{"id":37655,"date":"2019-11-04T15:11:37","date_gmt":"2019-11-04T14:11:37","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37655"},"modified":"2022-07-12T15:03:40","modified_gmt":"2022-07-12T14:03:40","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-denombrements-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-denombrements-maths-sup\/","title":{"rendered":"D\u00e9nombrements en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
\n
\n
\n

Exercices corrig\u00e9s sur d\u00e9nombrement en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices de d\u00e9nombrements<\/h2>\n
\n

1. Application directe des r\u00e9sultats de cours
\n2. Un peu plus \u00e9labor\u00e9s, mais pas trop
\n3. Sans urne et sans carte
\n4. Des couples de parties de \"E\"
\n5. Des formules obtenues par d\u00e9nombrement
\n6. \u00c9quations enti\u00e8res et suites croissantes<\/a>
\n7. Mots de \"n\" lettres \u00e0 partir de \"a\" et \"b\"
\n8. Un exercice sur les surjections
\n9. D\u00e9nombrement des involutions
\n10. Mots de Dyck<\/p>\n

⚠️ Dans tous les exercices ne vous contentez pas d’une valeur num\u00e9rique. Il faut justifier vos r\u00e9sultats.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

1. Des d\u00e9nombrements simples<\/h2>\n

1.\u00a0<\/b>Quel est le nombre de codes d’un antivol \u00e0 4 chiffres\u00a0 choisis entre 1 et 5 ?
\nM\u00eame question si les chiffres doivent \u00eatre distincts .<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\ast\" Le nombre de codes d’un antivol \u00e0 4 chiffres est le nombre d’applications de \"[[1 , 4]]\" dans l’ensemble \"[[1 , 5]]\" donc est \u00e9gal \u00e0 \"5^4 =625\".<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\ast\" Dans le deuxi\u00e8me cas, c’est le nombre de 4-listes sans r\u00e9p\u00e9tition des 6 chiffres de 1 \u00e0 5\u00a0 soit \"\quad \quad \displaystyle \frac {5!} {(5 - 4)!}= 5\times 4 \times 3 \times 2 = 120\"<\/em><\/p>\n<\/div>\n

2.\u00a0<\/b>Quel est le nombre de mots de passe de 4 lettres form\u00e9s uniquement de consonnes ?
\nM\u00eame question si les consonnes doivent \u00eatre distinctes.<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\ast\" Le nombre de mots de passe de 4 lettres est le nombre d’applications de \"[[1 , 4]]\" dans l’ensemble des 20 consonnes donc est \u00e9gal \u00e0 \"\quad _quad \quad 20^ 4 =160\, 000\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Dans le deuxi\u00e8me cas, c’est le nombre de 4-listes sans r\u00e9p\u00e9tition des 20 consonnes soit \"\displaystyle \frac {20!} {(20 - 4)!}= 20\times 19 \times 18 \times 17 = 116\,280\".<\/em><\/p>\n

3.<\/b>\u00a0Quel est le nombre de tierc\u00e9s (dans l’ordre) que l’on peut jouer dans une course de 20 chevaux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Le nombre de tierc\u00e9s (dans l’ordre) que l’on peut jouer dans une course de 20 chevaux est le nombre de 3-listes sans r\u00e9p\u00e9tition des 20 chevaux soit \"\quad \quad \quad \quad 20 . 19 . 18 = 6 \, 840\".<\/em><\/p>\n

4.\u00a0<\/b>\u00a0Quel est le nombre de fa\u00e7ons de choisir un groupes de \"k\" \u00e9l\u00e8ves dans une classe de \"n\" \u00e9l\u00e8ves pour faire un expos\u00e9 ?
\na)\u00a0<\/b>\"\displaystyle \frac {n!} {(n - k)!}\"\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0b)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \frac {n!} {k!}\"\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0c)\u00a0<\/b>\"\displaystyle \binom {n} {k}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : Le nombre de fa\u00e7ons de choisir un groupe de \"k\" \u00e9l\u00e8ves dans une classe de \"n\" \u00e9l\u00e8ves pour faire un expos\u00e9 est le nombre de parties \u00e0 \"k\" \u00e9l\u00e9ments parmi \"n\" soit \"\displaystyle {\binom {n} {k}}\".<\/em><\/p>\n

5.<\/b>\u00a0Quel est le nombre de grilles au loto (5 num\u00e9ros de 1 \u00e0 49 et 1 num\u00e9ro chance de 1 \u00e0 10) ?<\/p>\n

6.<\/b>\u00a0Quel est le nombre de fa\u00e7ons de ranger les \"n\" \u00e9l\u00e9ments d’un ensemble \"E\, ?\"<\/p>\n

7.<\/b>\u00a0Quel est le nombre de fa\u00e7ons de ranger les \"n\" \u00e9l\u00e9ments de \"[\![1 , n]\!]\" de fa\u00e7on \u00e0 ce que les \u00e9l\u00e9ments 1 \u00e0 \"k\" soient c\u00f4te \u00e0 c\u00f4te.<\/p>\n

8.\u00a0<\/b>Quel est le nombre d’entiers de \"n \geq 3\" chiffres contenant un seul \"0\" et un seul \"1\" ?<\/p>\n

9.\u00a0<\/b>Quel est le nombre d’anagrammes du mot \u00ab\u00a0ENTENTE\u00a0\u00bb<\/p>\n

10.\u00a0<\/b>Combien de mots peut on \u00e9crire avec le mot \u00ab\u00a0TOULOUSE\u00a0\u00bb si les consonnes doivent \u00eatre plac\u00e9es en 1-\u00e8re, 4-\u00e8me et 7-\u00e8me position ?<\/p>\n

11.\u00a0<\/b>Il y a \"n!\" fa\u00e7ons de placer \"n\" personnes autour d’une table ronde<\/p>\n

12.\u00a0<\/b>Il y a \"\displaystyle \frac {(n!)^2} 2\" mani\u00e8res de placer \"n\" couples autour d’une table ronde en alternant un homme et une femme<\/p>\n

13.<\/b>\u00a0Quel est le nombre \"d\" de dominos (2 chiffres de \"0\" \u00e0 \"6\" qui peuvent \u00eatre r\u00e9p\u00e9t\u00e9s) ?
\nQuel est le nombre \"t\" de triominos (3 chiffres de \"0\" \u00e0 \"5\" qui peuvent \u00eatre r\u00e9p\u00e9t\u00e9s aux sommets d’un triangle \u00e9quilat\u00e9ral) ?<\/p>\n

