{"id":38536,"date":"2019-11-13T13:11:52","date_gmt":"2019-11-13T12:11:52","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=38536"},"modified":"2022-07-08T16:36:58","modified_gmt":"2022-07-08T15:36:58","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-integration-intervalle-quelconque-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-integration-intervalle-quelconque-spe\/","title":{"rendered":"Int\u00e9gration sur un intervalle quelconque : exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Int\u00e9gration sur un intervalle quelconque en Maths Sp\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Exercices et corrig\u00e9s sur Int\u00e9gration sur un intervalle quelconque<\/h2>\n

1. Convergence d’int\u00e9grales<\/h2>\n
\n

Exercice 1<\/b>
\nMontrer que \"f \, : \, t \mapsto {\ln(\cos t) }\" est int\u00e9grable sur \"[0 ,\, \pi/2[\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" est continue sur \"[0 , \, \pi/2[\".
\nOn utilise\u00a0 \"\displaystyle \sqrt {\frac {\pi} 2 -t } \underset {t \to \pi/2} \sim \sqrt {\sin \left (\frac {\pi} 2 - t \right ) }\"\u00a0 \"\displaystyle \sqrt {\frac {\pi} 2 -t } f(t) \underset {t \to \pi/2} \sim \sqrt {\cos(t)}\, \ln(\cos(t))\".
\n\"\displaystyle \lim _{t\to \pi/2} \,\sqrt{\pi/2 - t} \; f(t) = 0\"\u00a0 en utilisant \"\displaystyle \lim_{u\to 0} \sqrt{u} \, \ln(u) = 0\" donc \"\quad \quad \quad \displaystyle f(t) \underset {t \to \pi/2} { = } \textrm{0} \left ( \frac 1 {\sqrt{\pi/2 - t}} \right )\".
\nLa fonction \"\displaystyle t \mapsto \frac 1 {\sqrt{\pi/2 - t}}\" est int\u00e9grable sur \"[0 ,\, \pi/2[\", \"f\" est int\u00e9grable sur \"[0 , \, \pi/2[\" par domination.<\/div>\n
<\/div>\n

Exercice 2<\/b>
\n\u00c9tude de l’int\u00e9grabilit\u00e9 selon le r\u00e9el \"a\" de \"\displaystyle f\, : \, \mapsto \frac {a +\textrm{Arctan}(t)} {1 + t}\" sur \"[0 , + \infty[\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" est continue sur \"[0 , + \infty[\" . Au voisinage de \"+\infty\",
\n\"\displaystyle f(t)= \frac {a + \pi/2 - \textrm{Arctan} (1/t)} {t(1 + 1/t)}\"
\n\"\displaystyle f(t) \underset {t \to +\infty} { = } \frac 1 t \, \left ( \frac {\pi} 2 + a - \frac 1 t + \textrm{o} \left ( \frac 1 t \right ) \right ) \,\"
\n\"\displaystyle \times \, \left ( 1 - \frac 1 t + \textrm{o} \left ( \frac 1 t \right ) \right )\"
\n\"\displaystyle f(t) \underset {t \to \infty} { = } \frac 1 t \left ( \frac {\pi} 2 + a - \frac {1 + a + \pi/ 2} t + \textrm{o} \left (\frac 1 t \right ) \right)\"
\n\"\displaystyle f(t) \underset {t \to \infty} { = } \frac {\pi+ 2a} {2t} - \frac {1 + a + \pi/ 2} {t ^2} + \textrm{o} \left (\frac 1 {t^2} \right )\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"a \neq - \pi/2\" , \"\displaystyle f(t) \underset {t \to +\infty} { \sim } \frac {\lambda } {t}\"
\ndonc \"f\" est du signe de \"\lambda\" au voisinage de \"+\infty\" et comme \"\displaystyle t \mapsto \frac {\lambda } {t}\" n’est pas int\u00e9grable sur \"[1 , \, +\infty[\", \"f\" n’est pas int\u00e9grable sur \"[1 , \, +\infty[\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"a = - \pi/2\", \"\displaystyle \vert f(t) \vert \underset {t \to \infty} { \sim } \frac 1 {t^2}\" donc par comparaison par \u00e9quivalence, \"f\" est int\u00e9grable sur \"[1 , \, +\infty[\", donc \"f\" est int\u00e9grable sur \"[0 , \, +\infty[\".<\/p>\n

