{"id":37646,"date":"2019-11-04T14:07:30","date_gmt":"2019-11-04T13:07:30","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37646"},"modified":"2022-07-12T14:35:10","modified_gmt":"2022-07-12T13:35:10","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-fractions-rationnelles-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-fractions-rationnelles-maths-sup\/","title":{"rendered":"Fractions rationnelles en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices corrig\u00e9s sur les Fractions rationnelles en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices : Polynome<\/span><\/h2>\n
\n

1. Des calculs simples
\n2. Un peu plus compliqu\u00e9s
\n3. Avec des polyn\u00f4mes<\/a> de degr\u00e9 n<\/p>\n

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 <\/p>\n

1. Des calculs simples sur les fractions rationnelles en maths sup<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nD\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples de \"\displaystyle \frac {\textrm{X} ^3} {(\textrm{X} -1) (\textrm{X}-2) (\textrm{X}+ 2) }\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"F\" est une fraction rationnelle irr\u00e9ductible de degr\u00e9 0, ayant trois p\u00f4les simples.<\/em>
\nSa partie enti\u00e8re est \u00e9gale \u00e0 1 (quotient de deux polyn\u00f4mes unitaires de degr\u00e9 3).<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

Il existe trois r\u00e9els<\/a> \"a,\, b,\, c\" tels que\u00a0<\/em>
\n\"\quad F = 1 + \displaystyle \frac a {\textrm{X} - 1} + \frac b {\textrm{X} - 2} + \frac c { \textrm{X} + 2}\".<\/em><\/p>\n

On obtient \"a\" en \u00e9valuant en \"1\"\u00a0 \u00a0\"(X - 1)\, F = \displaystyle \frac {\textrm{X} ^3} { (\textrm{X}-2) (\textrm{X}+ 2) }\",\u00a0<\/em>
\ndonc \"a = \displaystyle \frac {1} {(1 - 2) (1 + 2) } = - \frac 1 3\".<\/em><\/p>\n

De m\u00eame,\u00a0 \"b = \displaystyle \frac 8 {(2 - 1)(2 + 2) } = 2\" et \"c = \displaystyle \frac {-8} {(-2 - 1)(-2 - 2) } = \frac {-2} 3\".<\/em><\/p>\n

\"F = 1- \displaystyle \frac 1 {3(\textrm{X} - 1)} + \frac 2 {\textrm{X} - 2} - \frac 2 { 3(\textrm{X} + 2)}\".<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nD\u00e9composition\u00a0 en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{C}\" de \"F = \displaystyle \frac {\textrm{X}^4} {(\textrm{X} + 1) (\textrm{X} ^2 - 1)}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"F = \displaystyle \frac {\textrm{X}^4} {(\textrm{X} + 1)^2 \, (\textrm{X} - 1)}\"\u00a0est une fraction irr\u00e9ductible de degr\u00e9 1, admettant un p\u00f4le double \"-1\" et un p\u00f4le simple \"1\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Il y a une partie enti\u00e8re \"E\" qui est le quotient de \"\textrm{X}^4\" par \"\textrm{X}^3 + \textrm{X}^2 - \textrm{X}- 1\"\u00a0<\/em>
\nOn pose l’op\u00e9ration et on obtient un quotient \u00e9gal \u00e0 \"\textrm{X} - 1\" et un reste \u00e9gal \u00e0 \"2\, \textrm{X}^2- 1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" La d\u00e9composition formelle de la fraction \"F\" s’\u00e9crit\u00a0<\/em>
\n\"F = \textrm{X} - 1 + \displaystyle \frac a { (\textrm{X} + 1) ^2}\" \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac b {\textrm{X}+ 1} + \frac c {\textrm{X} - 1}\".<\/em>
\n\"\ast\" en multipliant la relation par \"( \textrm{X}+ 1)^2\" et en \u00e9valuant \"\displaystyle \frac {\textrm{X}^4} {\textrm{X} - 1}\" en \"- 1\", on obtient\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac {1} { - 2} = a\"<\/em>
\n\"\ast\" en multipliant la relation par \"\textrm{X} -1\" et en \u00e9valuant \"\displaystyle \frac {\textrm{X}^4} {(\textrm{X} +1)^2 }\" en \"1\",\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac 1 {(1 + 1)^2} = c = \frac 1 4\"<\/em>
\n\"\ast\" On \u00e9value la relation en \"0\" :\u00a0<\/em>
\n\"0= - 1 + a + b - c\" \"\Rightarrow b =1 - a + c = \displaystyle 1 + \frac 1 2 +\frac 1 4\", \"b = \displaystyle \frac {7} 4\"<\/em><\/p>\n

