{"id":37615,"date":"2019-11-01T18:49:14","date_gmt":"2019-11-01T17:49:14","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37615"},"modified":"2023-09-15T18:44:47","modified_gmt":"2023-09-15T17:44:47","slug":"cours-en-ligne-developpements-limites-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-developpements-limites-maths-sup\/","title":{"rendered":"D\u00e9veloppements Limit\u00e9s en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : D\u00e9veloppements limit\u00e9s en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Maths Sup D\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/h2>\n

Plan :<\/h3>\n

1. D\u00e9finitions
\n2. Pour d\u00e9montrer que \"f\" a un d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"n\" en \"a\"
\n3. Op\u00e9rations sur les DL
\n3.1. Somme<\/a> de deux DL en 0
\n3.2. Produit de deux DL en 0.
\n3.3. Utilisation du DL en \"0\" de \"x \mapsto (1 + x) ^{\alpha}\"
\n3.4. Composition de deux DL en 0
\n3.5. DL d’un quotient \u00e0 l’ordre \"n\" au voisinage de 0
\n3.6. Int\u00e9gration d’un DL
\n3.7. D.L. et d\u00e9riv\u00e9es<\/a>
\n3.8. Recherche d’un DL au voisinage de \"a\"
\n3.9. D.L d’une fonction r\u00e9ciproque
\n4. Les d\u00e9veloppements limit\u00e9s \u00e0 conna\u00eetre
\n5. Utilisation des DL
\n5.1. Recherche d’un \u00e9quivalent
\n5.2. Caract\u00e8re local
\n5.3. Recherche de la limite d’un quotient
\n5.4. \u00c9tude d’une courbe au voisinage de \"a\"
\n5.5. Utilisation des DL dans l’\u00e9tude des asymptotes<\/a> obliques.<\/p>\n

On note \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\" ou \"\mathbb{C}\".<\/p>\n

Ce chapitre de math\u00e9matiques du programme de MPSI, MP2I, PCSI et PTSI est g\u00e9n\u00e9ralement trait\u00e9 au d\u00e9but du second semestre. Il introduit des notions tr\u00e8s importantes de maths sup. Ces notions serviront en maths sp\u00e9 pour les concours. Il est primordial de bien savoir calculer les DL et de maitriser les diff\u00e9rentes techniques introduites. Si vous en ressentez le besoin, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 faire appel \u00e0 un cours particulier de maths \u00e0 domicile<\/a> pour maitriser compl\u00e8tement ces fondamentaux.<\/p>\n

1. D\u00e9finitions des DL en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI<\/h2>\n

1.1. D\u00e9veloppement limit\u00e9 en \"a\" et en \"0\"<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"I\" un intervalle et \"a\" un point de \"I\", ou une borne de \"I\" et \"n \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

\"f\" est une fonction d\u00e9finie sur \"I\" (ou sur \"I \setminus \{a\}\") \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\".<\/p>\n

\"\ast\" On dit que \"f\" admet un d\u00e9veloppe- ment limit\u00e9 d’ordre \"n\" en \"a\" s’il existe \"(a_k)_{0 \leq k \leq n} \in \mathbb{K} ^{n + 1}\" tels que<\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = \sum _{k = 0}^n a_k (x - a) ^k + \textrm{o} ((x - a)^n)\"<\/p>\n

\"\ast\" La fonction polyn\u00f4me \"\quad \quad \displaystyle A : x \mapsto \sum _{k = 0}^n a_k (x - a) ^k\" est unique et appel\u00e9e la\u00a0partie r\u00e9guli\u00e8re\u00a0du DL de \"f\" en \"a\" \u00e0 l’ordre \"n\".<\/p>\n

\"\bullet\" La fonction \"f\" admet un d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 d’ordre \"n\" en \"a\" ssi la fonction \"h \mapsto f(a + h)\" admet un d\u00e9veloppement limit\u00e9 en \"0\" d’ordre \"n\" et dans ce cas<\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = \sum _{k = 0}^n a_k \, (x - a) ^k + \textrm{o} ((x - a) ^n)\"<\/p>\n

ssi<\/p>\n

\"\displaystyle f(a + h) \underset {h \to 0} = \sum _{k = 0}^n a_k \, h ^k + \textrm{o} (h^n)\".<\/p>\n

1.2. Unicit\u00e9 du DL <\/strong><\/p>\n

Il est important de retenir qu’il y a unicit\u00e9 du DL lorsqu’il existe.<\/p>\n

Soit \"f\" d\u00e9finie dans un intervalle \"I\" centr\u00e9 en \"0\" et admettant un DL d’ordre \"n\" en \"0\"<\/p>\n

\"\quad \displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0}^p a_k \, x ^k + \textrm{o} (x^p)\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"f\" est paire, pour tout \"k\" tel que \"2 \, k + 1 \leq n\", \"a _{2\,k + 1} = 0\".<\/p>\n

(la partie r\u00e9guli\u00e8re du DL ne contient que des puissances paires)<\/p>\n

\"\ast\" si \"f\" est paire, pour tout \"k\" tel que \"2 \, k \leq n\", \"a _{2\,k} = 0\".<\/p>\n

(la partie r\u00e9guli\u00e8re du DL ne contient que des puissances impaires).<\/p>\n

1.3. Troncature <\/strong><\/p>\n

Si \"f\" admet un DL d’ordre \"n\" en \"a\" : \"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = \sum _{k = 0}^n a_k (x - a) ^k + \textrm{o} ((x - a)^n)\" pour tout \"p \in [\![0 , \, n]\!]\",<\/p>\n

\"f\" admet un d\u00e9veloppement limit\u00e9 en \"a\" donn\u00e9 par<\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = \sum _{k = 0}^p a_k (x - a) ^k + \textrm{o} ((x - a)^p)\"<\/p>\n

On dit qu’il est obtenu par\u00a0troncature\u00a0du DL \u00e0 l’ordre \"n\".<\/p>\n

Si \"f\" admet un d\u00e9veloppement limit\u00e9 en \"a\", d’ordre \"n\", elle admet un DL d’ordre \"0\" donn\u00e9 par \"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = a_0 + o(1)\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"f\" est d\u00e9finie en \"a\", \"a_0 = f(a)\"<\/p>\n

\"\ast\" sinon \"f\" est prolongeable par continuit\u00e9 en \"a\" par \"f(a) = a_0\,\".<\/p>\n

1.4.\u00a0\u00a0Forme normalis\u00e9e d’un DL <\/strong><\/p>\n

\"\ast\" Si \"f\" admet un d\u00e9veloppement limit\u00e9 d’ordre \"n\" en \"a\" dont la partie r\u00e9guli\u00e8re est non nulle, on peut \u00e9crire le DL sous la forme dite normalis\u00e9e :<\/p>\n

\"\ast\" si \"a = 0\"<\/p>\n

\"f(x) \underset {x \to 0} = x^k \left ( a_k + a_{k + 1} x \right.\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle \left. + \, \cdots \, + a_n \, x^{n - k} + \textrm{o}(x ^{n - k} ) \right )\"<\/p>\n

En particulier : \"f(x) \underset {x \to 0} \sim a_k \, x^k\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"a \neq 0\",<\/p>\n

\"f(a + h ) \underset {h\to 0} =h^k \left ( a_k + a_{k + 1} h \right.\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \left. + \, \cdots \,+ a_n \, h^{n - k} + \textrm{o}(h ^{n - k} )\right )\"<\/p>\n

En particulier : \"f(x) \underset {x \to a} \sim a_k \, (x - a) ^k\".<\/p>\n

L’entier \"k\"\u00a0 est appel\u00e9\u00a0valuation de la partie r\u00e9guli\u00e8re\u00a0du DL de \"f\" en \"a\".<\/p>\n

1.5. D\u00e9veloppement asymptotique en \"\pm \infty\"<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" d\u00e9finie sur un intervalle de la forme \"[a , + \infty[\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\", si<\/p>\n

\"\quad \displaystyle f(x) \underset {x \to + \infty} = \sum _ {k = 0} ^n \frac {a_k} {x^k} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x ^n} \right )\",<\/p>\n

On dit que \"f\" admet un d\u00e9veloppement asymptotique \u00e0 la pr\u00e9cision \"\displaystyle \frac 1 {x ^n}\" au voisinage de \"+ \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" d\u00e9finie sur un intervalle de la forme \"] - \infty, \, a]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\", si<\/p>\n

