{"id":37597,"date":"2019-11-01T14:08:51","date_gmt":"2019-11-01T13:08:51","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37597"},"modified":"2023-09-15T18:43:07","modified_gmt":"2023-09-15T17:43:07","slug":"cours-en-ligne-analyse-asymptotique-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-analyse-asymptotique-maths-sup\/","title":{"rendered":"Analyse Asymptotique en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Analyse Asymptotique en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Maths Sup Analyse Asymptotique<\/h2>\n

R\u00e9sultats et Application directe du cours
\nPlan :<\/h3>\n

1. Suites domin\u00e9es et n\u00e9gligeables
\n2. Suites \u00e9quivalentes
\n3. Fonctions<\/a> domin\u00e9es et n\u00e9gligeables
\n4. Fonctions \u00e9quivalentes
\n5. \u00c9quivalents usuels
\n6. Op\u00e9rations autoris\u00e9es sur les \u00e9quivalents
\n7. Op\u00e9rations interdites sur les \u00e9quivalents
\n8. Des m\u00e9thodes pour obtenir des \u00e9quivalents
\n9. D’autres fautes \u00e0 \u00e9viter
\n10. \u00c9quivalents en \"0\"
\n11. \u00c9quivalents en \"1\"
\n12. \u00c9quivalents en \"\infty\"
\n13. Deux \u00e9quivalents de suites
\n14. Fonctions domin\u00e9es, n\u00e9gligeables et \u00e9quivalentes
\n15. Suites domin\u00e9es, n\u00e9gligeables et \u00e9quivalentes<\/p>\n

Remarque : certains points supposent que les DL ont \u00e9t\u00e9 vus, ne pas en tenir compte si ce n’est pas le cas.<\/p>\n

 <\/p>\n

1. Suites domin\u00e9es et n\u00e9gligeables<\/h3>\n

1.1. Suites domin\u00e9es<\/strong>
\nSoient \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" deux suites r\u00e9elles ou complexes.
\n\"\bullet\" On dit que la suite \"(u_n)_n\" est\u00a0domin\u00e9e\u00a0par la suite \"(v_n)_n\" et on \u00e9crit \"\quad u_n \underset{n \to + \infty}= \textrm{O}(v_n)\" ou \" u_n = \textrm{O}(v_n)\"
\n(on lit : \"u_n\" est un grand O de \"v_n\") si, et seulement\u00a0 si,
\n\"\exists \, M \in \mathbb{R}^+, \, \exists \, N \in \mathbb{N}, \, \forall \, n \in \mathbb{N},\" \"\quad \quad \quad \quad n \geq N \Rightarrow \vert u_n \vert \leq \, M \, \vert v_n \vert\".<\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe un entier \"N\" tel que si \"n \geq N, \, v_n \neq 0\", la suite \"(u_n)_n\" est domin\u00e9e par la suite \"(v_n)_n\" ssi la suite \"\displaystyle \left ( \frac {u_n} {v_n} \right ) _{n \geq N}\" est born\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" \"u_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{O}(1)\" ssi la suite \"(u_n)_n\" est born\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n)\" et \"v_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(w_n)\", \"u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(w_n)\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n)\" et \"u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v'_n)\",
\n\"\quad \ast\" \"u_n + u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n + v'_n )\"
\n\"\quad \ast\" \"u_n \, u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n \, v'_n )\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Puissance : si \"u_n\underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n)\",
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{N}\" , \"u_n ^k \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n^k )\"
\n\"\ast\" si \"\forall\, n \in \mathbb{N} , \, u_n\, v_n \neq 0\", si \"k \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\", \"u_n ^k\underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n^k )\"
\n\"\ast\" si \"\forall \, n \in \mathbb{N} , \, u_n > 0\" et \"v_n > 0\", si \"\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z }\", \"u_n^{\alpha} \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n^{\alpha})\".<\/p>\n

1.2. Suites n\u00e9gligeables<\/strong>
\nSoient \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" deux suites<\/a> r\u00e9elles ou complexes,
\n\"\bullet\" On dit que la suite \"(u_n)_n\" est\u00a0n\u00e9gligeable\u00a0devant la suite \"(v_n)_n\" et on \u00e9crit \"u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n)\" ou \"u_n =\textrm{o}(v_n)\" (on lit : \"u_n\" est un petit o de \"v_n\") si, et seulement si, \"\forall\, \varepsilon \in \mathbb{R}^{+*}, \exists \, N \in \mathbb{N}, \, \forall \, n \in \mathbb{N},\" \"\quad \quad \quad n \geq N \Rightarrow \vert u_n \vert \leq \, \varepsilon \, \vert v_n \vert\".
\nsi, et seulement si, il existe une suite \"(\varepsilon_n)_n\" de limite nulle<\/a> telle que \"\quad \quad \quad forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_n = v_n \, \varepsilon _n\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe un entier \"N\" tel que si \"n \geq N, v_n \neq 0\", la suite \"(u_n)_n\" est n\u00e9gligeable devant la suite \"(v_n)_n\" ssi la suite \"\displaystyle \left ( \frac {u_n} {v_n} \right ) _{n \geq N}\" converge vers 0.<\/p>\n

\"\bullet\" \"u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (1)\" ssi la suite \"(u_n)_n\" converge vers 0.<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" deux suites r\u00e9elles ou complexes telles que\u00a0\"u_n\underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n)\", alors \"u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n)\" et \"v_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(w_n)\", \"u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(w_n)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n)\" et \"u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v'_n)\",
\n\"\quad \ast\" \"u_n + u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n + v'_n )\"
\n\"\quad \ast \" \"u_n \, u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n \, v'_n )\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Puissance : si \"u_n = \textrm{o}(v_n)\",
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{N}\", \"u_n ^k \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n^k )\"
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{Z }\setminus \mathbb{N}\", si \"\forall\, n, \, u_n\, v_n \neq 0\", \"u_n ^k \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n^k )\"
\n\"\ast\" \"\forall \, n \in \mathbb{N} , \, u_n > 0\" et \"v_n > 0\", \"\forall \, \alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\",\u00a0\"u_n^{\alpha} \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}\left (v_n^{\alpha} \right )\".<\/p>\n