\"F = \displaystyle \textrm{X} - 1 - \displaystyle \frac 1 { 2 (\textrm{X} + 1) ^2} + \frac 7 {4(\textrm{X}+ 1)}\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac 1 {4(\textrm{X} - 1)}\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nD\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples de \"\displaystyle \frac {\textrm{X} ^3} {(\textrm{X} -1)^2 (\textrm{X}-2)^ 2 }\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"F = \displaystyle \frac {\textrm{X} ^3} {(\textrm{X} -1)^2 (\textrm{X}-2)^ 2 }\" est une fraction rationnelle irr\u00e9ductioble, sans partie enti\u00e8re et ayant deux p\u00f4les doubles.\u00a0<\/em>
\nIl existe 4 r\u00e9els \"a,\, b,\, c,\, d\" tels que \"F =\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac a {(\textrm{X} - 1)^2 } + \frac b {\textrm{X} - 1} + \frac c { (\textrm{X} - 2)^2 } + \frac d {\textrm{X} - 2}\"<\/em><\/p>\n

On obtient \"a\" en \u00e9valuant en \"1\" \"(X - 1)^2\, F = \displaystyle \frac {\textrm{X} ^3} { (\textrm{X}-2)^2 }\"<\/em>
\ndonc \"a = \displaystyle \frac {1} {(1 - 2)^2 } = 1\".<\/em>
\nDe m\u00eame, \"c = \displaystyle \frac {2 ^3} {(2 - 1)^2} = 8\".<\/em><\/p>\n

On d\u00e9termine ensuite la limite<\/a> en \"+\infty\" de \"x \, F(x)\" et on obtient \"1 = b + d\".\u00a0<\/em>
\nEt en \u00e9valuant en \"0\" :\u00a0<\/em>
\n\"0 = \displaystyle a - b + \frac c 4 - \frac d 2 = 3 - b - \frac d 2\"<\/em>
\nce qui donne\u00a0<\/em>
\n\"b + d = 1\" et \"2 \, b + d = 6\"<\/em>
\nssi \"b = 5\" et \"d = - 4\".<\/em><\/p>\n

\"F = \displaystyle \frac 1 {(\textrm{X} - 1)^2 } + \frac 5 {\textrm{X} - 1}\"\"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, \frac 8 { (\textrm{X} - 2)^2 } - \frac 4 {\textrm{X} - 2}\"<\/em><\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nD\u00e9composition\u00a0 en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{R}\" de \"\displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^3 + 1}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"F\" est irr\u00e9ductible, sans partie enti\u00e8re et la d\u00e9composition dans \"\mathbb{R}\" du d\u00e9nominateur est :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \textrm{X} ^3 + 1 = ( \textrm{X} + 1) (\textrm{X} ^2 - \textrm{X} + 1))\".<\/em><\/p>\n

Il existe trois r\u00e9els \"a, \, b\, c\" tels que\u00a0<\/em>
\n\"F = \displaystyle \frac 1 { (\textrm{X} + 1) (\textrm{X} ^2 - \textrm{X} + 1) }\"\u00a0<\/em>
\n\"F = \displaystyle \frac a { \textrm{X} + 1} + \frac {b \, \textrm{X} + c} {\textrm{X} ^2 - \textrm{X} + 1}\"<\/em><\/p>\n

On obtient \"a\" en \u00e9valuant \"( \textrm{X} + 1)\, F = \displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^2 - \textrm{X} + 1 }\" en \"-1\", donc \"a = \displaystyle \frac 1 3\".<\/em><\/p>\n

