour exprimer \"\sigma(m)\".<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9 par r\u00e9currence.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant le r\u00e9sultat pr\u00e9c\u00e9dent avec si \"k\in [[1,\, r]]\", \"m _ k = p_k ^{\alpha_k}\" qui sont \"r\" entiers 2 \u00e0 2 premiers entre eux,\u00a0<\/em>
\n\"\quad\quad \sigma (n) = \displaystyle \prod_{k = 1} ^r \sigma(p_k ^{\alpha_k} )\"<\/em>
\npuis on termine avec la question 1<\/em>
\n\"\quad \quad \sigma (n) = \displaystyle \prod_{k = 1} ^r \frac {p_k ^{\alpha_k + 1} - 1} {p_k - 1}\; \;\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 4\u00a0<\/strong>
\nUn entier \"n\" est dit\u00a0parfait\u00a0lorsque \"\sigma (n) = 2 \, n\" (soit lorsque la somme des diviseurs stricts de \"n\" est \u00e9gal \u00e0 \"n\").
\nOn suppose que \"M = 2 ^p - 1\" est premier. Montrer que \"\displaystyle \frac {M(M + 1)} 2\" est un nombre parfait.
\nDonner 3 exemples de nombres parfaits<\/p>\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

\"n = \displaystyle \frac {M(M + 1)} 2 = M \, 2 ^{p - 1}\" admet deux facteurs premiers \"M\" et \"2\" (\"M \geq 3\" car \"p \geq 2\" ) donc\u00a0<\/em>
\n\"\sigma(n) = \displaystyle \frac {M ^2 - 1} {M - 1} \times \frac {2 ^{p } - 1} {2 - 1} = (M + 1) M\"\u00a0<\/em>
\n\"\sigma(n) = 2 \, n\".<\/em>
\nDonc \"n\" est un entier parfait.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Si \"p = 2\", \"2 ^2 - 1 = 3\" est premier donc \"6\" est un nombre parfait\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"p = 3\", \"2 ^3 - 1= 7\" est premier donc 24 est un nombre parfait\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"p = 4\", \"2 ^4 - 1 = 15\" n’est pas premier\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Si \"p = 5\" , \"2 ^5 - 1 = 31\" est premier donc \"31 \times 16 = 496\" est parfait.\u00a0<\/em><\/p>\n

6, 24 et 496 sont des entiers parfaits.\u00a0<\/em><\/p>\n

6. Nombres de Mersenne<\/h2>\n

Le \"n\"-i\u00e8me nombre de Mersenne o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}^*\" est d\u00e9fini par \"M_n = 2 ^{n} - 1\".
\nQuestion 1<\/strong>
\nSi \"n> 2\" et \"M_n\" est premier, \"n\" est impair. Vrai ou Faux.<\/p>\n

Correction<\/strong> : En effet si \"n = 2 \, p\" avec \"p \in \mathbb{N}\" et \"p \geq 2\", en notant \"N = 2^p\",\u00a0<\/em>
\n\"M_n =2 ^{2\, p} - 1 = N ^2 - 1\" \"M_n = (N - 1)\,(N + 1)\"\u00a0<\/em>
\n\"N \geq 4\" \"\Rightarrow N + 1 > 1\" et \"N - 1 > 1\", on a prouv\u00e9 que \"M_n\" n’est pas premier.\u00a0<\/em>
\nPar contrapos\u00e9e, si \"n > 2\" et \"M_n\" est premier, \"n\" est impair.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2\u00a0<\/strong>
\nSi \"M_n\" est premier, \"n\" est premier. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

On suppose que \"n = p\, q\" avec \"p > 1\" et \"q > 1\".\u00a0<\/em>
\n\"2 ^{p \, q} - 1 = \left ( 2 ^p \right ) ^q - 1 = (2 ^p - 1) \, Q\"\u00a0<\/em>
\navec \"Q = \displaystyle \sum _ {i = 0} ^{q - 1} 2 ^{i \, p} \in \mathbb{N}^*\"\u00a0<\/em>
\n\"M_ p = 2 ^p - 1\" est un diviseur de \"M_n\" diff\u00e9rent de \"1\" et de \"M_n\,\".\u00a0<\/em>
\nDonc \"M_n\" n’est pas premier.\u00a0<\/em><\/p>\n

