{"id":37651,"date":"2019-11-04T14:34:22","date_gmt":"2019-11-04T13:34:22","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37651"},"modified":"2023-09-15T18:45:48","modified_gmt":"2023-09-15T17:45:48","slug":"cours-en-ligne-denombrements-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-denombrements-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur les D\u00e9nombrements en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : D\u00e9nombrements en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – D\u00e9nombrements\u00a0en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n
\n

1. D\u00e9montrer qu’un ensemble est fini
\n2. Utiliser des ensembles finis dans des raisonnements<\/a>
\n3. R\u00e9capitulatif des r\u00e9sultats
\n4. Quelle m\u00e9thode utiliser ?<\/p>\n

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 <\/p>\n

1. Pour d\u00e9montrer qu’un ensemble est fini<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"E\" est non vide, d\u00e9montrer qu’il existe un entier \"n \in\mathbb{N}^*\" et une bijection de \"[\![1,\, n]\!]\" sur \"E\".
\nAlors \"n\" est unique et appel\u00e9\u00a0cardinal<\/i>\u00a0de \"E\" et not\u00e9\u00a0\"\# E = \textrm{Card }E = \vert E \vert\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\# \varnothing = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9montrer qu’il existe une bijection \"\varphi\" d’un ensemble fini \"F\" sur \"E\".
\nAlors \"E\" est fini et \"\# E = \# F\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9montrer que \"E\" est une partie d’un ensemble<\/a> fini \"F\".
\nAlors \"\# E \leq \# F\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9montrer que \"E\" est la r\u00e9union de deux ensembles finis \"A\" et \"B\"
\n\"\ast\" Si \"A \cap B = \varnothing,\" \"\quad \quad \quad \# (A \cup B) = \# A + \# B\".
\n\"\ast\" Si \"A \cap B \neq \varnothing\",
\n\"\# (A \cup B) = \# A + \# B - \# (A \cap B)\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9montrer que \"E = A \times B\" avec \"A\" et \"B\" finis :
\n\"\quad \quad \# (A \times B) = \# A \, \times \, \# B\".<\/p>\n

\"\bullet\" Plus g\u00e9n\u00e9ralement si \"n \in \mathbb{N}, n\geq 3\" et si \"E = \displaystyle \prod _{i = 1} ^n A_i\" o\u00f9 \"\forall\, i \in [\![1 ,\, n]\!],\, A _ i\" est fini, \"E\" est fini et\u00a0 \"\quad \quad \displaystyle \# \left ( \prod _{i = 1} ^n A_i \right ) = \prod _{i = 1} ^n \left ( \# A_i \right)\".<\/p>\n

Exercice\u00a0<\/b>
\nSi \"A,\, B,\, C\" sont trois parties de l’ensemble fini \"E\", calculer \"\quad \quad \quad \# (A \cup B \cup C)\".<\/p>\n

D\u00e9mo<\/strong> : On utilise le cardinal d’une r\u00e9union de deux ensembles avec \"A \cup B\" et \"C\" et\u00a0<\/em>
\n\"(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\".<\/em><\/p>\n

\"\# (A \cup B \cup C) = \# ((A \cup B) \cup C)\"<\/em>
\n\"= \# (A \cup B) + \# C - \# ((A \cup B) \cap C)\"<\/em>
\n\"= \# (A \cup B) + \# C - \# ((A \cap C) \cup (B \cap C))\"<\/em>
\nOn r\u00e9utilise la formule donnant le cardinal de la r\u00e9union de deux ensembles et la relation\u00a0 :<\/em>
\n\"\quad \; (A \cap C) \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\# (A \cup B \cup C) = \# A + \# B - \# (A \cap B)\"<\/em>
\n\u00a0\"\quad +\, \# C - \# (A \cap C) - \# (B \cap C)\" \"\quad \quad \quad \quad +\, \# ( A \cap B \cap C)\"<\/em>
\net en r\u00e9ordonnant :\u00a0<\/em>
\n\"\# (A \cup B \cup C)= \#A + \#B + \# C\" \"\quad - \, \# (A \cap B) - \# (A \cap C) - \# (B \cap C)\" \"\quad \quad \quad \quad + \, \# (A \cap B \cap C)\".<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. Utiliser des ensembles finis dans des raisonnements<\/h3>\n
\n

