{"id":37780,"date":"2019-11-05T13:44:03","date_gmt":"2019-11-05T12:44:03","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37780"},"modified":"2023-09-15T18:27:13","modified_gmt":"2023-09-15T17:27:13","slug":"cours-en-ligne-derivees-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-derivees-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur les d\u00e9riv\u00e9es en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : D\u00e9riv\u00e9es en Maths Sup MPSI, MP2I, PTSI et PCSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – d\u00e9riv\u00e9es en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n

Les calculs de d\u00e9riv\u00e9es ont \u00e9t\u00e9 abord\u00e9s dans le chapitre sur les fonctions num\u00e9riques<\/a>.<\/p>\n

On le compl\u00e8te dans ce chapitre.<\/p>\n

1. D\u00e9rivabilit\u00e9 en un point
\n2. Calculer une d\u00e9riv\u00e9e \"n\" -i\u00e8me
\n3. Propri\u00e9t\u00e9s des d\u00e9riv\u00e9es
\n4. Utiliser le th\u00e9or\u00e8me de Rolle
\n5. Utiliser le th\u00e9or\u00e8me des accroissements finis<\/p>\n

Si vous avez des difficult\u00e9s sur ces notions ou avez pris du retard dans votre classe de maths sup, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 faire appel \u00e0 nos professeurs particuliers de maths<\/a> pour progresser et r\u00e9ussir votre pr\u00e9pa scientifique.<\/p>\n

\n

1. D\u00e9rivabilit\u00e9 en un point en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI<\/h3>\n

Pour d\u00e9montrer qu’une fonction \"f\" est d\u00e9rivable en un point \"a\",<\/p>\n

M1.<\/b>\u00a0utiliser les th\u00e9or\u00e8mes sur les fonctions d\u00e9rivables (somme, produit<\/a>, quotient, compos\u00e9e, fonction r\u00e9ciproque).<\/p>\n

M2.<\/b>\u00a0utiliser la limite du taux d’accroissement, c’est \u00e0 dire chercher la limite en \"a\" de \"\displaystyle x \mapsto \frac {f(x) - f(a) } {x - a}\".<\/p>\n

Exemple<\/b>\u00a01 : \"f\" d\u00e9finie par \"\quad \displaystyle f(x) = x^2 \, \sin \left ( \frac 1 x \right )\" et \"f(0) = 0\"
\nest d\u00e9rivable en \"0\".<\/p>\n

M3<\/b>. trouver un d\u00e9veloppement limit\u00e9<\/a> d’ordre 1 de \"f\" en \"a\", c’est -\u00e0-dire trouver \"\alpha\" et \"\beta\" dans \"\mathbb{K}\" tels que \"\quad f(x) \underset{x \to a} = \alpha + \beta (x - a) + \textrm{o} (x - a)\".<\/p>\n

Si \"f (a)\" est d\u00e9fini, on v\u00e9rifie que \"\alpha = f(a)\" : la fonction \"f\" est alors continue en \"a\".<\/p>\n

Si \"f(a)\" n’est pas d\u00e9fini, on prolonge \"f\" par continuit\u00e9 en \"a\" par \"f(a) = \alpha\" et on calcule le taux d’accroissement de \"f\" en \"a\" :<\/p>\n

\"\displaystyle \frac {f(x) - f(a) } {x - a} \underset{x \to a} = \beta + \textrm{o} (1)\",<\/p>\n

Il admet \"\beta\" pour limite<\/a> en \"a\", \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et \"f ' (a) = \beta\".<\/p>\n

M4.<\/b>\u00a0appliquer le th\u00e9or\u00e8me de la limite de la d\u00e9riv\u00e9e.<\/p>\n

A v\u00e9rifier correctement les hypo- th\u00e8ses :<\/p>\n

Si \"f\" est continue sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\" et d\u00e9rivable sur \"]a , \, b[\" et si \"f '\" admet une limite finie \"L\" en \"a\", \"f\" est d\u00e9rivable \u00e0 droite en \"a\" et \"f '(a) = L\" .<\/p>\n

