{"id":37774,"date":"2019-11-05T13:30:09","date_gmt":"2019-11-05T12:30:09","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37774"},"modified":"2022-07-12T14:25:33","modified_gmt":"2022-07-12T13:25:33","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-systemes-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-systemes-maths-sup\/","title":{"rendered":"Syst\u00e8mes en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s sur les syst\u00e8mes en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices de syst\u00e8mes<\/h2>\n
\n

1. Syst\u00e8me de 2 \u00e9quations \u00e0 2 inconnues
\n2. Syst\u00e8me de \"4\" \u00e9quations \u00e0 \"4\" inconnues
\n3. Syst\u00e8me de \"4\" \u00e9quations \u00e0 \"4\" inconnues et \"2\" param\u00e8tres
\n4. Syst\u00e8me de \"4\" \u00e9quations \u00e0 \"3\" inconnues et \"2\" param\u00e8tres
\n5. Syst\u00e8me de 3 \u00e9quations \u00e0 \"3\" inconnues
\n6. \"4\" \u00e9quations \u00e0 \"4\" inconnues et un param\u00e8tre
\n7. \"3\" \u00e9quations \u00e0 \"3\" inconnues et \"2\" param\u00e8tres<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

1. Syst\u00e8me de 2 \u00e9quations \u00e0 2 inconnues<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nLe syst\u00e8me \"(S)\" : \"\left \{ \begin{matrix} a\, x + b \, y = e \\ c\, x + d \, y = f \end{matrix} \right.\" a une unique solution ssi \"a \, d - b \, c \neq 0\".
\nExprimer la solution lorsque le syst\u00e8me admet une unique solution. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\bullet\" Si \"a \neq 0\",\u00a0 en formant \"L_2 \leftarrow L_2 - \displaystyle \frac c a \, L_1\"
\n\"(S)\" : \"\left \{ \begin{matrix} a\, x &+& b\, y &=& e \\ & &(d - c \, b /a) \, y &=& f - (c \, e) / a \end{matrix} \right.\"
\navec \"L_2 \leftarrow \displaystyle \frac 1 a \, L_2 \,\",
\n\"(S)\" : \"\left \{ \begin{matrix} a\, x &+& b\, y &=& e \\ & & (a \, d - c \, b ) \, y &=& f\, a - c \, e \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\; \; \ast\" Si \"a \, d - b \, c= 0\", le syst\u00e8me \"(S)\" est \u00e9quivalent \u00e0 un syst\u00e8me ayant \"0\" ou une infinit\u00e9 de solutions.<\/p>\n

\"\; \; \ast\" Si \"a \neq 0\" et \"a \, d - b \, c \neq 0\", le syst\u00e8me admet une unique solution donn\u00e9e par \"y = \displaystyle \frac {a \, f - c \, e} { a \, d - b \, c}\" et \"a \, x = e - b\, y\"
\n\"a \, x = \displaystyle \frac {e(a \, d - b \, c) - b(a \, f - c \, e)} { a \, d - b \, c}\"
\n\"a \, x = \displaystyle \frac {a(e\, d - b \,f)} { a \, d - b \, c}\" \"\Leftrightarrow\"\u00a0\"x = \displaystyle \frac {e \, d - b\,f } { a \, d - b \, c}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a = 0\", en \u00e9changeant \"L_1\" et \"L_2\"
\n\"(S)\" : \"\left \{ \begin{matrix} c \, x &+ &d\, y &=& f \\& & b \, y &= &e\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\; \; \ast\" Si \"c = 0\" , \"a \, d - b \, c = 0\" et le syst\u00e8me \"\left \{ \begin{matrix} d \, y& =& f \\ b \, y &=& e\end{matrix} \right.\" admet \"0\" ou une infinit\u00e9 de solutions.<\/p>\n

\"\; \; \ast\" Si \"c \neq 0\" et \"b = 0\", \"a \, d - b \, c = 0\" et le syst\u00e8me \"\left \{ \begin{matrix} c \, x + d \, y& =& f \\ 0&= &e\end{matrix} \right.\" admet \"0\" ou une infinit\u00e9 de solutions.<\/p>\n

