{"id":37625,"date":"2019-11-01T19:18:13","date_gmt":"2019-11-01T18:18:13","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37625"},"modified":"2024-08-02T11:26:48","modified_gmt":"2024-08-02T10:26:48","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-developpements-limites-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-developpements-limites-maths-sup\/","title":{"rendered":"D\u00e9veloppements limit\u00e9s en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercices corrig\u00e9s sur les D\u00e9veloppements limit\u00e9s en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Exercices corrig\u00e9s : D\u00e9veloppement asymptotique<\/h2>\n

Plan des exercices sur le d\u00e9veloppement asymptotique :<\/span><\/h2>\n
\n

1. D\u00e9duction d’une somme d’un calcul de DL
\n2. D\u00e9monstration d’une \u00e9quivalence
\n3. D\u00e9veloppement asymptotique<\/a> d’une suite
\n4.\u00a0D\u00e9veloppement asymptotique d’une suite implicite, exemple 1
\n5.\u00a0D\u00e9veloppement asymptotique d’une suite implicite, exemple 2
\n6. Sur le DL de la fonction th<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

1. D\u00e9duction d’une somme \u00e0 l’aide des DL en MPSI, PCSI, MP2I et PTSI<\/h2>\n

Si \"n\" et \"k\" sont deux entiers naturels, on note \"S(n , k) = \displaystyle \sum _ {p = 0 } ^n \binom n p ( - 1) ^p p ^k\".<\/p>\n

Calculer \"S(n,k)\" en distinguant les cas \"k\leq n - 1\", \"k = n\" et \"k = n + 1\" et \"k = n + 2\" .
\n
\nIndication<\/i>\u00a0: d\u00e9river la fonction<\/a> \"f : x \mapsto (1 - \textrm {e} ^x)^n\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\bullet\" En utilisant le bin\u00f4me de Newton :<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x) = \sum_ {p = 0} ^n \binom {n} p (- 1) ^p \textrm{e} ^{p \, x}\" <\/em><\/p>\n

puis en d\u00e9rivant \"k\" fois : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f^{k} (x) = \sum_ {p = 0} ^n \binom {n} p (- 1) ^p p ^k \textrm{e} ^{p \, x}\" <\/em><\/p>\n

et en prenant la valeur en \"0\" : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f^{k} (0) = \sum_ {p = 0} ^n \binom {n} p (- 1) ^p p ^k = S(n , k)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On calcule ensuite le DL de \"f\" \u00e0 l’ordre \"n + 2\" <\/em><\/p>\n

Pas de panique, il doit y avoir une astuce <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle 1 - \textrm {e} ^{x} \underset {x \to 0} = - x - \frac {x ^2} 2 + \frac {x^3} 6 + \textrm{o}(x ^3 )\" <\/em><\/p>\n

\"f(x) \displaystyle \underset {x \to 0} = (- x) ^n \left ( 1 + \frac x 2 + \frac {x ^2 } 6 + \textrm{o} (x ^2) \right ) ^n\"<\/em><\/p>\n

gr\u00e2ce \u00e0 la multiplication par \"x ^n\" , le calcul du DL de \"\displaystyle u(x) \underset {x \to 0} =\left ( 1 + \frac x 2 + \frac {x ^2 } 6 + \textrm{o} (x ^2) \right ) ^n\" \u00e0 l’ordre 2 suffit \u00e0 donner le DL de \"f\" \u00e0 l’ordre \"n + 2\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u(x) \underset {x \to 0} = 1 + n \left ( \frac x 2 + \frac {x ^2 } 6 \right )\" \"\quad \quad \quad _displaystyle + \frac {n (n - 1)} 2 \frac {x^ 2 } 4 + \textrm{o} (x ^2)\" <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u(x) \underset {x \to 0} = 1 + \frac {n \, x} 2 + \frac {n(3 \, n + 1) } {24 } \, x ^2 + \textrm{o} (x ^2)\"\u00a0<\/em>
\ndonc <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = (- 1) ^n \left ( x ^n + \frac {n } 2 \, x^{n + 1 } + \frac {n(3 \, n + 1) } {24 } \, x ^{n + 2} + \textrm{o} (x ^{n + 2})\right )\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Gr\u00e2ce \u00e0 a formule de Taylor Young, on obtient par unicit\u00e9 du DL <\/em><\/p>\n