2. D’autres d\u00e9nombrements<\/h2>\n<\/div>\n
\n

Exercice 1<\/b>
\nDans cet exercice, on effectue 3 tirages successifs et sans remise dans un ensemble contenant \"b\" boules blanches, \"r\" rouges et \"v\" vertes.
\na)<\/b>\u00a0Quel est le nombre de tirages tricolores ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Le nombre de fa\u00e7ons d’obtenir une boule blanche puis une rouge puis une verte est \u00e9gal \u00e0 \"b . r . v\".<\/em>
\nLe nombre de fa\u00e7ons d’obtenir un tirage tricolore est \u00e9gal \u00e0 \"T = 3!\, b \,r\, v\" (car on a \"3 !\" fa\u00e7ons de choisir l’ordre de tirage des trois couleurs).<\/em><\/p>\n

b)<\/b>\u00a0Quel est le nombre de tirages bicolores ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :\u00a0\"\ast\" Le nombre \"M\" de tirages monocolores est \u00e9gal au nombre de tirages blancs plus le nombre de tirages rouges plus le nombre de tirages verts soit \"M = b(b - 1) (b - 2) + r(r - 1)(r - 2)\"<\/em>
\n\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\"+\, n(n - 1) (n - 2)\".<\/em>
\n\"\ast\" Le nombre \"S\" de tirages est \u00e9gal \u00e0 \"S = N (N - 1) (N - 2)\" o\u00f9 \"N = b + n + r\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On rappelle que le nombre \"T\" de tirages tricolores est \"T = 6\, b\, r\, v\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Le nombre \"B\" de tirages bicolores est \u00e9gal \u00e0 \"B = S - T - M\".<\/em><\/div>\n

Exercice 2<\/b>
\nOn tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de mains contenant 2 as ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On choisit 2 as parmi 4 de \"\displaystyle \binom {4} {2} = 6\" fa\u00e7ons.\u00a0<\/em>
\nPuis on choisit 3 cartes parmi les \"32 - 4 = 28\" cartes sans as de \"\displaystyle \binom {28} {3} = 3\, 276\" fa\u00e7ons.<\/em>
\nLe nombre de mains contenant deux as est \u00e9gal \u00e0 \"6\, . \, 3276 = 19\, 656\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nQuel est le nombre de mains de 4 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 dames ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

On ne peut pas avoir deux rois et trois dames en m\u00eame temps dans une main de 4 cartes.<\/em>
\nOn note \"R\" l’ensemble des mains contenant 2 Rois et \"D\" l’ensemble des mains contenant 3 dames.\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\ast\" \"\# R = 6 . 14 . 27\"\u00a0<\/em>
\ncar on choisit 2 rois parmi 4 de \"\displaystyle \binom {4} {2} = 6\" fa\u00e7ons puis 2 cartes parmi les 28 qui restent de \"\displaystyle \binom {28} {2} = 14 . 27\" fa\u00e7ons.<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\# D = 4 . 28\"\u00a0<\/em>
\ncar on choisit 3 dames parmi 4 de \"\displaystyle \binom {4} {3} = 4\" fa\u00e7ons\u00a0 puis 1 carte parmi les 28 qui restent de \"28\" fa\u00e7ons.<\/em><\/p>\n

\"\# (R \cup D) = \#R + \#D = 2 \, 380\" car \"R \cap D = \varnothing\".<\/em><\/p>\n<\/div>\n

⚠️\u00a0<\/b>Aviez -vous pens\u00e9 \u00e0 \u00e9crire que les deux ensembles sont disjoints ?<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nQuel est le nombre de mains de 4 cartes issues d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 tr\u00e8fles ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

On peut obtenir une main contenant le roi de tr\u00e8fle.\u00a0<\/em>
\nSoit \"R\" l’ensemble des mains de 4 cartes contenant \"2\" rois et \"T\" l’ensemble des mains de 4 cartes contenant \"3\" tr\u00e8fles.\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\ast\" \"\# R = 6 . 14 . 27\"<\/em>
\ncar on choisit \"2\" rois parmi \"4\" de \"\displaystyle \binom {4} {2} = 6\" fa\u00e7ons puis \"2\" cartes parmi les \"28\" qui restent de \"\displaystyle \binom {28} {2} = 14 . 27\" fa\u00e7ons.<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\# T = 56 . 24\"\u00a0<\/em>
\ncar on choisit \"3\" tr\u00e8fles parmi \"8\" de \"\displaystyle \binom {8} {3} = 56\" fa\u00e7ons puis \"1\" carte parmi les \"24\" qui restent de \"24\" fa\u00e7ons.<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\# R \cap T = 3 . 21\"\u00a0<\/em>
\nC’est l’ensemble des mains contenant le roi de tr\u00e8fle, un autre roi et \"2\" autres tr\u00e8fles.\u00a0<\/em>
\nOn choisit un roi qui n’est pas de tr\u00e8fle (\"3\" choix), deux tr\u00e8fles diff\u00e9rents du roi de \"\displaystyle \binom {7} {2} = 21\" fa\u00e7ons.<\/em><\/p>\n

\"\# (R \cup T) = \# R + \# T - \# (R \cap T)\"<\/em>
\n\"\#R = 6 . 14 . 27 + 56 . 24 - 3 . 21 = 3 \,549\".<\/em><\/p>\n<\/div>\n

⚠️ Aviez-vous vu que les ensembles ne sont pas disjoints ?\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nQuel est le nombre de mains de 5 cartes issues d’un jeu de 32 cartes contenant au moins un as ?<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nQuel est le nombre de mains de 5 cartes d’un jeu de 32 contenant au moins 2 tr\u00e8fles ?<\/p>\n

Exercice 7<\/b>
\nQuel est le nombre de mains de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 1 roi et au moins un pique.<\/p>\n

Exercice 8<\/b>
\nOn souhaite ranger sur une \u00e9tag\u00e8re 4 livres de math\u00e9matiques (distincts), 6 livres de physique, et 3 de chimie.
\nQuestion 1<\/i>
\nDe combien de fa\u00e7ons peut-on effectuer ce rangement, si les livres doivent \u00eatre group\u00e9s par mati\u00e8res ?<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nDe combien de fa\u00e7ons peut-on effectuer ce rangement, si seuls les livres de math\u00e9matiques doivent \u00eatre group\u00e9s ?<\/p>\n

Exercice 9<\/b>
\nQuel est le nombre de matrices<\/a> sym\u00e9triques d’ordre \"n \geq 2\" dont tous les \u00e9l\u00e9ments sont dans \"[\![1 ,\, p]\!]\" ?<\/p>\n

Exercice 10<\/b>
\nOn dispose de 2 jeux de jetons num\u00e9rot\u00e9s de 1 \u00e0 \"n\", l’un blanc, l’autre noir, on les place dans une urne.<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/i>
\nOn prend au hasard \"2\, r\" (\"2 r \leq n\") jetons\u00a0 en m\u00eame temps.
\nNombre de tirages donnant des jetons ayant des num\u00e9ros tous distincts.<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nAvec les hypoth\u00e8ses de la question 1, nombre de fa\u00e7ons d’avoir obtenu deux jetons portant le m\u00eame num\u00e9ro.<\/p>\n

Question 3<\/i>
\nOn tire maintenant les jetons 2 par 2 sans remise. Nombre de tirages possibles.<\/p>\n

Question 4<\/i>
\nDans cette question, on tire les \"2\,n\" jetons l’un apr\u00e8s l’autre.
\nQuel est le nombre de tirages donnant une alternance de couleurs ?<\/p>\n

3. Sans urne et sans carte<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}\".
\nLe nombre de solutions dans \"\mathbb{N}\" de l’\u00e9quation<\/a> \"x + y = n\" est \u00e9gal \u00e0 ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : C’est l’ensemble \"\quad \quad \quad \{ (k , n - k) \, / \, k\in [[0,\, n]] \}\".<\/em>
\nIl a \"n + 1\" \u00e9l\u00e9ments.<\/em><\/p>\n

