{"id":38790,"date":"2019-11-19T16:59:08","date_gmt":"2019-11-19T15:59:08","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=38790"},"modified":"2020-11-30T18:36:19","modified_gmt":"2020-11-30T17:36:19","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-variables-aleatoires-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-variables-aleatoires-spe\/","title":{"rendered":"Variables al\u00e9atoires en maths sp\u00e9 MP PC PSI et PT"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Variables al\u00e9atoires en MP, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Exercices et corrig\u00e9s – Variables al\u00e9atoires<\/h2>\n

1. Loi g\u00e9om\u00e9trique : min, max etc …<\/h2>\n

Soient \"X\" et \"Y\" deux variables al\u00e9atoires suivant des lois g\u00e9om\u00e9triques de param\u00e8tres \"p\" et \"q\" (\"p \neq q\").
\nSoit \"U = \min(X,\, Y )\" et \"V = \vert X - Y \vert\" .
\nQuestion 1.\u00a0<\/b>
\nD\u00e9terminer la loi conjointe du couple \"(U, \, V )\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"U\" suit une loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nPour tout \"v \in \mathbb{N}\",\u00a0\"\;\; \displaystyle \mathbb{P}(V = v) = \frac {p\, q\, ( {(1 - p )} ^v + {(1 - q) }^v)} {p + q - p\, q}\"<\/p>\n

Question 4<\/b>
\n\"U\" et \"V\" sont ind\u00e9pendantes<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSoit \"W = \max(X \, , Y)\".
\nDe la loi de \"(U, \, V)\", on peut d\u00e9duire la loi de \"(U, \, W)\". Si oui, la donner.<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nD\u00e9terminer la loi de \"W\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note dans la suite<\/a> \"p' = 1 - p\" et \"q' = 1 - q\".\u00a0\"U(\Omega) = \mathbb{N}^*\" et \"V(\Omega) = \mathbb{N}\".
\n\"\ast\" Si \"u \in \mathbb{N}^*\", \"\mathbb{P} (U = u ,\, V = 0) = \mathbb{P} ( X = Y \cap U = u)\"
\n\"\mathbb{P} (U = u ,\, V = 0) = \mathbb{P} (X = u , \, Y = u)\"
\n\"\mathbb{P} (U = u ,\, V = 0) = \mathbb{P} (X = u) \, \mathbb{P} (Y = u)\" car \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes.
\n\"\mathbb{P} (U = u ,\, V = 0) = p\, q \, (p' \, q') ^{u - 1}\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"(u , v) \in \mathbb{N}^{*2}\",
\n\"\mathbb{P} (U = u ,\, V = v) \"
\n\"\quad = \mathbb{P} ( X - Y = v \cap \min(X , Y) = u)\"
\n\"\quad +\, \mathbb{P} ( Y - X = v \cap \min(X , Y) = u)\"
\n\"\mathbb{P} (U = u ,\, V = v) = \mathbb{P} ( X = u + v \cap Y = u )\"
\n\"\quad \quad \quad +\, \mathbb{P} ( Y = u + v \cap X = u)\"
\net par ind\u00e9pendance de \"X\" et \"Y\",
\n\"\mathbb{P} (U = u ,\, V = v) \"
\n\"\quad = \mathbb{P} ( X = u + v ) \, \mathbb{P}( Y = u )\"
\n\"\quad +\, \mathbb{P} ( Y = u + v ) \, \mathbb{P}(X = u)\"
\n\"\mathbb{P} (U = u ,\, V = v) =\" \"\; \; p \, {p'} ^{u + v - 1 } \, q \, {q'}^{u - 1} + p \, {p'} ^{ u - 1} \, q \, {q'} ^{u + v - 1}\"
\n\"\mathbb{P} (U = u ,\, V = v) =\" \"\quad \quad \quad \quad p \,q\, (p' \, q') ^{u - 1 } ( {p'} ^v + {q'} ^v )\".<\/p>\n

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STAGE INTENSIF EN MATHS SP\u00c9<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Profite de tes vacances pour gagner des points aux concours.<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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100%<\/span><\/strong> \u00a0obtiennent une \u00e9cole d’ing\u00e9nieur<\/span>
58%<\/strong><\/span> admissibles Mines-Centrales<\/span>
99%<\/span><\/strong> de recommandation \u00e0 leurs amis<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On d\u00e9termine la loi de \"U\" comme loi marginale du couple :
\n\"\mathbb{P} (U = u) = \displaystyle \sum _{v = 0 } ^{+\infty} \mathbb{P} (U = u ,\, V = v)\"
\nOn distingue le cas \"v = 0\" de \"v \geq 1\".
\n\"\displaystyle \mathbb{P} (U = u) = p\, q \, (p' \, q') ^{u - 1}\"
\n\"\displaystyle + \, p \,q\, (p' \, q') ^{u - 1 } \sum_{v = 1} ^{+\infty}( {p'} ^v + {q'} ^v )\".
\n\"\displaystyle \mathbb{P} (U = u) = p\, q\, (p' \, q') ^{u - 1} \" \"\quad \quad \displaystyle + \, p \,q\, (p' \, q') ^{u - 1 } \left ( \frac {p'} {1 - p'} + \frac {q'} {1 - q'} \right )\".
\n\"p = 1 - p'\" et \"q = 1 - q'\" donnent la simplification :
\n\"\displaystyle \mathbb{P} (U = u) = (p' \, q') ^{u - 1}\, \left ( p \, q + p' \, q + q' \, p\right )\"<\/p>\n

