{"id":37956,"date":"2019-11-07T13:00:41","date_gmt":"2019-11-07T12:00:41","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=37956"},"modified":"2023-11-30T11:27:02","modified_gmt":"2023-11-30T10:27:02","slug":"cours-en-ligne-electricite-regime-sinusoidal-force-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-electricite-regime-sinusoidal-force-maths-sup\/","title":{"rendered":"\u00c9lectricit\u00e9 R\u00e9gime sinuso\u00efdal forc\u00e9 en Maths Sup – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Physique en Maths Sup<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tOscillateur harmonique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPropagation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuperposition<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tOptique g\u00e9om\u00e9trique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9lectricit\u00e9 (perm.\/transitoire)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9lectricit\u00e9 (sinuso\u00efdal forc\u00e9)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tM\u00e9canique du point<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tM\u00e9thodes \u00e9nerg\u00e9tiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi du moment cin\u00e9tique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tParticules charg\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tForces centrales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tThermodynamique descriptive<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t1er principe de la thermodynamique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t2e principe de la thermodynamique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMachines thermiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInduction<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n
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Cours de Physique : \u00c9lectricit\u00e9 R\u00e9gime sinuso\u00efdal forc\u00e9<\/b> en Maths Sup<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Exercices et corrig\u00e9s<\/a>\u00a0Cours en ligne de physique en Maths Sup<\/a><\/p>\r\n

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Ce cours en ligne de physique chimie pour les classes pr\u00e9paratoires vous permet de travailler le cours de l’\u00e9lectricit\u00e9 en r\u00e9gime sinuso\u00efdal, une partie essentielle pour comprendre les ph\u00e9nom\u00e8nes \u00e9lectriques complexes. Si vous rencontrez des difficult\u00e9s dans ce chapitre, n\u2019h\u00e9sitez pas \u00e0 consulter nos professeurs particuliers en physique chimie<\/a>. Le soutien que nous offrons ne se limite pas \u00e0 la dur\u00e9e du cours. Nous assurons un suivi p\u00e9dagogique continu par une \u00e9quipe d’experts, disponible avant et apr\u00e8s les sessions, pour r\u00e9pondre \u00e0 toutes vos questions et vous aider dans votre compr\u00e9hension.<\/p>\r\n

Cours & m\u00e9thodes – Maths Sup \u00c9lectricit\u00e9 R\u00e9gime sinuso\u00efdal forc\u00e9<\/b><\/h2>\r\n

Plan :<\/h3>\r\n

A. Imp\u00e9dances
B. \u00c9tude de circuits en RSF
C. \u00c9tude de r\u00e9sonance
D. Quadrip\u00f4les et filtrage<\/p>\r\n

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PRENDRE DES COURS DE PHYSIQUE CHIMIE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C\u2019est comprendre et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de physique chimie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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A. Imp\u00e9dances<\/h2>\r\n

1.\u00a0R\u00e9gime sinuso\u00efdal forc\u00e9 (RSF)<\/b><\/p>\r\n

En RSF, toutes les grandeurs \u00e9lectriques, intensit\u00e9s, tensions, potentiels du circuit sont sinuso\u00efdales, de pulsation \"\omega\" \u00e9gale \u00e0 celle du g\u00e9n\u00e9rateur :<\/p>\r\n

\"G(t)=G_0\cos(\omega t+\varphi)\"<\/p>\r\n

Elles sont caract\u00e9ris\u00e9es par leur amplitude \"G_0\" et leur phase \"\varphi\"<\/p>\r\n

On peut alors passer en grandeurs complexes (on souligne la lettre dans ce cas)<\/p>\r\n

\"\displaystyle{\underline{G}=G_0e^{j\omega t}e^{j\varphi}}\"<\/p>\r\n

ou \"\displaystyle{\underline{G}=\underline{G}_0e^{j\omega t}}\"<\/p>\r\n

avec \"\displaystyle{\underline{G}_0=G_0e^{j\varphi}}\"<\/p>\r\n

amplitude complexe de la grandeur.\u00a0<\/p>\r\n

D\u00e9monstration de cours.<\/b>\u00a0<\/p>\r\n

Montrer qu’en grandeurs complexes, d\u00e9river par rapport au temps revient \u00e0 multiplier par \"j\omega\"<\/p>\r\n

