{"id":38517,"date":"2019-11-13T09:59:45","date_gmt":"2019-11-13T08:59:45","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=38517"},"modified":"2022-07-08T14:24:08","modified_gmt":"2022-07-08T13:24:08","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-evn-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-evn-spe\/","title":{"rendered":"Espaces vectoriels norm\u00e9s :Exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Espaces vectoriels norm\u00e9s en MP, PC, PSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Exercices et corrig\u00e9s sur les espaces vectoriels norm\u00e9s et topologie<\/h2>\n

1. Sur les normes<\/h2>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"E\" l’ensemble des suites<\/a> r\u00e9elles born\u00e9es.
\nOn rappelle que \"E \rightarrow \mathbb{R} , u = (u_n)_n \mapsto \displaystyle N(u) = \sup_{n \in \mathbb{N}} \vert u_n\vert\" d\u00e9finit une norme sur \"E\".
\nOn d\u00e9finit \"\displaystyle N'(u) = \sup_{n \in \mathbb{N}} (\vert u_n\vert + \vert u_{2n} \vert)\" .
\n
\nQuestion 1<\/i>
\nMontrer que \"N'\" est une norme sur \"E\".<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nMontrer que \"N\" et \"N'\" sont \u00e9quivalentes<\/a> et donner les valeurs optimales de \"\alpha\" et \"\beta\" telles que \"\alpha \, N \leq N' \leq \beta \, N\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

On sait que \"N\" est une norme sur \"E\".
\nOn remarquera l’utilisation de la norme \"N\" et de ses propri\u00e9t\u00e9s qui \u00e9vite les d\u00e9monstrations \u00ab\u00a0p\u00e9nibles\u00a0\u00bb sur les sup pour la norme \"N'\".<\/p>\n

\"\ast\" \"N'(u)\" est d\u00e9fini car l’ensemble \"\{\vert u_n \vert + \vert u_{2n} \vert \, /\, n \in \mathbb{N }\}\" est born\u00e9 et \"\forall \, n \in \mathbb{N }, \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert \leq 2 N(u)\", donc \"N'(u) \leq 2 N(u)\".
\nDe plus, en utilisant \"\quad \forall \, n \in \mathbb{N }, \vert u_n \vert \leq \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert \leq N'(u)\",
\non en d\u00e9duit que \"N(u) \leq N'(u)\".<\/p>\n

\"\ast\" S\u00e9paration.
\nSi \"N'(u) = 0\", comme \"0 \leq N(u) \leq N'(u)\", \"N(u) = 0\" ;\u00a0 \"N\" \u00e9tant une norme, \"u = 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Homog\u00e9n\u00e9it\u00e9.
\nSoit \"u \in E\" et \"\lambda \in \mathbb{R}\".
\nSoit \"u' \in E\" o\u00f9 \"\forall \, n \in \mathbb{N }, \; u'_n = \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert\",
\n\"N'(\lambda \, u) = N(\lambda u') = \vert \lambda \vert N(u') = \vert \lambda \vert N'(u)\".<\/p>\n

\"\ast\" In\u00e9galit\u00e9 triangulaire. Soit \"u , v \in E\".
\nOn note \"u' , v' \in E\" o\u00f9 pour tout \"n \in \mathbb{N }\",
\n\"u'_n = \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert\" et \"v'_n = \vert v_n \vert + \vert v_{2n}\vert\",
\n\"N'(u + v) = N(w)\" o\u00f9 \"\forall \, n \in \mathbb{N}, \; w_n = \vert u_n + v_n\vert + \vert u_{2 n} + v_{2n} \vert\".
\n\"\vert w_n \vert \leq u'_n + v'_n \Rightarrow \vert w_n\vert \leq N(u') + N(v')\" , alors \"N'(w)\leq N(u') + N(v')\"
\nDonc \"N'(u + v) \leq N(u') + N(v')\" soit \"N'(u + v) \leq N'(u) + N'(v)\"<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"N'\" est une norme.<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

\n

Dans la question 1, on a montr\u00e9 que \"\quad \forall \, u \in E, \; N(u) \leq N'(u) \leq 2\, N(u)\".<\/p>\n

Soiet \"\alpha\" et \"\beta\" des r\u00e9els strictement positifs tels que \"\alpha\, N \leq N' \leq \beta\, N\".
\n\"\ast\" En prenant \"u = (u_n)_n\" avec \"u_0 = 1\" et si \"n \geq 1, \; u_n = 0\", \"N(u) = 1\" et \"N'(u) = 2\", donc \"N'(u)\leq \beta \, N(u) \Rightarrow 2 \leq \beta\".<\/p>\n

\"\ast\" En prenant \"u = (u_n)_n\" avec \"u_{2n}= 0\" et \"u_{2n +1} = 1\" pour tout \"n \in \mathbb{N}\".
\n\"N(u) = 1\".
\n\"\forall \,n \in \mathbb{N}, \, \vert u_n \vert + \vert u_{2n} \vert \ = 0 \textrm{ ou } 1\" selon que \"n\" est pair ou impair.
\nDonc \"N'(u) = 1\", alors \"\alpha \leq 1\".<\/p>\n

