{"id":37785,"date":"2019-11-05T14:19:15","date_gmt":"2019-11-05T13:19:15","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37785"},"modified":"2022-07-12T14:21:20","modified_gmt":"2022-07-12T13:21:20","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-derivees-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-derivees-maths-sup\/","title":{"rendered":"D\u00e9riv\u00e9es en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices corrig\u00e9s sur les d\u00e9riv\u00e9es en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices de d\u00e9riv\u00e9es<\/h2>\n
\n

1. Autour de la formule de Leibniz
\n2. G\u00e9n\u00e9ralisation du th\u00e9or\u00e8me de Rolle pour un intervalle qui n’est pas un segment
\n3. Utilisation du th\u00e9or\u00e8me de Rolle
\n4. Autour du th\u00e9or\u00e8me des accroissements finis.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

1. Application de la formule de Leibniz<\/h2>\n

Exercice 1.<\/b>
\nSoit \"n\in \mathbb{N}^*\". D\u00e9riv\u00e9e \"n\"-i\u00e8me de \"\quad \quad f : x \mapsto x^2 \, \ln(1 + x)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\bullet\" On se place sur \"I =\; ] - 1 , +\infty[\".
\nOn note \"u(x) = x^2\" et \"v(x) = \ln(1 + x)\"
\n\"v'(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x}\" et si \"k \geq 1\", \"\quad \quad v ^{(k)}(x) = \displaystyle \frac {(- 1) ^{k - 1} \, (k - 1)!} {(1 + x)^k }\" .<\/p>\n

 <\/p>\n

Par la formule de Leibniz
\n\"f ^{(n)} (x) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom {n} {k} \, u ^{(k)} (x) \, v ^{(n - k)}(x)\"
\navec \"u ^{(k)} = 0\" si \"k \geq 3\".
\nDonc si \"n \geq 2\",
\n\"f ^{(n)} (x) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^2 \binom {n} {k} \, u ^{(k)} (x) \, v ^{(n - k)}(x)\"
\n\"f^{(n)}(x) = \displaystyle x^2 \, v ^{(n)}(x) + 2\, n \, x \, v^{(n - 1)}(x)\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac {n (n - 1)} 2 \, 2 \, v^{(n - 2)}(x)\".<\/p>\n

⚠️ \"v^{(0)}\" et \"v^{(k)}\" si \"k \geq 1\" ne s’expriment pas de la m\u00eame fa\u00e7on !
\nCe qui conduit \u00e0 distinguer les cas \"n = 2\" et \"n > 2\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n = 2\",
\n\"f''(x) = \displaystyle \frac {- x^2} {(1 + x)^2} + \frac {2 \, x} {1 + x} + 2 \, \ln(1 + x^2)\"
\n\"f''(x) = \displaystyle \frac {2 \, x + x^2} {(1 + x)^2} + 2 \, \ln(1 + x^2)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \geq 3\", \"n - 2 \geq 1\",\u00a0donc
\n\"f^{(n)}(x) = \displaystyle \frac {(- 1) ^{n - 1 } \, (n - 1) ! \, x^2} {(1 + x) ^n}\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad + \frac { (- 1) ^{n}\, 2 \, \, n \, (n - 2) ! \, x} {(1 + x) ^{n - 1} }\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad + \frac {( - 1) ^{n - 1} \, n\, (n - 1) \, (n - 3)! } {(1 + x) ^{n - 2} }\"
\n\"f ^{(n)}(x) = \displaystyle \frac {(-1) ^{n- 1 } \, (n - 3)! } {(1 + x)^n} \, g(x)\"
\navec \"g(x) = (n - 1) (n - 2) \,x ^2\" \"\; - 2 \, n (n - 2) x \, (1 + x) + n(n - 1)(1 + x)^2\"
\nApr\u00e8s calculs,
\n\"g(x) = 2 \, x^2 + 2 \, n \, x + n(n - 1)\"
\n\"f ^{(n)}(x) =\" \"\displaystyle (2 \, x^2 + 2 \, n \, x + n^2 - n) \frac {(-1) ^{n- 1 } (n - 3)! } {(1 + x)^n}\"<\/p>\n<\/div>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\". Calculer la d\u00e9riv\u00e9e \"n\"-i\u00e8me de \"x \mapsto x^{n-1} \ln(1 + x)\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

On se place sur \"I = \; ] - 1 , +\infty[\".
\nOn note \"u(x) = x^{n - 1}\" et \"v(x) = \ln(1 + x)\"
\n\"v'(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x}\"
\nsi \"k \geq 1\", \"v ^{(k)}(x) = \displaystyle \frac {(- 1) ^{k - 1} \, (k - 1)!} {(1 + x)^k }\"
\nsi \"k \leq n - 1,\" \"\quad u ^{(k)}(x) = \displaystyle \frac {(n - 1)! } {(n - 1 - k)!} \, x^{n - 1 - k}\"
\net \"u ^{(n)} = 0\".<\/p>\n

