{"id":37794,"date":"2019-11-05T15:07:36","date_gmt":"2019-11-05T14:07:36","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37794"},"modified":"2023-09-15T18:34:31","modified_gmt":"2023-09-15T17:34:31","slug":"cours-en-ligne-arithmetique-polynomes-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-arithmetique-polynomes-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur l’Arithm\u00e9tique Polyn\u00f4mes en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Arithm\u00e9tique Polyn\u00f4mes en Maths Sup MPSI, MP2I<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Arithm\u00e9tique Polyn\u00f4mes en Maths Sup<\/h2>\n

Plan :<\/span><\/h3>\n

1.Trouver un PGCD de \"A\" et \"B\"
\n2. Relation de Bezout
\n3. Propri\u00e9t\u00e9s des PGCD et PPCM
\n4. Polyn\u00f4mes<\/a> premiers entre eux<\/p>\n

Rappel \"A\" et \"B\" non nuls de \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\" sont associ\u00e9s lorsque’il existe \"\lambda \in \mathbb{K}^*\" tel que \"A = \lambda \, B\".<\/p>\n

 <\/p>\n

\n

1.Trouver un PGCD de \"A\" et \"B\"<\/h3>\n

On suppose dans ce \u00a7, que \"(A , B) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}]) ^2\" et sont non nuls.
\nOn note
\n\"\ast\" \"\mathcal{D}(A , \, B)\" l’ensemble des diviseurs communs \u00e0 \"A\" et \"B\",
\n\"\ast\" \"\textrm{PGCD}(A , \, B)\" un P.G.C.D de \"A\" et \"B\" (soit un polyn\u00f4me de degr\u00e9 maximal \u00e9l\u00e9ment de \"\mathcal{D}(A , \, B)\")
\n\"\ast\"\u00a0 \"\Delta = A \wedge B\" le P.G.C.D de \"A\" et \"B\", c’est \u00e0 dire le polyn\u00f4me unitaire de degr\u00e9 maximal de \"\mathcal{D}(A , \, B)\".
\nTous les PGCD de \"A\" et \"B\" sont associ\u00e9s.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Si \"A\" et \"B\" sont scind\u00e9s sur \"\mathbb{K}\",
\n\"\ast\" s’ils n’ont pas de racine commune, \"A \wedge B = 1\"
\n\"\ast\" s’ils ont \"p\" racines communes et s’\u00e9crivent
\n\"A = \lambda \displaystyle \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\alpha_k}\, \prod_{j = p + 1 } ^n (\textrm{X} - x_j)^{\alpha_j}\"
\net \"B = \mu\displaystyle \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\beta_k}\, \prod_{j = n + 1 } ^q (\textrm{X} - x_j)^{\beta_j}\"
\no\u00f9 \"(x_j)_{1 \leq j \leq q}\" sont des \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}\" deux \u00e0 deux distincts.
\n\"\quad \quad \quad A \wedge B = \displaystyle \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\gamma_k}\"
\no\u00f9 \"\gamma_k = \min(\alpha _ k \, , \, \beta_k)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Si \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\" et si les d\u00e9compositions de \"A\" et \"B\" sous forme de produits<\/a> de polyn\u00f4mes irr\u00e9ductibles
\n\"\ast\" s’ils n’ont pas de facteur irr\u00e9ductible commun, \"A \wedge B = 1\"
\n\"\ast\" s’ils ont \"p\" facteurs irr\u00e9ductibles communs et s’\u00e9crivent :
\n\"A = \lambda \displaystyle \prod_{k = 1} ^p P_k ^{\alpha_k}\, \prod_{j = p + 1 } ^n P_ j^{\alpha_j}\"
\net \"B = \mu \displaystyle \prod_{k = 1} ^p P_k ^{\beta_k}\, \prod_{j = n + 1 } ^q P_ j^{\beta_j}\"
\no\u00f9 \"(P_j)_{1 \leq j \leq q}\" sont des polyn\u00f4mes irr\u00e9ductibles 2 \u00e0 2 distincts,
\n\"A \wedge B = \displaystyle \prod_{k = 1} ^p P_k ^{\gamma_k}\" o\u00f9\u00a0\u00a0\"\gamma_k = \min(\alpha _ k \, , \, \beta_k)\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0En utilisant\u00a0une relation de\u00a0<\/b>\u00a0Bezout\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" Il existe \"(U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2\" tel que \"A \, U + B \, V = A \wedge B\".
\n\"\ast\" \"A \wedge B = 1\" ssi\u00a0\"\exists\, (U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2\" tel que \"A \, U + B \, V = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0En utilisant l’algorithme d’Euclide<\/b>
\nOn se ram\u00e8ne au cas o\u00f9 \"\quad \quad \quad \quad \textrm{deg}\, A \geq \textrm{deg} \,B\",
\nPoser \"R_0 = A\" et \"R_1 = B\".
\n\"A \wedge B\" est le polyn\u00f4me unitaire proportionnel au dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes<\/a> suivantes :
\n\"R_0 = R_1 \, Q_1 + R_2\"\u00a0 \"\quad \textrm{avec deg} \, R_2 < \textrm{deg} \, R_1\,\"
\n\"R_{k - 1} = R_k \, Q_k + R_{k + 1}\" \"\quad \textrm{avec deg}\, R_{k + 1} < \textrm{deg} \, R_k\,\"
\n…
\n\"R_{n - 2} = R_{n - 1} \, Q_{n - 1} + R_{n}\" \"\quad \textrm{avec deg}\, R_{n} < \textrm{deg} \, R_{n - 1}\, \"
\n\"R_{n - 1} = R_{n} \, Q_{n} \,\".<\/p>\n