\"\bullet\" Si \"E\" et \"F\" sont deux ensembles finis de m\u00eame cardinal et \"\varphi\" est une application de \"E\" dans \"F\",
\n\"\varphi\" est bijective ssi \"\varphi\" est injective ssi \"\varphi\" est surjective.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"E\" et \"F\" sont deux ensembles finis, pour d\u00e9montrer que \"E\" = \"F\", il suffit de prouver une inclusion et que \"E\" et \"F\" ont m\u00eame cardinal.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" est une partie de l’ensemble fini \"E\", son compl\u00e9mentaire \"\overline{A} = C_E A\" est fini et \"\# \overline{A} = \# E - \# A\".<\/p>\n

3. R\u00e9capitulatif des r\u00e9sultats<\/h3>\n

Dans la suite<\/a>, \"n\" et \"p\" sont des entiers non nuls et \"E_n\" est un ensemble de cardinal \"n\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"n^p\" est le nombre
\n\"\ast\" de choix successifs avec remise de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\"
\n\"\ast\" de listes avec r\u00e9p\u00e9tition de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\"
\n\"\ast\" d’applications de \"E_p\" dans \"E_n\,\".
\n⚠️ l’ordre des \u00e9l\u00e9ments a de l’importance !<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"p \leq n\", \"\displaystyle A_n^p = \frac {n!} {(n - p)!}\" est le nombre
\n\"\ast\" de choix successifs sans remise de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\"
\n\"\ast\" de listes de \"p\" \u00e9l\u00e9ments distincts de \"E_n\"
\n\"\ast\" d’applications injectives de \"E_p\" dans \"E_n\,\".
\n⚠️ les \u00e9l\u00e9ments sont choisis les uns apr\u00e8s les autres et les \"p\" \u00e9l\u00e9ments choisis sont distincts.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"p \leq n\", \"\displaystyle {\binom {n} {p}} = \displaystyle \frac{n!} {p! \, (n - p)!}\" est le nombre
\n\"\ast\" de choix simultan\u00e9s sans remise de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\"
\n\"\ast\" de listes strictement croissantes de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"[\![1 , n]\!]\" (h.p. voir dem plus bas )
\n\"\ast\" de parties \u00e0 \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\" (ou \"p-\" combinaisons).
\n⚠️ Les \u00e9l\u00e9ments sont choisis en m\u00eame temps. Les \"p\" \u00e9l\u00e9ments choisis n’ont pas d’ordre.<\/p>\n

Exercice<\/b>\u00a0Nombre de listes strictement croissantes de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"[\![1 , n]\!]\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On suppose \"p \leq n\" et on note \"\mathcal{S}_{p,n}\" l’ensemble \"\{(i_1\, ,\, \cdots \, , \, i_p) \in\mathbb{N}^{*p}\, / \, i_1 < \, \cdots \, < i_p \leq n \}\" et \"\mathcal{P}_p(n)\" l’ensemble des parties de \"[[1 , n]]\" \u00e0 \"p\" \u00e9l\u00e9ments.<\/em>
\nL’application \"\mathcal{S}_{p,n} \to \mathcal{P}_p(n)\" \"\quad \quad (i_1 \, ,\, \cdots \, , \, i_p ) \mapsto \{i_1 ,\, \cdots \, , \, i_p \}\"\u00a0<\/em>
\nest une bijection (toute partie finie peut \u00eatre rang\u00e9e d’une unique fa\u00e7on sous forme strictement croissante), donc \"\quad \quad \# \mathcal{S}_{p,n} = \# \mathcal{P}_p(n) = \displaystyle {\binom {n} {p} }\".<\/em><\/p>\n

R\u00e9sultats \u00e0 savoir d\u00e9montrer\u00a0<\/b>:
\nsi \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq 2\",\u00a0<\/em>
\n\"\# \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i < j \leq n \}\" \" \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \frac {n(n - 1)} 2\".<\/em>
\n\"\# \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i \leq j \leq n \} \" \" \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \frac {n(n + 1)} 2\".<\/em><\/p>\n