On calcule :\u00a0 \"p \, q + p' \, q + q' \, p = p \, q + (1 - p) q + (1 - q)p\" \"p \, q + p'\, q+ q' \, p = p + q - p \, q = 1 - p' \, q'\".
\nOn a montr\u00e9 que pour tout \"u \in \mathbb{N}^*\",
\n\"\quad \quad \mathbb{P} (U = u) = r ( 1 - r) ^{ u - 1}\"
\navec \"r = p + q - p\".
\n\"U\" suit une loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p + q - p\, q\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est fausse si \"v = 0\" mais vraie si \"v\in \mathbb{N}^*\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \mathbb{P}(V = 0) = \sum _ {u = 1} ^{+ \infty} \mathbb{P} (U = u , \, V = 0)\" \"\displaystyle \mathbb{P}(V = 0) = p\, q \sum _{u = 1} ^{+\infty} (p' \, q') ^{u - 1}\"
\n\"\displaystyle \mathbb{P}(V = 0) = \displaystyle \frac {p\, q } {1 - p' \, q'} = \frac {p\, q } {p + q - p\, q}\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"v \in \mathbb{N} ^*\",
\n\"\displaystyle \mathbb{P}(V = v) = \sum _ {u = 1} ^{+ \infty} \mathbb{P} (U = u , \, V = v)\" \"\displaystyle \mathbb{P}(V = v) = p\, q ( {p'} ^v + {q'} ^v )\, \sum _{u = 1} ^{+\infty} (p' \, q') ^{u - 1}\"
\n\"\displaystyle \mathbb{P}(V = v) = \frac {p\, q \, ( {p'} ^v + {q'}^v )} {1 - p'\, q'} \"
\n\"\displaystyle \mathbb{P}(V = v) = \frac {p\, q\, ( {(1 - p) } ^v + {(1 - q )}^v)} {p + q - p\, q}\"<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On rappelle que \"1 - p' \, q' = p + q - p \, q\".
\nSoit \"(u ,\, v) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N }\",
\n\"\mathbb{P} (U = u) = (1 - p'\, q') (p' \, q') ^{u - 1}\",
\nSi \"v \neq 0\", \"\displaystyle \mathbb{P}(V = v) = \frac {p\, q\, ( {(1 - p) } ^v + {(1 - q)}^v)} {p + q - p\, q}\"
\net\u00a0\"\displaystyle \mathbb{P}(V = 0) = \displaystyle \frac {p\, q } {p + q - p\, q}\"
\ndonc pour tout \"(u , v) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N},\"<\/div>\n

\"\mathbb{P} (U = u \, , \, V = v) =\mathbb{P} (U = u) \, \mathbb{P} (V = v)\"<\/p>\n

\"U\" et \"V\" sont des variables al\u00e9atoires\u00a0 ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

Question 5 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On utilise \"W - U = V \Leftrightarrow V = U + W\".
\nDonc si \"(u , \, w) \in \mathbb{N}^{*2}\",
\n\"quad \mathbb{P}(U = u ,\, W = w) = \mathbb{P}(U = u ,\, V = w - u)\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"w < u\", \"\mathbb{P}(U = u ,\, W = w) = 0\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"w = u\", \"\mathbb{P}(U = u ,\, W = u) = \mathbb{P}(U = u ,\, V = 0 )\"
\n\"\displaystyle \mathbb{P}(U = u ,\, W = u) = p\, q \, (p + q - p \, q ) ^{u - 1}\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"w > u\", \"\mathbb{P}(U = u ,\, W = w) = \mathbb{P}(U = u ,\, V = w - u )\"
\n\"\quad \quad\quad \quad = p \,q\, (p' \, q') ^{u - 1 } ( {p'} ^ {w - u} + {q'} ^{w - u} )\"
\no\u00f9 \"p' = 1 - p\" et \"q' = 1 - q\".<\/p>\n

Question 6 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Pour d\u00e9terminer la loi de \"W\", on calcule \"\forall\, w \in \mathbb{N}^*,\, \displaystyle \mathbb{P}(W \leq w) = \mathbb{P}(X \leq w, Y \leq w)\"
\nPar ind\u00e9pendance de \"X\" et \"Y\",
\n\"\mathbb{P}(W \leq w) = \mathbb{P}(X \leq w) \, \mathbb{P}( Y \leq w)\".<\/p>\n

