{"id":38526,"date":"2019-11-13T12:02:50","date_gmt":"2019-11-13T11:02:50","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=38526"},"modified":"2022-07-08T14:32:48","modified_gmt":"2022-07-08T13:32:48","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-suites-series-fonctions-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-suites-series-fonctions-spe\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s sur les Suites et s\u00e9ries de fonctions"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Suites et s\u00e9ries de fonctions en MP, PC, PSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Exercices et corrig\u00e9s – Suites et s\u00e9ries de fonctions<\/h2>\n

1. \u00c9tudes de convergence de suites<\/h2>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>
\nSoit la suite de fonctions<\/a> d\u00e9finies pour \"n \in \mathbb{N}^*\" par\u00a0\"f_n(x) = x \sqrt{n}\" sur \"\displaystyle \left [ 0 , \, \frac 1 n \right [\" et \"\displaystyle f_n(x) = \frac {n\, x - 1} { n \sqrt {n} \, x + 1 }\" si \"\displaystyle x\in \left [ \frac 1 n , 1 \right ]\".
\n\u00c9tudier de la convergence simple puis uniforme.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\n

\"\bullet\" \u00c9tude de la convergence simple
\n\"f_n(0) = 0\" donc \"\displaystyle \lim_{n \to+\infty} f_n(0) = 0\".
\nSi \"x \in\, ]0 , \, 1]\", il existe \"N \in \mathbb{N}^ *\" tel que \"\displaystyle x \geq \frac 1 N\", alors si \"n > N\", \"\displaystyle x \in \left ] \frac 1 n , \, 1\right ]\", \"\displaystyle f_n(x) = \frac {n\, x - 1 } {n \sqrt {n} \, x + 1} \underset {n \to \infty } \sim \frac {n} {n \sqrt{n} }\" \"\Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0\".
\nLa suite \"(f_n)_n\" converge simplement vers la fonction nulle.
\nOn remarquera la discontinuit\u00e9 de \"f_n\" en \"1/n\".<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c9tude de la convergence uniforme
\nSur \"\displaystyle \left [ 0 , \, \frac 1 n \right [\", \"f_n\" est croissante et varie de 0 \u00e0 \"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{n}}\".
\nSur \"\displaystyle \left [ \frac 1 n , 1 \right ]\", \"f_n\" est d\u00e9croissante (calculer la d\u00e9riv\u00e9e sur l’intervalle ouvert)\u00a0 et varie de 0 \u00e0 \"\displaystyle \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1 }\".
\nalors \"\displaystyle \vert f_n(x) \vert \leq \max \left ( \frac 1 {\sqrt{n}} , \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1} \right )\"
\n\"\vert f_n(x) \vert \leq \displaystyle \frac 1 {\sqrt{n}} + \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1}\",
\n\"\Vert f_n \Vert \leq \displaystyle \frac 1 {\sqrt{n}} + \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1}\".\u00a0alors la suite converge uniform\u00e9ment sur \"[0 , 1]\" vers la fonction nulle.<\/p>\n<\/div>\n

⚠️<\/b>\u00a0: il est absurde de donner une r\u00e9ponse du type si \"x > 1/n, \; (f_n(x))_n\" converge vers …<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\n\"\forall\, n \in \mathbb{N},\; \forall \, x \geq 0, \; f_n(x) = x( 1 - \textrm {e} ^{ - n x} )\".
\nQuestion 1<\/i>
\n\u00a0<\/b>\u00c9tude de la convergence simple et uniforme de la suite \"(f_n)_n\" .<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nMontrer que la limite \"f\" est d\u00e9rivable mais que la suite \"(f'_n)_n\" ne converge pas vers \"f'\" sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c9tude de la convergence simple
\n\"\ast\" \"f_n(0) = 0\" tend vers 0.
\n\"\ast\" Si \"x > 0, \displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(x) = 0\".
\nLa suite \"(f_n)_n\" converge simplement sur \"\mathbb{R}^+\" vers la fonction \"f : x \mapsto x\".<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c9tude de la convergence uniforme
\nSoit pour \"x \in \mathbb{R}^+\", \"g_n(x) = f(x) - f_n(x) = x \, \textrm{e}^{- n \, x}\"
\n\"g'_n(x) = (1 - n \, x) \, \textrm{e}^{- n x}\" .
\n\"g_n\" est croissante sur \"[0 ,\, 1/n]\" et d\u00e9croissante sur \"[1/n, \, + \infty[\" , \"g_n(0)= 0\", \"g_n(n) = n \, \textrm{e}^{ - n ^2}\", \"g_n\" admet 0 pour limite en \"+\infty\".
\nDonc \"\Vert g_n \Vert _{\infty} = g_n(n) = n\, \textrm{e}^{ - n ^2}\".
\nDonc la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment vers la fonction \"f\" sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

