{"id":38554,"date":"2019-11-13T14:15:22","date_gmt":"2019-11-13T13:15:22","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=38554"},"modified":"2022-07-08T16:45:40","modified_gmt":"2022-07-08T15:45:40","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-series-entieres-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-series-entieres-spe\/","title":{"rendered":"S\u00e9ries enti\u00e8res : exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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S\u00e9ries enti\u00e8res en MP, PC, PSI, PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Exercices et corrig\u00e9s – S\u00e9ries enti\u00e8res<\/h2>\n

1. D\u00e9termination de rayons de convergence<\/h2>\n
\n

Exercice 1<\/b>
\nD\u00e9terminer le rayon de convergence \"R\" de \"\sum a_n \, x^n\" o\u00f9 \"a_n = \displaystyle \left ( 1 + \frac 1 {\sqrt {n}} \right )^n\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :<\/p>\n

Si \"b_n = \displaystyle n \ln \left ( 1 + \frac 1 {\sqrt {n}} \right )\",
\n\"\displaystyle b_n \underset {n \to + \infty }{ = } n \left ( \frac 1 {\sqrt {n}} - \frac 1 {2 n}+ \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right ) \right )\" ,
\n\"\displaystyle b_n \underset {n \to + \infty }{ = } {\sqrt {n}} - \frac 1 {2 }+ \textrm{ o} (1)\",<\/p>\n

\"a _n \underset {n \to + \infty }{ = } \textrm {e} ^{\sqrt {n}} \; \textrm {e} ^{ - 1/2} \; \textrm {e} ^ {\textrm{o} (1)}\" \"a_ n \underset {n \to + \infty }{ \sim } \textrm {e} ^{ - 1/2} \; c_n\" o\u00f9 \"c_n = \textrm e^{\sqrt{n} }\"
\n(on a utilis\u00e9 \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty } \textrm{e} ^{-1/2 + \textrm{ o}(1)} = \textrm{e}^{- 1/2} > 0\").<\/p>\n

\"\sqrt{n+1} - \sqrt{n}= \displaystyle \frac 1 {\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\" admet 0 pour limite, donc \"\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac {c_{n + 1}} {c_{n}} = 1\",
\n\"\displaystyle \lim _ {n \to + \infty } \Bigg \vert \frac {c_{n + 1}\, x^{n + 1} } {c_n \, x^n } \; \; \; \Bigg \vert = \vert x \vert\"
\n\"\sum c_n \, x^n\" converge si \"\vert x \vert < 1\" et diverge si \"\vert x \vert > 1\", le rayon de convergence de \"\sum c_n \, x^n\" est \u00e9gal \u00e0 \"1\", par \u00e9quivalence, le rayon de convergence de \"\sum a_n \, x^n\" est \u00e9gal \u00e0 \"1\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nSi pour \"n \in\mathbb{N}^*\", \"d(n)\" est la somme des carr\u00e9s des diviseurs de \"n\", le rayon de convergence\u00a0 \"R\" de \"\sum d(n) \, x^n\" v\u00e9rifie<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

L’ensemble des diviseurs de \"n\" est inclus dans \"\{1 , \, \cdots \, , n\}\".
\n\"1 \leq d(n) \leq 1^2 + 2^2 +\, \cdots \, + n^2\", donc \"\displaystyle 1 \leq d(n) \leq \frac {n(n + 1)(2 n + 1)} 6\".<\/p>\n

Si \"b_n = \displaystyle \frac {n(n + 1)(2 n + 1)} 6\" , \"\displaystyle b_n \underset {n \to +\infty} \sim \frac {n ^3} 3\", le rayon de convergence de \"\sum n ^3 \, x^n\" est \u00e9gal \u00e0 1 (utilisation tr\u00e8s simple de la r\u00e8gle de d’Alembert), donc le rayon de convergence de \"\sum b_n\, x^n\" est \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

Gr\u00e2ce \u00e0 l’encadrement de \"d(n)\" \u00e0 l’aide des termes g\u00e9n\u00e9raux de deux s\u00e9ries de rayon \u00e9gal \u00e0 1, le rayon de convergence de \"\sum d(n) \, x^n\" est \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

Exercice 3 <\/b>Mines Ponts MP 2017
\nLe rayon de convergence \"R\" de \"\sum p_n \, x^n\" o\u00f9 \"p_n\" est le produit des chiffres de \"n\" v\u00e9rifie<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" On note \"\displaystyle \varphi(n) = \sum_{k =0} ^n 10 ^k\" ; \"p_{\varphi(n)} = 1\".
\nSoit \"r > 0\", la suite \"(p_{\varphi(n)} \, r ^{\varphi(n)})_n\" est born\u00e9e ssi \"r \leq 1\". Si la suite \"(p_n \, r^n)_n\" est born\u00e9e, il en est de m\u00eame de toute suite extraite, alors \"r \leq 1\", donc \"R \leq 1\".<\/p>\n

\"\ast\" Soit \"n \in \mathbb{N}^*\", on introduit \"k \in \mathbb{N}\" tel que \"10 ^k \leq n < 10 ^{k + 1}\", alors \"0 \leq p_n \leq 9^{k + 1}\" (cas o\u00f9 \"n\" est form\u00e9 de \"k + 1\" chiffres \"9\")
\n\"10 ^k \leq n < 10 ^{k + 1}\" \"\quad \quad \Rightarrow k \ln(10) \leq \ln(n) < (k + 1) \ln(10)\" \"\quad \quad \Rightarrow \displaystyle k \leq\frac { \ln(n)} { \ln(10) }\".
\nEn notant \"r_n = 9 . \, 9^{\ln(n) / \ln(10)}\", on a donc prouv\u00e9 que \"0 \leq p_n \leq r_n \,\".<\/p>\n