\"\mathbb{P}(X \leq w) = \displaystyle\sum _ {k = 1} ^{w} \mathbb{P}(X = k)\"
\n\"\mathbb{P}(X \leq w) = \displaystyle\sum _ {k = 1} ^{w} p \, {p'} ^{k - 1} = p \sum _ {i = 0} ^{w - 1} {p'} ^{i}\"
\n\"\displaystyle \mathbb{P}(X \leq w) = p \frac {1 - {p'} ^{w} } {1 - p'} = 1 - {p'} ^{w}\".<\/p>\n

\"\displaystyle \mathbb{P}(W \leq w) = (1 - {p'} ^{w})(1 - {q'} ^{w})\"
\nLa propri\u00e9t\u00e9 reste vraie si \"w = 0\".<\/p>\n

On \u00e9crit ensuite si \"w \in \mathbb{N}^*\", \"(W \leq w) = (W = w) \cup (W \leq w - 1)\".
\nCes \u00e9v\u00e9nements \u00e9tant incompatibles :
\n\"\mathbb{P} (W = w) = \mathbb{P}(W \leq w) - \mathbb{P}(W \leq w - 1)\"
\ndonc
\n\"\mathbb{P} (W = w) =(1 - {p'} ^{w})(1 - {q'} ^{w})\" \"\quad \quad \quad \quad \quad - \, (1 - {p'} ^{w - 1 })(1 - {q'} ^{w - 1})\"<\/p>\n

\"\mathbb{P} (W = w) = p\, {p'} ^{w -1 }+ q\, {q'} ^{w - 1 }\"
\n\"\quad \quad \quad \quad \quad - \, {(p'\, q')} ^{w - 1 }\, (1 - {p'\, q'})\".<\/p>\n

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Pour acc\u00e9der aux meilleurs cours particuliers \u00e0 domicile ou en ligne, s\u00e9lectionner le prof qu'il vous faut<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Recherchez un prof particulier<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"Prendre\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

2. Somme de variables ind\u00e9pendantes de loi g\u00e9om\u00e9trique<\/h3>\n

Annale Mines Ponts MP 2018
\nQuestion 1.\u00a0<\/b>
\nOn consid\u00e8re \"n\" variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes qui suivent une loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p\".\u00a0 Soit \"q = 1 - p\".
\nLa somme \"Z\" de ces \"n\" variables al\u00e9atoires v\u00e9rifie\u00a0si \"\displaystyle j \geq n\,\"
\na)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \mathbb{P} (Z = j ) = \binom {j } {n} p ^n q ^{j - n }\"
\nb)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \mathbb{P} (Z = j ) = \binom {j - 1 } {n - 1} p ^n q ^{j - n }\"
\nc)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \mathbb{P} (Z = j ) = \binom {j} {n - 1} p ^n q ^{j - n }\"
\nd)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \mathbb{P} (Z = j ) = \binom {j + 1 } {n + 1} p ^n q ^{j - n }\"<\/p>\n

Question 2.\u00a0<\/b>
\nUne bact\u00e9rie a une probabilit\u00e9 \"p\" de se faire toucher par un laser et il faut \"r\" coups de laser pour la tuer. Calculer\u00a0la loi de \"X\", temps de vie de la bact\u00e9rie, et son esp\u00e9rance sachant qu’il y a 1 seconde entre chaque passage de laser.
\na)\u00a0<\/b>\"\displaystyle \textrm{E}(X) = \frac {r} {1 - p}\"
\nb)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \textrm{E}(X) = \frac {r} {p}\"
\nc)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \textrm{E}(X) = \frac {r\, (1 - p) } {p}\"
\nd)\u00a0<\/b>\"\displaystyle \textrm{E}(X) = \frac {r\, p } {1 - p}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" La fonction g\u00e9n\u00e9ratrice \"G\" d’une variable al\u00e9atoire de loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p\" est d\u00e9finie sur \"I =\; \displaystyle \left ] -\frac 1 q , \frac 1 q \right [\" par \"G(t) = \displaystyle \frac {p\, t} {1 - q\,t}\" en notant \"q = 1 - p\".
\nLa fonction g\u00e9n\u00e9ratrice d’une somme de \"n\" variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes est \u00e9gale au produit des fonctions<\/a> g\u00e9n\u00e9ratrices, donc la fonction g\u00e9n\u00e9ratrice de \"Z = X_1 + \, \cdots \, + \, X_n\" est d\u00e9finie sur \"I\" par \"\quad \quad G_Z(t) = G^n(t) = \displaystyle \frac {(p\, t) ^n } {(1 - q\, t) ^n}\" .<\/p>\n