Les coefficients optimaux sont \"\alpha = 1\" et \"\beta = 2\".<\/p>\n<\/div>\n

Exercice 2<\/b>
\nSoit \"n\" et \"p\" deux entiers naturels sup\u00e9rieurs ou \u00e9gaux \u00e0 1.
\nOn introduit \"x_1 ,\, \cdots \, ,\, x_p\" des r\u00e9els 2 \u00e0 2 distincts. Soit \"E = \mathbb{R}_n[\textrm X]\".
\nTrouver une CNS pour que \"N : E \rightarrow \mathbb{R}\", \"Q \mapsto \displaystyle \sqrt {\sum _{k = 1}^p Q(x_k)^2}\" d\u00e9finisse une norme sur \"E\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0 Si \"p \leq n\" et \"\displaystyle Q = \prod_{k = 1}^p (\textrm X - x_k)\" , \"Q \in E\" car \"\textrm{deg}(Q) = p \leq n\" et \"N(Q) = 0\" avec \"Q \neq 0\" ;\u00a0 \"N\" n’est pas une norme sur \"E\".<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"p > n\".
\nOn d\u00e9montre que \"N\" est une norme euclidienne<\/a>.
\nOn introduit \"\varphi : E^2 \rightarrow \mathbb{R} , \; (P , \,Q) \mapsto \displaystyle \sum _{k = 1} ^p P(x_k) \, Q(x_k)\".<\/p>\n

\"\ast\" Il est simple de prouver que pour tout \"Q \in E\", \"P \mapsto \varphi (P , \,Q)\" est lin\u00e9aire.
\n\"\ast\" Par commutativit\u00e9 de la multiplication des r\u00e9els, \"\quad \textrm{si } P ,\, Q \in E,\; \varphi(P , \,Q) = \varphi(Q , \,P)\".
\n\"\ast\" Pour tout \"P \in E\", \"\varphi (P ,\, P) \geq 0\".
\n\"\ast\" Si \"P \in E\" v\u00e9rifie \"\varphi (P , \,P) = 0\", comme somme nulle de r\u00e9els positifs ou nuls, pour tout \"k \in \{1 , \, \cdots\, , \, p\}, \, P(x_k) ^2 = 0\", le polyn\u00f4me \"P\" de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\" admet \"p > n\" racines distinctes, donc \"P = 0\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"\varphi\" est un produit scalaire et donc \"N\" est une norme euclidienne.<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSoit \"N\" une norme sur \"E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\".
\nMontrer qu’il existe une constante \"c > 0\" telle que \"\forall \, (A , B) \in E^2,\; N(A\, B) \leq c\, N(A) \,N(B)\" .<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :<\/p>\n

L’application \"E^2 \rightarrow E\", \"(X ,\, Y) \mapsto X \,Y\" est bilin\u00e9aire donc continue puisque \"E\" est de dimension finie.<\/p>\n

L’application \"\varphi : E^2 \rightarrow \mathbb{R} , \;(X , \,Y) \mapsto N(X \, Y)\" est continue par compos\u00e9e de fonctions<\/a> continues.
\n\"B_f(0 ,\, 1)\" est un compact de \"E\", donc \"B_f(0 , 1)^2\" est un compact de \"E^2\".
\nLa fonction \"\varphi\" est born\u00e9e sur ce compact, il existe donc \"c > 0\" tel que si \"(X ,\, Y) \in B_f(0 , \,1)^2\", \"N(X \,Y) \leq c\".<\/p>\n

Soient \"A\" et \"B\" deux \u00e9l\u00e9ments non nuls de \"E\", on note \"X =\frac 1 {N(A)} A\" et \"Y=\frac 1 {N(B)} B\".
\n\"X\" et \"Y\" ont une norme \u00e9gale \u00e0 1, l’in\u00e9galit\u00e9 \"N(X \,Y) \leq c\,\" s’\u00e9crit aussi par homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 de la norme : \"\quad \quad N(A \,B) \leq\, c \, N(A) \, N(B)\".
\nCette in\u00e9galit\u00e9 reste vraie si \"A\" ou \"B\" est la matrice nulle.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. Limites de matrices<\/strong><\/h2>\n

Exercice<\/b> 4<\/b>
\nSoit \"A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})\" v\u00e9rifiant la relation\u00a0 \"3 A^3 = A^2 + A + \textrm{I}_n\" .
\nMontrer que la suite \"(A^n)_n\" converge vers une matrice de projection.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 4 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"A\" est diagonalisable
\nSoit \"Q = 3 \, \textrm{X}^3 - \textrm{X} ^2 - \textrm{X} - 1\" \"Q = (\textrm{X} - 1)(3\, \textrm{X}^2 + 2 \, \textrm{X} + 1)\" \"Q = 3(\textrm{X} - 1)(\textrm{X} - \alpha)(\textrm{X} - \beta)\" o\u00f9 \"\alpha = \frac 1 3 (- 1 + \textrm{i }\sqrt{2})\" et \"\beta = \frac 1 3 (- 1 - \textrm{i }\sqrt{2})\"
\n\"Q(A) = 0\" et \"Q\" est scind\u00e9 \u00e0 racines simples, donc \"Q\" est diagonalisable.
\nIl existe une matrice \"D\" diagonale \"D = \textrm{diag}(\lambda _1 , \, \cdots \, ,\lambda _p)\" o\u00f9 si \"1 \leq k \leq p\", \"\lambda _k \in \{ 1 , \alpha \, , \,\beta\}\"\u00a0 et une matrice \"P\" inversible telles que \"A = P D P^{-1}\".<\/div>\n
\"\bullet\" La suite \"(A^n)_n\" converge.
\nAlors \"A^n = P D^n P^{- 1}\".
\nComme \"\vert \alpha \vert = \vert \beta \vert < 1\" , les \"p\" suites \"(\lambda_k ^n)_n\" convergent, donc la suite \"(D^n)_n\" converge vers \"\Delta\".
\nOn note \"E = \mathcal{M}_p(\mathbb{C})\", espace vectoriel<\/a> de dimension finie.
\nPar continuit\u00e9 de l’endomorphisme<\/a> de \"E\",\u00a0 \"M \mapsto P \, M \, P^{- 1}\", la suite \"(A^n)_n\" converge vers \"B = P\, \Delta \, P^{-1}\".\"\bullet\" La limite est une matrice de projection.
\nL’application bilin\u00e9aire d\u00e9finie par \"E^2 \mapsto E , \; (X , Y) \mapsto X \, Y\" est continue, donc l’application\u00a0 \"\psi : X \mapsto X^2\" est continue. La suite \"(A^{2n}) _n = (\psi(A^n))_n\" converge vers \"\psi(B) = B^2\" alors \"B = B^2\", donc \"B\" est la matrice d’une projection.<\/div>\n