On forme : \"\displaystyle \frac {r_ {n + 1} } {r_n} = 9 ^{\alpha_n }\" avec \"\quad \alpha_ n =\displaystyle \frac {\ln(n + 1) - \ln(n)} { \ln(10)} = \frac {\ln(1 + 1/n)} { \ln(10)}\" tend vers \"0\", donc \"\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac {r_ {n + 1} } {r_n} = 1\", \"\displaystyle \lim _ {n \to + \infty } \Bigg \vert \frac {r_{n + 1}\, x^{n + 1} } {r_n \, x^n } \; \; \; \Bigg \vert = \vert x \vert\".
\nLa s\u00e9rie converge si \"\vert x \vert < 1\" et diverge si \"\vert x \vert > 1\", le rayon de convergence de \"\sum r_n \, x^n\" est \u00e9gal \u00e0 1, alors le rayon de convergence de \"\sum p_n \, x^n\" est sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

\"\ast\" \"\ast\" Par double in\u00e9galit\u00e9, \"R' = 1\".<\/p>\n

Exercice 4<\/b>\u00a0Mines Ponts 2018
\nJustifier l’existence de \"\displaystyle u_n = \int_0^{+\infty} \frac {\textrm{e}^{-t}} {(1 + t)^n} \, \textrm {d} \, t\" et trouver le rayon de convergence de \"\sum u_n\, x^n\,\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Existence de\u00a0<\/b>\"u_n\"
\n\"\displaystyle f_n : t \mapsto \frac {\textrm{e}^{-t}} {(1 + t)^n}\" est continue sur \"\mathbb{R}^+\" et v\u00e9rifie \"\forall \, t \geq 0, \, 0 \leq f_n(t) \leq \textrm{e}^{- t}\" , donc \"f_n\" est int\u00e9grable par domination par une fonction int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Deux changements de variable<\/b>
\n\"\ast\" On fait un premier changement de variable<\/a> :
\n\"\varphi : [1,\, +\infty[ \to [0 ,\, +\infty[, u \mapsto 1 +u\" est une bijection de classe \"C^1\" strictement croissante :
\n\"u_n = \displaystyle \int_1^{+\infty} \frac {\textrm{e}^{-u +1 }} {u^n} \; \textrm {d} \, u\" \"\displaystyle u_n = \textrm{e}^{1 } \int_1^{+\infty} \frac {\textrm{e}^{-u }} {u^n} \, \textrm {d} \, u\".<\/p>\n

\"\ast\" Puis un deuxi\u00e8me changement de variable :
\n\"\quad \varphi : [1,\, +\infty[ \to [1 ,\, +\infty[, v \mapsto v ^{1/n}\"
\nest une bijection de classe \"C^1\" strictement croissante :
\n\"u_n = \displaystyle \textrm{e} \int_1^{+\infty} {\textrm{e}^{-v ^{1/n} }} \frac 1 {v} \, \frac 1 n \, v ^{1/n - 1} \, \textrm {d} \, v\".
\n\"u_n = \displaystyle \frac {\textrm{e}} n I_n\" avec \"I_n = \displaystyle \int_1^{+\infty} {\textrm{e}^{-v ^{1/n} }} \frac 1 {v^2 } \, v ^{1/n } \, \textrm {d} \, v\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Recherche d’un \u00e9quivalent<\/a><\/b>\u00a0de \"I_n\"
\nOn cherche maintenant \u00e0 utiliser le th\u00e9or\u00e8me de convergence domin\u00e9e :
\nSoit \"\displaystyle g_n : v \mapsto \textrm{e}^{-v ^{1/n} } \frac {v ^{1/n }\, } {v^2 }\".
\n\"\ast\" \"g_n\" est continue sur \"[1 , +\infty[\".
\n\"\ast\" la suite \"(g_n)_n\" converge simplement sur \"[1 , +\infty[\" vers la fonction continue \"g : v \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e}^{-v }} {v^2 }\".
\n\"\ast\" Pour tout \"n \geq 1\" et \"v \geq 1\", \"\quad \quad \displaystyle 0 \leq g_n(v)\leq \frac {\textrm{e}^{-v }} {v^2 } v \leq {\textrm{e}^{-v }}\".
\nLa fonction \"v \mapsto {\textrm{e}^{-v }}\" est int\u00e9grable sur \"[1 , +\infty[\".
\nDonc par le th\u00e9or\u00e8me de convergence domin\u00e9e,\u00a0\"\displaystyle \lim_{n \to\infty} I_n = \int_1^{+\infty} \frac {\textrm{e}^{-v }} {v^2 } \, \textrm {d} \, v\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Conclusion\u00a0<\/b>
\nOn note \"I = \displaystyle \int_1^{+\infty} \frac {\textrm{e}^{-v }} {v^2 } \, \textrm {d} \, v\,\".
\n\"I > 0\" (on int\u00e8gre une fonction continue positive et diff\u00e9rente de la fonction nulle).
\nAlors \"u_n \displaystyle \underset {n \to +\infty } \sim \frac {\textrm{e}\, I} n\", le rayon de convergence de \"\sum u_n \, x^n\" est \u00e9gal au rayon de convergence de \"\sum x^n /n\" soit \u00e9gal \u00e0 \"1\".<\/p>\n

👍 : Soit \"a \in \{0 , 1\}\" et \"b\in \{1 , +\infty\}\".
\nEn pr\u00e9sence d’une int\u00e9grale<\/a> convergente \"a_n = \int_a ^b f( t^n) \, \textrm {d} \, t\", le changement de variable \"\varphi : u \mapsto u ^{1/n}\" permet (apr\u00e8s justification pr\u00e9cise) d’\u00e9crire \"\quad \quad u_n = \displaystyle \frac 1 n \int _a ^b f ( u) \, u ^{1/n - 1} \, \textrm {d} \, t\".
\nLorsque \"\displaystyle u \mapsto \frac {f(u)} {u}\" est int\u00e9grable sur l’intervalle de bornes \"a\" et \"b\", le th\u00e9or\u00e8me de convergence domin\u00e9e permet de montrer que \"\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int _a ^b f ( u)\, u ^{1/n - 1} \, \textrm {d} \, u= \int _a ^b \frac {f ( u)} u \, \textrm {d} \, u\"<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n<\/div>\n

