{"id":38770,"date":"2019-11-19T15:26:36","date_gmt":"2019-11-19T14:26:36","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=38770"},"modified":"2022-07-08T16:58:01","modified_gmt":"2022-07-08T15:58:01","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-denombrements-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-denombrements-spe\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s sur D\u00e9nombrements en MP, PC, PSI et PT"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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D\u00e9nombrements en MP, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corriges<\/a><\/p>\n

Exercices et corrig\u00e9s – D\u00e9nombrements<\/h2>\n

1. Ensembles d\u00e9nombrables<\/h2>\n

Exercice 1 :<\/strong><\/p>\n

Soit \"f\" une fonction<\/a> croissante de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\". Montrer que l’ensemble des points de discontinuit\u00e9 de \"f\" est au plus d\u00e9nombrable.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :<\/strong><\/p>\n

Soit \"A\" l’ensemble des points de discontinuit\u00e9 de \"f\".
\nEn tout point \"a \in A\", \"f\" admet une limite \u00e0 gauche \"f (a - 0)\" et une limite \u00e0 droite \"f(a + 0)\" telles que \"f(a - 0) < f(a + 0)\".
\n\"\mathbb{Q}\" \u00e9tant dense dans \"\mathbb{R}\", il existe \"r \in \mathbb{Q}\" tel que \"f(a - 0) < r < f(a + 0)\".
\nOn d\u00e9finit ainsi une application \"\varphi : A \to \mathbb{Q},\; a \mapsto r\" injective.
\nComme \"\mathbb{Q}\" est d\u00e9nombrable, il existe une bijection \"\psi\" de \"\mathbb{Q}\" sur \"\mathbb{N}\" donc une injection \"\psi \circ \varphi\" de \"A\" dans \"\mathbb{N}\".
\nOn en d\u00e9duit que \"A\" est finie ou d\u00e9nombrable.<\/p>\n

Exercice 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Soit \"E = \{0 , 1\}^{\mathbb{N}}\" l’ensemble des suites<\/a> d’\u00e9l\u00e9ments \u00e9gaux \u00e0 \"0\" ou \"1\".
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\n\"E\" est d\u00e9nombrable ?<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nOn note \"D\" l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"E\" qui sont des \"0\" \u00e0 partir d’un certain rang.
\n\"D\" est d\u00e9nombrable ?<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nL’ensemble \"E'\" des suites p\u00e9riodiques de \"E\" est d\u00e9nombrable ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2 :<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

Si \"E\" \u00e9tait d\u00e9nombrable, il existerait une bijection \"\varphi\" de \"\mathbb{N}\" dans \"E\".
\nOn d\u00e9finit alors la suite \"u = (u_n)_n\" par \"u_n = 0\" si \"\varphi(n)_n = 1\" et \"u_n = 1\" si \"\varphi(n)_n = 0\".
\nOn obtient un \u00e9l\u00e9ment \"u\" de \"E\" et pour tout \"p \in \mathbb{N},\; u_p \neq \varphi_p(p)\", donc la contradiction avec \"\varphi\" bijective.<\/div>\n

Question 2<\/b>
\nOn note \"D'_0 = \{(0 ,\, \cdots \, 0 , \, \cdots )\}\", \"D_0 = \{(\omega_0 , \, 1 ,\, \cdots \, 0 , \, \cdots )\, / \, \omega_0 = 0 \textrm { ou } 1\}\"
\net si \"n \geq 1, \;D_n\" l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"E\"\u00a0 dont le terme d’indice \"n\" est \u00e9gal \u00e0 1, les termes d’indices sup\u00e9rieurs ou \u00e9gaux \u00e0 \"n + 1\" sont des \"0\".
\nL’application \"\varphi_n : D_n \to \{0 , 1\}^{n },\" \"(\omega_k)_{k \in \mathbb{N} } \mapsto (\omega_0 ,\, \cdots \, , \, \omega_{n - 1} )\" est bijective.<\/p>\n

Comme \"\{0 , 1\}^{n}\" est fini, \"D_n\" est fini.
\n\"D\" est la r\u00e9union d\u00e9nombrable des ensembles finis \"D_n\" et de l’ensemble \"D'_0\,\", donc \"D\" est fini ou d\u00e9nombrable.
\n\"D\" contient une famille<\/a> infinie : \"(X_n)_n\"\u00a0 o\u00f9 \"X_n\" est la suite form\u00e9e de \"n\" \"1\" suivis de \"0\".<\/p>\n