Correction<\/strong> :<\/p>\r\n

La d\u00e9riv\u00e9e de \"e^u\" est \"u'e^u\"
Or la d\u00e9riv\u00e9e par rapport au temps de \"j\omega t\" vaut \"j\omega\" donc
\"\displaystyle{\frac{d}{dt}\left[e^{j\omega t}\right)=j\omega e^{j\omega t}}\"
On en d\u00e9duit\u00a0
\"\displaystyle{\frac{d\underline{G}}{dt}=j\omega\underline{G}}\"<\/p>\r\n

2.\u00a0Loi d’Ohm g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e.<\/b><\/p>\r\n

Les lois de la r\u00e9sistance, de l’inductance et de la capacit\u00e9 s’\u00e9crivent toutes sous la m\u00eame forme en grandeurs complexes\u00a0<\/p>\r\n

\"\displaystyle{\underline{u}=\underline{Z}\underline{i}}\"<\/p>\r\n

o\u00f9 \"\underline{Z}\" est l’imp\u00e9dance complexe du dip\u00f4le.<\/p>\r\n

* \"\underline{Z}_R=R\"<\/p>\r\n

\u00a0* \"\underline{Z}_L=jL\omega\"<\/p>\r\n

* \"\displaystyle{\underline{Z}_C=\frac1{jC\omega}}\"<\/p>\r\n

L’admittance est l’inverse de l’imp\u00e9dance\u00a0<\/p>\r\n

\"\displaystyle{\underline{i}=\underline{Y}\underline{u}}\"<\/p>\r\n

* \"\displaystyle{\underline{Y}_R=\frac1R}\"<\/p>\r\n

\u00a0* \"\displaystyle{\underline{Y}_L=\frac1{jL\omega}}\"<\/p>\r\n

* \"\displaystyle{\underline{Y}_C=jC\omega}\"<\/p>\r\n

TOUTES<\/b>\u00a0les lois \u00e9tablies pour la r\u00e9sistance, association s\u00e9rie, association parall\u00e8le, diviseur de tension, sont valables en RSF en rempla\u00e7ant les r\u00e9sistances par\u00a0 les imp\u00e9dances.<\/p>\r\n

D\u00e9monstration de cours.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

\u00c9tablir les expressions des imp\u00e9dances des trois dip\u00f4les.\u00a0<\/p>\r\n

Correction<\/strong> :\u00a0<\/p>\r\n

* \"u_R=Ri\" donc \"\underline{u}=R\underline{i}\"
* \"\displaystyle{u_L=L\frac{di}{dt}}\" donc\u00a0
\"\displaystyle{\underline{u}_L=L\cdot j\omega \underline{i}}\"
soit \"\displaystyle{\underline{u}_L=(jL\omega)\underline{i}}\"
* \"\displaystyle{i=C\frac{du_C}{dt}}\" donc\u00a0
\"\displaystyle{\underline{i}=C\cdot j\omega \underline{u}_C}\"
soit \"\displaystyle{\underline{u}_C=\frac1{jC\omega}\underline{i}}\"<\/p>\r\n

B. \u00c9tude de circuits en RSF<\/h2>\r\n

1. \u00c9tude en grandeurs complexes.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

La m\u00e9thode d’\u00e9tude est la m\u00eame que pour les circuits avec g\u00e9n\u00e9rateur de tension continue et seulement des r\u00e9sistors :\u00a0<\/p>\r\n

on utilise la loi du diviseur de tension et on associe les imp\u00e9dances pour simplifier le circuit.\u00a0<\/p>\r\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Dans un circuit form\u00e9 de l’association s\u00e9rie d’une bobine d’inductance L et d’un condensateur de capacit\u00e9 C, aliment\u00e9 par un g\u00e9n\u00e9rateur de tension sinuso\u00efdal \"e(t)=E\cos(\omega t)\",\u00a0 d\u00e9terminer l’intensit\u00e9 complexe \"\underline{i}\"<\/p>\r\n