Par la formule de Leibniz
\n\"f ^{(n)} (x) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom {n} {k} \, u ^{(k)} (x) \, v ^{(n - k)}(x)\"
\nIl suffit donc de sommer de \"k = 0\" \u00e0 \"n - 1\" et dans ce cas \"n - k \geq 1\"
\n\"f ^{(n)} (x) =\" \"\quad \quad \displaystyle \sum _{k = 0} ^{n - 1} \binom {n} {k} \, \frac {(n - 1)! } {(n - 1 - k)!} \, x^{n - 1 - k}\,\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \times \, \frac {(- 1) ^{n - k - 1} \, (n - k - 1)!} {(1 + x)^{n - k} }\"
\n\"f ^{(n)} (x) = \displaystyle (n - 1)! \sum _{k = 0} ^{n - 1} \binom {n} {k} \, \frac {(- x) ^{n - k - 1} \, } {(1 + x)^{n - k} }\"<\/p>\n

\"\ast\" Le seul terme de la somme<\/a> non nul en \"0\" est celui pour \"k = n - 1\" :
\n\"\displaystyle f ^{(n)}(0) = (n - 1)! \binom {n} {n - 1} \times 1 = n!\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"x \neq 0\", \"f ^{(n)} (x) = \displaystyle \frac {(n - 1)!} {- x} \sum _{k = 0} ^{n - 1} \binom {n} {k} \, \frac {(- x) ^{n - k } \, } {(1 + x)^{n - k} }\"
\npar le bin\u00f4me de Newton (en faisant attention qu’il manque le terme pour \"k = n\" qui est \u00e9gal \u00e0 1)
\n\"f ^{(n)} (x) = \displaystyle \frac {-(n - 1)!} {x} \left ( \left ( 1 - \frac x {1 + x} \right) ^n - 1 \right )\"
\n\"f ^{(n)} (x) = \displaystyle \frac {(n - 1)!} x \left (1 - \frac 1 {(1 + x) ^n } \right)\".<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nEn d\u00e9rivant \"n\" fois \"f : x \mapsto x^n \, (x - 1) ^n\", on obtient \"\displaystyle \sum_{k = 0} ^n \binom n k ^2 = \binom {2 \, n} n\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"u : x \mapsto x ^n\" et \"v : x \mapsto (x - 1) ^n\".
\nSi \"k \leq n\", \"u ^{(k)}(x) = \displaystyle \frac {n!} {(n - k)!} x ^{n - k}\"
\net \"v ^{(k)}(x) = \displaystyle \frac {n!} {(n - k)!} (x - 1) ^{n - k}\".<\/p>\n

Par la formule de Leibniz :
\n\"f ^{(n)}(x) = \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \binom {n} k u ^{(k)}(x) \, v ^{(n - k)}(x)\"
\n\"u ^{(k)}(x) \, v ^{(n - k)}(x)\" \"\quad \quad = \displaystyle \frac {(n!)^2} {k! \, (n - k)! } \, x^{n - k} (x - 1) ^k\"
\n\"\quad \quad = \displaystyle n ! \binom n k \, x^{n - k} (x - 1)^ k\"
\ndonc
\n\"f ^{(n)}(x) = \displaystyle n! \, \sum_{k = 0} ^n \binom {n} k ^2 x^{n - k} (x - 1) ^k\"<\/p>\n

\"f^{(n)}\" est une fonction polyn\u00f4me<\/a> de degr\u00e9 \"n\" de coefficient dominant \"a_n = \displaystyle n ! \, \sum_{k = 0} ^n \binom n k ^2\".<\/p>\n

\"\bullet\" On \u00e9crit \"f(x) = x ^{2\, n} + Q(x)\" avec \"\deg (Q) \leq 2\, n - 1\"
\ndonc \"f ^{(n)} (x) = \displaystyle \frac {(2 \,n)! } {n!} x ^n + Q ^{(n)}\"
\nLe coefficient de \"x ^n\" dans cette \u00e9criture est \"a_n = \displaystyle \frac {(2 \, n)! } {n!}\".<\/p>\n

\"\bullet\" En \u00e9galant les deux valeurs de \"a_n\,\", on obtient
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \binom n k ^2 = \frac {(2n)!} {(n!)^2} = \binom {2 \, n} n\".<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSoient \"(a , b) \in (\mathbb{R}^*)^2\" et \"n \in \mathbb{N}^*\".
\nEn d\u00e9rivant \"n\" fois la fonction \"\quad \quad f : x \mapsto \cos(b\, x) \, \textrm{e} ^{a \, x}\",
\non obtient :
\n\"\displaystyle \sum _{p = 0} ^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom n {2 \, p} (- 1) ^p \, b ^{2 \, p} \, a ^{n - 2 \, p } =\" \"\displaystyle ( - 1) ^n\, (a^2 + b^2) ^{n/2} \cos \left ( n \textrm{Arctan} \left (\frac b a \right ) \right )\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

