{"id":38784,"date":"2019-11-19T16:30:41","date_gmt":"2019-11-19T15:30:41","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=38784"},"modified":"2020-11-30T17:55:16","modified_gmt":"2020-11-30T16:55:16","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-integrales-parametres-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-integrales-parametres-spe\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s – Int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre MP PC PSI et PT"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre en MP, PC, PSI, PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Exercices et corrig\u00e9s – Int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/b><\/h2>\n

1. Calcul de l’int\u00e9grale de Dirichlet<\/b><\/h3>\n

Mines-Ponts PSI 2018
\nSoit \"\displaystyle F : x \mapsto \int_{0} ^{+\infty} \textrm {e} ^{ - x\, t} \, \frac {1 - \cos(t)} {t ^2} \, \textrm{d} \, t\".
\nQuestion 1<\/b>
\nMontrer que \"F\" est continue sur \"\mathbb{R} ^{+}\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nMontrer que \"F\" est de classe \"C^2\" sur \"\mathbb{R} ^{+*}.\"<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nTrouver les limites de \"F\" et \"F'\" en \"+\infty\" .<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nD\u00e9terminer \"F(x)\" pour \"x > 0\".<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nEn d\u00e9duire la valeur de \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \, \frac {\sin(t)} {t} \, \textrm{d} \, t \,\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Deux r\u00e9sultats utiles dans la suite :<\/b>
\n\"\bullet\" Soit \"\varphi : t \mapsto \displaystyle \frac {1 - \cos(t)} {t ^2}\".
\nEn utilisant \"\displaystyle 1 - \cos(t) \underset {t \to 0} \sim \frac {t ^2} 2\", on prolonge \"\varphi\" par continuit\u00e9 en \"0\" en posant \"\varphi(0) = 1/2\".
\nPuis en utilisant si \"t \geq 1\", \"\displaystyle 0 \leq \varphi (t) \leq \frac 2 {t ^2}\", par domination, \"\varphi\" est int\u00e9grable sur \"[1 , \, + \infty[\" donc \"\varphi\"\u00a0 est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R} ^+\".<\/p>\n

\"\bullet\" On utilisant \"\vert \sin u \vert \leq \vert u \vert\", on obtient \"\displaystyle 0 \leq 1 - \cos(t) = 2 \sin^2 \left ( \frac t 2 \right ) \leq 2 \frac {t ^2} 4 \leq\frac {t ^2} 2\".<\/p>\n

Continuit\u00e9 de \"F\"<\/b>.
\nOn note \"\displaystyle f : (x , \, t) \mapsto \textrm {e} ^{ - x\, t} \, \frac {1 - \cos(t)} {t ^2}\".
\n\"\ast\" Pour tout \"x \in \mathbb{R}^+, \; t \mapsto f(x ,\, t)\" , \"\displaystyle 0 \mapsto \frac 1 2\" est continue sur \"[0 , \, +\infty[\".
\n\"\ast\" Pour tout \"x \in \mathbb{R} ^+,\;\vert f(x ,\, t) \vert \leq \varphi (t)\" et on a prouv\u00e9 que \"\varphi\" est continue et int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^+\".
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de continuit\u00e9 des int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre, la fonction \"F\" est d\u00e9finie et continue sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On rappelle que l’on a prouv\u00e9 que \"\displaystyle 0 \leq 1 - \cos(t) \leq\frac {t ^2} 2\". (*)<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout \"x > 0\", \"t \mapsto f(x, \,t)\" est continue et int\u00e9grable sur \"I = \mathbb{R}^{+*}\".
\n\"\bullet\" Pour tout \"t \in I\", \"x \mapsto f(x , \,t)\" est de classe \"C^2\" sur \"I\".
\n\"\ast\" \"\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} : (x ,\, t) \mapsto - \frac {1 - \cos(t)} {t} \, \textrm{e} ^{ - x\, t}\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \frac {\partial^2 f } {\partial x^2 } : (x ,\, t) \mapsto (1 - \cos(t)) \, \textrm{e} ^{ - x\, t}\"
\n\"\bullet\" Soit \"a > 0\", si \"(x ,\, t) \in [a , \, + \infty[ \times I\",
\n\"\ast\" \"\displaystyle \left \vert \frac {\partial f } {\partial x} (x , \, t) \right \vert \leq \frac t 2 \, \textrm{e} ^{ - a\, t }\" (par (*))
\n\"\ast\" \"\displaystyle \left \vert \frac {\partial^2 f } {\partial x^2 } (x ,\, t) \right \vert \leq 2 \, \textrm{e} ^{ - a\, t }\"
\nLes fonctions \"\displaystyle \varphi_1 : t \mapsto \frac t 2 \, \textrm{e} ^{ - a\, t }\" et \"\displaystyle \varphi_2 : t \mapsto 2\, \textrm{e} ^{ - a\, t }\" sont continues et int\u00e9grables sur \"\mathbb{R}\" (il n’y a pas de probl\u00e8me pour \"\varphi_2\" ;\u00a0 pour \"\varphi_1\,\", on utilise \"\displaystyle \varphi_1(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {t ^2} \right )\").<\/p>\n

\"\bullet\" \"\bullet\" Par le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9rivation des int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre, la fonction \"F\" est de classe \"C^2\" sur \"I\" et
\n\"\ast\" \"\forall \, x \in I, \; F'(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {\partial f } {\partial x }(x ,\, t) \, \textrm{d} \,t\".
\n\"F'(x) = \displaystyle - \int_0^{+\infty} \frac {1 - \cos(t) } t \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm{d}\, t\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, x \in I, \; F''(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {\partial^2 f } {\partial x^2 }(x , \, t) \, \textrm{d} \,t\".
\n\"F''(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} (1 - \cos(t) ) \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS EN CPGE MATHS SPE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers en pr\u00e9pa maths sp\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

En utilisant \"0 \leq 1 - \cos(t) \leq t ^2 / 2\", pour tout \"x > 0\",
\n\"\displaystyle 0 \leq F(x) \leq \int_0^{+\infty} \frac 1 2 \, \textrm{e} ^{ - x \, t} \, \textrm {d} \, t\leq \frac 1 {2\, x}\", donc par encadrement, \"\displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 0\".<\/p>\n