\"f ^{(k)} (0) = 0\" si \"k \leq n - 1\" soit \"S(n , k) = 0\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \frac {f ^{(n)}(0)} {n !} = (- 1) ^n\"\"\Rightarrow S(n , n) = n!\, (- 1) ^n\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \frac {f ^{(n + 1 )}(0)} {(n + 1) !} = (- 1) ^n \frac {n } 2\" <\/em><\/p>\n

soit \"\quad \quad \displaystyle S(n , n + 1 ) = \frac {(- 1) ^n n \, (n + 1)!} 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \frac {f ^{(n + 2 )}(0)} {(n + 2) !} = (- 1) ^n \frac {n(3 \, n + 1) } {24 } </em> soit \"\displaystyle S(n , n + 2 ) = \frac {(- 1) ^n \, n (3 \, n + 1) \, (n + 2) !} {24}\"\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Question 2 <\/b><\/p>\n

\u00c9crire un d\u00e9veloppement asymptotique en \"\displaystyle \frac 1 {n ^3}\" de \"u_n\"<\/p>\n

2. Pour d\u00e9montrer une \u00e9quivalence avec les d\u00e9veloppements limit\u00e9s en sup<\/h2>\n

Question 1<\/strong><\/p>\n

Soit \"f : x \mapsto \ln(1 + x) - x\".<\/p>\n

Montrer que \"f\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R} ^{+}\" sur \"] - \infty, \, 0]\".<\/p>\n

Trouver un \u00e9quivalent simple de \"f\" en \"0\".<\/p>\n

Correction de la question 1<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

\"f\" est continue sur \"[0 , \, + \infty[\" , \"f '(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x} - 1 = \frac {- x} {1 + x} < 0\" si<\/em><\/p>\n

\"x > 0\", donc \"f\" est strictement d\u00e9croissante sur \"[0 , +\infty[\".<\/em><\/p>\n

\"f(0) = 0\" et \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) =- \infty\" <\/em><\/p>\n

\"f\" d\u00e9finit une bijection de \"[0 , +\infty[\" sur \"]- \infty ,\, 0]\".<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = x - \frac {x ^2} 2 + x + \textrm{o}(x ^2)\" <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0}\sim - \frac {x ^2} 2\".<\/em><\/p>\n

Question 2 <\/b><\/p>\n

Soit \"(x_n)_n\" une suite de r\u00e9els telle que<\/p>\n

\"\displaystyle f(x_n) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right )\".<\/p>\n

Montrer que \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \, x_n ^2 = 0\".<\/p>\n

Correction de la question 2<\/strong> :<\/p>\n

La suite \"(x_n)_n\" est une suite de r\u00e9els strictement positifs \u00e0 partir d’un certain rang \"N\" car elle est \u00e9quivalente \u00e0 une suite \u00e0 valeurs strictement positives. <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f(x_n) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right )\"\u00a0<\/em><\/p>\n

alors \"x _n = f ^{- 1} (f(x _n))\" admet \"0\" pour limite<\/a> car la suite \"(f(x_n))_n\" converge vers 0 et en utilisant la continuit\u00e9<\/a> de \"f ^ {- 1}\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle x_n ^2 \underset {n \to + \infty} \sim - 2 f(x _n)\" \"\displaystyle x_n ^2 \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left (\frac 1 n \right )\"<\/em><\/p>\n

ce qui donne \"n \, x_n ^2 \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left (1 \right )\"<\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \, x_n ^2 = 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3 <\/b><\/p>\n

Soit \"(a_n)_n\" une suite de r\u00e9els<\/a>. Montrer que les deux propri\u00e9t\u00e9s suivantes sont \u00e9quivalentes :<\/p>\n

\"\ast\" 1) \"a_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (\sqrt{n } )\"<\/p>\n

\"\ast\" 2) \"\displaystyle \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) ^n \underset {n \to + \infty} \sim \textrm{e} ^{- a_n}\"<\/p>\n