2. Exercices sur les calculs de sommes de s\u00e9ries<\/strong><\/h2>\n

Exercice 5<\/b>
\nConvergence et valeur de\u00a0\"\quad S(x) = \displaystyle \sum _{n = 0} ^{+\infty} \frac {2 n ^2 +4 n - 1} {n!} \, x^n\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 5 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" Le rayon de convergence est \u00e9gal \u00e0 \"+\infty\" car \"\quad \displaystyle a_n \underset {n \to +\infty} \sim \frac {2\, n ^2} {n !} \underset {n \to +\infty} \sim \frac {2\, n(n - 1) } {n !}\"
\net \"\displaystyle \sum\frac {n(n - 1) x^n } {n!}\" a m\u00eame rayon de convergence que \"\displaystyle \sum \frac {x^n} {n!} \,\".<\/p>\n

\"\ast\" On cherche les r\u00e9els \"a,\, b\" et \"c\" tels que
\n\"\; 2\, \textrm{X} ^2 + 4\, \textrm{X} - 1 = a \, \textrm{X}(\textrm{X}- 1) + b \, \textrm{X}+ c \,\".
\nEn comparant les coefficients de \"\textrm{X} ^2\", on obtient : \"a = 2\".
\nPuis en prenant les valeurs en \"0\" et \"1\", on obtient :
\n\"\quad c = - 1,\, c + b = 5 \Leftrightarrow c = - 1, \, b = 6\".<\/p>\n

Comme toutes les s\u00e9ries introduites convergent :
\n\"S(x)= \displaystyle \sum _{n = 0} ^{+\infty}\frac {2 n(n - 1)} {n!} x^n + 6 \sum _{n = 0} ^{+\infty} \frac n {n!} x^n\"
\n\"\displaystyle - \sum _{n = 0} ^{+\infty}\frac 1 {n!} x^n\"
\nEn supprimant les termes nuls :
\n\"S(x)= \displaystyle \sum _{n = 2} ^{+\infty}\frac {2 n(n - 1)} {n!} x^n + 6 \sum _{n = 1} ^{+\infty} \frac n {n!} x^n\"
\n\"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \, \sum _{n = 0} ^{+\infty}\frac 1 {n!} x^n\"
\non peut ensuite simplifier :
\n\"S(x)= \displaystyle \sum _{n = 2} ^{+\infty}\frac {2 } {(n-2)!} x^n\"
\n\"\quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \sum _{n = 1} ^{+\infty} \frac 6 {(n - 1)!} x^n -\, \textrm{e} ^x\"
\npuis par changement d’indices
\n\"S(x)= 2\, x^2 \displaystyle \sum _{p = 0} ^{+\infty}\frac {1 } {p!} x^p\" \"\quad \quad \quad \displaystyle + \, 6 \, x \sum _{p = 0} ^{+\infty} \frac 1 {p!} x^p - \, \textrm{e} ^x\"
\n\"S(x) = (2 x^2 + 6 x - 1) \, \textrm{e} ^{x} \,\".<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nConvergence et valeur de\u00a0\"\quad \quad S(x) = \displaystyle \sum_{n = 4} ^{\infty} \frac 4 {(n - 3)(n + 1)} x^n\" .<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 6\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Le rayon de convergence est \u00e9gal \u00e0 1 et la s\u00e9rie est absolument convergente en \"\pm \, 1\".<\/p>\n

\"\displaystyle \frac 4 {(n - 3)(n + 1)} = \frac 1 {n - 3} - \frac 1 {n + 1}\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Calcul de \"S(x)\" si \"x \in\; ] - 1 , 1[\".<\/b>
\nLes deux s\u00e9ries \u00e9tant convergentes :
\n\"\quad \quad \displaystyle S(x) = \sum _{n = 4}^{+\infty} \frac {x^n} { n - 3} - \sum _{n = 4}^{+\infty} \frac {x^n} {n + 1}\".
\nPar changement d’indices (\"p = n - 3\" et \"q = n + 1\") :
\n\"\quad \quad \displaystyle S(x) = \sum _{p = 1}^{+\infty} \frac {x^{p + 3}} {p} - \sum _{q = 5}^{+\infty} \frac {x^{q - 1} } {q}\, \".<\/p>\n

\"\ast\" \"S(0) = 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour \"x \neq 0\",
\n\"\displaystyle S(x) = x ^3\sum _{p = 1}^{+\infty} \frac {x^{p}} {p} - \frac 1 x \sum _{q = 5}^{+\infty} \frac {x^{q} } {q}\"
\n\"\displaystyle S(x) = - x ^3 \ln(1 - x) + \frac {\ln(1 - x)} x \"
\n\"\displaystyle + \frac 1 x \left (x + \frac {x^2} 2 + \frac {x^3} 3 + \frac {x^4} 4 \right )\"
\n\"\displaystyle S(x) = - x ^3 \ln(1 - x) + \frac {\ln(1 - x)} x \, + P(x)\" avec \"\displaystyle P(x) = 1 + \frac {x} 2 + \frac {x^2} 3 + \frac {x^3} 4\".<\/p>\n