De m\u00eame,\u00a0 \"\displaystyle \vert F'(x)\vert \leq \int_0^{+\infty} \frac t 2 \, \textrm{e} ^{ - x \, t} \, \textrm {d} \, t\".
\nOn d\u00e9montre facilement que \"\displaystyle \int_0^{+\infty} t \, \textrm{e} ^{ - x\, t} \, \textrm {d} \, t = \left [ - \left ( \frac {t} {x} + \frac 1 {x^2} \right ) \textrm{e} ^{ - x\, t}\right ] _0 ^{+\infty}\"
\n\"\displaystyle \vert F'(x)\vert \leq \frac 1 {2\, x^2}\".
\nDonc par encadrement, \"\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\, F'(x) = 0\".<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0<\/b>On commence par calculer \"F''\".
\nOn calcule \"G(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \cos(t) \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm {d}\, t\"\u00a0 \"\displaystyle G(x) = \textrm{Re} \left (\int_0^{+\infty} \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm {d}\, t \right )\".
\n\"\displaystyle G(x) = \textrm{Re} \left [\frac 1 {-x + \textrm{i} } \textrm{e} ^ {(\textrm{i} - x) t } \right ]_0 ^{+\infty}\".
\n\"\displaystyle G(x) = \textrm{Re} \left ( \frac 1 {x - \textrm{i} } \right ) = \textrm{Re} \left ( \frac {x + \textrm{i} }{x^2 + 1} \right )\".
\n\"\displaystyle G(x) = \frac x {x ^2 + 1}\".
\nDonc \"\forall \, x > 0, \; \displaystyle F''(x) = \frac 1 x - \frac x {x ^2 + 1}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0<\/b>Calcul de \"F'\".
\nOn en d\u00e9duit qu’il existe \"a \in \mathbb{R},\" pour tout \"\ x \in I,\"\u00a0 \u00a0\"F'(x) = \ln(x) - \frac 1 2 \ln(x ^2 + 1 ) + \lambda\" \"f'(x) = \displaystyle \frac 1 2 \ln \left ( \frac {x^2} {x^2 + 1} \right ) + \lambda\"
\nEn passant \u00e0 la limite, on obtient \"\lambda = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"<\/b>\u00a0Calcul de \"F\".
\nOn cherche une primitive \"H\" de \"\displaystyle x \mapsto \frac {\ln(x ^2 + 1)} 2\" en int\u00e9grant par parties :
\n\"\displaystyle H(x) = \int_0^x \frac {\ln(t ^2 + 1)} 2 \, \textrm{d} \, t\" \"\displaystyle H(x) = \left [ \frac 1 2 t \ln(t ^2 + 1) \right]_0^x - \int_0 ^x \frac {t ^2} {t ^ 2 + 1} \, \textrm{d} \, t\"
\net comme \"t ^2 = t ^2 + 1 - 1\",
\n\"\displaystyle H(x) = \left [ \frac 1 2 t \ln(t ^2 + 1) \right]_0^x - \int_0 ^x \, \textrm{d} \, t\"
\n\"\displaystyle + \int_0 ^x \frac {1} {t ^ 2 + 1} \, \textrm{d} \, t\"
\n\"\displaystyle H(x) = \left [ \frac t 2 \ln(t ^2 + 1) - t + \textrm{Arctan} (t) \right]_1^x\"
\nIl existe un r\u00e9el \"\mu\" tel que pour tout \"x \in I\"
\n\"F(x) =\displaystyle x \ln(x) - \frac x 2 \ln(x ^2 + 1)\"
\n\"- \textrm{Arctan} (x) +\mu\"<\/p>\n

Comme \"\displaystyle \ln \left (\frac{x ^2 + 1} {x^2} \right )\underset {x \to + \infty} \sim \frac 1 {x^2}\", \"\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \frac x 2 . \ln \left (\frac{x ^2 + 1} {x^2} \right ) = \lim_{x\to + \infty} \frac x 2 \frac 1 {x^2} = 0\"
\nEn passant \u00e0 la limite (\"x \to + \infty\") , on obtient \"\displaystyle \mu = \frac \pi 2\".
\nAlors pour tout \"x > 0\", \"\displaystyle F(x) = x \ln(x) - \frac x 2 \ln(x ^2 + 1)\"
\n\"\displaystyle - \textrm{Arctan} (x) + \frac {\pi} 2\".<\/p>\n

Question 5 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Comme \"F\" est continue en \"0\", \"F(0) =\frac \pi 2\".
\nc’est \u00e0 dire \"\displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \frac {1 - \cos(t)} {t ^2} \, \textrm{d} \, t = \frac \pi 2\"<\/p>\n

Puis les fonctions \"u: t \mapsto 1 - \cos(t)\" et \"v : t \mapsto - 1/t\" sont de classe \"C^1\" sur \"I\", \"u\, v'\" est int\u00e9grable sur \"I\", \"u\, v\" admet \"0\" pour limite en \"0\" et en \"+\infty\", par le th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration<\/a> par parties,
\n\"\displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \frac {1 - \cos(t)} {t ^2} \, \textrm{d} \, t = \int_{0} ^{+\infty} \frac {\sin(t)} {t } \, \textrm{d} \, t\"
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"\quad \quad \displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \, \frac {\sin(t)} {t} \, \textrm{d} \, t= \frac \pi 2\".<\/p>\n

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2. Valeur d’une int\u00e9grale \u00e0 param\u00e8tre par utilisation d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/b><\/h4>\n