Correction de la question 3<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"a_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (\sqrt{n } )\" , <\/em><\/p>\n

alors \"\displaystyle \frac {a_n} n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {\sqrt{n }}\right )\"\u00a0 donc <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u _n \underset {n \to + \infty} = \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) ^n\" donne\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u _n \underset {n \to + \infty} = \exp \left ( n \ln \left ( 1 + \frac {a_n} n \right )\right )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u _n \underset {n \to + \infty} = \exp \left( n \left ( \frac {a_n} n - \frac {a_n^2 } {2 \, n^2 } + \textrm{o} \left ( \frac {a_n^2 } { n^2 } \right ) \right ) \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u _n \underset {n \to + \infty} = \exp \left( {a_n} - \frac {a_n^2 } {2 \, n} + \textrm{o} \left ( \frac {a_n^2 } { n} \right ) \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u _n\underset {n \to + \infty} = \exp (a_n) \, \exp\left ( - \frac {a_n^2 } {2 \, n} + \textrm{o} \left ( \frac {a_n^2 } { n} \right ) \right )\"<\/em><\/p>\n

et comme \"\displaystyle \lim _{n \to + _infty} \exp\left ( - \frac {a_n^2 } {2 \, n} + \textrm{o} \left ( \frac {a_n^2 } { n} \right ) \right ) = 1\"<\/em><\/p>\n

on a prouv\u00e9 que \"\quad \quad \displaystyle \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) ^n \underset {n \to + \infty} \sim \textrm{e} ^{ a_n}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"\quad \quad \displaystyle \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) ^n \underset {n \to + \infty} \sim \textrm{e} ^{- a_n}\" <\/em><\/p>\n

soit \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty } \textrm{e} ^{- a_n } \, \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) ^n = 1\" <\/em><\/p>\n

par continuit\u00e9 de la fonction \"\ln\" : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty } - a_n + n \ln \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) = 0\" <\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle - a_n + n \ln \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (1)\" <\/em><\/p>\n

et par division par \"n\" <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle - \frac{a_n} n + \ln \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right )\" <\/em><\/p>\n

soit \"\displaystyle f(a_n) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right )\" .<\/em><\/p>\n

en utilisant la question 2 , \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \, \frac {a_n ^2} {n ^2} = 0\" <\/em><\/p>\n

ou \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {a_n ^2} {n} = 0\" <\/em><\/p>\n

puis par continuit\u00e9 de la fonction racine carr\u00e9e et la positivit\u00e9 de \"a_n\" ,<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {a_n} {\sqrt{n}} = 0\" <\/em><\/p>\n

\"\Rightarrow a_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (\sqrt{n } )\" .<\/em><\/p>\n

On a \u00e9tabli l’\u00e9quivalence des propri\u00e9t\u00e9s 1) et 2).\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3 <\/b><\/p>\n

On note \"f : x \mapsto x^3 + 3 \, x + 2\".<\/i><\/p>\n

Question 1 <\/i><\/p>\n

\"f\" admet une fonction r\u00e9ciproque \"g\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction de l’exercice 3<\/strong> :<\/p>\n

\"f\" est continue sur \"\mathbb{R}\", strictement croissante car \"\forall \, x \in \mathbb{R} , \; f'(x) > 0\". <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\",\"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"f\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb {R}\" sur \"\mathbb {R}\".<\/em><\/p>\n

Elle admet une fonction r\u00e9ciproque<\/a> \"g\" strictement croissante et d\u00e9finie sur \"\mathbb {R}\".<\/em><\/p>\n

3. D\u00e9veloppement asymptotique d’une suite<\/h2>\n

On note si \"n \in \mathbb{N}, \, u_n = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1 {n!} \sum _ {k = 0} ^n {k!}\"<\/p>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

La suite<\/a> \"(u_n)_n\" converge vers<\/p>\n

Correction de la question 1 <\/strong>:<\/p>\n

On \u00e9crit \"\displaystyle u_n = 1 + \frac {(n - 1)!} {n!} + w_n\"<\/p>\n

avec \"\displaystyle w _ n = \frac 1 {n! } \sum _ {k = 0} ^ {n - 2} {k!}\"<\/p>\n