Exercice 3
\n<\/b>Montrer que \"\displaystyle f\, :\, t \mapsto \frac {\sqrt{ - \ln(t)}} {t^a}\" est int\u00e9grable sur \"]0 , \,1/2]\" ssi \"a < 1\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f\" est continue sur \"]0 , \, 1/2]\".
\n\"\bullet\" Si \"a < 1\", soit \"\gamma = (1 + a)/2\", \"\displaystyle \lim _{t\to 0} \, t^{\gamma} \, f(t) = \lim _{t\to 0} \, t^{(1 - a )/2 } {(- \ln(t))^{1/2} } = 0\" car \"1 -a > 0\" donc \"\displaystyle f(t) \underset {t \to 0} { = } \textrm{0} \left ( \frac 1 {t ^{\gamma}} \right )\". La fonction \"\displaystyle t \mapsto \frac 1 {t^{\gamma}}\" est int\u00e9grable sur \"]0 ,\, 1]\", donc, par domination, \"f\" est int\u00e9grable sur \"]0 , \, 1/2]\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a \geq 1\", pour \"t \in \;]0 ,\, \textrm {e} ^{ - 1} ] , - \ln(t) \geq 1\" et \"f(t)\geq 1/t^a\" ;\u00a0 par minoration par une fonction non int\u00e9grable sur \"]0 , 1/2]\", \"f\" n’est pas int\u00e9grable sur \"]0 , 1/2]\".<\/p>\n

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2. D’autres convergences et aussi des calculs d’int\u00e9grales<\/strong><\/h2>\n

Exercice 4<\/b>
\nConvergence de \"\quad \quad \quad \displaystyle \int_0^{+\infty} \ln \left ( 1 + \frac {\sin(t)} {t } \right ) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" La fonction \"g\" : \"\displaystyle t \mapsto \frac {\sin(t)} {t }\" et \"0 \mapsto 1\" est continue sur \"[0 , + \infty[\".
\nSi \"t \in \; ]0 , \pi], \; t + \sin(t) > 0\" , si \"t > \pi , \; t + \sin(t) > \pi\, -\, 1 > 0\".
\nDonc pour tout \"t > 0,\; t + \sin(t) > 0\", alors \"f(t)\" est d\u00e9finie.
\nLa fonction \"f : t \mapsto \ln(1 + g(t))\" est continue sur \"[0 , + \infty [\".<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant le d\u00e9veloppement limit\u00e9 de \"\ln(1 + u)\" \u00e0 l\u2032ordre 2 au voisinage de \"0\" (\"g\" tend vers \"0\" en \"+\infty\"),
\n\"\displaystyle f(t) \underset {t \to +\infty}{ = } g(t) - \frac {g^2(t) } 2 + \textrm {o} (g^2(t))\"<\/p>\n

On a donc \u00e9crit \"f(t) = g(t) - h(t)\" avec \"\displaystyle h(t) \underset {t \to +\infty}{ = } \frac {g^2(t) } 2 + \textrm {o} (g^2(t))\"\"\displaystyle h(t) \underset {t \to +\infty}{ \sim } \frac {g^2(t) } 2\".
\nOn sait (exercice classique) que l’int\u00e9grale \"\int_1^{+\infty} g(t) \, \textrm{d} \, t\" converge.
\nComme \"\displaystyle g^2(t) \leq \frac 1 {t^2}\;\", \"g^2\" est int\u00e9grable sur \"[1 , +\infty[\", alors \"h\" l’est aussi, donc l’int\u00e9grale \"\int _1 ^{+\infty} h(t) \, \textrm {d} \, t\" converge.
\nOn en d\u00e9duit par diff\u00e9rence de deux int\u00e9grales<\/a> convergentes que l’int\u00e9grale \"\int_1^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \, t\" converge.
\nDonc l’int\u00e9grale \"\int_0^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \, t\" converge.<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nConvergence et calcul de \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \int_0 ^1 \frac {\ln(t)} {\sqrt{1 - t}} \,\textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 5 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"\displaystyle f\, :\, t \mapsto \frac {\ln(t)} {\sqrt{1 - t}}\", \"f\" est continue sur \"]0 ,_, 1[\".
\n\"\ast\" \"f(t) \underset {t \to 0} \sim \ln(t)\", \"t \mapsto \ln(t)\" est int\u00e9grable sur \"]0 , \,1]\", donc \"f\" est int\u00e9grable sur \"]0 , \, 1/2]\" par comparaison par \u00e9quivalence de fonctions<\/a> \u00e0 valeurs n\u00e9gatives ou nulles.
\n\"\ast\" \"\displaystyle f(t) \underset {t \to 1} \sim \frac {t - 1} {\sqrt{1 - t}} \underset {t \to 1} \sim - {\sqrt{1 - t}}\", comme \"f\" admet 0 pour limite en 1, on prolonge \"f\" par continuit\u00e9 en 1 en posant \"f (1) = 0\" et \"f\" est int\u00e9grable sur \"[1/2 ,\, 1]\" comme fonction continue.
\nOn a prouv\u00e9 que \"f\" est int\u00e9grable sur \"]0 , \, 1[\".<\/p>\n