La relation n’est pas vraie si \"n\" est impair, \"a < 0\" et \"\displaystyle \cos \left ( n\, \textrm{Arctan} \left (\frac b a \right ) \right ) \neq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"F : x \mapsto \textrm{e} ^{(a + \textrm{i} \,b) x}\".
\nAlors \"\forall \, x \in \mathbb{R},\, F^{(n)}(x) = (a + \textrm{i} \, b) ^n \, F(x)\"
\nOn note \"\rho = \sqrt {a^2 + b ^2}\" et \"t \in \; ] - \pi/2 ,3\, \pi/2 [\" un argument de \"a + \textrm{i} \, b\"
\n\"\tan t = \displaystyle \frac b a\" et \"\cos t\" est du signe de \"a\"
\ndonc \"t = \left \{ \begin{matrix} \textrm{Arctan}( b / a ) &\textrm{si}& a > 0 \\ \pi + \textrm{Arctan}(b / a) &\textrm{si}& a < 0 \end{matrix} \right.\"
\n\"F^{(n)}(x) =\" \"\; \displaystyle \rho ^n \, \textrm{e} ^{a \, x+ \textrm{i} \,(b \, x + n \, t)}\".<\/p>\n

En \u00e9crivant \"f = \mathcal{R}e(F)\", on obtient \"\forall\, x \in \mathbb{R}, \, f ^{(n)}(x) = \rho ^n \,\cos( b \, x + n \, t) \, \textrm{e} ^{a \, x}\"<\/p>\n

\"\bullet\" On note \"u : x \mapsto \cos(b \, x)\" et \"v : x \mapsto \textrm{e}^{a \, x}\"
\nSi \"k \in \mathbb{N}\",\u00a0\u00a0\"u ^{(k)}(x) = \displaystyle b ^k \cos \left ( b \, x + \frac {k \, \pi} 2 \right )\"
\net \"v ^{(k)}(x) = a ^k \, \textrm{e}^{a \, x}\".
\nPar la formule de Leibniz,
\n\"f ^{(n)}(x) =\" \"\; \; \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k b ^k \, a ^{n - k } \, \cos \left ( b \, x + \frac {k \, \pi} 2 \right ) \, \textrm{e}^{a \, x}\"<\/p>\n

\"\bullet\" En prenant la valeur en \"0\",
\n\"\rho ^n \,\cos( n \, t) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k b ^k \, a ^{n - k } \, \cos \left (\frac {k \, \pi} 2 \right )\"
\nsi \"k = 2 \, p + 1\", \"\displaystyle \cos \left (\frac {k \, \pi} 2 \right ) = 0\"
\nsi \"k = 2 \, p\", \"\displaystyle \cos \left (\frac {k \, \pi} 2 \right ) = (- 1) ^p\"
\n\"\rho ^n \,\cos( n \, t) =\" \" \quad \quad \quad \displaystyle \sum _{p = 0} ^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom n {2 \, p} (- 1) ^p \, b ^{2 \, p} \, a ^{n - 2 \, p } \"<\/p>\n

\"\ast\" si \"a > 0\",
\n\"\displaystyle \sum _{p = 0} ^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom n {2 \, p} (- 1) ^p \, b ^{2 \, p} \, a ^{n - 2 \, p }\" \"\quad \displaystyle = (a^2 + b^2) ^{n/2} \cos \left ( n \textrm{Arctan} \left (\frac b a \right ) \right )\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"a < 0\",\u00a0 on utilise\u00a0 \"\quad \quad \quad \cos(x + n \, \pi) = (- 1) ^n \, \cos(x)\"
\n\"\displaystyle \sum _{p = 0} ^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom n {2 \, p} (- 1) ^p \, b ^{2 \, p} \, a ^{n - 2 \, p } =\" \" \displaystyle (- 1) ^n\, (a^2 + b^2) ^{n/2} \cos \left ( n \textrm{Arctan} \left (\frac b a \right ) \right )\"<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nSoit\u00a0 \"n \in \mathbb {N}\". \"\displaystyle f_n : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R},\, x \mapsto x^n \, \exp \left ( \frac {1} {x } \right )\".
\nMontrer que \"\quad f_n^{(n + 1 )}(x) = \displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 1}} {x^{n + 2} } \, \exp \left ( \frac {1} {x } \right )\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

Si \"x \in \mathbb {R}^*\", on note \"\displaystyle g(x) = \exp \left ( \frac {1} {x } \right )\".
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", on note \"H_n : \forall \, x \in \mathbb{R}^*, \, f_n^{(n+1)}(x) = \displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 1}} {x^{n + 2} } \, g(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"n = 0\",
\n\"\displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 1}} {x^{n + 2} } \, g(x) = \frac {- 1 } {x^2} \, g(x) = f_0 ^{(0+1)} (x)\"
\n\"H_0\" est v\u00e9rifi\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"H_n\" est vraie.
\nOn \u00e9crit si \"x \neq 0\", \"f _{n + 1} (x) = u(x) \, f_n(x)\" avec \"u(x) = x\".
\nPar la formule de Leibniz,
\n\"f_{n + 1} ^{(n + 2)} (x) =\" \"\quad \quad \displaystyle \sum _{k = 0} ^{n + 2} \binom {n + 2 } {k} \, u ^{(k)} (x) \, f_{n } ^{(n + 2 - k)}(x)\"
\nPour tout \"k \geq 2, \, u ^{(k)}(x) = 0\".
\nComme \"n + 2 \geq 1\", il suffit donc de sommer de \"k = 0\" \u00e0 \"1\", alors
\n\"f_{n + 1} ^{(n + 2 )} (x) = \displaystyle u(x) \, f_{n} ^{(n + 2)} (x)\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, (n + 2) \, u'(x) \, f_n ^{(n+1)} (x)\"
\n\"f_{n + 1} ^{(n + 2 )} (x) =\" \"\quad \quad \quad \displaystyle x \, f_{n} ^{(n + 2)} (x) + (n + 2) \, f_n ^{(n+1)} (x)\"<\/p>\n