De m\u00eame \"M_q\" divise \"M_n\,\".<\/em><\/p>\n

\"M_1 = 2 = 3\", \"M_5 = 31\" et \"M_7 = 127\" sont premiers<\/em>
\n\"M - 11 = 2047 = 23 \times 89\" n’est pas premier alors que \"11\" l’est.<\/em><\/p>\n

Question 3<\/strong>
\nSi \"m > n\" , \"M_m \wedge M_n = M_{m \wedge n }\,\".<\/p>\n

7. Nombres de Fermat<\/h2>\n

Question 1<\/strong>
\nSi \"n\" est impair au moins \u00e9gal \u00e0 3, \"2^n + 1\" n’est pas premier. Vrai ou Faux ?<\/strong><\/p>\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re m\u00e9thode\u00a0<\/em>
\nSi \"p \in \mathbb{N}^*\", on note\u00a0 \"H_p : 2^{2 p + 1} \equiv - 1 \; \; [3]\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Pour \"p = 1\", \"2 ^3 = 8 \equiv - 1 \; \; [3]\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"H _p\" est vraie.\u00a0<\/em>
\n\"2^{2 p + 3} =2^{2 p + 1} \times 2 ^2 = 2^{2 p + 1} \times 4\"<\/em>
\n\"2 ^{2 p + 3} \equiv (- 1) (1) \; \; [3]\"<\/em>
\ndonc \"H_{p + 1}\" est vraie.<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence.\u00a0<\/em><\/p>\n

Pour tout \"p \in \mathbb{N}^*, \, 2 ^{2 p + 1 } + 1 \equiv 0 \;\; [3]\" donc \"2 ^{2 p + 1} + 1\" est divisible par 3 et au moins \u00e9gal \u00e0 9, donc n’est pas premier.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Deuxi\u00e8me m\u00e9thode<\/em>
\nOn peut aussi \u00e9crire\u00a0<\/em>
\nSi \"n\" est impair et diff\u00e9rent de \"1\", \"2^n + 1 \geq 2 ^3 + 1\",<\/em>
\n\"2 ^{2 p + 1} + 1 = 2 ^{2 p + 1} - ( - 1) ^{2 p + 1}\"<\/em>
\n\"2 ^{2 p + 1} + 1 = \displaystyle (2 + 1) \sum_ {k = 0 } ^{2 p} (- 1) ^{2 p - k} \, 2 ^k\"<\/em>
\no\u00f9 \"N = \displaystyle \sum_ {k = 0 } ^{2 p} (- 1) ^{2 p - k} \, 2 ^k \in \mathbb{Z}\" et \"3 < 2 ^{2 p + 1} + 1\", 3 est un diviseur strict,<\/em>
\ndonc \"2 ^{2 p + 1} + 1\" n’est pas premier.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Troisi\u00e8me m\u00e9thode\u00a0<\/em><\/p>\n

\"3\" est premier et \"3 \wedge 4 = 1\",\u00a0<\/em>
\npar le th\u00e9or\u00e8me de Fermat, \"4 ^{p - 1} \equiv 1 \; \; [3]\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"8 \times 4 ^{p - 1} \equiv 8 \; \; [3]\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"2 ^{2 p + 1} \equiv - 1 \; \; [3]\"<\/em>
\n\"\Rightarrow 3\" divise \"2 ^{2 p + 1} + 1\" et \"3 < 2 ^{2 p + 1} +1\".<\/em>
\nDonc \"2 ^{2 p + 1}\" n’est pas premier.<\/em><\/p>\n