\"\bullet\" En d\u00e9rivant \"n - 1\" fois la relation \"\quad \forall\, u \in \; ]-1, \, 1[,\; \displaystyle \frac 1 {1 - u} = \sum _ {k = 0} ^{+\infty} u ^k\",
\non obtient
\n\"\displaystyle \frac {(n - 1)!} {(1 - u) ^n } =\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \sum _ {k = n - 1 } ^{+\infty} k(k - 1) ... (k - n + 2) \, u ^{k - n + 1}\",
\nEn divisant par \"(n - 1)!\", on obtient
\n\"\displaystyle \frac {1} {(1 - u) ^n } = \sum _ {k = n - 1 } ^{+\infty} \frac {k!\, u^{k - n + 1} } {(n - 1)! \, (k - n + 1)! }\"
\n\"\displaystyle \frac {1} {(1 - u) ^n } = \sum _ {k = n - 1 } ^{+\infty} \binom {k} {n - 1} u ^{k - n + 1}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Alors \"G_Z(t)\" est \u00e9gal \u00e0
\n\"\displaystyle \sum _ {k = n - 1 } ^{+\infty} \binom {k} {n - 1} p ^n \, q ^{k - n + 1\, } t ^{k + 1}\"
\nPuis en posant \"j = k + 1\",
\n\"\quad \quad \displaystyle G_Z(t) = \sum _ {j = n } ^{+\infty} \binom {j - 1 } {n - 1} p ^n\, q ^{j - n }\, t ^{j}\".
\nPar unicit\u00e9 du DSE,
\nsi \"\displaystyle j \geq n, \; \mathbb{P} (Z = j ) = \binom {j - 1 } {n - 1} p ^n q ^{j - n }\" et si \"j < n, \; \mathbb{P} (Z = j ) = 0\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On obtient \"X(\Omega) = \{ n \in \mathbb{N}\, /\, n \geq r\}\".
\nSoit \"n \geq r ,\; \mathbb{P} (X = n) = \mathbb{P} (A_{n - 1} \cap T_n)\" o\u00f9 \"T_n\" \u00ab\u00a0la bact\u00e9rie est touch\u00e9e \u00e0 la seconde \"n\"\u00a0\u00bb et \"A_{n - 1}\" \u00ab\u00a0en \"n - 1\" secondes, la bact\u00e9rie a \u00e9t\u00e9 touch\u00e9e \"r- 1\" fois et non touch\u00e9e \"n - r\" fois\u00a0\u00bb.
\n\"\mathbb{P} (X = n) = \mathbb{P} (T_n \, |\, A_{n - 1 })\, \mathbb{P} (A_{n - 1})\"
\n\"\mathbb{P}(X = n) = \displaystyle p\, \binom {n - 1} {r - 1}\, p ^{r - 1} \, q^{n - r}\" car \"A_{n - 1} = (Z = r - 1 )\" o\u00f9 \"Z\" suit une loi binomiale de param\u00e8tres \"(n - 1 ,\, p)\".
\n\"\mathbb{P}(X = n) = \displaystyle \binom {n - 1} {r - 1}\, p ^{r} \, q^{n - r}\".<\/p>\n

On remarque que \"X\" a m\u00eame loi que la somme de \"r\" variables al\u00e9atoires \"X_i\" ind\u00e9pendantes de loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p\".
\nAlors \"\displaystyle \textrm{E} (X) = \sum _ {i = 1} ^{r} \textrm{E} (X _ i) = r \, \textrm{E}(X_1) = \frac {r} {p}\".<\/p>\n

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3. Probl\u00e8me du collectionneur<\/h2>\n

CCP MP 2018 – Mines Ponts PSI 2015
\nOn cherche \u00e0 obtenir toutes les pi\u00e8ces d’un puzzle de \"N\" pi\u00e8ces diff\u00e9rentes.
\nOn ach\u00e8te chaque semaine une pi\u00e8ce emball\u00e9e, chaque pi\u00e8ce \u00e9tant \u00e9quiprobable. On note \"Y_k\" la variable al\u00e9atoire \u00e9gale au nombre de semaines n\u00e9cessaires pour avoir une \"k\"-i\u00e8me nouvelle pi\u00e8ce \u00e0 partir du moment o\u00f9 l’on en a d\u00e9j\u00e0 \"k - 1\".
\nQuestion 1<\/b>
\na)<\/b>\u00a0Quelle est la loi de \"Y_1\" ? Quelle est celle de \"Y_k\" si \"2 \leq k \leq N\" ?<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0Les variables\u00a0 \"(Y_k)_{1 \leq k \leq N\,}\" sont-elles mutuellement ind\u00e9pendantes ?<\/p>\n