Correction<\/strong> :<\/p>\r\n

L’association a pour imp\u00e9dance complexe
\"\displaystyle{\underline{Z}_{\mathrm{eq}}=jL\omega+\frac1{jC\omega}}\"
\"\displaystyle{\underline{Z}_{\mathrm{eq}}=\frac{1-LC\omega^2}{jC\omega}}\"
Elle est aliment\u00e9e par\u00a0
\"\displaystyle{\underline{e}=Ee^{j\omega t}}\"
On en d\u00e9duit\u00a0
\"\displaystyle{\underline{i}=\frac{e}{\underline{Z}_{\mathrm{eq}}}}\"
\"\displaystyle{\underline{i}=\frac{jC\omega}{1-LC\omega^2}\cdot Ee^{j\omega t}}\"
\"\displaystyle{\underline{i}=\frac{C\omega E}{1-LC\omega^2}e^{j\frac{\pi}{2}}e^{j\omega t}}\"<\/p>\r\n

2. Du formalisme complexe \u00e0 l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Dans un circuit \u00e0 mailles multiples, l’\u00e9tablissement de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle par la m\u00e9thode classique, fl\u00e9chage des tensions et intensit\u00e9s, \u00e9criture des relations pour chaque dip\u00f4le et des lois de Kirchhoff, est poussive. Si le circuit ne comporte que des r\u00e9sistances, bobines, condensateurs, il est beaucoup plus rapide de proc\u00e9der comme suit.\u00a0<\/p>\r\n

* M\u00eame si l’on n’est pas en RSF, on associe les diff\u00e9rents dip\u00f4les en calculant les imp\u00e9dances \u00e9quivalentes, on utilise la loi du diviseur de tension, et on en d\u00e9duit l’\u00e9quation en grandeurs complexes (voir paragraphe pr\u00e9c\u00e9dent),.\u00a0<\/p>\r\n

* On utilise l’\u00e9quivalence \u00ab\u00a0complexe-temporelle\u00a0\u00bb,\u00a0 cette fois-ci sous sa forme r\u00e9ciproque : multiplier par \"j\omega\" revient \u00e0 d\u00e9river.\u00a0<\/p>\r\n

* On en d\u00e9duit l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle v\u00e9rifi\u00e9e par la grandeur cherch\u00e9e.<\/p>\r\n

Exemple.\u00a0
<\/b><\/p>\r\n

Un circuit comporte une bobine d’inductance<\/a> \"L\" en s\u00e9rie avec l’association parall\u00e8le d’une r\u00e9sistance \"R\" et d’un condensateur de capacit\u00e9 \"C\". Il est aliment\u00e9 par un \u00e9chelon de tension qui passe de 0 \u00e0 \"E\" \u00e0 \"t=0\"<\/p>\r\n

Quelle est l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle v\u00e9rifi\u00e9e par \"u_C\" ?<\/p>\r\n

Correction<\/strong> :<\/p>\r\n

Notons \"\underline{e}\" la tension du g\u00e9n\u00e9rateur en grandeurs complexes.\u00a0
La tension commune aux bornes de \"R\" et de \"C\" est obtenue en calculant son imp\u00e9dance \u00e9quivalente et en appliquant la loi du diviseur de tension.\u00a0
\"\displaystyle{\underline{Z}=\frac{R\cdot\frac1{jC\omega}}{R+\frac1{jC\omega}}}\"
soit \"\displaystyle{\underline{Z}=\frac{R}{1+jRC\omega}}\"
et \"\displaystyle{\underline{u}_C=\frac{\underline{Z}}{\underline{Z}+jL\omega}\underline{e}}\"
soit \"\displaystyle{\underline{u}_C=\frac{R}{R+jL\omega-RLC\omega^2}\underline{e}}\"
soit \"\displaystyle{\underline{u}_C=\frac{1}{1+\frac{jL\omega}{R}-LC\omega^2}\underline{e}}\"
En faisant le produit en croix, on en d\u00e9duit\u00a0
\"\displaystyle{\underline{u}_C+\frac{L}{R}(j\omega)\underline{u}_C+LC(j\omega)(j\omega)\underline{u}_C=\underline{e}}\"
En utilisant l’\u00e9quivalence complexe-temporelle, on obtient\u00a0
\"\displaystyle{u_C+\frac{L}{R}\frac{du_C}{dt}+LC\frac{d^2u_C}{dt^2}=E}\"<\/p>\r\n