👍 On rappelle que l’on note \"0 \wedge 0 = 0\".
\nSi \"A \neq 0, \, A \wedge 0\" est associ\u00e9 \u00e0 \"A\".<\/p>\n

Exemple<\/b>
\nSoit \"A = \textrm{X}^4 + 4\, \textrm{X}^3 + \textrm{X}^2 - 16\" et \"B = \textrm{X}^3 + 3 \, \textrm{X}^2 - 3 \textrm{X} + 4\"
\nTrouver \"A \wedge B\" et une identit\u00e9 de Bezout.<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" Algorithme d’Euclide :
\nOn note \"R_0 = A\" et \"R_1 = B\".
\n\"\ast\" \"R_0 = Q_1\, R_1 + R_2\" avec \"Q_1 = \textrm{X} + 1\" et \"R_2 = \textrm{X}^2 - \textrm{X} - 20\"<\/p>\n

\"\ast\" \"R_1 = Q_2 \, R_2 + R_3\" et \"Q_ 2 = \textrm{X} + 4\" et \"R_3 = 21 Q_2\"<\/p>\n

\"\ast\" \"R _ 3 = 21( \textrm{X} + 4)\" et \"R_2 (- 4) = 0\" donnent : \"R_3\" divise \"R_2\", donc \"R_4 = 0\".
\n\"R_3\" est le dernier reste non nul<\/p>\n

\"\conclusion\" \"A \wedge B = \textrm{X} + 4\"<\/p>\n

\"\bullet\" Identit\u00e9 de Bezout\u00a0en remontant\u00a0<\/b>l’algorithme de Bezout :
\n\"R_3 = R_1 - Q_2 R_2\"
\n\"R_3 = R_1 - Q_2 (R_0 - Q_1 \, R_1)\"
\n\"R3 = R_1 \left ( 1 + Q_1 \, Q_2 \right ) - Q_2 \, R_0\"
\nEn divisant par 21 :
\n\"\textrm{X} + 4 = U \, A + V \, B\" avec \"A = - \displaystyle \frac 1 {21} Q_2\"
\nsoit \"U = \displaystyle \frac {- 1} {21} (\textrm{X} +4 )\"
\net \"V = \displaystyle \frac 1 {21} (1 + Q_1 \, Q_2)\"
\nsoit \"V = \displaystyle \frac 1 {21} ( \textrm{X}^2 +5 \textrm {X} +5 )\"<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant l’algorithme \u00e9tendu\u00a0<\/b>sachant que \"Q_1 = \textrm{X} + 1\" et \"Q_2 = (\textrm{X} + 4\"
\nOn d\u00e9finit
\n\"\ast\" \"(U_0 \,, \, V_ 0) = (1\, ,\, 0)\"
\n\"\ast\" \"(U_1 \,, \, V_1) = (0 \, , \, 1)\"
\n\"\ast\" \"(U_2 \,, \, V_2) = (U_0 - Q_1 \, U_1 \, , \, V_0 - Q_1 \, V_1 )\"
\n\"(U_2 \,, \, V_2) = (1 \, , \, - Q_1)\"<\/p>\n