On d\u00e9termine ensuite la limite en \"+\infty\" de \"x \, F(x)\" et on obtient \"0 = a + b\" soit \"b = - a = - 1/3\".\u00a0<\/em>
\nPuis on \u00e9value en \"0\" : \"1 = a + c\" soit \"c = 2/3\".<\/em>
\nDonc \"F = \displaystyle \frac 1 { 3(\textrm{X} + 1)} + \frac {- \textrm{X} + 2} {3(\textrm{X} ^2 - \textrm{X} + 1)}\".<\/em><\/p>\n

2. un peu plus compliqu\u00e9s<\/h2>\n<\/div>\n
\n

Exercice 1<\/b>
\nD\u00e9composer en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{C}\", puis \"\mathbb{R}\", \"F = \displaystyle \frac 1 {\textrm{X}^2 \, (\textrm{X} ^2 + 1)}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"F = \displaystyle \frac 1 {\textrm{X}^2 \, (\textrm{X} ^2 + 1)}\" est une fraction rationnelle irr\u00e9ductible, de degr\u00e9 \u00e9gal \u00e0 \"- 4\" admettant un p\u00f4le double \"0\" et deux p\u00f4les complexes<\/a> conjugu\u00e9s \"\textrm{i}\" et \"- \textrm{i}\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0D\u00e9composition dans<\/b>\u00a0\"\mathbb{C}\".<\/em>
\n\"\ast\" On obtient une d\u00e9composition formelle en \u00e9l\u00e9ments simples de la forme\u00a0<\/em>
\n\"\quad F = \displaystyle \frac a {\textrm{X}^2} + \frac b {\textrm{X}} + \frac c {\textrm{X} - \textrm{i} } + \frac d {\textrm{X}+ \textrm{i} }\".\u00a0<\/em>
\nC’est une fraction rationnelle \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{R}\" avec deux p\u00f4les conjugu\u00e9s, donc \"d = \overline{c}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"F\" est paire<\/em>
\n\"F( - \textrm{X}) = \displaystyle \frac a {\textrm{X}^2} - \frac b {\textrm{X}} -\frac c {\textrm{X} + \textrm{i} } - \frac d {\textrm{X}+ \textrm{i} }\"<\/em>
\nc’est la d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples de \"F\", donc par unicit\u00e9 :\u00a0<\/em>
\n\"- b = b\" , \"- c = d\", alors \"b = 0\" et \"d = - c = \overline{c}\", donc \"c\" est un imaginaire pur.\u00a0<\/em><\/p>\n

Par propri\u00e9t\u00e9 des p\u00f4les simples : \"c = \displaystyle \frac 1 {\textrm{i} ^2 \, (2 \, \textrm{i} )} = \frac {\textrm{i} } 2\".\u00a0<\/em>
\nEn utilisant \"X ^2 \, F\" et en substituant \"0\" \u00e0 \"\textrm{X}\", on obtient \"a = \displaystyle \frac 1 1 = 1\"\u00a0<\/em>
\nalors \"F = \displaystyle \frac 1 {\textrm{X}^2} + \frac {\textrm{i} } {2(\textrm{X} - \textrm{i}) } - \frac {\textrm{i} } {2(\textrm{X}+ \textrm{i} )}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9composition dans<\/b>\u00a0\"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
\nPour trouver la d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{R}\", on r\u00e9duit au m\u00eame d\u00e9nominateur\u00a0<\/em>
\n\"g = \displaystyle \frac {\textrm{i} } {2(\textrm{X} - \textrm{i}) } - \frac {\textrm{i} } {2(\textrm{X}+ \textrm{i} )}\" \"\displaystyle g = \frac {\textrm{i}\, (\textrm{X}+ \textrm{i} ) - \textrm{i} \, (\textrm{X}- \textrm{i} ) } {2(\textrm{X}^2 + 1)}\"\u00a0<\/em>
\n\"g = \displaystyle \frac {-1 } {\textrm{X}^2 + 1}\" et \"F = \displaystyle \frac 1 {\textrm{X}^2} - \frac {1 } {\textrm{X}^2 + 1}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nD\u00e9composer en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{C}\" puis \"\mathbb{R}\" la fraction
\n\"\quad \quad F = \displaystyle \frac {1} {(\textrm{X}^2 + 1)(\textrm{X}^2 + \textrm{X} + 1)}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"F = \displaystyle \frac {1} {(\textrm{X}^2 + 1)(\textrm{X}^2 + \textrm{X} + 1)}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0D\u00e9composition dans\u00a0<\/b>\"\mathbb{C}\".\u00a0<\/em>
\nC’est une <\/em>fraction irr\u00e9ductible, sans partie enti\u00e8re et admettant 4 p\u00f4les simples : \"\textrm{i} \, ,\, - \textrm{i} ,\, \textrm{j},\, \textrm{j}^2\".<\/em>
\nComme \"F\" est \u00e0 coefficients r\u00e9els, sa d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples s’\u00e9crit\u00a0<\/em>
\n\"F = \displaystyle \frac {a} { \textrm{X} - \textrm{i}} + \frac {\overline{a} } { \textrm{X} + \textrm{i}} + \frac b { \textrm{X} - \textrm{j}} + \frac {\overline{b} } { \textrm{X} - \textrm{j}^2}\"<\/em><\/p>\n