\"\; \; \ast\" Si \"b \, c \neq 0\", alors \"a \, d - b \, c = - \, b \, c \neq 0\",\u00a0 le syst\u00e8me admet une unique solution que l’on calcule :
\n\"y = \displaystyle \frac {e} {b} = \frac {a \, f - c \, e} { a \, d - b \, c}\"
\n\"c \, x = f - d \, y = \displaystyle f - d\, \frac {e} {b}\"
\n\"x = \displaystyle \frac {b \, f - d \, e} {b \, c}\"\u00a0soit \"x = \displaystyle \frac {e\, d - b \,f } { a \, d - b \, c}\" car \"a = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Conclusion :\u00a0<\/b>\u00a0le syst\u00e8me admet une unique solution ssi \"a \, d - b \, c \neq 0\" et dans ce cas
\n\"\quad \quad x = \displaystyle \frac {b \, f - e \,d } { a \, d - b \, c}\"\u00a0et \"y = \displaystyle \frac {a \, f- c \, e} { a \, d - b \, c}\".<\/p>\n<\/div>\n

Exercice 2<\/b>
\nOn suppose que \"(a , \,b) \neq (0 , \, 0)\".
\nLe syst\u00e8me \"(S)\" : \"\left \{ \begin{matrix} a\, x + b\, y = e \\ c\, x + d\, y = f \end{matrix} \right.\" a une infinit\u00e9 de solutions ssi \"a \, d - b \, c = 0\" et
\n\"\exists \, \lambda \in \mathbb{K}, \, c = \lambda \, a , \, d = \lambda \, b\" et \"f = \lambda \, e\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

Condition n\u00e9cessaire<\/b>.
\nOn suppose que le syst\u00e8me admet une infinit\u00e9 de solutions.
\nL’exercice 1 implique que \"a \, d - b \, c = 0\". On reprend les calculs effectu\u00e9s dans cet exercice.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"a \neq 0\".
\n\"\ast\" On note \"\lambda \in \mathbb{K}\" tel que \"c = \lambda \, a\"
\nalors \"a \, d = b \, c = \lambda \, b \, a\" \"\Rightarrow\" \"d = \lambda \, b\".
\nLe syst\u00e8me est \u00e9quivalent \u00e0
\n\"\left \{ \begin{matrix} a\, x& +& b\, y &=& e \\ & & (a \, d - c \, b ) y &=& f\, a - c \, e \end{matrix} \right.\"
\nsoit \u00e0 \"\left \{ \begin{matrix} a\, x& +& b \, y &=& e \\ & & 0 &=& f\, a - c \, e \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Il admet une infinit\u00e9 de solutions ssi \"f\, a - c \, e = 0\" ce qui donne \"f \, a = \lambda\, a \, e\" soit \"f = \lambda \, e\".
\nOn a prouv\u00e9 qu’il existe \"\lambda \in \mathbb{K}\" tel que \"c = \lambda \, a , \, d = \lambda \, b\" et \"f = \lambda \, e\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a = 0\", \"a \, d = b \, c \Rightarrow b\, c = 0\".
\nOn suppose que \"(a , b) \neq 0\", donc \"c = 0\".
\nLe syst\u00e8me s’\u00e9crit : \"\left \{ \begin{matrix} b \, y &=& e \\ d \, y &=& f \end{matrix} \right.\"
\nssi \"\displaystyle y = \frac e b\" et \"\displaystyle d \, \frac e b = f\" \"\Rightarrow\" \"d \,e = b \, f\".<\/p>\n

Comme \"b \neq 0\", on pose \"\lambda = \displaystyle \frac d b\", alors \"d = \lambda \, b\", \"c = \lambda \, a\" (c’est \"0 = 0\") puis \"d \, e = b \, f\" et \"b \neq 0\" donnent \"f = \lambda \, e\".
\nOn a prouv\u00e9 qu’il existe \"\lambda\" tel que
\n\"\quad \quad c = \lambda \, a , \, d = \lambda \, b\" et \"f = \lambda \, e\".<\/p>\n