\"\quad \displaystyle f(x) \underset {x \to - \infty} = \sum _ {k = 0} ^n \frac {a_k} {x^k} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x ^n} \right )\",<\/p>\n

On dit que \"f\" admet un d\u00e9veloppement asymptotique \u00e0 la pr\u00e9cision \"\displaystyle \frac 1 {x^n}\" au voisinage de \"- \infty\".<\/p>\n

On peut se ramener au voisinage de \"0\" et posant \"\displaystyle x = \frac 1 t\" soit en utilisant \"t \mapsto \displaystyle f \left (\frac 1 t \right )\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. Pour d\u00e9montrer que \"f\" A UN D\u00c9VELOPPENT LIMIT\u00c9<\/h2>\n

\"\bullet\" M1. Par utilisation de la formule de Taylor-Young :<\/p>\n

Si \"f\" est de classe \"C^n\" sur un intervalle contenant \"a\", \"f\" admet un d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"n\" en \"a\" donn\u00e9 par<\/p>\n

\"\displaystyle f(x)\underset {x \to a} {= } \sum _ {k = 0} ^n \frac {f^{(k)}(a)} {k!} (x - a) ^k\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, + \textrm{o}\, ((x - a)^n )\".<\/p>\n

Pour cela, il suffit bien s\u00fbr que \"f\" soit de classe \"C^{\infty}\" au voisinage de \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0Montrer que \"f\" est une somme de fonctions<\/a> ayant un DL \u00e0 l’ordre \"n\" en \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0Montrer que \"f = g \, \times \, h\" o\u00f9 \"g\" et \"h\" ont des DL d’ordre \"n\" en \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4. Si \"a = 0\", montrer que \"f = g \circ h\", o\u00f9 \"h\" a un DL d’ordre \"n\" en \"0\" et \"g\" a un DL d’ordre \"n\" en \"0\" avec \"h\" de limite nulle en 0<\/a>.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0Montrer que \"f = \displaystyle \frac g h\" o\u00f9 \"g\" et \"h\" ont des DL d’ordre \"n\" au voisinage de \"a\", le terme constant du DL de \"h\" \u00e9tant non nul.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.\u00a0Montrer que \"f\" est d\u00e9rivable au voisinage de \"a\" et que \"f'\" a un DL d’ordre \"n - 1\" en \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.\u00a0Si l’on conna\u00eet le DL de \"f\" en \"a\" \u00e0 l’ordre \"n\", le DL de \"f\" \u00e0 l’ordre \"p \leq n\" est obtenu par troncature.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M8.\u00a0Toute fonction polyn\u00f4me<\/a> \"P\" de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\" admet un DL d’ordre \"N \geq n\" au voisinage de \"0\" dont la partie r\u00e9guli\u00e8re est \u00e9gale \u00e0 \"P\".<\/p>\n

Pour que \"f\" admette un DL en \"a\", il est n\u00e9cessaire que \"f\" ait une limite finie en \"a\". Si \"f\" est d\u00e9finie en \"a\", il est n\u00e9cessaire que \"f\" soit continue en \"a\".<\/p>\n

Si une fonction est paire (resp. impaire) et a un DL d’ordre \"n\" en \"0\", son DL ne contient que des puissances paires (resp impaires).<\/p>\n

Mais un DL ne contenant que des puissances paires (resp. impaires) n’est pas n\u00e9cessairement le DL d’une fonction paire (resp impaire).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M9.\u00a0Pour obtenir un DL d’ordre \"n\" de \"f\" au voisinage de \"+ \infty\" (resp. de \"- \infty\"), chercher un DL d’ordre \"n\" au voisnage de \"0^+\" (resp \"0^-\") de \"g : t \mapsto \displaystyle f \left ( \frac 1 t \right )\".<\/p>\n

3. Op\u00e9rations sur les DL<\/h2>\n

Il est conseill\u00e9 de se ramener au voisinage de \"0\" en posant \"t = x - a\" lorsque \"a \neq 0\".<\/p>\n

Toutes les op\u00e9rations doivent se faire avec des DL de m\u00eame ordre.<\/p>\n

3.1. Somme de deux DL en 0<\/strong><\/p>\n

On \u00e9crit les deux DL \u00e0 l’ordre \"n\". On additionne les parties r\u00e9guli\u00e8res.<\/p>\n

3.2. Produit de deux DL en 0.<\/strong><\/p>\n

On \u00e9crit les deux DL \u00e0 l’ordre \"n\". On fait le produit des parties r\u00e9guli\u00e8res en ne conservant que les termes de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\".<\/p>\n

Si \"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} {= } A(x) + \textrm{o} ( x^n )\"<\/p>\n

et \"\displaystyle g(x) \underset {x \to 0} {= } B(x) + \textrm{o} ( x^n )\",<\/p>\n

En notant<\/p>\n

\"A(x) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n a_k \, x^k\" et \"B(x) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n b_k \, x^k\",<\/p>\n

alors \"\displaystyle f(x)\, g(x) \underset {x \to 0} {= } C(x) + \textrm{o} ( x^n )\"<\/p>\n

o\u00f9 \"C(x) = \displaystyle \sum _ {k= 0} ^n c_ k \, x^k\" avec \"\quad \forall\, k \in [\![0 , \, n]\!], \, c_k = \displaystyle \sum _{i = 0} ^k a_i \, b_{k - i}\, \".<\/p>\n

Si l’on \u00e9l\u00e8ve le DLde \"f\"\u00a0 \u00e0 l’ordre \"n\" au carr\u00e9, on obtient le DL de \"f^2\" \u00e0 l’ordre \"n\" (et non \u00e0 l’ordre \"2 \,n\").<\/p>\n

Ne jamais faire le produit d’un DL en \"0\" par une expression contenant des puissances n\u00e9gatives de \"x\".<\/p>\n

3.3. Utilisation du DL de \"x \mapsto (1 + x) ^{\alpha}\"<\/strong><\/p>\n

On rappelle que si \"\alpha \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"\displaystyle (1 + x) ^{\alpha} \underset {x \to 0} =\" \" \displaystyle 1 + \sum _{k = 1} ^n \frac {\alpha(\alpha - 1) \, \cdots \, \, (\alpha - k + 1) } {k!} \, x^k\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, \textrm{o}\, (x ^n)\"<\/p>\n

M\u00eame si la formule est utilisable pour \"\alpha = - 1\", il est indispensable de conna\u00eetre par coeur :<\/p>\n

\"\quad \displaystyle \frac 1 {1 + x } \underset {x \to 0} = \sum _ {k = 0} ^n (- 1) ^k \, x ^k + \, \textrm{o}\, (x^n)\".<\/p>\n

Lorsque \"\alpha \in \mathbb{N}\", il suffit d’utiliser le bin\u00f4me de Newton (tronqu\u00e9 si \"\alpha < n\") et d’\u00e9crire<\/p>\n

\"\displaystyle (1 + x) ^{\alpha} \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{\min(n , \alpha)} \binom {\alpha} k \, x^k + \textrm{o} (x ^n)\"<\/p>\n

Exemple :<\/p>\n

Trouver le d\u00e9veloppement limit\u00e9 de \"x \mapsto \sqrt{1 + x}\" \u00e0 l’ordre 4 en \"0\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On utilise la formule pour \"\alpha = 1/2\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle (1 + x) ^{\alpha} \underset {x \to 0} = 1 \, +\; \" \"\displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac {\alpha(\alpha - 1) \, \cdots \, \, (\alpha - k + 1) } {k!} \, x^k + \textrm{o} (x ^n)\"<\/em>
\net on \u00e9value \"\displaystyle a_k = \frac {(1/2)(1/2 - 1) \, \cdots \, \, (1/2 - k + 1) } {k!}\" pour \"1 \leq k \leq 4\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle a_1 = \frac 1 2\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle a_2 = \frac 1 {2!} \, \frac 1 2\, \frac {(-1)} 2 = -\frac 1 8\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle a_3 = \frac 1 {3!} \, \frac 1 2\, \frac {(-1)} 2 \, \frac {(-3)} 2= \frac 1 {16}\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\"\"\displaystyle a_4 = \frac 1 {4!} \, \frac 1 2\, \frac {(-1)} 2 \, \frac {(-3)} 2 \, \frac {(-5)} 2= - \frac 5 {128}\".<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \sqrt{1 + x} \underset {x \to 0} =\" \"\quad \quad \quad \displaystyle 1 + \frac x 2 - \frac {x^2} 8 + \frac {x^3 } {16} - \frac {5 \, x^4} {128} + \textrm{o} (x ^4)\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Exemple 2 :
\nTrouver le d\u00e9veloppement limite de \"x \displaystyle \mapsto \frac 1 {\sqrt {1 + x} }\" \u00e0 l’ordre \"n\" en \"0\".<\/p>\n