On pose \"F(x) =\displaystyle \int_0 ^{+\infty} \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t\,}} \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t} \, \textrm{d}\, t\".
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nMontrer que \"F\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb {R}\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\u00c0 l’aide d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/a> v\u00e9rifi\u00e9e par \"F\", calculer sa valeur.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9sultat pr\u00e9liminaire.<\/b>
\nLa fonction \"g : t \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t\,}}\" est continue sur \"\mathbb{R}^{+*}\".
\n\"\ast\" \"\displaystyle g(t) \underset {t \to + \infty} \sim \frac 1 {\sqrt{t\,}}\", donc \"g\" est int\u00e9grable sur \"]0 , \, 1]\".
\n\"\ast\" Si \"t \geq 1, \; 0 \leq g(t) \leq \textrm{e} ^{ - t }\", donc \"g\" est int\u00e9grable sur \"[1 , \, + \infty[\".
\nAlors \"g\" est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Domaine de d\u00e9finition de \"F\".<\/b>
\nSoit \"x \in \mathbb{R}\". La fonction \"g_x : t \mapsto g(t) \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t}\" est continue sur \"\mathbb{R}^{+*}\" et \"\vert g_x(t) \vert = g(t)\", donc \"g_x\" est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^{+*}\", ce qui justifie l’existence de \"F\" sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0On d\u00e9montre que \"F\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\".<\/b>
\nSoit \"f : (x , \, t) \mapsto g(t) \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t}\".
\nOn note \"I = \mathbb{R}^{+*}\".
\n\"\ast\" Pour tout r\u00e9el \"x\", \"t \mapsto f(x, \, t)\" est continue et int\u00e9grable sur \"I\".
\n\"\ast\" Pour tout \"t \in I\", \"x \mapsto f(x ,\, t)\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" et \"\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} : (x , \, t) \mapsto \textrm{i} \, t f(x , \, t)\"
\n\"\ast\" Pour tout \"x \in \mathbb{R}, \; \displaystyle t \mapsto \frac {\partial f } {\partial x}(x , \, t)\" est continue sur \"I\".
\n\"\ast\" On note \"\varphi: t \mapsto \sqrt{t\,} \, \textrm{e} ^{- t}\".
\n\"\forall\, (x , \, t) \in \mathbb{R} \times I,\" \"\displaystyle \left \vert \frac {\partial f } {\partial x}(x , \, t) \right \vert \leq \varphi(t)\".
\n\"\varphi\" est continue sur \"\mathbb{R}^+\" et v\u00e9rifie \"\displaystyle \varphi(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {t^2} \right )\", donc \"\varphi\" est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^{+}\".<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9rivation des int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tres, \"F\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" et \"F'(x) = \displaystyle \int_0 ^{+\infty} {\sqrt{t\,}}\, {\textrm{e} ^{- t}} \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t} \, \textrm{d}\, t.\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Recherche de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle.\u00a0<\/b>
\nOn note \"u : \displaystyle \frac {- \textrm{i}\, \textrm{e} ^{- t(1 - \textrm{i} \, x)}} {1 - \textrm{i} \, x}\" et \"v : t \mapsto \sqrt{t}\"
\n\"u\" et \"v\" sont de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R} ^{+*}\", \"u' \, v\" est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R} ^{+*}\", \"u \, v\" admet 0 pour limite en 0 et en \"+\infty\", donc par le th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration par parties,
\n\"F'(x) = \displaystyle \frac {\textrm{i}} {2(1 - \textrm{i} \, x)} \, \int_0 ^{+\infty} \frac{\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t}} \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t} \, \textrm{d}\, t\".
\n\"F'(x) = \displaystyle \frac {\textrm{i}} {2(1 - \textrm{i} \, x)} F(x) =\frac {\textrm{i}(1 + \textrm{i} \, x)} {2(1 + x^2)} F(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9solution de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle.\u00a0<\/b>
\n\"a :\displaystyle x \mapsto \frac {\textrm{i} - x} {2(1 + x^2)}\"\u00a0admet comme primitive \"A : \displaystyle x \mapsto \frac {\textrm{i}} {2} \textrm{Arctan} (x) - \frac {\ln(x^2 + 1)} {2}\".
\nOn en d\u00e9duit qu’il existe \"\lambda \in \mathbb{C}\", \"\forall \, x \in \mathbb{R}, \; \displaystyle F(x) = \lambda \frac {\textrm {e} ^{\textrm {i Arctan}(x)/ 2} }{\sqrt{x ^2 + 1}}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Calcul de \"F(0)\".<\/b>
\nLa fonction \"\varphi : \mathbb{R}^{+*} \to \mathbb{R}^{+*},\, u \mapsto u ^2\" est une bijection de classe \"C^1\" strictement croissante, par le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable<\/a>,
\n\"F(0)= \displaystyle \int_0 ^{+\infty} \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t}} \, \, \textrm{d}\, t = \int_0 ^{+\infty} \frac {\textrm{e} ^{- u ^2 }} {u} \, 2 \, u \, \textrm{d}\, u\".
\nEn utilisant l’int\u00e9grale de Gauss, \"F(0) = \sqrt{\pi}\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\quad \quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \,\displaystyle F(x) = \sqrt{\pi}\, \frac {\textrm {e} ^{\textrm {i Arctan}(x)/2} }{\sqrt{x ^2 + 1}}\".<\/p>\n

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STAGE INTENSIF EN MATHS SP\u00c9<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Profite de tes vacances pour gagner des points aux concours.<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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100%<\/span><\/strong> \u00a0obtiennent une \u00e9cole d’ing\u00e9nieur<\/span>
58%<\/strong><\/span> admissibles Mines-Centrales<\/span>
99%<\/span><\/strong> de recommandation \u00e0 leurs amis<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

3. \u00c9tude d’une int\u00e9grale \u00e0 param\u00e8tre<\/b><\/h4>\n

\"F : x \mapsto \displaystyle \int_0 ^1 \frac {\textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t} \, \textrm{d} \, t\".
\nQuestion 1.<\/b>
\nTrouver le domaine de d\u00e9finition \"\mathcal{D}\" de \"F\".<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nD\u00e9montrer que \"F\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathcal{D}\" et que \"F\" est strictement monotone. Trouver une \u00e9quation diff\u00e9rentielle v\u00e9rifi\u00e9e par \"F\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nEtudier les limites et les branches infinies du graphe de \"F\". Tracer le graphe de \"F\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1:<\/strong><\/p>\n

La fonction \"f : (x , t) \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t}\" est continue sur \"\mathbb{R} \times [0 ,\, 1]\", donc pour tout \"x \in \mathbb{R}\", \"t \mapsto f(x , \,t)\" est continue sur \"[0 ,\, 1]\" donc \"F\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0\"F\" est de classe \"C^1\".<\/b>
\n\"\ast\" Pour tout \"x \in \mathbb{R}\", \"t \mapsto f(x ,\, t)\" est continue et int\u00e9grable sur \"[0 , \,1]\".
\n\"\ast\" Pour tout \"t \in [0 ,\, 1]\", \"x \mapsto f(x ,\, t)\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" et \"\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} : (x ,\, t) \mapsto \frac { - t \, \textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t}\"
\n\"\ast\" Pour tout \"x \in \mathbb{R}\", \"\displaystyle t \mapsto \frac {\partial f } {\partial x}(x ,\, t)\" est continue sur \"[0 ,\, 1]\".
\n\"\ast\" Soit \"a \in \mathbb{R}^{+*}\", si \"(x , \,t) \in [-a ,\, a] \times [0 ,\, 1]\", \"\displaystyle \left \vert \frac {\partial f } {\partial x}(x , \, t) \right \vert \leq \varphi (t)\" o\u00f9 \"\varphi : t \mapsto \textrm{e} ^{ a \, t}\".
\nLa fonction \"\varphi\" est continue et int\u00e9grable sur \"[0 , \, 1]\".
\n\"\ast\" \"\ast\" La fonction \"F\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" et \"\forall\, x \in \mathbb{R},\; F'(x) = - \displaystyle \int_0 ^1 \frac {t \, \textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t} \, \textrm{d} \, t\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Stricte monotonie de \"F\".<\/b>
\nComme \"\displaystyle t \mapsto \frac { - t \, \textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t}\" est continue sur \"[0 ,\, 1]\", \u00e0 valeurs n\u00e9gatives ou nulles et diff\u00e9rente de la fonction nulle, \"F'(x) < 0\".
\n\"F\" est strictement d\u00e9croissante sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0\u00c9quation diff\u00e9rentielle.\u00a0<\/b>
\n\"\displaystyle F'(x) - F(x) = - \int_0 ^1 \textrm{e} ^{ - x \, t } \textrm{d} \, t = \frac {\textrm{e}^{-x} - 1} x\" si \"x \neq 0\" et \"F'(0) - F(0) = - 1\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Limite en \"-\infty\".\u00a0<\/b>
\nSi \"x < 0\", \"F(x) \geq \displaystyle \int_0 ^1 \frac {\textrm{e} ^{- x\, t}}{2} \, \textrm{d} \, t\", donc \"F(x) \geq \displaystyle \frac {1 - \textrm{e}^{-x} } {2 \,x}\" , donc par minoration \"\displaystyle \lim_{x\to - \infty} F(x) = +\infty\" .
\nPuis par division par \"x < 0\", \"\displaystyle \frac {F(x)} x \leq \frac {1 - \textrm{e}^{-x} }{ 2 \,x^2}\" \"\Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to - \infty} \frac {F(x)} x = - \infty\".
\nLe graphe de \"F\" admet une branche parabolique de direction Oy.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Limite en \"+\infty\"\u00a0<\/b>
\nSi \"x > 0,\; 0 \displaystyle \leq F(x) \leq \int_0 ^1 \textrm{e} ^{ - x\, t} \textrm{d} \, t \leq \frac 1 x\". Par encadrement, \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} F(x) = 0\".
\nLe graphe admet une asymptote d’\u00e9quation \"y = 0\" en \"+ \infty\".<\/p>\n