En d\u00e9rivant la relation donn\u00e9e par \"H_n\" :
\n\"\displaystyle f_{n} ^{(n + 2)} (x) =\frac {(-1) ^ {n + 2}\, (n + 2) } {x^{n + 3} } \, g(x)\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac {(-1) ^ {n + 1}} {x^{n + 1 } } \times \frac {- 1} {x^2} \, g(x)\"
\n\"\displaystyle f_{n} ^{(n + 2)} (x) = \frac {(-1) ^ {n + 2}\, (n + 2) } {x^{n + 3} } \, g(x)\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \frac {(-1) ^ {n + 2}} {x^{n + 3 } } \, g(x)\"
\n\"f_{n + 1} ^{(n + 1)} (x)= \displaystyle h(x) \, g(x)\"\u00a0 o\u00f9
\n\"h(x) = \displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 2}\, (n + 2) } {x^{n + 2} } + \frac {(-1) ^ {n + 2}} {x^{n + 2} }\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, (n + 2) \frac {(-1) ^ {n + 1}} {x^{n + 2 } }\"
\n\"h(x) = \displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 2} } {x^{n + 3 } }\"
\net donc \"\displaystyle f_{n + 1 } ^{(n + 2)} (x) = \frac {(-1) ^ {n + 2} } {x^{n + 3} } \, g(x)\".<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence<\/a>.<\/p>\n

2. Th\u00e9or\u00e8me de Rolle<\/h2>\n<\/div>\n
\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction r\u00e9elle continue<\/a> sur \"[a , \, +\infty[\", d\u00e9rivable sur \"]a , \, +\infty[\" qui admet \"f(a)\" pour limite en \"+\infty\".
\nMontrer qu’il existe \"c > a\" que \"f '(c) = 0\" .<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"x\" d\u00e9crit \"]0 ,\, 1]\", \"1/x + b\" d\u00e9crit \"[b + 1 , + \infty[\".\u00a0On choisit \"b = a - 1\".
\n\"x \mapsto a - 1 + 1/x\" d\u00e9finit une bijection de \"]0 , 1]\" sur \"[a , \, + \infty[\".
\nOn note \"g\" o\u00f9 pour tout \"x\" de \"]0 ,\, 1]\" \"\quad \quad \quad g(x) =f( a - 1 + 1/x)\".<\/p>\n

\"\ast\" \"g\" est continue sur \"]0 , 1]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\".
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = \displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t) = f(a)\".
\nOn prolonge \"g\" par continuit\u00e9 en \"0\" en posant \"g(0) = f(a)\".
\n\"\ast\" \"g(1) = f(a) = g(0)\".
\n\"\ast\" \"g\" est d\u00e9rivable sur \"]0 , \,1 [\".<\/p>\n

Par application du th\u00e9or\u00e8me de Rolle, il existe \"d \in \; ]0 , \, 1[\" tel que \"g'(d) = 0\"
\nsoit \"\displaystyle \frac {- 1} {d^2 } f ' \left ( \frac 1 d + a - 1 \right ) = 0\".
\nEn notant \"c = \displaystyle \frac 1 d + a - 1 > a\", \"f'(c) = 0\" ce qui est le r\u00e9sultat attendu.<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nQuestion 1<\/i>
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" admettant une m\u00eame limite finie \"L\" en \"+\infty\" et \"- \infty\".
\nMontrer qu’il existe \"c \in \mathbb{R}\" tel que \"f '(c) = 0\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On note pour tout \"x\" de \"] - \pi/2 , \, \pi/2[\", \"\quad \quad \quad \quad g(x) = f(\tan x)\".
\nOn prolonge \"g\" par continuit\u00e9 en posant \"\displaystyle g \left ( \frac {- \pi} 2 \right ) = g \left (\frac {\pi} 2 \right ) = L\".<\/p>\n

\"\ast\" \"g\" est continue sur \"[ - \pi/2 , \, \pi/2 ]\"
\n\"\ast\" \"g\" est d\u00e9rivable sur \"] - \pi/2 , \, \pi/2[\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle g \left ( \frac {- \pi} 2 \right ) = g \left (\frac {\pi} 2 \right ) = L\".
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de Rolle, il existe \"d \in \; ] - \pi/2 , \, \pi/2[\" tel que \"g'(d) = 0\".
\nsoit \"(1 + \tan ^2 d) \; f' (\tan d ) = 0\" donc \"f'(\tan d ) = 0\".
\nAlors si \"c = \tan d,\, f'(c) = 0\",\u00a0 ce qui donne le r\u00e9sultat attendu.<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nSoit \"f\" une fonction r\u00e9elle d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et admettant \"+ \infty\" pour limite en \"\pm \infty\"
\nMontrer qu’il existe \"c \in \mathbb{R}\" tel que \"f ' (c) = 0\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"g = \textrm{e} ^ {- f}\" est continue sur \"\mathbb{R}\" et admet la m\u00eame limite \"L = 0\" en \"\pm \infty\".
\nD’apr\u00e8s la question 1, il existe \"c \in \mathbb{R}\" tel que \"g'(c) = 0\".
\nOr \"g'(c) = - f'(c) \, \textrm{e} ^{- f(c) } = 0\" ssi \"f'(c) = 0\" ce qui donne le r\u00e9sultat attendu.<\/p>\n