Condition suffisante<\/b>
\nOn suppose qu’il existe \"\lambda \in \mathbb{K}\" tel que
\n\"c = \lambda \, a , \, d = \lambda \, b\" et \"f = \lambda \, e\".
\nLe syst\u00e8me s’\u00e9crit
\n\"(S)\" : \"\left \{ \begin{matrix} a\, x + b\, y &=& e \\ \lambda (a\, x + b \,y) &=& \lambda \, e \end{matrix} \right.\"
\net en formant \"L _2 \leftarrow L_2 - \lambda \, L_1\"
\n\"(S)\" est \u00e9quivalent \u00e0 : \"a \, x + b \, y = e\".
\n\"(S)\" admet une infinit\u00e9 de solutions.<\/p>\n

2. Syst\u00e8me de 4 \u00e9quations \u00e0 4 inconnues<\/h2>\n<\/div>\n
\n

Exercice : <\/b>R\u00e9soudre sur \"\mathbb{K}\" lorsque \"a \in \mathbb{K}\",
\n\"(S)\" \"\left \{ \begin{matrix} x + 2\, y - z + t &=&1\\ x + 3\, y + z - t &=& 1\\ - x + \; y + 7\, z + 2\, t &=& 1 \\ 2 \, x + y - 8\, z + t &=& a \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On \u00e9chelonne le syst\u00e8me.<\/b>
\n\"(S)\" \"\left \{ \begin{matrix} x + 2\, y - z + t &=&1\\ x + 3\, y + z - t &=& 1\\ - x + \; y + 7\, z + 2\, t &=& 1 \\ 2 \, x + y - 8\, z + t &=& a \end{matrix} \right.\"
\nEn utilisant \"L_2 \leftarrow L_2 - L_1\,\", \"L_3 \leftarrow L_3 + L_1\,\", \"L_4 \leftarrow 2 \, L_1 - L_4\,\",
\non obtient le syst\u00e8me \u00e9quivalent :
\n\"\left \{ \begin{matrix} x + 2 y - z + t &=&1\\\quad \quad y + 2 z - 2 t &=& 0\\ \quad \quad 3 y + 6 z + 3t &=& 2 \\ \quad \quad 3 y + 6 z + t &=& 2 - a \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Puis en formant
\n\"L_3 \leftarrow L_3 - 3 L_2\,\" et \"L_4 \leftarrow L_4 - 3 L_2\,\",
\non obtient le syst\u00e8me \u00e9quivalent :
\n\"\left \{ \begin{matrix} x + 2 y - z + t &=&1\\ \quad \quad y + 2 z - 2 t &=& 0\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad 9\,t &=& 2 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 7 \, t &=& 2 - a \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

et avec \"L_4 \leftarrow 9 \, L_4 - 7 \, L_3\,\",
\n\"\left \{ \begin{matrix} x + 2 y - z + t &=&1\\ \quad \quad y + 2 z - 2 t &=& 0\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 9\,t &=& 2 \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0&=& 4 - 9\, a \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Discussion.<\/b>
\n\"\ast\" Le syst\u00e8me est un syst\u00e8me de rang 3, incompatible si \"a \neq \displaystyle \frac 4 9\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a = \displaystyle \frac 4 9\", on exprime \"x , y\" et \"t\" en fonction de \"z\"
\n\"\left \{ \begin{matrix} x &=& - 8/9+ 4\, z + z -2/9+ 1 \\ y &=& - 2\, z +4/9\\ t &=& 2/9 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

L’ensemble des solutions<\/b>\u00a0est donn\u00e9 par
\n\"\displaystyle \left \{ \left (5 \, z - \frac 1 9 \, , \, \frac 4 9 - 2\, z \, , z \, , \, \frac 2 9\right ) \, / \, z \in \mathbb{K} \right \}\".\u00a0<\/em><\/p>\n