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Avant de s’entra\u00eener en conditions r\u00e9elles de concours, il est important pour les \u00e9tudiants de Maths Sp\u00e9, de s’assurer d’\u00eatre \u00e0 jour dans les cours et de ne souffrir d’aucune difficult\u00e9. Une petite relecture des cours en ligne de Maths en PC<\/a>, des cours en ligne de Maths en PSI<\/a> ou des cours en ligne de Maths en MP<\/a> est fortement recommand\u00e9e.<\/p>\n

4. <\/b>G\u00e9n\u00e9ralisation de la formule de Stirling<\/b><\/h4>\n

Question 1 :\u00a0<\/b>deux in\u00e9galit\u00e9s.
\na)\u00a0<\/b>Montrer que pour tout \"s \in \;]- 1 , \,0] ,\" \"\displaystyle \ln(1 + s) - s \leq -\frac { s^2} 2\".
\nb)<\/b>\u00a0Soit \"x \geq 1\", pour tout \"t \geq 0\", montrer que
\n\"\displaystyle x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right ) - t \, \sqrt{x} \leq \ln(1 + t) - t\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b>convergence d’une int\u00e9grale.
\nOn note si \"x \geq 1\" et \"t \geq - \sqrt{x}\" , \"\quad \quad \displaystyle f(x , t) = \left ( 1 + \frac {t} {\sqrt{x} } \right ) ^x \textrm{e} ^{ - t \sqrt{x} }\".
\nJustifier l’existence de \"\quad \quad \displaystyle G(x) = \int_{-\sqrt{x} } ^{+\infty} f(x , t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Question 3\u00a0<\/b>: limite de l’int\u00e9grale de la question 2.
\nD\u00e9terminer \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \int_{-\sqrt{x} } ^{+\infty} f(x , t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Question 4<\/b>\u00a0: \u00c9quivalent<\/a> de \"\Gamma(x + 1)\" en \"+\infty\".
\nEn justifiant soigneusement le changement de variable \"u = x + t \sqrt{x}\", trouver un \u00e9quivalent de \"\Gamma(x + 1)\" en \"+\infty\".
\nOn utilisera \"\int_ {- \infty} ^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2 / 2} \textrm{d} \, t = \sqrt{2 \, \pi\, }\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

a)<\/b>\u00a0On note si \"s \in \; ]- 1 ,\, 0] ,\" \"\displaystyle u(s) = -\frac {s^2} 2 + s - \ln(1 + s)\".
\n\"\displaystyle u'(s) = - s + 1 - \frac 1 {1 + s} = \frac { - s^2 } {1 + s}\leq 0\".
\n\"u\" est d\u00e9croissante sur \"]- 1 , \, 0]\" et \"u(0) = 0,\" donc pour tout \"s \in\; ]- 1 , \, 0],\" \"\; u(s) \geq 0\".<\/p>\n

b)\u00a0<\/b>On note si \"t \geq 0,\" \"v(t) = \displaystyle \ln(1 + t) - t - x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right )\"
\n\"+\, t\, \sqrt{x}\"
\n\"\displaystyle v'(t) = \frac 1 {1 + t} - 1 - \frac{x} {\sqrt{x} + t} + \sqrt{x}\"
\n\"\displaystyle v'(t) = \frac {-t} {1 + t} + \frac{\sqrt{x} \, t} {\sqrt{x} + t}\"
\n\"\displaystyle v'(t) = \frac {t^2 (\sqrt{x} - 1)} {(1 + t) (\sqrt{x} + t)} \geq 0\"
\n\"v\" est croissante sur \"\mathbb{R} ^{+}\" et \"v(0) = 0\", donc pour tout \"t \geq 0, \; v(t) \geq 0\", ce que l’on voulait d\u00e9montrer.<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Soit \"x \geq 1\" fix\u00e9 ; \"h : t \mapsto f(x , t)\" est continue sur \"I = \; ] - \sqrt{x} , \, +\infty[\".
\nComme \"\displaystyle \lim_{t \to - \sqrt{x}} h(t) = 0\" car \"x \geq 1\", on prolonge \"h\" par continuit\u00e9 en \"- \sqrt{x}\" en posant \"h( - \sqrt{x}) = 0\".
\nPuis \"\displaystyle \ln(t ^2 \, h(t)) = 2 \ln(t) + x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right ) - t\sqrt{x}\"
\nEn utilisant \"\ln(t) \underset {t \to + \infty} = o(t)\", on obtient \"\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \ln(t ^2 \, h(t)) = -\infty\", ce qui donne\u00a0\"\displaystyle h(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {t ^2} \right )\", donc \"h\" est int\u00e9grable sur \"[1 , +\infty[\" par domination par une fonction int\u00e9grable.<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note \"G(x) = \displaystyle \int_{- \infty} ^{+\infty} h(x , \,t) \, \textrm{d} \, t\" , o\u00f9 \"h(x ,\, t) = f(x , \,t)\" si \"t > - \sqrt{x}\" et \"h(x ,\, t) = 0\" si \"t \leq - \sqrt{x}\" .
\n\"\ast\" Pour tout \"x \geq 1\", \"t \mapsto h(x ,\, t)\" est continue sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour tout \"t \in \mathbb{R}\", pour \"x\" assez grand, \"t > - \sqrt{x}\" et \"h(x ,\, t) = f(x , \,t) > 0\".
\n\"\displaystyle \ln(h(x , \,t)) = x \ln \left ( 1 + \frac {t} {\sqrt{x}} \right ) - \frac {t} {\sqrt{x} }\"
\n\"\displaystyle \ln(h(x ,\, t)) \underset {x \to +\infty} = x \left ( \frac {t} {\sqrt{x}} - \frac {t^2 } {2 x} + \textrm{o} \left ( \frac 1 x \right ) \right )\"
\n\"\displaystyle - \frac {t} {\sqrt{x} }\"
\n\"\displaystyle \ln(h(x ,\, t)) \underset {x \to +\infty} = \frac {- t ^2} 2 + \textrm{o} (1)\"
\ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x ,\, t) = \textrm {e} ^{ - t ^2/2}\".
\nLa fonction \"t \mapsto \textrm {e} ^{ - t ^2/2}\" est continue sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\ast\" Domination : en utilisant l’in\u00e9galit\u00e9 \"\forall\, s \in\; ]- 1 ,\, 0] , \; \ln(1 + s) - s \leq - s^2 / 2\"
\nlorsque \"t \in \; ]- \sqrt{x} ,\, 0]\", \"\quad \quad \displaystyle \ln \left (1 + \frac t {\sqrt{x} }\right ) - \frac t {\sqrt{x}} \leq - \frac {t^2} {2 \, x}\"
\npar multiplication par \"x > 0\" et croissance de l’exponentielle, on obtient\u00a0 \"\quad \quad 0 \leq h(x ,\, t) \leq \textrm{e} ^{ - t^2/2}\".<\/p>\n