\"\bullet\" Calcul de \"S( 1)\" et \"S(-1)\".<\/b><\/p>\n

La s\u00e9rie de fonctions<\/a> continues de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n : x \mapsto \displaystyle a_n \, x^n\" converge normalement sur \"[ - 1 , 1]\" car \"\Vert u_n \Vert _ {\infty, [- 1 , 1]} = a_n\"\u00a0 o\u00f9 \"\sum a_n\" converge, donc la somme \"S\" est continue sur \"[ - 1 ,\, 1]\".
\n\"\displaystyle S(x) = \frac {(1 - x^4) \ln(1 - x)} {x} + P(x) \",
\nla relation \"\quad (1 - x^4) = (1 + x + x^2 + x^3)(1 - x)\"
\ndonne \"\displaystyle \lim_{x \to 1} (1 - x^4) \ln(1 - x) = 0\".
\n\"\Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 1} S(x) = 1 + \frac 1 2 +\frac 1 3 + \frac 1 4 = \frac {25} {12}\,\".
\nPar continuit\u00e9 de \"S\" en \"1\" :\u00a0 \"S(1) = \displaystyle \frac {25} {12}\,\".
\n\"\displaystyle \lim_{x \to - 1} S(x) = \frac 7 {12} \Rightarrow \displaystyle S(-1) = \frac 7 {12}\" par continuit\u00e9 de \"S\" en \"-1\".<\/p>\n

Exercice 7 <\/b>CCP PSI 2017
\nConvergence et somme de la s\u00e9rie enti\u00e8re \"\sum a_n x^n\" avec \"a_n = n ^{(-1)^n}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 7 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Rayon de convergence.<\/b>
\n\"a_{2n} = 2 n\" et \"a_{2 n + 1} = \displaystyle \frac 1 {2 n + 1}\,\".
\nPour tout \"n \in \mathbb{N}^*, \; 1 \leq a_n \leq n\,\".
\nLes rayons de convergence \"R'\" et \"R''\" des s\u00e9ries \"\sum x^n\" et \"\sum n \, x^n\" v\u00e9rifient \"R' = R'' =\"1, alors \"R\" = 1 car \"R'' \leq R \leq R'\".
\nLa s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n \, x^n\" diverge grossi\u00e8rement en \"\pm\, 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Calcul de la somme.<\/b>
\nSi \"x \in\; ]- 1 ,\, 1[\", les s\u00e9ries \"\sum 2 n \, x^{2 n}\" et \"\sum \displaystyle \frac 1 {2 n + 1} \, x^{2 n + 1}\" \u00e9tant convergentes, on peut \u00e9crire\u00a0\"S(x) = \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{+\infty} a_n \, x^n\" :
\n\"\displaystyle S(x) =\sum_{n = 1} ^{+\infty} 2 n \, x^{2 n} +\sum _{n = 0} ^{+\infty} \frac 1 {2 n + 1} \, x^{2 n + 1}\"<\/p>\n

\"\ast\" En utilisant : \"\quad \forall \, t \in \; ] - 1 ,\, 1[,\; \displaystyle \sum _ {n = 1}^ {+\infty} n \, t ^{n - 1} = \frac 1 {( 1 - t)^2}\"
\n\"\displaystyle g(x) =\sum_{n = 1} ^{+\infty} 2 n \, x^{2 n} = \frac {2\, x^2 } {(1 - x^2)^2} \,\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\displaystyle h(x) =\sum _{n = 0} ^{+\infty} \frac 1 {2 n + 1} \, x^{2 n + 1}\,\",
\npar d\u00e9rivation,
\n\"\displaystyle h'(x) =\sum _{n = 0} ^{+\infty} \, x^{2 n }= \frac 1 {1 - x^2}\" \"\displaystyle h'(x) = \frac 1{2(1 - x)} + \frac 1 {2(1 + x)}\"
\ndonc il existe un r\u00e9el \"c\" tel que
\n\"\displaystyle \forall \, x \in\; ] - 1 , \, 1[, \; h(x) = \frac 1 2 \ln \left (\frac {1 + x} {1 - x} \right ) +c\"
\nComme \"h(0) = 0\", \"c = 0\".
\nAlors pour tout \"x \in \; ] - 1 , \, 1[\",\u00a0 \"\quad \quad \displaystyle f(x) = \frac {2\, x^2} {(1 - x^2)^2} + \frac 1 2 \ln \left( \frac {1 + x} {1 - x} \right )\, \".<\/p>\n

Tous les chapitres \u00e0 conna\u00eetre et \u00e0 ma\u00eetriser parfaitement pour r\u00e9ussir aux concours des meilleures \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs sont disponibles gratuitement gr\u00e2ce aux cours en ligne de Maths en PSI<\/a>, aux cours en ligne de MP en Maths<\/a> et aux cours en ligne de PC en Maths<\/a>.<\/p>\n

3. Exercices sur les D\u00e9veloppement en s\u00e9rie enti\u00e8re de fonctions<\/strong><\/h2>\n

Exercice 8<\/b>
\nD\u00e9terminer le DSE de \"\quad \quad f : x \mapsto \textrm{Arctan}(x + 1)\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 8 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"f\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" et
\n\"\quad \quad \quad f'(x) = \displaystyle \frac 1 {(x + 1)^2 + 1}\".
\nOn pose \"a = 1 + \, \textrm{i}\" et \"b = 1 - \, \textrm{i}\".
\n\"(x + 1)^2 + 1 = (x + a) (x + b)\"
\npuis on cherche \"\alpha\" et \"\beta\" tels que
\n\"\quad \quad \displaystyle f'(x) = \frac {\alpha } {x + a} + \frac {\beta } {x + b} \,\".
\nOn obtient facilement \"\quad \quad \alpha +\beta = 0 ,\; \alpha \, b +\beta\, a = 1\"
\n\"\Leftrightarrow \quad \alpha +\beta = 0 ,\; \textrm{i}(\beta -\alpha) = 1\"
\nce qui donne \"\alpha = - \beta = \textrm{i} /2\".<\/p>\n