Il ne faut pas parler de prolongement de la d\u00e9riv\u00e9e par continuit\u00e9<\/a> mais du th\u00e9or\u00e8me de la limite de la d\u00e9riv\u00e9e.<\/p>\n

Inconv\u00e9nients de la m\u00e9thode :<\/p>\n

a)<\/b> elle oblige \u00e0 calculer \"f ' (x)\" pour \"x \neq a\" et \u00e0 trouver la limite de \"f ' (x)\" en \"a\" . Bien souvent \"f ' (x)\" est plus compli- qu\u00e9 que \"f(x)\". On a donc th\u00e9oriquement plus de travail qu’en utilisant l’une des trois premi\u00e8res m\u00e9thodes.<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0\"f '\" peut ne pas avoir de limite en \"a\" alors que \"f ' (a)\" existe ( dans ce cas, le calcul de \"f '\" et la recherche de sa limite sont du temps perdu ).<\/p>\n

Avantages de la m\u00e9thode<\/p>\n

a) <\/b>dans certains cas, \"f ' (x)\" est plus simple que \"f(x)\" ( c’est en particulier le cas lorsque \"f\" est d\u00e9finie par une int\u00e9- grale dont les bornes d\u00e9pendent de \"x\" )<\/p>\n

b) <\/b>lorsque l’on demande de prouver que \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et que \"f '\" est continue en \"a\" : en utilisant M4, on prouve en effet non seulement que \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" mais aussi que \"f '\" admet \"f '(a\") pour limite en \"a\", donc que \"f '\" est continue en \"a\".<\/p>\n

Exemple<\/b>\u00a02<\/b>\u00a0: \"f\" d\u00e9finie par \"\quad \displaystyle f(x) = x^2 \, \sin \left ( \frac 1 x \right )\" et \"f(0) = 0\".
\nPeut-on lui appliquer le th\u00e9or\u00e8me de la limite de la d\u00e9riv\u00e9e ?<\/p>\n

Exemple<\/b> 3\u00a0<\/b><\/p>\n

Soit \"f\" d\u00e9finie par \"f(x) = \displaystyle \frac {\sin x} x\" si \"x \neq 0\" et \"f(0) = 1\".<\/p>\n

Montrer que \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" de d\u00e9riv\u00e9e continue.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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<\/h3>\n

2. Calculer une d\u00e9riv\u00e9e \"n\" -i\u00e8me<\/h3>\n
\n

2.1. En utilisant les d\u00e9riv\u00e9es classiques\u00a0<\/b>:<\/p>\n

Des d\u00e9riv\u00e9es successives \u00e0 savoir calculer rapidement<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", \"a \in \mathbb{C}\" et \"u : x \mapsto (x - a) ^n\"
\n… si \"p \leq n\", \"\quad \quad u ^{(p)}(x) = \displaystyle \frac {n!} {(n - p)!} (x - a)^{n - p}\"
\n… si \"p >n\", \"u ^{(p)}(x) = 0\".<\/p>\n

Si \"a \in \mathbb{C}\" et \"u : x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x - a}\"<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", \"u ^{(n)}(x) = \displaystyle \frac {n!\, (-1) ^n } {(x - a) ^{n + 1}} .\"<\/p>\n

Si \"a \in \mathbb{C}\" et \"u : x \mapsto \displaystyle \frac 1 {a - x}\"<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", \"u ^{(n)}(x) = \displaystyle \frac {n!} {(a - x) ^{n + 1}}\".<\/p>\n

Si \"(a , b) \in \mathbb{R}^2\", \"f : x \mapsto \cos(a\, x + b)\" et \"g : x \mapsto \sin(a\, x + b)\", pour tout \"n \in \mathbb{N}\" et \"x \in \mathbb{R}\",<\/p>\n

\"f ^{(n)}(x) = \displaystyle a ^n \cos \left (a \, x + b + n \, \frac {\pi} 2 \right )\"<\/p>\n

\"g ^{(n)}(x) = \displaystyle a ^n \sin \left (a \, x + b + n \, \frac {\pi} 2 \right )\".<\/p>\n