En utilisant pour tout \"t \geq 0\", \"\displaystyle x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right ) - t \, \sqrt{x} \leq \ln(1 + t) - t\",
\net par croissance de l’exponentielle, on obtient \"0 \leq h(x , \, t) \leq \textrm{e} ^{\ln(1 + t) - t }\" soit \"\displaystyle 0 \leq h(x , \, t) \leq (1 + t) \, {\textrm{e}^{ - t} }\".<\/p>\n

On note \"\varphi(t) = \textrm{e} ^{ - t^2/2}\" si \"t < 0\" et \"\varphi(t) = (1 + t)\, {e^{ - t} }\" si \"t \geq 0\".
\nOn a montr\u00e9 que si \"\quad \quad t > - \sqrt{x} , \; 0 \leq h(x,\, t) \leq \varphi(t)\"
\nce qui reste vrai si \"t \leq - \sqrt{x}\".
\nLa fonction \"\varphi\" est continue par morceaux sur \"\mathbb{R}\", elle est int\u00e9grable sur \"] - \infty , \, - 1]\" et sur \"[1 , \, +\infty[\" car c’est un \"o(1/t^2)\" au voisinage de \"\pm \infty\".<\/p>\n

On peut donc appliquer la g\u00e9n\u00e9ralisation du th\u00e9or\u00e8me de convergence domin\u00e9e
\n\"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} G(x) = \int_ {- \infty} ^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2 / 2} \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

La fonction \"\varphi :\; ]0 , +\infty| \to ] - \sqrt{x} , + \infty[,\" \" \displaystyle u \mapsto - \sqrt{x} + \frac u {\sqrt{x}}\" d\u00e9finit une bijection strictement croissante de classe \"C^1\", le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable dans \"G(x)\" donne :
\n\"G(x) = \displaystyle \int_0 ^{+\infty} \left ( \frac u x \right ) ^x \, \textrm {e} ^{ - u + x} \frac 1 {\sqrt{x} } \, \textrm{d} \, u\"
\n\"G(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x }} {x ^x \, \sqrt{x} } \int_0 ^{+\infty} u ^x\, \textrm{e} ^{ - u} \, \textrm{d} \, u\"
\n\"G(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x }} {x ^x \, \sqrt{x} } \, \Gamma(x + 1)\".<\/p>\n

En utilisant \"\int_ {- \infty} ^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2 / 2} \textrm{d} \, t = \sqrt{2 \, \pi\, }\"
\non a prouv\u00e9 que \"\quad \quad \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x }} {x ^x \, \sqrt{x} }\Gamma(x + 1) \underset {x\to + \infty} \sim \sqrt{2 \, \pi}\"
\nsoit \"\displaystyle \Gamma(x + 1) \underset {x\to + \infty} \sim {\textrm{e} ^{- x }}\, x ^x \, \sqrt{2 \, \pi\, x }\".<\/p>\n

On rappelle que si \"n \in \mathbb{N},\; \Gamma(n + 1) = n!\", on retrouve donc la formule de Stirling.<\/p>\n

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5. Une expression de \"\Gamma'(1)\"<\/b><\/h4>\n

On rappelle que l’on a prouv\u00e9 que \"\Gamma'(1) = \int_0^{+\infty} \ln(t) \, \textrm {e} ^{ - t} \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}\". Montrer que l’int\u00e9grale \"\displaystyle I_n = \int_0 ^1 (1 - t) ^n \, \ln(t)\, \textrm{d} \, t\" est convergente et la calculer.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nD\u00e9terminer \"\displaystyle \lim _ {n \to +\infty} \int_0 ^n \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, \ln(t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Question 3\u00a0<\/b>:\u00a0 Calcul de \"\Gamma'(1)\".
\nEn utilisant \"\displaystyle \lim_{n\to +\infty} H_n - \ln(n) = \gamma\", montrer que \"\Gamma '(1) = - \gamma\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" Convergence de l’int\u00e9grale.
\nLa fonction \"f _n : t \mapsto (1 - t) ^n \, \ln(t)\" est continue sur \"]0 , \,1]\" et \u00e9quivalente en \"0\" \u00e0 \"t \mapsto \ln(t)\" qui est int\u00e9grable sur \"]0 , \, 1]\", donc \"f_n\" est int\u00e9grable sur \"]0, \, 1]\".<\/p>\n