Question 2<\/i>
\nLe nombre de solutions dans \"\mathbb{N}\" de l’\u00e9quation \"x + y + z = n\" est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \frac {n(n + 1)} 2\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"\mathcal{S}\" l’ensemble des solutions enti\u00e8res de cette \u00e9quation<\/em>
\net si \"k \in [[0 , \, n]], \, \mathcal{S}_k\" l’ensemble des solutions enti\u00e8res telles que \"z = k\".<\/em>
\nOn \u00e9crit \"\mathcal{S}= \displaystyle \bigcup _{k = 0} ^n \mathcal{S}_k\,\".<\/em>
\nLes ensembles \"\mathcal{S}_k\" sont2 \u00e0 2 disjoints.<\/em><\/p>\n

\"\mathcal{S}_k\" est en bijection avec \" \quad \{ (x , y) \in \mathbb{N}^2 \, / \, x + y = n - k \}\"<\/em>
\n\"\# \mathcal{S}_ k = n - k + 1\" par la question 1.\u00a0<\/em><\/p>\n

On \u00e9crit \"\# \mathcal{S}= \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \# \mathcal{S}_k =\sum_{k = 0} ^n ( n - k + 1)\"<\/em>
\nen posant \"p = n - k + 1\",\u00a0<\/em>
\n\"\# \mathcal{S}= \displaystyle \sum_{p = 1} ^n p = \displaystyle \frac {n(n + 1)} 2\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2.<\/b>
\nSoit \"n \geq 3\".
\nQuestion 1<\/i>
\nQuel est le nombre de fa\u00e7ons de r\u00e9gler au caf\u00e9 une somme<\/a> de \"n\" euros en n’utilisant que des pi\u00e8ces de 1 et 2 euros ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On d\u00e9termine \"S = \{(x , \, y) \in \mathbb{N}^2\; /\; 2 \, x + y = n\}\"\u00a0<\/em>
\nSi \"p = \displaystyle \left \lfloor \frac {n} 2 \right \rfloor\",\u00a0<\/em>
\n\"S = \{(x , n - 2 \, x ) \, /\,x \in [[0 ,\, p]]\}\"\u00a0<\/em>
\ndonc \"\# S = p + 1 = \displaystyle \left \lfloor \frac {n} 2 \right \rfloor + 1\" .<\/em><\/div>\n

Question 2<\/i>
\nNombre de fa\u00e7ons de payer dans un distributeur une somme de \"n\" euros en n’utilisant que des pi\u00e8ces de 1 et 2 euros<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"D\" l’ensemble des paiements dans le distributeur pour une somme de \"n\" euros.<\/em>
\nSoit \"p = \displaystyle \left \lfloor \frac {n} 2 \right \rfloor\". Si \"x \in [[0 , \, p]]\" ,\u00a0on introduit \"D_x\" l’ensemble des paiements au distributeur o\u00f9 l’on a rentr\u00e9 \"x\" pi\u00e8ces de 2 euros et \"n - 2 \, x\" pi\u00e8ces de 1 euro.\u00a0<\/em><\/p>\n

\"D = \displaystyle \bigcup _{x = 0} ^p D_x\,\".<\/em>
\nCes ensembles \u00e9tant deux \u00e0 deux disjoints,\u00a0\"\# D = \displaystyle \sum _{x = 0} ^p \# D_x\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\# D_x = \displaystyle \binom {n - x} {x}\"<\/em>
\ncar on choisit les \"x\" moments parmi \"x + n - 2 \, x = n - x\" o\u00f9 l’on rentre les pi\u00e8ces de \"2\" euros.\u00a0<\/em><\/p>\n

donc \"\# D = \displaystyle \sum _{x = 0} ^{p} \binom {n - x} {x}\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSoit \"E\" un ensemble de cardinal \"n > 0\".
\nLa somme des cardinaux des parties de \"E\" est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

Si \"k \in [[1,\, n]]\", on note \"\mathcal{P}_k(E)\" l’ensemble des parties de \"E\" ayant \"k\" \u00e9l\u00e9ments.\u00a0<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\mathcal{P}(E) = \displaystyle \bigcup _{k = 0} ^n \mathcal{P}_k(E)\".\u00a0<\/em>
\nOn a introduit une partition, donc\u00a0<\/em>
\n\"N = \displaystyle \sum _ {X \in \mathcal{P}(E)} \# X = \sum _ {k= 0} ^n \sum _{X\in \mathcal{P}_k(E)} \# X\"<\/em>
\n\"N = \displaystyle \sum _ {k= 0} ^n k \times \# \mathcal{P}_k(E) =\sum _ {k= 0} ^n k \, \binom {n} {k}\"\u00a0<\/em>
\n\"N = \displaystyle \sum _ {k= 1} ^n k \, \binom {n} {k}\".\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0<\/em><\/p>\n

Puis \"(1 + x) ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k \, x ^k\"<\/em>
\net par d\u00e9rivation<\/a>,\u00a0<\/em>
\n\"n (1 + x) ^{n - 1} = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k \, \binom n k \, x ^{k - 1}\"<\/em>
\nSi \"x = 1\", \"N = n \, 2 ^{n - 1}\".\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Exercice 4<\/b>
\nSoit \"E\" un ensemble de cardinal \"n > 1\".
\nLe nombre de partitions de \"E\" en 2 parties est \u00e9gal \u00e0<\/p>\n

Correction<\/strong> : On remarque que la donn\u00e9e d’une partie \"A\" non vide et diff\u00e9rente de \"E\" d\u00e9finit une partition \"\varphi(A) = \{ A , \overline {A} \}\"\u00a0<\/em>
\net que \"\varphi(\overline{A}) = \varphi(A)\".\u00a0<\/em>
\nIl y a \"2 ^{n} - 2\" parties de \"E\" non vides et diff\u00e9rentes de \"E\".\u00a0<\/em>
\nLa m\u00eame partition \u00e9tant obtenue 2 fois, le nombre de partitions est \u00e9gal \u00e0 \"2 ^{n - 1} - 1\".<\/em><\/p>\n

4. Couples de parties de \"E\"<\/h2>\n

Soit \"E\" un ensemble de cardinal \"n > 0\".
\nQuestion 1<\/b>
\nLe nombre de couples \"(X ,\, Y)\" de parties de \"E\"\u00a0est \u00e9gal \u00e0<\/p>\n

Correction : <\/b>C’est \"\# \mathcal{P}(E) ^ 2 = \left ( \# \mathcal{P}(E) \right ) ^2 = \left (2 ^n \right ) ^2 = 4 ^n\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nLe nombre de couples \"(X ,\, Y)\" de parties de \"E\" telles que \"X \subset Y\" est \u00e9gal \u00e0 ?<\/p>\n

Pour d\u00e9terminer \"\# \, \mathcal {S}_k\, \",\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" On choisit une partie \"Y\" de \"E\" ayant \"k\" \u00e9l\u00e9ments de \"\displaystyle \binom n k\" fa\u00e7ons.<\/em>
\n\"\ast\" On choisit \"X \in \mathcal{P}(Y)\" : il y a \"2 ^k\" fa\u00e7ons de le faire.<\/em>
\nDonc \"\# \, \mathcal {S}_k = \displaystyle \binom n k \, 2 ^k\".<\/em><\/p>\n