Question 2\u00a0<\/strong>
\nSi \"n = 2 ^p (2 \, q + 1)\" avec \"q \in \mathbb{N}^*\" , \"2 ^{n} + 1\" n’est pas premier. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"N = 2 ^n\" et \"2 ^n + 1 = 2 ^{N (2 q + 1)} + 1\"<\/em>
\n\"2 ^n + 1 = (2 ^N ) ^{2 q + 1} - (- 1) ^{2 q + 1}\"<\/em>
\ndonc \"2 ^n + 1 = (2 ^N + 1) \, Q\" avec \"\quad \displaystyle Q = \sum _ {k = 0} ^{2 q} (-1) ^{2 q - k} (2 ^N) ^k \in \mathbb {Z}\"\u00a0<\/em>
\net \"1 < 2 ^N + 1 < 2 ^n + 1\".\u00a0<\/em>
\nDonc \"2 ^N + 1\" est un diviseur strict de \"2 ^n + 1\", qui n’est pas premier.\u00a0<\/em><\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}, \,\" \"F_n = 2^{2 ^n} + 1\" d\u00e9signe le \"n\"-i\u00e8me entier de Fermat.<\/em>
\nOn peut remarquer que\u00a0<\/em>
\n\"F_0 = 3\" , \"F_1 = 5\" , \"F_2 = 17\" , \"F_3 = 257\" et \"F_4 = 65\, 537\" sont premiers\u00a0<\/em>
\n\"F_5 = 4\, 294\, 967\, 297 = 641 \times 6 \, 700\, 417\" n’est pas premier.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/strong>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", \"F_n = F_0 \times \cdots \times F_{n - 1} + 2\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Si \"n \in \mathbb{N}^ *\", on note \"\quad H_n : F_n = F_0 \times \cdots \times F_{n - 1} + 2\".<\/em><\/p>\n

\"H_1\" est vraie car \"F_0 + 2 = 3 + 2 =5 = F_1\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On suppose que \"H_n\" est vraie.\u00a0<\/em>
\n\"F_{n + 1} - 2 = 2 ^{2 ^n \times 2 } - 1 = \left (2 ^{2 ^n} \right ) ^2 - 1\" \"F_{n + 1} - 2 = (F_n - 1)^2 - 1\"<\/em>
\npar la factorisation de \"a ^2 - b^2\",<\/em>
\n\"F_{n + 1} - 2 = (F_n - 2) F_n\"<\/em>
\nEn utilisant l’hypoth\u00e8se de r\u00e9currence :\u00a0<\/em>
\n\"F_{n + 1} - 2 = \left ( F_0 \times \cdots \times F_{n - 1} \right )\, F_n \,\".\u00a0<\/em>
\nce qui donne \"H_{n + 1}\,\" .<\/em>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 4\u00a0<\/strong>
\nSi \"n \neq p\", \"F_n \wedge F_p = 1\".<\/p>\n

8. Triangles pythagoriciens<\/p>\n

On veut r\u00e9soudre dans \"\mathbb{Z}^3\" l’\u00e9quation \"\quad \quad \quad \quad x^2 + y^2 = z^2\"
\n(de tels triplets d’entiers relatifs sont appel\u00e9s triplets pythagoriciens).
\nOn cherche dans la suite les triplets diff\u00e9rents de la solution triviale comme par exemple \"(3, 4, 5)\".<\/p>\n