c)\u00a0<\/b>Donner l’esp\u00e9rance et la variance de \"Y_k\" si \"2 \leq k \leq N\"<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nOn introduit \"X\" la variable al\u00e9atoire comptant le nombre d’achats n\u00e9cessaires pour avoir les \"N\" pi\u00e8ces diff\u00e9rentes du puzzle.
\na)\u00a0<\/b>Si\u00a0<\/b>\u00a0\"H_N =\displaystyle \sum _{k = 1} ^N \frac 1 k\", l’esp\u00e9rance de \"X\" est \u00e9gale \u00e0
\nR1 :<\/b>\u00a0\"N \, H_N\"\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 R2 :\u00a0<\/b>\"\N \, H_{N - 1}\"<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0En utilisant une comparaison s\u00e9rie-int\u00e9grale, on d\u00e9montre que \"H_N \displaystyle \underset _{N \to + \infty} \sim \ln(N)\".<\/p>\n

c)<\/b>\u00a0L’esp\u00e9rance de \"X\" est \u00e9quivalente<\/a> \u00e0 \"\ln(N)\" si \"N\to +\infty\".<\/p>\n

d)\u00a0<\/b>Il existe un\u00a0\u00a0<\/b>\u00e9quivalent de \"\textrm{V}(X)\" lorsque \"N \to + \infty\" de la forme \"a \, N ^2\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

a\/ \"Y_1\" est la variable al\u00e9atoire certaine \u00e9gale \u00e0 1.
\nSi \"k \geq 2\", \"Y_k\" est le temps d’attente du premier succ\u00e8s lors d’une suite d’\u00e9preuves ind\u00e9pendantes de probabilit\u00e9 de succ\u00e8s \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \frac {N - k + 1 } N\".
\n\"Y_k\" suit une loi g\u00e9om\u00e9trique :\u00a0\"Y_k(\Omega) = \mathbb{N}^*\" et pour tout \"y \in \mathbb{N}^*,\" \"\displaystyle \mathbb{P}(Y_k = y) = \left ( 1 - \frac {k - 1} {N} \right ) \, \frac {(k-1)^{y - 1} } {N ^{y - 1}}\".<\/p>\n

b\/<\/p>\n

On d\u00e9montre que les variables sont mutuellement ind\u00e9pendantes :
\nSi \"n \leq N\" et si \"(y_1 , \, \cdots \, , \, y_n) \in \mathbb{N}^{*n}\", avec \"y_1 = 1\", on note \"x_2 = 1 + y_2 \, ,\, x_3 = x_2 + y_3\, ,\" \"\quad \quad \quad \, \cdots\,, \, x_n = x_{n - 1} + y_n\,\".<\/p>\n

R\u00e9aliser \"\displaystyle \left( \bigcap_{k = 1} ^{n} (Y_k= y_k) \right )\" revient
\n\"\ast\" \u00e0 obtenir la m\u00eame pi\u00e8ce du rang 1 au rang \"x_2 - 1 = y_2 \" de\u00a0 probabilit\u00e9 \"\displaystyle \frac N{N ^{y_2 }}\"
\n\"\ast\" \u00e0 obtenir une nouvelle pi\u00e8ce au rang \"x_2\" de probabilit\u00e9 \"1 - \displaystyle \frac 1 N\"
\n\"\ast\" \u00e0 obtenir une des deux pi\u00e8ces d\u00e9j\u00e0 obtenues du rang \"x_2 + 1\" au rang \"x_3 - 1\" soit \"y_3 - 1\" fois de probabilit\u00e9 \"\displaystyle \frac {2^{y_3 - 1}} {N^{y_3 - 1 }}\"
\n\"\ast\" \u00e0 obtenir une nouvelle pi\u00e8ce au rang \"x_3\" de probabilit\u00e9 \"1 - \displaystyle \frac 2 N\",
\n….
\n\"\ast\" obtenir une des \"n - 1\" pi\u00e8ces d\u00e9j\u00e0 obtenues du rang \"x_{n-1} + 1\" au rang \"x_n - 1\" soit \"y_n - 1\" fois de probabilit\u00e9 \"\displaystyle \frac {(n - 1) ^{y_n - 1}} { N ^{y_n - 1}} \"
\n\"\ast\" obtenir une nouvelle pi\u00e8ce au rang \"x_n\" de probabilit\u00e9 \"1 - \displaystyle \frac {n- 1} N\".<\/p>\n