\"\ast\" \"(U_3 \,, \, V_3) = (U_1 - Q_2 \, U_2 \, , \, V_1 - Q_2 \, V_2 )\"
\n\"(U_3 \,, \, V_3) = (- Q_2 \, , \,1 + Q_1\, Q_2)\"
\ndonne
\n\"21( \textrm{X} + 4) = ( - Q_2) A + (1 + Q_1 \, Q_2) B\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. Relation de Bezout<\/h3>\n
\n

Si \"B = b \, \in \mathbb{K}^*\" , \"A \wedge B = 1\" et
\n\"A + \displaystyle \left ( 1 - \frac 1 b \, A \right ) B = b\"
\nla relation de Bezout (arithm\u00e9tique en Maths Sup<\/a>) est \u00e9vidente par division par \"b\" de cette relation.<\/p>\n

On suppose dans la suite \"A\" et \"B\" non constants.\u00a0<\/b>
\nOn peut trouver \"U\" et \"V\" de la relation de Bezout :
\nIl existe \"(U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2\" tels que \"A \, U + B \, V = \textrm{PGCD}(A , \, B)\",
\nen utilisant l’algorithme d’Euclide \u00e9tendu\u00a0<\/b><\/p>\n

Poser \"R_0 = A\" et \"R_1 = B\" avec \"\textrm{deg} A \geq \textrm{deg}(B)\".
\n\"A \wedge B\" est le polyn\u00f4me unitaire proportionnel au dernier r\u00e9sultat non nul dans la suite<\/a> des divisions euclidiennes suivantes :
\non \u00e9crit si \"1 \leq k \leq n - 2, \, R_{k - 1} = R_k \, Q_k + R_{k + 1}\" avec \"\textrm{deg} \, R_{k + 1} < \textrm{deg} \, R_k\"
\net \"R_{n - 1} = R_{n} \, Q_{n} \,\".<\/p>\n

En notant \"\left \{ \begin{matrix} U_0 = 1 \, ,\, V_0 = 0 \\ U_1 = 0 \, , \, V_1 = 1 \end{matrix} \right.\",
\net si \"1 \leq k \leq n - 1\",
\n\"\quad \left \{ \begin{matrix} U _{k + 1} & =&- Q_k \, U_k + U_{k - 1} \\V _{k + 1} & =&- Q_k \, V_k + V_{k - 1} \end{matrix} \right.\"
\nalors pour tout \"0 \leq k \leq n,\" \"\quad \quad \, R_k = A \, U_k + B \, V_k\,\"
\nce qui permet de trouver par r\u00e9currence<\/a> \"R_n = A \, U_n + B \, V_n\,\"
\net d’en d\u00e9duire la relation de Bezout.<\/p>\n

👍 lorsque \"n\" est faible, on peut \u00ab\u00a0remonter \u00a0\u00bb l’algorithme de Bezout petit \u00e0 petit\u00a0 en partant de \"\quad R _n = R_{n - 2} - R_{n - 1} \, Q_{n - 1}\"
\npuis en utilisant \"\quad R_{n - 1} = - R_{n - 3} - R_{n - 2} \, Q_{n - 2}\"
\net en r\u00e9it\u00e9rant le principe, jusqu’\u00e0 tout exprimer en fonction<\/a> de \"R_0 = A\" et \"R_1 = B\".<\/p>\n

⚠️ Il n’y a pas unicit\u00e9 du couple \"(U \, , \, V)\" de la relation de Bezout car \"(U + Q\, B\, , \, V - Q\, A)\" est aussi solution pour tout \"Q \in \mathbb{K} [\textrm{X}]\".<\/p>\n

D\u00e9mo<\/strong> :<\/p>\n

On note si \"1 \leq k \leq n - 1\",
\n\"H _ k :\" \"\left \{ \begin{matrix}R _{k - 1} & =&A \, U_{k - 1}+ B \,V _{k - 1} \\ R _{k} & =&A \, U_k + B \,V _{k } \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"H_1\" est vraie par choix de \"U_0 \, , \, U_1 \,, \, V_0 \, , \, V_1\" car \"R_0 = A\" et \"R_1 = B\".<\/p>\n