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 <\/p>\n

3. Utilisation du th\u00e9or\u00e8me de Rolle<\/h2>\n

Exercice<\/strong> 1
\nQuestion 1\u00a0<\/em>
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9rivable sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {R}\" qui s’annule \"n\" fois dans \"I\" avec \"n \geq 2\".
\nPour tout r\u00e9el \"\alpha\", \"\alpha \, f + f '\" s’annule au moins \"n - 1\" fois dans \"I\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"g\" est d\u00e9rivable sur \"I\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles.
\nOn note \"x_1\, < x_2 \, <\, \cdots \, <\, x_n\" les \"n\" z\u00e9ros de \"f\" rang\u00e9s par ordre strictement croissant.<\/p>\n

Soit \"k \in [\![1 , \, n - 1 ]\!]\" , \"g\" est d\u00e9rivable sur \"[x_k \, , \, x_{k + 1} ]\" et \"g(x_k) = g(x_ {k + 1}) = 0\".
\nPar application du th\u00e9or\u00e8me de Rolle, il existe \"y_k \in \; ]x_k \, , \, x_{k + 1} [\" tel que \"g'(y_k) = 0\".
\nEn utilisant \"g'(x) = (\alpha \, f(x) + f'(x) )\, \textrm{e} ^{\alpha \, x}\"
\n\"g'(y_k) = 0\" ssi \"\alpha f(y_k) + f'(y_k) = 0\".<\/p>\n

Les racines \"y_k\" sont dans des intervalles deux \u00e0 deux disjoints, donc on a trouv\u00e9 \"n - 1\" z\u00e9ros distincts pour \"\alpha \, f + f '\".<\/p>\n

Question 2.\u00a0<\/em>
\nSi \"P\" est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n \geq 2\" scind\u00e9 \u00e0 racines simples sur \"\mathbb{R}\", pour tout \"\beta \in \mathbb {R}, \, P + \beta \, P'\" est scind\u00e9 \u00e0 racines simples (c’est-\u00e0-dire admet \"n\" racines r\u00e9elles distinctes). Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

Le r\u00e9sultat est \u00e9vident si \"\beta = 0\".
\nSi \"\beta \neq 0\", on note \"\alpha = 1 / \beta\", \"\alpha \neq 0\".
\n\"Q = \alpha \, P + P'\" est la somme d’un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\" et d’un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n - 1\", c’est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\".
\nPar la premi\u00e8re question, \"\alpha \, P + P'\" admet \"n - 1\" racines distinctes not\u00e9es \"y_1\, , \, y_2 \, , \, \cdots \, , \, y_{n - 1}\" que l’on suppose rang\u00e9es par ordre strictement croissant.<\/p>\n

On note toujours \"g : x \mapsto P(x) \, \textrm{e} ^{ \alpha \, x}\".
\n\"\ast\" On suppose que \"\alpha > 0\".
\nSi \"g'\" ne s’annule pas sur l’intervalle \"I = \;]y_ {n - 1}\, , \, + \infty[\", la fonction continue \"g'\" garde un signe constant sur \"I\", donc \"g\" est monotone sur \"I\".
\nOn rappelle que \"y_{n - 1} < x_n\" et que \"g(x_n) = 0\".
\nPar croissance compar\u00e9e, \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty } g(x) = 0\".
\nPar la monotonie de \"g\" sur \"[x_ {n}\, , \, + \infty[\", \"g\" est nulle sur cet intervalle, il en est de m\u00eame de \"P\", ce qui est absurde.
\nDonc \"g'\" s’annule sur \"]y_ {n - 1} \, , \, + \infty[\" en \"y_n > y_{n - 1}\" et \"\alpha\, P + P'\" admet \"n\" racines distinctes.<\/p>\n

\"\ast\" On suppose que\u00a0 \"\alpha < 0\".
\nSi \"g'\" ne s’annule pas sur \"J = ]- \infty ,\, y_ {1}[\", \"g'\" garde un signe constant sur \"J\", donc \"g\" est monotone sur \"J\".
\nOn rappelle que \"y_1 > x_1\" et que \"g(x_1) = 0\".
\nPar croissance compar\u00e9e, \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to - \infty } g(x) = 0\".
\nPar la monotonie de \"g\" sur \"]- \infty ,\, x_ {1}]\", \"g\" est nulle sur cet intervalle, il en est de m\u00eame de \"P\", ce qui est absurde.
\nDonc \"g'\" s’annule sur \"]- \infty ,\, y_ {1}[\" en \"y_0 < y_{1}\" et \"\alpha \, P + P'\" admet \"n\" racines distinctes.<\/p>\n

