{"id":37765,"date":"2019-11-05T12:57:33","date_gmt":"2019-11-05T11:57:33","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37765"},"modified":"2023-09-15T18:29:06","modified_gmt":"2023-09-15T17:29:06","slug":"cours-en-ligne-systemes-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-systemes-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur les syst\u00e8mes en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
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\n

Cours : Syst\u00e8mes en Maths Sup en MPSI, MP2I, PTSI, PCSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Syst\u00e8mes en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n

1. Introduction des notations
\n2. Op\u00e9rations \u00e9l\u00e9mentaires
\n3. M\u00e9thode du pivot de Gauss
\n4. Interpr\u00e9tation g\u00e9om\u00e9trique<\/p>\n

 <\/p>\n

\n

1. Introduction des notations<\/h3>\n

On note \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\" ou \"\mathbb{C}\".
\nOn appelle\u00a0syst\u00e8me\u00a0<\/b>de<\/b>\u00a0\"n\"\u00a0\u00e9quations<\/b>\u00a0\u00e0<\/b>\u00a0\"p\"\u00a0inconnues \u00e0 coefficients dans\u00a0<\/b>\"\mathbb{K}\" tout ensemble<\/a> \"(S)\" d’\u00e9quations de la forme
\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} a_{1,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{1,p} \, x_p = b_1 \\ a_{2,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{2,p} \, x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{n,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{n,p} \, x_p = b_n \end{matrix} \right.\"
\no\u00f9 les coefficients \"(a_{i,j}) _{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p}\" et \"(b_i)_{1 \leq i \leq n}\" sont dans \"\mathbb{K}\".
\nOn dit que \"(b_i)_{1 \leq i \leq n}\" sont les\u00a0seconds membres du syst\u00e8me.\u00a0<\/b><\/p>\n

Un \"p\"-uplet \"(x _1,\, \cdots \, , \, x_p) \in \mathbb{K} ^p\" est une\u00a0solution\u00a0<\/b>de\"(S)\" si elle v\u00e9rifie les \"n\" \u00e9quations du syst\u00e8me ;
\nR\u00e9soudre\"(S)\",\u00a0 c’est d\u00e9crire l’ensemble \"\mathbb{S}\" des solutions de \"(S)\".
\nLe syst\u00e8me \"(S)\"\u00a0est\u00a0compatible<\/b>\u00a0s’il admet au moins une solution ; sinon, \"(S)\"\u00a0est dit incompatible.<\/p>\n

Le syst\u00e8me \"(\mathcal {H})\"
\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} a_{1,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{1,p} \, x_p = 0 \\ a_{2,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{2,p} \, x_p = 0 \\ \vdots \\ a_{n,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{n,p} \, x_p = 0 \end{matrix} \right.\"
\nest appel\u00e9\u00a0syst\u00e8me homog\u00e8ne<\/b>\u00a0associ\u00e9 au syst\u00e8me\u00a0\"(S)\".
\nIl admet au moins la solution triviale
\n(\"x _ i = 0\" pour tout \"1 \leq i \leq p\").<\/p>\n

On note \"L_i\" : \"a_{i,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{i,p} \, x_p = b_i\" la \"i\"-\u00e8me \u00e9quation du syst\u00e8me.<\/p>\n

Le tableau \"A\" \u00e0 \"n\" lignes et \"p\" colonnes
\n\"\quad A = \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1 , 2} & \cdots & a_{1 , p} \\ a_{2,1}&a_{2 , 2} & \cdots & a_{2 , p} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{n,1}&a_{n , 2} & \cdots & a_{n , p} \end{pmatrix}\"
\nest la\u00a0matrice associ\u00e9e au syst\u00e8m<\/b>e<\/b>\u00a0\"(S)\".<\/p>\n

Sous r\u00e9serve d’avoir d\u00e9fini les op\u00e9rations sur les matrices<\/a>, en notant \"X = (x_i)_{1\leq i \leq p}\" et \"B = (b_i)_{1 \leq i \leq n}\" , les matrices colonnes \u00e0 \"p\" et \"n\" lignes respectivement, le syst\u00e8me \"(S)\"\u00a0 se traduit par \"A \, X = B\" et le syst\u00e8me homog\u00e8ne associ\u00e9 s’\u00e9crit \"A \, X = 0\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. Op\u00e9rations \u00e9l\u00e9mentaires<\/h3>\n
\n