1.3. Traduction des r\u00e9sultats sur les croissances compar\u00e9es\u00a0<\/strong>
\nComparaison des suites de r\u00e9f\u00e9rence :
\n\"\ast\" \"(\ln n)^{\beta }\underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (n^{\alpha})\" si \"\alpha > 0\" et \"\beta \in \mathbb{R }\".
\n\"\ast\" \"n ^{\alpha} \underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (a^n)\" si \"a > 1\" et \"\alpha \in \mathbb{R}\"
\n\"\ast\" \"a^n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (n!)\" pour tout \"a \in \mathbb{C}\".
\n\"\ast\" \"n! \underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (n^n)\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. Suites \u00e9quivalentes<\/h3>\n

2.1. D\u00e9finitions<\/strong>
\nSoient \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" deux suites r\u00e9elles ou complexes.
\n\"\bullet\" Il y a \u00e9quivalence entre :
\n\"\ast\" il existe une suite \"(\varepsilon_n)_n\" qui converge vers \"0\" telle que \"u_n = v_n (1 + \varepsilon _n)\"
\n\"\ast\" il existe une suite \"(h_n)_n\" qui converge vers \"1\" telle que \"u_n = v_n \, h_n\"
\n\"\ast\" \"u_n - v_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (v_n)\".
\nOn dit\u00a0 alors que les suites \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" sont \u00e9quivalentes\u00a0et on \u00e9crit : \"u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\,\" ou \"u_n \sim v_n\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe un entier \"N\" tel que si \"n \geq N, v_n \neq 0\" , la suite \"(u_n)_n\" est \u00e9quivalente \u00e0 la suite \"(v_n)_n\" ssi la suite \"\displaystyle \left ( \frac {u_n} {v_n} \right ) _{n \geq N}\" converge vers 1.<\/p>\n

\"\bullet\" La relation \u00ab\u00a0les suites sont \u00e9quivalentes \u00a0\u00bb est une relation d’\u00e9quivalence sur l’ensemble des suites r\u00e9elles (resp. complexes<\/a>) :
\n\"\quad \ast\" \"u_n\underset{n \to + \infty} \sim v_n\" ssi \"v_n \underset{n \to + \infty} \sim u_n\,\".
\n\"\quad \ast\" \"u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\" et \"v_n\underset{n \to + \infty} \sim w_n\" \"\Rightarrow u_n \underset{n \to + \infty} \sim w_n\,\".<\/p>\n

2.2. Op\u00e9rations sur les suites \u00e9quivalentes\u00a0<\/strong>
\nLes suites introduites sont r\u00e9elles ou complexes.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\,\", \"\vert u_n \vert \underset{n \to + \infty} \sim \vert v_n\vert\".<\/p>\n

\"\bullet\" si \"u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\" et \"u'_n \underset{n \to + \infty} \sim v'_n\"
\n\"\quad \ast\" \"u_n\, u'_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\, v'_n\"
\n\"\quad \ast\" si \u00e0 partir d’un certain rang \"u'_n \, v'_n \neq 0\", \"\displaystyle \frac { u_n } { u'_n } \underset{n \to + \infty} \sim \frac {v_n} {v'_n}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Puissance et \u00e9quivalents
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{N}\" , \"u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\" \"\Rightarrow u_n ^k \underset{n \to + \infty} \sim v_n^k\"
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\" et si \"u_n \, v_n \neq 0\" pour \"n \geq N\", \"u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n \Rightarrow u_n ^k \underset{n \to + \infty} \sim v_n^k\"
\n\"\ast\" si \"\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\" et si \"u_n > 0\" et \"v_n > 0\" pour \"n \geq N\",
\n\"u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\" \"\Rightarrow u_n ^{\alpha} \underset{n \to + \infty} \sim v_n^{\alpha} \,\".<\/p>\n

⚠️ il est indispensable de retenir qu’aucun r\u00e9sultat ne permet de faire une somme ou une diff\u00e9rence d’\u00e9quivalents donc qu’il sera n\u00e9cessaire d’effectuer un raisonnement<\/a> complet dans le cas d’une somme ou d’une diff\u00e9rence.
\nDe m\u00eame, il est\u00a0impossible\u00a0de dire que si \"u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\,\", \"f(u_n) \underset{n \to + \infty} \sim f(v_n)\", propri\u00e9t\u00e9 qui est fausse en g\u00e9n\u00e9ral.<\/p>\n

2.3. Suites \u00e9quivalentes et limites<\/strong>
\n\"\bullet\" Soient\u00a0 \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" deux suites \u00e9quivalentes.
\n\"\ast\"\u00a0 Si ce sont des suites de r\u00e9els non nuls, \"u_n\" et \"v_n\" sont de m\u00eame signe pour \"n\" assez grand.
\n\"\ast\" si \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty } v_n = L\" (\"L\" fini ou \"L = \infty\"), alors \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = L\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si la suite \"(u_n)_n\" converge vers le complexe\u00a0non nul\u00a0\"L\", \"u_n \underset{n \to + \infty} \sim L\".<\/p>\n

⚠️ Si la suite n’est pas la suite nulle, on ne doit jamais obtenir \"u_n \underset{n \to + \infty} \sim 0\".<\/p>\n

2.4. Formule de Stirling
\n\"n! \underset{n \to + \infty} \sim n ^n \, \textrm {e} ^{- n} \, \sqrt{2 \, \pi \, n}\".<\/p>\n

3. Fonctions domin\u00e9es et n\u00e9gligeables<\/h3>\n

3.1. Fonctions domin\u00e9es<\/strong>
\nSoient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies dans un voisinage \"\mathcal{V}\" de \"a\" (sauf peut-\u00eatre en \"a\") r\u00e9elles ou complexes.
\n\"\bullet\" On dit que la fonction \"f\" est\u00a0domin\u00e9e\u00a0par la fonction \"g\" lorsque \"x \to a\" et on \u00e9crit \"f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x))\" (on lit : \"f(x)\" est un grand O de \"g(x)\" si \"x \to a\")\u00a0 s’il existe un voisinage \"\mathcal{W}\" de \"a\" inclus dans \"\mathcal{V}\" et un r\u00e9el \"M \geq 0\" tel que
\n\"\quad \quad \forall \, x \in \mathcal{W}\", \"\vert f(x) \vert \leq M \, \vert g(x) \vert\".<\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe un voisinage \"\mathcal{V}\" de \"a\" sur lequel \"g\" est non nulle (sauf peut \u00eatre en \"a\"), la fonction \"f\" est domin\u00e9e par la fonction \"g\" lorsque la fonction \"\displaystyle \frac f g\" est born\u00e9e au voisinage de \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x) )\" et \"g(x) \underset {x \to a} {=} \textrm{O}(h(x))\", \"f(x)\underset {x \to a}{=} \textrm{O}(h(x))\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x))\" et \"h(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(k(x) )\",
\n\"\quad \ast f(x) + h(x)\underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x) + k(x) )\"
\n\"\quad \ast f(x) \, h(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x) \, k(x) )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Puissance : Si \"f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x) )\",
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{N}\" , \"f^k(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g^k (x))\"
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\" et si \"f(x) \, g(x) \neq 0\" au voisinage de \"a\", \"f^k(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g^k (x))\"
\n\"\ast\" si \"\alpha \in \mathbb{R} \setminus\mathbb{Z}\", si \"f\" et \"g\" sont \u00e0 valeurs strictement positives au voisinage de \"a\",\u00a0\"f^{\alpha} (x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g^\alpha(x))\".<\/p>\n