\"\ast\" Calcul par int\u00e9gration par parties.
\nLes fonctions \"u : t \mapsto \displaystyle \frac {1 - (1 - t)^{n + 1} } {n + 1}\" et \"v = \ln\" sont de classe \"C^1\" sur \"]0 , \, 1]\" et v\u00e9rifient \"\displaystyle \lim_ {t \to 0} u(t) \, v(t) = 0\" car \"u(t) \underset {t \to 0} \sim t\"
\net \"\displaystyle \lim_ {t \to 1} u(t) \, v(t) = 0\".
\nLa fonction \"u' \, v : t \mapsto (1 - t)^n \, \ln(t)\" est int\u00e9grable sur \"]0 , \, 1]\".
\nPar le th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration par parties,
\n\"\displaystyle I_n = -\int_0 ^1 \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } {(n + 1)\, t} \, \textrm{d} \, t\" .
\nSi \"t > 0\", \"\displaystyle \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } t = \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } {1 - (1 - t)}\"
\n\"\displaystyle - \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } t = - \sum _ {k = 0}^{n} (1 - t) ^k\"
\ndonc \"\displaystyle I_n = \left [ \sum _{k = 0} ^{n } \frac {(1 - t) ^{k + 1} } {(k + 1)(n+1)} \right ] _ 0 ^1\" \"\displaystyle I_n = - \frac 1 {n + 1} \sum_{k = 0} ^{n } \frac 1 {k + 1}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\ast\" On a d\u00e9montr\u00e9 que \"\displaystyle I_n = - \frac {H_{n+1}} {n + 1}\" o\u00f9 \"H_n = \displaystyle \sum_{k = 1} ^{n} \frac 1 k\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On d\u00e9finit \"\displaystyle f_n(t) = \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, \ln(t)\" si \"t \in \; ]0 , \, n]\" et \"f_n(t) = 0\" si \"t > n\" .
\nPour tout \"t > 0\", il existe \"N \in \mathbb{N}^*\" tel que si \"n > N,\; t > n\" donc \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n(t) = \textrm{e} ^{ - t} \ln(t)\", o\u00f9 \"t \mapsto \textrm{e} ^{ - t} \, \ln(t)\" est continue sur \"]0 , \, +\infty[\"<\/p>\n

En utilisant si \"t \geq 0, \, \; 1 - t \leq \textrm{ e}^{- t}\" (il suffit d’\u00e9tudier la fonction)\u00a0\u00a0alors si \"t \in\; ]0 , \, n]\", \"0 \leq 1 - t/n \leq \textrm{e} ^{ - t/n}\" puis \"\displaystyle 0 \leq \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \leq \textrm{e} ^{ - t}\"\u00a0donc \"\displaystyle 0 \leq \vert f_n(t) \vert \leq \varphi(t)\" o\u00f9 \"\varphi : t \mapsto \vert \ln(t)\vert \, \textrm{e} ^{ - t}\"
\n\"\varphi\" est continue sur \"]0 , \, +\infty[\" et v\u00e9rifie \"\varphi (t) \leq \vert \ln(t) \vert\", \"\varphi\"\u00a0 est int\u00e9grable par domination sur \"]0 , \, 1]\".
\nComme \"\varphi(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} (1/t^2)\", \"\varphi\" est int\u00e9grable sur \"[1,\, + \infty[\".<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de convergence domin\u00e9e, \"\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{- \infty} ^{+\infty} g_n(t) \, \textrm{d} \, t = \int_0 ^{+\infty} \ln(t)\, \textrm {e} ^{ - t } \, \textrm {d} \, t\"<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

La fonction \"\varphi :\; ]0 ,\, 1] \to \; ]0 ,\, n],\; u \mapsto n \, u\" est une bijection de classe \"C^1\" strictement croissante, par changement de variable dans l’int\u00e9grale \"\displaystyle J_n = \int_0 ^n \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, \ln(t) \, \textrm{d} \, t\"
\n\"\displaystyle J_n = \int_0 ^1 \left ( 1 - u \right ) ^n \, \ln(n\, u )\, n \, \textrm{d} \, u\", on obtient\u00a0\"\displaystyle J_n = n\, I_n + n\, \ln(n) \int_0 ^1 \left ( 1 - u \right ) ^n \, \, \textrm{d} \, u\"
\n\"\displaystyle J_n = n\, I_n + n\, \ln(n) \left [ -\frac {(1 - u) ^{n + 1} } {n + 1} \right ] _0 ^1 \"
\n\"\displaystyle J_n = n \, I_n + \frac {n\, \ln(n) } {n + 1}\"
\n\"\displaystyle J_n = - \frac {n } {n + 1} \left ( H_n - \ln(n) \right ) - \frac {n} {(n +1)^2}\".
\nEn utilisant \"\displaystyle \lim_{n\to +\infty} H_n - \ln(n) = \gamma\,\", on obtient \"\displaystyle \lim_{n\to +\infty} J_n = -\gamma\"\u00a0soit \"\int_0 ^{+\infty} \ln(t) \, \textrm {e} ^{ - t }\, \textrm {d} \, t \, = -\gamma\" donc \"\Gamma '(1) = - \gamma\".<\/p>\n

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6. La fonction B\u00e9ta.<\/b><\/h4>\n

On d\u00e9signe par \"\alpha\" et \"\beta\" deux r\u00e9els strictement positifs et l’on consid\u00e8re l’int\u00e9grale \"B(\alpha ,\beta)\" d\u00e9finie par
\n\"\quad B(\alpha ,\beta)= \displaystyle \int_0^1 x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta - 1} \, \textrm{d} \, x\".<\/p>\n

Question 1<\/b>.
\nJustifier l’existence de \"B(\alpha ,\beta)\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"B(\alpha ,\beta)\" et \"B(\beta , \, \alpha)\" sont \u00e9gales\u00a0 pour tout \"\alpha > 0\" et \"\beta > 0\" ?<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nMontrer que si \"\alpha > 0\", \"\beta > 0\", \"\quad \quad \displaystyle B(\alpha + 1, \beta) = \frac {\alpha} {\alpha + \beta} B(\alpha ,\beta)\".<\/p>\n

Question 4.\u00a0<\/b>
\nMontrer que la fonction \"x \mapsto B(x ,\, y)\" est de classe \"C^1\" sur \"]- 1 , \, +\infty[\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" La fonction \"f : x \mapsto x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta - 1}\" est continue sur \"]0 , \,1[\" \u00e0 valeurs positives.
\n\"\ast\" \"f(x)\underset {x \to 0} \sim x^{\alpha - 1}\", donc \"f\" est int\u00e9grable sur \"]0 ,\, 1/2 ]\Leftrightarrow1 - \alpha < 1 \Leftrightarrow \alpha > 0\".
\n\"\ast\" \"f(x)\underset {x \to 1} \sim (1 - x) ^{\beta - 1}\", donc \"f\" est int\u00e9grable sur \"[1/2 , \,1[\" ssi \"1 - \beta < 1\" ssi \"\beta > 0\".<\/p>\n

On a donc justifi\u00e9 l’existence de \"B(\alpha ,\beta)\" pour tout \"\alpha > 0\" et \"\beta > 0\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