Si \"i \neq j\" et \"\lambda \in \mathbb{K}^*\", on note :
\n\"\ast\" \"L_i \leftrightarrow L_j\" l’\u00e9change des lignes \"i\" et \"j\".
\n\"\ast\" \"L_i \leftarrow \lambda \, L_i\" la multiplication de la ligne \"i\" par \"\lambda\"
\n\"\ast\" \"L_i \leftarrow L_i + \lambda \, L_j\" l’ajout \u00e0 la ligne \"i\" de \"\lambda\" fois la ligne \"j\".<\/p>\n

Toutes ces op\u00e9rations donnent un syst\u00e8me \u00e9quivalent au syst\u00e8me initial \"(S)\" c’est-\u00e0-dire ayant les m\u00eames solutions que \"(S)\".<\/p>\n

Si \"i \neq j\" et \"(\lambda, \, \mu) \in \mathbb{K}^* \times \mathbb{K}\",
\n\"\quad \quad L_i \leftarrow \lambda \, L_i + \mu\, L_j\"
\ndonne un syst\u00e8me \u00e9quivalent au syst\u00e8me initial. car c’est une compos\u00e9e de deux op\u00e9rations \u00e9l\u00e9mentaires.<\/p>\n

3. M\u00e9thode du pivot de Gauss<\/h3>\n

3.1. Transformation du syst\u00e8me<\/b>
\n\"\bullet\" Traitement de la premi\u00e8re colonne
\n\"\ast\" On suppose qu’il existe \"i \in [\![1 , n]\!]\" tel que \"a_{i, 1} \neq 0\" (si ce n’est pas le cas, l’inconnue \"x_1\" est absente).
\nQuitte \u00e0 utiliser \"L_i \leftrightarrow L_1\,\", on peut supposer que \"a_{1 , 1} \neq 0\".
\nOn dit que \"a_{1 , 1 }\" est le\u00a0premier pivot<\/i>.<\/p>\n

\"\ast\" Pour tout \"i \in [\![2 , \, n]\!]\", on utilise
\n\"\quad \quad \; \; L_i \leftarrow \displaystyle L_i - \frac {a_{i , 1} } {a_{1 , 1 } }L_1\"
\nce qui permet d’annuler les coefficients de \"x_1\" dans les lignes \"2\" \u00e0 \"n\".
\nLa matrice \"A(1)\" associ\u00e9e \u00e0 ce syst\u00e8me \u00e9quivalent \"(S_1)\" est
\n\"A^ {(1)} = \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1 , 2} & \cdots & a_{1 , p} \\ 0 & \textrm{ } & \textrm{ } &\textrm{ } \\ \vdots & \textrm{ } & A_1 &\textrm{ }\\ 0 & \textrm{ } & \textrm{ } &\textrm{ } \end{pmatrix}\"
\no\u00f9 \"A_1\" a \"n - 1\" lignes et \"p - 1\" colonnes.
\nSi \"A_1 = 0\", la transformation du syst\u00e8me est termin\u00e9e.<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0Recherche du pivot suivant lorsque<\/i>\u00a0\"A_1 \neq 0\".
\nOn num\u00e9rote les colonnes de \"A_1\" de \"2\" \u00e0 \"p\" et les lignes de \"2\" \u00e0 \"n\".
\nSi \"j\" est le num\u00e9ro de la premi\u00e8re colonne de \"A_1\" non nulle et si \"a_{i , j}(1) \neq 0\", on \u00e9change si n\u00e9cessaire les lignes \"L_i\" et \"L_1\" du syst\u00e8me \"(S_1)\" de sorte que \"a_{2 , j}^{(1)} \neq 0\" .
\nOn effectue pour tout \"i \in [\![3 , \, n]\!]\" ,
\n\"\quad \quad L_i \leftarrow \displaystyle L_i - \frac {a_{i, j}^{(1) }} {a_{2, j}^{(1)} }\, L_2\"
\nde fa\u00e7on \u00e0 annuler les coefficients de \"x_j\" dans les lignes \"3\" \u00e0 \"n\".<\/p>\n