Dans les deux cas, on a prouv\u00e9 que \"\alpha\, P + P'\" est scind\u00e9 \u00e0 racines simples.
\nEn divisant par \"\alpha\", on a prouv\u00e9 que \"P + \beta \,P'\" est scind\u00e9 \u00e0 racines simples.<\/p>\n

Exercice<\/strong> 2
\nSoit \"f\" une fonction deux fois d\u00e9rivable sur \"[a , \, b]\" (\"a < b\" ) \u00e0 valeurs r\u00e9elles et telle que \"f(a) = f(b) = 0\" et \"\forall\, x \in [a,\, b] , \, f''(x) = q(x) \, f(x)\" o\u00f9 \"q(x) \geq 0\" sur \"[a, \, b]\".
\nMontrer que \"f\" est nulle sur \"[a , \,b]\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\ast\" \"g\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"I = [a , \, b]\"
\n\"g' = 2\, f \, f'\"
\n\"g'' = 2 {f '} ^2 + 2\, f \, f'' = 2 \, {f '} ^2 + 2 \, q \, f ^2 \geq 0\"
\ndonc \"g'\" est croissante sur \"I\".<\/p>\n

\"\ast\" Comme \"g(a) = g(b) = 0\", le th\u00e9or\u00e8me de Rolle donne l’existence de \"c \in \; ]a , \, b[\" tel que \"g'(c) = 0\".
\nLa croissance de \"g'\" donne \"g'(x) \leq 0\" si \"x \in [a, c]\" et \"g'(x) \geq 0\" si \"x \in [c , \, b]\".<\/p>\n

\"\ast\" \"g\" est d\u00e9croissante sur \"[a, \, c]\" et croissante sur \"[c , \, b ]\".
\nDonc \"\forall \, x \in [a , b], \, g(x) \leq 0\" car \"g(a) = g(b) = 0\".
\nComme \"g\" est \u00e0 valeurs positives ou nulles, on a prouv\u00e9 que \"\forall \, x \in I,\, g(x) = 0\" soit \"f(x) = 0\".<\/p>\n

Exercice<\/strong> 3
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9rivable sur un intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et soit \"\Gamma\" son graphe. Soient \"A\" et \"B\" deux points de \"\Gamma\" distincts tels que \"B\" soit sur la tangente en \"A\" \u00e0 \"\Gamma\". Montrer qu’il existe un point \"M\" de \"\Gamma\" tel que \"A\" soit sur la tangente en \"M\" \u00e0 \"\Gamma\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Analyse du probl\u00e8me\u00a0:
\nSi \"c \in I\", la tangente en \"(c , f(c))\" \u00e0 \"\Gamma\" a pour \u00e9quation
\n\"\quad \quad y = f(c) + f'(c) \, (x - c)\".
\nOn cherche donc \"c \neq a\" tel que \"\quad \quad f(a) = f(c) + f'(c) (c - a)\"
\nsoit \"f'(c) = \displaystyle \frac {f(c) - f(a)} {c-a}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9solution\u00a0:
\nUne \u00e9quation de la tangente en \"A\" \u00e0 \"\Gamma\" \u00e9tant \"y - f(a) = f '(a)\, (x - a)\", on sait qu’il existe \"b \in I\", \"b \neq a\" tel que\u00a0 \"\quad \quad f(b) - f(a) = f '(a)\, (b - a)\".
\nOn d\u00e9finit la fonction \"g\" sur \"J = [a ,\, b]\" (si \"a < b\") et sur \"J = [b ,\, a]\" si \"b < a\") par \"g(x) =\displaystyle \frac {f(x) - f(a)} {x - a}\" et \"g(a) = f '(a)\" .
\n\"g\" est continue sur \"J \setminus \{a\}\" car \"f\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et continue en \"a\", par d\u00e9finition de \"f '(a)\".
\n\"g\" est d\u00e9rivable sur \"]a , \, b[\" (ou sur \"]b , \, a[\")
\net \"g(a) = g(b) = f '(a)\".
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de Rolle, il existe \"c \in\; ]a ,\, b[\; \subset I\" (ou \"c \in \; ]b ,\, a [\") tel que \"g'(c) = 0\".
\nor \"g'(x) = \displaystyle \frac {(x - a) f'(x) - (f(x) - f(a))} {(x - a)^2}\",
\n\"g'(c) = 0 \Leftrightarrow (c - a) f '(c) = f (c) - f(a)\", donc la tangente au point \"(c , f(c))\" \u00e0 la courbe \"\Gamma\" passe par \"A\".<\/p>\n

Exercice<\/strong> 4
\nFormule de Taylor Lagrange
\nSoit \"I\" un intervalle et \"a\" et \"x\" deux \u00e9l\u00e9ments distincts de \"I\".
\nSoit \"f\" une fonction r\u00e9elle de classe \"C^{n}\" sur \"I\" et \"n + 1\" fois d\u00e9rivable sur \"\overset{\circ} I\".
\nSi \"a\" et \"x\" sont deux \u00e9l\u00e9ments distincts de \"I\", il existe \"c\" strictement compris entre \"a\" et \"x\" tel que
\n\"\displaystyle f(x) = \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k)}(a)} {k!} (x - a) ^k\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, \frac {(x - a)^{n + 1}} {(n + 1)! } \, f ^{(n + 1)} (c)\".<\/p>\n

indication<\/em>\u00a0:
\nappliquer le th\u00e9or\u00e8me de Rolle \u00e0 la fonction \"\displaystyle \varphi : t \mapsto - f(x) + \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k)}(t)} {k!} (x - t) ^k\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, \frac {A} {(n + 1)!} (x - t)^{n + 1}\"
\npour \"A\" convenablement choisi.<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On note \"J = [a ,\, x]\" (ou \"[x , \, a]\")
\net \"\overset {\circ} J =\; ]a \, , \,x[\" (ou \"]x \, , \,a[\").<\/p>\n