\"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^ {n - 2} {k!}\" est la somme de \"n - 1\" termes positifs et inf\u00e9rieurs \u00e0 \"(n - 2)!\"<\/p>\n

donc \"\displaystyle 0 \leq \sum _ {k = 0} ^ {n - 2} {k!} \leq (n - 1) \, (n - 2)!\"<\/p>\n

et \"0 \leq w_n \leq \displaystyle \frac 1 n\" \"\Rightarrow \displaystyle \lim_ {n \to + \infty} w_n = 0\",<\/p>\n

ce qui donne \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 1\".<\/p>\n

Question 2<\/b><\/p>\n

\"\displaystyle u_n - L \underset {n \to + \infty} \sim \frac a n\"<\/p>\n

Correction de la question 2<\/strong> :<\/p>\n

\"\displaystyle u_n = 1 + \frac {1} {n} + v_n\" donc \"\displaystyle n(u_n - 1 ) = 1 + n \, v_n\"<\/p>\n

avec \"n \, v_n = \displaystyle \frac {1} {(n - 1)!} \sum _ {k = 0} ^ {n - 1} {k!} = u_{n - 1}\"<\/p>\n

il suffit d’utiliser la question 1 avec \"u_{n - 1}\" :<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n(u_n - 1) = 1\"<\/p>\n

\"\Rightarrow \displaystyle u_n - 1 \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 n\".<\/p>\n

Question 3<\/b><\/p>\n

\u00c9crire un d\u00e9veloppement asymptotique en \"\displaystyle \frac 1 {n ^3}\" de \"u_n\,\".<\/p>\n

Correction de la question 3<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

\"\bullet\" On rappelle que \"n (u_n - 1) = u_{n - 1}\"<\/em><\/p>\n

et \"\displaystyle u_{n - 1} \underset {n\to + \infty} = 1 + \frac 1 {n - 1} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n - 1} \right )\"<\/em><\/p>\n

On utilise le r\u00e9sultat de la question 2 avec \"u_ {n - 1}\". <\/em><\/p>\n

\u00e0 passer de l’expression en \"n - 1\" \u00e0 une expression en \"n\" !\u00a0<\/em><\/p>\n

On transforme l’expression en \"\displaystyle \frac 1 {n - 1}\" <\/em><\/p>\n

et un expression en fonction de \"\displaystyle \frac 1 n\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \frac 1 {n - 1 } \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 {n }\" donc <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{o}\left ( \frac 1 {n - 1} \right ) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o}\left ( \frac 1 {n } \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \frac 1 {n - 1} \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 n\"<\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle \frac 1 {n - 1} \underset {n \to + \infty} = \frac 1 n + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n } \right )\"<\/em><\/p>\n

alors \"\displaystyle n( u_{n} - 1) \underset {n\to + \infty} = 1 + \frac 1 {n} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n} \right )\"<\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle u_{n} \underset {n\to + \infty} = 1 + \frac 1 {n} + \frac 1 {n ^2} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n^2 } \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On r\u00e9it\u00e8re le raisonnement<\/a> :<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u_{n - 1} \underset {n\to + \infty} = 1 + \frac 1 {n - 1} \" <\/em><\/p>\n

\"\quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac 1 {(n - 1)^2 } + \textrm{o}\left ( \frac 1 {(n - 1) ^2} \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \frac 1 {(n - 1)^2 } \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 {n ^2 }\" donc <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{o}\left ( \frac 1 {(n - 1) ^2 } \right ) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o}\left ( \frac 1 {n^2 } \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \frac 1 {(n - 1) ^2 } \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 {n ^2}\"<\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle \frac 1 {(n - 1) ^2 } \underset {n \to + \infty} = \frac 1 {n ^2} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n^2 } \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \frac 1 {n - 1 } = \frac 1 n \, \frac 1 {1 - 1/n}\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {n - 1 } \underset {n \to + \infty} = \frac 1 {n} + \frac 1 {n ^2} +\textrm{o}\left ( \frac 1 {n^2 } \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" en conclusion <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle n(u _n - 1) \underset {n \to + \infty} = 1 + \frac 1 n + \frac 2 {n ^2} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n^2 } \right )\"<\/em><\/p>\n

puis <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u _n \underset {n \to + \infty} = 1 + \frac 1 n + \frac 1 {n ^2} + \frac 2 {n ^3} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n^3 } \right )\"<\/em><\/p>\n