Donc \"D\" est d\u00e9nombrable.<\/p>\n

Question 3<\/b><\/p>\n

On note \"\mathcal{P}_n\" l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"E\" p\u00e9riodiques de p\u00e9riode \"n \in \mathbb{N}^*\".
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\", \u00e0 tout \u00e9l\u00e9ment \"x\" de \"\mathcal{P}_n\" on associe l’\u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{N} ^n\" \u00e9gal \u00e0\u00a0 \"(x_0 \, ,\, \cdots \, , \, x_{n - 1} )\".
\nOn d\u00e9finit ainsi une application bijective de \"\mathcal{P}_n\" dans \"\{0 , \, 1\} ^{n}\" car une suite p\u00e9riodique de p\u00e9riode \"n\" est enti\u00e8rement d\u00e9finie par ses \"n\" premiers \u00e9l\u00e9ments.
\n\"\# \mathcal{P}_n = 2^n\"
\n\"E'\" est une r\u00e9union d\u00e9nombrable d’ensembles finis, donc \"E'\" est fini ou d\u00e9nombrable.
\n\"E'\" contient une famille infinie \u00e0 savoir la famille \"(X_n)_n\" o\u00f9 \"X_n\" est la\u00a0 suite p\u00e9riodique de p\u00e9riode \"n\" dont les \"n\" premiers \u00e9l\u00e9ments sont \"1 , \, \cdots\, , \, 1 , \, 0\"
\n(\"n - 1\" \u00e9l\u00e9ments \"1\" suivis de \"0\").
\nDonc \"E'\" est d\u00e9nombrable.<\/p>\n

Exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1<\/b>
\nMontrer que l’ensemble des parties finies de \"\mathbb{N}\" est d\u00e9nombrable.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nL’ensemble des parties de \"\mathbb{N}\" n’est pas d\u00e9nombrable ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note \"\mathcal {P}\" l’ensemble des parties finies non vides de \"\mathbb{N}\".
\nOn note \"\mathcal {P} _ n\" l’ensemble des parties finies de \"\mathbb{N}\" de cardinal \"n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Premi\u00e8re m\u00e9thode
\nOn consid\u00e8re \"\mathcal{P}_n \to \mathbb{N}^n , \{a_1 ,\, \cdots\, , \, a_n\} \mapsto (a_1 ,\, \cdots\, ,\, a_n)\" (les \"a_i\" \u00e9tant rang\u00e9s par ordre strictement croissant).
\n\"\varphi_n\" est une application injective. Donc \"\mathcal{P}_n\" est fini ou d\u00e9nombrable.<\/p>\n

\"\mathcal{P}_n\" n’est pas fini car il contient l’ensemble infini \"\{ [\![k , \, k + n - 1 ]\!] \, / \, k \in \mathbb{N} \}\". donc \"\mathcal{P}_n\" est d\u00e9nombrable.
\nLes ensembles \"\mathcal{P}_n\" forment une partition de \"\mathcal{P}\" et sont d\u00e9nombrables, donc par r\u00e9union d\u00e9nombrable d’ensembles d\u00e9nombrables, \"\mathcal{P}\" est un ensemble d\u00e9nombrable.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Deuxi\u00e8me m\u00e9thode
\nOn note \"\mathcal{Q}_n\" l’ensemble des parties finies de \"\mathbb{N}\" dont le plus grand \u00e9l\u00e9ment est \u00e9gal \u00e0 \"n\".
\nSe donner un \u00e9l\u00e9ment de \"\mathcal{Q}_n\" revient \u00e0 se donner une partie de \"[\![0 , n - 1]\!]\" et \u00e0 lui ajouter l’\u00e9l\u00e9ment \"n\".
\nDonc \"\# \mathcal{Q}_n = 2 ^ n\" (car le nombre de parties de \"[\![0 , n - 1]\!]\" est \u00e9gal \u00e0 \"2^n\").<\/p>\n