3.2. Fonctions n\u00e9gligeables\u00a0<\/strong>
\nSoient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies dans un voisinage \"\mathcal{V}\" de \"a\" (sauf peut-\u00eatre en \"a\") r\u00e9elles ou complexes<\/p>\n

\"\bullet\" On dit que la fonction \"f\" est\u00a0n\u00e9gligeable\u00a0devant la fonction \"g\" lorsque \"x \to a\") et on \u00e9crit
\n\"\quad \quad \quad f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x))\"
\n(on lit : \"f(x)\" est un petit o de \"g(x)\" si \"x \to a\")\u00a0 si pour tout\u00a0 \"\varepsilon \in \mathbb{R} ^{+*}\", il existe un voisinage \"\mathcal{W}\" de \"a\" inclus dans \"\mathcal{V}\" tel que \"\quad \forall \, x \in \mathcal{W}, \; \vert f(x) \vert \leq \varepsilon \, \vert g(x) \vert\"
\nssi il existe une fonction \"h\" d\u00e9finie au voisinage de \"a\" et de limite nulle en \"a\" telle que \"f = g \, h\".<\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe un voisinage \"\mathcal{V}\" de \"a\" sur lequel \"g\" est non nulle (sauf peut \u00eatre en \"a\"), la fonction \"f\" est n\u00e9gligeable devant la fonction \"g\" ssi la fonction \"\displaystyle \frac f g\" est tend vers \"0\" en \"a\".<\/p>\n

exemple\u00a0: Si \"\alpha < \beta\",
\n\"\quad \ast\" \"x^{\beta} \underset {x \to 0}{=} \textrm{o}(x^\alpha)\"
\n\"\quad \ast\" \"x^{\alpha} \underset {x \to +\infty}{=} \textrm{o}(x^\beta)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies dans un voisinage \"\mathcal{V}\" de \"a\",
\n\"f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x))\Rightarrow f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x))\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x) )\" et \"g(x) = \textrm{o}(h(x))\", \"f(x)\underset {x \to a}{=} \textrm{o}(h(x))\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x))\" et \"h(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(k(x) )\",
\n\"\quad \ast\" \"f(x) + h(x)\underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x) + k(x) )\"
\n\"\quad \ast\" \"f(x) \, h(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x) \, k(x) )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Puissance :\u00a0 si \"f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x) )\"
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{N}\" , \"f^k(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g^k (x))\"
\n\"\ast\" si \"k \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\" et si \"f(x) \, g(x) \neq 0\" au voisinage de \"a\", \"f^k(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g^k (x))\"
\n\"\ast\" si \"f\" et \"g\" sont \u00e0 valeurs strictement positives au voisinage de \"a\" et si \"\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\",\u00a0\"f^{\alpha}(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g^\alpha)(x)\".<\/p>\n

3.3. Traduction des r\u00e9sultats sur les croissances compar\u00e9es
\n\"\bullet\" Si \"\alpha > 0\" et \"\beta \in \mathbb{R}\",
\n\"\quad \ast\" \"(\ln x)^{\beta } \underset {x \to +\infty}{=} \textrm{o} (x^{\alpha})\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle (\vert \ln x \vert )^{\beta } \underset {x \to 0 ^+ }{=} \textrm{o} \left (\frac 1 {x^{\alpha}} \right )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\alpha \in \mathbb{R}\",\u00a0\"\displaystyle \textrm{e} ^{ - x} \underset {x \to +\infty}{=} \textrm{o} \left (\frac 1 {x^{\alpha}} \right )\".<\/p>\n

4. D\u00e9finition de fonctions \u00e9quivalentes<\/h3>\n

Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions r\u00e9elles ou complexes d\u00e9finies dans un voisinage \"\mathcal{V}\" de \"a\" (sauf peut-\u00eatre en \"a\").<\/p>\n

\"\bullet\" Il y a \u00e9quivalence entre :
\n\"\; \; \ast\" il existe une fonction \"\varepsilon\" d\u00e9finie dans \"\mathcal{V}\" de limite nulle en \"a\" telle que \"\quad \quad f(x) =g(x) (1 + \varepsilon(x) )\"
\n\"\; \; \ast\" il existe une fonction \"h\" d\u00e9finie dans \"\mathcal{V}\" de limite \u00e9gale \u00e0 \"1\" en \"a\" telle que \"\quad \quad \quad f(x) =g(x) \, h(x)\"
\n\"_; \; \ast\" \"f(x) - g(x)\underset {x \to a}{=} \textrm{o} (g(x))\".
\nOn dit que \"f\" et \"g\" sont\u00a0\u00e9quivalentes\u00a0en \"a\" et on \u00e9crit \"f(x) \underset {x \to a} \sim g(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe un voisinage de \"a\" sur lequel \"g(x) \neq 0\" (sauf peut \u00eatre en \"a\"), la fonction \"f\" est \u00e9quivalente \u00e0 la fonction \"g\" en \"a\" ssi la fonction \"\displaystyle \frac {f} {g}\" admet \"1\" pour limite en \"a\" .<\/p>\n

\"\bullet\" La relation \u00ab\u00a0les fonctions sont \u00e9quivalentes en \"a\"\u00a0\u00bb est une relation d’\u00e9quivalence sur l’ensemble<\/a> des fonctions r\u00e9elles (resp. complexes) d\u00e9finies au voisinage de \"a\".
\n\"\quad \ast\" \"f(x) \underset {x \to a} \sim g(x)\" ssi \"g(x) \underset {x \to a} \sim f(x)\"
\n\"\quad \ast\" \"f(x) \underset {x \to a} \sim g(x)\" et \"g(x) \underset {x \to a} \sim h(x)\" \"\Rightarrow f(x) \underset {x \to a} \sim h(x)\" .<\/p>\n