En exprimer les coefficients \u00e0 l’aide de coefficients binomiaux.<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On utilise la formule <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle (1 + x) ^{\alpha} \underset {x \to 0} = 1 \; +\" \"\displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac {\alpha(\alpha - 1) \, \cdots \, \, (\alpha - k + 1) } {k!} \, x^k + \textrm{o} (x ^n)\"<\/em><\/p>\n

Pour \"\alpha = \displaystyle \frac {-1} 2\" et on simplifie la valeur de \"\displaystyle a_k = \frac {\alpha(\alpha - 1) \, \cdots \, \, (\alpha - k + 1) } {k!}\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle a_k = \frac {(-1/2) (-3/2) \, \cdots \, \, (-(2 k - 1)/ 2) } {k!}\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle a_k = \frac {(-1)^k} {2 ^k} \, \frac {1 \, . \, 3 \, . \, \cdots \, . \, (2 k - 1) } {k!}\".<\/em><\/p>\n

On calcule la valeur de \"\quad \quad \quad 1 \, . \, 3 \, . \, \cdots \, . \, (2 k - 1)\" <\/em><\/p>\n

en multipliant et divisant par \"\quad \quad 2 \,. \, 4 \, . \, 6\,. \, \cdots \,. \, (2 k) = 2 ^k \, k!\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle 1 \, . \, 3 \,. \, \cdots \, .\, (2 k - 1) =\" \"\displaystyle \quad \frac {1 \, . \, 3 \, . \, \cdots \, .\, (2 k - 1) \,(2 \, . \, 4\, . \, 6 \, . \, \cdots \, . \, (2 k)) } { 2 ^k \, k!}\" <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle 1 \, . \, 3 \, . \, \cdots \, . \, (2 k - 1) = \frac {(2 \, k)! } { 2^k \, k!}\" <\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle a_k = \frac {(-1)^k} {2 ^k} \, \frac {(2 \, k)! } {2 ^k \, k! \; k! }\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle a_k = \frac {(-1)^k} {2 ^{2 \, k} } \binom {2 \, k} k\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Cette formule donne \"1\" si \"k = 0\", on peut donc \u00e9crire : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 + x}} \underset {x \to 0} = \sum _ {k = 0} ^n \frac {(-1)^k} {2 ^{2 \, k} } \binom {2 \, k} k \, x^k + \textrm{o} (x ^n)\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Bien s\u00fbr si l’on demande le d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 un ordre simple, on effectue uniquement les calculs indis- pensables et on obtient par exemple :<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 + x}} \underset {x \to 0} =\" \"\displaystyle \quad 1 - \frac x 2 + \frac {3\, x^2} 8 - \frac {5 \, x^3} {16} - \frac {35\, x^4 } {128} + \textrm{o} (x ^4)\"<\/em><\/p>\n

3.4. Composition de deux DL en 0<\/strong><\/p>\n

Avant de calculer le DL de \"f \circ g\" au voisinage de \"0\", lorsque l’on conna\u00eet les DL de \"f\" et \"g\" \u00e0 l’ordre \"n\" au voisinage de 0, bien v\u00e9rifier que \"g(x)\" tend vers 0 en 0 (c’est \u00e0 dire que le terme constant du DL de \"g\" est nul).<\/p>\n

M\u00e9thode pratique<\/p>\n

\"\ast\" a) on \u00e9crit le DL de \"f(u)\" quand \"u\" tend vers \"0\" \u00e0 l’ordre \"n\"<\/p>\n

\"\ast\" b) on \u00e9crit le DL de \"g(x)\" quand \"x\" tend vers 0 \u00e0 l’ordre \"n\", en v\u00e9rifiant que la partie r\u00e9guli\u00e8re \"B(x)\" de ce DL ne contient pas de terme constant<\/p>\n

\"\ast\" c) dans la partie r\u00e9guli\u00e8re \"A(u)\" du DL de \"f\", on remplace \"u\" par \"B(x)\". On \u00e9l\u00e8ve \"B(x\") aux diff\u00e9rentes puissances, en ne conservant que les termes de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0 d) on remplace \"o(u^n)\" par \"o(x^n)\".<\/p>\n

Exemple 1 :<\/p>\n

D\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre 5 en \"0\" de \"f : x \mapsto \ln (1 + \sin x)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On rappelle les DL utilis\u00e9s ici : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \ln(1 + u) \underset {u \to 0} = u - \frac 1 2 u ^2 + \frac 1 3 u^3 - \frac 1 4 u^4\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \frac 1 5 u^5 + \textrm{o} (u ^5)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \sin x \underset {x \to 0} = x - \frac 1 6 x ^3 + \frac 1 {120} x ^5 + \textrm{o} (x ^5)\"<\/em><\/p>\n

Il n’y a pas de probl\u00e8me de composition puisque \"\sin x\" tend vers \"0\" en \"0\". <\/em><\/p>\n

On pose donc \"\quad \displaystyle u \underset {x \to 0} = x - \frac 1 6 x ^3 + \frac 1 {120} x ^5 + \textrm{o} (x ^5)\".<\/em><\/p>\n

Vous pr\u00e9f\u00e9rerez peut \u00eatre faire les calculs suivants \u00e0 part (on multiplie chaque ligne par \"u\" en ne conservant que les mon\u00f4mes de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"5\") :<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u^2 \underset {x \to 0} = x^2 - \frac 1 3 x ^4 + \textrm{o} (x ^5)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u^3 \underset {x \to 0} = x^3 - \frac 3 6 {x ^5} +\textrm{o} (x ^5)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u^4 \underset {x \to 0} = x^4 +\textrm{o} (x ^5)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u^5 \underset {x \to 0} = x^5 +\textrm{o} (x ^5)\"<\/em><\/p>\n

Pour obtenir <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = x - \frac 1 6 x ^3 + \frac 1 {120} x ^5\" \"\displaystyle \quad - \frac 1 2 \left ( x^2 - \frac 1 3 x ^4 \right ) + \frac 1 3 \left ( x^3 - \frac 1 2 {x ^5} \right )\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \frac {x^4} 4 + \frac {x^5} {5} + \, \textrm{o} \, (x ^5)\"<\/em><\/p>\n

Puis on r\u00e9ordonne suivant les puissances croissantes de \"x\". <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} { =} x - \frac {x^2} 2\" \"\quad \quad \displaystyle + \left ( \frac 1 3 - \frac 1 {6} \right ) x ^3 + \left ( \frac 1 {6} - \frac 1 4 \right ) x^4\" \"\displaystyle \quad \quad \quad + \left ( \frac 1 {120} - \frac 1 6 + \frac 1 5 \right ) x^5 + \textrm{o} (x ^5)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} { =} x - \frac {1} 2 \, x^2 + \frac 1 6 \, x ^3 - \frac 1 {12} \, x^4\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \frac 1 {24} \, x^5 + \textrm{o} (x ^5)\".<\/em><\/p>\n

Dans le cas o\u00f9 \"B(0) = b \neq 0\", suivant la situation :\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On utilise les propri\u00e9t\u00e9s de \"f\" pour exprimer \"f(g(x))\" en fonction de \"\displaystyle f (\lambda (g(x) - b))\" (\"\lambda \neq 0\") dont on peut \u00e9crire le d\u00e9veloppement limit\u00e9 en suivant la m\u00e9thode d\u00e9crite ci- dessus.\u00a0 <\/em><\/p>\n

\"\ast\" Sinon il faut \u00e9crire le d\u00e9veloppement limit\u00e9 de \"f\" \u00e0 l’ordre \"n\" en \"b\" sous\u00a0 la forme <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(y) \underset {y \to b} = \sum _{k = 0} ^n a_k \, (y - b) ^k + \textrm{o} ((y - b)^n)\" <\/em><\/p>\n

Et remplacer \"y - b\" par \"\quad \quad \quad \quad B(x) - B(0) + \textrm{o} (x ^n)\".<\/em><\/p>\n

Exemple 2<\/p>\n

DL \u00e0 l’ordre 5 en \"0\" de \"f : x \mapsto \textrm{e} ^{\cos x}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

