{"id":56383,"date":"2020-06-24T15:49:33","date_gmt":"2020-06-24T14:49:33","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=56383"},"modified":"2022-06-11T17:08:51","modified_gmt":"2022-06-11T16:08:51","slug":"annale-corrige-sujet-essec-maths-ecs-2018","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-essec-maths-ecs-2018\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet ESSEC Maths ECS 2018"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 maths ESSEC ECS 2018<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales de maths BCE<\/a><\/p>\r\n

<\/p>\r\n

Partie 1 : Convergence de suite<\/h2>\r\n

1<\/strong>. Soient \"x \in [-r,r]\" et \"k \in \mathbb{N}\". Pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"0\leqslant n^k\" \"|a_n|\" \"|x|^n \leqslant n^k\" \"|a_n|\" \"r^n\". Ceci implique la convergence de la s\u00e9rie \"\sum_n n^k\" \"|a_n|\" \"|x|^n\" par comparaison \u00e0 la s\u00e9rie num\u00e9rique \"\sum_n n^k\" \"|a_n|r^n\", convergente (\"(a_n)_n \in A(r)\").<\/p>\r\n

Pour \"0 < x = r'\leqslant r\", le r\u00e9sultat au dessus montre que \"(a_n)_n \in A(r')\". Tout ceci justifie l\u2019inclusion \"A(r) \subset A(r')\".<\/p>\r\n

2.<\/strong> Soient deux r\u00e9els r et r’ tels que \"0 < r' \leqslant r\". Soit une suite \"(a_n)_n\", l’in\u00e9galit\u00e9 de la question 1. \u00e9crite pour \"k = 0\" et \"x = r' \in [-r, r]\" met en \u00e9vidence que la convergence de \"(a_n r^n)_n\" vers 0 entra\u00eene par encadrement celle de \"(a_n r'^n)_n\" vers 0, ce qui justifie la premi\u00e8re inclusion \"B(r)\subset B(r')\".<\/p>\r\n

Enfin, puisque la convergence de la s\u00e9rie \"\sum_n n^k |a_n| r^n\" pour k = 0 entra\u00eene la convergence de son terme g\u00e9n\u00e9ral vers 0, on a l\u2019inclusion \"A(r) \subset B(r)\".<\/p>\r\n

3.<\/strong> Soit \"r > 0\". La suite nulle appartient de mani\u00e8re \u00e9vidente \u00e0 A(r). Soient deux suites \"(a_n)_n\", \"(b_n)_n \in A(r)\" et un r\u00e9el \"\lambda\", on a pour \"k \in \mathbb{N}\":<\/p>\r\n

\"\forall_n \in \mathbb{N}, 0\leqslant n^k |\lambda a_n+b_n|r^n\"<\/p>\r\n

\"\leqslant |\lambda| n^k |a_n|r^n+ n^k |b_n| r^n,\"<\/p>\r\n

de sorte que la s\u00e9rie \"\sum_n n^k |\lambda a_n + b_n| r^n\" converge par comparaison aux s\u00e9ries convergentes \"\sum_n n^k |a_n| r^n\" et \"\sum_n |b_n| r^n\": la suite \"\lambda(a_n)_n + (b_n)_n\" appartient donc \u00e0 A(r). Ainsi A(r) est-il un sous-espace vectoriel de \"\mathbb{R}^\mathbb{N}\".<\/p>\r\n

4.a.<\/strong> Pour \"k \in \mathbb{N}\", on a \"\forall_n \in \mathbb{N}, \dfrac{u_{n+1}(k)}{u_n(k)}= (1+\dfrac{1}{n})^{k+2} \dfrac{r}{n+1} \overrightarrow{n \longrightarrow \infty} 0<1,\" si bien qu\u2019il existe un rang \"n_0\" (d\u00e9pendant de k) tel que pour tout \"n \geq n_0\", \"\dfrac{u_{n+1}(k)}{u_n(k)} \leq \dfrac{1}{2}\" puis, par r\u00e9currence imm\u00e9diate :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n \geq n_0, 0\leq u_n(k) \leq \dfrac{u_{n0}(k)}{2^{n-n_0}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d’o\u00f9 l’on d\u00e9duit par encadrement que \"u_n(k) = n^2 n^k \alpha_n r^n\" tend vers 0 lorsque \"n \longrightarrow \infty\". Il en ressort que \"0 \leq n^k |\alpha_n| r^n = \circ(\dfrac{1}{n^2})\" lorsque \"n \longrightarrow \infty\", et donc que la s\u00e9rie \"\sum_n n^k |\alpha_n| r^n\" converge par comparaison \u00e0 la s\u00e9rie de Riemann convergente \"\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^2}\". La suite \"\alpha\" appartient donc \u00e0 A(r).<\/p>\r\n

