{"id":37642,"date":"2019-11-04T13:17:12","date_gmt":"2019-11-04T12:17:12","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37642"},"modified":"2023-09-15T18:33:04","modified_gmt":"2023-09-15T17:33:04","slug":"cours-en-ligne-fractions-rationnelles-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-fractions-rationnelles-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur les Fractions rationnelles en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Fractions rationnelles en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Fractions rationnelles en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1. Utiliser les propri\u00e9t\u00e9s et d\u00e9finitions
\n2. D\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{C}\"
\n3. D\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{R}\"
\n4. M\u00e9thodes de calcul.<\/p>\n

 <\/p>\n

1. Utiliser les propri\u00e9t\u00e9s et d\u00e9finitions<\/h3>\n

1.1. Propri\u00e9t\u00e9s de<\/b>\u00a0\"\mathbb{K}(\textrm{X})\"
\n\"\mathbb{K}\" d\u00e9signe un corps commutatif (\"\mathbb{Q} \,,\, \mathbb{R}\,, \, \mathbb{C})\".<\/p>\n

\"\mathbb{K}(\textrm{X})\" est l’ensemble<\/a> des fractions rationnelles, soit l’ensemble des quotients \"\displaystyle \frac P Q\" o\u00f9 \"\quad (P , \, Q) \in \mathbb{K}[\textrm{X} ] \times \left ( \mathbb{K}[\textrm{X} ] \setminus \{0\} \right)\"
\n\"\bullet\" \"\displaystyle \frac P Q = \frac R S \Leftrightarrow P \, S = Q \, R\".
\nOn dit alors que \"\displaystyle \frac P Q\" et \"\displaystyle \frac R S\" sont deux repr\u00e9sentants de la fraction rationnelle.
\n\"\bullet\" \"\mathbb{K}[\textrm{X} ] \subset \mathbb{K}(\textrm{X} )\"
\n\"\bullet\"\u00a0\"\mathbb{K}(\textrm{X})\" est un corps commutatif, l’addition et la multiplication \u00e9tant d\u00e9finies :
\nSi \"\displaystyle \frac {P} {Q}\" et \"\displaystyle \frac {R} {S}\"\u00a0 sont \u00e9l\u00e9ments de\u00a0\"\mathbb{K}(\textrm{X})\"
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \frac {P} {Q} + \frac {R} {S} = \frac {P \, S + Q \, R} {Q \, S}\".
\n\"\quad \ast\" \"\displaystyle \frac {P} {Q} \times \frac {R} {S} = \frac {P \, R} {Q \, S}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"F \in \mathbb{K}(\textrm{X})\" et \"F\neq 0\", il existe un unique couple \"(P , Q) \in \mathbb{K} [\textrm{X} ]^2\" tel que
\n\"\quad \ast\" \"P \, Q \neq 0\",
\n\"\quad \ast\" \"P\" et \"Q\" n’ont pas de racine commu- ne dans \"\mathbb{K}\"
\n\"\quad \ast\" \"Q\" est unitaire.
\nOn dit que \"\displaystyle \frac P Q\" est la\u00a0forme irr\u00e9ductible<\/i>\u00a0de \"F\".
\nAu second semestre, on dira que \"P\" et \"Q\" sont premiers entre eux dans \"\mathbb{K}[\textrm{X} ]\".
\nToute autre repr\u00e9sentation de \"F\" est de la forme \"\displaystyle \frac {P \, U} {Q \, U}\" o\u00f9 \"U \in \mathbb{K}[\textrm{X} ]\", \"U \neq 0\".<\/p>\n

1.2. P\u00f4les<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"\displaystyle \frac P Q \in \mathbb{K}[\textrm{X} ]\" \u00e9crite sous forme irr\u00e9ductible.
\n\"\ast\" Le nombre de racines dans \"\mathbb{K}\" de \"Q\" est un ensemble fini \"\Delta\" fini.
\nOn d\u00e9finit la\u00a0fonction<\/a> rationnelle\u00a0<\/i>associ\u00e9e \u00e0 \"\displaystyle \frac P Q\" par \"\quad \quad F : \mathbb{K} \setminus \Delta \to \mathbb{K}, \, x \mapsto \displaystyle \frac {P(x)} {Q(x)}\".
\n\"\ast\" Si \"F = \displaystyle \frac U V\" et si \"V(x) \neq 0\", \"F(x) = \displaystyle \frac {U(x)} {V(x)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"\displaystyle R = \frac P Q \in \mathbb{K}[\textrm{X} ]\" \u00e9crite sous forme irr\u00e9ductible.
\nLes\u00a0p\u00f4les\u00a0<\/i>de \"R\" sont les racines dans de \"Q\".
\nSi \"a\" est racine d’ordre \"k\" de \"Q\" dans \"\mathbb{K}\", on dit que \"a\" est\u00a0p\u00f4le d’ordre\u00a0<\/i>\"k\" de \"R\".
\n\"\ast\" Si \"k = 1\", on dit que \"a\" est un\u00a0p\u00f4le simple.<\/i>
\n\"\ast\" Si \"k = 2\", on dit que \"a\" est un\u00a0p\u00f4le double.<\/i><\/p>\n

