{"id":37663,"date":"2019-11-04T20:37:04","date_gmt":"2019-11-04T19:37:04","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37663"},"modified":"2022-07-12T15:09:57","modified_gmt":"2022-07-12T14:09:57","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-matrices-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-matrices-maths-sup\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s sur les matrices"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Les matrices : exercices et corrig\u00e9s de Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

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Pour r\u00e9ussir en Maths Sup, il est important d’adopter les bonnes m\u00e9thodes de travail d\u00e8s les premiers mois de pr\u00e9pa. Bien conna\u00eetre les chapitres de maths au programme de Maths Sup est indispensable pour r\u00e9ussir sa 2eme ann\u00e9e de Maths Sp\u00e9, et pour \u00e9videmment r\u00e9ussir avec brio les concours post-pr\u00e9pa.<\/p>\n

Exercice sur les \u00e9critures de matrices et op\u00e9rations de Maths Sup<\/h2>\n

D\u00e9terminer la matrice dans les bases canoniques de \"f : \mathbb{R}_3[\textrm{X}] \to \mathbb{R}^3\" o\u00f9 \"f(P) =\" \"(P(1), \, P'(1) + P(2) , \, P''(2) + P'( - 1) )\".<\/p>\n

Exercice sur le calcul de l’inverse d’une matrice en Maths Sup<\/h2>\n

Montrer que \"A =\begin{pmatrix} est une matrice inversible et calculer son inverse en l’interpr\u00e9tant comme une matrice de changement de bases.<\/p>\n

Exercice sur l’interpr\u00e9tation de matrices d’ordre \"n + 1\"<\/h2>\n

Soit \"n \in \mathbb{N}^*\", \"t \in \mathbb{C}\" et \"M(t) = (m_{i,\, j}(t))_{0\leqslant i,\, j \leqslant n} \in \mathcal{M}_{n + 1}(\mathbb{C})\" telle que<\/p>\n

\"\forall (i, \, j) \in [\![0 , \,n]\!]^2\", \"\displaystyle m_{i,\, j}(t) = \binom {j} i t ^{j - i}\" si \"0 \leqslant i \leqslant j \leqslant n\" et \"m_{i,\, j}(t) = 0\" si \"i > j\".<\/p>\n

Question :<\/strong><\/p>\n

Calculer si \"(t,t') \in \mathbb{C}^2\", \"M(t)\, M(t')\".<\/p>\n

Exercice sur le produit de matrices d’ordre \"n\" en Maths Sup<\/h2>\n

Soient \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq 3\" et \"\omega = \textrm{e} ^{2\, \textrm{i} \, \pi / n}\" .<\/p>\n

On d\u00e9finit les matrices \"X ,\, Y \in \mathcal{M}_ {n}(\mathbb{K})\" par \"X = (x_{p,\, q}) _{1\leqslant p,\, q \leqslant n}\"<\/p>\n

\"\; \;\" et \"Y = (y_{p,\, q}) _{1\leqslant p, \,q \leqslant n}\"<\/p>\n

avec \"\forall\, (p , \,q) \in [\![1 , \, n]\! ]^2\",<\/p>\n

\"\;\;\; x _ {p,\, q} = \omega ^{(p- 1)(q-1)}\" et \"y_{p, \, q} = \overline{x_{p,\, q}}\,\".<\/p>\n

Question : <\/strong><\/p>\n

Calculer \"X^2\".<\/p>\n

Exercice sur l’utilisation de la base canonique en Maths Sup<\/h2>\n

D\u00e9montrer que pour toute application lin\u00e9aire \"f\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" dans \"\mathbb{K},\" il existe une unique matrice \"A\" telle que<\/p>\n

\"\; \; \; \forall \,X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\", \"f(X) = \textrm {Tr}(A \,X)\".<\/p>\n

Exercice sur les matrices de rang \"1\" et g\u00e9n\u00e9ralisation en Maths Sup<\/h2>\n

Soit \"A \in \mathcal{M}_{n , \, p}(\mathbb{K})\" de rang \"r\".<\/p>\n

\"A\" est la somme<\/a> de \"r\" matrices de rang 1 .<\/p>\n

Vrai ou faux ?\u00a0<\/strong><\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Correction d’exercice sur les \u00e9critures de matrices et op\u00e9rations<\/h2>\n

On d\u00e9montre facilement que \"f\" est une application lin\u00e9aire de \"\mathbb{R}_3[\textrm{X}]\" dans \"\mathbb{R}^3\".<\/p>\n

Sa matrice est de type \"(3 , \,4)\".<\/p>\n

On d\u00e9termine l’image de la base canonique de \"\mathbb{R}_3[\textrm{X}]\".<\/p>\n