b.<\/strong> Soient deux r\u00e9els \"\lambda\", \"r > 0\", la suite \"\beta(\lambda)\" appartient \u00e0 B(r) si, et seulement si, la suite g\u00e9om\u00e9trique \"(\lambda^n r^n)_n\" converge vers 0 c\u2019est-\u00e0-dire si, et seulement si, \"|\lambda_r|< 1\" ou encore \"0 < r < \dfrac{1}{\lambda}\".<\/p>\r\n

Lorsque \"0 < r < \dfrac{1}{\lambda}\", la suite \"(n^{k+2} \lambda^n r^n)_n\" converge vers 0 pour tout \"k \in \mathbb{N}\" par croissances compar\u00e9es, et l\u2019on en d\u00e9duit comme en a. que la s\u00e9rie \"\sum_n n^{k} \lambda^n r^n\" converge : la suite num\u00e9rique \"\beta(\lambda)\" appartient alors \u00e0 A(r).<\/p>\r\n

Pour \"r \geq \dfrac{1}{\lambda}\" en revanche, la s\u00e9rie \"\sum_n \lambda^n r^n\" est grossi\u00e8rement divergente et la suite \"\beta(\lambda)\" n\u2019appartient pas \u00e0 A(r). En conclusion, la suite \"\beta(\lambda)\" appartient \u00e0 A(r) si, et seulement si, \"0 < r < \dfrac{1}{\lambda}\".<\/p>\r\n

5.<\/strong> Soit \"r \in ]0, \varrho[\". Pour \"k \in \mathbb{N}\",<\/p>\r\n

\"0\leq n^k |a_n|r^n\"<\/p>\r\n

=\"|a_n| \varrho^n. n^k (\dfrac{r}{\varrho})^n\"<\/p>\r\n

=\"\circ(n^k(\dfrac{r}{\varrho})^n), n\longrightarrow \infty\"<\/p>\r\n

car le facteur \"|a_n|\" \"\varrho^n\" tend vers 0 lorsque \"n\longrightarrow \infty\", d\u2019o\u00f9 l\u2019on d\u00e9duit la convergence de la s\u00e9rie \"\sum_n n^k |a_n|r^n\" par comparaison \u00e0 la s\u00e9rie \"\sum_n n^k (\dfrac{r}{\varrho})^n\", convergente d\u2019apr\u00e8s 4.b. puisque\"0 < r <\varrho\": la suite \"(a_n)_n\" appartient donc \u00e0 A(r).<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Partie 2 : convergence de s\u00e9rie<\/h2>\r\n

6.<\/strong> La s\u00e9rie \"\sum_n a_n x^n\" est convergente pour x = 0. Pour \"x \in ]-R, R[ \setminus {0},\" elle est absolument convergente d\u2019apr\u00e8s la question 5. appliqu\u00e9e \u00e0 \"r = |x| < R\" sachant que \"(a_n) \in B(R)\" par hypoth\u00e8se.<\/p>\r\n

7.a.<\/strong> On applique sur \"[x, x+h] \subset [-r, r]\" l\u2019in\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis \u00e0 la fonction \"\varphi_n: t\longrightarrow t^n\", de classe \"\ell^1\" sur [-r, r] telle que \"|\varphi'_n(t)| = n |t|^{n-1} \leq nr^{n-1}\" pour tout \"t \in [-r, r]\", on obtient<\/p>\r\n

\"|(x + h)^n - x^n|\"<\/p>\r\n

=\"|\varphi_n(x + h) -\varphi_n(x)| \leq nr^{n-1} |h|\".<\/p>\r\n

b.<\/strong> D\u2019apr\u00e8s a., pour \"x \in [-r, r]\" et h tel que \"x + h \in [-r, r]\",