\"\bullet\" On transforme \"f'(x)\" de fa\u00e7on \u00e0 utiliser la s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique.
\n\"\displaystyle f'(x) = \frac {\textrm{i} } 2 \left (\frac 1 {x + a} - \frac 1 {x + b} \right )\".
\n\"\displaystyle f'(x) = \frac {\textrm{i} } 2 \left (\frac 1 {a(1 + x /a)} - \frac 1 {b(1 + x /b)} \right )\"<\/p>\n

Si \"\vert x \vert \leq \sqrt {2}\", alors \"\vert x / a \vert < 1\" et \"\vert x / b\vert < 1\", on peut utiliser le DSE de \"u \mapsto \displaystyle \frac 1 {1 + u} \,\" :
\n\"\displaystyle f'(x) = \frac {\textrm{i} } 2 \sum _{n = 0} ^{+\infty} \left ( \frac 1 a \left ( - \frac x {a}\right ) ^n - \frac 1 b \left ( - \frac x {b}\right ) ^n \right )\"
\n\"\displaystyle f'(x) =\sum _{n = 0} ^{+ \infty} u_n \, x^n\"
\no\u00f9 \"\displaystyle u_n = \frac { - \textrm{i} } 2 \, \left ( \left ( \frac {-1} {a}\right ) ^{n + 1} - \left ( \frac {-1} {b} \right ) ^{n + 1} \right )\"<\/p>\n

\"\bullet\" Un peu de calculs dans les complexes pour simplifier l’expression de \"u_n\" :
\n\"\displaystyle \frac {- 1} a = \frac {- 1 + \textrm{i}} 2 = \frac {\textrm {e} ^{3 \, \textrm {i} \, \pi/4}} {\sqrt{2}}\"
\net \"\displaystyle \frac {- 1} b = \frac {- 1 - \textrm{i}} 2 = \frac {\textrm {e} ^{-3 \, \textrm {i} \, \pi/4}} {\sqrt{2}}\"
\n\"\displaystyle u_n = \frac {- \textrm{i} } 2 \times \frac 1 {2^{(n + 1)/2 }} \; \; \; \; \times\" \"\quad \displaystyle \times \left ( {\textrm {e} ^{3 \, (n + 1) \, \textrm {i} \, \pi/4}} - {\textrm {e} ^{- 3 \, (n + 1) \, \textrm {i} \, \pi/4}} \right )\"
\n\"\displaystyle u_n = \frac {\sin(3(n + 1) \pi / 4)} {2 ^{(n + 1)/2} }\".<\/p>\n

\"\bullet\" Par int\u00e9gration d’une s\u00e9rie enti\u00e8re sur l’intervalle<\/a> ouvert de convergence, sans oublier le terme \"f(0)\",
\n\"\displaystyle f(x) = f(0) + \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac {u_n } {n + 1} \, x^{n + 1}\"
\nsoit \"\displaystyle f(x) = \frac \pi 4 + \sum_{p = 1}^{+\infty} v_p\, x^{p}\"
\navec \"\displaystyle v_p = \frac {u_{p - 1} } {p} = \frac {\sin(3\, p \, \pi / 4)} {p\; 2 ^{p/2}}\,\".<\/p>\n

👍 Les calculs sont nettement plus simples si l’on garde les notations \"a\" et \"b\" plut\u00f4t que \"1 + \textrm{i}\" et \"1 - \textrm{i}\".
\nAviez vous bien termin\u00e9 les calculs, c’est-\u00e0-dire donn\u00e9 des coefficients de la s\u00e9rie enti\u00e8re visiblement r\u00e9els, puisque \"f\" est \u00e0 valeurs r\u00e9elles ?<\/p>\n

Exercice 9<\/b>
\nMontrer que \"f : x \mapsto \textrm{e} ^{\textrm{Arcsin} (x)}\" est DSE et donner ce DSE.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 9 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Recherche d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/a><\/b>
\n\"f\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"]- 1 ,\, 1[\".
\n\"f'(x) = \displaystyle\frac 1 {\sqrt {1 - x^2} } \, f(x)\"
\n\"f''(x) = \displaystyle\frac x {(1 - x^2)^{3/2} } \; f(x) + \frac 1 {1 - x^2} \, f(x)\"
\n\"(1 - x^2) f''(x) = \displaystyle \frac x {\sqrt {1 - x^2} } \, f(x) + f(x)\"<\/p>\n

soit \"(1 - x^2) f''(x) = x \, f'(x) + f(x)\".
\nDe plus \"f(0) = 1\" et \"f'(0) = 1\".<\/p>\n