⚠️<\/b>\u00a0Il n’y a aucun th\u00e9or\u00e8me sur les limites de produit de suites de vecteurs, ces produits n’\u00e9tant pas d\u00e9finis en g\u00e9n\u00e9ral.<\/p>\n

👍\u00a0Il faudra syst\u00e9matiquement faire la d\u00e9monstration pour des limites de produits de matrices<\/a>, en g\u00e9n\u00e9ral en utilisant la continuit\u00e9 d’applications lin\u00e9aires de la forme \"M\mapsto M X\" ou \"M \mapsto P M P ^{- 1}\" ou d’applications bilin\u00e9aires de la forme \"(X , Y) \mapsto X\, Y\".<\/p>\n

Exercice 5\u00a0\u00a0<\/b>
\nSoit si \"n\, {\in}\, \mathbb{N}^ *\", \"M_n=\begin{pmatrix}1&-t/n\\t/n&1\end{pmatrix}\".
\nQuestion 1\u00a0<\/i>
\nD\u00e9terminer un r\u00e9el \"\lambda_n\" et un r\u00e9el \"\theta_n\" tel que \"M_n =\lambda _n\, R(\theta_n)\" o\u00f9
\n\"R(\theta )=\begin{pmatrix}\cos (\theta )&-\sin(\theta )\\ \sin (\theta )&\cos (\theta )\end{pmatrix}\".<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/i>
\nEn d\u00e9duire la limite de la suite \"\left(M_n^n\right)_{n{\geq}1}\" .<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 5 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

\n

On cherche un r\u00e9el \"\lambda _n\" et un r\u00e9el \"\theta_n\" tels que \"1 = \lambda_n \, \cos(\theta_n)\" et \"t/n =\lambda_n\, \sin(\theta_n)\".<\/p>\n

Il suffit de choisir \"\displaystyle \lambda _n=\sqrt{1+\frac{t^2}{n^2}}\" et \"\displaystyle \theta _n=\textrm {Arctan}\left(\frac t n\right)\".
\nCar alors \"\displaystyle \cos ^2(\theta _n)=\frac 1{1+(t/n)^2}=\frac 1{\lambda _n^2}\" , donc \"\displaystyle \cos (\theta _n)=\frac 1{\lambda _n}\" car \"\displaystyle \cos (\theta _n)\;>\;0\" et \"\displaystyle \sin (\theta _n)= \cos (\theta _n).\tan (\theta _n)=\frac t {n \lambda _n}\" .<\/p>\n<\/div>\n

Question 2 :<\/p>\n

En utilisant \"(R(\theta))^n = R( n\, \theta )\", (propri\u00e9t\u00e9s des matrices de rotation vues en MPSI)
\n\"M_n^n= \lambda _n^n\;R(n\, \theta _n)\".<\/p>\n

\"\displaystyle \ln (\lambda _n^n)\;=\;\frac n 2\ln \left(1\;+\;\frac{t^2}{n^2}\right)\underset{n\to +\infty }{\sim}\frac n 2.\frac{t^2}{n^2}\"
\n\"\displaystyle \ln(\lambda_n^n) \underset{n\to +\infty }{\sim}\frac t{2n}\" , donc \"\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\ln (\lambda _n^n)\;=\;0\" alors \"\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _n^n=1.\" \"\displaystyle n\, \theta _n=n \textrm{Arctan}\left(\frac t n\right)\underset{n\to +\infty }{\sim }n.\frac t n\underset{n\to +\infty }{\sim }t\" , donc \"\displaystyle\lim _{n\to +\infty }n\, \theta _n=t\" .
\nAlors \"\displaystyle \lim _{n\to +\infty }M_n^n\;=\begin{pmatrix}\cos (t)&-\sin (t)\\ \sin(t)&\cos (t)\end{pmatrix}\".<\/p>\n

On rappelle que pour d\u00e9terminer la limite d’une suite de matrices, il suffit de chercher les limites de chacune des suites coordonn\u00e9es.<\/p>\n