3. Syst\u00e8me de 4 \u00e9quations \u00e0 4 inconnues et 2 param\u00e8tres<\/h2>\n

Exercice : <\/b>R\u00e9soudre sur \"\mathbb{K}\" lorsque \"(a,\, b) \in \mathbb{K}^2\",
\n\"\left \{ \begin{matrix} x\; -\; y\; +\; z \; +\; t &=&a\\ 3 x - 3 y + 3 z +2 t &=& 1\\ x \; -\; y\; +\; z \quad \quad &=& b \\ 5 x - 5 y +5 z +7 t &=& 0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On \u00e9chelonne le syst\u00e8me.<\/b>
\n\"\left \{ \begin{matrix} x\; -\; y\; +\; z \; +\; t &=&a\\ 3 x - 3 y + 3 z +2 t &=& 1\\ x \; -\; y\; +\; z \quad \quad &=& b \\ 5 x - 5 y +5 z +7 t &=& 0 \end{matrix} \right.\"
\nEn utilisant \"L_2 \leftarrow - L_2 + 3 L_1\,\" , \"L_3 \leftarrow L_1 - L_3\,\", \"L_4 \leftarrow L_4 - 5 L_1\,\",
\non obtient le syst\u00e8me \u00e9quivalent :
\n\"\left \{ \begin{matrix} x - y + z + t &=&a\\ \quad \quad \quad \quad t &=& 3\, a - 1\\ \quad \quad \quad \quad t &=& a - b \\ \quad \quad \quad \quad 2 \, t &=& - 5 \, a \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

En utilisant
\n\"L_3 \leftarrow L_3 - L_2\,\", \"L_4 \leftarrow L_4 - 2 L_2\,\",
\non obtient le syst\u00e8me \u00e9quivalent :
\n\"\left \{ \begin{matrix} x - y + z + t &=&a\\ \quad \quad \quad \quad t &=& 3\, a - 1\\ \quad \quad \quad \quad 0 &=&1 - 2\, a - b \\ \quad \quad \quad \quad 0 &=& - 11 \, a + 2 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Discussion<\/b>
\nOn obtient un syst\u00e8me de rang 2.
\nIl est compatible ssi \"\quad \quad \left \{ \begin{matrix} 0 &=&1 - 2 \, a - b \\ 0 &=& - 11 \, a + 2 \end{matrix} \right.\"
\nssi \"\left \{ \begin{matrix} a &=&2/11 \\ b &=& 1 - 4/11 \end{matrix} \right.\"
\nssi \"a = \displaystyle \frac 2 {11}\" et \"b = \displaystyle \frac 7 {11}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9solution s’il est compatible<\/b>
\nOn suppose que ces conditions sont v\u00e9rifi\u00e9es, on exprime les solutions en fonction<\/a> de \"y\" et \"z\".
\n\"\left \{ \begin{matrix} x - y + z + t &=&2 /11\\ \quad \quad \quad \quad t &=& - 5/11 \end{matrix} \right.\"
\nssi \"\left \{ \begin{matrix} x & =& y - z +7/11 \\ t &=& - 5/11 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Conclusion\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" Si \"a = \displaystyle \frac 2 {11}\" et \"b = \displaystyle \frac 7 {11}\",\u00a0l’ensemble<\/a> des solutions est donn\u00e9 par
\n\"\displaystyle \left \{ \left (y - z + \frac 7 {11} \, , \, y \, , \, z \, , \, -\frac 5 {11} \right ) \, / \, (y \, , z) \in \mathbb{K}^2 \right \}\".
\n\"\ast\" Si \"a \neq \displaystyle \frac 2 {11}\" ou \"b \neq \displaystyle \frac 7 {11}\", le syst\u00e8me n’a pas de solution.<\/p>\n

4. Syst\u00e8me de 4 \u00e9quations \u00e0 3 inconnues et 2 param\u00e8tres<\/h2>\n

Exercice : <\/b>R\u00e9soudre sur \"\mathbb{R}\" lorsque \"(a,\, b) \in \mathbb{R}^2\",
\n\"(S)\" \"\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z &=&6 \, a+ 4 \\ 2 x +a y + z &=& b\\ a \, x + y + 2 z &=& b \\ x + y + z&=& 2 \, a + 6 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Correction :<\/b><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On \u00e9chelonne le syst\u00e8me<\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z &=&6 \, a+ 4 \\ 2 x +a y + z &=& b\\ a \, x + y + 2 z &=& b \\ x + y + z&=& 2 \, a + 6 \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nEn utilisant \"L_2 \leftarrow 2 L_1 - L_2 \,\" , \"L_3 \leftarrow L_3 - a\, L_1\,\", \"L_4 \leftarrow L_1 - L_4\,\",<\/em>
\non obtient le syst\u00e8me \u00e9quivalent :\u00a0<\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z =6\, a+ 4 \quad \quad \quad \quad\quad \quad \\ (4 - a) y +(2 a - 1) z = 12 a + 8 - b \\(1 - 2 a) y + (2 - a^2) z = b - 6 a^2 - 4 a \\ y + (a - 1) z= 4 a - 2 \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em><\/p>\n

