{"id":37805,"date":"2019-11-05T15:26:10","date_gmt":"2019-11-05T14:26:10","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37805"},"modified":"2022-07-12T14:39:31","modified_gmt":"2022-07-12T13:39:31","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-arithmetique-polynomes-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-arithmetique-polynomes-maths-sup\/","title":{"rendered":"Arithm\u00e9tique et Polyn\u00f4mes en Maths Sup – Exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercices corrig\u00e9s sur l’Arithm\u00e9tique et Polyn\u00f4mes en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

Plan des exercices d’Arithm\u00e9tique et Polyn\u00f4mes<\/h2>\n
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1. Calculs de PGCD<\/p>\n

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1. Calculs de PGCD en cours d’arithm\u00e9tique maths sup<\/h2>\n

Exercice 1 :<\/b><\/h3>\n

pgcd de \"A = n \, \textrm{X} ^{n + 1} - (n + 1) X ^n + 1\" et \"B = \textrm{X} ^n - n \, \textrm{X} + (n - 1)\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

On effectue la division euclidienne de \"A\" par \"B\"
\n\"A = B \, Q + R\" avec \"Q = n \, \textrm{X} - n - 1\" et \"R = n ^2 (\textrm{X} - 1) ^2\".<\/p>\n

 <\/p>\n

\"A \wedge B = B \wedge R\"
\n\"B(1) = 1 - n + n - 1 = 0\" et \"B'(1) = n - n = 0\", donc \"( \textrm{X} - 1)^2\" divise \"B\".
\nAlors \"B \wedge R = (\textrm{X} - 1) ^2\".<\/p>\n<\/div>\n

Exercice 2<\/b>
\nTrouver une relation de Bezout pour les polyn\u00f4mes r\u00e9els<\/a> \"A = \textrm{X}^5 +2\, \textrm{X}^3 + \textrm{X}^2 +2\" et \"B = \textrm{X}^4 + \textrm{X}^3 + 3\, \textrm{X}^2 + 2 \, \textrm{X} + 2\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\n

\"\bullet\"\u00a0On d\u00e9termine\u00a0<\/b>\"A \wedge B\".
\nOn note \"R_0 = A\" et \"R_1 = B\"
\nPar divisions euclidiennes successives
\n\"\ast\" \"R_0 = R_1 \, Q_1 + R_2\" avec \"Q_1 = \textrm{X} - 1\" et \"R_2 = 2\, \textrm{X}^2 + 4\".
\n\"\ast\" \"R_1 = R_2 \, Q_2 + R_3\" avec \"Q _2 = \displaystyle \frac 1 2 (\textrm{X}^2 + \textrm{X})\" et \"R _3 = \textrm{X} ^2 + 2\".
\n\"\ast\" \"R_2 = 2 . R_3 + 0\"
\n\"R_3\" est le dernier reste non nul et est unitaire, donc \"\textrm{X} ^2 + 2 = A \wedge B\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Relation de Bezout.\u00a0<\/b>
\n\"R _ 3 = R_1 - R_2 \, Q_2 = R_1 - (R_0 -R_1 \, Q_1 )\, Q_2\"
\net \"\textrm{X} ^2 + 2 = U \, A + V \, B\" avec
\n\"U = - Q_2 = \displaystyle - \frac 1 2 (\textrm{X}^2 + \textrm{X})\"
\net \"V =1 + Q_1 \,Q_2 = \displaystyle \frac 1 2 \left ( \textrm{X}^3 - \textrm{X} + 2 \right )\".<\/p>\n