Les ensembles \"\mathcal{Q}_n\" forment une partition de \"\mathcal{P}\" et sont finis, donc par r\u00e9union d\u00e9nombrable d’ensembles finis, \"\mathcal{P}\" est un ensemble d\u00e9nombrable ou fini.
\n\"\mathcal{P}\" contient la famille infinie \"(\{n\})_{n \in \mathbb{N}}\" , donc \"\mathcal{P}\" est d\u00e9nombrable.<\/p>\n

Question 2<\/b><\/p>\n

On suppose que l’ensemble \"\mathcal{Q}\" des parties non vides de \"\mathbb{N}\" est d\u00e9nombrable.
\nIl existe donc une application \"\Phi\" de \"\mathbb{N}\" dans \"\mathcal{Q}\" bijective.
\nPour tout \"n \in \mathbb{N}\", on note \"A_n = \Phi(n)\".
\nOn note \"B\" la partie de \"\mathbb{N}\" d\u00e9finie ainsi : \"n \in B \Leftrightarrow n \notin A_n\,\".
\n\"B\" est une partie de \"\mathbb{N}\". Il existe donc \"p \in \mathbb{N}\" tel que \"B = \Phi(p) = A_p\,\".
\nOr si \"p \in A_p \,, \,b \notin B\" et si \"p \notin A_p\, ,\; b \in B\", donc \"B \neq A_p\,\" . On aboutit \u00e0 une contradiction.<\/p>\n

L’ensemble des parties non vides de \"\mathbb{N}\" est non d\u00e9nombrable. Il en est de m\u00eame de l’ensemble des parties de \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

Exercice 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Soit \"(I_a)_{a \in A}\" une famille d’intervalles ouverts non vides et 2 \u00e0 2 disjoints de \"\mathbb{R}\".
\n\"A\" est au plus d\u00e9nombrable ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

En utilisant la densit\u00e9 de \"\mathbb {Q}\", pour tout \"a \in A\", il existe \"r_a \in I_a \cap \mathbb{Q}\".
\nSi \"a \neq b\", \"r_a \neq r_b\" car \"I_a \cap I_b = \varnothing\".
\nOn d\u00e9finit ainsi une injection \"f : A \to \mathbb{Q}\".
\nComme il existe une bijection \"\varphi : \mathbb{Q} \to \mathbb{N}\", \"\varphi \circ f\" est une injection de \"A\" dans \"\mathbb{N}\", alors \"A\" est fini ou d\u00e9nombrable.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. Exercies sur les d\u00e9nombrements en maths sp\u00e9<\/h3>\n

Exercice 5 : <\/b><\/p>\n

On tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de mains contenant 2 as ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 5 :<\/strong><\/p>\n

On choisit 2 as parmi 4 de \"\displaystyle \binom {4} {2} = 6\" fa\u00e7ons.
\nPuis on choisit 3 cartes parmi les \"32 - 4 = 28\" cartes sans as de \"\displaystyle \binom {28} {3} = 3\, 276\" fa\u00e7ons.
\nLe nombre de mains contenant deux as est \u00e9gal \u00e0 \"6 . 3276 = 19\, 656\".<\/p>\n

Exercice 6 : <\/b><\/p>\n

Quel est le nombre de mains de 4 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 dames ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 6 :<\/strong><\/p>\n

On ne peut pas avoir deux rois et trois dames en m\u00eame temps dans une main de 4 cartes.
\nOn note \"R\" l’ensemble des mains contenant 2 Rois et \"D\" l’ensemble des mains contenant 3 dames.<\/p>\n

\"\ast\" \"\# R = 6 . 14 . 27\"
\ncar on choisit 2 rois parmi 4 de \"\displaystyle \binom {4} {2} = 6\" fa\u00e7ons puis 2 cartes parmi les 28 qui restent de \"\displaystyle \binom {28} {2} = 14 . 27\" fa\u00e7ons.<\/p>\n

\"\ast\" \"\# D = 4 . 28\"
\ncar on choisit 3 dames parmi 4 de \"\displaystyle \binom {4} {3} = 4\" fa\u00e7ons puis 1 carte parmi les 28 qui restent de \"28\" fa\u00e7ons.<\/p>\n

\"\# (R \cup D) = \#R + \#D = 2 \, 380\" car \"R \cap D = \varnothing\".<\/p>\n

Aviez-vous pens\u00e9 \u00e0 \u00e9crire que les deux ensembles sont disjoints ?<\/p>\n