\"\ast\" On remarque que \"\quad \quad \varphi(x) = - f(x) + f(x) = 0\".
\nOn choisit \"A\" tel que \"\varphi(a) = 0\" (ce qui donne une \u00e9quation du premier degr\u00e9<\/a> en \"A\").
\n\"\ast\" \"\varphi\" est continue sur \"J\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\"
\n\"\ast\" \"\varphi\" est d\u00e9rivable sur \"\overset {\circ} J\".<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de Rolle, il existe \"c\" strictement compris entre \"a\" et \"x\" tel que \"\varphi'(c) = 0\".<\/p>\n

\"\displaystyle \varphi'(t) = \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k +1 )}(t)} {k!} \; \; (x - t) ^k\" \" \displaystyle -\, \sum _{k = 1} ^n \frac {f ^{(k)}(x)} {k!} k \, (x - t) ^{k - 1} - \frac {A} {n!}\, (x - t)^{n}\"
\nen posant \"p = k - 1\" dans la deuxi\u00e8me somme :
\n\"\displaystyle \varphi'(t) = \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k +1 )}(t)\; } {k!}\; \; (x - t) ^k\" \"\displaystyle - \,\sum _{p = 0} ^{n - 1} \frac {f ^{(p + 1 )}(t)\; } {p !} \; (x - t) ^{p} - \frac A {n!}\, (x - t)^{n}\"
\npar t\u00e9lescopage
\n\"\displaystyle \varphi'(t) =\frac {f ^{(n +1 )}(t) \; \; } {n !}\; (x - t) ^k - \frac A {n!} (x - t)^{n}\"
\nen traduisant \"\varphi'(c) = 0\" avec \"c \neq x\", on obtient \"A = f ^{(n + 1)}(c)\".<\/p>\n

Puis \"\varphi(a) = 0\" donne
\n\"\displaystyle f(x) = \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k)}(a)} {k!} (x - a) ^k\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac { f ^{(n + 1)} (c)\; } {(n + 1)!} \; \; (x - a)^{n + 1}\"<\/p>\n

4. Accroissements finis<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nQuestion 1<\/i>
\nSoient \"f\" et \"g\" deux fonctions<\/a> continues sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", d\u00e9rivables sur \"]a , \,b[\" et telles que \"\quad \quad \forall\, x \in \; ]a ,\, b[ , \, g '(x) \neq 0\".
\nMontrer qu’il existe \"c\" dans \"]a , \, b[\" tel que \"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)} {g'(c)}\".<\/p>\n

Correction :<\/b><\/p>\n

⚠️ si l’on applique deux fois le th\u00e9or\u00e8me des accroissements finis (\u00e0 \"f\" et \u00e0 \"g\"), on \u00e9crit \"f(b) - f(a) = (b - a) \, f'(c)\" et \"g(b) - g(a) = (b - a) \, g'(c')\".
\nLes r\u00e9els<\/a> \"c\" et \"c'\" ne sont pas \u00e9gaux et on n’a pas prouv\u00e9 le r\u00e9sultat.<\/p>\n

\"h = f - \alpha \, g\" est continue sur \"[a , \, b]\",\u00a0 d\u00e9rivable sur \"]a , \, b[\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles,
\n\"h(a) = h(b)\"
\nssi \"f(b) - f(a) = \alpha \, (g(b) - g(a))\"
\nSi l’on avait \"g(b) = g(a)\", il existerait \"c \in \; ]a ,\, b[\" tel que \"g'(c) = 0\", ce qui est exclu.
\n\"g(b) - g(a) \neq 0\", donc \"\alpha = \displaystyle \frac {f(b) - f(a) } {g(b) - g(a)}\".<\/p>\n