On obtient la valeur de \"a\" en \u00e9valuant \"\displaystyle \frac 1 {(\textrm{X} + \textrm{i} ) (\textrm{X}^2 + \textrm{X} + 1)}\" en \"\textrm{i}\" :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \quad a = \displaystyle \frac 1 {2\, \textrm{i}\, (\textrm{i})}= - \frac 1 2\".<\/em><\/p>\n

On obtient la valeur de \"b\" en \u00e9valuant en \"\displaystyle \frac 1 {(\textrm{X} - \textrm{j} ^2) (\textrm{X}^2 + 1)}\" en \"\textrm{j}\".\u00a0<\/em>
\nOn rappelle que \"\textrm{j} + \textrm{j}^2 +1 = 0\" et \"\textrm{j} ^3 = 1\" .<\/em>
\n\"b = \displaystyle \frac 1 {(\textrm{j} - \textrm{j} ^2 ) (\textrm{j}^2 + 1)} = \frac 1 {(\textrm{j}^2 - \textrm{j} ) ( - \textrm{j})}\"\u00a0<\/em>
\n\"b = \displaystyle \frac 1 { 1 - j ^2 } =\frac {2} {3\, + \textrm{i} \, \sqrt{3} } = \frac { 2} {\sqrt{3} }\, \frac {\sqrt{3} - \textrm{i} } {4}\"<\/em>
\n\"\displaystyle b = \frac { \sqrt{3} - \textrm{i} } {2\, \sqrt{3}}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