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COURS EN PREPA MATHS SUP<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers en CPGE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION EN PR\u00c9PA<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en maths sup<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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C. \u00c9tude de r\u00e9sonance<\/h2>\r\n

1. D\u00e9termination d’une grandeur \u00e9lectrique en fonction de \"\omega\"<\/b><\/p>\r\n

On se place en RSF.\u00a0 On s’int\u00e9resse \u00e0 une grandeur\u00a0<\/p>\r\n

\"G=G_0(\omega)\cos(\omega t+\varphi(\omega))\"<\/p>\r\n

car l’amplitude \"G_0\" et la phase \"\varphi\" d\u00e9pendent a priori de la pulsation \"\omega\"<\/p>\r\n

Gr\u00e2ce au formalisme complexe, apr\u00e8s simplification par \"e^{j\omega t}\", on obtient l’amplitude complexe\u00a0\u00a0
\"\underline{G}_0=G_0e^{j\varphi}\"\u00a0<\/p>\r\n

et on calcule son module et son argument<\/p>\r\n

\"G_0=|\underline{G}|\" et \"\varphi=\mathrm{arg}(\underline{H})\"<\/p>\r\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Dans un circuit s\u00e9rie \"RLC\" aliment\u00e9 par \"e(t)=E\cos(\omega t)\" d\u00e9terminer l’amplitude \"U_C\" de la tension \"u_C\" aux bornes du condensateur.\u00a0\u00a0<\/p>\r\n

Correction<\/strong> :<\/p>\r\n

Par application de la loi du diviseur de tension
\"\displaystyle{\underline{u}_C=\frac{\frac1{jC\omega}}{\frac1{jC\omega}+R+jL\omega}\underline{e}}\"
soit \"\displaystyle{\underline{u}_C=\frac1{1+jRC\omega-LC\omega^2}Ee^{j\omega t}}\"
En passant aux modules on obtient
\"\displaystyle{U_C=\frac{E}{\sqrt{(1-LC\omega^2)^2+R^2C^2\omega^2}}}\"<\/p>\r\n

2. Faire une \u00e9tude de r\u00e9sonance.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

On fait simplement l’\u00e9tude de la fonction math\u00e9matique \"G_0(\omega)\", avec d\u00e9riv\u00e9e, tableau de variations, limites et graphe. On parle de r\u00e9sonance quand on obtient, pour une valeur particuli\u00e8re (en g\u00e9n\u00e9ral non nulle) de la pulsation \"\omega\", un maximum de la fonction.\u00a0<\/p>\r\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

L’amplitude \"U_C\" de la tension aux bornes d’un condensateur en s\u00e9rie avec une r\u00e9sistance et une bobine (voir paragraphe pr\u00e9c\u00e9dent) a une forme qui d\u00e9pend de la valeur du facteur de qualit\u00e9\u00a0<\/p>\r\n

\"\displaystyle{Q=\frac1R\sqrt {\frac{L}{C}}}\"<\/p>\r\n

Dans quel cas observe-t-on une r\u00e9sonance ? Quel est le nom du ph\u00e9nom\u00e8ne dans ce cas ?\u00a0<\/p>\r\n

\"etude<\/p>\r\n

Correction<\/strong> :<\/p>\r\n

La r\u00e9sonance est observ\u00e9e pour \"Q=1\" et pour \"Q=5\".\u00a0<\/p>\r\n

Comme la tension aux bornes du condensateur est sup\u00e9rieure \u00e0 la tension \"E\" aux bornes du g\u00e9n\u00e9rateur, on parle de \u00ab\u00a0surtension\u00a0\u00bb.\u00a0\u00a0<\/p>\r\n

D. Quadrip\u00f4les et filtrage<\/h2>\r\n

1. Fonction de transfert en sortie ouverte.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Un quadrip\u00f4le form\u00e9 de dip\u00f4les lin\u00e9aires, R, L ou C, re\u00e7oit une tension\u00a0<\/p>\r\n