\"\displaystyle \mathbb{P}\left( \bigcap_{k = 1} ^{n} (Y_k= y_k) \right ) =\"
\n\"\displaystyle \; \; \frac 1 {N^{y_2 - 1}\; } \; \left ( 1 - \frac 1 {N} \right ) \, \frac {2 ^{y_3 - 1}} {N^{y_3 - 1} } . \left ( 1 - \frac 2 {N} \right )\,\"
\n\"\displaystyle \quad \quad \, \cdots \, \, . \frac {(n - 1) ^{y_n - 1}} {N^{y_n - 1} } . \left ( 1 - \frac {n - 1} {N} \right )\" .
\nOn a vu que si \"k \geq 2,\" \"\displaystyle \mathbb{P}(Y_k = y_k) = \left ( 1 - \frac {k - 1} {N} \right ) \frac {(k - 1) ^{y_k - 1}} {N ^{y_k - 1} }\".
\n\"\displaystyle \mathbb{P}\left( \bigcap_{k = 1} ^{n} (Y_k= y_k) \right )= \prod _{k = 2} ^{n} \mathbb{P} (Y _ k = y_k)\",
\nsoit aussi
\n\"\displaystyle \mathbb{P}\left( \bigcap_{k = 1} ^{n} (Y_k= y_k) \right )= \prod _{k = 1} ^{n} \mathbb{P} (Y _ k = y_k)\".
\ncar \"\mathbb{P} (Y _ 1 = y_1) = 1\".
\nOn a prouv\u00e9 l’ind\u00e9pendance des v.a.r.\u00a0 \"Y_1 \, ,\, Y_2\, , \, \cdots \, ,\, Y_n\" pour tout \"n\" tel que \"2 \leq n \leq N\", donc les variables \"(Y_k)_{1 \leq k \leq N}\,\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

c\/<\/p>\n

Par propri\u00e9t\u00e9 des lois g\u00e9om\u00e9triques,
\n\"\textrm{E} (Y_k) = \displaystyle \frac {N} {N - k + 1 }\"
\net \"\textrm{V} (Y_k) = \displaystyle \frac {(k - 1)\, N} {(N - k + 1 )^2}\".
\nCes r\u00e9sultats sont encore vrais si \"k = 1\".<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS EN CPGE MATHS SPE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers en pr\u00e9pa maths sp\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

a\/<\/p>\n

Il est \u00e9vident que \"X = \displaystyle \sum_{k = 1} ^N Y_k\" donc par lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance, \"\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum_{k = 1} ^N \textrm{E}(Y_k) = \sum_{k = 1} ^N \frac {N} {N - k + 1}\".
\net en posant \"i = N - k + 1\",
\n\"\textrm{E}(X) = \displaystyle N \sum_{i = 1} ^{N } \frac 1 i = N \, H_N\" .<\/p>\n

b\/<\/p>\n

La fonction \"f : t \mapsto 1/t\" est d\u00e9croissante sur \"[1 , +\infty[\" ;\u00a0 si \"k \in \mathbb{N }^ *,\, \forall\, t \in [k ,\, k + 1],\" \"\, f(k + 1) \leq f(t) \leq f(k)\"
\npuis en int\u00e9grant<\/a> sur \"[k ,\, k + 1]\",
\n\"\quad f(k + 1) \leq \int_{k} ^{k + 1} f(t) \textrm{d} \, t \leq f(k)\".
\nEn sommant pour \"k \in [\! [1 , \, N - 1 ]\!]\",
\n\"\quad H_{N} - 1 \leq \int_1 ^{N} f(t) \textrm{d} \, t \leq H_N - \displaystyle \frac 1 N\"
\ndonc \"\displaystyle \ln(N) + \frac 1 N \leq H_N \leq \ln(N) + 1\".<\/div>\n

Par division par \"\ln(N) > 0\",
\n\"\quad \displaystyle 1 + \frac 1 {N \ln(N)} \leq \frac {H_N} {\ln(N)} \leq 1 + \frac 1 {\ln(N)}\"
\ndonc par encadrement :
\n\"\quad \quad \displaystyle \lim_{N \to +\infty} \frac {H_N} {\ln(N)} = 1\"
\net alors \"H_N \underset {N \to + \infty} \sim \ln(N)\".<\/p>\n

c\/<\/p>\n

\"\textrm{E}(X) = N \, H_N \underset {N \to + \infty} \sim N\, \ln(N)\".<\/p>\n

d\/<\/p>\n

Comme les variables \"Y_i\"\u00a0 sont ind\u00e9pendantes, \"\textrm{V}(X) = \displaystyle \sum _{i = 1}^{N} \textrm{V}(Y_i)\".
\n\"\textrm{V}(X) = \displaystyle \sum _{i = 1}^{N} \frac {N(i - 1)} {(N - i + 1)^2}\" \"\displaystyle \textrm{V}(X) = \sum _{k = 1} ^{N} \frac {N(N - k)} {k ^2}\".
\nen posant \"k = N - i + 1\". Donc :
\n\"\textrm{V}(X) = \displaystyle \sum _{k = 1} ^{N} \frac {N^ 2} {k ^2} - \sum _{k = 1} ^{N} \frac {N} k\".<\/p>\n