On pourrait bien s\u00fbr pour suivre pour un d\u00e9veloppement asymptotique d’ordre plus \u00e9lev\u00e9 ! <\/em><\/p>\n

C’est une m\u00e9thode classique.<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

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\u00a0<\/em><\/p>\n

4. D\u00e9veloppement asymptotique d’une suite implicite, exemple 1<\/h2>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

Montrer que pour tout \"n \in \mathbb{N }\", l’\u00e9quation<\/a> \"\textrm{e} ^x + x - n = 0\" admet une unique solution r\u00e9elle \"u_n\,\".<\/p>\n

Trouver \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n \,\".<\/p>\n

Correction de la question 1<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

Soit \"f : x \mapsto \textrm{e} ^x + x\" est une fonction continue strictement croissante sur \"\mathbb{R}\" admettant \"- \infty\" pour limite en \"- \infty\" et <\/em><\/p>\n

\"+ \infty\" pour limite en \"+\infty\".<\/em><\/p>\n

Donc \"f\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"\mathbb{R}\". <\/em><\/p>\n

L’\u00e9quation \"f(x) = n\" admet donc une unique solution \"u_n = f ^{- 1}(n)\".<\/em><\/p>\n

Comme \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f ^{- 1}(x) = + \infty\", <\/em><\/p>\n

alors \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b><\/p>\n

\"u_n \underset {n \to + \infty} \sim a\, \ln(n)\"<\/p>\n

Correction de la question 2<\/strong> :<\/p>\n

\"\textrm{e} ^{u_n} + u_n = n\,\". <\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On commence par d\u00e9terminer \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \frac {u_n} n\". <\/em><\/p>\n

La relation de d\u00e9finition donne <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac {\textrm{e} ^{u_n}} {u_n} + 1 = \frac {u_n} n \"<\/em><\/p>\n

avec \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \frac {\textrm{e} ^{u_n}} {u_n} = +\infty\" <\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \frac {n}{u_n} = +\infty\"<\/em><\/p>\n

et alors \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \frac {u_n} n = 0\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On \u00e9crit la relation \"\textrm{e} ^{u_n} = n - u_n\" sous la forme : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u_n = \ln (n - u_n ) = \ln n + \ln \left ( 1 - \frac {n} {u_n} \right )\"\u00a0<\/em><\/p>\n

comme \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \ln \left ( 1 - \frac {u_n} n \right )= 0\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \ln \left ( 1 - \frac {u_n} n \right ) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (1)\".<\/em><\/p>\n

Alors \"\displaystyle u_n = \ln (n - u_n ) \underset {n \to + \infty} = \ln n + \textrm{o} (1)\"\u00a0<\/em><\/p>\n

On a prouv\u00e9 que : \"\displaystyle u_n \underset {n \to + \infty} \sim \ln n\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b><\/p>\n

Trouver \"b \in \mathbb{R}\" tel que<\/p>\n

\"\displaystyle u_n \underset {n \to + \infty} = \ln n + b \frac {\ln n } n + \textrm{o} \left ( \frac {\ln n} n \right )\"<\/p>\n

Correction de la question 3<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

\"\bullet\" On avait trouv\u00e9 <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u_n = \ln n + \ln \left ( 1 - \frac {u_n} n \right )\" <\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle u_n - \ln n = \ln \left ( 1 - \frac {u_n} n \right )\"<\/em><\/p>\n

avec \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty}\frac {u_n} n = 0\"<\/em><\/p>\n

En utilisant \"\ln(1 - t) \underset {t \to 0} \sim - t\", <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u_n - \ln n \underset{n \to + \infty} \sim - \frac {u_n} n\"<\/em><\/p>\n

et par l’\u00e9quivalent de la question pr\u00e9c\u00e9dente : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u_n - \ln n \underset{n \to + \infty} \sim - \frac {\ln n } n\"<\/em><\/p>\n

ce qui s’\u00e9crit <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u_n \underset {n \to + \infty} = \ln n - \frac {\ln n} n + \textrm{o} \left ( \frac {\ln n} n \right )\".\u00a0<\/em><\/p>\n

5. D\u00e9veloppement asymptotique d’une suite implicite, exercice 2<\/h2>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