Dans les questions \"1\" \u00e0 \"3\", on suppose que \"(x , y, z)\" est une solution non triviale de l’\u00e9quation<\/a>.
\nQuestion 1<\/strong>
\nMontrer que l’on peut se ramener au cas o\u00f9 \"x \wedge y \wedge z = 1\". Montrer que, dans ce cas, \"x\", \"y\" et \"z\" sont de plus deux \u00e0 deux premiers entre eux.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Soient \"x, \,y, \,z\" solutions de \"\quad \quad \quad x^2 + y^2 = z^2\".<\/em>
\nOn note \"d = x \wedge y \wedge z\".\u00a0<\/em>
\n\"d \neq 0\" sinon \"x = y = z = 0\", cas exclu dans cette \u00e9tude.\u00a0<\/em>
\nAlors \"x = d\, x'\", \"y = d \, y'\" et \"z = d\, z'\" avec \"x' \wedge y' \wedge z' = 1\"\u00a0et \"{x'}^2 + {y'}^2 = {z'} ^2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose \"(x,\, y, \, z)\" solution et \"x \wedge y \wedge z = 1\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" si \"x \wedge y \neq 1\", en introduisant \"p \in \mathbb{P}\" tel que \"p\" divise \"x \wedge y\", \"p\" divise \"x ^2\" et \"y ^2\" donc \"p\" divise \"x ^2 -y ^2 = z^2\", donc \"p \in \mathbb{P}\" divise \"z\" ce qui contredit \"x \wedge y \wedge z = 1\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"x \wedge z \neq 1\", en introduisant \"p \in \mathbb{P}\" tel que \"p\" divise \"x \wedge z\", \"p\" divise \"x ^2\" et \"z ^2\" donc \"p\" divise \"z ^2 -x ^2 = y^2\", donc \"p \in \mathbb{P}\" divise \"y\" ce qui contredit \"x \wedge y \wedge z = 1\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"y \wedge z \neq 1\", en introduisant \"p \in \mathbb{P}\" tel que \"p\" divise \"y \wedge z\", \"p\" divise \"y ^2\" et \"z ^2\" donc \"p\" divise \"z ^2 -y ^2 = x^2\", donc \"p \in \mathbb{P}\" divise \"x\" ce qui contredit \"x \wedge y \wedge z = 1\".<\/em><\/p>\n

On a prouv\u00e9 que si \"x \wedge y \wedge z = 1\" est solution, \"x,\, y,\, z\" sont premiers 2 \u00e0 2.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2<\/strong>
\nOn suppose que \"x, y\" et \"z\" sont deux \u00e0 deux premiers entre eux. Montrer que deux des trois nombres \"x\", \"y\" et \"z\" sont impairs, le troisi\u00e8me \u00e9tant pair puis que \"z\" est impair.<\/p>\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" Il est impossible d’avoir au moins deux entiers pairs car alors ces deux entiers ne seraient pas premiers entre eux.<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Il y a au moins deux entiers impairs. La somme ou la diff\u00e9rence de deux carr\u00e9s d’impairs est une somme ou diff\u00e9rence de deux nombres impairs donc est paire et alors le carr\u00e9 du troisi\u00e8me est pair, le troisi\u00e8me est pair.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"x\" et \"y\" sont impairs, on les \u00e9crit \"x = 2\, x' + 1\", \"y = 2 \, y' + 1\" et on \u00e9crit \"z = 2\, z'\".<\/em>
\nDonc \"4 ({x'} ^2 + x' + {y'}^2 + y') + 2 = 4 \, z'^2\" donne \"2 \, z'^2 = 2 \, q + 1\" ce qui est impossible.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On en d\u00e9duit que l’un des deux entiers \"x,\, y\" est pair, les autres entiers \u00e9tant impairs. En particulier \"z\" est impair.<\/em><\/p>\n

Par sym\u00e9trie, on peut supposer que \"y\" est pair, \"x\" et \"z\" sont impairs.\u00a0<\/em>
\nOn peut donc \u00e9crire \"y = 2 \, y'\" et comme \"x + z\" et \"x - z\" sont pairs, on introduit \"X , Z \in \mathbb{Z}\" tels que\u00a0\"x + z = 2 \, X\" et \"z - x = 2\, Z\".<\/em>
\nQuestion 3<\/em>
\n\"X \wedge Z = 1\" et \"X\" et \"Z\" sont des carr\u00e9s parfaits.<\/em><\/p>\n

Question 4\u00a0<\/strong>
\nEn d\u00e9duire que l’ensemble des triplets pythagoriciens non triviaux est l’ensemble des triplets de la forme
\n\"\; \; ( d \, (u^2 - v^2) \, , \, 2\, d\, u\, v,\, d (u^2 + v^2))\"
\no\u00f9 \"d \in \mathbb{N}^*\" et \"(u,\, v) \in \mathbb{Z} ^2\", \u00e0 une permutation pr\u00e8s des deux premi\u00e8res composantes.<\/p>\n