\"\bullet\" La fonction
\n\"\varphi \, :\; ]0 , \, 1[ \rightarrow ]0 , \, 1[\", \"u \mapsto 1 - u^2\"
\nest une bijection strictement d\u00e9croissante et de classe \"C^1\" et la fonction \"f\" est int\u00e9grable sur \"]0 ,\, 1[\". Par le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable<\/a>,
\n\"\displaystyle I = \int_0 ^1 \frac {\ln(t)} {\sqrt{1 - t}} \,\textrm{d} \, t\"\u00a0\"\displaystyle I = \int_0 ^1 \frac {\ln(1 - u^2 )} {\sqrt{u^2 }} \vert - 2 u \vert \,\textrm{d} \, u\"
\n\"I = 2 \int_0 ^1 {\ln(1 - u^2 )} \,\textrm{d} \, u\"
\nen utilisant \"\quad \ln(1 - u^2 ) = \ln(1 - u ) + \ln(1 + u )\"
\net \"t \mapsto t \ln(t) - t\" est une primitive de \"t \mapsto \ln(t)\",
\ndonc \"u \mapsto - (1 - u) \ln(1 - u ) - u\" est une primitive sur \"[0 ,\, 1[\" de \"u \mapsto \ln(1 - u)\"
\net \"u \mapsto (1 + u) \ln(1 + u ) - u\" est une primitive sur \"[0 , \,1]\"\u00a0 de \"u \mapsto \ln(1 +u )\"
\n\"I = 2 \left [ - (1 - u) \ln(1 - u) \right] _0 ^1\"
\n\"+2 \left [ (1 + u) \ln(1 + u) - 2\, u \right] _0^1\"
\ndonc \"I = 4 \,\ln(2) - 4\"
\ncar \"\displaystyle \lim _{u \to 1} (1 - u) \ln(1 - u) = 0\".<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nConvergence et valeur de \"\quad \quad \quad \displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 6 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

La fonction \"\displaystyle f : t \mapsto \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\" est continue, positive et paire.
\n\"\displaystyle f(t) \underset {t \to +\infty} \sim \frac {\textrm{e} ^t /2} {\textrm{e} ^{2t} /2} \underset {t \to +\infty} \sim {\textrm{e} ^{- t}}\", donc par comparaison par \u00e9quivalence \u00e0 une fonction int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^+\", \"f\" l’est aussi.
\nPar parit\u00e9, \"f\" est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"2\, \textrm{ch} (2 t) = \textrm {e }^{2 t} + \textrm {e} ^{- 2 t} = (\textrm {e} ^{t} - \textrm {e} ^{ - t}) ^2 + 2\"
\ndonc \"\textrm{ch} (2 t)= 2 \, \textrm{sh}^2 ( t) + 1\" .
\nOn doit donc calculer \"I = \displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {2\, \textrm{sh}^2 (t) + 1}\, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

La fonction \"\varphi : t \mapsto \textrm{sh} (t)\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"\mathbb{R}\" de classe \"C^1\" strictement croissante et la fonction
\ncontinue \"t \mapsto \displaystyle \frac 1 {2 t ^2 + 1}\" est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}\".
\nOn remarque que
\n\"\displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\, \textrm{d} \, t = \displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\varphi'(t)} {2 \varphi^2(t) + 1 } \, \textrm{d} \, t\"
\nOn applique le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable,
\n\"\displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\, \textrm{d} \, t = \displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {1} {2 u^2 + 1 } \, \textrm{d} \, u\".
\ndonc \"\displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\, \textrm{d} \, t = \left [ \frac { \textrm {Arctan} \left (\sqrt {2} \; u \right )} {\sqrt{2}} \right] _ { - \infty} ^{+ \infty}\"<\/p>\n