\"f\" est la seule solution sur \"] - 1 , 1[\" de \"(1 - x^2) \, y'' - x \, y' - y = 0\" telle que \"y(0) = y'(0) = 1\" (cons\u00e9quence du th\u00e9or\u00e8me de Cauchy-Lipschitz, \u00e0 admettre si n\u00e9cessaire en d\u00e9but d’ann\u00e9e).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Recherche d’une solution DSE de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle\u00a0<\/b>
\nOn cherche une suite \"(a_n)_n\" telle que \"\sum a_n \, x^n\" ait un rayon de convergence \"R\" non nul et la fonction d\u00e9finie sur \"]- R , \,R[\" par \"\displaystyle g(x) = \sum _{n = 0} ^{+\infty} a_n \, x^n\" soit solution de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"\quad \quad (1 - x^2) \, y'' - x \, y' - y = 0\"
\net v\u00e9rifie \"g(0) = 1\" et \"g'(0) = 1\".
\n\"\ast\" Si \"x \in\; ] - R , \, R[,\" \"\; \displaystyle g'(x) = \sum _{n = 1} ^{+\infty} n\, a_n \, x^{n - 1}\", \"\displaystyle g''(x) = \sum _{n = 2} ^{+\infty} n (n - 1) a_n \, x^{n - 2}\"
\nSoit pour \"x \in \; ]-R , \, R[\", \"A(x) = (1 - x^2) \, g''(x) - x \, g'(x) - g(x)\".
\n\"A(x) = \displaystyle \sum _{n = 2} ^{+\infty} n (n - 1)\, a_n \, x^{n - 2}\"
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle - \, \sum _{n = 0} ^{+\infty} n (n - 1) \, a_n \, x^{n}\"
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle -\, \sum _{n = 0} ^{+\infty} n\, a_n \, x^{n} - \sum _{n = 0} ^{+\infty} a_n \, x^n\"
\n\"A(x) = \displaystyle \sum _{n = 2} ^{+\infty} n (n - 1)\, a_n \, x^{n - 2}\"
\n\"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \sum _{n = 0} ^{+\infty} (n^2 + 1) \,a_n \, x^{n}\"
\npuis avec \"p = n - 2\",
\n\"A(x) = \displaystyle \sum _{p = 0} ^{+\infty} (p + 2) (p +1) \,a_{p + 2} \, x^{p}\"
\n\"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \sum _{n = 0} ^{+\infty} (n^2 + 1) \,a_n \, x^{n}\".<\/p>\n

Par unicit\u00e9 du DSE, la condition \"\forall \, x \in\; ] - R , R[, \; A(x) = 0\" est \u00e9quivalente \u00e0 \"\forall \, n \in \mathbb{N},\" \"\quad \quad (n + 2) (n + 1) \,a_{n + 2} = (n^2 + 1) \,a_n\" .
\nOn d\u00e9termine les \"a_n\" en utilisant \"a_0 = a_1 = 1\" en distinguant les cas \"n = 2 p\" et \"n = 2 p + 1\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle a_{2 p} = \frac {4 (p - 1) ^2 + 1} {2 p(2 p - 1)} \, a_{2 p - 2}\" donne
\n\"\quad \quad a _{2 p} =\displaystyle \frac 1 {(2 p)! } \prod _{k = 0} ^{p - 1} (4 k ^2 + 1)\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle a_{2 p + 1 } = \frac {(2 p - 1) ^2 + 1} {2 p(2 p + 1)} \, a_{2 p -1}\" donne
\n\"\;\; a _{2 p +1 } =\displaystyle \frac 1 {(2 p +1 )! } \prod _{k = 0} ^{p - 1} ((2 k - 1)^2 + 1)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On d\u00e9termine le rayon de convergence.\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" si \"x \neq 0\" , \"\displaystyle \lim_{p \to + \infty} \left \vert \frac {a_{2 p + 2} \, x^{2 p + 2} } {a_{2 p }\, x^{2 p} } \; \; \; \; \right \vert = x^2\", \"\sum a_{2 p} \, x^{2 p}\" converge si \"\vert x \vert <1\" et diverge grossi\u00e8rement si \"\vert x \vert >1\".
\n\"\ast\" si \"x \neq 0\" , \"\displaystyle \lim_{p \to + \infty} \left \vert \frac {a_{2 p + 1} \, x^{2 p + 1} } {a_{2 p - 1 }\, x^{2 p - 1 } }\; \; \; \; \; \right \vert = x^2\", \"\sum a_{2 p + 1} \, x^{2 p + 1 }\" converge si \"\vert x \vert <1\" et diverge grossi\u00e8rement si \"\vert x \vert >1\".
\n\"\ast\" Si \"\vert x \vert <1\", les suites \"(a_{2p}\, x^{2p})_p\" et \"(a_{2p+1}\, x^{2p+1})_p\" sont born\u00e9es, donc la suite \"(a_{n}\, x^{n})_n\" est born\u00e9e.
\nSi \"\vert x \vert > 1\", les suites<\/a> \"(a_{2p}\, x^{2p})_p\" et \"(a_{2p+1}\, x^{2p+1})_p\" ne sont pas born\u00e9es, donc la suite \"(a_{n}\, x^{n})_n\" n’est pas born\u00e9e.
\nLe rayon de convergence de \"\sum a_n \, x^n\" est \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Conclusion<\/b>
\nIl existe une unique fonction \"g\" d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re sur \"] - 1 , \,1[\" solution de \"(1 - x^2) y'' - x \, y' + y = 0\" et v\u00e9rifiant \"g(0) = 1\" et \"g'(0) = 1\".
\nLa fonction \"f\" est solution sur \"]-1,\, 1[\" de \"(1 - x^2) y'' - x \, y' + y = 0\" et v\u00e9rifie \"f(0) = 1\" et \"f'(0) = 1\".
\nOn en d\u00e9duit que \"f = g\" sur \"]- 1 , _,1[\", donc \"f\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re et \"\forall\, x \in ]-1 , \, 1[,\; \displaystyle f(x) = \sum _{n = 0} ^{+\infty} a_n \, x^n\" avec
\n\"a _{2 p} =\displaystyle \frac 1 {(2 p)! } \prod _{k = 0} ^{p - 1} (4 k ^2 + 1)\"
\net \"a _{2 p +1 } =\displaystyle \frac 1 {(2 p +1 )! } \prod _{k = 0} ^{p - 1} ((2 k - 1)^2 + 1)\".<\/p>\n

Exercice 10 Int\u00e9grale de Poisson\u00a0\u00a0🧡<\/b>
\nQuestion 1<\/i>
\nSoit \"t \in \mathbb{R} \setminus \pi \mathbb{Z}\". Montrer que \"x \mapsto \ln(x^2 - 2\, x\, \cos t + 1)\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\". La d\u00e9velopper en s\u00e9rie enti\u00e8re.<\/a>
\nMontrer que le r\u00e9sultat obtenu est encore valable si \"t = k \pi\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{Z}\".<\/p>\n