5. \u00c9quivalents usuels<\/h3>\n

\"\bullet\" \u00e9quivalents en 0\u00a0 :<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \sin x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle 1-\cos x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \frac{x^2}{2}\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle\tan x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \ln(1+x) \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle\textrm e^x-1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle(1+x)^\alpha-1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \alpha \, x\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle\textrm{Arcsin } x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \textrm{Arctan } x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \textrm {sh } x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle\textrm {ch}(x) -1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \frac{x^2}{2}\"<\/p>\n

👍 Tous ces \u00e9quivalents (sauf 2 justifi\u00e9s ci dessous)\u00a0 peuvent \u00eatre retrouv\u00e9s \u00e0 l’aide des taux d’accroissement en \"0\" et de la d\u00e9riv\u00e9e<\/a> en \"0\".
\nLorsque vous aurez \u00e9tudi\u00e9 les d\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/a>, vous pourrez les retrouver en prenant le premier terme non nul du d\u00e9veloppement limit\u00e9 de la fonction consid\u00e9r\u00e9e en 0.<\/p>\n

Pour voir la d\u00e9monstration de
\n\"\ast\" \"\displaystyle 1-\cos x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \frac{x^2}{2}\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle\textrm {ch}(x) -1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \frac{x^2}{2}\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle 1 - \cos(x) \underset {x \to 0} \sim \frac {x ^2} 2\"
\n\"\displaystyle 1 - \cos(x) = 2 \, \sin^2 (x / 2)\"
\n\"\displaystyle \frac { 1 - \cos(x)} {x^2 / 2} = \frac { \sin^2 (x / 2)} {(x / 2)^2}\"
\net en utilisant \"\displaystyle \lim _{ t \to 0} \frac {\sin(t) } t = 1\",
\n\"\displaystyle \lim _{ x \to 0}\frac { 1 - \cos(x)} {x^2 / 2} = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \textrm{ch}(x) - 1 \underset {x \to 0} \sim \frac {x ^2} 2\"
\n\"\displaystyle \textrm{ch}(x) - 1 = \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{- x} - 2 \right )\" \"\displaystyle \textrm{ch}(x) - 1 = \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{x / 2} - \textrm{e} ^{- x/2 } \right )^2\"
\n\"\displaystyle \textrm{ch}(x) - 1 = 2 \, \textrm{sh} ^2(x / 2)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \frac { \textrm{ch}(x) - 1} {x^2 / 2} = \frac {\textrm{sh} ^2 (x / 2)} {(x / 2)^2}\"
\net en utilisant \"\displaystyle \lim _{ t \to 0} \frac {\textrm{sh} (t) } t = 1\",
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{ch}(x) - 1} {x^2 / 2} = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" \u00e9quivalents en 1 :<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\ln x \underset{x\rightarrow 1}{ \sim} x-1\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\textrm{Arccos }(x) \underset{x\rightarrow 1^-}{ \sim} \sqrt{1-x^2}\"<\/p>\n

D\u00e9mo : \"\ast\" On \u00e9crit \"\ln(x ) = \ln(x - 1 + 1)\" et on utilise \"\ln(1 + t) \underset{t\rightarrow 0}{ \sim}t\" avec \"t=x-1\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"x\" tend vers \"1^-\" , \"\textrm{Arccos}(x )\" tend vers 0 et comme \"\sin(t) \underset{t\rightarrow 0}{ \sim}t\", alors \"\quad\quad \textrm{Arccos}(x) \underset{x\rightarrow 1}{ \sim} \sin(\textrm{Arccos}(x))\"
\npuis on utilise \"\sin(\textrm{Arccos}(x))=\sqrt{1-x^2}\"
\nOn d\u00e9montre ce r\u00e9sultat en \u00e9crivant que \"\sin^2(\textrm{Arccos}(x )) = 1 - \cos^2(\textrm{Arccos}(x))\" \"\sin^2(\textrm {Arccos}(x))= 1 - x^2.\"
\nOn termine en utilisant \"\sin(\textrm{Arccos}(x )) \geqslant 0\" car \"\textrm{Arccos}(x ) \in [0 , \pi].\"<\/p>\n

\"\bullet\" \u00e9quivalents en \"\pm \infty\" :<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k x^k \underset{x\rightarrow \pm \infty}{ \sim} a_n x^n\" si \"a_n\neq 0\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \textrm{ch } x \underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim} \frac{e^x}{2}\"<\/p>\n

\u00a0\"\ast\" \"\displaystyle \textrm{sh }x \underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim} \frac{e^x}{2}\".<\/p>\n

D\u00e9mo : On \u00e9crit \"\textrm{ch }(x)= \displaystyle \frac {\textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{ - x } } 2 = \frac {\textrm{e} ^x } 2 \left ( 1 + \textrm{e} ^{ - 2x } \right)\"
\net \"\textrm{sh }(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^x - \textrm{e} ^{ - x } } 2 = \frac {\textrm{e} ^x } 2 \left ( 1 - \textrm{e} ^{ - 2x } \right)\"
\navec \"\displaystyle \lim _{x \to + \infty} (1 \pm \textrm{e} ^{ - 2x } ) = 1\".<\/p>\n\t\t

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

6. Op\u00e9rations autoris\u00e9es sur les \u00e9quivalents<\/h3>\n

Produit :
\n\"f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\" et \"h(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} k(x)\"
\n\"\Rightarrow\" \"f(x)\,h(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\,k(x)\"<\/p>\n

Quotient :
\n\"f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\" et \"h(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} k(x)\" et \"h(x)\,k(x)\neq0\" \"\Rightarrow\" \"\displaystyle\frac{f(x)}{h(x)}\underset{x\rightarrow a}{ \sim} \frac{g(x)}{k(x)}\"<\/p>\n

Passage \u00e0 la valeur absolue :
\n\"f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\" \"\Rightarrow\" \"|f(x)|\underset{x\rightarrow a}{ \sim} |g(x)|\"<\/p>\n

Puissance :
\n\"f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\" \"\Rightarrow\" \"(f(x)) ^\alpha\underset{x\rightarrow a}{ \sim} (g(x))^\alpha\"
\n(en imposant si \"\alpha\notin \mathds{Z},\" \"f\" et \"g\" \u00e0 valeurs strictement positives).<\/p>\n