2.2. En utilisant des sommes <\/b><\/p>\n

Par calcul de la d\u00e9riv\u00e9e \"n\" -i\u00e8me d’une somme (en particulier utilisation d’une d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples) :<\/p>\n

Exemple<\/b><\/p>\n

D\u00e9riv\u00e9es \"n\" -i\u00e8mes de \"\displaystyle x \mapsto \frac 1 { 1 - x^2}\" de \"x \mapsto \textrm{Arctan} (x)\" ou de \"x \mapsto \ln(1 + x^2)\"<\/p>\n

2.3. Par utilisation de fonctions \u00e0 valeurs complexes<\/a><\/b><\/p>\n

Soit \"(a, b) \in \mathbb{R}^2\".<\/p>\n

\"f : x \mapsto \textrm{e} ^{a \, x} \cos(b\, x)\"<\/p>\n

et \"g : x \mapsto \textrm{e} ^{a \, x} \sin(b\, x)\".<\/p>\n

On introduit \"F : x \mapsto \textrm{e} ^{( a + \, \textrm{i} \, b ) x}\".<\/p>\n

\"\quad \; f = \mathcal{R}e (F)\" et \"g = \mathcal{I}m(F)\".<\/p>\n

Donc \"f^{(n)} (x) = \mathcal{R}e (F^{(n)}(x))\" et \"g^{(n)} (x) = \mathcal{I}m(F ^ {(n)}(x))\"<\/p>\n

avec \"F ^{(n)}(x) = (a + \, \textrm{i} \, b) ^n F(x)\", il reste \u00e0 trouver la forme trigonom\u00e9trique<\/a> \"\rho \,\textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \theta}\" de \"a + \, \textrm{i} \, b\" pour calculer \"\quad \quad (a + \, \textrm{i} \, b)^n = \rho^n \,\textrm{e} ^{ \textrm{i} \,n \, \theta}\".<\/p>\n

2.4. Par utilisation de la formule de Leibniz en MPSI, PCSI, PTSI et MP2I<\/b><\/p>\n

\u00c9nonc\u00e9<\/b> :<\/p>\n

Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\", \"n\" fois d\u00e9rivables en \"a \in I\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}^*\".<\/p>\n

La fonction \"f \, g\" est \"n\" fois d\u00e9rivable en \"a\" et<\/p>\n

\"(f \, g) ^{(n)} (a) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom {n} {k} \, f ^{(k)} (a) \, g ^{(n - k)}(a)\" en notant \"f ^{(0)} = f\" et \"g ^ {(0)} = g\".<\/p>\n

L’utilisation de la formule de Leibniz sera simple, si l’on peut \u00e9crire \"f = u\, v\", les d\u00e9riv\u00e9es successives de \"u\" et \"v\" \u00e9tant faciles \u00e0 calculer, et c’est encore plus facile lorsque les d\u00e9riv\u00e9es successives de \"u\" sont nulles \u00e0 partir d’un rang \"k_0\" .<\/p>\n

Exemple<\/b> :<\/p>\n

D\u00e9riv\u00e9e \"n\" -i\u00e8me de \"f: x \mapsto x^2 \, \textrm{e} ^{a \, x}\".<\/p>\n

2.5. Par utilisation du th\u00e9or\u00e8me de classe \"C ^k\" par prolongement<\/b><\/p>\n

Soit \"I\" un intervalle et \"a\" un point de \"I\" ou une borne de \"I\". Soit \"n \in \mathbb{N} ^*\".<\/p>\n

Si \"f\" est de classe \"C ^k\" sur \"I \setminus \{a \}\" et si pour tout \"k \in [\![0 , n]\!], \, f ^ {(k)}\" admet une limite finie en \"a\", alors \"f\" admet un prolongement de classe \"C ^k\" sur \"I\".<\/p>\n

3. Propri\u00e9t\u00e9s des d\u00e9riv\u00e9es en maths sup<\/h3>\n

3.1. D\u00e9riv\u00e9es et parit\u00e9<\/b><\/p>\n

La d\u00e9riv\u00e9e d’une fonction paire est impaire.<\/p>\n

Il suffit de d\u00e9river la relation : \"\quad \quad\forall \, x \in I, f (- x) = f(x)\",<\/p>\n