\"\#\, \mathcal{S} = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k \, 2 ^k = (2 + 1)^n\"<\/em>
\npar le bin\u00f4me de Newton.\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b>
\nLe nombre de couples \"(X ,\, Y)\" de parties de \"E\" telles que \"X \subset Y\" et \"X \neq Y\" est \u00e9gal \u00e0 \"3 ^n - 2 ^n\" Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : C’est le nombre \"N\" de couples \"(X ,\, Y)\" de \"E\" tels que \"X \subset Y\" diminu\u00e9 du nombre de couples \"(X ,\, X)\" de \"E\" qui est \u00e9gal \u00e0 \"\# \mathcal{P}(E)\".\u00a0<\/em><\/p>\n

On obtient donc \"N - \displaystyle \# \mathcal{P}(E) = 3 ^n - 2 ^n\"<\/em><\/p>\n

Question 4<\/b>
\nLe nombre de couples \"(X ,\, Y)\" de parties de \"E\" telles que \"X \cap Y = \varnothing\" est \u00e9gal \u00e0 \"2 ^n\" Vrai ou Faux ?<\/p>\n

\n

Correction<\/strong> : On note \"\mathcal{S} '\" cet ensemble et si \"k \in [[0,\, n]]\,\", \"\mathcal{S}'_k\" l’ensemble des couples \"(X , Y)\" tels que \"X \cap Y = \varnothing\" et \"\# X = k\".\u00a0<\/em>
\nalors \"\mathcal{S}' = \displaystyle \bigcup _{k = 0} ^n \mathcal {S}'_k\,\", les ensembles \u00e9tant 2 \u00e0 2 disjoints,\u00a0\"\#\, \mathcal{S}' = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \# \, \mathcal {S}'_k\"<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

Pour d\u00e9terminer \"\# \, \mathcal {S}'_k \,\",\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" on choisit une partie \"X\" ayant \"k\" \u00e9l\u00e9ments de \"\displaystyle \binom n k\" fa\u00e7ons.<\/em>
\n\"\ast\" on choisit \"Y \in \mathcal{P}(\overline {X} )\" : il y a \"2 ^{n - k}\" fa\u00e7ons de le faire<\/em>
\ndonc \"\# \, \mathcal {S}'_k = \displaystyle \binom n k \, 2 ^{n - k}\".<\/em><\/p>\n

\"\#\, \mathcal{S}' = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k \, 2 ^{n - k} = (2 + 1)^n\"<\/em>
\npar le bin\u00f4me de Newton.\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

⚠️ \u00e0 ne pas confondre avec le nombre de couples de parties \"(X ,\, Y)\" de \"E\" telles que \"X \cap Y = \varnothing\" et \"X \cup Y = E\" qui est \u00e9gal \u00e0 \"2 ^n\" car c’est le nombre de couples \"(X ,\, \overline{X})\" o\u00f9 \"X \in \mathcal{P}(E)\".<\/em><\/p>\n

Question 5<\/b>
\nLe nombre de couples \"(X ,\, Y)\" de parties de \"E\" telles que \"\# (X \cap Y) = 1\" est \u00e9gal \u00e0 ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"\mathcal{U}\" cet ensemble et si \"k \in [[1 ,\, n]]\", \"\mathcal{U}_k\" l’ensemble des couples \"(X , Y)\" tels que \"\# (X \cap Y) =1\" et \"\# X = k\".\u00a0<\/em>
\nalors \"\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup _{k = 1} ^n \mathcal {U}_k \,\", les ensembles \u00e9tant 2 \u00e0 2 disjoints, \"\#\;\mathcal{U} = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \#\, \mathcal {U}_k \,\".<\/em><\/p>\n

Pour d\u00e9terminer \"\#\,{U}_k \,\",\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" On choisit l’\u00e9l\u00e9ment \"a\" commun \u00e0 \"X\" et \"Y\" : \"n\" choix\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" On choisit les \"k - 1\" autres \u00e9l\u00e9ments de \"X\" de \"\displaystyle \binom {n - 1} {k - 1}\" fa\u00e7ons.<\/em>
\n\"\ast\" On choisit \"Y \setminus \{a \} \in \mathcal{P}(\overline {X} )\" : il y a \"2 ^{n - k}\" fa\u00e7ons de le faire.<\/em>
\nDonc \"\#\, \mathcal {U}_k = \displaystyle n \binom {n - 1} {k - 1} \; 2 ^{n - k}\".<\/em><\/p>\n

\"\#\, \mathcal{U} = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n n \,\binom {n - 1} {k - 1}\; 2 ^{n - k}\"<\/em>
\nen posant \"p = k - 1\"<\/em>
\n\"\#\,\mathcal{U} = \displaystyle n \, \sum _{p = 0} ^{n - 1} \binom {n - 1} p \, 2 ^{n - 1 - p}\".<\/em><\/p>\n

Par le bin\u00f4me de Newton,<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \#\,\mathcal{U} = {n} \, (1 + 2) ^{n - 1 }\".<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

5. Des formules obtenues par des d\u00e9nombrements<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSi \"p \in [\![0,\, n]\!]\", d\u00e9montrer que
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _ {k = p} ^n \binom {k} {p} = \binom {n + 1 } {p+ 1}\".
\npar un raisonnement de d\u00e9nombrement<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"\mathcal{P}_{p + 1} (n + 1)\" l’ensemble des parties de \"[[1 , \, n + 1 ]]\" form\u00e9es de \"p + 1\" \u00e9l\u00e9ments.<\/em>
\n\"\ast\" Pour tout \"k \in \mathbb{N}\", on note \"A_k\" l’ensemble des parties de \"[[1 , \, n + 1 ]]\" \u00e0 \"p + 1\" \u00e9l\u00e9ments dont le maximum est \u00e9gal \u00e0 \"k\".\u00a0<\/em>
\n\"A_k \neq \varnothing\" ssi \"p + 1 \leq k \leq n + 1\".\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" L’ensemble des \"(A_k)_{p + 1 \, \leq k \, \leq n + 1}\" forme une partition de \"\mathcal{P}_{p + 1} (n + 1)\".\u00a0<\/em>
\nSe donner un \u00e9l\u00e9ment de \"A_k\" revient \u00e0 choisir une partie de \"p\" \u00e9l\u00e9ments dans \"[[1 ,\, k - 1 ]]\" ce qui se fait de \"\displaystyle \binom {k - 1} {p}\" fa\u00e7ons et \u00e0 lui ajouter \"k\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \# \mathcal{P}_{p + 1} (n + 1) = \sum _ {k = p + 1} ^ {n + 1} \# A_k\,\".\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle \binom {n+1} {p + 1} = \sum_{k = p + 1} ^ { n + 1} \binom {k -1 }{p } = \sum_{j = p} ^ { n } \binom {j }{p }\"\u00a0<\/em>
\navec \"j = k - 1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

👍\u00a0 On peut aussi d\u00e9montrer cette relation ainsi :<\/em>
\n\"\displaystyle S_n = \sum _{k = p} ^ n \binom {k}{p}\"<\/em>
\nPar la formule du triangle de Pascal (valable si \"k > p\"),\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle S_n = \binom {p}{p} + \sum _{k = p+1} ^{n} \left ( \binom {k + 1 }{p+ 1 } - \binom {k}{p+ 1 } \right )\"<\/em>
\n\"\displaystyle = 1 + \sum_{k =p+1}^ {n}\binom {k+ 1 }{p+ 1 } - \sum _{ k =p+1}^{n}\binom {k }{p+ 1 }\"<\/em>
\navec \"i = k + 1\",\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle = 1+ \sum_{i =p+2}^{ n +1} \binom {i }{p+ 1 } - \sum _{ k =p+1}^{n}\binom {k }{p+ 1 }\"<\/em>
\n\"\displaystyle S_n = 1+ \binom {n + 1 }{p+ 1 } -\binom {p + 1 }{p+ 1 } = \binom {n + 1} {p + 1}\".<\/em><\/p>\n