  <\/span>   <\/span>\"\[|f_a(x + h)- f_a(x)|\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=|\sum_{n=0}^{\infty} a_n((x + h)^n - x^n)|\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\leqslant \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| |((x + h)^n - x^n)|\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[\leqslant \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| n r^{n-1}|h|\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\dfrac{|h|}{r}\sum_{n=0}^{\infty} n|a_n|r^n,\]\"<\/p><\/p>\r\n

toutes s\u00e9ries convergentes d\u2019apr\u00e8s la question 5..<\/p>\r\n

c.<\/strong> De l\u2019in\u00e9galit\u00e9 \u00e9tablie \u00e0 la question 7.b., on d\u00e9duit par encadrement que \"f_a(x + h) \longrightarrow f_a(x)\" lorsque \"h \longrightarrow 0\" sous la contrainte \"x + h \in [-r, r]\". Ainsi la restriction \u00e0 [-r, r] de \"f_a\" est-elle continue\"^ 1\".<\/p>\r\n

Soit un r\u00e9el \"x \in ]-R, R[\", il existe alors \"r \in ]0, R[\" tel que \"x \in ]-r, r[\". Comme la continuit\u00e9 est une notion locale, la continuit\u00e9 de la restriction \"f_a|_[-r,r]\" au point int\u00e9rieur x donne celle de la fonction \"f_a\" au m\u00eame point, et l\u2019on justifie ainsi que \"f_a\" est continue sur ]-R, R[.<\/p>\r\n

8.a.<\/strong> Sachant que \"(a_n) \in B(R)\" et que \"0 < \varrho < R\", la question 5. assure que \"(a_n) \in A(\varrho)\". Il en r\u00e9sulte en particulier que la s\u00e9rie \"\sum_n |a_n| \varrho^n\" converge et par cons\u00e9quent que la suite \"(n |a_n| \varrho^n)\" converge vers 0 : la suite \"(n a_n)_n\" appartient donc \u00e0 \"B(\varrho)\". D\u2019apr\u00e8s la remarque suivant la question 3., on peut alors appliquer les questions 6. et 7. \u00e0 la suite \"((n + 1)a_{n+1})_n\", qui garantissent que la fonction<\/p>\r\n

\"x\longrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1}x^n\"<\/p>\r\n

\"= \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n-1}=g_a(x)\"<\/p>\r\n

est bien d\u00e9finie et continue sur \"]-\varrho, \varrho[\". Puisque le r\u00e9el \"\varrho\" est un \u00e9l\u00e9ment quelconque de l\u2019intervalle [r, R[, il en ressort par un raisonnement analogue \u00e0 celui men\u00e9 en 7.c. que \"g_a\" est bien d\u00e9finie et continue sur ]-R, R[.<\/p>\r\n

b.<\/strong> Il s’agit d’une application directe du th\u00e9or\u00e8me fondamental \u00e0 la fonction \"S_n\", polynomiale donc de classe \"C^1\" sur \"\mathhbb{R}\" : pour \"n \in \mathbb{N}^\ast\",<\/p>\r\n