On obtient un syst\u00e8me \u00e9quivalent \"(S_2)\" admettant comme matrice associ\u00e9e :
\n\"A^{(2)} =\"
\n\"\begin{pmatrix} a_{1,1}& \cdots & \cdots & a_{1 , j} & \cdots & a_{1 , p} \\ 0 & \cdots& 0 & a_{2 , j}^{(1)} & \cdots & a_{2 , p}^{(1)} \\ 0 & \cdots &0 & \textrm{ } & \textrm{ } &\textrm{ } \\ \vdots &\vdots &\vdots & \textrm{ } & A_2 &\textrm{ }\\ 0&\cdots &0& \textrm{ } & \textrm{ } &\textrm{ } \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"\ast\" On recommence avec \"A_2\" si \"A_2 \neq 0\".<\/p>\n

3.2. Discussion du syst\u00e8me<\/b>
\nOn obtient l’existence d’un entier \"r \leq \min(n , p)\" et des pivots
\n\"\quad a_{1 , 1}\" , \"a_{2 ,\, j_2\, }^{(1)}\" , \"\cdots\" , \"a_{r , \, j_r\, } ^{(r-1)}\" tels que le syst\u00e8me soit \u00e9quivalent au syst\u00e8me :
\n\"\left \{ \begin{matrix} a_{1,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{1,p} \, x_p &= &b_1 \\\quad a_{2,j_2}^{(1)} \,x_{j_2} \,+ \cdots \cdots &= &b_2^{(1)} \\ \quad \quad \quad \ddots \\ \quad \quad \quad a_{r,j_r}^{(r-1)}\,x_{j_r} + \, \cdots &=& b_r^{(r - 1) } \\ \quad \quad \quad \quad \quad 0 &=& b_{r + 1}^{(r) } \\\quad \quad \quad \quad \quad \vdots& & \vdots \\ \quad \quad \quad \quad \quad 0 &=&b_n^{(r)} \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

On dit que l’entier \"r\" est le\u00a0rang\u00a0<\/i>du syst\u00e8me<\/i>\u00a0\"(\mathcal{S} )\".
\nLes \"n - r\" derni\u00e8res \u00e9quations<\/a> \u00e9tant absentes lorsque \"n = r\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n > r\" et si l’un des coefficients \"b_{r + 1}^{(r)} \, ,\, \cdots \, , \, b_n^{(r)}\" est non nul, le syst\u00e8me est impossible.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \geq r\" et si \"b_{r + 1}^{(r)}= \cdots = b_n^{(r)} = 0\", le syst\u00e8me est \u00e9quivalent au syst\u00e8me form\u00e9 par les \"r\" premi\u00e8res \u00e9quations. Le syst\u00e8me est dit\u00a0compatible<\/i>.
\n\"\ast\" Si \"r =p\", \"j_2 = 2\, , \cdots \, , \, j_p = p\", le syst\u00e8me admet une unique solution : on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"L_p\,\", puis \"L_{p- 1} \,\" et on termine par \"L_1\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"r < p\", le syst\u00e8me admet une infinit\u00e9 de solutions exprim\u00e9es en fonction<\/a> des inconnues \"x_j\" o\u00f9 \"j \notin \{ 1 , j_2 \, , \, \cdots \,, j_ r\}\" : on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"L_r\,\" , puis \"L_{r - 1} \,\" et on termine par \"L_1\,\".<\/p>\n

Remarque<\/i>\u00a0: si \"n = p = r\", le syst\u00e8me \"(S)\" admet une unique solution. Il est appel\u00e9\u00a0syst\u00e8me de Cramer<\/i>.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>
\nR\u00e9soudre dans \"\mathbb{R}\" selon la valeur de \"\alpha \in \mathbb{R}\" le syst\u00e8me
\n\"(S)\" \"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} & & y & + & z & & &=&2\\x& & &+& z & +& t &=&0\\ x &+&y&+&2z&+&t&=&2\\2x&+&2y&+&4z& & &=&-1\\x&-&y & & &+& t& = &\alpha\end{matrix} \right.\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