Composition \u00e0 droite :
\n\"f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\" et si \"\displaystyle \lim_{t \to b } h(t) = a\", \"\quad \quad f\circ h(t) \underset{t\rightarrow b}{ \sim} g\circ(t)\"<\/p>\n

⚠️ La composition \u00e0 gauche est fausse en g\u00e9n\u00e9ral, c’est-\u00e0-dire si
\n\"f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\", on ne peut pas dire en dehors de la valeur absolue ou de la fonction puissance \"\alpha \in \mathbb{R}\" que \"h \circ f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} h \circ g(x)\".<\/p>\n

7. Op\u00e9rations interdites sur les \u00e9quivalents<\/h3>\n

👍\u00a0Une v\u00e9rification qui peut aider \u00e0 corriger des fautes : si la fonction ou la suite n’est pas nullle, on ne peut pas trouver un \u00e9quivalent \u00e9gal \u00e0 0.<\/p>\n

Addition :
\n\"\textrm e^{-x}-1\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}-x\", \"x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x\" et \"\displaystyle \textrm e^{-x}-1+x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}\frac{x^2}{2}\" et n’est pas \u00e9quivalent \u00e0 0.<\/p>\n

Diff\u00e9rence :
\n\"1\underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \, 1\", \"\cos(x) \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} 1\" et \"\displaystyle 1-\cos x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}\frac{x^2}{2}\" et n’est pas \u00e9quivalent \u00e0 0.<\/p>\n

Passage au logarithme pour des fonctions admettant 1 pour limite :
\n\"u(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}v(x)\" et \"\displaystyle\lim_{x \to a} v(x) =1\" n’impliquent pas que \"\quad \quad \quad \ln (u(x)) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}\ln (v(x))\".
\nExemple\u00a0:
\n\"1+x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}1+x^2\" et \"\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x\" alors que \"\ln(1+x^2)\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x^2\" donc \"\ln(1+x)\" et \"\ln(1+x^2)\" ne sont pas \u00e9quivalents en 0.<\/p>\n

Passage \u00e0 l’exponentielle :
\n\"u(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}v(x)\" et \"\displaystyle\lim_{x \to a} v(x) =\pm \infty\" n’impliquent pas que \"\textrm{ e}^{u(x)} \underset{x\rightarrow a}{ \sim}\textrm{ e}^{v(x)}\".<\/p>\n

Exemple\u00a0:
\n\"u(x) = x + 1\" est \u00e9quivalent \u00e0 \"v(x) = x\" en \"+\infty\" mais \"\textrm{e}^u\" n’est pas \u00e9quivalent \u00e0 \"\textrm{e}^v,\" car le quotient \"\textrm {e}^1\" ne tend pas vers 1.<\/p>\n

Passage \u00e0 la puissance :
\n\"\ast\" \"u\underset{a}{ \sim}v\" n’implique pas \"w^u\underset{a}{ \sim}w^v\" et n’implique pas que \"u^w\underset{a}{ \sim}v^w\" lorsque \"w\" n’est pas une constante.
\n\"\ast\" De m\u00eame, \"u_n\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n\" n’implique pas \"u_n^n\underset{n\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n^n\,\".<\/p>\n

Voir les exemples justifiant les interdictions pour le passage \u00e0 la puissance<\/p>\n

Exemple 1\u00a0:
\n\"\ast\" \"u(x) = x + 1\" est \u00e9quivalent \u00e0 \"v(x) = x\" en \"+\infty\", mais \"x^{x+1}\" n’est pas \u00e9quivalent \u00e0 \"x^{x}\" car le quotient \"x\" tend vers \"+\infty\".
\n\"\ast\" De m\u00eame \"(x + 1)^x\" n’est pas \u00e9quivalent \u00e0 \"x^x\" en \"+\infty\" car le quotient \"\displaystyle \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\" tend vers e en \"+\infty\".<\/p>\n

Exemple 2\u00a0:
\nSoit \"\displaystyle u_n = 1 + \frac{1}{n}\" et \"v_n = 1\", \"u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n\,\", \"\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n^n=\textrm e^1>0\" et \"v_n^n=1\", \"u_n^n\" et \"v_n^n\" ne sont pas \u00e9quivalents.<\/p>\n

8. Des m\u00e9thodes pour obtenir des \u00e9quivalents<\/h3>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0Utilisation de la limite
\nSi \"f\" admet une limite\u00a0finie non nulle\u00a0\"\lambda\" en \"a\", \"f(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}\lambda\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0Utilisation de la d\u00e9riv\u00e9e.
\nSi \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et si\u00a0\"f '(a)\" est non nul, \"f(x)-f(a) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}f'(a)(x-a)\".<\/p>\n

Exemple\u00a0\u00a0:
\n\"\displaystyle\textrm{Arctan}(x)-\frac{\pi}{4}\underset{x\rightarrow 1}{ \sim}\frac{x-1}{2}\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0Si \"f\" et \"g\" sont des fonctions \u00e0 valeurs dans \"\left.\right]0 , + \infty\left[\right.\", de limite nulle en \"a\" v\u00e9rifiant \"f(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\", pour d\u00e9montrer que \"\ln(f(x)) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x))\",
\non \u00e9crit \"f(x) = g(x) (1 + \varepsilon(x))\" avec \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0\".<\/p>\n

D\u00e9monstration : On \u00e9crit \"f(x) = g(x) (1 + \varepsilon(x))\" avec \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0\".
\nLes fonctions utilis\u00e9es \u00e9tant \u00e0 valeurs strictement positives, on peut \u00e9crire
\n\"\quad \ln(f(x)) = \ln(g(x)) + \ln(1 + \varepsilon(x)).\"
\nComme \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\ln(g(x))=-\infty\", au voisinage de \"a\", \"\ln(g(x)) \neq 0\" donc
\n\"\ln(f(x))=\ln(g(x))\displaystyle\left(1+\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))} \right)\" avec \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))}=0\" donc \"\quad \quad \ln(f(x))\underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x)).\"<\/p>\n

Cas particulier\u00a0: \"\ln(\sin (x))\underset {x\rightarrow 0} { \sim} \ln (x)\".<\/p>\n