\"f(1) = (1 , 1 , 0)\"<\/p>\n

\"f(\textrm{X}) = (1 , 1 + 2 , 0 + 1 ) = (1 , 3 , 1)\"<\/p>\n

\"f(\textrm{X}^2 ) = (1 , 2 + 4 , 2 - 2 ) = (1 , 6 , 0)\"<\/p>\n

\"f(\textrm{X}^3 ) = (1 , 3 + 8 , 12 + 3 ) = (1, 11, 15)\"<\/p>\n

\"A = \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&3&6&11\\ 0&1&0&15 \end{pmatrix}\".<\/p>\n

Correction d’exercice sur le calcul de l’inverse d’une matrice<\/h2>\n

Si \"\mathcal{B} = (e_1\, ,\, e_2\, ,\, e_3)\" est une base de \"\mathbb{K}^3\", on introduit \"f_1 = e_1 + 2\, e_2 + e_3\,\", \"f_2 = e_1 + 2\, e_2 + 2 \, e_3\,\" et \"f_3 = e_2 + 2 \, e_3\,\".<\/p>\n

Il est imm\u00e9diat que \"e_3 = f_2 - f_1\,\", puis \"e_2 = f_3 - 2 \, e_3 = f_3 - 2 \, f_2 + 2\, f_1\,\" et enfin<\/p>\n

\"e_1 = f_1 - 2\, e_2 - e_3 \,\"
\n\"e_1 = f_1 - 2\, f_3 + 4\, f_2 - 4 \, f_1 - f_2 + f_1 \,\"
\n\"e_1= - 2\, f_1 + 3\, f_2- 2 \, f_3\,\".<\/p>\n

La famille \"\mathcal{C} = (f_1 \, , \,f_2 \, ,\, f_3)\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"\mathbb{K}^3\", de cardinal \u00e9gal \u00e0 \"\dim \mathbb{K}^3\", c’est une base de \"\mathbb{K}^3\" et \"A\" est la matrice de passage de \"\mathcal{B}\" \u00e0 \"\mathcal{C}\", donc \"A\" est inversible et \"A^{-1}\" est la matrice de passage de la base \"\mathcal{C}\" \u00e0 la base \"\mathcal{B}\"<\/p>\n

soit<\/p>\n

\"\quad \quad \quad A^{-1}= \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\.<\/p>\n

Correction d’exercice sur l’interpr\u00e9tation de matrices d’ordre \"n + 1\"<\/h2>\n

\"M(t) \, M(t')\" est la matrice de \"\varphi_t \circ \varphi_ {t'}\" dans la base canonique de \"E\".<\/p>\n

Il est \u00e9vident que \"\varphi_t \circ \varphi_ {t'} = \varphi_{t + t'}\"<\/p>\n

ce qui se traduit par \"\quad \quad M(t)\, M(t') = M(t + t')\".<\/p>\n

Correction d’exercice sur le produit de matrices d’ordre \"n\"<\/h2>\n

On note \"X ^2 = \left ( v_{p,\, q} \right) _ {1\leqslant p,\, q \leqslant n}\,\".<\/p>\n

\"\forall\, (p ,\, q) \in [[1,\, n]]^2\",<\/p>\n

\"v_{p ,\, q} = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n x _ {p , k} \; x_{k , q}\"<\/p>\n

\"v_{p ,\, q} = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \omega^{(p - 1)(k - 1)}\, \omega^{(q - 1)(k - 1)}\"<\/p>\n

\"v_{p ,\, q} = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \omega^{(p + q - 2 )(k - 1)}\"<\/p>\n

Avec \"h = k - 1\", \"v_{p ,\, q} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} \omega^{(p + q - 2 )h}\"<\/p>\n

Si \"Z = \omega^{p + q - 2 }\", on doit calculer<\/p>\n

\"v_{p ,\, q} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} Z ^h\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"Z = 1\", \"v_{p,\, q} = n\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"Z \neq 1\", \"v _{p,\, q} = \displaystyle \frac {1 - Z ^n} {1 - Z}\"<\/p>\n

or \"Z ^n = \omega^{n(p + q - 2)} = (\omega^n) ^{p + q - 2 } = 1\", et donc \"v_{p,\, q} = 0\".<\/p>\n

On discute maintenant l’\u00e9quation<\/a> \"Z = 1\" ssi \"\omega^{p + q - 2 } = 1\" ssi \"\textrm{e} ^{2\, \textrm{i} (p + q - 2 ) / n} = 1\" ssi \"\exists \, h \in \mathbb{Z}, \, \displaystyle \frac {2 (p + q - 2 ) \pi} n = 2 \, h \, \pi\"<\/p>\n

ssi \"\exists \, h \in \mathbb{Z}, \, p + q - 2 = h \, n\"<\/p>\n

Comme \"(p ,\, q) \in [[0,\, n- 1]]^2\" ,\"\qquad -2 \leqslant p + q - 2 \leqslant 2 \, n - 4\",<\/p>\n