Soit \"n \in \mathbb{N}^*\", montrer que l’\u00e9quation \"\tan(t) = t\" admet une unique solution \"u_n\" dans \"I_n =\; ]n \, \pi , \, n \, \pi + \pi / 2 [\".<\/p>\n

D\u00e9terminer la limite de la suite \"(u_n)_n\"<\/p>\n

Correction de la question 1<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

\"\bullet\" \"f : t \mapsto \tan(t) - t\" est continue sur \"[n \, \pi , \, n \, \pi + \pi / 2 [\", strictement croissante car \"f'(t) = \tan^2(t) > 0\" sur \"I_n\" , v\u00e9rifie \"f(n \, \pi) = - n \, \pi < 0\" et <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to n\pi + \pi/2} f(x) = + \infty\".<\/em><\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de la bijection, il existe un unique \"u_n \in I_n\" tel que \"f(u_n) = 0\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Comme \"n \, \pi < u_n < n\, \pi + \pi / 2\", par minoration, <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty\".<\/em><\/p>\n

Puis en divisant par \"n \, \pi > 0\", <\/em><\/p>\n

\"\quad \quad \quad \quad \displaystyle 1 < \frac {u_n} {n \, \pi} < 1 + \frac 1 {2 \, n}\". <\/em><\/p>\n

Par encadrement \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n} {n \, \pi} = 1\" <\/em><\/p>\n

ce qui se traduit par \"\displaystyle u_n \underset{n \to + \infty} \sim n \, \pi\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b><\/p>\n

Montrer que la suite \"(u_n - n \pi)_n\" converge et d\u00e9terminer sa limite.<\/p>\n

Correction de la question 2<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

On \u00e9crit la relation \"\tan(u_n) = u_n\" sous la forme \"\tan(u_n - n \, \pi) = u_n\"<\/em><\/p>\n

puis \"\textrm{Arctan}( \tan(u_n - n \, \pi)) = \textrm{Arctan}( u_n)\"<\/em><\/p>\n

avec \"u_n - n \pi \in \; ]0 , \, \pi/2[\", ce qui permet de simplifier : \"u_n - n \, \pi = \textrm{Arctan}( u_n)\"<\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n - n \, \pi = \frac {\pi} 2\" <\/em><\/p>\n

car \"\displaystyle \lim _ {x \to + \infty} \textrm{Arctan}(x) = \frac {\pi} 2\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b><\/p>\n

Trouver un d\u00e9veloppement asymptotique de \"u_n\" en \"\displaystyle \frac 1 {n ^3}\" de \"u_n\, \".<\/p>\n

Correction de la question 3<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

\"\bullet\" \"u_n - n \, \pi = \textrm{Arctan}( u_n)\".<\/em><\/p>\n

On peut \u00e9crire puisque \"u_n > 0\", <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u_n - n \, \pi = \textrm{Arctan}( u_n)\" \"\displaystyle u_n - n \, \pi = \frac {\pi} 2 - \textrm{Arctan}\left ( \frac 1 { u_n} \right )\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On note \"\displaystyle v_n = u_n - n \, \pi - \frac {\pi} 2\".<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle v_n = - \textrm{Arctan}\left ( \frac 1 { u_n} \right )\".<\/em><\/p>\n

En utilisant \"\textrm{Arctan}(x) \underset {x \to 0} \sim x\",\u00a0 <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle v_n \underset {n \to +\infty} \sim - \frac 1 { u_n} \underset {n \to +\infty} \sim \frac {-1} { n \, \pi }\" <\/em><\/p>\n

ce qui permet d’\u00e9crire que <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u_n \underset {n \to +\infty} = n \, \pi + \frac {\pi} 2 - \frac {1} { n \, \pi } + \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right )\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" On r\u00e9it\u00e8re le raisonnement en \u00e9crivant <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u_n \underset {n\to + \infty} = n \, \pi \left ( 1 + \frac {1 } {2 \, n} - \frac 1 {n ^2 \, \pi^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^2} \right ) \right )\"<\/em><\/p>\n

donc \"\displaystyle \frac 1 {u_n} \underset {n\to + \infty} = \frac 1 {n \, \pi} \, \frac 1 {1 + t_n }\" <\/em><\/p>\n

avec \"\displaystyle t_n = \frac {1 } {2 \, n} - \frac 1 {n ^2 \, \pi^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^2} \right )\"<\/em>
\nde limite nulle.<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {1 + t_n } \underset {n\to + \infty} = 1 - t_n + t_n^2 + \textrm{o} (t_n^2)\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {1 + t_n } \underset {n\to + \infty} = 1 - \frac {1 } {2 \, n} + \frac {1} { n ^2 \, \pi^2} \" <\/em><\/p>\n