Il est \u00e9vident que \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}^+\" et \"f ' : x \mapsto 1\".
\n\"f'_n(x) = 1 - \textrm{e} ^{- n x} + n x \, \textrm{e} ^{- n x}\".
\n\"f'_n(0) = 0\", cette suite ne converge pas vers \"f'(0)\".\u00a0 La suite\"(f'_n)_n\" ne converge pas simplement vers \"f'\".<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nPour \"n \in \mathbb{N}\", \"f_n(x) = n (1 - x) \sin(x^n)\" sur \"[0 , 1]\".
\nQuestion 1<\/i>
\n\u00c9tude de la convergence simple puis uniforme de la suite.<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nD\u00e9terminer \"\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \int_0^1 f_n(t) \textrm{d} t\" .<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c9tude de la convergence simple
\n\"f_n(1) = 0\", la suite \"(f_n(1)_n\" converge vers 0.
\nSi \"0 \leq x < 1\", la suite \"(x^n)_n\" converge vers 0, donc \"f_n(x) \underset { x\to 0 } \sim n \, x^n\", puis par croissance compar\u00e9e, \"\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0\" , la suite \"(f_n)_n\" converge simplement vers la fonction nulle sur \"[0 , \,1]\".<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c9tude de la convergence uniforme
\n\"\displaystyle f_n \left ( 1 - \frac 1 n \right ) = \sin \left ( 1 - \frac 1 n \right ) ^n\"
\nOn utilise \"\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( 1 - \frac 1 n \right ) ^n = \textrm{e}^{ - 1}\", donc \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n \left ( 1 - \frac 1 n \right ) = \sin(\textrm{e} ^{ - 1} )\".
\nComme \"\Vert f_n \Vert _ {\infty} \geq f_n \left ( 1 - \frac 1 n \right )\",\u00a0\"(\Vert f_n \Vert _ {\infty})_n\" ne converge pas vers 0,\u00a0car elle est sup\u00e9rieure \u00e0 une suite de limite \u00e9gale \u00e0 \"\sin(\textrm{e} ^{-1})\". Il n’y a pas de convergence uniforme.<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

En utilisant si \"0 \leq t \leq 1 , 0 \leq \sin(t) \leq t\" et \"0 \leq \int_0^1 f_n(t) \textrm{d}\, t \leq \int_0^1 n (1 - t) t^ n \textrm{d} \, t\"
\n\"\displaystyle I_n = \int_0^1 n (1 - t) t^ n \, \textrm{d}\, t\"
\n\"\displaystyle I_n = \left [ \frac n {n + 1} t^{n + 1} - \frac {n } {n + 2} t ^{n + 2} \right ]_0^1\"
\n\"\displaystyle I_n =\frac n {n + 1} - \frac {n } {n + 2}\".
\nDonc \"\displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n(t) \, \textrm{d}\, t = 0\".<\/p>\n

2. Exercices th\u00e9oriques sur les suites et s\u00e9ries de fonctions<\/strong><\/h2>\n

Exercice 4<\/b>
\nSoit \"(f_n)_n\" une suite de fonctions d\u00e9finies sur \"[0 , \,1]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\".
\nQuestion 1\u00a0<\/i>
\nSi la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"[0 , \, 1[\"et si la suite \"(f_n(1))_n\" converge, la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"[0 ,\, 1]\"<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nSi la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"[0 , \, 1[\" et si toutes les fonctions \"f_n\" sont continues sur \"[0 , \,1]\", la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"[0 ,\, 1]\"?<\/p>\n

Question 3<\/i>
\nSi la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment sur tout segment de \"[0 , \,1[\", si toutes les fonctions \"f_n\" sont continues sur \"[0 , \,1]\" et si la suite \"(f_n(1))_n\" converge, la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"[0 , \,1]\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 4 :<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

Comme la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment vers \"f\" sur \"[0 , \, 1[\" :
\n\"\forall \, \varepsilon > 0, \exists \, N \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \,\mathbb{N}, \;n \geq N,\" \"\forall \, x \in [0 , \, 1[, \; \vert f_n(x) - f(x)\vert \leq \varepsilon\".
\net comme la suite \"(f_n(1))_n\" converge vers \"a\" : \"\exists \, N'\in \, \mathbb{N }, \forall \,n \in \mathbb{N}, n\geq N' ,\; \vert f_n(1) - a\vert \leq \varepsilon\".
\nOn note \"a = f(1)\" et on en d\u00e9duit que si \"N'' = \max(N , N')\", si \"n \geq N''\", \"\forall \, x \in [0 ,\, 1],\; \vert f_n(x) - f(x)\vert \leq \varepsilon\" , donc \"\Vert f - f_n \Vert _{\infty} \leq \varepsilon\".
\nOn en d\u00e9duit que \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment vers \"f\" sur \"[0 , \,1]\".<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

La suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment vers \"f\" sur \"[0 ,\, 1[\".
\nPour tout \"n \in \mathbb{N}\", par continuit\u00e9 de \"f_n\" sur \"[0 , \,1]\", \"f_n\" admet une limite finie en \"1\".
\nPar application du th\u00e9or\u00e8me de la double limite ,
\n\"\displaystyle \lim_{x\to 1 ^{-} } \lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty} \lim_{x\to 1 ^{-} } f_n(x)\" soit \"\displaystyle \lim_{x\to 1 ^{-} } f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(1)\" .
\nOn peut donc appliquer la question 1, puisque la suite \"(f_n(1))_n\" converge, donc la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"[0 , \,1]\".<\/p>\n