1.3. Degr\u00e9\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"F = \displaystyle \frac P Q \in \mathbb{K}[\textrm{X} ]\".
\n\"\ast\" si \"F\neq 0\", le degr\u00e9 de \"F\" est d\u00e9fini par \"\textrm{deg } (F) = \textrm{deg } (P) - \textrm{deg } (Q) \in \mathbb{Z}\"
\n\"\ast\" si \"F = 0\", on pose \"\textrm{deg}(F) = - \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"F\" et \"G\" sont deux fractions rationnelles, \"\; \; \textrm{deg }(F + G) \leq \max \left ( \textrm{deg } F\, ,\, \textrm{deg } G \right )\".<\/p>\n

1.4. Partie enti\u00e8re\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"\displaystyle F =\frac P Q \in \mathbb{K}[\textrm{X} ]\",\u00a0il existe \"E \in \mathbb{K} [\textrm{X} ]\" et \"R \in \mathbb{K}(X)\" uniques tels que\u00a0\u00a0\"\displaystyle \frac P Q = E + G\" avec \"\textrm{deg } (G) < 0\".
\n\"\ast\" On dit que \"E\" est la\u00a0partie enti\u00e8re\u00a0<\/i>de \"F\". \"E\" est \u00e9gal au quotient de la division euclidienne<\/a> de \"P\" par \"Q\".
\n\"\ast\" \"G = \displaystyle \frac {R} Q\" o\u00f9 \"R\" est le reste de la division euclidienne de \"P\" par \"Q\".<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2.D\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{C}\"<\/h3>\n
\n

Soit \"\displaystyle F = \frac P Q\" une fraction irr\u00e9ductible non nulle \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{C}\".<\/p>\n

On d\u00e9compose \"Q\" en produit<\/a> de facteurs irr\u00e9ductibles dans \"\mathbb{C} [\textrm{X}]\" :\u00a0\"\quad \quad \quad Q = \displaystyle \prod _ {k = 1} ^n (\textrm{X} - a_k) ^{\alpha_ k}\".<\/p>\n

Il existe un unique \"E \in \mathbb{C} [\textrm{X} ]\" et une unique famille de complexes<\/a> \"\quad \quad (\lambda _ {j , k} ) _ {(j , k) \in [\![1 , \alpha _ k]\!] \times [[1 ,\, n]]}\"
\ntels que
\n\"\quad \displaystyle \frac P Q = E+ \sum _ {k = 1} ^n \left ( \sum_{j = 1} ^{\alpha _ k} \frac {\lambda _{j , k }} {(\textrm{X} - a_k) ^j} \right )\"
\nDe plus \"\displaystyle \prod _{k = 1 } ^{n} \lambda_{\alpha _ k\, , \, k } \neq 0\".
\n\"E\" est la partie enti\u00e8re de la fraction \"F\".<\/p>\n

\"\displaystyle \sum_{j = 1} ^{\alpha _ k} \frac {\lambda _{j , \alpha_k} } {(\textrm{X} - a_k) ^j}\" est\u00a0la partie polaire relative au p\u00f4le<\/i>\u00a0\"a_k\".
\nh.p : \"\lambda_{1 , k}\" est le r\u00e9sidu (d’ordre 1) du p\u00f4le \"\alpha_k\,\" .<\/p>\n

3. D\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{R}\"<\/h3>\n

Soit \"F = \displaystyle \frac P Q\" une fraction irr\u00e9ductible non nulle \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

On d\u00e9compose \"Q\" en produit de facteurs irr\u00e9ductibles dans \"\mathbb{R} [\textrm{X}]\" :
\n\"\displaystyle \prod _ {k = 1} ^n (\textrm{X} - a_k) ^{\alpha_ k} \prod _{k = 1} ^r (\textrm{X} ^2 + p_k \, \textrm{X} + q_k) ^{\beta _ k}\"
\navec \"p_k^2 - 4 \, q _k < 0\" si \"1\leq k \leq r\".<\/p>\n