\"\forall \, x \in I, \, - f' (- x) = f(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" La d\u00e9riv\u00e9e d’une fonction impaire est paire<\/p>\n

Il suffit de d\u00e9river la relation : \"\quad \quad \forall \, x \in I, f (- x) = - f(x)\",<\/p>\n

\"\forall \, x \in I, \, - f' (- x) = - f(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est une fonction paire et \"n\" fois d\u00e9rivable sur \"I\", \"f^{ (n)}\" a la parit\u00e9 de \"n\".<\/p>\n

Si \"f\" est une fonction impaire et \"n\" fois d\u00e9rivable sur \"I\", \"f^{ (n)}\" a la parit\u00e9 contraire \u00e0 celle de \"n\"<\/p>\n

3.2. D\u00e9riv\u00e9e et p\u00e9riodicit\u00e9<\/b><\/p>\n

Si \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{D}\" et p\u00e9riodique de p\u00e9riode\u00a0 \"T\", \"f'\" est \"T\"-p\u00e9riodique.<\/p>\n

On d\u00e9rive la relation \"\quad \quad \forall\, x \in \mathbb{D}, \, f(x + T) = f(x)\".<\/p>\n

On obtient : \"\quad \quad \forall\, x \in \mathbb{D}, \, f'(x + T) = f'(x)\".<\/p>\n

3.3. Trouver une relation entre les d\u00e9riv\u00e9es successives d’une fonction <\/b><\/p>\n

M1<\/b> par r\u00e9currence si la formule est donn\u00e9e ou conjectur\u00e9e.<\/p>\n

M2<\/b> sans utiliser une r\u00e9currence<\/a>.<\/p>\n

On cherche une \u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/a> d’ordre 1 (ou 2) v\u00e9rifi\u00e9e par \"f\" et on l’\u00e9crit de fa\u00e7on \u00e0 appliquer facilement la formule de Leibniz.<\/p>\n

Exemple<\/b>\u00a0: relation entre les d\u00e9riv\u00e9es successives de \"f : x \mapsto \textrm{Arctan}(x)\".<\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

4. Utiliser le th\u00e9or\u00e8me de Rolle en prepa maths sup<\/h3>\n

Rappel du th\u00e9or\u00e8me de Rolle<\/b> :<\/p>\n

Soient \"a\" et \"b\" deux r\u00e9els<\/a> tels que \"a < b\".<\/p>\n

Si \"f\" est continue sur \"[a , \,b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", d\u00e9rivable sur \"]a ,\, b[\" et si \"f(a) = f(b)\", il existe \"c \in \; ]a ,\, b[\" tel que \"f '(c) = 0\".<\/p>\n

M1.<\/b> Pour prouver qu’une d\u00e9riv\u00e9e s’annule en un point \"c\" :<\/p>\n

M1.1.\u00a0<\/b>essayer de d\u00e9terminer un segment \"[a ,\, b]\" sur lequel on puisse appliquer le th\u00e9or\u00e8me de Rolle.<\/p>\n

M1.2.<\/b>\u00a0essayer de d\u00e9montrer que \"f\" admet un extremum relatif en \"c\", le point \"c\" \u00e9tant\u00a0int\u00e9rieu<\/u>r \u00e0 l’intervalle.
\nrappel du th\u00e9or\u00e8me<\/i> :<\/p>\n

Soit \"f\" d\u00e9finie sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {R}\" et \"a\" un point de \"I\" distinct des bornes ; si \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et si<\/p>\n

\"f\" admet un extremum relatif en \"a\", \"f '(a) = 0\".<\/p>\n

Exemple<\/b><\/p>\n

Soit \"f : x \mapsto (x^2 - 1) \textrm{Arcsin}(x)\".<\/p>\n

Montrer que la d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" s’annule au moins deux fois sur \"]- 1 , \, 1[\".<\/p>\n