Question 3 :<\/p>\n

Si l’on note \"f_n : x \mapsto x^n\",
\nSi \"a \in \, [0 , \, 1[,\; \Vert f_n \Vert _{\infty ,\, [0 , a]} = a^n\", donc la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment sur tout segment de [0 ,\\,\u00a0 1[,
\nLa suite \"(f_n(1))_n\" est une suite constante \u00e9gale \u00e0 \"1\", elle converge.
\nMais la suite \"(f_n)_n\" ne converge pas uniform\u00e9ment sur \"[0 , \,1]\", car sa limite est une fonction discontinue, alors que chaque fonction \"f_n\" est continue sur \"[0 , \,1]\".<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nSoit \"(f_n)_n\" une suite de fonctions d\u00e9finies sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"[a , \, b]\".
\nOn suppose que la suite \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"I\".
\nSoit \"g\" une fonction continue sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" .
\nLa suite \"(g \circ f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"I\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 5 :<\/strong><\/p>\n

On note \"f\" la limite uniforme de \"(f_n)_n\" sur \"I\".
\nPour tout \"x \in I\", \"f_n(x) \in [a ,\, b]\", par passage \u00e0 la limite dans l’encadrement pour tout \"x \in I\", \"f(x) \in [a ,\, b]\".
\n\"g\" est continue sur \"[a ,\, b]\" donc uniform\u00e9ment continue.
\n\"\forall\, \varepsilon > 0, \; \exists \alpha > 0,\" tel que si \"(x , \, y) \in [a ,\, b]^2\" et \"\vert x - y\vert \leq \alpha\", \"\vert g(x) - g(y)\vert \leq \varepsilon\".
\nComme \"\displaystyle \lim _{n\to\infty} \Vert f - f_n \Vert _{\infty} = 0\" , il existe \"N \in \mathbb{N}, \; n \geq N,\; \Vert f_n - f \Vert _{\infty}\leq \alpha\".
\nPour tout \"t \in I,\; \vert f_n(t) - f(t) \vert \leq \alpha\", donc \"\vert g(f_n (t)) -g(f(t)) \vert \leq \varepsilon\", soit \"\Vert g\circ f_n - g\circ f \Vert \leq \varepsilon\" .
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"(g \circ f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment vers \"g \circ f\" sur \"[a ,\, b]\" .<\/p>\n

 <\/p>\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

3. Th\u00e9or\u00e8me de Weierstrass<\/strong><\/h2>\n

Exercice 6 🧡<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction continue sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" telle que \"\forall \, n \in \mathbb{N},\; \int_a^b t^n f(t)\, \textrm{d} \, t = 0\". Alors la fonction \"f\" est nulle sur \"[a ,\, b]\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 6 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Par combinaison lin\u00e9aire, pour tout polyn\u00f4me \"P\" : \"\int_a^b P(t)\,f(t)\, \textrm{d} \, t = 0\" .
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de Weirstrass, il existe une suite \"(P_n)_n\" de fonctions polynomiales telle que \"\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Vert P_n - f\Vert_{\infty} = 0\".
\n\"\forall \, t \in \, [a , \, b],\" \"\vert f(t) P(t) - f^2(t) \vert \leq \Vert f \Vert _ {\infty} \, . \, \Vert P_n - f\Vert_{\infty}\"
\ndonc \"\Vert f P_n - f^2 \Vert_{\infty} \leq \Vert f\Vert_{\infty} \, . \, \Vert P_n - f\Vert_{\infty}\"
\nLa suite \"(f P_n)_n\" converge uniform\u00e9ment vers \"f^2\" sur \"[a ,\, b]\". On en d\u00e9duit que
\n\"\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_a^b P_n(t)\,f(t) \, \textrm{d} t = \int_a^b f^2(t) \, \textrm{d} t\".<\/p>\n

Par unicit\u00e9 de la limite, \"\int_a^b f^2(t) \, \textrm{d} \,t = 0\".
\nLa fonction \"f ^2\" \u00e9tant continue sur \"[a ,\, b]\", \u00e0 valeurs positives ou nulles et d’int\u00e9grale<\/a> nulle sur \"[a , \,b]\",
\n\"\forall \, t\in [a ,\, b], \; f ^2(t) = 0 \Rightarrow f(t) = 0\".<\/p>\n