Il existe un unique \"E \in \mathbb{C} [\textrm{X} ]\" et trois uniques familles de r\u00e9els<\/a> \"(\lambda _ {i , k} ) _ {(i , k) \in [\![1 , \alpha _ k]\!] \times [\![1 ,\, n]\! ]}\"
\net \"(u _ {i , k}\, , \; v_{i,k} ) _ {(i , k) \in [\! [1 , \beta _ k]\!] \times [\![1 ,\, r]\!]}\" tels que
\n\"\displaystyle \frac P Q = E+ \sum _ {k = 1} ^n \left ( \sum_{j = 1} ^{\alpha _ k} \frac {\lambda _{j , k} } {(\textrm{X} - a_k) ^j} \right )\" \"\quad \quad \quad \displaystyle + \,\sum _ {k = 1} ^n \left (\sum _ {j = 1} ^r \frac {u_{j ,k} \,\textrm{X} + v_{j,k} } { (\textrm{X} ^2 + p_k \, \textrm{X} + q_k) ^{j} } \right )\" .<\/p>\n

4. M\u00e9thodes de calcul<\/h3>\n

\"\bullet\" \"E\" est le quotient de la division euclidienne de \"P\" par \"Q\", donc \"E = 0\" si \"\textrm{deg} (P/Q) < 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a\" est p\u00f4le simple de la fraction \"\displaystyle \frac P Q\",
\nla partie polaire relative \u00e0 \"a\" est \"\displaystyle \frac {\lambda} {\textrm{X} - a}\" avec \"\lambda = \displaystyle \frac {P(a)} {Q'(a)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"\displaystyle \frac P Q \in \mathbb{R}(\textrm{X})\" d\u00e9compos\u00e9e en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{C} (\textrm{X})\".
\nSi \"a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}\" est p\u00f4le d’ordre \"\alpha\" de la fraction \"\displaystyle \frac P Q \in \mathbb{R}(\textrm{X})\",\u00a0\u00a0la partie polaire relative \u00e0 \"\overline {a}\" est la conjugu\u00e9e de la partie polaire relative \u00e0 \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a\" est p\u00f4le d’ordre \"\alpha\" de la fraction irr\u00e9ductible \"\displaystyle \frac P Q\", si \"Q = (X - a) ^{\alpha} \, Q_1\" alors le terme \"\displaystyle \frac {\lambda _ {\alpha} } {(\textrm {X} - a) ^\alpha}\" se calcule par \"\lambda _ {\alpha } = \displaystyle \frac {P(a)} {Q_1(a)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas d’une d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples sans partie enti\u00e8re de la forme
\n\"\quad \displaystyle \frac P Q = \sum _ {k = 1} ^n \left ( \sum_{j = 1} ^{\alpha _ k} \frac {\lambda _{j , \, k} } {(\textrm{X} - a_k) ^j} \right )\",
\non obtient \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {x \, P(x)} {Q(x)} = \sum _ {k = 1} ^n \lambda_{1, k}\"
\n(on multiplie par \"x\" et on passe \u00e0 la limite<\/a> en \"+\infty\").<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas d’une fraction rationnelle de la forme \"\displaystyle\frac P Q \in \mathbb{R} (\textrm{X} )\" dont les p\u00f4les non r\u00e9els sont tous simples et qui a\u00a0\u00e9t\u00e9 d\u00e9compos\u00e9e en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{C}\", pour obtenir la d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{R}\", il suffit de regrouper les termes de la forme \"\displaystyle \frac {\lambda} {\textrm{X} - z} + \frac {\overline{\lambda }} {\textrm{X} - \overline {z} }\" et de r\u00e9duire au m\u00eame d\u00e9nominateur pour obtenir une expression de la forme \"\displaystyle \frac {u \, \textrm{X} + v} {\textrm{X} ^2 + p \, \textrm{X} + q}\" avec \"p ^2 - 4 \, q < 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" On peut aussi \u00e9valuer la relation en un\u00a0 ou plusieurs points particuliers pour obtenir une ou plusieurs \u00e9quations<\/a> compl\u00e9mentaires lorsqu’il y a au moins un p\u00f4le multiple.<\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

5. Exemples classiques<\/h3>\n

Exemple 1
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geq 2\", d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples de \"\displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^n - 1}\" dans \"\mathbb{C}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : C’est une fraction rationnelle irr\u00e9ducti-ble, sans partie enti\u00e8re dont les p\u00f4les sont tous simples et sont les complexes\u00a0<\/em>
\n\"\quad \omega _ k = \textrm{e} ^{ 2 \textrm{i} k \pi / n}\" pour \"k \in [[0 ,\, n - 1 ]]\".<\/em><\/p>\n

On obtient une d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples de la forme\u00a0<\/em>
\n\"\quad\quad \displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^n - 1} = \sum _{k = 0} ^{n - 1} \frac {\lambda _ k} {\textrm{X} - \omega _ k}\"<\/em>
\net on calcule \"\lambda _ k = \displaystyle \frac {P(\omega _ k) } {Q'( \omega _ k) }\".<\/em><\/p>\n