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 <\/p>\n

9. Th\u00e9or\u00e8me de Wilson<\/h2>\n

Le but est de d\u00e9montrer que si \"p \in \mathbb{N}^*\",
\n\"p\" divise \"(p- 1)! + 1\" ssi \"p\" est premier.
\nQuestion 1<\/strong>
\nMontrer que si \"p\" divise \"(p - 1)! + 1\" , \"p\" est premier.<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" Premi\u00e8re m\u00e9thode<\/em>
\nIl existe \"k \in \mathbb{N}\" tel que \"(p - 1)! + 1= k\, p\"<\/em>
\ndonc \"k \, p - (p - 1)! = 1\" traduit par le th\u00e9or\u00e8me de Bezout que \"p \wedge (p - 1)! = 1\"<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Deuxi\u00e8me m\u00e9thode\u00a0<\/em>
\nSi \"a\" est un diviseur de \"p\" tel que \"1 \leq a < p\", alors \"a\" divise \"(p - 1)!\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"a\" divise \"\quad \quad \left ((p - 1)! + 1 \right ) - (p - 1)! = 1\"\u00a0<\/em>
\n\"\Rightarrow a = 1\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"p\" est premier.\u00a0<\/em><\/p>\n

Dans la suite, on \u00e9tablit la r\u00e9ciproque.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2<\/strong>
\nSi \"p = 2\" ou 3, \"p\" divise \"(p - 1)! + 1\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Si \"p = 2\", \"(p - 1)! + 1 = 2\" est divisible par \"2\"
\nSi \"p = 3\", \"(p - 1)! + 1 = 3\" est divisible par 3.<\/p>\n

Dans la suite<\/a>, on suppose que \"p \geq 5\".<\/p>\n

Question 3.<\/strong>
\nMontrer que si \"a \in [\![2 , \, p -2]\!]\", il existe un unique \"b \in [\![2 , \, p - 1]\!]\" tel que \"a \, b \equiv 1 \; \; [p]\" et puis que \"b \neq a\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a \in [[2 , \, p - 1]]\", \"a \wedge p = 1\", par le th\u00e9or\u00e8me de Bezout, il existe \"(u , v) \in \mathbb{Z}^2\" tel que \"a \, u + p \, v = 1\"\u00a0<\/em>
\net par division euclidienne<\/a> de \"u\" par \"p\", on \u00e9crit \"u = p\, q + b\" avec \"b \in [[0 , \, p - 1]]\"<\/em>
\ndonc \"a \, b + p(v + q \,a ) = 1\" ce qui donne \"a \, b \equiv 1 \; \; [p]\".<\/em>
\nIl est impossible que \"b = 0\" car on aurait \"a \, b = 0\" qui n’est pas congru \u00e0 1.\u00a0<\/em>
\nIl est impossible que \"b = 1\" car on aurait \"a \equiv 1 \;\; [p]\" donc \"a = 1 + k \, p\" ce qui contredit \"a \in [[2 , \, p - 1]]\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"b = a\" \"\Rightarrow a ^2 - 1 \equiv 0 \; \; [p]\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"p\" divise \"(a - 1) (a + 1)\".<\/em>
\n\"p \wedge( a - 1) = 1\" car \"p\" est un nombre premier et \"a - 1 \in [[1 , \, p - 3]]\"<\/em>
\n\"p \wedge (a + 1) = 1\" car \"p\" est un nombre premier et \"a + 1 \in [[3 , \, p - 1]]\"<\/em>
\ndonc \"p \wedge (a ^2 - 1) = 1\" car \"p\" est premier et on aboutit \u00e0 une contradiction.<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 que \"a \neq b\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Il reste \u00e0 prouver l’unicit\u00e9<\/em>
\nsi \"a \, b \equiv 1 \;\; [p]\" et \"a \, b' \equiv 1 \;\; [p]\"\u00a0<\/em>
\navec \"(b , \, b') \in [[2 , \, p -2]] ^2\"\u00a0 et \"b \geq b'\",<\/em>
\n\"b' (a \, b) \equiv b' \;\; [p]\" et \"(b' \, a )\, b \equiv \, b \;\; [p]\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"b \equiv b' \;\; [p]\"\u00a0<\/em>
\n\"p\" divise \"b - b' \in [[0 , \, p -2]]\",\u00a0 alors \"b - b' = 0\" car \"p\" est premier.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 4.\u00a0<\/strong>
\nEn d\u00e9duire que si \"p\" est premier et \"p \geq 4\", \"p\" divise \"(p -1)! + 1\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