3. Continuit\u00e9 des applications lin\u00e9aires<\/strong><\/h2>\n

Exercice 6\u00a0<\/b>
\nSoit \"E = \mathbb{R}_n[\textrm{X}]\".
\nIl\u00a0 existe \"M > 0\" tel que pour tout \"P \in E\", \"\quad \quad \displaystyle \left \vert \int_0^1 \textrm{e}^t \, P(t)_, \textrm{d} t \right \vert \leq M \sum _{k = 0}^n \vert P^{(k)}(k) \vert\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 6 :<\/strong><\/p>\n

a)\u00a0<\/b>On d\u00e9montre que \"\displaystyle N : P \mapsto \sum _{k = 0}^n \vert P^{(k)}(k) \vert\" d\u00e9finit une norme sur \"E\".<\/p>\n

\"\ast\" \"N\" est bien d\u00e9finie et \u00e0 valeurs positives ou nulles.
\n\"\ast\" On suppose que \"N(P) = 0\", alors pour tout \"k , \;0 \leq k \leq n ,\; \vert P^{(k)}(k) \vert = 0\" comme somme nulle de r\u00e9els positifs ou nuls.
\nSi \"P\" \u00e9tait non nul, on pourrait noter \"d\" son degr\u00e9 et \"a_d\" son coefficient dominant, alors \"P^{(d)}(d) = a_d \, d\,! \neq 0\", on aboutit donc \u00e0 une contradiction.
\nOn en d\u00e9duit que \"P = 0\".
\n\"\ast\" L’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 r\u00e9sulte de la sommation<\/a> des relations \"\quad \quad \vert (\lambda \, P)^{(k)} (k)\vert = \vert \lambda \vert \, \vert P^{(k)} (k)\vert\"
\n\"\ast\" Si \"P , \, Q \in E\", pour tout \"k\" , \"\quad \vert (P + Q) ^{(k)} (k)\vert \leq \, \vert P^{(k)} (k)\vert + \vert Q^{(k)} (k)\vert\" , et par sommation, on obtient l’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire \"N(P + Q) \leq N(P)+ N(Q)\".<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0L’application \"\varphi : E \rightarrow \mathbb{R}, \; P \mapsto \int_0^1 \textrm{e}^t \, P(t)\, \textrm{d} t\" est lin\u00e9aire et \"E\" est de dimension finie, elle est lipschitzienne, donc il existe \"M \geq 0\" tel que \"\forall \, P \, \in E , \; \vert \varphi(P) \vert \leq M \, N(P)\", de plus \"M \neq 0\" car \"\varphi \neq 0\".
\nOn a donc justifi\u00e9 l’in\u00e9galit\u00e9 demand\u00e9e.<\/p>\n

Exercice 7<\/b>
\nSoient \"E\" et \"F\" deux espaces vectoriels norm\u00e9s et \"f\" une application de \"E\" dans \"F\" telle que :
\n\"\bullet\" \"{\forall} \,( x, \,y )\, \in \, E ^2 , \; f(x + y) = f(x) + f(y)\"
\n\"\bullet\" \"\exists \, M \, {\in} \mathbb{R}^+\" tel que
\n\"\quad \forall \, x\, {\in}\, E, \;\Vert x\Vert \, {\leq} \, 1\" \"\Rightarrow\" \"\Vert f(x) \Vert_F \, {\leq}\, M\".<\/p>\n

Question 1<\/i>
\nMontrer que \"f\" est lipschitzienne.<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nEn d\u00e9duire que \"f\" est lin\u00e9aire.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 7 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

\"\ast\" En prenant \"x = y= 0\", on obtient \"f(0) = 2 f(0)\", donc \"f(0) = 0\".
\n\"\ast\" En prenant \"y = - x\" o\u00f9 \"x \in E\", \"0 =f(x - x) = f(x) + f(- x)\" donc \"f(-x) = - f(x)\".<\/p>\n

\"\ast\" Soit \"t \, {\in}\, E\" et \"t \, {\neq}\, 0\", on note \"\displaystyle u=\frac t{\Vert t \Vert_E}\", donc \"\Vert u \Vert _E= 1\",
\n\"\Vert f(u) \Vert_F \, \leq \, M\" soit \"\displaystyle \frac{\Vert f(t) \Vert_F}{\Vert t \Vert_E}\;\le \;M\" donc \"\Vert f(t)\Vert _F\;\leq \;M\;\Vert t \Vert_E\" .(*)
\nL’in\u00e9galit\u00e9 reste vraie si \"t = 0\".<\/p>\n

Puis si \"x,\; y\" sont dans \"E\", \"f(x - y) = f(x + (- y))= f(x) + f(-y)\" \"f(x - y) = f(x) - f(y)\".
\nEn utilisant l’in\u00e9galit\u00e9 (*) en \"x - y\" :
\n\"\Vert f(x) - f(y) \Vert_F \;\leq \;M\;\Vert x - y \Vert_E\,\".
\n\"f\" est \"M\"-lipschitzienne.<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

\"\ast\" Par r\u00e9currence, on d\u00e9montre que \"\forall \,x \, {\in}\, E, \; \forall \, n \, {\in}\, \mathbb{N} ,\; f(n x) = n f(x)\".
\n\"\ast\" Comme \"f\" est impaire, pour tout \"n \, {\in}\, \mathbb{Z}\" et \"x \, \in \, E\", \"f(n x) = n f(x)\".<\/p>\n

\"\ast\" Soit \"r \, {\in}\, \mathbb{Q}\", on note \"r = n / p\" avec \"n \, {\in}\, \mathbb{Z}\" et \"p\, {\in}\, \mathbb{N}^*\", soit \"x\, {\in}\, E\",\u00a0 \"y = r x = n x / p\" .
\n\"f(p \,y) = f(n\, x)\" donc \"p\, f(y) = n\, f(x)\" soit \"f(r\, x) = r\, f(x)\".<\/p>\n