Question 2<\/i>
\nSoit \"a \in \; ]0 ,\, \pi]\". D\u00e9velopper en s\u00e9rie enti\u00e8re \"g_a \, : \; ]- 1 , \, 1[\; \rightarrow \mathbb{R} ,\" \"\displaystyle \quad x \mapsto \int_{0} ^ {a} \ln(x^2 - 2\, x\, \cos t + 1) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 10 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

\"\bullet\" \"x^2 - 2 \, x\, \cos (t) + 1\" a un discriminant \u00e9gal \u00e0 \"- 4 \, \sin^2 (t) < 0\" donc est \u00e0 valeurs strictement positives.
\n\"f '(x) = \displaystyle \frac {2 \,x - 2 \cos(t)} {x^2 - 2\, x\, \cos t + 1 }\"
\n\"x^2 - 2 \, x \cos t + 1 = (x - \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} ) (x - \textrm{e} ^{ -\textrm{i} \, t} )\".<\/p>\n

\"\ast\" En d\u00e9composant en \u00e9l\u00e9ments simples,
\n\"f'(x) = \displaystyle \frac 1 { x - \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} } + \frac 1 {x - \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, t}}\"
\n\"f'(x) = \displaystyle - \frac {\textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, t}} { 1 - x \, \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, t} } - \frac {\textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t}} {1 - x \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t}}\" .<\/p>\n

\"\ast\" En utilisant le DSE de \"1/(1 - u)\", lorsque \"\vert x \vert < 1\",
\n\"f'(x) = \displaystyle - {\textrm{e} ^{- \textrm{i} \, t}} \sum _ {n = 0} ^{+\infty} x ^n \, \textrm{e} ^{- \, \textrm{i} \, n \, t}\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \; {\textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t}} \sum _ {n = 0} ^{+\infty} x ^n \, \textrm{e} ^{ \, \textrm{i} \, n \, t}\".
\n\"= \displaystyle - \sum _ {n = 0} ^{+\infty} x ^n \, \left ( \textrm{e} ^{- \, \textrm{i} \, (n+1) \, t} + \textrm{e} ^{ \, \textrm{i} \, (n+1) \, t} \right )\"
\n\"\quad \quad \displaystyle f'(x) = - 2 \sum_{n = 0} ^{+\infty} \cos((n + 1) \, t) \, x^n\".<\/p>\n

\"\ast\" Alors il existe \"a \in \mathbb{R}\" tel que\u00a0 pour tout \"x \in\, ] - 1, \, 1[\",
\n\"f(x) =\displaystyle - 2 \sum _{n = 0} ^{+ \infty} \frac {\cos((n + 1)\, t)} {n + 1} \, x^{n + 1} + a\"
\ncomme \"f(0) = 0\", \"a = 0\" donc
\n\"\quad \quad \quad f(x) =\displaystyle - 2 \sum _{n = 1} ^{+ \infty} \frac {\cos(n \, t)} {n } \, x^{n }\".<\/p>\n

\"\bullet\" Lorsque \"t = 2\, k\, \pi\", \"f(x) = 2 \ln(1 - x)\" , la relation obtenue est encore vraie.<\/p>\n

\"\bullet\" Lorsque \"t =\pi + 2\, k\, \pi\", \"f(x) = 2 \ln(1 + x)\", la relation obtenue est encore vraie car \"\cos(n\, t) = ( - 1)^n\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit que pour tout r\u00e9el \"t\" et tout \"x \in \; ] - 1 , \, 1 [\", \"f(x) = \displaystyle \sum _{n = 1} ^{+ \infty} \frac {- 2 \cos(n \, t)} {n } \, x^{n }\".<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

On \u00e9crit pour \"t\in \, [0 , \pi]\",\u00a0 \"f(t) = \ln(x^2 - 2\, x\, \cos t + 1) = \displaystyle \sum _ {n = 0} ^{+\infty} u_n(t)\" avec \"u_n(t) = \displaystyle \frac { - 2 \cos(n \, t)} {n } \, x^{n }\"
\n\"u_n\" est continue sur \"[0 , \,a] \subset [0 , \, \pi]\" et \"\quad \quad \quad \Vert u_n\Vert _{\infty , [0 ,\, \pi]} \leq \vert x \vert ^n \,\".
\n\"\sum \vert x \vert ^n\" converge car \"x \in\; ] - 1 , 1[\", donc\u00a0 \"\sum u_n\"\u00a0 converge normalement sur \"[0 ,\, a]\", ce qui permet d’intervertir le signe \"\sum\" et l’int\u00e9grale sur \"[0 , \, a]\" :
\n\"g_a(x) = \displaystyle \sum _{n = 1} ^{+\infty} \int_0 ^a u_n(t) \, \textrm {d} \, t\" \"\displaystyle g_a(x) = \sum_{n = 1} ^{+\infty} \left [ \frac {- 2 \sin(n\,t) } n \, x^n \right ] _{t =0 }^{t = a }\"\u00a0 \u00a0\"\displaystyle g_a(x) = \sum_{n = 1} ^{+\infty} \frac {- 2 \sin(n\, a)}{n^2 } \, x^n\".
\nEn particulier si \"a = \pi\", \"\sin(n \, \pi) = 0\", donc \"\displaystyle \int_{0} ^ {\pi} \ln(x^2 - 2\, x \cos t + 1) \, \textrm{d} \, t = 0\".<\/div>\n

⚠️ Il\u00a0 fallait faire attention \u00e0 la variable d’int\u00e9gration \"t\", il ne s’agissait pas d’int\u00e9grer terme \u00e0 terme la somme d’une s\u00e9rie enti\u00e8re !<\/p>\n