Avant de faire les calculs, on rappelle que la fonction \"f\" \u00e9tant paire, si l’on conna\u00eet le DL de \"f\" \u00e0 l’ordre \"4\" en \"0\", on le conna\u00eet \u00e0 l’ordre 5.\u00a0<\/em><\/p>\n

On rappelle les DL utilis\u00e9s ici : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{e} ^u \underset {u \to 0} = 1 + u + \frac {u ^2 } 2 + \frac {u^3} 6 + \frac {u ^4} {24} + \textrm{o} (u ^4)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \cos x \underset {x \to 0} = 1 - \frac {x ^2} 2 + \frac {x^4} {24} + \textrm{o} (x ^5)\".<\/em><\/p>\n

Puis on fait attention au fait que \"\cos x\" admet \"1\" pour limite en \"0\", on \u00e9crit donc <\/em><\/p>\n

\"f(x) = \textrm{e} ^{\cos x - 1 + 1 } = \textrm{e} ^1 \, \textrm{e} ^{\cos x - 1 }\"<\/em><\/p>\n

avec <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \cos x - 1 \underset {x \to 0} = - \frac 1 2 x ^2 + \frac 1 {24} x ^4 + \textrm{o} (x ^4)\"<\/em><\/p>\n

Puis comme le DL de \"\cos(x) - 1\" commence par \"x^2\", seuls les calculs de \"u\", \"u^2\" sont utiles pour trouver le DL de \"g : x \mapsto \exp( {\cos x - 1 })\".<\/em><\/p>\n

Avec ces remarques, les calculs sont simplifi\u00e9s : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u \underset {x \to 0} = - \frac 1 2 x ^2 + \frac 1 {24} x ^4 + \textrm{o} (x ^4)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u ^2 \underset {x \to 0} = \frac 1 4 x ^4 + \textrm{o} (x ^4)\"<\/em><\/p>\n

Ce qui donne le DL \u00e0 l’ordre 4 : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle g(x) \underset {x \to 0} {=}\" \"\displaystyle \quad 1 - \frac 1 2 x ^2 + \frac 1 {24} x ^4 - \frac 1 {2} \, \frac 1 4 x ^4 + \textrm{o} (x ^4)\"<\/em><\/p>\n

Soit <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{e} ^{\cos x - 1 } \underset {x \to 0} {=} 1- \frac 1 2 x ^2 - \frac 1 {12} x ^4 + \textrm{o} (x ^4)\"<\/em><\/p>\n

On termine en utilisant la remarque indiquant que le DL \u00e0 l’ordre 4 d’une fonction paire donne le DL \u00e0 l’ordre 5 et\u00a0<\/em>
\n\"f(x) \displaystyle \underset {x \to 0} {=} \textrm{e} ^{1 } \left (1- \frac 1 2 x ^2 - \frac 1 {12} x ^4 + \textrm{o} (x ^5) \right )\"<\/em><\/p>\n

Exemple 3<\/p>\n

DL \u00e0 l’ordre 2 en \"0\" de \"\quad \quad h : \displaystyle x \mapsto \textrm{Arctan}\left ( \sqrt{1 + x} \right )\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On sait que \"\displaystyle \sqrt{1 + x} \underset{x \to 0} = 1 + \frac x 2 - \frac 1 8 \, x^2 + \textrm{o} (x^2)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On \u00e9crit le DL de \"f = \textrm{Arctan}\" en \"1\" \u00e0 l’ordre 2 \u00e0 l’aide de la formule de Taylor-Young. <\/em><\/p>\n

\"f'(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x^2}\" , \"f''(x) = \displaystyle \frac {- 2 \, x} {(1 + x^2)^2}\" <\/em><\/p>\n

\"f'(1) = \displaystyle \frac 1 2 \;\", \"f''(1) = \displaystyle \frac {- 1 } 2\".<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(u) \underset {u \to 1} = \frac {\pi} 4 + \frac {u - 1 } 2\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \, \frac {(u - 1) ^2} 4 + \textrm{o} ((u - 1)^2)\"\u00a0<\/em><\/p>\n

et on utilise \"\displaystyle u - 1 \underset{x \to 0} = \frac x 2 - \frac 1 8 \, x^2 + \textrm{o} (x^2)\" <\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle h(x) \underset {x \to 0} = \frac {\pi}4 + \frac 1 2 \left ( \frac x 2 - \frac {x^2} 8 \right )\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - \, \frac 1 4 \, \frac {x^2} 4 + \, \textrm{o} (x ^2)\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle h(x) \underset {x \to 0} = \frac {\pi}4 + \frac x 4 - \frac {x^2} {8} + \, \textrm{o} (x ^2)\".<\/em><\/p>\n

3.5. DL d’un quotient \u00e0 l’ordre \"n\" au voisinage de 0<\/strong><\/p>\n

Soit \u00e0 calculer le DL de \"\displaystyle f(x) = \frac {N(x)} { D(x)}\" \u00e0 l’ordre \"n\".<\/p>\n

\"\bullet\" 1 er cas : le DL de \"D(x)\" a un terme constant non nul.<\/p>\n

On \u00e9crit les DL de \"D\" et \"N\" \u00e0 l’ordre \"n\" en \"0\" : \"\displaystyle N(x) \underset {x \to 0} {= } A(x) + \textrm{o} ( x^n )\" et \"\displaystyle D(x) \underset {x \to 0} {= } B(x) + \textrm{o} ( x^n )\".<\/p>\n

En divisant par le terme constant \"b_0\" non nul de \"B(x)\" les quantit\u00e9s \"N(x)\" et \"D(x)\", on se ram\u00e8ne \u00e0 une expression de la forme \"\displaystyle \frac {M(x)} {1 + u(x)}\" ,<\/p>\n

La fonction \"u\" admettant \"0\" pour limite en \"0\". On utilise le DL de \"\displaystyle \frac 1 {1 + t}\" pour obtenir celui de \"\displaystyle \frac 1 {1 + u(x)}\" puis on fait un produit de 2 d\u00e9veloppements limit\u00e9s.<\/p>\n

Exemple 1 :<\/p>\n

DL de \"\displaystyle f : x \mapsto \frac {\cos(x)} {\textrm{e} ^x + \sqrt{1 + x}}\" en \"0\" \u00e0 l’ordre 3.<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\displaystyle f : x \mapsto \frac {\cos(x)} {\textrm{e} ^x + \sqrt{1 + x}}\" en \"0\" \u00e0 l’ordre 2. <\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Comme le d\u00e9nominateur admet \"2\" pour limite en \"0\", on \u00e9crit les d\u00e9veloppements limit\u00e9s du num\u00e9rateur<\/em><\/p>\n

\"N\" et du d\u00e9nominateur \"D\" \u00e0 l’ordre 2.<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle N(x) = \cos(x) \underset {x \to 0} = 1 - \frac {x^2} 2 + \textrm{o}(x^2)\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle D(x) = \textrm{e} ^x + \sqrt{1 + x}\"<\/em><\/p>\n

avec \"\displaystyle \textrm{e} ^x \underset {x \to 0} = 1 + x + \frac {x^2} 2 + \textrm{o}(x^2)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \sqrt{1 + x} \underset {x \to 0} = 1 + \frac x 2 - \frac {x^2} 8 + \textrm{o}(x^2)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle D(x) \underset {x \to 0} = 2 + \frac {3\, x} 2 + \frac {3\, x^2} 8 + \textrm{o}(x^2)\"<\/em><\/p>\n

et en factorisant \"2\" <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle D(x) \underset {x \to 0} = 2 \left ( 1 + \frac {3\, x} 4 + \frac {3\, x^2} {16 } + \textrm{o}(x^2) \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant \"\quad \quad \displaystyle \frac 1 {1 + u} \underset {u \to 0} = 1 - u + u ^2 + \textrm{o}(u^2)\" <\/em><\/p>\n

pour \"\displaystyle u = \frac {3\, x} 4 + \frac {3\, x^2} {16 } + \textrm{o}(x^2)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 2 {D(x)} \underset {x \to 0} = 1 - \frac {3 \, x} 4 - \frac {3\, x^2} {16 } + \frac {9 \, x^2} {16} + \textrm{o}(x^2)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 2 {D(x)} \underset {x \to 0} = 1 - \frac {3 \, x} 4 + \frac {3\, x^2} {8} + \textrm{o}(x^2)\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Il reste \u00e0 faire un produit de deux DL \u00e0 l’ordre 2 : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = \frac 1 2 \left ( 1 - \frac {x^2} 2 + \textrm{o}(x^2) \right )\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \times \left ( 1 - \frac {3 \, x} 4 + \frac {3\, x^2} {8} + \textrm{o}(x^2) \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = \frac 1 2 \left ( 1 - \frac {3 \, x} 4 - \frac { x^2} {8} + \textrm{o}(x^2) \right )\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" 2 \u00e8me cas : le DL de \"D\" a un terme constant nul et \"\displaystyle D(x) \underset {x \to 0} \sim \alpha_k \, x ^k\" (la valuation de la partie r\u00e9guli\u00e8re du DL de \"D\" est \u00e9gale \u00e0 \"k\").<\/em><\/p>\n