\"\displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\, \textrm{d} \, t = \frac {\pi} {\sqrt{2}}\".<\/p>\n

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 <\/p>\n

3. Comparaison d’une int\u00e9grale avec une s\u00e9rie<\/strong><\/h2>\n

Exercice 7<\/b>
\nSi \"f\" est continue par morceaux sur \"\mathbb{R }^+,\" d\u00e9croissante et \u00e0 valeurs positives ou nulles, lorsque \"f\" est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R }^+ ,\" encadrer \u00e0 l’aide de deux int\u00e9grales \"\displaystyle \sum _{k = n+1}^{+\infty} f(k).\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 7 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Comme \"f\" est d\u00e9croissante, \"\forall \, k \in \mathbb{N} ,\; \forall\, t \in [k ,\, k + 1] ,\" \"\quad \quad \quad f(k + 1) \leq f(t) \leq f(k)\".
\nEn int\u00e9grant sur \"[k ,\, k + 1]\", on obtient :
\n\"\quad \quad f(k + 1) \leq \int_k^{k + 1} f(t) \, \textrm {d} \, t \leq f(k)\".
\nDonc si \"k \geq 1\", \"\quad \int_k^{k + 1} f(t) \, \textrm {d} \, t \leq f(k) \leq \int_{k - 1}^{k} f(t) \, \textrm {d} \, t\".
\npuis en sommant si \"n + 1 \leq k \leq N\", par la relation de Chasles :
\n\"\displaystyle \int_{n + 1} ^{N + 1} f(t) \, \textrm {d} \, t \leq \sum _{k = n + 1} ^N f(k) \leq \int_{n }^{N} f(t) \, \textrm {d} \, t\".
\nOn peut passer \u00e0 la limite lorsque \"N\" tend vers \"+\infty\", puisque l’int\u00e9grale et la s\u00e9rie convergent, et on obtient :
\n\"\displaystyle \int_{n + 1} ^{+\infty} f(t) \, \textrm {d} \, t \leq \sum _{k = n + 1} ^{+\infty} f(k)\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \leq \int_{n }^{+\infty} f(t) \, \textrm {d} \, t\".👍\u00a0\u00a0On note \"F(n) = \int_n^{+\infty} f(t)\, \textrm{d} \, t\".<\/div>\n

Lorsque \"\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac {F(n + 1)} {F(n)} = 1\", une division par \"F(n) > 0\" de l’encadrement pr\u00e9c\u00e9dent permet de dire que le reste \"R_n\" est \u00e9quivalent<\/a> \u00e0 \"F(n)\".
\nC’est le cas par exemple pour \"\displaystyle f : t \mapsto \frac 1 {t ^\alpha}\" pour \"\alpha > 1\".<\/p>\n

Exercice 8 <\/b>MinesPonts PSI 2017.
\nSoit \"f\" une fonction de classe \"C^1\" de \"]0 , + \infty[\" dans \"\mathbb{C}\".
\nQuestion 1\u00a0<\/i>
\nMontrer que pour tout \"n \in \mathbb{N}^*,\" \"\int_n ^{n + 1} f(t) \, \textrm{d} \, t =\"
\n\"\quad \quad \quad f(n) + \int _n ^{n + 1} (n + 1 - t ) f'(t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nOn suppose que \"f'\" est int\u00e9grable sur \"[1,+\infty[\".
\nMontrer que la s\u00e9rie \"\sum f(n)\" converge si, et seulement si, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\int _n^{n + 1} f(t ) \, \textrm{d} \, t\" converge.<\/p>\n

Question 3<\/i>
\nMontrer que la s\u00e9rie \"\displaystyle \sum \frac {\sin(\ln(n))} n\" et l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac {\sin(\ln(t))} t \, \textrm{d} \, t\" sont de m\u00eame nature.
\nConclure.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 8 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