La matrice associ\u00e9e \u00e0 ce syst\u00e8me est : <\/em>
\n\"\quad \quad A = \begin{pmatrix} 0&1&1&0\\1&0&1&1\\1&1&2&1\\2&2&4&0\\1&-1&0&1\end{pmatrix}\"<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Recherche d’un syst\u00e8me \u00e9quivalent au syst\u00e8me \"(S)\".<\/em>
\n\"\ast\" Premi\u00e8re op\u00e9ration : \"L_1 \leftrightarrow L_2\" et le premier pivot est 1 : <\/em>
\n\"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\ x &+&y&+&2z&+&t&=&2\\2x&+&2y&+&4z& & &=&-1\\x&-&y & & &+& t& = &\alpha\end{matrix} \right.\".<\/em>
\nLa matrice associ\u00e9e est <\/em>
\n\"\begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&1&0\\1&1&2&1\\2&2&4&0\\1&-1&0&1\end{pmatrix}\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Suppression de la variable<\/a> \"x\" dans les lignes de num\u00e9ro sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 2 : <\/em>
\n\"L_3 \leftarrow L_3 - L_1\,\", \"L_4 \leftarrow L_4 - 2 L_1\" et \"L_5 \leftarrow L_5 - L_1\" <\/em>
\nOn obtient le syst\u00e8me \u00e9quivalent <\/em>
\n\"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\ & &y&+&z& & &=&2\\& & 2y&+&2z&- & 2t &=&-1\\ & &- y &- & z & & & = &\alpha\end{matrix} \right.\".<\/em>
\net la matrice associ\u00e9e est <\/em>
\n\"\displaystyle\begin{pmatrix} 1&0&1&1 \\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&2&2&-2\\0&-1&-1&0\end{pmatrix}\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" Le pivot suivant est en ligne 2, colonne 2 , on supprime l’inconnue \"y\" \u00e0 partir de la troisi\u00e8me \u00e9quation par les op\u00e9rations <\/em>
\n\"L_3 \leftarrow L_3 - L_2\,\" , \"L_4 \leftarrow L_4 - 2 L_2\" et \"L_5 \leftarrow L_5 + L_2\" <\/em>
\nOn obtient le syst\u00e8me \u00e9quivalent : <\/em>
\n\"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\ & & & & & & 0 &=&0\\& & & & & & -2t &=&-5\\ & & & & & & 0 & = &\alpha- 2 \end{matrix} \right.\".<\/em>
\nde matrice associ\u00e9e<\/em>
\n\"\begin{pmatrix} 1&0&1&1 \\0&1&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-2\\0&0&0&0\end{pmatrix}\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On utilise \"L_4\leftrightarrow L_3\"<\/em>
\n\"\bullet\" On obtient le syst\u00e8me \u00e9quivalent : <\/em>
\n\"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\& & & & & & -2t &=&-5 \\ & & & & & & 0 &=&0 \\ & & & & & & 0 & = &\alpha- 2 \end{matrix} \right.\".<\/em>
\net la matrice associ\u00e9e est <\/em>
\n\"\begin{pmatrix} 1&0&1&1 \\0&1&1&0\\0&0&0&-2\\0&0&0&0 \\0&0&0&0 \end{pmatrix}\"<\/em><\/p>\n

La transformation est termin\u00e9e.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Rang et discussion. <\/em>
\nOn a obtenu 3 pivots en colonnes 1, 2 et 4 .<\/em>
\nLe syst\u00e8me est de rang 3.<\/em>
\nIl est incompatible lorsque \"\alpha \neq 2\". <\/em>
\nIl est compatible lorsque \"\alpha = 2\" et dans ce cas il est \u00e9quivalent au syst\u00e8me<\/em>
\n\"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\& & & & & & -2\, t &=&-5 \end{matrix} \right.\".<\/em>
\n\"x\", \"y\" et \"t\" sont inconnues principales et \"z\" est inconnue secondaire.<\/em><\/p>\n

\"\bullet\" Fin de la r\u00e9solution. <\/em>
\n\"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\& & & & & & -2\, t &=&-5 \end{matrix} \right.\".<\/em>
\nssi \"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x &=& - z - t \\y &=& 2 - z \\ t &=& 5/2 \end{matrix} \right.\"<\/em>
\nssi \"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x &=& - z - 5/2 \\y &=& 2 - z \\ t &=& 5/2 \end{matrix} \right.\"<\/em><\/p>\n

L’ensemble des solutions est l’ensemble des 4-uplets <\/em>
\n\"(- z - 5/2\, , \, 2 - z \, , \, z \, , \, 5/2)\" lorsque \"z \in \mathbb{R }\".<\/em><\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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4. Interpr\u00e9tation g\u00e9om\u00e9trique<\/h3>\n