On rappelle que l’on appelle z\u00e9ro d’une fonction \"g\" sur \"I\" tout \"c \in I\" tel que \"g(c) = 0\".<\/p>\n

M2. <\/b>Pour minorer\u00a0 le nombre de z\u00e9ros de \"f '\" lorsque l’on sait que \"f\" a \"n\" z\u00e9ros dans un intervalle \"I\" et est \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

On range les \"n\" z\u00e9ros de \"f\" par ordre strictement croissant : \"\quad \quad \quad x_1 < x_2 < \, \cdots \, < x_n\, \".<\/p>\n

\"f\" v\u00e9rifie les conditions du th\u00e9or\u00e8me de Rolle sur chaque intervalle \"[x_i \, , \,x_{i + 1}]\" o\u00f9 \"1 \leq i \leq n - 1\",<\/p>\n

il existe \"y_i \in\; ]x_i\, ,\, x_{i + 1}[\" tel que \"f '(y_i) = 0\".<\/p>\n

On a donc d\u00e9montr\u00e9 que \"f '\" admet au moins \"n - 1\" z\u00e9ros (les \"y_i\" sont dans des intervalles 2 \u00e0 2 disjoints) dans l’intervalle \"I\".<\/p>\n

5. Utiliser le th\u00e9or\u00e8me des accroissements finis en MPSI, PTSI, MP2I et PCSI<\/h3>\n

5.1. Rappel du th\u00e9or\u00e8me des accroissements finis <\/b><\/p>\n

Soient \"a\" et \"b\" deux r\u00e9els tels que \"a < b\".<\/p>\n

Si \"f\" est d\u00e9finie sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", continue sur \"[a ,\, b]\", d\u00e9rivable sur \"]a ,\, b[\", il existe \"c \in \; ]a ,\, b[\" tel que \"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {f(b) - f(a)} {b - a} = f'(c)\".<\/p>\n

Autres \u00e9critures <\/i><\/p>\n

Dans la suite<\/a>, on note \"I\" un intervalle et \"\overset{\circ} I\" l’intervalle \"I\" priv\u00e9 de ses bornes.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"f\" est continue sur \"I\" \u00e0 valeurs r\u00e9elle, d\u00e9rivable sur \"\overset{\circ} I\", pour tout \"a\" et \"b\" de \"I\" avec \"a \neq b\", il existe \"c strictement compris entre \"a\" et \"b\" tel que<\/p>\n

\"\quad \quad f(b) - f(a) = (b - a) f '(c)\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"f\" est continue sur \"I\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles, d\u00e9rivable sur \"\overset{\circ} I\" , pour tout \"a\" de \"I\" et tout r\u00e9el \"h\" tel que \"a + h \in I\", il existe \"\theta \in\; ]0 ,\, 1[\" tel que \"\quad f(a + h ) - f(a) = h f '(a + \theta \, h)\".<\/p>\n

5.2. Pour d\u00e9montrer des in\u00e9galit\u00e9s<\/b><\/p>\n

M1.<\/b> Par utilisation de l’in\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis :<\/p>\n

\"\ast\" si \"f\" est continue sur \"[a , \, b]\", d\u00e9rivable sur \"]a ,\, b[\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et si pour tout \"x\" de \"]a ,\, b[\", \"m \leq f '(x) \leq M\",<\/p>\n

alors \"m (b - a)\leq f (b) - f(a)\leq M (b - a)\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"f\" est d\u00e9rivable sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et si \"f '\" est born\u00e9e sur \"I\", en notant \"M= \displaystyle \sup _{t \in I} \vert f'(t) \vert\",<\/p>\n