puis en \u00e9changeant \"L_2\" et \"L_ 4\"<\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z =6a+ 4 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ y + (a - 1) z= 4 a - 2 \\(1 - 2 a) y + (2 - a^2) z = b - 6a^2 - 4 a \\ (4 - a) y +(2 a - 1) z = 12 a + 8 - b \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nen formant \"L _ 3 \leftarrow L_3- (1 - 2 \, a) L_2\" et \"L_4 \leftarrow L_4 - (4 - a) L_2\,\",\u00a0on obtient apr\u00e8s calculs le syst\u00e8me \u00e9quivalent :<\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z =6 a+ 4 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ y + (a - 1) z= 2 - 4 a\quad \quad \\ (a^2 - 3 \, a + 3) z =2 a ^2 - 12 a + 2 + b \\(- 3\, a + 3 + a^2) z = - b +4 a^2 - 6 a+16\end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em><\/p>\n

Puis avec \"L_4 \leftarrow L_3 - L_4\"<\/em>
\n\"\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z =6 a+ 4 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ y + (a - 1) z=4 a - 2 \quad \quad \\(a^2 - 3\, a + 3 ) z = b + 2 a^2 - 12 a+2 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 = 2b - 2 a ^2 - 6 a - 14 \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Discussion<\/em>
\n\"\ast\" Le syst\u00e8me est incompatible si \"b \neq a ^2 +3\, a +7\"<\/em><\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"b = a ^2 +3\, a +7\".\u00a0<\/em>
\nLe syst\u00e8me est un syst\u00e8me de rang 3 car \"a^2 - 3 \,a + 3 \neq 0\".\u00a0<\/em>
\net \"b + 2 \, a^2 - 12 \, a+2 = 3\, a^2 - 9 \, a + 9\"<\/em>
\nce qui permet de simplifier la derni\u00e8re \u00e9quation<\/a> par \"a^3 - 3 \, a + 3 \neq 0\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\left \{ \begin{matrix} x &+&2 y &+& a\, z &=&6 a+ 4 \\ & & y &+& (a - 1) z&=& 4 a - 2 \\ & & & & z &=& 3 \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nssi \"\left \{ \begin{matrix} x &=& -2 y - a\, z +6 a+ 4 \\ y &=& - 3 (a - 1) + 4 a - 2 \\ z &=& 3 \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em>
\nssi \"\left \{ \begin{matrix} x &=& a+ 2 \\ y &=&a + 1 \\ z &=& 3 \end{matrix} \right.\"\u00a0<\/em><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Conclusion<\/em>
\nLe syst\u00e8me n’a pas de solution si \"b \neq a ^2 +3\, a +7\"<\/em>
\net une seule solution \"(a + 2,\, a + 1\, ,\, 3)\" si \"b = a ^2 +3\, a +7\".<\/em><\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