On note \"S_N = \displaystyle \sum _{k = 1} ^{N} \frac {1} {k ^2}\". La suite\u00a0 \"(S_N)_N\" converge vers\u00a0\"S= \displaystyle \sum _{k = 1} ^{+ \infty } \frac {1} {k ^2} = \frac {\pi^2} 6\".
\n\"\displaystyle S_N \underset {N \to + \infty} = \frac {\pi^2} 6 + \textrm{o}(1)\"
\net \"H_N \underset {N \to + \infty} = \ln(N) + \textrm{o}(\ln(N))\".
\nEn utilisant \"a \, N ^2 + N \, \ln(N) \underset {N \to + \infty} \sim a \, N ^2\" lorsque \"a \neq 0\", \"\textrm{V}(X) \underset {N \to + \infty} \sim \displaystyle \frac {N ^2 \, \pi^2} 6\".<\/p>\n

4. Tirages de boules pour avoir deux boules noires cons\u00e9cutives<\/h2>\n

Mines Ponts MP 2018
\nOn consid\u00e8re un sac dans lequel on a mis des boules blanches et des boules noires. Il y a deux fois plus de boules noires que de boules blanches. Le tirage s’effectue au hasard et avec remise.
\nOn note \"X\" la variable\u00a0al\u00e9atoire \u00e9gale au nombre de tirages pour obtenir deux boules noires cons\u00e9cutives. On pose \"u_n = \mathbb{P}(X = n)\" pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\".
\nQuestion 1<\/b>
\nMontrer que : \"\forall \in \mathbb{N}^* ,\; u_{n+2 } = a \, u_{n + 1} + b \, u_n\" avec<\/p>\n

Question 2.\u00a0<\/b>
\nD\u00e9montrer que l’on a bien d\u00e9fini la loi d’une variable al\u00e9atoire.<\/p>\n

Question 3.<\/b>
\nD\u00e9terminer la loi de \"X\".<\/p>\n

Question 4.\u00a0<\/b>
\nMontrer que \"X\" admet des moments de tout ordre. Calculer son esp\u00e9rance et sa variance.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Il est \u00e9vident que \"u_0 = u_1 = 0\".<\/p>\n

On note \"N_i\" \u00ab\u00a0on tire une boule noire au \"i\"-\u00e8me tirage\u00a0\u00bb et \"B_i\" \u00ab\u00a0on tire une boule blanche au \"i\"-\u00e8me tirage\u00a0\u00bb.
\nLa famille \"B_1\,, \, N_1 \cap B_2 \, ,\, N_1 \cap N_2\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements de probabilit\u00e9s<\/a> non nulles.<\/p>\n

Par la formule des probabilit\u00e9s totales si \"n \in \mathbb{N}^*\",
\n\"\mathbb{P}(X = n + 2) = \mathbb{P}(X = n + 2 \, | \, B_1) \, \mathbb{P} (B_1)\"
\n\"\quad \; +\, \mathbb{P}(X = n + 2 \, | \, N_1\cap B_2 ) \, \mathbb{P}(N_1\cap B_2 )\"
\n\"\quad \; +\, \mathbb{P}(X = n + 2 \, | \, N_1\cap N_2 ) \, \mathbb{P} (N_1\cap N_2 )\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{P}(X = n + 2 \, | \, B_1) = \mathbb{P}(X = n + 1)\"
\ncar il reste \"n + 1\" tirages pour obtenir les deux noires cons\u00e9cutives.
\n\"\ast\" \"\mathbb{P}(X = n + 2 \, | \, N_1\cap B_2 ) = \mathbb{P}(X = n)\" car il reste \"n\" tirages pour obtenir les deux noires cons\u00e9cutives, les deux premiers tirages \u00e9tant \u00ab\u00a0inutiles\u00a0\u00bb.
\n\"\ast\" Si \"n \geq 1, \; \mathbb{P}(X = n + 2 \, | \, N_1\cap N_2 ) = 0\".<\/p>\n

\"\mathbb{P}(B_1) = \displaystyle \frac 1 3\" et \"\mathbb{P}(N_1 \cap B_2) = \displaystyle \frac 2 9\".
\nOn a donc prouv\u00e9 que :
\n\"\displaystyle \forall \, n \in \mathbb{N}^*,\; u_{n + 2} = \frac 1 3 \, u_{n + 1} +\frac 2 9 u_n\" .<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Les \u00e9v\u00e9nements \"(X = n)\" \u00e9tant deux \u00e0 deux incompatibles, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\"\u00a0 pour \"n \geq 2\" est convergente. On note \"S = \displaystyle \sum _{n = 2} ^ {+\infty} u_n\" sa somme.
\nEn sommant la relation \"\displaystyle \forall \, n \in \mathbb{N}^*,\; u_{n + 2} = \frac 1 3 \, u_{n + 1} +\frac 2 9 u_n\,\",
\non obtient comme \"u_1 = 0\",
\n\"\displaystyle S - u_2 = \frac S 3+ \frac {2 S} 9\"
\net avec \"u_2 = \mathbb{P}(N_1\cap N_2) = \displaystyle \frac 4 9\"
\n\"9 S - 4 = 3 S + 2 S\Leftrightarrow 4 S = 4 \Leftrightarrow S = 1\".<\/p>\n