Correction :<\/strong><\/p>\n

\n

Soit \"\mathcal{P}_2(n)\" l’ensemble des parties de \"[[1 , n]]\" \u00e0 \"2\" \u00e9l\u00e9ments.<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"S = \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i \leq j \leq n \}\".<\/em>
\nL’application \"\mathcal{S} \to \mathcal{P}_2(n)\" \"\quad \quad \quad \quad \quad (i \, ,\, j ) \mapsto \{i ,\,j\}\"\u00a0<\/em>
\nest une bijection (toute partie finie peut \u00eatre rang\u00e9e d’une unique fa\u00e7on sous forme strictement croissante), donc \"\quad \# \mathcal{S} = \# \mathcal{P}_2(n) = \displaystyle {\binom {n} {2} } = \frac {n(n - 1)}2\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"C = \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i \leq j \leq n \}\"<\/em>
\nOn \u00e9crit \"C = S \cup E\" avec \"\quad \quad \quad E = \{ (i , \, i) \, / \, 1 \leq i \leq n \}\"<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Comme \"S \cap E = \varnothing\", \"\# C = \# S + \# E = \displaystyle \frac {n(n - 1)} 2 + n\"\u00a0<\/em>
\n\"\# C = \displaystyle \frac {n(n + 1)} 2\"<\/em><\/div>\n

\"\bullet\" Si \"E\" est un ensemble fini de cardinal \"n\", \"\mathcal{P}(E)\" est fini de cardinal \"2^n\".<\/p>\n

En conna\u00eetre 2 d\u00e9monstrations :<\/p>\n

\n

\"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re d\u00e9monstration.<\/b><\/em>
\nSoit \"E\" un ensemble fini \u00e0 \"n\" \u00e9l\u00e9ments.\u00a0<\/em>
\nOn \u00e9crit \"\mathcal{P}(E) = \displaystyle \bigcup_{k = 0} ^n \mathcal {P} _ k(E)\"\u00a0<\/em>
\nen notant \"\mathcal {P} _ k(E)\" l’ensemble des parties de \"E\" \u00e0 \"k\" \u00e9l\u00e9ments.\u00a0<\/em>
\nOn introduit ainsi une partition de \"\mathcal{P}(E)\"<\/em>
\ndonc \"\# \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \# \mathcal{P}_k(E)\"<\/em>
\n\"\# \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k\"<\/em>
\n\"\# \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k \, 1 ^k \, 1^ {n - k} = (1 + 1) ^n\"<\/em>
\npar le bin\u00f4me de Newton.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Deuxi\u00e8me d\u00e9monstration.<\/b><\/em>
\nSi \"\# E_n = n\", on note \"p_n = \# \mathcal{P}(E_n)\".<\/em>
\n\"\ast\" \"p_0 = 1\" car \"\mathcal{P} (\varnothing) = \{ \varnothing \}\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Relation entre \"p_{n + 1}\" et \"p_n\,\".<\/em>
\nSoit \"a \in E_{n + 1}\" et \"E_n = E_{n + 1} \setminus \{a \}\".<\/em>
\nOn note \"\mathcal{P}(E_{n + 1} ) = \mathcal{A} \cup \mathcal{B}\"\u00a0<\/em>
\nen notant \"\mathcal{A} = \{ X \subset E_{n + 1} \, / \, a \in X \}\"\u00a0<\/em>
\net \"\mathcal{B} = \{ X \subset E_{n + 1} \, / \, a \notin X \}\"\u00a0<\/em>
\n\"\mathcal{A}\" et \"\mathcal{B}\" sont disjoints.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\mathcal{B} = \mathcal{P} (E_n)\" donc \"\# \mathcal{B} = \# \mathcal{P}(E_n) = p_n\,\".<\/em><\/p>\n

\"\varphi : \mathcal{P}(E_n) \to \mathcal{A}, X \mapsto X \cup \{a \}\" est une bijection, donc \"\# \mathcal{P}(E_n)= \# \mathcal{A}\"<\/em><\/p>\n

alors \"\# \mathcal{P}(E_{n + 1} ) = \# \mathcal{A} + \# \mathcal{B}\"<\/em>
\ndonne\u00a0 \"p_{n + 1} = 2 \, p_n\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"(p_n)_n\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison 2 et de premier terme \"p_0 = 1\"<\/em>
\nalors \"p_n = 2 ^n\".<\/em>
\n\"\bullet\" Et une\u00a0troisi\u00e8me d\u00e9monstration.<\/b>\u00a0<\/em>
\nOn rappelle que l’on note \"\textbf{1}_A\" la fonction<\/a> indicatrice de l’ensemble \"A\".<\/em>
\nL’application \"\varphi : \mathcal{P} (E) \to \mathcal{F} ( E, \{ 0, 1 \} )\" , \"A \mapsto \textbf{1}_A\" est une bijection, donc\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \# \mathcal{P} (E) = \# \mathcal{F} ( E, \{ 0, 1 \} ) = 2 ^n\".<\/em><\/p>\n\t\t