donc \"F = - \displaystyle \frac 1 {2(\textrm{X} - \textrm{i} )} - \frac 1 {2(\textrm{X} + \textrm{i} )}\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad +\, \frac { \sqrt{3} - \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j} ) } + \frac { \sqrt{3}+ \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j}^2 ) }\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9composition dans\u00a0<\/b>\"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" \"\displaystyle - \frac 1 {2(\textrm{X} - \textrm{i} )} - \frac 1 {2(\textrm{X} + \textrm{i} )} = - \frac {\textrm{X} } {\textrm{X} ^2 + 1}\" par r\u00e9duction au m\u00eame d\u00e9nominateur .<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \frac { \sqrt{3} - \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j} ) } + \frac { \sqrt{3}+ \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j}^2 ) }= \frac N D\"\u00a0<\/em>
\n\"N = (\sqrt{3} - \textrm{i} ) (\textrm{X} - \textrm{j}^2 ) + (\sqrt{3} + \textrm{i} ) (\textrm{X} - \textrm{j} )\"\u00a0<\/em>
\n\"N = 2 \sqrt{3} \textrm{X} - \sqrt {3} , (\textrm{j} + \textrm{j}^2 ) - \textrm{i}\, (\textrm{j} - \textrm{j}^2)\"<\/em>
\n\"N = 2 \sqrt{3} \textrm{X} + \sqrt {3} - \textrm{i} ( \textrm{i} \, \sqrt{3} )\"<\/em>
\n\"N = 2 \sqrt{3} \textrm{X} + \sqrt {3} + \sqrt{3}\"<\/em>
\ndonc\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac { \sqrt{3} - \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j} ) } + \frac { \sqrt{3}+ \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j}^2 ) } =\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle \frac { \textrm{X} + 1} {\textrm{X} ^2 + \textrm{X} + 1}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"F = \displaystyle - \frac {\textrm{X} } {\textrm{X} ^2 + 1} + \frac { \textrm{X} + 1} {\textrm{X} ^2 + \textrm{X} + 1}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nD\u00e9composer en \u00e9l\u00e9ments simples sur \"\mathbb{C}\" puis \"\mathbb{R}\" la fraction\u00a0\"\displaystyle \frac {\textrm{X}^2 + 1} {\textrm{X}^4 + 1}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\"\u00a0D\u00e9composition sur<\/b>\u00a0\"\mathbb{C}\".\u00a0<\/em>
\n\"F = \displaystyle \frac {\textrm{X}^2 + 1} {\textrm{X}^4 + 1}\" est une fraction rationnelle paire, \u00e9crite sous forme irr\u00e9ductible et admettant 4 p\u00f4les qui sont tous simples et qui sont les racines \"4\"-i\u00e8mes de \"-1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

En notant \"r = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi/4}\", \"r ^4 = - 1\", donc les racines \"4\"-i\u00e8mes de \"-1\" sont \"\quad\quad \quad \quad \quad r,\,\textrm{i} \, r \, - r, \, - \textrm{i} \, r\".<\/em>
\nLa d\u00e9composition de \"F\" s’\u00e9crit\u00a0<\/em>
\n\"F = \displaystyle \frac a {\textrm{X} - r} + \frac b {\textrm{X} + r} + \frac c {\textrm{X} - \textrm{i} \, r} + \frac d {\textrm{X} + \textrm{i} \, r}\"<\/em>
\navec \"a = \displaystyle \frac {r ^2 + 1} { 4 \, r ^3 }\".<\/em>
\nComme \"r ^4 = - 1\", \"r ^3 = - 1/r\"<\/em>
\net \"r^2 = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi/2} = \textrm{i}\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle a = - \frac {r(r ^2 + 1)} { 4 } = -\frac {(1 + \textrm{i}) r } 4\"<\/em>
\nPuis \"(1 + \textrm{i})\, r = \displaystyle \frac {(1 + \textrm{i})^2 } {\sqrt{2} } = \sqrt{2} \textrm{ i}\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"a = -\displaystyle \frac {\textrm{i} } {2\sqrt{2}}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Le p\u00f4le conjugu\u00e9 de \"r\" est \"- \textrm{i} \, r\", comme la fraction est \u00e0 coefficients r\u00e9els, \"d = \overline {a} = -\displaystyle \frac {\textrm{i} } {2\sqrt{2}} = - a\".\u00a0\u00a0<\/em>
\nPuis comme \"F\" est paire, \"F( \textrm{X} ) = F(- \textrm{X})\"<\/em>
\ndonne\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac a {\textrm{X} - r} + \frac b {\textrm{X} + r} + \frac c {\textrm{X} - \textrm{i} \, r} + \frac d {\textrm{X} + \textrm{i} \, r}\"\u00a0<\/em>
\n\"\; \displaystyle = - \frac a {\textrm{X} + r} - \frac b {\textrm{X} - r} - \frac c {\textrm{X} + \textrm{i} \, r} - \frac d {\textrm{X} - \textrm{i} \, r}\"<\/em>
\ndonc par unicit\u00e9 de la d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad a = - b\" et \"c = - d = - a\".\u00a0<\/em><\/p>\n