Exercice 2
\n<\/b>Soient \"a,\, b\" et \"n\" trois entiers naturels non nuls avec \"n \leq a + b\".
\nEn utilisant un raisonnement de d\u00e9nombrement, d\u00e9montrer la formule de Vandermonde :
\n\"\displaystyle \binom {a+b} {n} = \sum_{ k = \max(0 , n - b)}^{\min(a , \,n)}\binom {a} {k} \, \binom {b} {n- k}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

Soient \"A = [[1 ,\, a]]\" et \"B = [[ a + 1 , \, b + a]]\".<\/em>
\n\"A\" et \"B\" sont disjoints et ont respective- ment \"a\" et \"b\" \u00e9l\u00e9ments. \"E = A \cup B = [[1 , \, a + b]]\".\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\" On note \"\mathcal{P}_n(E)\" l’ensemble des parties de \"E\" ayant \"n\" \u00e9l\u00e9ments. \"\quad \quad \quad \displaystyle \# \mathcal{P}_n(E) = \binom {a + b} {n}\".<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\bullet\" On note \"E_k\" l’ensemble des parties de \"E\" form\u00e9es de \"k\" \u00e9l\u00e9ments dans \"A\" et \"n - k\" dans \"B\".\u00a0<\/em>
\nL’ensemble \"E_k\" est non vide\u00a0<\/em>
\nssi \"0 \leq k \leq a\" et \"0 \leq n - k \leq b\"\u00a0<\/em>
\nssi \"k \geq 0 \textrm{ et } k \geq n - b , \; k \leq a \textrm{ et } k \leq n\".<\/em>
\nLes ensembles \"\quad \left ( E_k \right ) _{\max(0 , \, n - b) \leq k \leq \min(a , \, n)}\"\u00a0<\/em>
\nforment une partition de \"\mathcal{P}_n(E)\".\u00a0<\/em>
\n\"\#E_k = \displaystyle \binom {a} {k} \, \binom {b} {n - k}\" car on doit choisir \"k\" \u00e9l\u00e9ments parmi \"a\" et \"n - k\" \u00e9l\u00e9ments parmi \"b\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \# \mathcal{P}_n(E) = \sum _ {k = \max(0 , n - b)} ^{\min(a , n)} \# \,E_k\"<\/em>
\nsoit \"\displaystyle \binom {a+b} {n} = \sum_{ k = \max(0 , n -b)}^{\min(a , n)}\binom {a} {k} \, \binom {b} {n- k}\".\u00a0<\/em><\/p>\n<\/div>\n

👍 L’utilisation la plus fr\u00e9quente est dans le cas \"a = b = n\" et on obtient\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \binom {2\, n } {n} = \sum_{ k = 0}^{n}\binom {n} {k} ^2\"\u00a0<\/em>
\ncar \"\displaystyle \binom {n} {n - k} = \binom {n} {k}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSoit \"(n ,\, p) \in \mathbb{N}^{*2}\".<\/p>\n

Question 1<\/i>
\nSoit \"p \in [\![1 , \, n ]\!]\".
\nD\u00e9terminer le nombre d’applications strictement croissantes de \"[\![1 , \, p ]\!]\" dans \"[\![1 , \, n ]\!]\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"\mathcal {S} _p^n\" l’ensemble des applications strictement croissantes de \"[[1 , \, p ]]\" dans \"[[1 , \, n ]]\".<\/em>
\nSe donner une application strictement croissante de \"[[1 , \, p ]]\" dans \"[[1 , \, n ]]\" revient \u00e0 choisir une partie de \"[[1 , \, n ]]\" \u00e0 \"p\" \u00e9l\u00e9ments et \u00e0 la ranger par ordre strictement croissant.<\/em>
\nIl y a donc \"\displaystyle \binom n p\" applications strictement croissantes de\u00a0 \"[[1 , \, p ]]\" dans \"[[1 , \, n ]]\".<\/em><\/p>\n

Exercice 3\u00a0<\/b>(suite)
\nQuestion 2\u00a0<\/i>
\nD\u00e9terminer le nombre d’applications strictement croissantes de \"[\![1 , \, p ]\!]\" dans \"[\![1 , \, n ]\!]\" telles que \"f(p) = n\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : Pour se donner une telle application, on d\u00e9finit une application strictement croissante de \"[[1 , \, p - 1]]\" dans \"[[1 ,\, n- 1]]\", il y a \"\displaystyle \binom {n - 1} {p - 1}\" applications de ce type et on impose \"f(p) = n\"<\/em>.<\/p>\n

Question 3<\/i>
\nSi \"i \in [\![1 , \, p ]\!]\" et \"k \in [\![1 , \, n ]\!]\",\u00a0 d\u00e9terminer le nombre d’applications strictement croissantes de \"[\![1 , \, n ]\!]\" dans \"[\![1 , \, n ]\!]\" telles que \"f(i) = k\"<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"S_{i ,k}\" l’ensemble des applica- tions v\u00e9rifiant les conditions de l’\u00e9nonc\u00e9.<\/em>
\nUne telle application est enti\u00e8rement d\u00e9finie par sa restriction \u00e0 \"[[1 ,\, i]]\" et sa restriction \u00e0 \"[[i + 1 , \, n]]\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On d\u00e9termine d’abord le nombre d’applications strictement croissantes de \"[[1 , \, i ]]\" dans \"[[1 , \, k ]]\" telles que \"f(i) = k\" lorsque \"i \leq k\".\u00a0<\/em>
\nEn utilisant la question 2, il y en a \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \binom {k - 1} {i - 1 }\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Puis on d\u00e9termine le nombre d’applications strictement croissantes de \"[[ i + 1, \, p]]\" dans \"[[k + 1 , \, n]]\".\u00a0<\/em>
\nLe probl\u00e8me a une solution ssi l’on peut choisir les \"p - i\" images dans un ensemble de \"n - k\" \u00e9l\u00e9ments donc ssi \"p - i \leq n - k\" ssi \"i \geq p + k - n\".<\/em>
\nIl y en a \"\displaystyle \binom {n - k} {p - i}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Donc si \"p + k - n \leq i \leq k\", \"\quad \quad \displaystyle \# S_{i ,k} = \binom {k - 1} {i - 1 } \, \binom {n - k} {p - i}\".<\/em><\/p>\n

Question 4<\/i>
\nSi\u00a0 \"i\" est dans \"[\![1 , \, n ]\!]\", en d\u00e9duire la valeur de
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _ {k = i}^{n - p + i} \binom {k - 1} {i - 1} \; \binom {n - k} {p - i}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On \u00e9crit \"\mathcal {S} _p^n = \displaystyle \bigcup _{i = k - 1} ^{n - p + i} S(i,k)\".<\/em>
\nOn a une r\u00e9union d’ensembles 2 \u00e0 2 disjoints,\u00a0donc\u00a0<\/em>
\n\"\# \mathcal {S} _p^n = \displaystyle \sum _{i = k - 1} ^{n - p + i} \# S(i,k)\"<\/em>
\nsoit \"\displaystyle \binom n p = \sum _{i = k - 1} ^{n - p + i} \binom {k - 1} {i - 1} \; \binom {n - k} {p - i}\".<\/em><\/p>\n