Par int\u00e9gration par parties en utilisant les fonctions \"f\" et \"h\,: \, t \mapsto t - (n + 1)\" qui sont de classe \"C^1\" sur \"[1 , +\infty[\",
\n\"\displaystyle \int_n ^{n + 1} f(t) \, \textrm{d} \, t = \left [ (t - n - 1) f(t) \right ]_n ^{n + 1}\"
\n\"\displaystyle - \int _n ^{n + 1} (t - n - 1) f'(t) \, \textrm{d} \, t\"
\nsoit\u00a0\u00a0\"\int_n ^{n + 1} f(t) \, \textrm{d} \, t = f(n) \, +\"
\n\"\int _n ^{n + 1} (n + 1 - t ) f'(t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v _n = \int _n ^{n + 1} (n + 1 - t ) f'(t) \, \textrm{d} \, t\" v\u00e9rifie \"\vert v_n \vert \leq \int _n ^{n + 1} \vert f'(t) \vert \, \textrm{d} \, t\" donc est absolument convergente car pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", les sommes partielles de la s\u00e9rie \u00e0 termes positifs \"\vert v_n \vert\" sont major\u00e9es par \"\int_1 ^{+\infty} \vert f'(t) \vert \, \textrm{d} \, t\".
\nEn \u00e9crivant que \"\int_n^{n + 1} f(t) \, \textrm{d} \, t = f(n) + v_n\,\", on en d\u00e9duit que \"\sum f(n)\" converge ssi \"\quad \quad \quad \quad \sum \int_n^{n + 1} f(t ) \, \textrm{d} \, t\" converge.<\/p>\n

Question 3 :<\/p>\n

La fonction \"\displaystyle f : t \mapsto \frac {\sin(\ln(t)} t\" est de classe \"C^1\" sur \"]0 , +\infty[\" et \"\displaystyle f'(t) = \frac {\cos(\ln(t)} {t^2} - \frac {\sin(\ln(t)} {t^2}\" v\u00e9rifie \"\displaystyle \vert f '(t) \vert \leq \frac 2 {t^2}\",
\ndonc \"f'\" est int\u00e9grable sur \"[1 , +\infty[\".
\nOn peut donc utiliser la question a).
\n\"\sum f(n)\" converge ssi la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"I_n = \int_1 ^{n} f(t) \, \textrm {d} \, t\" converge.On note \"F(x) = \int_{1} ^x f(t) \, \textrm {d} \, t\" et \"n\" la partie enti\u00e8re de \"x\",
\n\"\vert F(x) - F(n) \vert \leq \int_n ^{n + 1} \vert f(t)\vert \, \textrm {d} \, t\"
\n\"\displaystyle \vert F(x) - F(n) \vert \leq \int_n ^{n + 1} \frac 1 t \, \textrm {d}\, t\leq \frac 1 n\".
\nOn en d\u00e9duit que \"F\" a une limite finie en \"+\infty\" ssi la suite \"(F(n))_n\" converge.Pour \"x > 1, F(x) = \left [ - \cos(\ln(t)) \right ]_1 ^x\" \"F(x) = 1 - \cos (\ln(x))\".
\nOn note \"a_n = \textrm{e} ^{2 n \pi}\" et \"b_n = \textrm{e} ^{(2 n + 1) \pi}\", \"F(a_n) = 0\" et \"F(b_n) = 2\", les suites<\/a> \"(a_n)_n\" et \"(b_n)_n\" divergent vers \"+\infty\" et les suites constantes \"(F(a_n))_n\" et \"(F(b_n))_n\" convergent vers des limites diff\u00e9rentes, donc \"F\" n’a pas de limite en \"+\infty\".
\nComme l’int\u00e9grale diverge, la s\u00e9rie est divergente.<\/div>\n

4. Fonctions d\u00e9finies par une int\u00e9grale<\/h2>\n

Exercice 9 <\/b>Mines Ponts 2017 MP
\nSoit \"f(x) = \int_x^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t\" .<\/p>\n

Question 1<\/i>
\nJustifier l’existence de \"f(x)\" pour tout r\u00e9el \"x\", trouver sa limite en \"+ \infty\", sa d\u00e9riv\u00e9e, un \u00e9quivalent en \"+ \infty\".<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nMontrer que \"f\" est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^ +\" et calculer son int\u00e9grale.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