5. Syst\u00e8me de 3 \u00e9quations \u00e0 3 inconnues<\/h2>\n

Exercice : <\/b>R\u00e9soudre sur \"\mathbb{K}\" lorsque \"m \in \mathbb{K}\",
\n\"\left \{ \begin{matrix} x \; \; +\; \; y \;\; + \; \; z \; \; &=& m + 1 \\ m x + y + (m - 1) z &=& m \\ x \; + \; m y \; +\; z &=&1 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On \u00e9chelonne le syst\u00e8me\u00a0<\/b>
\n\"\left \{ \begin{matrix} x \; \; +\; \; y \;\; + \; \; z \; \; &=& m +1 \\ m x + y + (m - 1) z &=& m \\ x \; + \; m y \; +\; z &=&1 \end{matrix} \right.\"
\nEn utilisant \"L_2 \leftarrow L_2 - m \, L_1\" et \"L_3 \leftarrow L_3 - L_1\,\",
\n\"\left \{ \begin{matrix} x\;\; +\; \; y\; \; +\; \; z\; &=& m + 1 \\ \quad \quad (1 - m) y - z &=& - m^2 \\ \quad \quad \quad \quad ( m- 1) y &=&-m \end{matrix} \right.\"
\nsyst\u00e8me que l’on r\u00e9ordonne sous la forme pour obtenir un syst\u00e8me triangulaire :
\n\"\left \{ \begin{matrix} x\; \; + \; \; z \; \; +\; \; y &=& m + 1 \\ \quad \quad z + (m - 1) y &=& m^2 \\ \quad \quad \quad \quad ( m - 1) y &=&-m \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Discussion<\/b>
\n\"\ast\" Si \"m = 1\", le syst\u00e8me est incompatible car la derni\u00e8re \u00e9quation s’\u00e9crit \"0 =- 1\".
\nIl n’a pas de solution.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"m \neq 1\", c’est un syst\u00e8me de rang 3 admettant une unique solution que l’on obtient en \u00ab\u00a0remontant\u00a0\u00bb le syst\u00e8me
\n\"y = \displaystyle \frac {- m} {m - 1}\"
\n\"z = -(m - 1) y + m^2 = m + m ^2\"
\n\"x = \displaystyle - y - z + m + 1 = \displaystyle \frac m {m - 1} - m^2 + 1\"
\n\"x = \displaystyle \frac {-m ^3 + m ^2 + 2 \, m - 1} {m - 1}\"
\ndonc la seule solution est \"\displaystyle \left ( \frac {-m ^3 + m ^2 + 2 \, m - 1} {m - 1}\, , \, \frac {- m} {m - 1},\,m ^2 + m \right )\"<\/p>\n

6. 4 \u00e9quations \u00e0 4 inconnues et un param\u00e8tre<\/h2>\n

Exercice : <\/b>R\u00e9soudre sur \"\mathbb{K}\" lorsque \"\lambda \in \mathbb{K}\",
\n\"(S)\" \"\left \{ \begin{matrix} x + y+ z + (1 + \lambda)t &=& 4 \\ x + (1 + \lambda)y + z + t &=& - 2 \\ x + y + (1 + \lambda) z + t &=&- 3 \\ (1 + \lambda)x + y + z + t &=& 1 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On \u00e9chelonne le syst\u00e8me\u00a0<\/b>
\n\"\left \{ \begin{matrix} x + y+ z + (1 + \lambda)t &=& 4 \\ x + (1 + \lambda)y + z + t &=& - 2 \\ x + y + (1 + \lambda) z + t &=&- 3 \\ (1 + \lambda)x + y + z + t &=& 1 \end{matrix} \right.\"
\nEn utilisant \"L_2 \leftarrow L_2 - \, L_1\,\", \"L_3 \leftarrow L_3 - L_1\" et \"L_4 \leftarrow L_4 -(1 + \lambda) L_1\,\",
\non obtient le syst\u00e8me \u00e9quivalent :
\n\"\left \{ \begin{matrix} x + y + z + (1 + \lambda)t &=& 4 \\ \quad \lambda \, y \quad \quad \quad - \lambda \, t &=& - 6 \\ \quad \quad \quad \quad \lambda\, z - \lambda \, t &=&- 7 \\ - \lambda y - \lambda z - \lambda(2 + \lambda) t &=& - 3 - 4 \lambda \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