\"\; \; \ast\" si la valuation de \"A\" est sup\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 \"k\", on \u00e9crit les DL de \"N\" et \"D\" \u00e0 l’ordre \"n + k\". On simplifie par \"x^k\" et on se ram\u00e8ne au premier cas.<\/em><\/p>\n

\"\; \; \ast\" si la valuation \"h\" de \"A\" v\u00e9rifie \"h < k\", on introduit \"\displaystyle F : x \mapsto \frac {x^{k - h} \, f(x)} {g(x)}\".<\/em><\/p>\n

Les valuations des nouvelles parties r\u00e9guli\u00e8res \"B(x)\" et \"x^{k-h} A(x)\" sont alors \u00e9gales \u00e0 \"k\", ce qui permet d’appliquer la m\u00e9thode d\u00e9crite dans le deuxi\u00e8me cas \u00e0 \"F\". <\/em><\/p>\n

Il est alors indispensable de r\u00e9fl\u00e9chir aux ordres des diff\u00e9rents DL si l’on veut une expression de \"\displaystyle \frac f g\" en \"\textrm{o}(x^n)\" <\/em><\/p>\n

Il faut \u00e9crire celui de \"F\" \u00e0 l’ordre \"n + k - h\" (pour simplifier \u00e0 la fin par \"x ^{k - h}\").<\/em>
\nLes valuations des parties r\u00e9guli\u00e8res du num\u00e9rateur et du d\u00e9nominateur \u00e9tant \u00e9gales \u00e0 \"k\", il faut \u00e9crire ces d\u00e9veloppements limites de \"g\" et de \"x \mapsto x^ {k - h}\, f(x)\" \u00e0 l’ordre \"n + 2\, k - h\", les simplifier par \"x^k\", utiliser la m\u00e9thode d\u00e9crite dans le 1er cas au quotient de deux DL \u00e0 l’ordre \"n + k - h\" dont la valuation du d\u00e9nominateur est nulle et ainsi obtenir le DL de \"F\" \u00e0 l’ordre \"n + k - h\" comme souhait\u00e9.<\/em><\/p>\n

Si l’on a \u00e9crit le d\u00e9veloppement limit\u00e9 de \"F\" sous la forme :<\/p>\n

\"\quad \displaystyle F(x) \underset {x \to 0 } = \sum _ {i = 0 } ^{n + k - h} \gamma _ i\, x ^i + \textrm{o} (x ^{n + k - h} )\"<\/p>\n

on obtient<\/p>\n

\"\quad \displaystyle \frac {f(x)} {g(x)} \underset {x \to 0 } {=} \sum _ {i = 0} ^{n + k - h} {\gamma_i} \, x ^{i - k + h} + \textrm{o}(x^n)\".<\/p>\n

On remarquera que la partie \"\displaystyle\sum _ {i = 0} ^{k - h - 1} \gamma_i \, x ^{i - k + h}\" est form\u00e9e de termes \u00e9lev\u00e9s \u00e0 une puissance strictement n\u00e9gative.<\/p>\n

exemple 2<\/p>\n

D\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre 4 de \"f : \displaystyle x \mapsto \frac {x} {\sin x}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

La valuation du DL de \"\sin\" en \"0\" \u00e9tant \u00e9gale \u00e0 1, il faut diviser par \"x\", donc \u00e9crire le DL de \"\sin\" \u00e0 l’ordre 5 <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \sin(x) \underset {x \to 0}= x - \frac {x^3 } {6} + \frac {x ^5} {120} + \textrm{o} (x ^{5 } )\" <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac {\sin(x)} x \underset {x \to 0}= 1 - \frac {x^2 } {6} + \frac {x ^4} {120} + \textrm{o} (x ^{4} )\".<\/em><\/p>\n

En utilisant \"\displaystyle \frac 1 {1 + u} \underset {u \to 0} = 1 - u + u^2 - u ^3 + u ^4 + \textrm{o} (u^4)\"<\/em>
\navec \"\displaystyle u \underset {x \to 0}= - \frac {x^2 } {6} + \frac {x ^4} {120} + \textrm{o} (x ^{4} )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u^2 \underset {x \to 0}= \frac {x^4}{36} + \textrm{o} (x ^{4} )\".<\/em><\/p>\n

Les termes \"u^3\" et \"u^4\" ne contiennent pas de termes de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 4, <\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle \frac {x} {\sin x} \underset {x \to 0}= 1 + \frac {x^2 } {6} - \frac {x ^4} {120} + \frac {x^4}{36} + \textrm{o} (x ^{4} )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac {x} {\sin x} \underset {x \to 0}= 1 + \frac {x^2 } {6} + \frac {7 \, x^4}{360 } + \textrm{o} (x ^{4} )\".<\/em><\/p>\n

3.6. Int\u00e9gration<\/strong><\/p>\n

Si au voisinage de \"a\", la fonction continue \"f\" v\u00e9rifie : \"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} {=} \sum _ {k = 0} ^n a_k \, (x -a) ^k + \textrm{o} ((x-a) ^n)\"<\/p>\n

une primitive<\/a> \"F\" de \"f\" admet pour DL au voisinage de \"a\" :<\/p>\n

\"\displaystyle F(x) \underset {x \to a} {=} F(a) \" \" \displaystyle + \sum_{k = 0} ^n \frac {a_k} {k + 1} \, (x- a) ^{k + 1} + \textrm{o} ((x-a)^{n+1})\"<\/p>\n

Il n’y a aucune difficult\u00e9 si l’on n’oublie pas \"F (a)\".<\/p>\n

Il est bon de savoir que le DL de \"f : x \mapsto \ln(\cos x)\" se calcule plus simplement en utilisant le DL de \"f ' : x \mapsto - \tan(x)\" qu’en faisant une composition de DL .<\/p>\n

C’est en utilisant cette m\u00e9thode que l’on retrouve facilement les DL de \"x \mapsto \ln(1 + x)\" \u00e0 l’ordre \"n\" ou de \"x \mapsto \textrm{Arctan}(x)\" \u00e0 l’ordre \"2 \,n + 1\" en \"0\"<\/p>\n

exemple 1<\/p>\n

D\u00e9terminer le d\u00e9veloppement limit\u00e9 en \"0\" \u00e0 l’ordre \"2 \, n + 1\" de \"x \mapsto \textrm{Arcsin} (x)\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"f = \textrm{Arcsin}\" est d\u00e9rivable sur \"]- 1 , \, 1[\" et \"f'(x) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 - x^2 }}\".<\/p>\n

On a vu en 3.3 que<\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 + x}} \underset {x \to 0} = \sum _ {k = 0} ^n \binom {2 \, k} k \, \frac {(-1)^k} {2 ^{2 \, k} }\, x^k + \textrm{o} (x ^n)\"<\/p>\n

\"f'(x) \displaystyle \underset {x \to 0} =\" \"\quad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \frac {(-1)^k} {2 ^{2 \, k} } \binom {2 \, k} k \, ( - x^2 ) ^k + \textrm{o} (x ^{2 \, n} )\"<\/p>\n

\"f'(x) \displaystyle \underset {x \to 0} = \sum _ {k = 0} ^n \binom {2 \, k} k \frac {1} {2 ^{2 \, k} } \, x^{2 \,k} + \textrm{o} (x ^{2 \, n} )\"<\/p>\n