soit \"F = \displaystyle \frac a {\textrm{X} - r} - \frac a {\textrm{X} + r} - \frac a {\textrm{X} - \textrm{i} \, r} + \frac a {\textrm{X} + \textrm{i} \, r}\"<\/em>
\navec \"a = \displaystyle \frac {\textrm{i} } {2\sqrt{2}}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0D\u00e9composition sur<\/b>\u00a0\"\mathbb{R}\".\u00a0<\/em>
\nIl est plus simple ensuite de remarquer que \"\textrm{X}^4 + 1 = (\textrm{X}^2 + 1) ^2 - 2 \, \textrm{X}^2\"<\/em>
\ndonc \"\textrm{X}^4 + 1 =\" \"\quad \quad (\textrm{X}^2 + \sqrt{2} \,\textrm{X} + 1) \, (\textrm{X} ^2 - \sqrt{2} \, \textrm{X} + 1)\"<\/em>
\net que :\u00a0<\/em>
\n\"2 (\textrm{X} ^2 + 1) =\" \"\quad (\textrm{X}^2 + \sqrt{2} \,\textrm{X} + 1) + (\textrm{X} ^2 - \sqrt{2} \, \textrm{X} + 1)\"<\/em>
\npour obtenir par division la d\u00e9compostio de \"F\" :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac 1 {2(\textrm{X}^2 - \sqrt{2} \,\textrm{X} + 1)} + \frac 1 {2 (\textrm{X}^2 + \sqrt{2} \,\textrm{X} + 1)}\"\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

3. o\u00f9 il y a des polyn\u00f4mes de degr\u00e9 \"n\"<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" o\u00f9 \"\textrm{deg} P = n\", \"P\" ayant \"n\" racines r\u00e9elles distinctes et non nulles \"(r_1 \, ,\, \cdots \, , \, r_n)\" avec\u00a0 \"P = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n a_k \, \textrm{X}^k\"
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac 1 {r _ k \, P\, '(r_k)} = \frac 1 {a_0}\". Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On d\u00e9compose en \u00e9l\u00e9ments simples dans \"\mathbb{K}\" la fraction rationnelle \"F = \displaystyle \frac 1 P\" qui est irr\u00e9ductible, de degr\u00e9 strictement n\u00e9gatif et admet \"n\" p\u00f4les distincts.<\/em>
\nOn obtient une d\u00e9composition de la forme \"F = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac {\alpha _ k} {\textrm{X} - r_k}\"\u00a0<\/em>
\navec \"\forall \, k \in [[1, \, n]], \; \alpha _ k = \displaystyle \frac 1 {P\, '(r_k)}\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \frac 1 P = \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {P\, '(r_k)(\textrm{X} - r_k)}\".<\/em><\/p>\n

On peut \u00e9valuer la relation en \"0\" car \"0\" n’est pas p\u00f4le de la fraction :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \frac 1 {P(0)} = \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {P\, '(r_k)( - r_k)}\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {P\, '(r_k) \, r_k} = - \frac 1 {a_0} \,\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" o\u00f9 \"\textrm{deg} P = n\", \"P\" ayant n racines r\u00e9elles distinctes et non nulles \"(r_1 \, ,\, \cdots \, , \, r_n)\" o\u00f9\u00a0 \"P = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n a_k \, \textrm{X}^k\" et \"P(0) \neq 0\",
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac 1 {r_k} = - \frac {a_1} {a_0}\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"F = \displaystyle \frac {\textrm{X} \, P\, '} P\"\u00a0 est le quotient de deux polyn\u00f4mes de degr\u00e9 \"n\" dont les coefficients dominants sont \"n \, a_n\" et \"a_n\,\". Elle admet \"n\" comme partie enti\u00e8re.\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