\"S_n(x) = S_n(0) + \int^{x}_{0}S'_n(t)dt\"<\/p>\r\n

\"=a_0+\int^{x}_{0}S'_n(t)dt\"<\/p>\r\n

c.<\/strong> Pour \"n \in \mathbb{N}^\ast\" et \"x \in [0, r]\",<\/p>\r\n

\"|\int^{x}_{0}g_a(t)-S'_n(t)dt|\"<\/p>\r\n

\"=|\int^{x}_{0}(\sum_{k=n+1}^{\infty}ka_kt^{k-1})dt|\"<\/p>\r\n

\"\leq\int^{x}_{0}|\sum_{k=n+1}^{\infty}ka_kt^{k-1}|dt\"<\/p>\r\n

\"\leq \int^{x}_{0}(\sum_{k=n+1}^{\infty}k|a_k| t^{k-1})dt\"<\/p>\r\n

\"\leq \int^{x}_{0}(\sum_{k=n+1}^{\infty}k|a_k| r^{k-1})dt\"<\/p>\r\n

\"= x \sum_{k=n+1}^{\infty}k|a_k| r^{k-1}\"<\/p>\r\n

\"\leq \sum_{k=n+1}^{\infty}k|a_k| r^k\"<\/p>\r\n

Pour \"x \in [-r, 0]\", on proc\u00e8de de m\u00eame apr\u00e8s avoir pris soin de r\u00e9ordonner les bornes d\u2019int\u00e9gration par ordre croissant (derri\u00e8re les valeurs absolues), afin de pouvoir utiliser l\u2019in\u00e9galit\u00e9 triangulaire et la croissance de l\u2019int\u00e9grale :<\/p>\r\n

\"|\int^{x}_{0}(g_a(t)-S'_n(t)dt|\"<\/p>\r\n

\"\leq\int^{x}_{0}(\sum_{k=n+1}^{\infty}k|a_k| r^{k-1})dt\"<\/p>\r\n

\"=|x| \sum_{k=n+1}^{\infty}k|a_k| r^{k-1}\"<\/p>\r\n

\"\leq \sum_{k=n+1}^{\infty}k|a_k| r^k\"<\/p>\r\n

d.<\/strong> D\u2019apr\u00e8s la question 8.c.<\/p>\r\n

\"\forall n \in \mathbb{N}^\ast, |\int^{x}_{0}(g_a(t)-\int^{x}_{0} S'_n(t)dt|\"<\/p>\r\n

\"\leq \sum_{k=n+1}^{\infty}k|a_k| r^k,\"<\/p>\r\n

o\u00f9 le membre de droite converge vers 0 lorsque \"n \longrightarrow \infty\" comme reste d\u2019une s\u00e9rie convergente. Par encadrement, on en d\u00e9duit que :<\/p>\r\n

\"\int^{x}_{0}(g_a(t)\"<\/p>\r\n

\"= \lim_{n\longrightarrow\infty}\int^{x}_{0}S'_n(t)dt\"<\/p>\r\n

\"=\lim_{n\longrightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n}\int^{x}_{0}ka_k t^{k-1}dt\"<\/p>\r\n

\"=\lim_{n\longrightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k x^{k}=f_a(x)-a_0,\"<\/p>\r\n

e.<\/strong> Puisque la fonction \"g_a\" est continue sur ]-R, R[ d\u2019apr\u00e8s a., la fonction \"x \longrightarrow \int^{x}_{0}g_a(t)dt\" en est par th\u00e9or\u00e8me une primitive \"C^1\". Vu la formule \u00e9tablie en d., la fonction \"f_a\" est donc de classe \"C^ 1\" sur ]-R, R[, de d\u00e9riv\u00e9e \"g_a\".<\/p>\r\n

9.a.<\/strong> Pour \"k \in \mathbb{N}\",<\/p>\r\n

\"\forall n\geq k, {\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}}\"<\/p>\r\n

\"=\dfrac{n(n - 1)...(n- k + 1)}{k!} \sim \dfrac{n^k}{k!}, n\longrightarrow \infty\"<\/p>\r\n

On a donc<\/p>\r\n

\"0 \leq n^k |a_n| r^n \sim k!r^k.{\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}}|a_n|r^{n-k}, n \longrightarrow \infty\"<\/p>\r\n

Par suite, les s\u00e9ries \"\sum_n n^k |a_n| r^n\" et \"\sum_n {\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}}|a_n| r^{n-k}\" sont de m\u00eame nature. Dans ces conditions,la suite \"(a_n)_n\" appartient \u00e0 A(r) si, et seulement si, la s\u00e9rie \"\sum_n {\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}}|a_n| r^{n-k}\" converge pour tout \"k \in \mathbb{N}\".<\/p>\r\n

b.<\/strong> On montre par r\u00e9currence sur \"k \geqslant 0\" que pour toute suite \"(a_n)_n \in B(R)\", la fonction \"f_a\" est de classe \"C^k\" sur ]-R, R[ avec :<\/p>\r\n

\"\forall x \in ]-R, R[, f_a^{(k)}(x)\"<\/p>\r\n

\"= k!\sum_{n=k}^{\infty} {\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}}a_n x^{n-k}\"<\/p>\r\n