Par int\u00e9gration<\/a> du DL sachant que \"f(0) = 0\",<\/p>\n

\"\textrm{Arcsin}(x) \displaystyle \underset {x \to 0} =\" \"\displaystyle \; \; \sum _ {k = 0} ^n \binom {2 \, k} k \, \frac {x^{2 \, k + 1}} {(2 \, k + 1) \, 2 ^{2 \, k} }+ \textrm{o} (x ^{2 \, n + 1 } )\".<\/p>\n

exemple 2<\/p>\n

Retrouver le DL \u00e0 l’ordre 2 en \"0\" de \"f : x \mapsto \textrm{Arctan}\left ( \sqrt{x + 1} \right )\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"f'(x) = \displaystyle \frac 1{2\sqrt{1 + x}} \, \frac 1 {1 + (1 + x)}\"<\/em><\/p>\n

\"f'(x) = \displaystyle \frac 1{4 \sqrt{1 + x}} \, \frac 1 {1 + x/2}\"<\/em><\/p>\n

On effectue le produit de deux DL \u00e0 l’ordre 1 : <\/em><\/p>\n

\"f'(x) \displaystyle \underset {x \to 0} = \frac 1 4 \left ( 1 - \frac {x} 2 + \textrm{o} (x) \right ) \left ( 1 - \frac {x} 2 + \textrm{o} (x)\right )\" <\/em><\/p>\n

\"f'(x) \displaystyle \underset {x \to 0} = \frac 1 4 \left ( 1 - x+ \textrm{o} (x) \right )\" <\/em><\/p>\n

et comme \"f(1) = \displaystyle \frac {\pi} 4\", <\/em><\/p>\n

\"f(x) \displaystyle \underset{x \to 0} = \frac {\pi} 4 + \frac x 4 - \frac {x^2} {8} + \textrm{o} (x^2)\"<\/em><\/p>\n

3.7. D.L. et d\u00e9riv\u00e9es<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0\"f\" est d\u00e9finie dans un voisinage de \"a\" et a un DL d’ordre \"n\" en \"a\" tronqu\u00e9 \u00e0 l’ordre 1 sous la forme :<\/p>\n

\"\quad f(x) \underset {x \to a} {=} \alpha + \beta (x - a) + \textrm{o}(x - a)\"<\/p>\n

alors \"f(a) = \alpha\" et \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et \"f'(a) = \beta\".<\/p>\n

Si \"f\" n’\u00e9tait pas d\u00e9finie en \"a\", on la prolonge par continuit\u00e9 en \"a\" en posant \"f(a) = \alpha\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0Si \"f\" est de classe \"C^n\" au voisina- ge de \"a\", \"f\" a un DL d’ordre \"n\" en \"a\" donn\u00e9 par la formule de Taylor-Young.<\/p>\n

Cons\u00e9quence : si \"f\" est de classe \"C^{\infty}\";\u00a0 \"f\" a un DL en \"a\" \u00e0 l’ordre \"n\" pour tout \"n\".<\/p>\n

\"\bullet\" M3.Si \"f\" est \"n\" fois d\u00e9rivable en \"a\" et si l’on a obtenu son DL \u00e0 l’ordre \"n\" :<\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to a}{=} \sum _ {k = 0} ^n \alpha _ k \, (x - a) ^k + \textrm{o} ((x - a) ^{n} )\"<\/p>\n

\"\ast\" alors \"\forall \, k \in [\![0 , \, n]\!], \, \displaystyle f ^{(k)} (a) = k ! \, \alpha _ k \,\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f'\" admet un DL d’ordre \"n-1\" en \"a\" donn\u00e9 par :<\/p>\n

\"\displaystyle f'(x) \underset {x \to a}{=}\" \"\displaystyle \quad \sum _ {k = 0} ^{n - 1} k \, \alpha _ k \, (x - a) ^{k - 1} + \textrm{o} ((x - a) ^{n - 1 } )\"<\/p>\n

\"\bullet\" M4. Si \"f\" est une fonction d\u00e9rivable sur un intervalle \"I\" contenant \"0\" et si \"f\" et \"f '\" admettent des DL d’ordre \"n + 1\" et \"n\" respectivement au voisinage de \"0\", alors la partie r\u00e9guli\u00e8re du DL \u00e0 l’ordre \"n\" en \"0\" de<\/p>\n

\"f'\" est la d\u00e9riv\u00e9e de la partie r\u00e9guli\u00e8re du DL \u00e0 l’ordre \"n + 1\" en \"0\" de \"f\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0Si \"f\" a un DL d’ordre \"n\" en \"a\" et si \"f\" est d\u00e9rivable au voisinage de \"a\", on ne peut pas d\u00e9river le DL de \"f\" sauf si l’on sait que \"f\" v\u00e9rifie les conditions de Taylor Young (cf M3.) ou la condition du M4.<\/p>\n

\"\bullet\" Il existe des fonctions ayant un DL d’ordre \"n\" en \"a\" et qui ne sont pas \"n\" fois d\u00e9rivables en \"a\" si \"n \geq 2\".<\/p>\n

exemple\u00a0: \"f(x) = x^3 \sin(1/x)\" et \"f(0) = 0\" , \"f(x) \underset {t \to 0} = \textrm{o}(x^2)\", mais \"f ''(0)\" n’existe pas.<\/p>\n

Si \"n \geq 2\" et si \"f\" a un DL d’ordre \"n\" en \"a\", on ne peut pas conclure que \"f\" est \"n\" fois d\u00e9rivable en \"a\", ni que \"f\" est de classe \"C^n\" au voisinage de \"a\".<\/p>\n

D\u00e9mo<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\"Soit \"\displaystyle \varepsilon (x) = x \, \sin \left ( \frac 1 x \right )\", \"\vert \varepsilon (x) \vert \leq \vert x \vert\" , \"\displaystyle \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0\",\u00a0ce qui permet d’\u00e9crire \"f(x) \underset {x \to 0} = \textrm{o} (x ^2)\", donc \"f\" a un DL d’ordre 2 en \"0\".\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"f\" ayant un DL \u00e0 l’ordre 1 en \"0\", \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et \"f'(0) = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"x \neq 0\", \"\quad \displaystyle f'(x) = 3\, x^2 \sin \left ( \frac 1 x \right ) - x \, \cos \left ( \frac 1 x \right )\" .\u00a0<\/em>
\nSoit \"g(x) = \displaystyle \frac {f'(x) - f'(0) } x\" <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle g(x) = 3\, x \sin \left ( \frac 1 x \right ) - \cos \left ( \frac 1 x \right )\". <\/em><\/p>\n

\"\ast\" En utilisant \"u_n = \displaystyle \frac {1 } {2 \, n \, \pi}\", la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"0\".<\/em><\/p>\n

\"g(u_n ) = 1\", la suite \"(g(u_n))_n\" converge vers \"1\". <\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"v_n = \displaystyle \frac {1 } {(2 \, n + 1) \, \pi}\", la suite \"(v_n)_n\" converge vers \"0\".<\/em><\/p>\n

\"g(v_n ) =- 1\", la suite<\/a> \"(g(v_n))_n\" converge pas vers \"-1\", <\/em><\/p>\n

La fonction \"g\" n’admet pas de limite en \"0\", donc \"f'\" n’est pas d\u00e9rivable en \"0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

3.8.\u00a0 Recherche d’un DL au voisinage de \"a\" <\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" lorsque \"a \in \mathbb{R}\", par utilisation de la formule de Taylor Young, \u00e0 condition que la fonction \"f\" soit de classe \"C^n\" au voisinage de \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\" ou par changement d’inconnue (en posant \"u = x - a\" si \"a \in \mathbb{R}^*\" ou \"t = 1/x\" si \"a = \infty\"), \u00e0 condition d’obtenir un DL calculable en 0.<\/p>\n

quand les calculs sont termin\u00e9s, ne pas d\u00e9velopper les puissances de \"x - a\" obtenues.<\/p>\n

3.9. D.L d’une fonction r\u00e9ciproque<\/strong><\/p>\n

rappels : si \"f\" est une fonction continue sur l’intervalle \"I\" et strictement monoto- ne, \"f\" d\u00e9finit une bijection de \"I\" sur \"f(I)\".<\/p>\n

Si l’on suppose de plus que \"f\" est de classe \"C^n\" sur \"I\" et que pour tout \"x\" de \"I\", \"f ' (x) \neq 0\", la fonction r\u00e9ciproque<\/a> \"g\" de \"f\" est de classe \"C^n\" sur \"f(I)\".<\/p>\n

Cons\u00e9quence : Si les hypoth\u00e8ses ci-dessus sont v\u00e9rifi\u00e9es et si \"I\" est un intervalle contenant \"0\", \"g = f^{-1}\" est de classe \"C^n\" au voisinage de \"b = f( 0 )\" donc admet un d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"n\" au voisinage de \"b\".<\/p>\n