D\u00e9monstration : \"\displaystyle \ln(\sin (x))=\ln (x)+\ln\left( \frac{\sin (x)}{x}\right)\", \"\displaystyle\ln(\sin (x))=\ln (x)\left(1+\frac{\ln(1+o(1))}{\ln (x)}\right)\" avec \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+o(1))}{\ln (x)}=0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0Si \"f\" et \"g\" sont des fonctions \u00e0 valeurs dans \"\left.\right]0 , + \infty\left[\right.\", de limite \u00e9gale \u00e0 \"+\infty\" en \"a\" v\u00e9rifiant \"f(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\", pour d\u00e9montrer que : \"\quad \quad \ln(f(x)) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x))\",
\non \u00e9crit \"f(x) = g(x) (1 + \varepsilon(x))\" avec \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0.\"<\/p>\n

D\u00e9mo : Les fonctions utilis\u00e9es \u00e9tant \u00e0 valeurs strictement positives, on peut \u00e9crire \"\ln(f(x)) = \ln(g(x)) + \ln(1 + \varepsilon(x)).\"
\nComme \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\ln(g(x))=+\infty\", au voisinage de \"a\", \"\ln(g(x)) \neq 0\" donc \"\ln(f(x))=\ln(g(x))\displaystyle\left(1+\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))} \right)\" avec \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))}=0\" donc \"\quad \quad \quad \ln(f(x))\underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x))\".<\/p>\n

Cas particulier\u00a0: \"\ln(1 + x) \underset {x \to + \infty} \sim \ln(x)\".<\/p>\n

D\u00e9mo : \"\displaystyle \ln(1+x)=\ln (x)+\ln\left( 1+\frac{1}{x}\right)\", \"\displaystyle\ln(1+x)=\ln (x)\left(1+\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\ln (x)}\right)\" avec \"\displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty }\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\ln (x)}=0\".
\nOn a prouv\u00e9 que :
\n\"\quad \quad \quad \ln(1+x)\underset{x\rightarrow + \infty}{ \sim} \ln(x)\".\"\displaystyle \ln(1+x)=\ln (x)+\ln\left( 1+\frac{1}{x}\right)\", \"\displaystyle\ln(1+x)=\ln (x)\left(1+\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\ln (x)}\right)\" avec \"\displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty }\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\ln (x)}=0\".
\nOn a prouv\u00e9 que :
\n\"\quad \quad \quad \ln(1+x)\underset{x\rightarrow + \infty}{ \sim} \ln(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0Par utilisation de la propri\u00e9t\u00e9 \"f = g + h\" et \"h\underset{a} { = } o(g)\", alors \"f \underset {a}\sim g\".<\/p>\n

cons\u00e9quence\u00a0:
\nSi \"f = g + h\" o\u00f9 \"\displaystyle\lim_a g=+\infty\" et \"\displaystyle\lim_a h=\lambda\in \mathds{R}\", \"f\underset{a}{ \sim}g\", par utilisation de la propri\u00e9t\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente car \"h = o(g).\"<\/p>\n

Exemple\u00a0:
\n\"\ln(x)+\textrm{Arctan} x\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}\ln(x)\"<\/p>\n

Si \"f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_i(x)\", l’une au moins des fonctions tendant vers \"\infty\", on met en facteur la fonction qui tend le plus vite vers l’infini.<\/p>\n

Exemple\u00a0: \u00e9quivalent en \"+\infty\" de
\n\"u(x)=x^2+x^{\frac{3}{2}}\displaystyle\sin\left(\frac{1}{x}\right)+x\ln (x)\".<\/p>\n

Correction :<\/p>\n

\"u(x)=x^2\displaystyle\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}} \sin\left (\frac{1}{x}\right )+ \frac{\ln(x)}{x}\right)\"
\n\"u(x) =x^2(1+\varepsilon(x))\" o\u00f9 la fonction \"\varepsilon\" admet 0 pour limite en \"+\infty\", donc \"u(x)\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}x^2\".<\/p>\n

👍 Si l’on ne devine pas quelle est la fonction qui tend le plus vite vers l’infini, dans un cas comme celui-ci, il n’y aurait au maximum que trois factorisations \u00e0 essayer !<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.\u00a0Cas d’une somme<\/a> de fonctions, chacune des fonctions admettant 0 pour limite.
\nSi \"f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_i(x)\" et, si pour tout \"i\", la fonction \"u_i\" admet 0 pour limite en \"a\", on met en facteur la fonction qui tend le moins vite vers 0.<\/p>\n

Exemple\u00a0: trouver un \u00e9quivalent en \"0^+\", de \"u(x)=x+x^2\ln(x)+x\ln^2x\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M8.\u00a0Par utilisation d’un encadrement
\nSi au voisinage de \"a\", \"\quad \quad \quad v(x) \leqslant u(x) \leqslant w(x)\",
\nles fonctions \"v\" et \"w\" ayant m\u00eame \u00e9quivalent \"h\" de signe constant au voisinage de \"a\", on divise l’in\u00e9galit\u00e9 par \"h\" et en encadrant \"\displaystyle \frac{u}{h}\" par \"\displaystyle \frac{v}{h}\" et \"\displaystyle \frac{w}{h}\" soit par 2 fonctions admettant 1 pour limite en \"a\", la fonction \"\displaystyle \frac{u}{h}\" admet 1 pour limite en \"a\" et on en d\u00e9duit que \"u\underset{a}{ \sim}h\".<\/p>\n

Exemple\u00a0: On rappelle que \"\lfloor x\rfloor\" repr\u00e9sente la partie enti\u00e8re du r\u00e9el \"x\", montrer que \"\lfloor x\rfloor\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}x\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M9.\u00a0Pour trouver un \u00e9quivalent de \"\textrm e^u -\textrm e^v\" lorsque \"u\" et \"v\" admettent la m\u00eame limite finie \"\lambda\" en \"a\".
\nOn \u00e9crit \"\textrm e^u-\textrm e^v=\textrm e^v(\textrm e^{u-v}-1)\underset{ a}{ \sim}\textrm e^\lambda(u-v)\"
\ncar \"\displaystyle\lim_a \textrm e^v=\textrm e^\lambda>0\", \"\displaystyle\lim_a(u-v)=0\" et \"\textrm e^x-1\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x.\"<\/p>\n

Exemple\u00a0: trouver un \u00e9quivalent en \"0\" de \"\textrm e^{\sin x}-\textrm e^{\tan x}\"<\/p>\n