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 <\/p>\n

4. Fonctions \u00e0 d\u00e9riv\u00e9es positives<\/h2>\n

Exercice 11 : Mines PSI 2017.\u00a0<\/strong>
\nSoit \"a > 0\" et \"f\" une fonction de classe \"C ^{\infty}\" sur \"[0,\, a[\" dont toutes les d\u00e9riv\u00e9es successives sont positives.
\nQuestion 1
\n<\/b>Soit \"n \in \mathbb{N}\". On note \"R_n(x)\" le reste int\u00e9gral de la formule de Taylor \u00e9crite \u00e0 l’ordre \"n\" pour \"f\" entre \"0\" et \"x\".
\nMontrer que la fonction \"x \mapsto \displaystyle \frac {R_n(x)} {x^{n + 1}}\" est croissante sur \"]0 , \, a[\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nEn d\u00e9duire que \"f\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re sur \"[0, \,a[\".<\/p>\n

Question 3\u00a0<\/b>\u00a0Application
\nMontrer que la fonction \"\tan\" est DSE sur \"\left ] - \displaystyle \frac \pi 2 , \, \frac \pi 2 \right [\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 11 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

\"\ast\" Par la formule de Taylor avec reste int\u00e9gral, \"f(x) = S_n(x) + R_n(x)\"\u00a0 o\u00f9
\n\"S_n(x) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k)} (0)} {k!} \, x^k\" et
\n\"R_n(x) = \displaystyle \int_0^x \frac {(x - t) ^n} {n !} \, f ^{( n+ 1) } (t) \, \textrm {d} \, t\".
\nEn utilisant le changement de variable de classe \"C^1\" d\u00e9fini par :\u00a0 \"\varphi : u \mapsto u \, x\",<\/p>\n

\"R_n(x) = \displaystyle \int_{0} ^{1} \frac {x^n (1 - t)^n } {n!} f^{(n+1) } (x\,u) \, x \, \textrm{d} \, u\"<\/p>\n

\"\; \; \; = \displaystyle x^{n + 1} \int_{0} ^{1} \frac {(1 - t)^n } {n!} f^{(n+1) } (x\,u) \, \textrm{d} \, u\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"u \in [0 ,\, 1]\" et \"0 < x < y < a\", \"0 \leq u\, x \leq u \, y < a\", la fonction \"f ^{(n + 1)}\" \u00e9tant croissante sur \"[0 , \, a[\",
\n\"\quad \quad \quad f ^{(n + 1)}(u \, x) \leq f ^{(n + 1)}(u \, y)\",<\/p>\n

on multiplie par \"(1 - u) ^n \geq 0\" et on int\u00e8gre sur \"[0 , \, 1]\" :
\n\"\displaystyle \int_{0} ^{1} \frac {(1 - u)^n } {n!} f^{(n) } (x\,u) \, \textrm{d} \, u\"
\n\"\displaystyle \leq \int_{0} ^{1} \frac {(1 - u)^n } {n!} f^{(n) } (y\, u) \, \textrm{d} \, u\"
\nsoit \"\displaystyle \frac {R_n(x)} {x^{n + 1}} \leq \frac {R_n(y)} {y^{n + 1}}\,\".\"\ast\"\"\ast\" La fonction \"\displaystyle \varphi\, : \, x \mapsto \frac {R_n(x)} {x^{n + 1}}\" est croissante sur \"]0 , \, a[\".<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

Soit \"b \in \; ]0 ,\, a[\" et \"x \in\; [0 ,\, b[\" , alors \"\varphi(x) \leq \varphi(b)\", donc \"\displaystyle R_n(x) \leq R_n(b) \left (\frac x b \right ) ^n\".
\nPuis comme \"R_n(b) \leq f(b)\" car \"S_n(b) \geq 0\" \"\quad \quad \quad \displaystyle 0 \leq R_n(x) \leq f(b) \left (\frac x b \right ) ^n\".
\nComme \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left (\frac x b \right ) ^n = 0\", par encadrement, \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} R_n(x) = 0\".
\nOn a prouv\u00e9 que \"f(x) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_n(x)\" .<\/p>\n

\"f\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re sur \"[0 , \, a[\".<\/p>\n

Question 3 :<\/p>\n

La fonction \"f = \tan\" est de classe \"C^{\infty}\" sur \"I = [0 , \, \pi/2[\" .
\nOn va d\u00e9montrer que \"f ^{(n)}\" est \u00e0 valeurs positives sur \"I\".
\nOn note \"H_n\" : \"f^{(n)}(x) = P_n(\tan(x))\" o\u00f9 \"P_n\" est une fonction polyn\u00f4me \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{N}\".
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour \"n = 0\" avec \"P_0 = 1\"
\nOn suppose qu’elle est vraie au rang \"n\".
\nPour \"x \in I,\" \"\; f ^{(n + 1)} (x) = P'_n(\tan(x)) \, (1 + \tan^2 (x))\"
\n\"f ^{(n + 1)} (x) = P_{n + 1} (\tan(x))\" o\u00f9\u00a0 \"P_{n+ 1} = (1 + \textrm{X}^2)\, P'_n\" est un polyn\u00f4me \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\forall \, x \in I, \; f ^{(n)} (x) \geq 0\".<\/p>\n

Par application de la deuxi\u00e8me question,\"\tan\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re sur \"[0 , \, \pi/2[\".
\nPar parit\u00e9, la relation obtenue est alors valable sur \"]- \pi/2 , \, \pi/2[\".<\/p>\n

Les sujets de concours post-pr\u00e9pa font appel \u00e0 l’ensemble des notions de math\u00e9matiques de Maths Sp\u00e9, une connaissance parfaite de tous les chapitres du programme est donc requise. Pour vous aider voici une partie des chapitres \u00e0 conna\u00eetre par c\u0153ur :<\/p>\n