On \u00e9crit le DL de \"f(x)\" en \"0\" \u00e0 l’ordre \"n\" et celui de \"g\" en \"b\" sous la forme<\/p>\n

\"\displaystyle g(t)\underset {t \to b } {=} \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \gamma_k \, (t - b) ^k + \textrm{o} ((t - b)^n)\"<\/p>\n

et en \u00e9crivant que \"f ^{-1 } \circ f (x) = x\" et en calculant le DL de cette \u00e9galit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"n\" en \"0\", par unicit\u00e9 du DL de la fonction \"x \mapsto x\" en \"0\", on obtient un syst\u00e8me<\/a> d’\u00e9quations permettant de calculer les \"\gamma _k\,\".<\/p>\n

exemple :<\/p>\n

Existence de la fonction r\u00e9ciproque de \"f : x \mapsto x + \ln(1 + x)\" et d\u00e9termination du DL de la fonction r\u00e9ciproque \u00e0 l’ordre \"3\" en \"0\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"f : x \mapsto x + \ln(1 + x)\" est de classe \"C ^{\infty}\" sur \"]- 1 , \,+ \infty[\" et \"f'(x) = \displaystyle 1 + \frac 1 {1 + x} > 0\" <\/em><\/p>\n

\"f\" admet \"- \infty\" pour limite \u00e0 droite en \"-1\" et \"+\infty\" pour limite en \"+\infty\". Donc \"f\" d\u00e9finit une bijection de<\/em><\/p>\n

\"]- 1 , \, + \infty[\" sur \"\mathbb{R}\" et sa fonction r\u00e9ciproque \"g\" est de classe \"C ^{\infty}\" sur \"\mathbb{R}\".<\/em><\/p>\n

De plus \"g(0) = 0\" donc \"g\" admet un d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"3\" en \"0\" donn\u00e9 par \"\quad g(y) \underset {y \to 0} = a\, y + b \, y^2 + c \, y^3 + \textrm{o} (y ^3)\".\u00a0\u00a0<\/em><\/p>\n

Et \"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = 2 \, x - \frac {x^2} 2 + \frac {x^3} 3 + \textrm{o} (x^3)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On peut effectuer la composition des DL pour trouver le DL de \"g \circ f\" en \"0\" <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle g \circ f (x) \underset {x \to 0} = a \left (2 \, x - \frac {x^2} 2 + \frac {x^3} 3 \right )\" \"\quad \quad +\, b \, \left ( 4 \, x^2 - 2 \, {x^3} \right) + 8 \, c \, x^3 + \textrm{o}(x^3)\" <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle g \circ f (x) \underset {x \to 0} = 2 \, a \, x + \left ( - \frac {a} 2 + 4 \, b \right ) x ^2\" \"\displaystyle \quad \quad + \, \left ( \frac {a} 3 - 2 \, {b} + 8 \, c \right ) \, x^3 + \textrm{o}(x^3)\" <\/em><\/p>\n

or \"g \circ f(x) = x\", donc par unicit\u00e9 du DL, on obtient les CNS <\/em><\/p>\n

\"\left \{ \begin{matrix} 2 \, a= 1 \\ - a/ 2 + 4 \, b = 0 \\ a/3 -2 \, b + 8 \, c = 0 \end{matrix} \right.\"<\/em><\/p>\n

ssi \"\displaystyle a = \frac {1} 2 , \, b = \frac 1 {16}\" et \"\displaystyle c =\frac {-1} {192}\"<\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle f ^{- 1} (y) \underset {y \to 0} = \frac y 2 + \frac {y ^2} {16} - \frac {y ^3} {192} + \textrm{o} (y ^3)\" .<\/em><\/p>\n

4. Les d\u00e9veloppements limit\u00e9s classiques \u00e0 conna\u00eetre<\/h2>\n

\"\displaystyle \frac 1 {x + 1} \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n (-1) ^k \, x ^k + \, \textrm{o} \, (x^n)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {1 -x} \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n x ^k + \, \textrm{o} \, (x^n)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \ln(1 + x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 1} ^n \frac {(-1) ^{k - 1} } {k} \, x ^k + \, \textrm{o} \, (x^n)\"<\/p>\n

qui permet de trouver
\n\"\displaystyle \ln(1 - x) \underset {x \to 0} = - \sum _{k = 1} ^n \frac {1 } {k} \, x ^k + \, \textrm{o} \, (x^n)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{Arctan} (x) \underset {x \to 0} = \" \"\quad \quad \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \frac {(-1) ^k } {2 \, k + 1} \, x ^{2\, k + 1} + \, \textrm{o} \, ( x^{2\, n + 2})\"<\/p>\n

\"\displaystyle (1 + x) ^{\alpha} \underset {x \to 0} =1 \; +\" \"\displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac {\alpha(\alpha - 1) \cdots (\alpha - k + 1) } {k!} \, x^k + \textrm{o} (x ^n)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{e} ^x \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n \frac {x^k} {k !} + \, \textrm{o} \, (x^n)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{ch} (x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n \frac {x^{2 \, k} } {(2\, k) !} + \, \textrm{o} \, (x^{2 \,n +1 } )\"<\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{sh} (x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n \frac {x ^{2 \, k + 1} } {(2\, k +1 ) !} + \, \textrm{o} \, (x^{2 \,n +2 } )\"<\/p>\n

\"\displaystyle \cos (x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n \frac {(-1) ^k } {(2\, k) !} x ^{2 \, k} + \, \textrm{o} \, (x^{2 \,n +1 } )\"<\/p>\n

\"\displaystyle \sin (x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n \frac {(-1) ^k\, x^{2 \, k + 1} } {(2\, k +1 ) !} + \, \textrm{o} \, (x^{2 \,n +2 } )\"<\/p>\n

\"\displaystyle \tan(x) \underset{x \to 0} = x + \frac {x^3} 3 +\, \textrm{o} \, (x^3)\"<\/p>\n

et ceux \u00e0 savoir retrouver<\/p>\n

\"\displaystyle \sqrt{1 + x} \underset {x \to 0} = 1 + \frac x 2 - \frac {x^2} 8 + \frac {x^3 } {16}\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \frac {5 \, x^4} {128} + \textrm{o} (x ^4)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 + x}} \underset {x \to 0} = 1 - \frac x 2 + \frac {3 \, x^2} 8 - \frac {5\, x^3}{16}\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\frac {35\, x^4 } {128} + \textrm{o} (x ^4)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 + x}} \underset {x \to 0} =\" \"\quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \frac {(-1)^k} {2 ^{2 \, k} } \binom {2 \, k} k \, x^k + \textrm{o} (x ^n)\".<\/p>\n

5. Utilisation des d\u00e9veloppements limit\u00e9s en MPSI, PTSI, MP2I et PCSI<\/h2>\n

5.1. Trouver un \u00e9quivalent\u00a0 <\/b><\/p>\n

On suppose que l’on a obtenu le DL de \"f\" \u00e0 l’ordre \"n\" au voisinage de \"a\", de partie r\u00e9guli\u00e8re non nulle :<\/p>\n

\"\ast\" si \"a \in \mathbb{R}\",<\/p>\n

\"f(x) \displaystyle \underset {x \to a} = \sum _{i = 0} ^n \alpha _i \, (x - a) ^i + \textrm{o} ((x - a )^n)\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"a = \infty\",<\/p>\n

\"f(x) \displaystyle \underset {x \to \infty} {=} \sum _{i = 0} ^n \alpha _i \,\frac 1 {x ^i } + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x ^n} \right )\".<\/p>\n

On note \"p\" le plus petit entier tel que \"\alpha _ p\" soit non nul, alors<\/p>\n

\"\quad \quad \ast\" \"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} \sim \alpha_p (x - a) ^p\" si \"a \in \mathbb {R}\"<\/p>\n

\"\quad \quad \ast\" \"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} \sim \frac {\alpha_p} {x^p}\" si \"a = \infty\".<\/p>\n

Important : on ne conserve qu’un seul terme du DL lorsque l’on \u00e9crit un \u00e9quivalent.<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral, il faut utiliser un DL quand on cherche un \u00e9quivalent de \"f\", form\u00e9e d’une somme ou d’une diff\u00e9rence.<\/p>\n

5.2. Caract\u00e8re local<\/b><\/p>\n

Un DL ne donne des renseignements qu’au voisinage du point consid\u00e9r\u00e9.<\/p>\n