Pour tout \"a \in [[2 , \, p -2]]\", il existe un unique \"b \in [[2 , \, p -2]]\", diff\u00e9rent de \"a\" tel que \"a \, b \equiv 1 \; \; [p]\".<\/em>
\nOn regroupe les \"p - 3\geq 2\" \u00e9l\u00e9ments de \"[[2 , \, p -2]]\" en \"\displaystyle \frac {p - 3} 2\" couples \"(a , b)\" tels que \"a \, b \equiv 1 \; \; [p]\" alors\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad 2 \times \, \cdots \, \times (p - 2) \equiv 1 \; \; [p]\"<\/em>
\net \"(p - 1) ! \equiv 1 \times (p - 1) \; \; [p]\"<\/em>
\nsoit \"(p - 1) ! \equiv - 1 \; \; [p]\"<\/em>
\nce qui d\u00e9montre la r\u00e9ciproque.<\/em><\/p>\n

10. Th\u00e9or\u00e8me chinois<\/h2>\n

Exercice 1<\/strong>
\nR\u00e9soudre \"\left \{ \begin{matrix} x \equiv 7 \; \; [8] \\ x \equiv 1\; \; [13] \end{matrix} \right.\".<\/p>\n

Exercice 2<\/strong>
\nSoient \"p \wedge q = 1\" et \"(a ,\, b) \in \mathbb{Z}^2\".
\nSoient \"u\" et \"v\" dans \"\mathbb{Z}\" tels que \"u \, p + v \, q = 1\".
\nQuestion 1
\nSi \"c = a \, v \, q + b \, u \, p\",
\n\"\quad \quad \quad c \equiv a \;\; [p]\" et \"c \equiv b \;\; [q]\".<\/p>\n

Question 2
\nSi \"x \in \mathbb{Z}\" v\u00e9rifie \"x \equiv a \;\; [p]\" et \"x \equiv b \;\; [q]\" alors \"x \equiv c \;\; [p \, q]\"<\/p>\n

Exercice 3<\/strong>
\nSoient \"r \geq 3\" et \"p_1 \, , \, \cdots \, , \, p_r\" des \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{N}^*\" deux \u00e0 deux distincts.
\nOn note \"N = p_1 \, \, p_2 \, \; . \, \cdots \, p_r\" et pour tout \"k \in [\![1 , \, r]\!]\", \"n_k = \displaystyle \frac {N}{p_k}\".
\nComme \"n_k\" et \"p_k\" sont premiers entre eux, soit \"(u_k\, , \, v_k) \in\mathbb{Z}^2\" tel que \"\quad \quad u_k \, p_k + v_k \, N_k = 1\".<\/p>\n

Question 1
\nSoient \"(a_1 \, , \, a_2 ,\, \cdots \, , \, a-r) \in\mathbb{Z }^r\".
\n\"\displaystyle c = \sum _ {i = 1 } ^r a_i \, N_i \, v_i\" v\u00e9rifie
\n\"\quad \quad \forall \, k \in [\![1 , \, r]\!]\", \"c \equiv a_k \; \; [p_k]\".<\/p>\n

Question 2
\n\"x \in \mathbb{Z}\" v\u00e9rifie \"\forall\, k \in [\![1 , r]\!], \, x \equiv a_k \; \; [p_k]\" ssi \"x \equiv c \; \; [N]\".<\/p>\n

Question 3
\nAppliquer les r\u00e9sultats pr\u00e9c\u00e9dents \u00e0 la r\u00e9solution du syst\u00e8me<\/a> :
\n\"\quad x \equiv 4\;\; [5]\", \"x \equiv 3 \; \;[6]\" et \"x \equiv 5 \; \; [7]\".<\/p>\n

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