\"\ast\" Soit \"\lambda\, {\in}\, \mathbb{R}\" , il existe une suite \"(r_n)_n\" de rationnels qui converge vers \"\lambda\", pour tout \"x \, {\in} \, E\", \"f(r _n \, x ) = r_n \, f(x)\".
\nComme \"f\" est continue, par caract\u00e9risation s\u00e9quentielle de la continuit\u00e9, on obtient : \"f (\lambda\, x) = \lambda\, f(x).\"<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que \"f\" est lin\u00e9aire.<\/p>\n

Exercice 8<\/b>
\nSoit \"E = \mathcal{C}([0 , 1], \mathbb{R} )\" muni de la norme de la convergence en moyenne.
\nSoit \"u : E \rightarrow \mathbb{R}\", \"f\mapsto g\" o\u00f9 \"g\" est la primitive de \"f\" nulle en \"0\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/i>
\n\"u\" est continue de \"(E , \Vert \textrm { . } \Vert _1)\" dans \"(E , \Vert \textrm { . } \Vert _1)\" ?<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nD\u00e9terminer : \"\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert = \sup_{\Vert f \Vert _1 \, \leq \, 1 } \Vert u (f) \Vert _1\" .<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 8 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

Pour tout \"x\, {\in}\, [0 , 1]\", \"g(x)=\int _0^xf(t)\textrm{d}\, t\", donc\u00a0\"\left|g(x)\right|\;\le \;\int _0^x\left|f(t)\right|\textrm{d}\, t\;\le \;\int _0^1\left|f(t)\right|\textrm{d}\, t\"<\/p>\n

puis par int\u00e9gration<\/a>, \"\Vert g\Vert_1\;\leq \;\int _0^1\Vert f \Vert_1\textrm{d}\, t\"\u00a0soit \"\Vert g\Vert_1 \;\le \;\Vert f\Vert_1\" ou \"\Vert u(f)\Vert_1 \;\le \;\Vert f \Vert_1\", alors si \"f , \, h\, \in \, E\",\u00a0 \"\Vert u(f) - u(h) \Vert _ 1 \leq \Vert f - h \Vert _1\"\u00a0 ce qui prouve la continuit\u00e9 de l’application lin\u00e9aire \"u\".<\/p>\n

\"\ast\" On vient de montrer que 1 est un majorant de \"\{ \Vert u (f) \Vert_1 \, / \, \Vert f \Vert_1 \, \leq 1 \}\" donc \"\vert \vert \vert u\vert \vert \vert \, \leq \, 1\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f_n : x \mapsto n \, \textrm{e} ^{-n\, x}\" est continue et positive, donc \"\Vert f_n \Vert_1 = \int _0^1n\operatorname{e}^{-n\, t}\textrm{d}\, t = \left[-\operatorname{e}^{-n\, t}\right]_0^1\"
\n\"\Vert f_n\Vert _1 =1 - \operatorname{e}^{-n}\;\leq\;1\".
\n\"g_n=u(f_n)\" est d\u00e9finie pour \"x \, \in \, [0 , 1]\" par \"g_n(x)= 1-\operatorname{e}^{-n\, x}\"
\n\"\displaystyle \Vert g_n \Vert_1= \int _0^1\left(1-\operatorname{e}^{-n\, t}\right)\textrm{d} \, t=\left[t+\frac 1 n\operatorname{e}^{-n\, t}\right]_0^1\" \"\displaystyle \Vert g_n \Vert _1 = 1-\frac{1-\operatorname{e}^{-n}} n\"
\nComme \"\Vert g_n\Vert_1\;\leq \; \vert \vert \vert u \vert \vert \vert\", en passant \u00e0 la limite, on obtient \"1\;\leq \; \vert \vert \vert u \vert \vert \vert\" .<\/p>\n

Par double in\u00e9galit\u00e9, \"\vert \vert \vert u \vert \vert \vert = 1\".<\/p>\n

Des r\u00e9visions r\u00e9guli\u00e8res sont essentielles pour r\u00e9ussir en Maths Sp\u00e9, et bien s\u00fbr r\u00e9ussir les concours post-pr\u00e9pa. Les cours en ligne de Maths en MP<\/a>, les cours en ligne de Maths en PC<\/a> et les cours en ligne de PSI en Maths<\/a> sont r\u00e9alis\u00e9s sp\u00e9cialement pour aider et accompagner les \u00e9tudiants dans leur r\u00e9ussite.<\/p>\n

4. Ouverts et ferm\u00e9s<\/h2>\n

Exercice 9<\/b>
\nSoit \"E = \mathbb{R}_n [\textrm {X}]\" et \"\Omega\" l’ensemble des\u00a0 \"P \in E\" tels que \"P\" prend au moins une fois une valeur strictement n\u00e9gative.
\nMontrer que \"\Omega\" est un ouvert de \"E\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 9 :<\/strong><\/p>\n