La fonction \"\varphi : \;]0 , \,1[ \to ]0 ,\, 1[,\; u \mapsto 1 - u\" est une bijection de classe \"C^1\" et la fonction \"f : x \mapsto x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{ \beta - 1}\" est int\u00e9grable sur \"]0 , \, 1[\".
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable,
\n\"B(\alpha ,\beta) =\int_0^1 (1 - u) ^{\alpha - 1} \, u ^{1 - \beta} \, \textrm{d} \, u = B(\beta ,\, \alpha)\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Soient \"u : x \mapsto x ^{\alpha}\" et \"\displaystyle v : x \mapsto \frac {-1} {\beta} (1 - x) ^{\beta}\" .
\n\"u\" et \"v\" sont de classe \"C^1\" sur \"]0 ,\, 1[\", \"u \, v'\" est int\u00e9grable sur \"]0 , \, 1[\", \"u \, v\" admet \"0\" pour limite en \"0\" et en \"1\". Par le th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration par parties,
\n\"B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \displaystyle \frac {\alpha} {\beta} \int_0 ^1 x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta} \, \textrm{d} \, x\".
\nPuis comme \"\quad (1 - x) ^{\beta} = (1 - x ) ^{\beta - 1 } - x \, (1 - x )^{\beta - 1}\",
\nles int\u00e9grales introduites ensuite \u00e9tant convergentes,
\n\"\beta \, B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \displaystyle {\alpha} \int_0 ^1 x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta - 1 } \, \textrm{d} \, x\"
\n\"\displaystyle - \,{\alpha} \int_0 ^1 x^{\alpha} \, (1 - x) ^{\beta - 1 } \, \textrm{d} \, x\".
\nsoit \"\beta \, B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \alpha \,B(\alpha ,\, \beta) - \alpha\, B(\alpha + 1 ,\, \beta)\" ce qui d\u00e9montre que
\n\"\quad \quad (\alpha + \beta) \, B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \beta \,B(\alpha ,\, \beta)\"
\nsoit la relation demand\u00e9e.<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On fixe \"y \in \mathbb{R}^{+*}\".
\nOn consid\u00e8re l’application \"\quad \quad h : (x , \, t) \mapsto t ^{x - 1} \, (1 - t) ^{y - 1}\".
\nOn note \"J = \mathbb{R}^{+*}\" et \"I =\; ]0 , \, 1 [\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"x\in \, J,\; t \mapsto h(x ,\, t)\" est continue sur \"I\" et int\u00e9grable sur \"I\".
\n\"\ast\" Si \"t \in I, \; x \mapsto h(x ,\, t)\" est de classe \"C^1\" et \"\displaystyle \frac {\partial h} {\partial x} : (x ,\, t) \mapsto \ln(t) \, h(x , \,t)\".
\n\"\ast\" Si \"x \in J, \; \displaystyle t \mapsto \frac {\partial h} {\partial x} (x ,\, t)\" est continue sur \"I\".<\/p>\n

\"\ast\" Soit \"[a ,\, b]\" un segment quelconque inclus dans \"J\".
\nOn note \"\varphi : t \mapsto \vert \ln(t) \vert \, t ^{a - 1} \, (1 - t) ^{y - 1}\".
\n… \"\displaystyle \forall\, (x , \, t) \in [a, \, b]\times I, \; \left \vert \frac {\partial h} {\partial x} (x ,\, t) \right \vert \leq \varphi(t)\",
\n… \"\varphi\" est continue sur \"I\".
\n… en choisissant \"\gamma = 1 - a/2\", \"\displaystyle \lim_{t \to 0} \,t^\gamma \varphi(t) = \lim_{t \to 0} t ^{a/2} \ln(t) = 0\" et \"\gamma < 1\", donc \"\varphi\" est int\u00e9grable sur \"]0 , 1/2]\".
\n… en \u00e9crivant \"\varphi (t) \underset {t \to 1} \sim (1 - t) ^y\" car \"- \ln(t) \underset {t \to 1} \sim 1 - t\", on peut alors prolonger \"\varphi\" par continuit\u00e9 en \"1\" en posant \"\varphi(1) = 0\" car \"y > 0\".
\nLa fonction \"\varphi\" est int\u00e9grable sur \"]0 , 1[\".<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9rivabilit\u00e9 des int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre, la fonction \"B\" admet une d\u00e9riv\u00e9e partielle par rapport \u00e0 la premi\u00e8re variable sur \"J\" et
\n\"\displaystyle \frac {\partial B} {\partial x} (x ,\, y) = \int_0 ^1 \ln(t) \, t ^{x - 1} \, (1 - t) ^{y - 1} \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

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7. G\u00e9n\u00e9ralisation des int\u00e9grales de Wallis<\/b><\/h4>\n

Question 1.<\/b>
\nSoit \"\alpha > 0\" et \"\beta > 0\".\u00a0Montrer que \"\displaystyle B(\alpha , \beta) = 2 \int _ 0 ^{\pi/2} \sin ^{2 \alpha - 1} (t) \, \cos ^{2 \beta - 1} (t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nMontrer que l’on peut d\u00e9finir pour \"x > - 1\", \"\displaystyle W(x) = \int _ 0 ^{\pi/2} \sin ^{x} (t) \, \textrm{d} \, t\".
\nMontrer que \"W\" est de classe \"C^1\" sur \"] - 1 , \, +\infty[\". Quel est son sens de variation ?<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSi \"x > 1\", trouver une relation entre \"W(x)\" et \"W(x - 2)\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nMontrer que \"P : x \mapsto x \, W(x) \, W(x - 1)\" est 1-p\u00e9riodique sur \"]- 1 , +\infty[\" .
\nQuelle est la valeur de \"P(n)\" si \"n \in \mathbb {N}^*\" ?<\/p>\n

Question 5<\/b>
\na)\u00a0<\/b>Justifier l’\u00e9quivalence de \"W(x)\" et \"W(x - 1)\" en \"+\infty\".
\nb)<\/b>\u00a0Montrer que \"W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(\lfloor x \rfloor )\".<\/p>\n

Question 6<\/b>
\na)<\/b>\u00a0Trouver un \u00e9quivalent de \"W(n)\" lorsque l’entier \"n\" tend vers \"+\infty\".
\nb)\u00a0<\/b>En d\u00e9duire un \u00e9quivalent de \"W(x)\" lorsque \"x \to + \infty\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