\"\bullet\" M10. Par utilisation d’un d\u00e9veloppement limit\u00e9.
\nSi \"f\" a un d\u00e9veloppement limit\u00e9 d’ordre \"n\" au voisinage de \"a\" donn\u00e9 par \"f(x)\displaystyle\underset{ x\rightarrow a}{ =}\sum_{i=0}^{n}\alpha_i(x-a)^i+\textrm{o}((x-a)^n)\",
\nlorsqu’au moins un des coefficients \"\alpha_i\" est non nul, \"f(x)\underset{ x\rightarrow a}{ \sim}\alpha_k(x-a)^k\" o\u00f9 \"k\" est le plus petit entier tel que \"\alpha_k\neq0.\"<\/p>\n

⚠️ Important ! on ne conserve qu’un seul terme du d\u00e9veloppement limit\u00e9 quand on prend un \u00e9quivalent, jamais une somme de plusieurs termes.<\/p>\n

Par exemple, on \u00e9crit \"\textrm e^x \underset{ x\rightarrow 0}{ \sim}1\", on n’\u00e9crit pas que \"\textrm e^x\" est \u00e9quivalent \u00e0 \"1+ x.\"
\nDe m\u00eame, on \u00e9crit \"\cos x\underset{ x\rightarrow 0}{ \sim}1\" et non \"\displaystyle \cos x\underset{ x\rightarrow 0}{ \sim}1-\frac{x^2}{2}.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M11.\u00a0Par int\u00e9gration<\/a> d’un \u00e9quivalent :
\nsi \"f(x)\underset{ x\rightarrow a}{ \sim}\lambda(x-a)^n\" o\u00f9 \"n\in\mathds{N}\",
\n\"\displaystyle \int_{a}^{x}f(t)\,dt\underset{ x\rightarrow a}{ \sim}\frac{\lambda(x-a)^{n+1}}{n+1}\".<\/p>\n

9. D’autres fautes \u00e0 \u00e9viter<\/h3>\n

⚠️\u00a0\u00a0Lorsque \"f(x)\underset{ x\rightarrow a}{ \sim}g(x)\", on peut dire que \"f(x)\" et \"g(x)\" ont m\u00eame signe au voisinage de \"a\" ; mais \u00a0chercher un \u00e9quivalent de \"f(x)\" en \"a\" ne peut servir \u00e0 donner le signe de \"f(x)\" sur tout un intervalle de \"\mathbb{R}.\"<\/p>\n

Exemple\u00a0:
\n\"\textrm e ^{x} - 1 - x \underset{ x\rightarrow 0}{ \sim}\displaystyle \frac { x^2} 2\" donc\u00a0au voisinage de 0,\u00a0\u00a0\"\textrm e^ x -1 - x \geqslant 0\".
\nSi l’on veut prouver que pour tout r\u00e9el \"x\" \"\textrm e^x - 1 - x \geqslant 0,\" on pourra, par exemple, \u00e9tudier les variations de la fonction
\n\"\quad \quad u : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , x \mapsto \textrm e^x - 1 - x\",
\ncalculer \"u'(x) = \textrm e^x - 1\" et en d\u00e9montrant que \"u\" est d\u00e9croissante sur \"\left.\right]-\infty, 0\left.\right]\" et croissante sur \"\left[\right.0 , + \infty\left[\right.\", dire (en s’aidant \u00e9ventuellement d’un tableau de variations) que pour tout r\u00e9el \"x\", \"u(x) \geqslant u(0) = 0.\"<\/p>\n

⚠️\u00a0Attention \u00e0 la recherche d’un \u00e9quivalent \u00e0 partir d’un DL, lorsque les coefficients de ce DL d\u00e9pendent d’un param\u00e8tre. Certaines valeurs du param\u00e8tre peuvent annuler le terme retenu comme \u00e9quivalent.<\/p>\n

10. \u00c9quivalents en 0<\/h3>\n

Les \u00e9quivalents suivants sont-ils justes ? Sinon les corriger.<\/p>\n

1)\u00a0\"\displaystyle \cos (x) - 1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim}\frac{x^2} 2\"<\/p>\n

2) On note \"\textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{sh }(x)} {\textrm{ch } x}\".
\n\"\textrm{th}(x)\underset{x\to 0}{\sim}x\"<\/p>\n

3)\u00a0\"\tan (x) - \sin(x) \;\underset{x\to 0}{\sim } 0\"<\/p>\n

4)\u00a0\"\displaystyle \sin (3 \, x) - \sin(x)\;\underset{x\to 0}{\sim} 2 \, x\"<\/p>\n

5)\u00a0\"\text{ch}(2 \, x) - 1\underset{x\to 0}{\sim} x^2\"<\/p>\n

6)\u00a0\"\ln (1- x)\underset{x\to 0}{\sim }a \, x\"<\/p>\n

7)\u00a0Si \"a\" et \"b\" sont des r\u00e9els<\/a> distincts, \"\quad \quad \quad \operatorname{e}^{a\, x}-\operatorname{e}^{b\, x}\underset{x\to 0}{\sim}(a - b)\, x\".<\/p>\n

8)\u00a0\"\textrm{Arcsin}\left ( 1 - \sqrt{1 - 2 \, x^2} \right ) \underset {x \to 0} \sim 2 \,x^2\"<\/p>\n

11. \u00c9quivalents au voisinage de 1<\/h3>\n

Lorsque \"x\" tend vers 1, les \u00e9quivalents suivants sont ils corrects ? Si oui les justifier, si non donner la bonne r\u00e9ponse.<\/p>\n

1)\u00a0\"\ln (x)\underset{x\to 1}{\sim}x-1\"<\/p>\n

2)\u00a0\"\displaystyle \sqrt{1-x^2}\underset{x\to 1^{-}}{\sim}\sqrt2\;\sqrt{1-x}\"<\/p>\n

3)\u00a0\"\displaystyle \text{Arccos}(x){}\underset{x\to 1^{-}}{\sim}\sqrt{1-x^2}\"<\/p>\n

12. \u00c9quivalents en \"\infty\"<\/h3>\n

Lorsque \"x\" tend vers \"+ {\infty}\" (ou \"- {\infty}\" selon le cas), les \u00e9quivalents suivants sont ils corrects ?
\nSi oui les justifier, si non les corriger.<\/p>\n

1)\u00a0\"\displaystyle \textrm{sh}(x)\underset{x\to +\infty }{\sim}\frac{\operatorname{e}^x} 2\"<\/p>\n