\"u_e(t)=U_e\cos(\omega t+\varphi_e)\"<\/p>\r\n

et on cherche \u00e0 d\u00e9terminer les caract\u00e9ristiques de la tension\u00a0<\/p>\r\n

\"u_s(t)=U_s\cos(\omega t+\varphi_s)\"<\/p>\r\n

en sortie du quadrip\u00f4le.\u00a0<\/p>\r\n

On d\u00e9finit la fonction de transfert\u00a0<\/p>\r\n

\"\displaystyle{\underline{H}=\frac{\underline{u}_s}{\underline{u}_e}}\"<\/p>\r\n

On exprime son module et son argument\u00a0<\/p>\r\n

\"\underline{H}=He^{j\varphi}\"<\/p>\r\n

* Le module \"H\" est le coefficient multiplicatif de l’amplitude :\u00a0<\/p>\r\n

\"U_s=HU_e\"<\/p>\r\n

* L’argument est le d\u00e9phasage\u00a0<\/p>\r\n

\"\varphi=\varphi_s-\varphi_e\"<\/p>\r\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

La fonction de transfert d’un quadrip\u00f4le vaut\u00a0<\/p>\r\n

\"\displaystyle{\underline{H}=\frac{1-jRC\omega}{1+jRC\omega}}\"<\/p>\r\n

a. Pourquoi le qualifie-t-on de \u00ab\u00a0passe-tout\u00a0\u00bb ?\u00a0<\/p>\r\n

b. Comment transforme-t-il les signaux de basse fr\u00e9quence ?\u00a0<\/p>\r\n

c. Comment transforme-t-il les signaux de haute fr\u00e9quence ?\u00a0<\/p>\r\n

Correction<\/strong> :<\/p>\r\n

a. Le module vaut \"H=1\", quelle que soit la valeur de \"\omega\", donc l’amplitude de sortie \"U_s\" est toujours \u00e9gale \u00e0 celle d’entr\u00e9e \"U_e\" : c’est un passe-tout.\u00a0<\/p>\r\n

b. \u00c0 basse fr\u00e9quence \"\underline{H}\simeq 1\"\u00a0 et \"u_s=u_e\"<\/p>\r\n

c. \u00c0 haute fr\u00e9quence \"\underline{H}\simeq -1\" et \"u_s=-u_e\"<\/p>\r\n

2. Calcul d’une fonction de transfert.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

On se ram\u00e8ne la plupart du temps \u00e0 la loi du diviseur de tension.<\/p>\r\n

\"2.<\/p>\r\n

On a alors<\/p>\r\n

\"\displaystyle{\underline{H}=\frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_1+\underline{Z}_2}}\"<\/p>\r\n

Exemple.<\/b>\u00a0<\/p>\r\n

La tension d’entr\u00e9e est appliqu\u00e9e \u00e0 un circuit RC s\u00e9rie, la tension de sortie est prise aux bornes du condensateur.\u00a0<\/p>\r\n

Quelle est la fonction de transfert du quadrip\u00f4le ?\u00a0<\/p>\r\n

Correction<\/strong> :<\/p>\r\n

Par diviseur de tension<\/p>\r\n

\"\displaystyle{\underline{H}=\frac{\frac1{jC\omega}}{\frac1{jC\omega}+R}}\"<\/p>\r\n

soit \"\displaystyle{\underline{H}=\frac1{1+jRC\omega}}\"<\/p>\r\n

3. Tracer un diagramme de Bode asymptotique.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

On exprime \"\underline{H}\" comme une fraction rationnelle en \"j\omega\"<\/p>\r\n

* L’\u00e9quivalent \u00e0 basse fr\u00e9quence \"\underline{H}_{BF}\" est le rapport des termes de plus bas degr\u00e9.\u00a0<\/p>\r\n

On calcule le module \"H_{BF}\", le gain \"G_{dB,BF}=20\log H_{BF}\" et l’argument \"\varphi_{BF}\"<\/p>\r\n