On remarque que \"\quad \quad \Omega = \{P \in E\, /\, \exists \,a \in \mathbb{R}, \; P(a) < 0\}\".
\nSi \"a\" est fix\u00e9 dans \"\mathbb{R}\", l’application \"u_a : E \rightarrow \mathbb{R }\", \"P \mapsto P(a)\" est une forme lin\u00e9aire d\u00e9finie sur un espace vectoriel de dimension finie, elle est donc continue.
\n\"\Omega_a = \{P \in E \, / \, u_a(P) < 0\}\" est un ouvert comme image r\u00e9ciproque de l’ouvert \"]- \infty , 0[\" par \"u_a\,\".
\n\"\displaystyle \Omega = \bigcup _{a \in \mathbb{R}} \Omega _a\" est un ouvert comme r\u00e9union d’ouverts.<\/p>\n

Exercice 10<\/b>
\nSoit \"(u_n)_n\" une suite de r\u00e9els strictement croissante.
\nOn note \"E = \{u_n \, / \, n \in \mathbb{N} \}\".
\nMontrer que \"E\" est un ferm\u00e9 de \"\mathbb{R}\" ssi \"\displaystyle\lim _ {n \to \infty} u_n = +\infty\" .<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 10 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Si la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"L\", comme la suite est strictement croissante, pour tout \"n \in \mathbb{N}, u_n < L\". Le vecteur\u00a0 \"L\" est adh\u00e9rent \u00e0 \"E\", car la suite \"(u_n)_n\" est une suite de \"E\" qui converge vers \"L\" et \"L \notin E\", donc \"E\" n’est pas ferm\u00e9.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"\displaystyle\lim _ {n \to \infty} u_n = +\infty\" , \"\displaystyle \textrm{C} _{\mathbb{R}} E\, =\, ] - \infty , \, u_0[ \; \cup\; \left ( \bigcup_{n = 0}^ {+\infty}\; ] u_n , \, u_{n + 1}[ \right )\" est une r\u00e9union d’ouverts, donc est un ouvert, alors \"E\" est un ferm\u00e9.<\/p>\n

Exercice 11<\/b>
\nSoit \"(E ,\, N)\" un evn.
\nQuestion 1\u00a0<\/i>
\nSi \"A\" est un ouvert non vide et \"B\" une partie non vide de \"E\",
\n\"A + B = \{ a + b \: / \; a\, {\in}A \textrm{ et } b\, {\in}\, B\}\" est un ouvert de \"E\".<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nSoit \"F\" un ferm\u00e9 et \"K\" un compact. Montrer que \"F + K = \{x + y\, /\, x\, {\in}F, \; z\, \in K\}\" est ferm\u00e9.<\/p>\n

Question 3<\/i>
\nSoit \"\displaystyle F =\left \{ - n + \frac 1 n \, / \, n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \right \}\" et \"K = \mathbb{N}^*\".
\n\"F\" et \"K\" sont deux ferm\u00e9s de \"\mathbb{R}\" tels que \"F + K\" n’est pas ferm\u00e9\u00a0 ?<\/p>\n

Question 4<\/i>
\nSoit \"K\" un compact de \"E\" tel que \"0 \, {\notin}\, K\" .
\nMontrer que \"K' =\{\lambda \, x\, / \, \lambda \, {\in}\, \mathbb{R}^*, \; x \, {\in}\, K \}\" est ferm\u00e9.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 11 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1<\/p>\n

Soit \"z = a + b \, {\in}\, A + B\", comme \"A\" est un ouvert contenant \"a\", il existe \"\varepsilon > 0\" tel que \"B_{o}(a ,\, \varepsilon ) \, {\subset}\, A\".
\nPour tout \"u \, {\in}\, B_{o}(z , \, \varepsilon )\", alors \"\quad \quad N ((u -b) - a) = N(u - z) < \varepsilon, \quad\" donc \"a' = u -b \, {\in}\, A\" et on a \u00e9crit
\n\"u = a' + b\" avec \"a'\, \in \, A\" et \"b\, {\in}\, B\" ce qui prouve que \"u \, {\in}\, A + B\".<\/p>\n

On a donc montr\u00e9 que \"B_{o}(z , \, \varepsilon ) \, {\subset}\, A + B\".
\n\"A + B\" est un ouvert de \"E\".<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

On introduit une suite \"(z_n)_n\" de \"F + K\" qui converge vers \"z\" dans \"E\". On \u00e9crit pour tout \"n \, {\in}\, \mathbb{N}\", \"z_n = x_n + y_n\" avec \"x_n \, {\in}\, F\" et \"y_n \in K\".
\n\"(y_n)_n\" est une suite du compact \"K\", il existe une suite extraite \"(y_{\varphi(n)})_n\" qui converge vers \"y\, {\in}\, K\".
\nAlors \"x_{\varphi(n)} = z_{\varphi(n)} - y_{\varphi(n)} \, {\in}\, F\" et \"\displaystyle\lim _{n\to +\infty }x_{\varphi(n)}= z - y\".<\/p>\n

Comme \"F\" est un ferm\u00e9, \"z - y \, {\in}\, F\", donc \"z = (z - y) + y\" avec \"z - y \, {\in}\, F\" et \"y\, {\in}\, K\", alors \"F + K\" est un ferm\u00e9 par caract\u00e9risation s\u00e9quentielle des ferm\u00e9s.<\/p>\n