Par application du th\u00e9or\u00e8me de Rolle \u00e0 \"h\", il existe \"c \in \; ]a , \, b[\" tel que \"h'(c) = 0\" soit \"f'(c) = \alpha \, g'(c)\" avec \"g'(c) \neq 0\".
\nEn \u00e9galant les deux valeurs de \"\alpha\" obtenues, on a prouv\u00e9 que
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)} {g'(c)}\".<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nSoit \"f\" une fonction de classe \"C^2\" sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", trois fois d\u00e9rivable sur \"]a , \, b[\".
\nMontrer qu’il existe \"d\" de \"]a ,\, b[\" tel que \"\displaystyle \frac {f(b) - f(a) - (b - a) f'(a)} {(b - a) ^3}\" \"\displaystyle \quad \quad \quad - \frac { \, (b - a) ^2 f ''(a)/2 } { (b - a)^3} = \frac {f^{3}(c)} {6}\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On note
\n\"F : \displaystyle x \mapsto f(x) - f(a) (x - a) f'(a)\" \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle -\, \frac {(x - a)^2 } 2 f ''(a)\"
\net \"G : x \mapsto (x - a)^3\".
\n\"F\" et \"G\" sont deux fois d\u00e9rivables sur \"[a,\, b]\" et \"G'\" ne s’annule pas sur \"]a , \,b[\"
\nIl existe donc \"d \in \; ]a, \, b[\" tel que \"\quad \quad \displaystyle \frac {F(b) - F(a)} {G(b) - G(a)} = \frac {F'(d)} {G'(d)}\"
\nsoit \"\displaystyle \frac {F(b) } {G(b) } = \frac {F'(d)} {G'(d)}\".<\/p>\n

\"F'(x) = f'(x) - f'(a) - (x - a) f''(a)\" et \"G'(x) = 3(x - a)^2\".
\n\"F'\" et \"G'\" sont d\u00e9rivables sur \"[a , \, d]\" et \"G''\" ne s’annule pas sur \"]a , \, d[\".
\nOn peut donc utiliser la question 1 sur \"[a , \, d]\".
\nIl existe \"e \in \; ]a , \, d[\" tel que
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {F'(d) - F'(a)} {G'(d) - G'(a)} = \frac {F''(e)} {G''(e)}\"
\nsoit
\n\"\displaystyle \frac {F'(d) } {G'(d) } = \frac {F''(e)} {G''(e)} = \frac {f''(e) - f''(a)} {6(e - a )}\"<\/p>\n

Par application du th\u00e9or\u00e8me des accroissements finis \u00e0 \"f''\" qui est continue sur \"[a , \, e]\" et d\u00e9rivable sur \"]a , \, e[\", il existe \"c \in\; ]a , \, e[ \; \subset\; ]a , b[\" tel que
\n\"\displaystyle \frac {F'(d) } {G'(d) } = \frac {f^{3}(c)} {6}\" donc \"\displaystyle \frac {F(b) } {G(b) } = \frac {f^{3}(c)} {6}\",
\nce qui est la relation demand\u00e9e.<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9rivable et born\u00e9e sur \"\mathbb{R}\".
\nOn suppose que \"f'\" est monotone.
\nMontrer que \"f\" est constante.<\/p>\n

Exercice 3
\n<\/b>Question 1<\/i>
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9rivable sur \"[a , \, + \infty[\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles telle que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f'(x) = + \infty\".
\nMontrer que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {f(x) } x = +\infty\".<\/p>\n

Question 2<\/i>
\na)\u00a0<\/b>On note \"f : x \mapsto x^2 (2 + \sin x)\"
\nQuelle est la limite en \"+\infty\" de \"\displaystyle x \mapsto \frac {f(x)} x\" ?<\/p>\n

b)<\/strong> \"f'\" a une limite en \"+ \infty\"<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {R}\", continue sur \"[a ,\, b]\" et d\u00e9rivable sur \"[a ,\, b[\" telle que \"f '\" soit strictement croissante sur \"[a , b[\".<\/p>\n

Question 1<\/i>
\na)<\/b>\u00a0Pour tout \"x\" de \"]a ,\, b]\" , il existe un et un seul \"c\" de \"]a ,\, b[\" tel que \"\quad \quad \quad f(x) - f(a) = (x - a) f '(c)\".<\/p>\n

b)\u00a0<\/b>On d\u00e9finit pour tout \"t\" de \"]a ,\, b]\", \"\quad\quad \quad \displaystyle g(t) =\frac {f(t) - f(a)} {t - a}\".
\nMontrer que \"g\" est prolongeable par continuit\u00e9 en \"a\" et strictement croissante sur \"[a ,\, b]\".<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/i>
\nOn d\u00e9finit \"\varphi\" par \"\varphi (a) = a\" et \"\quad \quad \forall\, x \in \; ]a ,\, b]\" , \"\varphi (x) = c\"
\no\u00f9 \"c\" est l’unique point de \"]a ,\, b[\" tel que \"f(x) - f(a) = (x - a)\, f '(c)\".
\na)\u00a0<\/b>Montrer que \"\varphi\" est strictement croissante sur \"[a ,\, b]\"\u00a0et \"\quad \quad \varphi ( [a , \, b]) = [a,\, \varphi(b)]\".<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0Montrer que \"\varphi\" est continue.<\/p>\n

c)\u00a0<\/b>On suppose que \"f\" est de classe \"C ^2\" sur \"[a ,\, b]\" et que \"f ''\" ne s’annule pas sur \"]a ,\, b[\". Montrer que \"\varphi\" est de classe \"C^1\" sur \"]a ,\, b]\".<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Le programme de Maths en Maths Sup, que ce soit en MPSI, PCSI ou PTSI, est tr\u00e8s complexe. Prendre de l’avance en se familiarisant sur les chapitres \u00e0 venir est un bon moyen de progresser durablement. Pour cela, vous pouvez d’ores et d\u00e9j\u00e0 jeter un \u0153il aux chapitres suivants :<\/p>\n