2. une suite de polyn\u00f4mes<\/h2>\n<\/div>\n
\n

On d\u00e9finit la suite de polyn\u00f4mes<\/a> \"(P_n)_n\" par \"P_ 0 = 1\", \"P_1 = \textrm{X}\" et \"\quad \forall \, n \in \mathbb{N }\", \"P_{n + 2} = \textrm{X} \, P_{n + 1} - P_n\".
\nQuestion 1.\u00a0<\/b>
\nCalculer \"P_n ^2 - P_ {n + 1} \, P_{n - 1}\" si \"n \in \mathbb{N }^*\".<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On note \"A _n = P_n ^2 - P_ {n + 1} \, P_{n - 1}\,\".
\n\"\bullet\" \"P_ 2 = \textrm{X} \, P_1 - P_0 = \textrm{X} ^2 - 1\"
\n\"A_1 = \textrm{X} ^2 - (\textrm{X} ^2 - 1) = 1\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"A _{n + 1} = P_{n + 1} ^2 - P_ {n + 2} \, P_{n}\"
\n\"A _{n + 1} = P_{n + 1} ^2 - (\textrm{X} \, P_{n + 1} - P_n ) \, P_{n}\"
\n\"A _{n + 1} = P_{n + 1} ( P_{n + 1} - \textrm{X} \, P_{n} ) + P_n ^2\"
\n\"A _{n + 1} = - P_{n + 1} P_{n - 1} + P_n ^2 = A_n \,\".<\/p>\n

\"\bullet\" On obtient une suite constante de premier terme \u00e9gal \u00e0 1.
\nDonc \"\forall\, n \in \mathbb{N}^*, P_n ^2 - P_ {n + 1} \, P_{n - 1} = 1\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nD\u00e9terminer si \"n \in \mathbb{N}\", \"P_n \wedge P_{n + 1}\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

On a donc \u00e9crit \"U \, P_n + V \, P_{n + 1} = 1\" avec \"U = P_n\" et \"V = - P_{n - 1}\,\", donc \"P_{n + 1} \wedge P_n = 1\".<\/p>\n

3. Exercice 3<\/h2>\n

Soient \"A\" et \"B\" deux \u00e9l\u00e9ments non nuls de \"\mathbb{C} [\textrm{X}]\".
\nIl y a \u00e9quivalence entre
\na)\u00a0<\/b>\"A\" et \"B\" ne sont pas premiers entre eux
\nb)\u00a0<\/b>Il existe \"U\" et \"V\" dans \"\mathbb{C} [\textrm{X}]\"non nuls tels que \"A \, U + B\, V\", \"\textrm{deg} (V) < \textrm{deg}(A)\" et \"\textrm{deg}(U) < \textrm{deg} B\". Vrai ou faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" et \"B\" ne sont pas premiers entre eux, \"D = A \wedge B\" est de degr\u00e9 au moins \u00e9gal \u00e0 1 et on peut \u00e9crire \"A = A_1 \, D\" et \"B = B_1 \, D\" tels que \"A _ 1 \wedge B_1 = 1\".
\nAlors \"\textrm{deg} (A_1) < \textrm{deg} (A)\" et \"\textrm{deg} (B_1) < \textrm{deg} (B)\".
\n\"B _1 \, A - A _ 1 \, B = A_1 \, B_1 \, D - A _ 1 \, B_1 \, D = 0\"
\n\"U = B_1\" et \"V = - A_1\" conviennent.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"U\" et \"V\" existent v\u00e9rifiant les conditions de b), on note \"D = A \wedge B\" et on peut \u00e9crire \"A = A_1 \, D\" et \"B = B_1 \, D\" tels que \"A _ 1 \wedge B_1 = 1\" .
\n\"A \, U + B \, V = 0 \Rightarrow A_ 1 \, U + B _ 1 \, V = 0\".
\ndonc \"A _ 1 \, U = - B _ 1 \, V\" et \"A _ 1 \wedge B _ 1 = 1\" donnent par le th\u00e9or\u00e8me de Gauss, \"A _ 1\" divise \"V\".
\nOn peut \u00e9crire \"V = A _ 1 \,\" donc \"\textrm{deg} A_1 \leq \textrm{deg} V \leq \textrm{deg} A\", donc \"\textrm{deg} D \geq 1\" et \"A\" et \"B\" ne sont pas premiers entre eux.<\/p>\n

4. Reste d’une division euclidienne<\/h2>\n

Soit \"a \in \mathbb{C}\", \"p\" et \"n\" des entiers tels que \"0 < p < n\".
\nOn note \"n = p\, q + r\" avec \"0 \leq r < p\"
\nLe reste de la division de \"\textrm{X}^n\" par \"\textrm{X}^p - a\" est \"a^q \,\textrm{X}^r\". Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction :<\/b><\/p>\n