Exercice 7<\/b>\u00a0Mines Ponts 2013.
\nSoit \"n \in \mathbb{N}, n \geq 2\". Soit \"(P_k)_k\" une suite d’\u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{R}[\textrm{X}]\" convergeant uniform\u00e9ment vers une fonction \"f\". D\u00e9montrer que \"f\" est polynomiale.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 7 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On suppose que \"(P_k)_k\" est une suite d’\u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{R}[\textrm{X}]\" convergeant uniform\u00e9ment vers une fonction \"f\".
\nSoit \"\varepsilon > 0\". Il existe \"N \in \mathbb{N}\", tel que si \"n \geq N\", \"\Vert P - f_n\Vert_{\infty} \leq \varepsilon\" .
\n\"\Vert P_n - P_N \Vert _ {\infty} \leq \Vert P_n - f \Vert _ {\infty} + \Vert f - P_N \Vert _ {\infty}\"
\n\"\Vert P_n - P_N \Vert _ {\infty} \leq 2 \varepsilon\"
\n\"P_n - P_N\" est une fonction polyn\u00f4me born\u00e9e sur \"\mathbb{R}\", donc elle est constante.
\nIl existe \"\alpha_n \in \mathbb{R}\" tel que
\n\"\forall \, x \in \mathbb{R}\", \"P_n(x) = P_N(x) + \alpha_n\".<\/p>\n

Puis \"\vert \alpha_n \vert = \Vert P_n - P_N \Vert _ {\infty}\leq 2 \varepsilon\",
\ndonc \"\displaystyle \lim_ {n \to \infty} \alpha_n = 0\" ; si \"n\" tend vers \"+\infty\", \"f(x) = P_N(x)\".
\n\"f\" est une fonction polynomiale.<\/p>\n

Tous nos cours en ligne ont pour unique objectif de faciliter l’apprentissage et d’am\u00e9liorer le niveau de connaissances des \u00e9tudiants de Maths Sp\u00e9. Tous les chapitres du programme sont disponibles en cours en ligne de Maths en MP<\/a>, en cours en ligne de Maths en PC<\/a> et aussi en cours en ligne de Maths en PSI<\/a>.<\/p>\n

4. Convergence simple, normale,\u00a0 uniforme<\/h2>\n

Exercice 8 :<\/strong><\/p>\n

Soit \"u_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapsto n\, x \textrm{ e}^{ - n ^2 \, x}\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}^*\" .<\/p>\n

Question 1.<\/b>
\nLa s\u00e9rie converge simplement sur quel domaine ?<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nLa s\u00e9rie converge-t-elle normalement sur \"\mathbb{R}^+\" ?<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nPour tout \"a > 0\", \"\sum u_n\" converge normalement sur \"[a , \, + \infty[\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nLa s\u00e9rie ne converge pas uniform\u00e9ment sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nLa somme \"S\" est continue sur \"]0 ,\, +\infty[\" et admet une limite finie en \"+\infty\"<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nLa fonction \"S\" n’est pas continue en \"0\" .<\/p>\n

Question 7
\n<\/b>Montrer que \"S(x) \underset {x \to + \infty} \sim u_1(x)\".<\/p>\n

Question 8 (plus compliqu\u00e9e)
\n<\/b>a)<\/b>\u00a0Soit \"x > 0\", on note \"\displaystyle N = \left \lfloor \frac 1 {\sqrt{2\, x} } \right \rfloor\".
\nMontrer que \"\displaystyle N \underset {x \to 0} \sim \frac 1 {\sqrt{2 \, x}}\" .<\/p>\n

Dans les questions b) et c), on fixe\"x > 0\".
\nSoit pour \"t \geq 0, \; g(t) = t\, x \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}\" et \"\displaystyle G : t \mapsto - \frac 1 2 \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}\".
\nb)\u00a0\u00a0<\/b>Montrer que \"\displaystyle \sum_{k = 0} ^{N - 1} g(k) \leq G(N) - G(0) \leq \sum _{k = 1} ^{N} g(k)\".<\/p>\n

c)\u00a0<\/b>Montrer que \"\displaystyle \sum_{k = N + 2 } ^{+\infty} g(k) \leq - G(N + 1 ) \leq \sum _{k = N + 1 } ^{+\infty} g(k)\".<\/p>\n

d)\u00a0<\/b>\u00a0En d\u00e9duire un encadrement de \"S(x)\" puis la limite de \"S(x)\" \u00e0 droite en \"0\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 8 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1:<\/p>\n

\"\ast\" Si \"x < 0, \;\displaystyle \lim_{n\to\infty} u_n(x) = - \infty\" , donc \"\sum u_n\" diverge grossi\u00e8rement
\n\"\ast\" Si \"x = 0, \; u_n(0) = 0\", la s\u00e9rie converge.
\n\"\ast\" Si \"x > 0\", \"\displaystyle \lim_{n\to\infty} n ^2 \,u_n(x) =0\", donc \"\displaystyle u_n(x) \underset {n\to\infty} { = } o \left ( \frac 1 {n^2} \right )\" , la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n(x)\" converge par domination par une s\u00e9rie de Riemann divergente.
\nDonc la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" converge simplement sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