On suppose que \"H_k\" est vraie et que \"k < n\".
\n\"R_{k + 1} = - Q_k \, R_k + R_{k - 1}\,\".
\nEn utilisant \"H_k\,\",
\n\"R_{k + 1} = - Q_k (A \, U_k + B \,V _{k })\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, A \, U_{k - 1}+ B \,V _{k - 1}\"
\n\"R_{k + 1} = A ( - Q_k \, U_k + U_{k - 1} )\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, B ( - Q_k \,V _{k } +V _{k - 1})\"
\net en utilisant les d\u00e9finitions de \"U_{k + 1}\" et \"V_{k + 1}\,\", \"R _{k+1} =A \, U_{k + 1} + B \,V _{k + 1}\,\",
\nce qui prouve \"H_{k + 1}\,\".<\/p>\n

Exemple<\/b>
\nSoient \"A = \textrm{X}^4 + 4\, \textrm{X}^3 + \textrm{X}^2 - 16\" et \"B = \textrm{X}^3 + 3 \, \textrm{X}^2 - 3 \textrm{X} + 4\".
\nTrouver \"A \wedge B\" et une identit\u00e9 de Bezout.<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Algorithme d’Euclide\u00a0<\/b>:
\nOn note \"R_0 = A\" et \"R_1 = B\".
\n\"\ast\" \"R_0 = Q_1\, R_1 + R_2\" avec \"Q_1 = \textrm{X} + 1\" et \"R_2 = \textrm{X}^2 - \textrm{X} - 20\"<\/p>\n

\"\ast\" \"R_1 = Q_2 \, R_2 + R_3\" et \"Q_ 2 = \textrm{X} + 4\" et \"R_3 = 21 \, Q_2\"<\/p>\n

\"\ast\" \"R _ 3 = 21( \textrm{X} + 4)\" et \"R_2 (- 4) = 0\" donnent : \"R_3\" divise \"R_2\,\", donc \"R_4 = 0\".
\n\"R_3\" est le dernier reste non nul<\/p>\n

\"\ast conclusion\" \"A \wedge B = \textrm{X} + 4\"<\/p>\n

\"\bullet\" Identit\u00e9 de Bezout\u00a0en remontant<\/b>\u00a0l’algorithme de Bezout :
\n\"R_3 = R_1 - Q_2 R_2\"
\n\"R_3 = R_1 - Q_2 (R_0 - Q_1 \, R_1)\"
\n\"R3 = R_1 \left ( 1 + Q_1 \, Q_2 \right ) - Q_2 \, R_0\"
\nEn divisant par 21 :
\n\"\quad \quad \quad \textrm{X} + 4 = U \, A + V \, B\"
\navec \"U = - \displaystyle \frac 1 {21} Q_2\"
\nsoit \"U = \displaystyle \frac {- 1} {21} (\textrm{X} +4 )\"
\net \"V = \displaystyle \frac 1 {21} (1 + Q_1 \, Q_2)\"
\nsoit \"V = \displaystyle \frac 1 {21} ( \textrm{X}^2 +5 \textrm {X} +5 )\"<\/p>\n