Les racines de \"P\" sont distinctes (donc ne sont pas racines de \"P\,'\") et \"0\" est racine de \"\textrm{X} \, P\,'\" mais n’est pas racine de \"P\"), donc \"F\" est \u00e9crite sous forme irr\u00e9duc- tible.\u00a0<\/em>
\nOn obtient donc\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \displaystyle \frac {\textrm{X} \, P\, '} P = n + \sum _ {k = 1} ^n \frac {\alpha _ k} {\textrm{X} - r_k}\"\u00a0<\/em>
\navec \"\forall\, k \in [[1,\, n]] ,\, \displaystyle \alpha _ k = \frac {r_k \, P\, '(r_k)} {P\, '(r_k)} = r_k\"<\/em>
\ndonc \"F = \displaystyle n + \sum _ {k = 1} ^n \frac {r _ k} {\textrm{X} - r_k}\" .<\/em><\/p>\n

En d\u00e9rivant sur \"\mathbb{R} \setminus \{ r_1 \, ,\, \cdots \, , \, r_n\}\", la fonction rationnelle \"F\", on obtient\u00a0<\/em>
\n\"F'(x) = \displaystyle \frac { P'(x) + x \, P''(x)} {P(x)} + \frac {x \, P'^2(x)} {P(x)^2}\"\u00a0<\/em>
\net \"\displaystyle F'(x) = - \sum _ {k = 1} ^n \frac {r _ k} {(x - r_k)^2}\"<\/em>
\nen \u00e9valuant en \"0\" qui n’est pas p\u00f4le de \"F'\",\u00a0 \"\displaystyle \frac {P'(0)} {P(0)} = - \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {r_k}\"\u00a0<\/em>
\nsoit \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {r_k} = - \frac {a_1} {a_0}\".\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Exercice 3<\/b>
\nquestion 1.<\/i>
\nSoit \"P\" un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n \geq 2\" scind\u00e9 sur \"\mathbb{K}\", quelle est la d\u00e9composi- tion en \u00e9l\u00e9ments simples de \"\displaystyle \frac { P\,' } P\" ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

Si \"P = \displaystyle a_n \prod_{k = 1} ^r (\textrm{X} - x_k)^{\alpha _ k}\", il suffit de remarquer que :<\/em>
\n\"P\, ' = a_n \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \prod _{i \neq k} \alpha_ i \, (\textrm{X} - x_i)^{\alpha_i - 1}\"<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \frac {P\, '}{ P } =\sum _{k = 1} ^r \frac {\alpha _ k} {X - x_k}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n<\/div>\n

🧡 C’est un calcul classique \u00e0 savoir refaire.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2<\/em>
\nOn suppose que \"P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{R}\".
\n\"\forall\, x \in \mathbb{R},\, P(x) \, P''(x) - P'^2(x)\geq 0\". Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"\Delta = \mathbb{R} \setminus \{x _1\, , \, \cdots \, , \, x_r \}\".<\/em>
\nOn d\u00e9rive<\/a> la relation d\u00e9finie sur \"\Delta\" par\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {P\, '(x)}{ P (x) } =\displaystyle \sum _{k = 1} ^r \frac {\alpha _ k} {x - x_k}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\displaystyle \frac {P(x) \, P\,''(x) - P\,'^2 (x)}{ P^2 (x) } = - \sum _{k = 1} ^r \frac {\alpha _ k} {(x - x_k)^2 }\".\u00a0<\/em>
\ndonc\u00a0<\/em>
\n\"P(x) \, P\,''(x) - P\, '^2(x) =\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - P^2(x) \sum _{k = 1} ^r \frac {\alpha _ k} {(x - x_k)^2 } < 0\".\u00a0<\/em>
\ncomme oppos\u00e9 du produit de deux r\u00e9els<\/a> strictement positifs\u00a0<\/em><\/p>\n

Puis si \"x \in \{x _1\, , \, \cdots \, , \, x_r \}\", \"P(x) = 0\"<\/em>
\ndonc \"P(x) \, P\,''(x) - P\,'^2(x) \leq 0\".<\/em><\/p>\n

Alors \"\forall \, x \in \mathbb {R}, \, P\,'^2(x) - P(x) \, P\,''(x) \geq 0\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}\".
\nD\u00e9composer en \u00e9l\u00e9ments simples
\n\"\displaystyle \frac {\textrm{X} ^{n + 1}} {(\textrm{X} + 1) (\textrm{X}+3) \, \cdots \, (\textrm{X}+ 2 n + 1)}\"
\nOn peut en d\u00e9duire que \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n (-1) ^k (2 \, k + 1) ^n\, \binom {n } k = (-2) ^{n } \, n!\"<\/p>\n

Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"F\" est une fraction rationnelle de degr\u00e9 \"0\" (quotient de deux polyn\u00f4mes unitaires de degr\u00e9 \"n + 1\"), irr\u00e9ductible de p\u00f4les simples \"- 2 \, k - 1\" o\u00f9 \"k \in [[0,\, n]]\".<\/em>
\nLa partie enti\u00e8re est le quotient du num\u00e9rateur par le d\u00e9nominateur, elle est \u00e9gale \u00e0 1.\u00a0<\/em>
\nOn peut donc \u00e9crire\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad F = \displaystyle \frac P Q = 1 + \sum _ {k = 0} ^n \frac {\alpha _ k} {\textrm{X} + 2 \, k + 1}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Soit \"k \in [[0 ,\, n]]\" et \"Q = (\textrm{X} + 2 \, k + 1) \, Q_k\" avec \"Q_k = \displaystyle \prod _ {0 \leq i \leq n , i \neq k} (\textrm{X} + 2 \, i + 1)\"<\/em>
\nalors \"\displaystyle \alpha _ k = \frac {P(- 2 k - 1)} {Q_k(- 2\, k - 1)}\"<\/em>
\n\"Q_k(- 2 \, k - 1) = \displaystyle \prod _ {0 \leq i \leq n , i \neq k} ( 2 \,( i - k) )\",<\/em>
\nce que l’on peut \u00e9crire :\u00a0<\/em>
\n\"Q_k(- 2 \, k - 1) =\"\u00a0 \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad 2 ^{n } \, \prod _{i = 0} ^{k - 1} (i - k) \times \prod _{i = k + 1} ^n (i - k)\"<\/em>
\nen posant \"p = k - i\" dans le premier produit et \"q = i - k\" dans le deuxi\u00e8me :<\/em>
\n\"Q_k(- 2 \, k - 1) =\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2 ^{n } \displaystyle (-1) ^k \prod _{p = 1} ^{k} p \times \prod _{q = 1} ^{n - k} q\"<\/em>
\n\"Q_k(- 2 \, k - 1) = 2 ^{n } (-1) ^k \, k! \times (n - k)!\"<\/em>
\net \"\alpha _ k = \displaystyle \frac {(- 2\, k - 1) ^{n + 1} } { 2 ^{n } (-1) ^k \, k! \times (n - k)!}\"\u00a0<\/em>
\nque l’on peut \u00e9crire\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \alpha _ k = \displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 1 - k}\, (2 \, k + 1)^n } {2 ^n \, n!} \; \; \binom n k\".<\/em><\/p>\n

En \u00e9valuant en \"0\" :\u00a0\"0 = \displaystyle 1 + \sum _ {k = 0} ^n \frac {\alpha_k} {2 \, k + 1}\"<\/em>
\nsoit \"0 = \displaystyle 1 + \frac { (-1) ^{n + 1} } {2 ^n \, n!} \sum _ {k = 0} ^n (2 \, k + 1) ^n\, \binom {n } k\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n (-1) ^k (2 \, k + 1) ^n\, \binom {n } k = (-1) ^n \, 2 ^n \, n!\"<\/em><\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geq 2\".
\nSi \"k \in [\![0, n]\!]\", on note \"\omega_k = \textrm{e} ^{2 \textrm{i} \,k \, \pi/n}\"
\nQuelle est la valeur de \"\quad \quad \quad \quad F = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^{n - 1} \frac {\omega_k - 1} { (\textrm{X} - \omega_k }\" ?<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N }^*\", d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples de \"\displaystyle \frac {(2\, n + 1) \, \textrm{X}} {\textrm{X} ^{2\, n + 1 } + 1}\" dans \"\mathbb{C}\" puis \"\mathbb{R}\".<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

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