Exercice 7 : <\/b><\/p>\n

Quel est le nombre de mains de 4 cartes contenant 2 rois ou 3 tr\u00e8fles d’un jeu de 32 cartes ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 7 :<\/strong><\/p>\n

On peut obtenir une main contenant le roi de tr\u00e8fle.
\nSoit \"R\" l’ensemble des mains contenant \"2\" rois et \"T\" l’ensemble des mains de 4 cartes contenant \"3\" tr\u00e8fles.<\/p>\n

\"\ast\" \"\# R = 6 . 14 . 27\"
\ncar on choisit \"2\" rois parmi \"4\" de \"\displaystyle \binom {4} {2} = 6\" fa\u00e7ons puis \"2\" cartes parmi les \"28\" qui restent de \"\displaystyle \binom {28} {2} = 14 . 27\" fa\u00e7ons.<\/p>\n

\"\ast\" \"\# T = 56 . 24\"
\ncar on choisit \"3\" tr\u00e8fles parmi \"8\" de \"\displaystyle \binom {8} {3} = 56\" fa\u00e7ons puis \"1\" carte parmi les \"24\" qui restent de \"24\" fa\u00e7ons.<\/p>\n

\"\ast\" \"\# R \cap T = 3 . 21\"
\nC’est l’ensemble des mains contenant le roi de tr\u00e8fle, un autre roi et \"2\" autres tr\u00e8fles.
\nOn choisit un roi qui n’est pas de tr\u00e8fle (\"3\" choix), deux tr\u00e8fles diff\u00e9rents du roi de \"\displaystyle \binom {7} {2} = 21\" fa\u00e7ons.<\/p>\n

\"\# (R \cup T) = \# R + \# T - \# (R \cap T)\"
\n\"\#R = 6 . 14 . 27 + 56 . 24 - 3 . 21 = 3 \,549\".<\/p>\n

Exercice 8 : <\/b><\/p>\n

Soit \"E\" un ensemble de cardinal \"n\". Soit \"A\" l’ensemble des parties de \"E\" ayant un nombre pair d’\u00e9l\u00e9ments.
\nD\u00e9terminer \"\# A\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 8 :<\/strong><\/p>\n

On note \"p = \lfloor n / 2 \rfloor\" (la partie enti\u00e8re de \"n/2\").<\/p>\n

Si \"k \in [[0 , \,p]]\", on note \"A_k\" l’ensemble des parties de \"E\" \u00e0 \"2 \,k\" \u00e9l\u00e9ments.
\nLa famille \"(A_k)_{0 \leq k \leq p}\" forme une partition de \"A\".
\nDonc \"\displaystyle \# A = \sum _{k = 0} ^p \# A_k = \sum _ {k = 0} ^{p} {\binom {n} {2 \,k}}\"
\n\"\#A = 2 ^{n - 1}\" (pour le calcul de la somme, voir l’exercice 3 du \u00a72.4. dans la partie m\u00e9thodes).<\/p>\n

Exercice 9<\/b>
\nSoient \"a,\, b\" et \"n\" trois entiers naturels non nuls avec \"n \leq a + b\".
\nEn utilisant un raisonnement de d\u00e9nombrement, d\u00e9montrer la formule de Vandermonde :
\n\"\displaystyle \binom {a+b} {n} = \sum_{ k = \max(0 , n - b)}^{\min(a , \,n)}\binom {a} {k} \, \binom {b} {n- k}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 9 :<\/strong><\/p>\n

Soient \"A = [[1 ,\, a]]\" et \"B = [[ a + 1 , \, b + a]]\".
\n\"A\" et \"B\" sont disjoints et ont respective- ment \"a\" et \"b\" \u00e9l\u00e9ments. \"E = A \cup B = [[1 , \, a + b]]\".
\n\"\bullet\" On note \"\mathcal{P}_n(E)\" l’ensemble des parties de \"E\" ayant \"n\" \u00e9l\u00e9ments. \"\quad \quad \quad \displaystyle \# \mathcal{P}_n(E) = \binom {a + b} {n}\".<\/p>\n