puis avec \"L_4 \leftarrow L_4 + L_2 + L_3\"
\n\"\left \{ \begin{matrix} x + y + z + (1 + \lambda)t &=& 4 \\ \quad \lambda \, y \quad \quad \quad - \lambda \, t &=& - 6 \\ \quad \quad \quad \lambda\, z\; \; -\; \; \lambda \, t &=&- 7 \\ \quad \quad \quad \quad \quad - \lambda( \lambda + 4) t &=& -4(4 + \lambda)\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Discussion\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" Si \"\lambda = 0\", le syst\u00e8me est de rang 1 et il est incompatble.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\lambda = - 4\", le syst\u00e8me est de rang 3, il est compatible et s’\u00e9crit
\n\"\left \{ \begin{matrix} x \; + \; y \; + \; z\; - \; 3 t &=& 4 \\ \quad \quad - 4 \, y \quad \quad + 4 \, t &=& - 6 \\ \quad \quad \quad \quad - 4\, z + 4 \, t &=&- 7 \end{matrix} \right.\"
\nOn exprime les solutions en fonction de la variable<\/a> \"t\"
\n\"\left \{ \begin{matrix} x &=& - y - z + 3 t + 4 \\ y &=& t +3/2 \\ z &=& t + 7/4 \end{matrix} \right.\"
\nL’ensemble des solutions est l’ensemble
\n\"\displaystyle \left \{ \left (t + \frac 3 {4} \, , \,t + \frac 3 2 \, , \, t + \frac 7 4 \, , \, t \right ) \, / \, t \in \mathbb{K} \right \}\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\lambda \notin \{0 \, , - 4\}\", le syst\u00e8me est de rang 4, il admet une unique solution
\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} x + y + z + (1 + \lambda)t &=& 4 \\ \quad y \quad \quad \quad \; - \; \; t &=& - 6/ \lambda \\ \quad \quad \quad z\; \; \; - \; \; t &=&- 7/\lambda \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad t &=& 4/\lambda \end{matrix} \right.\"
\nssi \"\left \{ \begin{matrix} x &=& 5/\lambda - 4 (1 + \lambda)/ \lambda + 4 \\ y &=& - 2/ \lambda \\ z &=&- 3/\lambda \\ t &=& 4/\lambda \end{matrix} \right.\"
\nLa solution est donn\u00e9e par \"\quad \quad \quad \left ( \displaystyle \frac {\lambda}\, ,\, -\frac 2 {\lambda}\, ,\, -\frac 3 {\lambda} \, ,\, \frac 4 {\lambda} \right )\".<\/p>\n

7. 3 \u00e9quations \u00e0 3 inconnues et 2 param\u00e8tres<\/h2>\n

Exercice : <\/b>R\u00e9soudre sur \"\mathbb{K}\" lorsque \"(a,\, b) \in \mathbb{K}^2\",
\n\"(S)\" \"\left \{ \begin{matrix}a\, x &+ &b\, y &+& z &=&1 \\ x &+&a\, b \, y &+& z &=& b\\ x &+ &b\, y &+ &a\, z &=& 1 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On cherche une forme \u00e9chelonn\u00e9e.\u00a0<\/b>
\nEn \u00e9changeant la premi\u00e8re et la derni\u00e8re \u00e9quation :
\n\"\left \{ \begin{matrix}x + b y + az &=&1 \\ x +a\, b y + z &=& b\\ a x + b y + z &=& 1 \end{matrix} \right.\"
\navec les op\u00e9rations
\n\"L_2 \leftarrow L_2 - L_1 \,\" et \"L_3 \leftarrow L_3 - a \, L_1\,\"
\n\"\left \{ \begin{matrix}x \quad + \quad b\, y \quad + \quad a\, z &=&1 \\\quad b(a- 1) y + (1 - a) z &=& b - 1 \\\quad b(1 - a) y + (1 - a^2) z &=& 1 - a \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