6. \u00c9quations enti\u00e8res et suites croissantes<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"(n , p) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}\".
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nLe nombre de solutions enti\u00e8res de l’\u00e9quation \"x_1 + x_2 + \cdots + x_n = p\" est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \Gamma_n^p = {\binom {n + p - 1} {p}}\". Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On peut d\u00e9montrer ce r\u00e9sultat en consid\u00e9rant le nombre de fa\u00e7ons de r\u00e9partir \"p\" objets identiques dans \"n\" tiroirs (\"x_k\" est alors le nombre d’objets dans le tiroir \"k\").<\/em>
\nOn note les \"p\" objets par un \"\ast\" et les \"n - 1\" s\u00e9parations entre les diff\u00e9rents tiroirs par un | .<\/em>
\nIl s’agit donc de placer les \"n - 1\" s\u00e9parations sur \"n + p - 1\" places, ce qui se fait en choisissant \"n - 1\" places parmi \"n + p - 1\" donc il y a \"\displaystyle {\binom {n + p - 1} {n-1}}\" choix.<\/em>
\nOn termine en utilisant :\u00a0<\/em>
\n\u00a0\"\displaystyle {\binom {n + p - 1} {n-1}} = {\binom {n + p - 1} {p}}\".<\/em><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nLe nombre de solutions enti\u00e8res de l’in\u00e9quation \"\quad \quad \quad x_1 + x_2 + \cdots + x_n \leq p\"
\nest \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \binom {n + p } n\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"\bullet\" On note \"\mathcal{S}_{p}\" l’ensemble des solutions enti\u00e8res de \"x_1 + x_2 + \cdots + x_n = p\"\u00a0<\/em>
\net \"\mathcal{S}'_{p}\" l’ensemble des solutions enti\u00e8res de \"x_1 + x_2 + \cdots + x_n \leq p\".\u00a0<\/em>
\nSi \"p \geq 1\", il est \u00e9vident que\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \mathcal{S}'_{p - 1 } \cup \mathcal{S}_{p} = \mathcal{S}'_{p}\"\u00a0<\/em>
\net que les 2 ensembles sont disjoints.<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \# \mathcal{S}'_{p - 1 } + \# \mathcal{S}_{p} = \# \mathcal{S}'_{p}\"\u00a0<\/em>
\nsi \"u _p = \# \mathcal{S}'_{p}\,\",\u00a0 \"u _ p - u_{p - 1} = \# \mathcal{S}_{p}\"\u00a0<\/em>
\npar la premi\u00e8re question,\u00a0<\/em>
\n\"u_p - u_{p - 1} = \displaystyle {\binom {n + p - 1} {p}}\"\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle u_p - u_{p - 1} = \binom {n + p - 1} {n - 1} \; \; (\ast)\"\u00a0<\/em>
\net \"u_ 0 = 1\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re m\u00e9thode<\/b>\u00a0: par t\u00e9lescopage\u00a0<\/em>
\n\"u_ p = \displaystyle \sum _{k = 1} ^p (u_k - u_{k - 1} ) + u_0\"\u00a0<\/em>
\n\"u_p = \displaystyle \sum _{k = 1} ^p \binom {n + k - 1} {k} + 1\"<\/em>
\n\"u_p = \displaystyle \sum _{k = 0} ^p \binom {n + k - 1} {k}\"<\/em>
\n\"u_p = \displaystyle \sum _{k = 0} ^p \binom {n + k - 1} {n - 1}\"<\/em><\/p>\n

En posant \"i = n + k - 1\",\u00a0<\/em>
\n\"u_p = \displaystyle \sum _{i = n - 1 } ^{n - 1 + p} \binom {i} {n - 1}\"<\/em>
\nPar application de l’exercice 1 du \u00a7 I<\/em>
\n\"u_p = \displaystyle \binom {n - 1 + p + 1 } {n - 1+ 1 } = \binom {n + p} n\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Deuxi\u00e8me m\u00e9thode<\/b>.\u00a0<\/em>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\" est fix\u00e9, on note\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \forall\, p \in \mathbb{N}\" , \"H_p :\displaystyle u_{p } = \displaystyle \binom {n + p } n\".<\/em><\/p>\n

\"\ast\" \"u_0 = 1 = \displaystyle \binom {n + 0 } n\".\u00a0<\/em>
\nOn a prouv\u00e9 \"H_0\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"H_p\" est vraie.<\/em>
\nPar la formule \"(\ast)\"\u00a0<\/em>
\n\"u _ {p + 1} = u_{p } + \displaystyle {\binom {n + p } {p + 1 }}\"<\/em>
\n\"u _ {p + 1} = u_{p } + \displaystyle \binom {n + p} {n - 1}\"<\/em>
\nPar \"H_p\" :\u00a0<\/em>
\n\"u_{p + 1} = \displaystyle \binom {n + p } n + \binom {n + p} {n- 1}\"<\/em>
\npar le triangle de Pascal :\u00a0<\/em>
\n\"\displaystyle u_{p+ 1 } = \displaystyle \binom {n + p +1 } n\"<\/em>
\nce qui prouve \"H_{p + 1}\,\".<\/em><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence<\/a>.\u00a0<\/em><\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"(n , p) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}\",
\n\"\displaystyle \Gamma_n^p = {\binom {n + p - 1} {p}}\" est le nombre de listes croissantes de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"[\![1 , n]\!]\" .<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"\mathcal {C} = \left \{(i_1 ,\, \cdots \, , \, i_p) \in\mathbb{N}^{*p} \, / \, \right.\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left. i_1 \leq \, \cdots \, \leq i_p \leq n \right \}\".<\/em>
\n\u00a0<\/em>
\n\"\bullet\"\u00a01\u00e8re m\u00e9thode\u00a0<\/b>:\u00a0<\/em>
\nOn note \"\displaystyle \mathcal{S}' = \left \{ ( x_1\, , \, \cdots\, ,\,x_{n }) \in \mathbb{N} ^n \; / \; \sum _ {i = 1} ^n x_i = p \right \}\".\u00a0<\/em>
\nSoit \"\varphi : \mathcal{S} ' \to \mathcal{C}\"\u00a0<\/em>
\no\u00f9 si \"x = ( x_1\, , \, \cdots\, ,\,x_{n }) \in \mathcal{S}'\", \"\varphi(x)\" est le \"p\"-uplet tel que les \"x_1\" premiers \u00e9l\u00e9ments soient des \"1\", les \"x_2\" suivants soient des \"2\", … , et les \"x_n\" derniers soient des \"n\"\u00a0<\/em>
\n(\"\varphi(x)\" est une suite croissante de \"p\" entiers compris entre \"1\" et \"n\").\u00a0<\/em>
\n\"\varphi\" est une bijection de \"\mathcal{S}'\" sur \"\mathcal{C}\", l’ant\u00e9c\u00e9dent de \"y\" de \"\mathcal{C}\" est le \"n\"-uplet \u00e9gal \u00e0 \"( x_1 , \, \cdots\, , \,x_{n })\" o\u00f9 \"x_k\" est le nombre de \"k\" dans \"y\", avec \"x_1 +\, \cdots\, + \,x_{n} = p\".\u00a0<\/em>
\nAlors \"\# \mathcal{C} = \# \mathcal{S}'\", il suffit d’utiliser le r\u00e9sultat de la question 1 de l’exercice 1, \"\# \mathcal{C} = \displaystyle {\binom {n + p - 1} {p}}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a02\u00e8me m\u00e9thode<\/b>\u00a0: On note \"\mathcal{S}\" l’ensemble des \"(x_1 ,\, \cdots \, \, , \,x_{p + 1}) \in \mathbb{N} ^{p + 1\, }\" tels que \"\displaystyle \, \sum _{i = 1} ^{p + 1} x_i = n - 1\".<\/em>
\nSi \"i = (i_1 ,\, \cdots \, , \, i_p) \in \mathcal{C}\", on d\u00e9finit\u00a0<\/em>
\n\"\varphi (i) =\" \"(i_1 - 1 ,\,i_ 2 - i_1 \, , \cdots \, , \, i_p - i_{p - 1} \, ,\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, n - i_p )\"<\/em>
\n\"\varphi(i) = (x_1 ,\, \cdots \, , \, x_p \, , \,x_{p + 1}) \in \mathbb{N} ^{p + 1}\" avec par t\u00e9lescopage : \"\quad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{p + 1} x_i = - 1 + i_p + n - i_p = n - 1\".<\/em>
\nDonc \"\varphi(i) \in \mathcal{S}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Il est simple de prouver que \"\varphi\" est injective.\u00a0<\/em>
\n\"\ast\" Soit \"y = (x_1 ,\, \cdots \, , \, x_p \, , \,x_{p + 1}) \in \mathcal{S}\".<\/em>
\nOn d\u00e9finit le \"p\"-uplet \"x\" \u00e9gal \u00e0\u00a0<\/em>
\n\"\left (x_1 + 1 ,\, x_1 + x_2 + 1 , \, \cdots \, , \displaystyle \sum _{i = 1} ^p x_i + 1 \right )\"<\/em>
\n\"s\" est une famille croissante de \"p\" entiers strictement positifs v\u00e9rifiant :\u00a0<\/em>
\n\"\quad \displaystyle \sum_{k = 1}^{p} x_k + 1 = n - 1 - x_{p + 1} + 1 \leq n\",<\/em>
\ndonc \"x \in \mathcal{S}\" et \"y = \varphi(x)\".\u00a0<\/em>
\nL’application \"\varphi\" est surjective.<\/em><\/p>\n