Question 3 :<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \textrm{C} \, K \; =\; ]- \infty ,\, 1[\, \cup \, \bigcup_{n = 1}^{+\infty}\; ]n ,\, n + 1[\" est une r\u00e9union d’ouverts, donc est un ouvert.
\nAlors \"K\" est un ferm\u00e9.\"\bullet\" Soit \"(u_n)_n\" une suite strictement d\u00e9croissante de limite \u00e9gale \u00e0 \"-{\infty}\",
\nOn d\u00e9montre que \"A = \{ u_n \; /\, n \, {\in} \, \mathbb{N}\}\" est un ferm\u00e9 en \u00e9crivant \"\displaystyle \textrm{C} \, A= \left( \bigcup_{n = 1}^{+\infty}\; ]u_{n +1},\, u_{ n}[ \right ) \; \cup \; ] u_0 , \, + \infty[\" puisque pour tout \"x < u_0\" , il existe un et un seul \"n\" tel que \"x\, {\in}\, ]u_{n + 1} , \, u_n[\".
\nOn applique ce r\u00e9sultat \u00e0 la suite d\u00e9finie pour \"n \, {\geq}\, 2\" par \"u_n = - n + 1/n\" qui diverge vers \"- \infty\" apr\u00e8s avoir v\u00e9rifi\u00e9 qu’elle est strictement d\u00e9croissante :
\nil suffit de remarquer que \"u_n = f(n)\" o\u00f9 \"f : x \mapsto -x + 1/x\" est strictement d\u00e9croissante (\"f'(x) < 0\") sur \"]1 , +\infty[\".
\nDonc \"F\" est un ferm\u00e9.\"\bullet\" \"F + K\" contient la suite \"(1/n)_{n \geq 2}\" qui converge vers \"0\".
\nOn d\u00e9montre que \"0\, {\notin}\, F + K.\"
\nSi \"n \, {\in}\, \mathbb{N}\" et \"n \, {\geq}\, 2\" et \"p\, {\in} \, \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle - n + \frac 1 n + p =0\" \"\Leftrightarrow\" \"\displaystyle \frac 1 n=n-p\" est impossible car \"n -p\, {\in}\, \mathbb{Z}\" et \"1/n \, {\notin}\, \textrm{ Z}\".
\nDonc \"F + K\" n’est pas un ferm\u00e9.<\/div>\n

Question 4 :<\/p>\n

Soit pour tout \"n\, {\in}\, \mathbb{N}\", \"z_n = \lambda _ n \, y_n\" o\u00f9 \"\lambda_n \in \mathbb{R}^*\" et \"y_n \, \in K\".
\nOn suppose que \"\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _n\, y_n = z\".
\n\"(y_n)_n\" est une suite du compact \"K\", il existe une suite extraite \"(y_{\varphi(n)})_n\" qui converge vers \"y \, \in \, K\", \"y \, {\neq} \, 0\" car \"0 \notin K\".
\n\"\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left|\lambda _{\varphi (n)}\right| \; \Vert y_{\varphi (n)}\Vert = \Vert z \Vert\" et \"\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\Vert y_{\varphi (n)}\Vert =\Vert y \Vert \;>\;0\" donc \"\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left|\lambda _{\varphi (n)}\right|\;=\;\frac{\Vert z\Vert}{\Vert y \Vert }\" .<\/p>\n

La suite \"(\lambda _{\varphi(n)})_n\" est une suite de r\u00e9els born\u00e9e, elle admet une suite extraite \"(\lambda_{\varphi(\psi (n) )})_n\" qui converge vers \"\mu\".
\nAlors \"\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _{\varphi(\psi (n)) }\;y_{\varphi(\psi (n) )} =z\"
\ndonne \"\mu\, y = z\", comme \"z \, \neq \, 0\", \"\mu \, {\in} \, \mathbb{R}^*\", donc \"z\, \in \, K'\".
\nOn a \u00e9tabli que \"K'\" est un ferm\u00e9.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

5. Continuit\u00e9 et topologie.<\/h2>\n

Exercice 12<\/b>
\nSoient \"(E , N)\" et \"(F , N')\" deux espaces vectoriels norm\u00e9s et \"f\" une application de \"E\" dans \"F\".
\n\"f\" est continue de \"E\" dans \"F\" \"\Leftrightarrow\" pour tout \"A \, \subset \, E\", \"f\left(\overline A\right)\;\subset \overline{f(A)}\" .<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 12 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"f\" est continue de \"E\" dans \"F\".
\nSoit \"A\" une partie non vide de \"E\" (sinon l’inclusion est \u00e9vidente).
\nSi \"b\,\in \,f\left(\overline A\right),\" il existe \"a\;\in \;\overline A\" tel que \"f(a) = b\".
\nSoit \"(u_n)_n\" une suite de \"A\" telle que \"\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_n = a.\"
\nPar continuit\u00e9 de \"f\", \"\displaystyle f(a)\;=\;\lim _{n\to +\infty }f(u_n)\" , donc \"b\" est la limite de la suite \"(f(u_n))_n\" de points de \"f(A)\" et \"b\,\in \,\overline{f(A)}\" .
\nOn a prouv\u00e9 que pour tout \"A \, {\subset}\, E\", \"f\left(\overline A\right)\;\subset \overline{f(A)}\" .<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que pour tout \"A \, {\subset}\, E\", \"f\left(\overline A\right)\;\subset \overline{f(A)}\" .
\nSoit \"a\, {\in}\, E\". Soit \"(u_n)_n\" une suite de \"E\" qui converge vers \"a\".
\nOn raisonne par l’absurde et on suppose que la suite \"(f(u_n))_n\" ne converge pas vers \"f(a)\".
\nIl existe donc \"\varepsilon _0 > 0\" tel que pour tout \"k \in \mathbb{N}\", il existe \"n_k > k\" tel que \"N(f(u_{n_k}) - f(a)) > \varepsilon_0\" ; on construit ainsi une suite extraite \"(f(u_{\varphi(n)})_n\" telle que \"N( f(u_{\varphi (n)} - f(a)) > \varepsilon_0\".
\nOn note \"A = \{ u_{\varphi (n)} \, / \, n\, \in \mathbb{N} \}\" , \"a\" est un point adh\u00e9rent \u00e0 \"A\".
\n\"f(a)\;\in \;f\left(\overline A\right)\" implique \"f(a)\;\in \;\overline{f(A)}\".
\nComme \"f(A )= \{ f(u_{\varphi (n)}) \, / \, n\, \in \mathbb{N} \}\" , pour le r\u00e9el \"\varepsilon_0\,\", \"B_o(f(a) , \varepsilon_0 )\" rencontre \"f(A)\" ce qui contredit la construction de la suite \"(f(u_{\varphi (n)}))_n\".
\nOn en d\u00e9duit que la suite \"(f(u_n))_n\" converge vers \"f(a)\".
\n\"f\" est donc continue en \"a\".<\/p>\n