et avec \"L_3 \leftarrow L_3 + L_2\,\"
\n\"\left \{ \begin{matrix}x \quad + \quad b\, y \quad +\quad a\, z &=&1 \\ \quad \quad b(a- 1) y + (1 - a) z &=& b - 1 \\ \quad \quad \quad \quad (2 + a) (1 - a) z &=& b - a \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Discussion\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" si \"b (a - 1)(a + 2) \neq 0\", le syst\u00e8me est de rang 3, on calcule sa solution en \u00ab\u00a0remontant\u00a0\u00bb les \u00e9quations :
\n\"\displaystyle z = \frac {b - a} {(2 + a)(1 - a)}\"
\n\"\displaystyle y = \frac {z} b + \frac {b - 1} {b(a - 1)}\"
\n\"\displaystyle y = \frac {b - a} {b(2 + a)(1 - a)} + \frac {b - 1} {b(a - 1)}\"
\n\"\displaystyle y = \frac {2 - b - a\, b} {b(1 - a)(2 + a)}\"
\net \"x = \displaystyle - b \, y - a \, z + 1\"
\napr\u00e8s calculs, \"x = \displaystyle \frac{b - a} {(2 + a)(1 - a)}\"
\nLa solution est donn\u00e9e par \"\displaystyle \left ( \frac{b - a} {(2 + a)(1 - a)} , \frac {2 - b - a\, b} {b(1 - a)(2 + a)} \right.\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle \left. , \, \frac {b - a} {(2 + a)(1 - a)} \right )\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"a = 1\", le syst\u00e8me s’\u00e9crit
\n\"\left \{ \begin{matrix}x + b \, y + z &=&1 \\ \quad \quad \quad \quad 0 &=& b - 1 \\ \quad \quad \quad \quad 0 &=& b - a \end{matrix} \right.\"
\nIl admet des solutions ssi \"b = 1\"
\net dans ce cas les solutions sont les triplets \"(- y - z + 1 , y , z)\" o\u00f9 \"(y , z) \in \mathbb{K}^2\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"a = - 2\", le syst\u00e8me s’\u00e9crit
\n\"\left \{ \begin{matrix}x &+ &b y& -& 2 z &=&1 \\& & - 3 b y& +& 3 z &=& b - 1 \\ & & & & 0 &=& b +2 \end{matrix} \right.\"
\nIl admet des solutions ssi \"b = - 2\" et alors\u00a0\u00a0\"\left \{ \begin{matrix}x& -& 2 y& - &2 z &=&1 \\& & 6 y &+ &3 z &=&- 3 \end{matrix} \right.\"
\nssi \"z = - 1 - 2 \, y\" et \"x = 2 y + 2 z + 1 = - 2 y - 1\"
\nL’ensemble des solutions est l’ensemble des triplets\u00a0\u00a0\"( - 2 y - 1\, ,\, y \, , \, - 1 - 2 \, y )\" o\u00f9 \"y \in \mathbb{K}\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"b = 0\" et \"a \notin \{1 , - 2 \}\", le syst\u00e8me s’\u00e9crit
\n\"\left \{ \begin{matrix}x &+ &az &=&1 \\& & (1 - a) z &=& - 1 \\ & & (2 + a) (1 - a) z &=& - a \end{matrix} \right.\"
\net en formant \"L_3 \leftarrow L_3 - (2 + a) L_2\"
\n\"\left \{ \begin{matrix}x &+ &az &=&1 \\& & (1 - a) z &=& - 1 \\ & & 0 &=& 2 \end{matrix} \right.\"
\nLe syst\u00e8me n’a pas de solution.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Conclusion\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" Le syst\u00e8me n’a pas de solution si
\n\"\; \; b = 0\" et \"a \notin \{1 , - 2 \}\"
\nou \"a = 1\" et \"b \neq 1\"
\nou \"a = - 2\" et \"b \neq - 2\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"b (a - 1)(a + 2) \neq 0\", il admet une unique solution
\n\"\displaystyle \left ( \frac{b - a} {(2 + a)(1 - a)} , \frac {2 - b - a\, b} {b(1 - a)(2 + a)} \right.\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle \left. , \, \frac {b - a} {(2 + a)(1 - a)} \right )\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"a = b = 1\", l’ensemble des solutions est l’ensemble des triplets \"(- y - z + 1 , \, y ,\, z)\" o\u00f9 \"(y , z) \in \mathbb{K}^2\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"a = b = - 2\", l’ensemble des solutions est l’ensemble des triplets
\n\"( - 2 \, y - 1\, ,\, y \, , \, - 1 - 2 \, y )\" o\u00f9 \"y \in \mathbb{K}\".<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

De nombreux autres exercices et corrig\u00e9s d’exercices sont \u00e9galement disponibles pour s’entra\u00eener sur le programme de Maths en MPSI, PTSI et PCSI. Anticipez les r\u00e9visions en travaillant les prochains chapitres du programme :<\/p>\n