\"\varphi\" \u00e9tant bijective :\u00a0<\/em>
\n\"\# \mathcal{C} = \# \mathcal{S} = \displaystyle {\binom {n - 1 + p + 1 - 1} {n - 1}}\"<\/em>
\n\"\# \mathcal{C} = \displaystyle \binom {n + p - 1} {n - 1} = {\binom {n + p - 1} {p} }\" d’apr\u00e8s l’exercice 1.\u00a0<\/em><\/p>\n

7. Mots de \"n\" lettres<\/h2>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", soit \"E_n\,\" l’ensemble des mots form\u00e9s de \"n\" lettres ne contenant que les lettres \"a\" et \"b\" et tels qu’il n’y ait pas deux \"a\" cons\u00e9cutifs.
\nOn note \"u_n =\# E_n\,\".
\nQuestion 1.<\/b>
\nD\u00e9terminer \"u_1 \, , \, u_2 \, , \, u_3\,\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : \"E_1 = \{ a , b \}\"\u00a0<\/em>
\n\"E_2 = \{ a b \, , \, b b \, , \, b a \}\"<\/em>
\net \"E_3= \{ a bb \,, \, a b a \, , \, b a b \, , \, bb a \, , \, bb b \}\",<\/em><\/p>\n

donc \"u_1 = 2 \, , \, u_2 = 3 \, , \, u_3 = 5\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*, \, u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n\,\".<\/p>\n

Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> : On note \"\mathcal{A}\" l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"E_{n + 2}\" qui se terminent par \"a\" donc qui se terminent par \"b \,a\" et \"\mathcal{B}\" l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"E_{n + 2}\" qui se terminent par \"b\".\u00a0<\/em>
\n\"E_{n + 2} = \mathcal{A}\cup \mathcal{B}\" , on a ainsi \u00e9crit une partition de \"E_{n + 2}\" donc\u00a0<\/em>
\n\"\quad \quad \quad \# E_{n + 2} =\# \mathcal{A}+ \# \mathcal{B}\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"\varphi : E_n \to \mathcal{A}\" , \"\quad \quad x_1 \, x_2 \, \cdots \, x_n \mapsto x_1 \, x_2 \, \cdots \, x_n \, b \, a\"\u00a0<\/em>
\nIl est \u00e9vident que \"\varphi\" est une bijection donc \"\# \mathcal{A} = \# E_{n} = u_n\,\".<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" \"\psi : E_{n + 1} \to \mathcal{B}\" , \"\quad \quad x_1 \, x_2 \, \cdots \, x_{n + 1} \mapsto x_1 \, x_2 \, \cdots \, x_{n + 1}\, b\"\u00a0<\/em>
\nIl est \u00e9vident que \"\psi\" est une bijection donc \"\# \mathcal{B} = \# E_{n+1} = u_{n + 1}\,\" .<\/em><\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que \"\quad \quad \forall\, n \in \mathbb{N}^*, \; u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n\,\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Question 3<\/b>
\nCalculer \"u_n\,\".<\/p>\n

Correction<\/strong> : On a une suite r\u00e9currente lin\u00e9aire d’ordre 2 d’\u00e9quation caract\u00e9ristique :<\/em>
\n\"x ^2 - x - 1 = (x - r)(x - r') = 0\" avec \"r = \displaystyle \frac 1 2 \left ( 1 + \sqrt{5} \right)\" et \"r ' = \displaystyle \frac 1 2 \left ( 1 - \sqrt{5} \right)\".<\/em><\/p>\n

Il existe donc deux r\u00e9els<\/a> \"\lambda\" et \"\mu\" tels que si \"n \in \mathbb{N}^* \, , \, u_n = \lambda \, r ^{n - 1} + \mu \, {r'}^{n - 1}\"\u00a0<\/em>
\n👍 : il est plus simple d’utiliser des puissances \"n - 1\" que des puissances \"n\" dans les calculs qui suivent car on utilise \"u_1\" et \"u_2\" pour d\u00e9terminer \"\lambda\" et \"\mu\".<\/em><\/p>\n

On r\u00e9sout donc le syst\u00e8me<\/a>\u00a0<\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} \lambda+ \mu = 2 \\ \lambda \, r + \mu\, r' = 3\end{matrix}\right.\"<\/em>
\n\"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} \lambda + \mu = 2 \\ (\lambda+ \mu) + \sqrt{5} \, (\lambda \, - \mu) = 6 \end{matrix} \right.\"<\/em>
\n\"\Leftrightarrow\" \"\left \{ \begin{matrix} \lambda + \mu = 2 \\ \sqrt{5} \, (\lambda \, - \mu) = 4 \end{matrix} \right.\"<\/em>
\n\"\Leftrightarrow\" \"\lambda = \displaystyle 1 + \frac {2 } { \sqrt{5}}\" et \"\mu = \displaystyle 1 - \frac {2} { \sqrt{5}}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