\" \displaystyle + \frac 1 {4 \, n ^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^2} \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \underset {n\to + \infty} = 1 - \frac {1 } {2 \, n} + \frac {\pi^2 + 4} {4 \, n ^2 \, \pi^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^2} \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {u_n } \underset {n\to + \infty} = \frac 1 {n \, \pi} - \frac {1 } {2 \, n^2 \, \pi } + \frac {\pi^2 + 4} {4 \, n ^3 \, \pi^3}\" <\/em><\/p>\n

\" \displaystyle + \; \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^3} \right )\"<\/em><\/p>\n

Puis comme \"\displaystyle \textrm{Arctan}(x) \underset {x \to 0} = x - \frac {x ^3}3 + \textrm{o} (x^3)\", <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{Arctan} \left ( \frac 1 {u_n } \right ) \underset {n\to + \infty} = \frac 1 {n \, \pi} - \frac {1 } {2 \, n^2 \, \pi }\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad + \, \frac {\pi^2 + 4} {4 \, n ^3 \, \pi^3} - \frac 1 {3 \, n ^3 \, \pi^3} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^3} \right )\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{Arctan} \left ( \frac 1 {u_n } \right ) \underset {n\to + \infty} = \frac 1 {n \, \pi} - \frac {1 } {2 \, n^2 \, \pi}\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \frac {3 \pi^2 + 8} {12 \, n ^3 \, \pi^3} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^3} \right )\"<\/em><\/p>\n

et <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle u _n \underset {n\to + \infty} = n \, \pi + \frac {\pi} 2 - \frac 1 {n \, \pi} + \frac {1 } {2 \, n^2 \, \pi}\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \frac {3 \pi^2 + 8} {12 \, n ^3 \, \pi^3} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^3} \right )\".<\/em><\/p>\n

6. Sur le DL de la fonction th en MPSI, PCSI, PTSI et MP2I<\/h2>\n

On rappelle que \"\textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{sh}(x)} {\textrm{ch}(x)}\".<\/p>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

Justifier que l’on peut \u00e9crire \"\displaystyle \textrm{th}(x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n a _ k \, x^{2 k + 1} + \textrm{o}(x ^{2 n + 2})\"<\/p>\n

Correction de la question 1<\/strong> :<\/p>\n

La fonction th est de classe \"C ^{\infty}\" sur \"\mathbb{R}\" et impaire, elle admet donc un DL \u00e0 tout ordre en \"0\" ne contenant que des puissances impaires.<\/em><\/p>\n

Question 2 <\/b><\/p>\n

En utilisant \"\textrm{sh}(x) = \textrm{ch}(x)\, \textrm{th}(x)\", exprimer si \"n \geq 1\", \"a _n\" en fonction des \"(a_k)_{0 \leq k \leq n - 1}\, \" et de factorielles.<\/p>\n

Correction de la question 2<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

On note \"\displaystyle \textrm{ch}(x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{n} b _ k \, x^{2 k} + \textrm{o}(x ^{2 n + 1})\" <\/em><\/p>\n

avec \"b _ k = \displaystyle \frac 1 {(2 \, k)!}\"<\/em><\/p>\n

Et on rappelle que \"\displaystyle \textrm{sh}(x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{n + 1} \frac {x ^{2\, k + 1} }{(2 \, k + 1)!} + \textrm{o}(x ^{2 n + 2})\"<\/em><\/p>\n