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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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4. Quelle m\u00e9thode utiliser ?<\/h3>\n

4.1. R\u00e8gle du produit<\/a><\/b>
\nSi l’on doit choisir un premier \u00e9l\u00e9ment de \"n_1\" fa\u00e7ons, un deuxi\u00e8me \u00e9l\u00e9ment de \"n_2\" fa\u00e7ons , … , et le \"p\"– i\u00e8me \u00e9l\u00e9ment de \"n_p\" fa\u00e7ons,
\nle nombre de choix possibles est \u00e9gal \u00e0 \"n_1\, n_2\, \cdots \,n_p\,\".
\nc’est en effet le nombre d’\u00e9l\u00e9ments de \"A_1 \times A_2 \, \cdots \, A_p\" o\u00f9 \"A_i\" est l’ensemble dans lequel on choisit le \"i\"-\u00e8me \u00e9l\u00e9ment.<\/p>\n

4.2. Utilisation d’une r\u00e9union<\/b>
\nSi l’on doit choisir un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"P_1\" ou un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"P_2\" :
\nOn note \"A\" (resp \"B\") l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant \"P_1\" (resp \"P_2\").
\n\"\ast\"\u00a0 Dans le cas o\u00f9 il n’y a aucun \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant les propri\u00e9t\u00e9s \"P_1\" et \"P_2\" en m\u00eame temps :
\n\"\quad \quad \# (A \cup B) = \# A + \# B\"
\ncar \"A \cap B = \varnothing\".
\n\"\ast\"\u00a0Dans le cas o\u00f9 il y a des \u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant les propri\u00e9t\u00e9s \"P_1\" et \"P_2\" en m\u00eame temps :
\n\"\# (A \cup B) = \# A + \# B - \# (A \cap B)\".<\/p>\n

4.3. Utilisation d’une partition\u00a0<\/b>
\nPour justifier \"\displaystyle \# A = \sum _{k = 0} ^n \# A_k\,\", commencer par prouver que la famille \"(A_k)_{0\leq k\leq n }\" est une partition de \"A\" (parties non vides, deux \u00e0 deux disjointes, de r\u00e9union \u00e9gale \u00e0 \"A\").
\nPuis \"\displaystyle \# \bigcup _{k = 0} ^n A_k = \sum _{k = 0} ^n \# A_k\,\".<\/p>\n

4.4. \u00ab\u00a0avoir au moins un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9\u00a0<\/b>\"\mathcal{P}\"\u00a0\u00ab\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" Pour d\u00e9nombrer un probl\u00e8me contenant un \u00ab\u00a0au moins\u00a0\u00bb, en g\u00e9n\u00e9ral il est plus simple de d\u00e9nombrer le compl\u00e9mentaire (c’est le cas lorsque le compl\u00e9mentaire se traduit par \u00ab\u00a0sans\u00a0\u00bb).
\n\"\ast\"\u00a0Lorsque le nombre maximum \"M\" d’\u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant la propri\u00e9t\u00e9 est faible, on peut envisager de noter \"B _ k\" \u00ab\u00a0avoir \"k\" \u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant \"\mathcal{P}\"\u00a0\u00bb et \u00e9crire \"A = \displaystyle \bigcup_{k = 1} ^{M} B_k\", les ensembles \u00e9tant deux \u00e0 deux disjoints, \"\#A = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^M \# B_k \,\"<\/p>\n

4.5. Calculer\u00a0<\/b>\"\# A \cap B\"\u00a0o\u00f9<\/b>\u00a0\"A\" et \"B\" sont deux parties de\u00a0<\/b>\"E\" et \"B\"\u00a0d\u00e9finie par \u00ab\u00a0avoir au moins un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant<\/b>\u00a0\"\mathcal{P}\"\u00a0\u00a0\u00bb\u00a0<\/b>
\nUtiliser \"A = A \cap E = A \cap (B \cup \overline {B})\"
\n\"A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline {B})\".
\nLes deux ensembles \u00e9tant disjoints :
\n\"\quad \# A = \# (A \cap B) + \#(A \cap \overline {B})\"
\net utiliser \"\quad \# (A \cap B) = \# A - \#(A \cap \overline {B})\"
\npour r\u00e9pondre \u00e0 la question.<\/p>\n

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