Exercice 13<\/b>
\nSoit \"(E , N)\" un espace vectoriel norm\u00e9.
\nQuestion 1\u00a0<\/i>
\nSoient \"A\" et \"B\" deux parties compactes non vides de \"E\".
\nMontrer qu’il existe \"a \, {\in}\, A\" et \"b\, {\in}\, B\" tels que \"\displaystyle N(a - b) = \min_{x\in A , \, y \in B} N(x - y)\".<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nOn suppose que \"E\" est un espace vectoriel de dimension finie.
\nMontrer que le r\u00e9sultat pr\u00e9c\u00e9dent est valable si l’on suppose seulement \"A\" compact et \"B\" ferm\u00e9 non vides.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 13 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

On consid\u00e8re l’application \"\quad \quad f : E \times E \rightarrow E , \; (x ,\, y) \mapsto x - y\"<\/p>\n

On utilise la norme \"N'\" sur\u00a0 \"E^2\"\u00a0 d\u00e9finie par :\u00a0 \"N'(x, \,y ) = \max \{ N(x) ,\, N(y)\}\" ;\u00a0 \"f\" est une application lin\u00e9aire de \"(E^2, \, N')\" dans \"(E ,\, N)\" v\u00e9rifiant : \"\forall\, (x, \,y) \in E^2\",\u00a0 \"N( f(x , \,y)) \, {\leq}\, N(x) + N(y) \, {\leq}\, 2 \,N'(x, \,y)\".
\nEn utilisant la lin\u00e9arit\u00e9 de\"f\", on en d\u00e9duit que \"f\" est lipschitizienne donc continue.<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\quad \quad g : E ^2 \rightarrow \mathbb{R} , \; (x, \,y) \mapsto N(x - y)\quad \quad\" est continue.
\n\"A \times B\" est une partie compacte de \"(E^2, \,N')\", donc \"g\" admet un minimum sur \"A \times B\", il existe donc \"(a,\, b) \in \ A \times B\" tel que \"\displaystyle N(a - b) = \min_{x\in A ,\, y \in B} N(x - y)\".<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

\"\bullet\" \"\{ N(x - y ) \, /\, x \in A , \,y \in B \}\" est une partie non vide de \"\mathbb{R}\", minor\u00e9e par 0, elle admet donc une borne inf\u00e9rieure \"m\".
\n\"\bullet\" Par caract\u00e9risation de la borne inf\u00e9rieure, pour tout \"n \, \in\, \mathbb{N}^*\", il existe \"a_n \in A\" et \"b_n \in B\" tels que \"\quad \quad m \leq N(a_n - b_n )\leq m + 1/n\".
\nLa suite \"(a_n)_n\" est une suite de la partie compacte \"A\", il existe une suite extraite \"(a _{\varphi(n)})_n\" qui converge vers \"a\, \in\, A\".
\n\"\bullet\" La suite \"(a_ {\varphi(n) } - a )_n\" est une suite convergente donc born\u00e9e.
\nSoit \"M > 0\" tel que pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"N(a_{\varphi(n) } - a) \leq M\".
\nPour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"N(b_{\varphi(n) } - a) \leq N(b_{\varphi(n) } - a_{\varphi(n) })\"
\n\"+ N(a_{\varphi(n) } - a) \leq m + 1 + M\"
\nLa suite \"(b_{\varphi(n) })_n\" est une suite born\u00e9e d’un espace vectoriel de dimension finie, il existe une suite extraite \"(b_{\varphi(\psi (n) )})_n\" qui converge vers \"b\". Comme c’est une suite convergente du ferm\u00e9 \"B\", elle converge vers \"b \in B\".
\nOn note \"\theta = \varphi \circ \psi\".
\nLa suite \"(a_{\theta(n) })_n\", extraite de la suite convergente \"(a_ {\varphi(n) } )_n\,\",\u00a0 converge vers \"a\".
\n\"\bullet\" Puis en passant \u00e0 la limite dans l’in\u00e9galit\u00e9
\n\"\quad\displaystyle m\; \le \; N(a_{\theta(n) }-b_{\theta (n)})\, \; \leq\; \frac 1{\theta (n)}+m\", on obtient \"m \leq N(a - b) \leq m\".<\/div>\n
Donc \"m\" est un minimum.<\/div>\n
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