Si \"x \in \mathbb{R}^+\", \"u'_n(x) = n\,(1 - n^2 x) \textrm{ e}^{ - n^2\, x}\".
\n\"u_n\" est croissante sur \"\displaystyle \left [0 , \frac 1 {n^2} \right ]\" , d\u00e9croissante sur \"\displaystyle \left [ \frac 1 {n^2} , +\infty \right [\", \"u_n\" admet un maximum en \"\displaystyle \frac 1 {n^2}\" et \"\displaystyle u_n \left (\frac 1 {n^2} \right ) = \frac {\textrm{e} ^{-1}} {n}\"
\net \"\displaystyle \Vert u_n \Vert_{\infty} = u_n \left (\frac 1 {n^2} \right ) = \frac {\textrm{e} ^{-1}} {n}\" puisque \"u_n\" est \u00e0 valeurs positives ou nulles sur \"\mathbb{R}^+\".
\nLa s\u00e9rie ne converge pas normalement sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

Question 3 :<\/p>\n

Soit \"a > 0\" ; il existe \"N \in \mathbb{N}\" tel que si \"n > N\", \"\displaystyle \frac 1 { n^2 } < a\",
\n\"\displaystyle \Vert u_n \Vert _{\infty, [a , +\infty[} = \; \sup _{x \geq a} {\vert u_n(x)\vert } = u_n(a)\"
\ndonc \"\sum u_n\" converge normalement sur \"[a , +\infty[\".<\/div>\n

Question 4 :<\/p>\n

Si \"x \in \mathbb{R}^+\". \"\displaystyle R_n(x) =\sum_{k = n + 1}^{\infty} u_k(x).\"
\nComme les fonctions sont \u00e0 valeurs positives ou nulles, \"\displaystyle R_n(x) \geq \sum_{k = n + 1}^{2n} u_k(x).\"<\/p>\n

Comme on somme \"n\" termes tous sup\u00e9rieurs ou \u00e9gaux \u00e0 \"n x \textrm{ e} ^{- 4 n^2 x}\",
\n\"R_n(x) \geq n^2 x \textrm{ e} ^{- 4 n^2 x}\" \"\Rightarrow \displaystyle R_n \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \geq \textrm{ e} ^{- 4}\"
\ndonc \"\mid \mid R_n \mid \mid_{\infty} \geq \textrm{ e} ^{- 4}\". La suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"R_n\" ne converge pas uniform\u00e9ment vers 0.
\nOn en d\u00e9duit que la s\u00e9rie ne converge pas uniform\u00e9ment sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

Question 5 :<\/p>\n

\"\bullet\" La s\u00e9rie \"\sum u_n\" converge normalement donc uniform\u00e9ment sur \"[a , \, +\infty[\" pour tout \"a > 0\" donc converge uniform\u00e9ment sur tout segment inclus dans \"]0 , \, +\infty[\", les fonctions \"u_n\" sont continues, par le th\u00e9or\u00e8me de continuit\u00e9 des sommes de s\u00e9ries de fonctions, la somme \"S\" de la s\u00e9rie est continue sur \"]0 , \, +\infty[\".<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c9tude de la limite en \"+\infty\"
\n\"\ast\" La s\u00e9rie \"\sum u_n\" converge normalement donc uniform\u00e9ment sur \"[1 , \, +\infty[\".
\n\"\ast\" Pour tout \"n \geq 1\", \"\displaystyle \lim_{x \to \infty } u_n(x) = 0\".
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de la double limite, \"\displaystyle \lim_{x \to \infty } S(x) = 0\".<\/p>\n

Question 6 :<\/p>\n

Pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle S(x)\geq \sum_{k = 1}^{n} u_k(x)\".
\nDonc \"\displaystyle S \left ( \frac 1 {n^2 } \right ) \geq \sum_{k = 1} ^{n} \frac k {n^2 } \textrm { e}^{ - k^2 / n^2 }\"<\/p>\n

Comme \"\forall \, k \in \{ 1 , \, \cdots \,, \, n \},\; \displaystyle \frac {k ^2} {n^2 } \leq 1 \,\"
\n\"\displaystyle S \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \geq \sum_{k = 1} ^{n} \frac k {n^2 } \textrm { e}^{ - 1}\"
\nsoit \"\displaystyle S \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \geq \frac {n + 1} {2 n } \textrm { e}^{ - 1 }\"<\/p>\n

La suite \"\displaystyle \left ( S \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \right )_n\" est sup\u00e9rieure \u00e0 une suite de limite strictement positive, donc elle ne converge pas vers \"0 = S(0)\", donc \"S\" n’est pas continue en \"0\".<\/p>\n

Question 7 :<\/p>\n

\"\bullet\" La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" converge normalement sur \"[1 , +\infty[\" et pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"u_n\" admet 0 pour limite en \"+\infty\".
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de la double limite, \"S\" admet \"0\" pour limite en \"+\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\". On \u00e9crit \"S(x) = u_1(x)( 1 + T(x))\" avec \"\displaystyle T(x) = \sum _{n = 2} ^{+\infty} v_n(x)\" o\u00f9 \"v_n(x) = \displaystyle \frac {u_n(x)} {u_1(x)} = \textrm {e} ^{ - (n ^2 - 1) x}\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour tout \"n \geq 2, \; \displaystyle \lim_{x \to +\infty} v_n(x) = 0\".<\/p>\n