\"Q'(\omega _ k) = n \, \omega _ k^{n - 1} = n\, \omega _ k^n \, \omega _ k^{ - 1} = n \, \omega _ k^{-1}\"<\/em>
\ndonc \"\lambda _ k = \displaystyle \frac {\omega _ k} n\",\u00a0ce qui donne :<\/em>
\n\"\quad \quad \displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^n - 1} = \frac 1 n \sum _{k = 0} ^{n - 1} \frac {\omega _ k} {\textrm{X} - \omega _ k}\".<\/em><\/p>\n

Exemple 2<\/b>
\nD\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples de \"\displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^{2\, n} - 1}\" dans \"\mathbb{C}\" puis \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0D\u00e9composition dans<\/b>\u00a0\"\mathbb{C}\".\u00a0<\/em>
\nOn \u00e9crit cette fois ci- les p\u00f4les sous la forme\u00a0<\/em>
\n\"\omega _ k = \textrm{e} ^{ \textrm{i} k \pi / n}\" pour \"k \in [[-( n - 1) ,\, n ]]\".<\/em>
\net on remarque qu’il y a deux p\u00f4les r\u00e9els 1 et \"-1\" obtenus pour \"k = 0\" et \"k = n\".\u00a0<\/em>
\nDe plus, le conjugu\u00e9 du p\u00f4le \"\omega_k\" est \"\omega _{-k} \,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Comme dans l’exemple pr\u00e9c\u00e9dent, la partie polaire relative au p\u00f4le \"\omega_k\" est \"\lambda _ k = \displaystyle \frac {P(\omega _ k) }{Q'( \omega _ k) }\" avec \"Q = \textrm{X}^{2\, n} - 1\" et \"P = 1\".<\/em>
\n\"Q'(\omega _ k) = 2\, n \, \omega _ k^{2\, n - 1} = 2\,n \, \omega _ k^{2\,n} \, \omega _ k^{ - 1}\" \"Q'(\omega_k) = 2\, n \, \omega _ k^{-1}\"<\/em>
\ndonc \"\lambda _ k = \displaystyle \frac {\omega _ k} {2\,n}\".<\/em><\/p>\n

La d\u00e9composition dans \"\mathbb{C}\" est :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^{2\,n} - 1} =\frac 1 {2\, n(\textrm{X} - 1)}- \frac 1 {2\, n(\textrm{X} + 1)}\" \"\quad \quad \displaystyle + \frac 1{2\, n} \sum _{k = 1} ^{n - 1} \left ( \frac {\omega _ k} {\textrm{X} - \omega _ k} + \frac {\overline {\omega _ k}} {\textrm{X} - \overline {\omega _ k}}\; \; \; \right) \,\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0D\u00e9composition dans<\/b>\u00a0\"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
\nOn simplifie \"G_k = \displaystyle \frac {\omega _ k} {\textrm{X} - \omega _ k} + \frac {\overline {\omega _ k}} {\textrm{X} - \overline {\omega _ k}}\"<\/em>
\nque l’on \u00e9crit sous la forme \"G_k= \displaystyle \frac {N_k} {D_k}\"<\/em>
\navec \"N_k = \omega _ k(\textrm{X} - \overline {\omega _ k}) + \overline {\omega _ k}\, ({\textrm{X} - \omega _ k})\"<\/em><\/p>\n

\"N_k = (\omega _ k + \overline {\omega _ k})\textrm{X} - 2\" car \"\vert \omega_k \vert = 1\"\u00a0<\/em>
\n\"N_k =\displaystyle 2 \cos \frac {k\, \pi} {n} \textrm{X} - 2\"\u00a0<\/em><\/p>\n

et \"D_k = \displaystyle (\textrm{X} - \overline {\omega _ k}) (\textrm{X} - \overline {\omega _ k})\"<\/em>
\n\"D_k = \displaystyle \textrm{X}^2 - ({\omega _ k} + \overline {\omega _ k}) \, \textrm{X} +1\"<\/em>
\n\"D_k = \displaystyle \textrm{X}^2 - 2 \cos \frac {k\, \pi} {n} \, \textrm{X} +1\"<\/em><\/p>\n

donc\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^{2\,n} - 1} =\frac 1 {2\, n(\textrm{X} - 1)}- \frac 1 {2\, n(\textrm{X} + 1)}\" \"\quad\quad \quad \displaystyle + \, \frac 1{ n} \sum _{k = 1} ^{n - 1} \frac </em>\u00a0<\/em><\/p>\n

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