La fonction \"g : t \mapsto \textrm{e} ^{ - t ^2}\" est continue sur \"\mathbb{R}\" et v\u00e9rifie \"\quad \quad \forall\, t \geq 1, \; 0 \leq g(t) \leq \textrm{e} ^{ - t }\",
\ndonc \"g\" est int\u00e9grable sur \"[1 , + \infty[\", et alors \"g\" est int\u00e9grable sur \"[x ,+ \infty[\" pour tout r\u00e9el \"x\".
\nEn \u00e9crivant \"f(x) = f(0) - \int_0^{x} \textrm{e} ^{ - t ^2} \textrm{d} \, t\", on obtient :\u00a0 \"f\" est de classe \"C ^1\" sur \"\mathbb{R}\" et \"\quad \quad \quad f '(x) = - g(x) = - \textrm{e} ^{ - x^2}\".
\nEn utilisant cette relation, \"f\" admet \"0\" pour limite en \"+ \infty\".<\/p>\n

On \u00e9crit si \"x > 0\", \"\quad \quad \quad \displaystyle f(x) = \int_x^{+\infty} \frac 1 t \, . \, t \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

Les fonctions \"u : t \mapsto \frac 1 t\" et \"v : t \mapsto - \frac 1 2 \textrm{e} ^{ - t ^2}\" sont de classe \"C^1\" sur \"[x , + \infty[\", \"u\, v\" admet \"\displaystyle \frac {- 1} {2\, x} \textrm{e} ^{ - x^2}\" pour limite en \"x\" et \"0\" pour limite en \"+ \infty\", par le th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration par parties,
\n\"f(x) = \displaystyle \frac 1 {2 x} \textrm{e} ^{- x^2} - \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2 \, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

\"\displaystyle \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2\, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t = \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2 \, t^3 } ( t \, \textrm{e} ^{ - t ^2}) \, \textrm{d} \, t\"
\nSi \"t \geq x , \; 1/t^3 \leq 1/x^3\",
\n\"\displaystyle \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2\, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t \leq \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2 \,x^3 } ( t \, \textrm{e} ^{ - t ^2}) \, \textrm{d} \, t\"
\n\"\displaystyle \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2 \, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t \leq \frac 1 {2\, x^3 } \left [ - \frac 1 2 \, \textrm{e} ^{ - t ^2} \right] _ x ^{+\infty}\"
\n\"\quad \displaystyle 0 \leq \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2\, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t \leq \frac {\textrm{e} ^{ - x^2} } {4 \, x^3}\"
\ndonc \"\displaystyle \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2\, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t \underset {x\to +\infty} { = } \textrm{o} \left ( \frac 1 {2 \, x} \textrm{e} ^{- x^2} \right )\"
\npuis \"f(x) \displaystyle \underset {x\to +\infty} { = } \frac 1 {2 x} \textrm{e} ^{- x^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x} \textrm{e} ^{- x^2} \right )\"
\net \"f(x) \displaystyle \underset {x\to +\infty} { \sim } \frac 1 {2 x} \textrm{e} ^{- x^2}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

La fonction \"f\" est continue et \u00e9quivalente en \"+\infty\" \u00e0 une fonction int\u00e9grable car\u00a0 \"\displaystyle \quad \quad \forall \, x \geq 1, \; 0 \leq \frac 1 {2 x} \textrm{e} ^{- x^2}\leq \textrm{e} ^{ - x}\".
\nPar int\u00e9gration par parties, les fonctions \"f\" et \"g : t \mapsto t\" \u00e9tant de classe \"C^1\" , la fonction \"f\, g'\" est int\u00e9grable sur \"]0 , + \infty[\", \"\displaystyle \lim_{x\to 0} xf(x) = 0\" et \"\displaystyle \lim_{x\to +\infty} xf(x) = 0\", en utilisant l’ \u00e9quivalent de \"f\" obtenu en b),
\n\"\displaystyle \int _0^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \,t = \left [ t f(t) \right ] _0^{+\infty} - \int _0^{+\infty} t f' (t) \, \textrm{d} \,t\"
\n\"\displaystyle \int _0^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \,t = \int _0^{+\infty} \textrm{e}^{- t^2 } \, \textrm{d} \,t = \frac { \sqrt{\pi }} 2\".<\/p>\n

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