\"q \in \mathbb{N}^*\" car \"n > p\".
\n\"\textrm{X}^n - a^q \,\textrm{X}^r = \textrm{X}^r \left ( X ^{p \, q} - a^q \right )\"
\n\"\textrm{X} ^{p \, q} - a^q = (\textrm{X} ^p) ^q - a ^q\"
\nce qui donne
\n\"\quad \quad \textrm{X} ^{p \, q} - a^q = (\textrm{X} ^p - a ) \, U\"
\navec \"U = \displaystyle \sum _ {i = 0} ^{q - 1 } a^{q - i - 1} \, (\textrm{X} ^p) ^i\"<\/p>\n

On peut donc \u00e9crire
\n\"\textrm{X}^n - a^q \,\textrm{X}^r = \textrm{X}^r ( \textrm{X} ^p - a) \, U\"
\net alors
\n\"\textrm{X}^n = ( \textrm{X} ^p - a) \textrm{X}^r \, U + a^q \,\textrm{X}^r\"
\nce qui donne par unicit\u00e9 de la division euclidienne que le reste est \u00e9gal \u00e0 \"a^q \,\textrm{X}^r\"<\/p>\n

5. D\u00e9termination d’un pgcd<\/h2>\n

Soit \"a \in \mathbb{C}\", \"p\" et \"n\" des entiers tels que \"0 < p < n\".
\nQuestion 1<\/b>
\nOn note \"n = p \,q + r\" avec \"0 \leq r < p\"
\n\"(\textrm{X}^n - a^n) \wedge (\textrm{X}^p - a^p) =\" \"\quad \quad \quad \quad (\textrm{X}^p - a^p) \wedge (\textrm{X}^r - a^r)\"<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\textrm{X}^n - a^n = \textrm{X}^{p q} \, \textrm{X}^{r} - a^{p\, q} \, a^r\"
\n\"\textrm{X}^n - a^n =\" \"\quad \textrm{X}^{r} \left ( \textrm{X}^{p q} - a^{p\, q}\right ) + a^{p\, q} \left ( \textrm{X}^{r} - a ^r \right )\"<\/p>\n

puis \"\textrm{X}^{p \, q} - a^{p\, q} = (\textrm{X}^{p }) ^q - (a^{p}) ^q\"
\n\"\textrm{X}^{p \, q} - a^{p\, q} = (\textrm{X}^{p }- a^{p}) \, U\"
\navec \"U = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{q - 1} (a ^p) ^{q - 1 - k} \, \textrm{X}^{p \, i }\"<\/p>\n

\"\textrm{X}^n - a^n = (\textrm{X}^{p }- a^{p}) \, U \, \textrm{X}^{r} + a^{p\, q} \left ( \textrm{X}^{r} - a ^r \right )\"
\nOn a donc prouv\u00e9 que le reste de la division de \"\textrm{X}^n - a^n\" par \"\textrm{X}^{p }- a^{p}\" est \u00e9gal \u00e0 \"\textrm{X}^{r} - a ^r\"
\ndonc
\n\"(\textrm{X}^n - a^n) \wedge (\textrm{X}^p - a^p) =\" \"\quad \quad \quad \quad (\textrm{X}^p - a^p) \wedge (\textrm{X}^r - a^r)\"<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSoit\u00a0\"\delta = n \wedge p\".
\n\"(\textrm{X}^n - a^n) \wedge (\textrm{X}^p - a^p) = \textrm{X}^{\delta} - a^{\delta}\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

Dans la suite<\/a> on note \"A _ k = \textrm{X}^k - a^k\".<\/p>\n

On note \"n_0 = n\" et \"n _ 1 = p\" et on utilise l’algorithme d’Euclide avec les entiers \"n_0\" et \"n_ 1\,\".
\nOn \u00e9crit \"n _ 0 = n _ 1 \ q_1 + n _ 2\" , on sait que \"\delta\" est le dernier reste non nul \"n _ {k + 1}\" dans la suite des divisions de \"n _ 0\" par \"n -1\" , de \"n - 1\" par \"n_ 2\" etc …<\/p>\n