\"\ast\" La fonction \"v_n\" est d\u00e9croissante sur \"[1 ,\, +\infty[\", \u00e0 valeurs positives,
\n\"\displaystyle \Vert v_n \Vert _ {\infty , [1 , + \infty[} = \textrm{e} ^{- (n ^2 - 1) }\".
\nComme \"n ^2 > n\" si \"n > 1\" , \"\displaystyle \Vert v_n\Vert _ {\infty , [1 , + \infty[} \leq \textrm{e}\; \textrm{e} ^{- n}\" qui est le terme g\u00e9n\u00e9ral d’une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique convergente.
\nDonc \"\sum v_n\" converge normalement sur \"[1 , + \infty[\".<\/p>\n

\"\bullet\" Par le th\u00e9or\u00e8me de la double limite, \"\displaystyle \lim_{x \to + _\infty} T(x) = 0\" et on a prouv\u00e9 que \"S(x) \underset {x \to + \infty} \sim u_1(x)\".<\/p>\n

Question 8 :<\/p>\n

a\/ On utilise \"\displaystyle N \leq \frac 1 {\sqrt{2 \,x} } \leq N + 1\" donc \"\displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 \, x} } - 1 \leq N \leq \frac 1 {\sqrt{2\, x} }\" et alors \"1 - {\sqrt{2\, x} } \leq {\sqrt{2 \,x} }\, .\, N \leq 1\", donc \"\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sqrt{2 \,x} } \, .\, N = 1\".
\nOn peut aussi \u00e9crire que \"\displaystyle N \underset {x \to 0} \sim \frac 1 {\sqrt{2 \,x}}\" .<\/p>\n

b\/<\/p>\n

\n

On remarque que \"\displaystyle G : t \mapsto - \frac 1 2 \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}\" est une primitive de \"g\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"t \geq 0, \; g(t) = t\, x \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}\" , \"f_n(x) = g(n)\".
\n\"g'(t) = x( 1 - 2 \, t ^2 \, x) \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}\".
\nSoit \"\displaystyle a = \frac 1 {\sqrt{2 \,x} }\" , \"g\" est croissante sur \"[0 , \,a]\" et d\u00e9croissante sur \"[a , \, +\infty[\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"k \leq N - 1,\; k + 1 \leq a, \; \forall\, t \in [k , \, k + 1],\" \"g(k) \leq g(t) \leq g(k)\".
\nEn int\u00e9grant sur \"[k , \, k + 1]\", \"\quad \quad g(k ) \leq \int_k ^{k + 1} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq g(k + 1)\".<\/p>\n

\"\ast\" Puis en sommant pour \"k \leq N - 1\", par la relation de Chasles,
\n\"\displaystyle \sum_{k = 0} ^{N - 1} g(k) \leq \int_0 ^{N} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq \sum _{k = 0} ^{N - 1} g(k + 1)\"
\nsoit
\n\"\displaystyle \sum_{k = 0} ^{N - 1} g(k) \leq G(N) - G(0) \leq \sum _{k = 1} ^{N} g(k)\".<\/p>\n<\/div>\n

\n

c\/ \"\ast\" Si \"k \geq N + 1,\; k > a, \;\forall\, t \in [k , \, k + 1],\" \"g(k + 1 ) \leq g(t) \leq g(k)\".
\nEn int\u00e9grant sur \"[k , \, k + 1]\", \"\quad \quad g(k + 1 ) \leq \int_k ^{k + 1} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq g(k)\".<\/p>\n

\"\ast\" Puis en sommant pour \"N + 1\leq k \leq n\", par la relation de Chasles,
\n\"\displaystyle \sum_{k = N+1} ^{n} g(k + 1 ) \leq \int_{N + 1} ^{n+1} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq \sum _{k = N + 1 } ^{n} g(k)\"
\nsoit\u00a0\u00a0\"\displaystyle \sum_{k = N + 2 } ^{n + 1 } g(k) \leq \left [ G(t) \right] _{N + 1}^{n + 1} \leq \sum _{k = N + 1 } ^{n} g(k)\".<\/p>\n

\"\ast\" Puis si \"n\" tend vers \"+ \infty\", comme \"G\" admet 0 pour limite en \"+\infty\",
\n\"\displaystyle \sum_{k = N + 2 } ^{+\infty} g(k) \leq - G(N + 1 ) \leq \sum _{k = N + 1 } ^{+\infty} g(k)\".<\/p>\n<\/div>\n

d\/ En sommant les in\u00e9galit\u00e9s des questions b) et c), sachant que \"\displaystyle \sum _ {n = 0} ^{+\infty} g(k) = S(x)\",
\n\"S(x) -g(N) - g(N + 1)\"
\n\"\leq G(N) - G(N + 1) - G(0) \leq S(x)\"
\nCe qui donne un encadrement \"a_N \leq S(x) \leq b_N\" avec\u00a0 \"a_N = - G(0) + G(N) - G(N + 1)\" et \"b_N = a_N + g(N) + g(N + 1)\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle G(N) = - \frac 1 2 \textrm {e} ^ {- N^2 \, x}\"
\nSachant que \"\displaystyle \lim_{x \to 0} N^2 x = \frac 1 2\" ,\"\displaystyle \lim_{x\to 0} G(N) = - \frac 1 2 \textrm {e} ^ {- 1/2}\"<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{x\to 0} G(N) - G(N + 1) = 0\" et \"\displaystyle \lim_{x\to 0} a_N = - G(0) = \frac 1 2\".<\/p>\n