\"\bullet\" On note \"E_k\" l’ensemble des parties de \"E\" form\u00e9es de \"k\" \u00e9l\u00e9ments dans \"A\" et \"n - k\" dans \"B\".
\nL’ensemble \"E_k\" est non vide
\nssi \"0 \leq k \leq a\" et \"0 \leq n - k \leq b\"
\nssi \"k \geq 0 \textrm{ et } k \geq n - b , \; k \leq a \textrm{ et } k \leq n\".
\nLes ensembles (\"E_k) _{\max(0 , \, n - b) \leq k \leq \min(a , \, n)}\" forment une partition de \"\mathcal{P}_n(E)\".
\n\"\#E_k = \displaystyle \binom {a} {k} \, \binom {b} {n - k}\" car on doit choisir \"k\" \u00e9l\u00e9ments parmi \"a\" et \"n - k\" \u00e9l\u00e9ments parmi \"b\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \# \mathcal{P}_n(E) = \sum _ {k = \max(0 , n - b)} ^{\min(a , n)} \# \,E_k\"
\nsoit \"\displaystyle \binom {a+b} {n} = \sum_{ k = \max(0 , n -b)}^{\min(a , n)}\binom {a} {k} \, \binom {b} {n- k}\".<\/p>\n

D’autres chapitres de math\u00e9matiques peuvent \u00eatre r\u00e9vis\u00e9s par les \u00e9tudiants en CPGE, en se rendant sur les pages de cours en ligne de Maths en Maths Sp\u00e9. Sont accessibles, les cours en ligne de Maths en PC<\/a>, la page de cours en ligne de Maths en MP<\/a> et la page de cours en ligne de Maths en PSI<\/a>.<\/p>\n

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. Exercices sur les les surjections en maths sp\u00e9<\/h2>\n

Exercice 10 :<\/strong><\/p>\n

Si \"N \in \mathbb{N}^*\", on note \"E_N = [\![1 , \, N]\!]\".
\nSoient \"n\" et \"p\" deux entiers naturels non nuls. On note \"S(n , \, p)\" le nombre de surjections de \"E_n\" dans \"E_p\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nDonner les valeurs de \"S(n,\, n)\" et de \"S(n ,\, p)\" si \"n < p\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nCalculer \"S(n , \, 2)\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nCalculer \"S(n , \, 3)\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nCalculer \"S(n + 1 , \, n)\".<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSi \"p \geq 1\",
\n\"S(n ,\, p) =\" \"\quad \quad p(S(n - 1 ,\, p) + S(n - 1 ,\, p - 1))\".<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nMontrer que \"k ^n =\displaystyle \sum _{k = 1} ^ p \binom {p} {k} S(n ,\, k)\"<\/p>\n

Question 7<\/b>
\nSi \"q\leq k \leq p\",
\n\"\displaystyle \binom {p} {k} \, \binom {k} {q}\" est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \binom {p} {q} \, \binom {p - q} {k - q}\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 10 :\u00a0<\/span><\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/strong> <\/span><\/p>\n

\"\ast\"\u00a0Une application de \"E_n\" dans lui-m\u00eame est une surjection ssi elle est bijective, donc \"S(n,\, n) = n!\".
\n\"\ast\" Il n’y a aucune surjection de \"E_n\" dans \"E_p\" lorsque \"p > n\" car une application de \"E_n\" dans \"E_p\" a au plus \"n\" images distinctes.<\/span><\/p>\n

Question 2 :<\/span><\/strong><\/p>\n

Une application de \"E_n\" dans \"E_2\" est surjective ssi elle n’est pas constante. Il y a \"2 ^n\" applications de \"E_n\" dans \"E_2\" et deux applications constantes, donc \"S(n ,\, 2) = 2^n - 2\".\u00a0<\/span><\/p>\n

\n

Question 3<\/b><\/p>\n

On note \"A\" l’ensemble des applications de \"E_n\" dans \"E_3\,\".\u00a0 \"\# A = 3^n\".
\nOn forme une partition de \"A\" de la fa\u00e7on suivante :
\n\"\ast\" \"A_1\" est l’ensemble des applications constantes : il y en a 3.
\n\"\ast\" \"A_2\" est l’ensemble des applications dont l’image est une partie \u00e0 deux \u00e9l\u00e9ments.
\nPour d\u00e9finir un \u00e9l\u00e9ment de \"A_2\,\", on se donne une partie de \"E_3\" \u00e0 deux \u00e9l\u00e9ments (ce qui se fait de \"\displaystyle \binom {3}{2} = 3\" fa\u00e7ons). Puis on d\u00e9finit une application surjective de \"E_n\" dans cet ensemble. En utilisant la question 2, il y a \"2^n - 2\" applications de ce type.
\nDonc \"\# A_2 = 3(2 ^n - 2)\".
\n\"\ast\" \"A_3\" est l’ensemble des surjections.<\/p>\n