En utilisant \"A_{n _0} \wedge A_{n _ 1} = A_{n _1} \wedge A_{n _ 2}= ... =\"
\n\"A_n \wedge A_p = A_{n _k} \wedge A_{n _ {k + 1}}\,\".
\nEt comme \"n _ k = q _ k \, n _ {k + 1}\", \"\quad \quad A_{n _k} \wedge A_{n _ {k + 1}} = A_{n _ {k + 1}}\,\"\u00a0car le reste de la division est nul.<\/p>\n

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 <\/p>\n

6. Th\u00e9or\u00e8me de Bezout pr\u00e9cis\u00e9<\/h2>\n

Soit \"(A , B) \in ( \mathbb{K} [\textrm{X}] \setminus \{0\}) ^2\" tel que \"A \wedge B = 1\".
\nOn note \"n = \max (\textrm {deg} \, A , \textrm {deg} \, B)\"
\nIl existe un unique couple \"(U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2\" tel que \"A \, U + B \, V = 1\", avec \"\textrm {deg} \, U< n\" et \"\textrm {deg} \, V < n\" .<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction<\/strong> :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Existence\u00a0<\/b>
\nOn sait qu’il existe \"(U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2\" tel que \"A \, U + B \, V = 1\",
\nPar division euclidienne<\/a>
\n\"U = B \, Q_0 + U_0\" et \"V = A \, Q_1 + V_0\" avec
\n\"\textrm {deg} \, U_0 < \textrm {deg} \, B\" et \"\textrm {deg} \, V_0 < \textrm {deg} \, B\"
\ndonc \"\textrm {deg} \,U_0 < n\" et \"\textrm {deg} \,V_0 < n\"<\/p>\n

Alors \"A \, U + B \, V = A \wedge B\" donne
\n\"A \, U_0 + B \, V_0 + A\,B\, (Q_0 + Q_1) = 1\"
\ndonc
\n\"A\,B\, (Q_0 + Q_1) = 1 - A \, U_0 -B \, V_0\"<\/p>\n

Comme \"\textrm {deg} (A \, U_0 ) \leq \textrm {deg}\,( A) + \textrm {deg}\,( U_0 )\"
\n\"\textrm {deg}( A \, U_0) < \textrm {deg}\, (A) + \textrm {deg}\, (B)\"
\n\"\textrm {deg}( A \, U_0) < \textrm {deg}\, (A \, B)\".
\nDe m\u00eame \"\textrm {deg}( B \, V_0) < \textrm {deg}\, (A \, B)\"
\ndonc \"\textrm {deg}( B \, V_0) < \textrm {deg}\, (A \, B)\"
\ndonc \"\textrm {deg}( 1 - A \, U_0 -B \, V_0 ) < \textrm {deg}\, (A \, B)\".<\/p>\n

La relation \"A\,B\, (Q_0 + Q_1) = 1 - A \, U_0 -B \, V_0\"
\nimplique que \"\textrm {deg}(A\,B\, (Q_0 + Q_1)) < \textrm {deg}\, (A \, B)\"
\ndonc \"A\,B\, (Q_0 + Q_1) = 0 \Rightarrow Q_0 + Q_1 = 0\"
\net on a obtenu \"A \, U_0 + B \, V_0 = 1\"
\navec \"\textrm {deg}\, U_0 < n\" et \"\textrm {deg}\, V_0 < n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Unicit\u00e9\u00a0<\/b>
\nOn suppose que
\n\"A \, U_0 + B \, V_0 = 1\" et \"A \, U_1 + B \, V_1 = 1\"
\navec \"U_0\, , U_1 \, V_0 \, , V_1\" de degr\u00e9 strictement inf\u00e9rieur \u00e0 \"n\".
\ndonc \"A (U_0 - U_1) = B(V_1 - V_0)\".
\nComme \"A \wedge B = 1\", \"A\" divise \"B(V_1 - V_0)\" donne par le th\u00e9or\u00e8me de Gauss
\n\"A\" divise \"V_1 - V_0\" avec \"\textrm{deg} (V_1 - V_0) < \textrm{deg} A\",
\ndonc \"V_1 - V_0 = 0\" et alors \"U_0 - U_1 = 0\".
\nOn a prouv\u00e9 l’unicit\u00e9 du couple.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

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