2)\u00a0\"\displaystyle\textrm{ch}(x)\underset{x\to -\infty }{\sim}\frac{\operatorname{e}^{a\, x}} 2\"<\/p>\n

3)\u00a0\"\displaystyle \operatorname{e}^{x+1/x} \underset{x\to +\infty }{\sim}\operatorname{e}^x\"<\/p>\n

4)\u00a0\"\displaystyle \operatorname{e}^{x^2+\text{Arctan}(x)}\underset{x\to +\infty}{\sim}\operatorname{e}^{x^2}\"<\/p>\n

5)\u00a0\"\displaystyle \ln (1+x)\underset{x\to +\infty }{\sim}\ln (x)\"<\/p>\n

6)\u00a0\"\text{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{sh}(x)} {\textrm{ch}(x) } \underset{x\to +\infty }{\sim}1\"<\/p>\n

7)\u00a0\"\textrm{th}(x)-1\underset{x\to +\infty }{\sim} -\operatorname{e}^{-2x}\"<\/p>\n

8)\u00a0\"\displaystyle \frac {\pi} 2 + \textrm{Arctan}(x) \underset {x \to - \infty }\sim \frac 1 x\"<\/p>\n

13. Deux \u00e9quivalents de suites<\/h3>\n

1)\u00a0\"\displaystyle \sin(\pi \sqrt{n ^2 + 1}) \underset {n \to + \infty} \sim 0\"<\/p>\n

2)\u00a0\"(2\, n)! \underset {n \to +\infty} \sim n ^{n} \, \textrm{e} ^{- n} \sqrt {2\, \pi \, n}\"<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

14. Fonctions domin\u00e9es, n\u00e9gligeables et \u00e9quivalentes<\/h3>\n

Question 1
\nSi \"f\" et \"g\" sont d\u00e9finies dans un voisinage de \"a\" \u00e0 valeurs dan \"\mathbb{K}\" si \"\lambda \in \mathbb{K}^*\"
\n\"\ast\" \"f (x) \underset {x \to a} = \textrm{O}(g(x)) \Rightarrow \lambda\, f (x) \underset {x \to a} = \textrm{O}(g(x))\"
\n\"\ast\" \"f (x) \underset {x \to a} = \textrm{o}(g(x)) \Rightarrow \lambda \, f (x) \underset {x \to a} = \textrm{o}(g(x))\"
\n\"\ast\" \"f (x) \underset {x \to a} \sim g(x) \Rightarrow \lambda \, f (x) \underset {x \to a} \sim \lambda \, g(x)\"<\/p>\n

Question 2
\nSoient \"f , g\" et \"h\" d\u00e9finies au voisinage de \"a\", on suppose que
\n\"f(x) \underset {x \to a } = \textrm{o}(h(x))\" et \"g(x) \underset {x \to a } \sim f(x)\",
\nalors \"g(x) \underset {x \to a } = \textrm{o}( h(x) )\".<\/p>\n

Question 3
\nSoient \"f ,\, g\" et \"h\" d\u00e9finies au voisinage de \"a\", on suppose que
\n\"f(x) \underset {x \to a } = \textrm{o}(h(x))\" et \"g(x) \underset {x \to a } = \textrm{o}(h(x))\",
\nalors \"f(x) \underset {x \to a } \sim g(x)\".<\/p>\n

Question 4
\nSoient \"f, \, f_1 \, ,\, g ,\, g_1\" des fonctions d\u00e9finies dans un voisinage de \"a\".
\nOn suppose que \"f (x) \underset {x \to a} \sim f_1(x)\", \"g (x) \underset {x \to a} \sim g_1(x)\" et \"f _1(x) \underset {x \to a} = \textrm{o} ( g_1(x))\"
\nAlors \"f(x) + g(x) \underset {x \to a} \sim g_1(x)\".<\/p>\n

Question 5
\nSi \"f\" et \"g\" sont d\u00e9finies au voisinage du r\u00e9el \"a\", \u00e9quivalentes en \"a\", si \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\", \"g\" l’est aussi.<\/p>\n

Question 6
\nSi \"0 < a < b\",
\n\"a ^x \underset {x \to c} = \textrm{o} \left ( b ^x \right )\" et \"b ^x \underset {x \to d} = \textrm{o} \left ( a ^x \right )\"<\/p>\n

15. Suites domin\u00e9es, n\u00e9gligeables et \u00e9quivalentes<\/h3>\n

Dans tout le paragraphe,\u00a0 \"(u_n)_n\", \"(v_n)_n\" et \"(w_n)_n\" sont des suites r\u00e9elles ou complexes.
\nQuestion 1
\nSi \"(u_n)_n\" est born\u00e9e et \"v_n \underset{n \to + \infty}= \textrm {O}(u_n)\", la suite \"(v_n)_n\" est born\u00e9e.<\/p>\n

Question 2
\nSi la suite \"(u_n)_n\" converge et si \"v_n \underset{n \to + \infty}= \textrm {O}(u_n)\", la suite \"(v_n)_n\" converge.<\/p>\n

Question 3
\nSi la suite \"(u_n)_n\" est born\u00e9e et si \"v_n \underset{n \to + \infty}= \textrm {o}(u_n)\", la suite \"(v_n)_n\" converge.<\/p>\n

Question 4
\nSi \"u_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (v_n)\" et si \"v _ n \underset{n \to + \infty} \sim w_n\" , \"u_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (w_n)\"<\/p>\n

Question 5
\nSi la suite \"(u_n)_n\" est born\u00e9e et si \"v_n \underset{n \to + \infty}\sim u_n \,\", la suite \"(v_n- u_n )_n\" converge.<\/p>\n

Question 6
\nSi la suite \"(u_n - v_n )_n\" converge vers 0 et si \"v_n \underset{n \to + \infty}\sim u_n\,\", les suites \"(u_n)_n\" et \"(v_n)_n\" sont born\u00e9es.<\/p>\n

Question 7
\nSi \"\displaystyle u_n \underset {n\to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^2 }\right)\", \"\quad \quad \quad \displaystyle u_n \underset {n\to + \infty} = \textrm{O} \left ( \frac 1 {n ^3} \right)\"
\net plus g\u00e9n\u00e9ralement si \"0 < \alpha < \beta\",
\nsi \"\displaystyle u_n \underset {n\to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^\alpha } \right)\", \"\quad \quad \quad \displaystyle u_n \underset {n\to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^\beta } \right)\".<\/p>\n

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