Il ne permet pas de donner le signe de \"f(x)\" pour tout \"x \in \mathbb{R}\", mais si l’on peut en d\u00e9duire qu’il existe<\/p>\n

\"p \in \mathbb{N}^*\" et \"\displaystyle \alpha_p \neq 0\" tels que \"f(x) \underset {x \to a} \sim \alpha_p (x - a) ^p\", il permet de dire que, pour \"\vert x - a \vert\" assez petit,\u00a0 \"f(x)\" et \"\alpha _p (x - a)^p\" sont de m\u00eame signe.<\/p>\n

5.3. Recherche de la limite d’un quotient<\/b><\/p>\n

Dans le cas d’une forme ind\u00e9termin\u00e9e 0\/0, on cherche un \u00e9quivalent du d\u00e9nominateur et on \u00e9crit le DL du num\u00e9rateur au m\u00eame ordre.<\/p>\n

Dans le cas d’une diff\u00e9rence de quotients, r\u00e9duire auparavant au m\u00eame d\u00e9nominateur.<\/p>\n

5.4. \u00c9tude d’une courbe au voisinage de<\/b> \"a\"<\/p>\n

Dans la plupart des cas, il suffit d’avoir le DL de \"f\" \u00e0 l’ordre 2 en \"a\" (\u00e0 l’ordre 3 si \"f\" est impaire et si \"a = 0\").<\/p>\n

Si l’on obtient<\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = \alpha + \beta \, (x - a) + \gamma \, (x - a)^2\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, \textrm{o}\, ( (x - a)^2 )\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si n\u00e9cessaire, on prolonge \"f\" par continuit\u00e9 en \"a\", en posant \"f(a) = \alpha\". Alors \"f\" est d\u00e9rivable en<\/p>\n

\"a\" et \"f '(a) = \beta\".<\/p>\n

\"\bullet\" Une \u00e9quation<\/a> de la tangente en \"(a , f(a) )\" est \"y = \alpha + \beta (x - a)\".<\/p>\n

Pour \u00e9tudier la position par rapport \u00e0 la tangente, on \u00e9tudie le signe de \"f(x) - y\" :<\/p>\n

\"\ast\" si \"\gamma \neq 0\" , le signe de \"f(x) - y\" est le signe de \"\gamma (x - a)^2\" donc le signe de \"\gamma\" pour \"\vert x - a\vert\" assez petit.<\/p>\n

\"\ast\" si \"\gamma = 0\", il faut refaire le DL de \"f\" \u00e0 un ordre plus \u00e9lev\u00e9 et dans le cas o\u00f9 l’on a obtenu<\/p>\n

\"\displaystyle f(x) - y \underset {x \to a} \sim \alpha_p (x - a) ^p\",<\/p>\n

\"f(x) - y\" est alors du signe de \"\alpha_p (x - a) ^p\" pour \"\vert x - a\vert\" assez petit.<\/p>\n

Lorsque \"p\" est impair, \"f(x) - y\" change de signe en \"a\" : la courbe traverse sa tangente en \"(a , \, f(a))\", on dit que le graphe \"\Gamma\" admet un\u00a0point d’inflexion\u00a0<\/i>en \"(a , \, f(a))\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0\u00c9tude des points critiques<\/b> : (points tels que \"f'(a) = 0\").<\/p>\n

Dans le cas o\u00f9 l’on peut trouver \"p \geq 2\" et \"\alpha \neq 0\" tels que \"\quad \quad \quad f(x) - f(a) \displaystyle \underset {x \to a} \sim \alpha\, (x - a) ^p\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"p\" est pair, \"f\" admet un maximum local en \"a\" si \"\alpha > 0\" et un minimum local si \"\alpha < 0\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"p\" est impair, \"f(x) - f(a)\" change de signe en \"a\", la courbe traverse sa tangente en \"(a , f(a))\", on a un point d’inflexion \u00e0 tangente horizontale.<\/p>\n

(on trouve \"p\" et \"\alpha\" en utilisant un DL en \"a\"de \"f\").<\/p>\n

5.5. Utilisation des DL dans l’\u00e9tude des asymptotes obliques<\/b><\/p>\n

On pose \"\displaystyle t = \frac 1 x\" et on calcule le DL de \"\displaystyle t \mapsto t f \left ( \frac 1 t \right )\" \u00e0 l’ordre \"2\" quand \"t\" tend vers 0.<\/p>\n

On obtient une expression de la forme<\/p>\n

\"\displaystyle t\, f \left ( \frac 1 t \right ) \underset {t \to 0} {=} a + b\, t + c\, t^2 + \textrm{o} (t^2 )\" soit \"\displaystyle .<\/p>\n

La courbe repr\u00e9sentative \"\Gamma\" de \"f\" admet une asymptote \"\Delta\" d’\u00e9quation \"\quad \quad \quad \quad y = a\, x + b\".<\/p>\n

Pour \"c \neq 0\" , le signe de \"f(x) - a\, x - b\" est celui de \"\displaystyle \frac c x\" et il donne la position de la courbe par rapport \u00e0 l’asymptote.<\/p>\n

Dans le cas \"c = 0\", il faut refaire le DL de \"\displaystyle t \mapsto t \, f \left ( \frac 1 t \right )\" \u00e0 un ordre plus \u00e9lev\u00e9.<\/p>\n

Exemple <\/i><\/p>\n

\u00c9tude des branches infinies de \"\quad f : x \mapsto (x + a) \, \textrm{e} ^{1/x}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"f : x \mapsto (x + a) \, \textrm{e} ^{1/x}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\".<\/em><\/p>\n

On note \"t = \displaystyle \frac 1 x\", \"\displaystyle t\, f \left ( \frac 1 t \right ) = (1 + a\, t) \, \textrm{e} ^t\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Pour \u00e9viter un calcul suppl\u00e9mentaire qui serait d\u00fb \u00e0 une valeur de \"a\" annulant le coefficient de \"t^2\", on prend la pr\u00e9caution de calculer le d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre 3 et non 2. <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle t \, f \left ( \frac 1 t \right ) \underset {t \to 0} = (1 + a\, t) \,\" \"\displaystyle\quad \quad \quad \quad \quad \times\left ( 1 + t + \frac {t ^2} 2 + \frac {t ^3} 6 + \textrm{o} (t ^3) \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle t \, f \left ( \frac 1 t \right )\underset {t \to 0} = 1 + (a+ 1) \, t + \left (\frac 1 2 + a \right ) t ^2\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \left ( \frac 1 6 + \frac a 2 \right ) \, t ^3 + \textrm{o} (t ^3)\"<\/em><\/p>\n

donc <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f (x) \underset {x \to \infty} = x + (a+ 1) + \left (\frac 1 2 + a \right ) \frac 1 x \" \"\displaystyle \quad \quad \quad\quad + \, \left ( \frac 1 6 + \, \frac a 2 \right ) \,\frac 1 {x^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x^2} \right )\"<\/em><\/p>\n

ce qui donne \"\displaystyle \lim _ {x \to \infty} f(x) - x - a - 1 = 0\"<\/em><\/p>\n

La droite \"\Delta\" d’\u00e9quation \"y = x + a + 1\" est asymptote \u00e0 la courbe \"\Gamma\".<\/em><\/p>\n

On \u00e9tudie le signe de \"f(x) - y\" au voisinage de \"\infty\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"a \neq - 1/2\", \"\displaystyle f (x) - x - a - 1 \underset {x \to \infty} \sim \left (\frac 1 2 + a \right ) \frac 1 x\"<\/em><\/p>\n

au voisinage de \"\infty\", \"f(x) - y\" est du signe de \"(2\, a + 1) x\" <\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"a > - 1/2\", la courbe est au dessus de l’asymptote si \"x \to + \infty\" et en dessous si \"x \to - \infty\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"a < - 1/2\", la courbe est au dessus de l’asymptote si \"x \to - \infty\" et en dessous si \"x \to + \infty\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" si \"a = - 1 /2\", <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f (x) \underset {x \to \infty} = x + \frac 1 2 - \frac 1 {12}\frac 1 {x ^2 } + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x^2} \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x) - x - \frac {1 } 2 \underset {x \to \infty } \sim - \frac 1 {12}\frac 1 {x ^2 }\" donc est n\u00e9gatif au voisinage de l’infini.<\/em><\/p>\n

La courbe est situ\u00e9e sous l’asymptote.\u00a0<\/em><\/p>\n

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