\"\bullet\" en utilisant l’algorithme \u00e9tendu<\/b>\u00a0sachant que \"Q_1 = \textrm{X} + 1\" et \"Q_2 = \textrm{X} + 4\"
\nOn d\u00e9finit
\n\"\ast\" \"(U_0 \,, \, V_ 0) = (1\, ,\, 0)\"
\n\"\ast\" \"(U_1 \,, \, V_1) = (0 \, , \, 1)\"
\n\"\ast\" \"(U_2 \,, \, V_2) = (U_0 - Q_1 \, U_1 \, , \, V_0 - Q_1 \, V_1 )\"
\n\"\quad (U_2 \,, \, V_2) = (1 \, , \, - Q_1)\"
\n\"\ast\" \"(U_3 \,, \, V_3) = (U_1 - Q_2 \, U_2 \, , \, V_1 - Q_2 \, V_2 )\"
\n\"\quad (U_3 \,, \, V_3) = (- Q_2 \, , \,1 + Q_1\, Q_2)\"
\ndonne
\n\"21( \textrm{X} + 4) = ( - Q_2) A + (1 + Q_1 \, Q_2) B\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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3. Propri\u00e9t\u00e9s des PGCD et PPCM<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"A , B , C , P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\",
\n\"\ast\" \"(A\wedge B) \wedge C = A \wedge (B \wedge C)\"
\n\"\ast\" \"P(A \wedge B)\" et \"(P A) \wedge (P B)\" sont associ\u00e9s.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n\" sont des \u00e9l\u00e9ments non nuls de \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\", le PGCD de cette famille est le polyn\u00f4me unitaire not\u00e9 \"A_1 \, \wedge \, A_2 \, \wedge \, \cdots \, \wedge\, A_n\" qui est le diviseur unitaire commun aux \"n\" polyn\u00f4mes de degr\u00e9 maximal.
\nIl existe des polyn\u00f4mes \"U_1 \, , \, U_2 \, , \, \cdots \, ,\, U_n\" de \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\" tels que
\n\"\displaystyle A_1 \, \wedge \, A_2 \, \wedge \, \cdots \, \wedge\, A_n = \sum _{k = 1} ^n U_k \, A_k \,\".
\n(Relation de Bezout)<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A , B \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\", on appelle PPCM de \"A\" et \"B\" tout \u00e9l\u00e9ment \"M \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\" v\u00e9rifiant les deux conditions :
\n\"\quad \ast\" \"M\" est un multiple de \"A\" et \"B\"
\n\"\quad \ast\" Si \"P\" est un multiple de \"A\" et \"B\", \"P\" est un multiple de \"M\".
\nLorsque \"A\" et \"B\" sont non nuls, tous les PPCM sont associ\u00e9s et on note \"A \vee B\" le seul PPCM unitaire.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A , B \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\setminus \{0\}\",
\n\"(A \vee B) \, (A \wedge B)\" et \"A \, B\" sont associ\u00e9s.<\/p>\n

4. Polyn\u00f4mes premiers entre eux<\/h3>\n

\"\bullet\" \"A\" et \"B\" de \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\" sont premiers entre eux
\nssi \"A \wedge B = 1\"
\nssi \"\exists \, (U \, , \, V) \in \mathbb{K}[\textrm{X}]^2\", \"A \, U + B \, V = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n\" de \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\" sont premiers entre eux dans leur ensemble<\/a>
\nssi \"A_1 \, \wedge \, A_2 \, \wedge \, \cdots \, \wedge\, A_n = 1\"
\nssi Il existe \"U_1 \, , \, U_2 \, , \, \cdots \, ,\, U_n\" de \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\" tels que \"\displaystyle \sum _{k = 1} ^n U_k \, A_k \, = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n\" de \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\" sont premiers deux \u00e0 deux, ils sont premiers entre eux dans leur ensemble.
\n⚠️ la r\u00e9ciproque est fausse.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Th\u00e9or\u00e8me de Gauss<\/b>
\n\"A , B , C \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\" non nuls,
\nSi \"A \wedge B = 1\" et \"A\" divise \"B \, C\",\u00a0 alors \"A\" divise \"C\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n\, , \, P\" de \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\"
\n\"\ast\" \"\forall \, i \in [\![1 \, , \, n]\!],\, P \wedge A_i = 1\",
\nalors \"P \wedge (A_1 \, \cdots \, A_n) = 1\".
\n\"\ast\" \"\forall \, i \in [\![1 \, , \, n]\!],\, A_i\" divise \"P\" et si les polyn\u00f4mes \"(A_i)_{1 \leq i \leq n}\" sont premiers 2 \u00e0 2, alors \"A_1 \, \cdots \, A_n\" divise \"P\".<\/p>\n

Les math\u00e9matiques sont tr\u00e8s importantes en Maths Sup, et le coefficient de cette \u00e9preuve est tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9 aux concours post-pr\u00e9pa. Adopter les bons r\u00e9flexes et ma\u00eetriser parfaitement les notions de Maths Sup est fondamental pour r\u00e9ussir ces concours. Les cours en ligne et des professeurs particulier de maths<\/a> sont mis \u00e0 disposition des \u00e9tudiants de PTSI, PCSI et MPSI pour les aider dans leurs r\u00e9visions et les faire progresser durablement. Ainsi, \u00e0 la fin de ce cours, les \u00e9tudiants sont invit\u00e9s \u00e0 consulter et travailler sur les prochains chapitres du programme :<\/p>\n