\"\ast\" Puis comme \"\displaystyle N \underset {x \to 0} \sim \frac 1 {\sqrt{2\, x}}\", \"\displaystyle g(N) \underset {x \to 0} \sim \frac x {\sqrt{2\, x } } \textrm {e} ^{- 1/2}\" , donc \"\displaystyle \lim_{x\to 0} g(N) = 0\" .
\nIl en est de m\u00eame de \"(g(N + 1))_N\".
\nAlors \"\displaystyle \lim_{x\to 0} b_N = - G(0) = \frac 1 2\".<\/p>\n

\"\ast\" Par encadrement par deux expressions ayant m\u00eame limite \"1/2\" lorsque \"x \to 0\", on a donc prouv\u00e9 \"\displaystyle \lim _{x \to 0} S(x) = \frac 1 2\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

5. S\u00e9rie de fonctions d\u00e9finie \u00e0 l’aide d’int\u00e9grales<\/h2>\n

Exercice 9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

(Mines Ponts PSI 2017)
\nSoit \"f_0\" une fonction continue de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\". On d\u00e9finit la suite \"(f_n)_{n \geq 0}\" par : \"\forall\, n \in \mathbb{N },\; \forall \,x \in \mathbb{R},\; f_{n+1} (x) = \int_0^x f_n(t) \, \textrm{d} \, t\".
\nQuestion 1<\/b>
\n\u00c9tudier la convergence uniforme sur tout segment de \"\sum f_n\".
\nOn note \"\displaystyle S = \sum _{n = 0} ^{+\infty} f_n\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nD\u00e9terminer \"S\" \u00e0 l’aide d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/a>.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

\"\bullet\" Par r\u00e9currence imm\u00e9diate, pour tout \"n \in \mathbb{N},\; f_n\" est continue sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"a > 0\". On note \"M = \Vert f_0 \Vert _{\infty,\, [-a ,\, a]}\".
\nOn note\u00a0 \"\displaystyle \forall \, n \in \mathbb {N}, \; \textrm{H}_n : \vert f_n (x) \vert \leq \frac {M \vert x \vert ^n} {n \, !}\".
\n\"\ast\" \"\textrm{H}_0\" est vraie par d\u00e9finition de \"M\".
\n\"\ast\" On suppose que \"\textrm{H}_n\" est vraie.
\nSi \"x \in \, [- a , \, a],\; \displaystyle \left \vert f_{n + 1} (x) \right \vert \leq \left \vert \int_ 0 ^x \vert f_{n} (t) \vert \textrm{d} \,t \right \vert\"
\n\"\displaystyle \left \vert f_{n + 1} (x) \right \vert \leq \left \vert \int_ 0 ^x \frac {M \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t \right \vert\"
\n… Si \"x \in [0 , \, a]\", \"\displaystyle \int_ 0 ^x \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \int_ 0 ^x \frac {M\, t ^n} {n \, !} \textrm{d} \, t = \frac {M \, x^{n + 1} }{(n + 1)\, !}\".
\n… Si \"x \in [-a , 0]\" , \"\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \int_ x ^0 \frac {M \, (-1)^n t ^n} {n \, !} \textrm{d} \, t\"
\n\"\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \left [ \frac { ( - 1) ^{n}\, t ^{n + 1} } {(n + 1) \, ! } \right ] _x^0\"
\n\"\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \frac { - M \, (-x) ^{n + 1} }{(n + 1)\, !}\"
\n\"\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \frac { - M \, \vert x \vert ^{n + 1} }{(n + 1)\, !}\".
\nOn a obtenu dans les deux cas : \"\quad \quad \displaystyle \left \vert f_{n + 1} (x) \right \vert \leq \frac {M\, \vert x \vert ^{n + 1} }{(n + 1)\, !}\".
\nLa propri\u00e9t\u00e9 \"\textrm{H} _ {n + 1}\" est v\u00e9rifi\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" Alors \"\displaystyle \Vert f_n \Vert_ {\infty ,\, [- a, a]} \leq \frac {M\, \vert a \vert ^n} {n \, !}\".
\nPar domination par une s\u00e9rie convergente (de somme exponentielle) la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\Vert f_n \Vert_ {\infty ,\, [- a,\, a]}\" converge donc \"\sum f_n\" converge normalement donc uniform\u00e9ment sur \"[- a ,\, a]\".<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