Comme \"\#A = \#A_1 + \#A_2 + \#A_3\,\",\u00a0 on en d\u00e9duit que\u00a0 \"\#A_3 = 3^n - 3(2^n - 2) - 3\".<\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

Pour d\u00e9finir une surjection de \"E_{n + 1}\" dans \"E_n\"
\n\"\ast\" on choisit l’\u00e9l\u00e9ment \"a\" de \"E_n\" ayant deux ant\u00e9c\u00e9dents : il y a \"n\" choix pour \"a\".
\n\"\ast\" on se donne les deux \u00e9l\u00e9ments \"x_1 , \, x_2\" de \"E_{n + 1}\" d’image \u00e9gale \u00e0 \"a\" : il y a \"\displaystyle \binom {n + 1} {2} = \frac {n(n + 1)} 2\" choix.
\n\"\ast\" on d\u00e9finit une surjection (donc une bijection) de \"E_{n + 1} \setminus \{x_1 , \, x_2 \}\" dans \"E_n \setminus \{ a\}\" ce qui se fait de \"(n - 1)!\" fa\u00e7ons.
\nDonc \"\displaystyle S(n + 1 , \, n) = n . \frac {n(n + 1)} 2 . (n-1)!\" \"\displaystyle S(n + 1, \, n) = \frac {n \, (n + 1)!} 2\".<\/p>\n

Question 5 :<\/strong><\/p>\n

On note \"\mathbb {S} (n ,\, p)\" l’ensemble des surjections de \"E_n\" dans \"E_p\,\".
\nOn \u00e9crit que \"\mathbb {S} (n ,\, p) = \mathcal {A} \cup \mathcal {B}\" o\u00f9
\n\"\mathcal {A}\" est l’ensemble des surjections \"f\" de \"E_n\" dans \"E_p\" telles que la restriction de \"f\" \u00e0 \"E_{n - 1}\" soit une surjection de \"E_{n - 1}\" sur \"E_p\" et \"\mathcal{B}\" est l’ensemble des surjections \"f\" de \"E_n\" dans \"E_{p}\" telles que cette restriction ne soit pas surjective .<\/p>\n

\"\bullet\" Se donner un \u00e9l\u00e9ment \"f\" de \"\mathcal{A}\" revient \u00e0 se donner une surjection \"g\" de \"E_{n - 1}\" dans \"E_p\" et \u00e0 donner \"f(n + 1)\" quelconque dans \"E_p\" (\"p\" choix pour \"f(n + 1)\") donc \"\# \mathcal{A} = p \, S(n ,\, p - 1)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour d\u00e9finir un \u00e9l\u00e9ment \"f\" de \"\mathcal{B}\",
\n\"\ast\" on d\u00e9finit la restriction \"f'\" de \"f\" \u00e0 \"E_{n -1}\,\", un seul \u00e9l\u00e9ment \"a\" de \"E_p\" n’est pas atteint par \"f'\", on choisit cet \u00e9l\u00e9ment (\"p\" choix), puis on d\u00e9finit \"f'\" qui est une surjection de \"E_{n - 1}\" sur \"E_p \setminus \{ a \}\" ce qui se fait de \"S(n - 1 , p - 1)\" fa\u00e7ons
\n\"\ast\" puis on d\u00e9finit \"f(p + 1) = a\".
\nDonc \"\#B = p . S(n - 1 , \, p - 1)\"<\/p>\n

\"\ast\" Comme \"\mathcal{A}\" et \"\mathcal{B}\" sont incompatibles :
\n\"\# \, \mathcal{S}( n , p) = \# \, \mathcal {A} + \# \,\mathcal {B}\"
\n\"S(n , \, p) = p \, S(n - 1 , p) + p \, S(n - 1 ,\, p - 1 )\".<\/p>\n