Par produit de deux DL \u00e0 l’ordre \"2 n + 1\" dont l’un ne continent que des puissances paires et l’autre des puissances impaires, on obtient un DL ne contenant que des puissances impaires : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{ch}(x) \; \textrm{th}(x)\underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{n } c _ k \, x^{2 k} + \textrm{o}(x ^{2 n + 1})\" avec \"c _ k = \displaystyle \sum _{2 i + 1 + 2 j = 2 k + 1} b _{i} \, a _ j\"<\/em><\/p>\n

donc \"c_n = \displaystyle \sum _{i + j =k } b _{i} \, a _ j\"<\/em><\/p>\n

puis en posant \"i = b - j\",<\/em><\/p>\n

\"c_n = \displaystyle \sum _{j = 0} ^n b _{n - j} \, a _ j\"<\/em><\/p>\n

et par unicit\u00e9 du DL, <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {(2 \, n + 1)!} = \sum _{j = 0} ^n b _{n - j} \, a _ j\"<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {(2 \, n + 1)!} = \sum _{j = 0} ^n \frac 1 {(2 \, n - 2 \, j + 1)!} \, a _ j\"<\/em><\/p>\n

donc <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac 1 {(2 \, n + 1)!} = \sum _{j = 0} ^{n - 1} \frac {a_j} {(2 \, n - 2 \, j + 1)!}+ a_n\"<\/em><\/p>\n

ce qui donne \"a _n = \displaystyle \frac 1 {(2 \, n + 1)!} - \sum _{j = 0} ^{n - 1} \frac {a _ j} {(2 \, n - 2 \, j + 1)!}\"<\/em><\/p>\n

Question 3 <\/b><\/p>\n

En utilisant une \u00e9quation diff\u00e9rentielle d’ordre 1 v\u00e9rifi\u00e9e par th, trouver une autre expression de \"a _n\" en fonction des \"(a_k)_{0 \leq k \leq n - 1} \,\".<\/p>\n

Correction de la question 3 :<\/strong><\/p>\n

Pour tout r\u00e9el \"x\", \"f'(x) = 1 - f ^2(x)\" si l’on note \"f : x \mapsto \textrm{th}(x)\". <\/em><\/p>\n

On rappelle que \"\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{n } a _ k \, x^{2 k + 1} + \textrm{o}(x ^{2 n + 1})\"<\/em><\/p>\n

Comme la fonction<\/a> \"f\" est de classe \"C ^{\infty}\", on obtient le DL de \"f'\" \u00e0 l’ordre \"2 \, n\" en d\u00e9rivant le DL de \"f\"<\/em><\/p>\n

\u00e9crit \u00e0 l’ordre \"2\, n + 1\"<\/em><\/p>\n

\"f'(x) \displaystyle \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{n } (2 \, k + 1) \, a _ k \, x^{2 k } + \textrm{o}(x ^{2 n })\"<\/em><\/p>\n

Puis on \u00e9crit le D de \"f ^2\" \u00e0 l’ordre \"2 \, n\" en faisant le produit de deux DL \u00e9crits \u00e0 l’ordre \"2 \, n\", le r\u00e9sultat ne contient que des puissances paires : <\/em><\/p>\n

\"\displaystyle f ^2(x) \underset {x \to 0} = \sum _ {k = 0} ^n d_n \, x^{2 \, k} + \textrm{o} (x ^{2 \, n})\"<\/em><\/p>\n

avec si \"n \geq 1\", \"d _ n = \displaystyle \sum _{2 i + 1 + 2 j + 1 = 2 n } a _{i} \, a _ j\"<\/em><\/p>\n

\"d _ n = \displaystyle \sum _{ i + j = n - 1 } a _{i} \, a _ {j} = \sum _{ i = 0} ^{ n - 1 } a _{i} \, a _ {n - i - 1}\"<\/em><\/p>\n

En \u00e9galant si \"n \geq 1\" les coefficients de \"x ^{2\, n}\" dans l’\u00e9criture des DL de la relation \"f'(x) = 1 - f ^2(x)\" , <\/em><\/p>\n

on obtient \"(2\, n + 1) a_n = - \displaystyle \sum _{ i = 0 }^{ n - 1 } a _{i} \, a _ {n - i - 1}\"<\/em><\/p>\n

donc \"a_n = \displaystyle -\frac {- 1} {2 \, n + 1} \sum _{ i = 0} ^{ n - 1 } a _{i} \, a _ {n - i - 1} \,\".<\/em><\/p>\n

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