\"\bullet\" On note \"S\" la somme de la s\u00e9rie. La fonction \"S\" est une fonction continue sur \"\mathbb{R}\" comme limite uniforme sur tout segment d’une s\u00e9rie de fonctions continues.<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"x \in [ - a , a]\", \"\displaystyle S(x) =\sum_ {n = 0}^{+\infty}f_n ( x)\".
\n\"\displaystyle S(x) = f_0(x) + \sum _ {n = 1}^{+\infty} \int_0 ^x f_{n -1} (t) \textrm {d} \, t\" .
\nLa s\u00e9rie converge normalement sur tout segment, on peut donc intervertir le signe \"\sum\" et l’int\u00e9grale :
\n\"\displaystyle S(x) = f_0(x) + \int_0 ^x \sum _ {n = 1}^{+\infty} f_{n -1} (t) \textrm {d} \, t\" .
\n\"\displaystyle S(x) = f_0(x) + \int_0 ^x S(t) \textrm {d} \, t\" .<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me fondamental de l’int\u00e9gration<\/a>, la fonction \"G : x \mapsto S(x) - f_0(x)\" est une fonction de classe \"C^1\" telle que \"\forall \, x \in \mathbb{R} , \; G'x) = S(x) = G(x) + f_0(x)\" .
\nDe plus, \"G(0) = S(0) - f_0(0) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" On r\u00e9sout l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"y' = y + f_0\".
\n\"\ast\" La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation sans second membre est \"x \mapsto \lambda \, \textrm {e} ^x\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\" .<\/p>\n

\"\ast\" Par la m\u00e9thode de variation de la constante, la fonction \"x \mapsto \lambda(x) \, \textrm {e} ^x\" est solution de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle ssi
\n\"\forall \, x \in \mathbb{R}, \; \lambda '(x) \, \textrm {e} ^x = f_0(x)\"
\n\"\Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R},\; \lambda '(x) = f_0(x) \, \textrm {e} ^{-x}\" \"\Leftrightarrow \exists \, \mu \in \mathbb{R} ,\forall \, x \in \mathbb{R},\" \"\quad \quad \quad \; \lambda(x) = \int_ 0 ^x f_0(t) \,\textrm {e} ^{- t } \, \textrm{d} \, t + \mu \"
\nSoit \"H(x) = \textrm{e} ^x\, \int_ 0 ^x f_0(t) \, \textrm {e} ^{- t } \, \textrm{d} \, t\", \"H\" est une solution particuli\u00e8re de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle.<\/p>\n

\"\ast\" La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation \"y' = y + f_0\" est donn\u00e9e par \"x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^x + H(x)\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\" .
\nEt comme on cherche la solution \"G\" telle que \"G(0) = 0\", on obtient \"\lambda = 0\" et \"\forall \, x \in \mathbb{R}, \; G(x) = \textrm{e} ^x\, \int_ 0 ^x f_0(t) \, \textrm {e} ^{- t } \textrm{d} \, t\" .
\nDonc \"\forall \, x \in \mathbb{R},\; S(x) = f_0(x) + \textrm{e} ^x\, \int_ 0 ^x f_0(t)\, \textrm {e} ^{- t } \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

6. Recherche d’un \u00e9quivalent en une borne de l’intervalle<\/h2>\n

Exercice 10 (Zeta)\u00a0 🧡<\/b>
\nSoit si \"x > 1,\; \zeta(x) = \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{\infty} \frac 1 {n ^x}\".
\nMontrer que \"\displaystyle \zeta(x) - 1 \underset {x \to +\infty} \sim \frac 1 {2 ^x}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 10 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\displaystyle \zeta(x) - 1 = \sum_{ n = 2} ^{+\infty} \frac 1 {n ^x} = \frac 1 {2 ^x} \sum_{ n = 2} ^{+\infty} v_n(x)\" o\u00f9 \"\displaystyle v_n(x) = \frac {2 ^x} {n ^x}\"
\nOn note \"\displaystyle T(x) = \sum_{ n = 2} ^{+\infty} v_n(x)\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \lim _{n \to +\infty} v_2(x) = 1\" et \"\displaystyle \forall n > 2, \lim _{n \to +\infty} v_n(x) = 0\".
\n\"\ast\" Si \"n \geq 2\" et \"x \geq 2\", \"0 \leq v_n(x) \leq v_n(2)\" car la fonction \"v_n\" est d\u00e9croissante sur \"[2 , + \infty[\".
\ndonc \"\displaystyle \Vert v_n \Vert _{\infty , \, [2 , + \infty[} \leq v_n(2)\" qui est le terme g\u00e9n\u00e9ral d’une s\u00e9rie convergente.<\/p>\n

\"\ast\" Par le th\u00e9or\u00e8me de la double limite, \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} T(x) = 1\", on a donc prouv\u00e9 que \"\zeta(x) - 1 \underset {x \to +\infty} \sim \displaystyle \frac 1 {2 ^x}\".<\/p>\n

Un bon niveau en Maths s’acquiert par des r\u00e9visions de cours mais aussi par des entra\u00eenements sur des exercices de cours. Testez-vous et v\u00e9rifiez vos connaissances sur les cours en ligne et les exercices corrig\u00e9s de Maths Sp\u00e9 suivants :<\/p>\n