* L’\u00e9quivalent \u00e0 haute fr\u00e9quence \"\underline{H}_{HF}\" est le rapport des termes de plus haut degr\u00e9.\u00a0<\/p>\r\n

On calcule le module \"H_{HF}\", le gain \"G_{dB,HF}=20\log H_{HF}\" et l’argument \"\varphi_{HF}\"<\/p>\r\n

* L’intersection des asymptotes est obtenu quand \"H_{BF}=H_{HF}\"\u00a0<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit la valeur \"\omega^*\" correspondante.\u00a0<\/p>\r\n

On calcule \"H^*\", \"G^*=20\log H^*\" et \"\varphi^*\"<\/p>\r\n

* On trace le diagramme sur un diagramme semi-logarithmique, en mettant en \u00e9vidence les asymptotes et leurs pentes typiques, \"-40\", \"-20\", \"0\", \"+20\" ou \"+40~\mathrm{dB/dec}\"<\/p>\r\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Dans le quadrip\u00f4le du paragraphe pr\u00e9c\u00e9dent, on pose \"c=RC\omega\"\u00a0<\/p>\r\n

Sa fonction de transfert vaut donc\u00a0<\/p>\r\n

\"\displaystyle{\underline{H}=\frac1{1+jx}}\"<\/p>\r\n

Dresser le diagramme de Bode en gain.\u00a0<\/p>\r\n

Correction<\/strong> :<\/p>\r\n

* \u00c0 basse fr\u00e9quence
\"\displaystyle{\underline{H}_{BF}=1}\" donc \"H_{BF}=1\" et \"G_{dB,BF}=0\"
* \u00c0 haute fr\u00e9quence\u00a0
\"\displaystyle{\displaystyle{H}_{HF}=\frac1{jx}}\"\u00a0
donc \"\displaystyle{H_{HF}=\frac1x}\" et \"G_{dB,HF}=-20\log x\"
* Les asymptotes se coupent pour \"x^*=1\"
\"\displaystyle{\underline{H}^*=\frac1{1+j}}\"\u00a0
donc \"\displaystyle{H^*=\frac1{\sqrt{2}}}\" et \"G^*=-3~\mathrm{dB}\"
On en d\u00e9duit le diagramme.\u00a0<\/p>\r\n

\"diagramme<\/p>\r\n

4. Qualifier un quadrip\u00f4le.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Le diagramme de Bode en gain fait appara\u00eetre trois domaines :\u00a0<\/p>\r\n

* les basses, les moyennes, les hautes fr\u00e9quences<\/p>\r\n

et trois comportements<\/p>\r\n

* passe (\"G=0\"), coupe (\"G<0\") et ampli (\"G>0\")<\/p>\r\n

On construit le qualificatif du quadrip\u00f4le avec un pr\u00e9fixe (passe-, coupe-, ampli-) et un suffixe (bas, bande, haut).\u00a0<\/p>\r\n

Il est souvent demand\u00e9 de v\u00e9rifier ce qualificatif gr\u00e2ce aux sch\u00e9mas \u00e9quivalents du montage \u00e0 basse et haute fr\u00e9quence<\/p>\r\n

* \u00e0 BF, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, la bobine comme un fil<\/p>\r\n

* \u00e0 HF, le condensateur se comporte comme un fil, la bobine comme un interrupteur ouvert.\u00a0<\/p>\r\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Qualifier le filtre du paragraphe pr\u00e9c\u00e9dent, retrouver ce r\u00e9sultat par les sch\u00e9mas \u00e9quivalents \u00e0 basse et haute fr\u00e9quence.\u00a0<\/p>\r\n

Correction<\/strong> :<\/p>\r\n

Le filtre coupe les haute fr\u00e9quences et laisse passer les basses : c’est un passe-bas (ou un coupe-haut).\u00a0
Les circuits \u00e9quivalents ci-apr\u00e8s montrent que\u00a0
* \u00e0 BF, \"u_s=u_e\" : \u00e7a passe
* \u00e0 HF, \"u_s\" est la tension aux bornes d’un fil donc \"u_s=0\" : \u00e7a coupe.\u00a0<\/p>\r\n

\"filtre<\/p>\r\n

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