Pour tous \"x\" et \"y\" de \"I\",<\/p>\n

\u00a0\\quad \\quad \\quad \\displaystyle \\vert f(x) – f(y) \\vert \\leq M \\vert x -y \\vert \\; \".f\"est\"M\"<i>-lipschitzienne </i>sur\"I\".f\"est continue sur\"[a ,\\, b]\"à valeurs dans\"\\mathbb{R} \", dérivable sur\"[a ,\\, b]\"et si\"f ‘\"est strictement croissante sur\"[a , \\, b]\",\"(b – a)\\, f ‘(a) < f(b) –\u00a0 f(a) \\quad \\quad \\quad \\quad\u00a0 \\quad \\quad \\quad \\quad < (b – a) \\, f ‘(b)\".x > 0\",\"\\displaystyle \\frac 1 {x + 1} < \\ln(x + 1) – \\ln(x) < \\frac 1 x \".(x , \\,y) \\in \\mathbb{R}^2\",\\ast\\vert \\sin x\u00a0 – \\sin y \\vert \\leq \\vert x – y \\vert\"\\ast\\vert \\cos x\u00a0 – \\cos y \\vert \\leq \\displaystyle \\frac {x^2} 2 \"\\ast\\vert \\textrm {e} ^x – 1 \\vert \\leq \\vert x \\vert \\, \\textrm{e} ^{\\vert x \\vert }\".\\ast\"pour tout\"x \\geq 0\",\"\\vert \\textrm {e} ^{-x} – 1 \\vert \\leq \\vert x \\vert \".f\"est de classe\"C ^1\"sur l'intervalle\"I\", pour tout\"(a , b) \\in I^2\"avec\"a < b\",\\vert f(b) – f(a) \\vert \\leq \\displaystyle (b- a) \\; \\sup _{t \\in [a , b]} \\vert f ‘(t) \\vert .\"C^1\"pour les fonctions complexes.f\"une fonction continue sur l'intervalle\"I\"à valeurs dans\"\\mathbb{R}\", on suppose que\"f\"est dérivable sur\" \\overset{\\circ} I \"(intervalle\"I\"privé de ses bornes)\\astf\"est constante sur\"I\"si, et seulement si, pour tout\"x\"de\" \\overset{\\circ} I \",\"f ‘(x) = 0\".\\astf\"est croissante sur\"I\"si, et seule- ment si, pour tout\"x\"de\" \\overset{\\circ} I \",\"f ‘(x) \\geq 0\".\\astf\"est décroissante sur\"I\"si, et seu- lement si, pour tout\"x\"de\" \\overset{\\circ} I \",\"f ‘(x)\\leq 0\".\\astf\"est strictement croissante sur\"I\"si, et seulement si,\"\\forall\\, x \\in I, \\, f'(x) \\geq 0\"et il n'existe pas d'intervalle ouvert non vide inclus dans\" \\overset{\\circ} I \"sur lequel\"f’\"s'annule.x\"de\" \\overset{\\circ} I \",\"f ‘(x) > 0\",\"f\"est strictement croissante sur\"I\".\\ast\"On cherche le domaine de continuité\"\\mathcal{D}\"de\"f\", puis l'<a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-ensembles-et-applications-maths-sup/">ensemble</a>\"\\mathcal{D}’\"des points où elle est dérivable (attention aux fonctions\"\\textrm{Arcsin}\"et\"\\textrm{Arccos}\"non dérivables en\"\\pm1\"et aux racines non dérivables en 0).\\ast\"On calcule la dérivée de\"f\"et on cherche à reconnaître une dérivée connue.\\ast\"On partage le domaine\"\\mathcal{D}\"en interval- les sur lesquels on peut appliquer le résultat suivant :f – g\"est continue sur l'intervalle\"I\", dérivable sur\"\\overset {\\circ}{I}\", de dérivée nulle, alors il existe un réel\"C\"tel que pour tout\"x\"de\"I\",\"f(x) – g(x) = C\". On détermine la constante\"C\"en calculant la valeur de\"f – g\"pour une valeur particulière de\"x\"dans\"I\"ou en utilisant la limite lorsque\"x\"tend vers l'une des bornes de\"I\".\\quad \\quad f(x) = \\textrm{Arccos} \\left ( 2 \\, x \\, \\sqrt{1 – x^2} \\right) $<\/p>\n

Pour maximiser vos r\u00e9visions \u00e0 domicile, aidez-vous des autres cours en ligne et des exercices corrig\u00e9s de l’ensemble des chapitres de maths pour les PTSI, PCSI et MPSI :<\/p>\n