4.1. Syst\u00e8me r\u00e9el<\/a> de 2 \u00e9quations \u00e0 2 inconnues<\/b>
\nOn suppose que le plan \"\mathbb{R} ^2\" est rapport\u00e9 au rep\u00e8re canonique not\u00e9 \"\mathcal{R} (O , \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"(a ,\, b) \neq (0 , \, 0)\", \"a \, x + b \, y = c\" est l’\u00e9quation d’une droite \"\Delta\" de \"\mathbb{R }^2\" orthogonale au vecteur \"\overrightarrow{n} = (a ,\, b)\" ou de vecteur<\/a> directeur \"\overrightarrow{u}= (- b , \, a)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"(a , \,b) \neq (0 , \, 0)\" et \"(c , \,d) \neq (0 , \, 0)\" soit \"(\mathcal{S}) : \left \{ \begin{matrix} a \, x + b \, y = e \\c \, x + d \, y = f \end{matrix} \right.\"
\nOn note
\n\"\Delta\" la droite d’\u00e9quation \"a\, x + b \, y = e\"
\net \"\Delta '\" la droite d’\u00e9quation \"c \, x + d \, y = f\".
\n\"\ast\" Si \"a \, d - b \, c \neq 0\", \"(S)\" admet comme unique solution le point d’intersection des deux droites \"\Delta\" et \"\Delta'\".<\/p>\n

\"\ast\" Si les droites \"\Delta\" et \"\Delta'\" sont parall\u00e8les (\"a \, d - b \, c = 0\") et distinctes, le syst\u00e8me \"(S)\" n’a pas de solution.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\Delta = \Delta'\" soit s’il existe \"\lambda \in \mathbb{R}^*\" tel que \"c = \lambda\, a \, , d = \lambda \, b , f = \lambda \, e\", l’ensemble des solutions de \"(S)\" est l’ensemble des points de \"\Delta\".<\/p>\n

4.2. Syst\u00e8me r\u00e9el de 3 \u00e9quations \u00e0 3 inconnues<\/b>
\nOn suppose que l’espace \"\mathbb{R} ^3\" est rapport\u00e9 au rep\u00e8re canonique not\u00e9 \"\mathcal{R} (O , \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"(a , \, b, \, c ) \neq (0 , \, 0, \, 0)\",
\n\"\quad \quad a \, x + b \, y + c\, y = d\"
\nest l’\u00e9quation d’un plan \"\mathcal{P}\" de \"\mathbb{R }^3\" orthogonal au vecteur \"\overrightarrow{n} = (a ,\, b, \, c)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"(a , \, b, \, c )\",\u00a0\"(a' , \, b', \, c' )\"\u00a0 et
\n\"(a'' , \, b'', \,c'' )\" dans \"\mathbb{R}^3\" tous distincts de \"(0 ,\, 0,\ 0 )\".
\nOn note \"\mathcal{P}\" le plan d’\u00e9quation \"\quad \quad a \, x + b \, y + c \, y = d\".
\nOn d\u00e9finit de m\u00eame les plans \"\mathcal{P}'\" et \"\mathcal{P}''\".
\nSoit\u00a0\"(S)\" :
\n\"\left \{ \begin{matrix} a \, x &+& b \, y &+& c \, z &=& d \\a' \, x &+& b' \, y &+& c' \, z &=& d'\\ a'' \, x &+& b'' \, y &+& c'' \, z &=& d'' \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

R\u00e9soudre le syst\u00e8me \"(S)\" revient \u00e0 chercher l’intersection des trois plans \"\mathcal{P}\" , \"\mathcal{P}'\" et \"\mathcal{P}''\".
\nOn note \"r\" le rang du syst\u00e8me \"(S)\"
\nOn peut avoir
\n\"\ast\" un point (\"r = 3\").
\n\"\ast\" une droite lorsque deux des plans sont non parall\u00e8les et le troisi\u00e8me a une \u00e9quation combinaison lin\u00e9aire des \u00e9quations de ces deux plans.
\n(\"r = 2\" et \"(S)\" compatible).
\n\"\ast\" un plan lorsque les trois plans sont confondus
\n(\"r = 1\" et syst\u00e8me compatible)
\n\"\ast\" l’ensemble vide lorsque deux des trois plans sont parall\u00e8les et distincts (\"r < 3\" et syst\u00e8me incompatible).<\/p>\n

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