\"p + q - 2\" est un multiple de \"n\"<\/p>\n

ssi \"p + q - 2 = 0\" ou \"p + q - 2 = n\"<\/p>\n

ssi \"p = q = 1\" ou \"p + q = n + 2\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"z_{1,1} = n\", \"z _ {p , \, n + 2 - p } = n\" si \"2 \leqslant p \leqslant n\", les autres termes sont nuls.<\/p>\n

Pour \"n = 6\" on obtient :<\/p>\n

\"X^2 = \begin{pmatrix} 1&0&0 &0&0&0\\0&0&0&0 &0&1\\ 0&0&0&0 &1&0\\.<\/p>\n

Correction de l’exercice sur l’utilisation de la base canonique<\/h2>\n

On raisonne par analyse-synth\u00e8se.<\/p>\n

Soit \"f\" une application lin\u00e9aire \"f\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" dans \"\mathbb{K}.\"<\/p>\n

Analyse : On suppose qu’il existe \"A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" telle que<\/p>\n

\"\quad \forall\, X \, \in \, \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\", \"f(X) = \textrm {Tr}(A \, X).\"<\/p>\n

On note \"A = (a_{i , \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\".<\/p>\n

En refaisant les calculs du \u00a7 3.4. de l’aide m\u00e9moire, on d\u00e9montre que<\/p>\n

\"\forall\, (p , \,q) \in [[1 ,\, n]]^2\", \"\quad \quad A\, E_{p, \,q} =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i , \,p}\, E_{i , \,q}\,\"<\/p>\n

donc \"\textrm {Tr}(A\, E_{p ,\, q}) = a_{q ,\, p} = f(E_{p ,\, q}).\"<\/p>\n

Le probl\u00e8me a donc au plus une solution \"A = (a_{i ,\,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\" telle que<\/p>\n

\"\quad \forall \, (i , j) \in [[1 ,\, n]]^2\", \"\, a_{i , \,j} = f(E_{j , \,i}).\"<\/p>\n

Synth\u00e8se :<\/em>
\nOn d\u00e9finit la matrice \"A = (a_{i , \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\"<\/p>\n

par \"\forall \, (i , j) \in [[1 ,\, n]]^2, \; a_{i ,\, j} = f(E_{j ,\, i}).\"<\/p>\n

Gr\u00e2ce au calcul de la partie analyse,
\n\"\,\forall(p , q) \in [[1 ,\, n]] ^2\", \"\quad \quad \quad f(E_{p,\, q}) = \textrm {Tr}(A\, E_{p,\, q})\"<\/p>\n

On prouve facilement que l’application \"g : X \mapsto \textrm{Tr}(A\, X)\" est lin\u00e9aire.<\/p>\n

Les applications lin\u00e9aires \"f\" et \"g\" sont \u00e9gales sur la base canonique de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" elles sont donc \u00e9gales.<\/p>\n

Conclusion :<\/em> pour toute application lin\u00e9aire \"f\" de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" dans \"\mathbb{K}\", il existe une unique matrice \"A\" telle que<\/p>\n

\"\quad \forall \, X \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\", \"f(X) = \textrm {Tr}(A \,X).\"<\/p>\n

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 <\/p>\n

Correction d’exercice sur les matrices de rang \"1\" et g\u00e9n\u00e9ralisation<\/h2>\n

Vrai\u00a0<\/strong><\/p>\n

On sait que \"A\" est \u00e9quivalente \u00e0 la matrice de type \"(n , p)\" not\u00e9e \"J_r\,\".<\/p>\n

Il existe \"U \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})\" et \"V \in \textrm{GL}_p(\mathbb{K})\" telles que \"A = U \, J_r \, V\".<\/p>\n

En introduisant la base canonique \"(E_{r,\, s})_{1 \leqslant r \leqslant n ,\, 1 \leqslant s \leqslant p}\" de \"\mathcal{M}_{n,\, p}(\mathbb{K})\",<\/p>\n

\"J_ r = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^r E_{k ,\, k}\, \Rightarrow A = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^r B_k\" avec \"B_k = U \, E_{k,\, k} \, V\".<\/p>\n

\"E_{k,\, k}\" est une matrice de rang \"1\", la multiplication par une matrice inversible ne change pas le rang d’une matrice, donc \"\textrm{rg}(B_{k}) = \textrm{rg}(E_{k ,\, k}) = 1\".<\/p>\n

Pour intensifier ses r\u00e9visions et ses entra\u00eenements il est possible de se tester sur les exercices de cours en ligne de MPSI, PTSI et PCSI. Les difficult\u00e9s comme les points forts se feront rapidement conna\u00eetre. Quelques id\u00e9es de chapitres \u00e0 travailler\u00a0 :<\/p>\n