On a donc d\u00e9fini la loi d’une variable al\u00e9atoire car \"\displaystyle \sum _ {n = 2} ^{+\infty} \mathbb{P} (X = n ) = 1\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

L’\u00e9quation<\/a> caract\u00e9ristique \"Q(r) = \displaystyle r ^2 - \frac 1 3 r - \frac 2 9 = 0\" admet deux racines distinctes : \"\displaystyle r = \frac 2 3\" et \"\displaystyle r' = -\frac 1 3\".<\/p>\n

Il existe alors deux r\u00e9els \"\lambda\" et \"\mu\" tels que pour tout \"n \geq 1\", \"u_n = \lambda \, r^{n - 1} + \mu \, r'^{n - 1}\"
\n(les puissances \"n - 1\" au lieu de puissances \"n\" simplifient les calculs qui suivent).<\/p>\n

En utilisant \"u_1 = 0\" et \"u_2 = \displaystyle \frac 4 9\", on obtient le syst\u00e8me :\u00a0\u00a0\"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} \lambda + \mu &=& 0 \\ \frac {2 \lambda } {3} - \frac {\mu} 3 &=& \frac 4 {9} \end{matrix} \right.\"
\n\"\Leftrightarrow\" \"\displaystyle \left \{ \begin{matrix} \lambda + \mu &=& 0 \\ 2 \lambda - {\mu} &=& \frac 4 {3} \end{matrix} \right.\" \"\Leftrightarrow\" \"\displaystyle \lambda = \frac {4} {9} , \; \mu = - \frac 4 {9}\"
\ndonc pour tout \"n \in \mathbb{N}^*,\" \"\displaystyle \mathbb{P} (X = n ) = \frac {2 ^{n +1 } } {3^ {n + 1}}\, + \, \frac {4( - 1)^n} {3 ^{n + 1 }}\".<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Pour tout \"k \in \mathbb{N}^*,\" la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"n ^k \, u_n\" converge absolument car les rayons de convergence des s\u00e9ries \"\sum (2 \, x)^n / 3^n\" et \"\sum (- x) ^n / 3 ^n\" sont respectivement \u00e9gaux \u00e0 \"3/2\" et 3.
\nOn utilise ensuite \"\displaystyle f(x) = \sum_{n = 1} ^{+\infty } n \, x^{n - 1} = \frac 1 {( 1 - x)^2}\" et \"\displaystyle g(x) = \sum_{n = 2} ^{+\infty } n (n - 1) \, x^{n - 2} = \frac 2 {( 1 - x)^3}\" pour calculer l’esp\u00e9rance et la variance.<\/p>\n

\"\bullet\" Calcul de l’esp\u00e9rance :
\n\"\displaystyle \textrm {E} (X) = \sum _ {n = 1} ^{+\infty} n \, \mathbb{P} (X = n)\" \"\displaystyle \textrm{E}(X) = \frac 4 9 \, f \left ( \frac 2 3 \right ) - \frac 4 9 \, f \left ( \frac {-1} 3 \right )\"
\n\"\displaystyle \textrm {E} (X) = \frac 4 9 \, \frac 1 {(1 - 2/3)^2} - \frac 4 9 \, \frac 1 {(1 + 1/3)^2}\" \"\displaystyle \textrm{E}(X) = 4 - \frac 1 4 = \frac {15} 4\".<\/p>\n

\"\bullet\" Calcul de la variance :
\n\"\displaystyle \textrm {E} (X(X - 1) ) = \sum _ {n = 2} ^{+\infty} n \,(n - 1) \, \mathbb{P} (X = n)\" \"\displaystyle \textrm{E}(X (X - 1)) = \frac 8 {27} \, g \left ( \frac 2 3 \right ) + \frac 4 {27} \, g \left ( \frac {-1} 3 \right )\"
\n\"\displaystyle \quad \quad = \frac 8 {27} \frac 2 {(1 - 2/3)^3} + \frac 4 {27} \, \frac 2 {(1 + 1/3)^3}\"
\n\"\textrm{E}(X(X - 1)) = \displaystyle 16 + \frac 1 {8} = \frac {129} {8}\"
\net enfin \"\textrm{V}(X) = \textrm {E} (X(X - 1) ) + \textrm {E} (X ) - \textrm {E}^2 (X )\" \"\textrm{V}(X) = \displaystyle \frac {129} {8} + \frac {15} 4 - \frac {225} {16} = \frac {93} {16}\".<\/p>\n

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