La fonction \"\varphi : t \mapsto \sin^2 (t)\" d\u00e9finit une bijection strictement croissante de \"]0 ,\, \pi/2[\" sur \"]0 ,\, 1[\" de classe \"C^1\".
\nPar le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable dans l’int\u00e9grale \"B(\alpha , \beta)\" :
\n\"\displaystyle B(\alpha , \beta) = \int_ 0 ^{\pi/2} (\sin ^2 t) ^{\alpha - 1} \, (\cos^2 t) ^{2 \beta - 1} \, 2 \sin t \, \cos t \, \textrm{d} \, t\".
\nsoit \"\displaystyle B(\alpha , \beta) = 2 \int _ 0 ^{\pi/2} \sin ^{2 \alpha - 1} (t) \, \cos ^{2 \beta - 1} (t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

(Faites glisser vers la gauche pour la premi\u00e8re valeur de \"B(\alpha ,\, \beta)\". )<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

a) On remarque que \"x > - 1 \Rightarrow \displaystyle \frac {x + 1} 2 > 0\" On peut donc d\u00e9finir \"\displaystyle B \left ( \frac {x + 1} 2 , \frac 1 2 \right ) = 2 \,W(x)\" car \"2 \alpha - 1 = x\" et \"2 \beta - 1 = 0\".
\nOn retiendra que \"\quad \quad W(x) = \displaystyle \frac 1 2 B \left ( \frac {x + 1} 2 , \frac 1 2 \right )\".<\/p>\n

b) On a prouv\u00e9 que \"B_1 : x \mapsto B(x , \,1/2)\" est une fonction de classe \"C^1\" et \"B_1 '(x) = \int_0 ^1 \ln(t) \, t ^{x - 1} \, (1 - t) ^{ - 1/2} \, \textrm{d} \, t< 0\" car on int\u00e8gre une fonction continue sur \"]0 , \,1[\" \u00e0 valeurs strictement n\u00e9gatives sur \"]0 ,\, 1[\" .
\nEn utilisant \"\displaystyle W(x) = \frac 1 2 B_1 \left ( \frac {x + 1} 2 \right )\",
\n\"W\" est de classe \"C ^1\" sur \"J_0 =\; ] - 1, \, + \infty[\" de d\u00e9riv\u00e9e \u00e0 valeurs strictement n\u00e9gatives donc \"W\" est strictement d\u00e9croissante sur \"J_0\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Soit \"x > 1\" et \"J_1 = \; ]0 , \, \pi/2[\".\u00a0On note \"u : t \mapsto - \cos(t)\" et \"v : t \mapsto \sin^{x - 1}(t)\".
\n\"u\" et \"v\" sont de classe \"C^1\" sur \"J_1\" , la fonction \"u'\, v\" est int\u00e9grable sur \"J_1\,\",\u00a0\"u \, v\" admet 0 pour limite en \"0\" et \"\pi/2\" car \"x - 1 > 0\", donc par le th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration par parties :
\n\"\displaystyle W(x) = (x - 1) \int_{0} ^{\pi/2} \cos^2(t) \, \sin ^{x - 2} (t) \, \textrm{d} \, t\".
\nPuis comme \"\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)\", on obtient :
\n\"W(x) = (x - 1) \left ( W(x - 2) - W(x) \right )\" soit \"x \, W(x) = (x - 1) \, W(x - 2)\".<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Soit \"x > - 1\", alors \"x + 1 > - 1\"
\net \"P(x + 1) = (x + 1) \, W(x + 1) \, W(x)\" \"P(x + 1) = x \, W(x - 1) \, W(x)\" en utilisant la relation de la question pr\u00e9c\u00e9dente, donc \"P(x + 1) = P(x)\".
\nAlors pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\quad \quad \displaystyle P(n) = P(1) = W(1) \, W(0) = \frac { \pi} 2\".<\/p>\n

Question 5 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

a)<\/b>\u00a0On a \u00e9tabli que \"W\" est strictement d\u00e9croissante sur \"] - 1 , \,+ \infty[\" et \u00e0 valeurs strictement positives car on int\u00e8gre une fonction continue et \u00e0 valeurs strictement positives sur \"]0 ,\, \pi/2[\".
\nSi \"x > 0\", \"W(x + 1) < W(x) < W(x - 1)\", en divisant par \"W(x - 1) > 0\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \frac {W(x + 1)} {W(x - 1)} < \frac {W(x)} {W(x - 1)} < 1\"
\nsoit \"\displaystyle \frac {x} {x + 1} < \frac {W(x)} {W(x - 1)} < 1\".
\nPar encadrement, \"\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \frac {W(x)} {W(x - 1)} = 1\" soit \"W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(x - 1)\".<\/div>\n

b)<\/b>\u00a0On note \"n =\lfloor x \rfloor\".
\nEn utilisant l’encadrement \"n \leq x \leq n + 1\" et la d\u00e9croissance de \"W\", \"\quad \quad W(n + 1) \leq W(x) \leq W(n)\".
\nSi \"x\to + \infty\", \"n \to +\infty\" et \"\quad \quad \displaystyle \frac {W(n + 1)} {W(n)} \leq \frac {W(x)} {W(n)} \leq 1\",
\npar encadrement par deux suites<\/a> qui convergent vers \"1\", \"\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \frac {W(x)} {W(\lfloor x \rfloor) } = 1\" soit \"W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(\lfloor x \rfloor )\".<\/p>\n

Question 6 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

a)\u00a0<\/b>On utilise \"n \, W(n) \, W(n - 1) = \pi/2\" et \"W(n) \underset {n \to + \infty} \sim W(n - 1)\", donc \"\quad \quad n \, W(n)^2 \underset {n \to + \infty} \sim \pi/2\".
\nPuis, \"\displaystyle W(n)^2 \underset {n \to + \infty} \sim \frac {\pi} {2 n}\" et comme \"W(n) > 0\", \"\displaystyle W(n) \underset {n \to + \infty} \sim \sqrt{\frac {\pi} {2 n}}\" .<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0En divisant l’encadrement \"\quad \quad \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1\" par \"\lfloor x \rfloor > 0\",
\npar encadrement par deux fonctions de limite \u00e9gale \u00e0 1, on obtient : \"\quad \quad \quad \quad x \underset {x \to +\infty}\sim \lfloor x \rfloor\".
\nPuis on termine avec la question 5.b) :
\n\"\displaystyle W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(\lfloor x \rfloor ) \underset {x \to +\infty} \sim \sqrt{\frac {\pi} {2 \lfloor x \rfloor }}\" donc \"\displaystyle W(x) \underset {x \to +\infty} \sim \sqrt{\frac {\pi} {2 \, x} }\"<\/p>\n

Si vous vous sentez parfaitement \u00e0 l’aise sur ce chapitre des int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre en Maths Sp\u00e9<\/strong>, prenez le temps de revoir tranquillement d’autres cours de maths qui vous paraissent un peu plus difficiles, comme par exemple :<\/p>\n