Donc \"u_n\" est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \left ( 1 + \frac {2 } { \sqrt{5}} \right ) r ^{n - 1} + \left ( 1 - \frac {2 } { \sqrt{5}} \right ) {r'} ^{n - 1}\".<\/em><\/p>\n

8. Sur les surjections<\/h2>\n

Si \"N \in \mathbb{N}^*\", on note \"E_N = [\![1 , \, N]\!]\".
\nSoient \"n\" et \"p\" deux entiers naturels non nuls. On note \"S(n , \, p)\" le nombre de surjections de \"E_n\" dans \"E_p\,\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nDonner les valeurs de \"S(n,\, n)\" et de \"S(n ,\, p)\" si \"n < p\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nCalculer \"S(n , \, 2)\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nCalculer \"S(n , \, 3)\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nCalculer \"S(n + 1 , \, n)\".<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSi \"p \geq 1\",
\n\"S(n ,\, p) =\" \"\quad \quad p(S(n - 1 ,\, p) + S(n - 1 ,\, p - 1))\".<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nMontrer que \"p ^n =\displaystyle \sum _{k = 1} ^ p \binom {p} {k} S(n ,\, k)\"<\/p>\n

Question 7<\/b>
\nSi \"q\leq k \leq p\",
\n\"\displaystyle \binom {p} {k} \, \binom {k} {q}\" est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \binom {p} {q} \, \binom {p - q} {k - q}\".<\/p>\n

Question 8<\/b>
\nSi \"1\leq p \leq n\",
\n\"\displaystyle S(n,\, p) = (-1) ^p \sum _ {k = 1} ^p ( - 1) ^k \, \binom {p} {k} \, k ^n\".<\/p>\n

Question 9<\/b>
\nSoit \"E\" un ensemble de \"n\, p\" \u00e9l\u00e9ments. D\u00e9terminer le nombre de partitions de \"E\" en \"p\" parties.<\/p>\n

9. D\u00e9nombrement des involutions<\/h2>\n

On dit que \"f\" est une involution de \"E\" lorsque \"f \in E ^E\" v\u00e9rifie \"f \circ f = \textrm{Id}_{E}\,\".
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", on note\u00a0 \"E_n = [\![1, \, n]\!]\", \"\textrm{Inv}(n)\" l’ensemble des involutions de \"E_n\" et \"I_n = \# \textrm{Inv}(n)\,\".
\nQuestion 1<\/b>
\nToute involution est une bijection.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nD\u00e9terminer \"I_1\, ,\, I_2\, , \, I_3\" et donner la r\u00e9ponse sous la forme x,y,z.<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSi \"n > 0\", exprimer \"I_{n + 2}\" en fonction<\/a> de \"I_{n + 1}\" et \"I_{n}\" .<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nLa relation de la question 3 est encore vraie si l’on convient que \"I_0 = 1\".<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nMontrer que pour tout \"n \in \mathbb{N}\",
\n\"\quad \quad I_{2n} =\displaystyle \sum _{k = 0} ^{n } \frac {(2\,n)!} {2 ^{k}\, k! } \binom {2\, n} {2\, k}\"
\n\"\quad\" et \"I_{2n +1 } =\displaystyle \sum _{k = 0} ^{n } \frac {(2\,k) !} {2 ^{k}\, k! } \binom {2\, n + 1 } {2\, k}\".<\/p>\n

10. Mots de Dyck<\/h2>\n

On appelle \u00a0\u00bb mot de Dyck\u00a0\u00bb une cha\u00eene de \"2 n\" caract\u00e8res, \"n \in \mathbb{N}^*\", form\u00e9e de \"n\" lettres \"A\" et \"n\" lettres \"B\", telle que, lorsque l’on d\u00e9nombre les lettres de gauche \u00e0 droite, en s\u2019arr\u00eatant \u00e0 une lettre du mot, le nombre de \"A\" soit toujours sup\u00e9rieur ou \u00e9gal au nombre de \"B\". Ainsi, le seul mot de Dyck de longueur \"2\" est : \"AB\". Les mots de Dyck de longueur 4 sont : \"AABB\" et \"ABAB\".
\n\"ABAABB\" et \"AAABBB\" sont des mots de Dyck, alors que \"BA\" et \"AABBBA\" n\u2019en sont pas.
\nPour tout entier \"n \geq 1\", on d\u00e9signe par \"C_n\" le nombre de mots de Dyck de \"2 n\" lettres.<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nCalculer \"C_1\, , \, C_2\, , \, C_3 \, , \, C_4\,\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nMontrer que \"C_{n} = \displaystyle \frac 1 {n + 1} \, \binom {2 n} {n}\".<\/p>\n

👍 \"C_n\" est appel\u00e9 le \"n\"-i\u00e8me nombre de Catalan.
\nQuestion 3 : Une application\u00a0<\/b>
\nUne particule se d\u00e9place sur une droite gradu\u00e9e en partant de l’origine et en se d\u00e9pla\u00e7ant \u00e0 chaque minute d’une unit\u00e9 vers la droite ou vers la gauche.
\nLe nombre de fa\u00e7ons de revenir pour la premi\u00e8re fois \u00e0 l’instant \"2 n + 2\" en \"O\" est \u00e9gal \u00e0 \"a \, C_{n}\,\"<\/p>\n

Les questions suivantes sont plus compliqu\u00e9es
\nQuestion 4<\/b>.
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"\mathcal{D}_{n,n}\" l’ensemble des mots de Dyck\u00a0des mots de Dyck de longueur \"2\,n\" tels que l’on obtienne autant de \"A\" que de \"B\" pour la premi\u00e8re fois au rang \"2\, n\".
\nMontrer que \"\# \, \mathcal{D}_{n , n} = C_{n - 1}\,\".<\/p>\n

Question 5\u00a0<\/b>
\nOn pose : \"C_0 = 1\". Montrer que, pour tout entier \"n > 1, \displaystyle C_n = \sum _{k = 1 } ^{n - 1} C_{k - 1} \, C_{n - k }\".<\/p>\n

Utilisez ces cours en ligne de math\u00e9matiques au programme de MPSI, PCSI et PTSI pour vos r\u00e9visions et vos entra\u00eenements. Chaque cours reprend les notions et les m\u00e9thodes \u00e0 conna\u00eetre parfaitement pour progresser efficacement. Vous pouvez d’ores et d\u00e9j\u00e0 avancer dans le programme en r\u00e9visant les chapitres de fin d’ann\u00e9e :<\/p>\n

Correction<\/strong> : Soit \"\mathcal {S} = \{ (X ,\, Y) \, / \, X \subset Y \subset E \}\"<\/em>
\net \"\forall\, k \in [[0 , \, n]],\"<\/em>
\n\"\mathcal {S}_k = \{ (X ,\, Y) \, / \, X \subset Y \subset E , \# Y = k \}\"<\/em>
\n\"\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup _{k = 0} ^n \mathcal {S}_k \,\", les ensembles<\/a> \u00e9tant 2 \u00e0 2 disjoints,\u00a0\"\#\, \mathcal{S} = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \# \, \mathcal {S}_k \,\".<\/em><\/p>\n