Question 6 :<\/strong><\/p>\n

Si \"k \in [\![1 ,\, p]\!]\" , on note \"A_k\" l’ensemble des applications \"f\" de \"E_n\" dans \"E_p\" telles que \"\# f(E_n) = k\".
\nOn forme ainsi une partition de l’ensemble \"\mathcal {F } (E_n \, ,\, E_p)\", ensemble des applications de \"E_n\" dans \"E_p\,\".
\nDonc \"\# \mathcal {F } (E_n\, , \, E_p) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^{p} \# A_k\,\".<\/p>\n

Se donner un \u00e9l\u00e9ment \"f\" de \"A_k\" revient \u00e0 se donner une partie \"G\" de \"E_p\" ayant \"k\" \u00e9l\u00e9ments (de \"\displaystyle \binom {p} {k}\" fa\u00e7ons) puis \u00e0 d\u00e9finir une application surjective de \"E_n\" dans \"G\" ce qui se fait de \"S(n , \,k)\" fa\u00e7ons.
\ndonc \"\displaystyle \# A_k = \binom {p} {k} \, S(n, \, k)\".
\nOn obtient donc \"p^n = \displaystyle \sum _{k = 1} ^ p \binom {p} {k} S(n , \, k)\".<\/p>\n

Question 7 :<\/strong><\/p>\n

Si \"q\leq k \leq p\",
\n\"\alpha = \displaystyle \binom {p} {k} \, \binom {k} {q} = \frac {p!} {k! \, (p - k)!} \, \frac {k!} {q! \, (k - q)!}\"
\n\"\displaystyle \alpha = \frac {p!} {q! \, (p - q)! } \, \frac {(p - q)!} {(p - k)! \, (k - q)!}\"
\nsoit \"\displaystyle \binom {p} {k} \, \binom {k} {q} = \displaystyle \binom {p} {q} \, \binom {p - q} {k - q}\".<\/p>\n

4. Exercices sur les mots de Dyck<\/h3>\n

On appelle \u00a0\u00bb mot de Dyck\u00a0\u00bb une cha\u00eene de \"2 n\" caract\u00e8res, \"n \in \mathbb{N}^*\", form\u00e9e de \"n\" lettres \"A\" et \"n\" lettres \"B\", telle que, lorsque l’on d\u00e9nombre les lettres de gauche \u00e0 droite, en s\u2019arr\u00eatant \u00e0 une lettre du mot, le nombre de \"A\" soit toujours sup\u00e9rieur ou \u00e9gal au nombre de \"B\". Ainsi, le seul mot de Dyck de longueur \"2\" est : \"AB\". Les mots de Dyck de longueur 4 sont : \"AABB\" et \"ABAB\".
\n\"ABAABB\" et \"AAABBB\" sont des mots de Dyck, alors que \"BA\" et \"AABBBA\" n\u2019en sont pas.
\nPour tout entier \"n \geq 1\", on d\u00e9signe par \"C_n\" le nombre de mots de Dyck de \"2 n\" lettres.<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nCalculer \"C_1\, , \, C_2\, , \, C_3 \, , \, C_4\,\".<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nOn pose : \"C_0 = 1\". Montrer que, pour tout entier \"n > 1, \displaystyle C_n = \sum _{k = 1 } ^{n - 1} C_{k - 1} \, C_{n - k }\"<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nMontrer que \"C_{n} = \displaystyle \frac 1 {n + 1} \, \binom {2 n} {n}\".<\/p>\n

👍 \"C_n\" est appel\u00e9 le \"n\"-i\u00e8me nombre de Catalan.
\n<\/b><\/p>\n

Question 4 : Une application\u00a0<\/b>
\nUne particule se d\u00e9place sur une droite gradu\u00e9e en partant de l’origine et en se d\u00e9pla\u00e7ant \u00e0 chaque minute d’une unit\u00e9 vers la droite ou vers la gauche.
\nLe nombre de fa\u00e7ons de revenir pour la premi\u00e8re fois \u00e0 l’instant \"2 n + 2\" en \"O\" est \u00e9gal \u00e0 \"a \, C_{n}\,\"<\/p>\n

Si toutes les r\u00e9ponses \u00e0 ces exercices sont correctes, il faut d\u00e9sormais passer aux entra\u00eenements sur les annales. Mais, si vous souhaitez vous entra\u00eener sur d’autres exercices de cours en ligne, vous avez le choix. Quelques id\u00e9es de chapitres au programme de Maths Sp\u00e9 :<\/p>\n