Le r\u00e9sultat a \u00e9t\u00e9 \u00e9tabli au rang k = 0 dans la question 7.. S\u2019il est prouv\u00e9 \u00e0 un rang k > 0 et si \"(a_n)_n\" est une suite de B(R) alors, d\u2019apr\u00e8s l\u2019hypoth\u00e8se de r\u00e9currence appliqu\u00e9e (cf. remarque suivant la question 3.) \u00e0 la suite \"((n+1)a_{n+1})_n\", la fonction<\/p>\r\n

\"g_a : x \longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}n a_n x^{n-1}\"<\/p>\r\n

\"=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) a_{n+1} x^n\"<\/p>\r\n

est de classe \"C^k\" sur ]-R, R[, avec :<\/p>\r\n

\"\forall x\in ]-R, R[,g_a^{(k)}(x)\"<\/p>\r\n

\"=k!\sum_{n=k}^{\infty} {\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}}(n+1)a_{n+1} x^{n-k}\"<\/p>\r\n

\"=(k+1)!\sum_{n=k}^{\infty} {\begin{pmatrix} n+1\\ k+1 \end{pmatrix}}a_{n+1} x^{n-k}\"<\/p>\r\n

\"=(k+1)!\sum_{n=k+1}^{\infty} {\begin{pmatrix} n\\ k+1 \end{pmatrix}}a_{n} x^{n-(k+1)},\"<\/p>\r\n

d\u2019o\u00f9 le r\u00e9sultat d\u2019apr\u00e8s 8.e. : \"f_a\" est de classe \"C^{k+1}\" sur ]-R, R[ avec \"f_a^{(k+1)} = g_a^{(k)}\".<\/p>\r\n

c.<\/strong> En \u00e9valuant en x = 0 la formule \u00e9tablie en b., on obtient :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall k\in \mathbb{N}, a_k=\dfrac{f_a^{(k)}(0)}{k!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

10.a.<\/strong> On a :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in \mathbb{R}, f_\alpha(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=e^x\]\"<\/p><\/p>\r\n

et \"f_\alpha^{(k)}(1) = e\" pour tout \"k \in \mathbb{N}\".<\/p>\r\n

b.<\/strong> On a :<\/p>\r\n

\"\forall k\in ]-\dfrac{1}{\lambda}, \dfrac{1}{\lambda}[ f_\beta(x)\"<\/p>\r\n

\"=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^n x^n\"<\/p>\r\n

\"=\dfrac{1}{1 -\lambda x}\"<\/p>\r\n

Il appara\u00eet que la fonction \"f_\beta\" est de classe \"C^\infty\" sur \"]-\dfrac{1}{\lambda}, \dfrac{1}{\lambda}[\" avec, par r\u00e9currence imm\u00e9diate :<\/p>\r\n

\"\forall x\in \mathbb{N}, \forall x\in ]-\dfrac{1}{\lambda}, \dfrac{1}{\lambda}[ f_\beta^(k) (x)\"<\/p>\r\n

\"=\dfrac{k! \lambda^k}{(1 -\lambda x)^{k+1}}\"<\/p>\r\n

En appliquant, pour \"0 < \varrho < \dfrac{1}{\lambda}\", la question 9.b. \u00e0 la suite \"\beta \in B(\varrho)\", on obtient donc :<\/p>\r\n

\"\forall x\in ]-\varrho, \varrho[, \sum_{n=k}^{\infty}{\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}} (\lambda x)^{n-k}\"<\/p>\r\n

\"=\dfrac{f_\beta^(k) (x)}{k!\lambda^k}\"<\/p>\r\n

\"=\dfrac{1}{(1-\lambda x)^{k+1}}\"<\/p>\r\n

avec convergence de la s\u00e9rie, puis le r\u00e9sultat s\u2019\u00e9tend \u00e0 tout \"x \in ]-\dfrac{1}{\lambda}, \fdrac{1}{\lambda}[\" puisque \"\varrho\" est quelconque dans \"]0, \dfrac{1}{\lambda}[\".<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

Partie 3 : Formule de r\u00e9ciprocit\u00e9<\/h2>\r\n

11.a.<\/strong> En appliquant la formule de Taylor avec reste int\u00e9gral entre 1 et 0 \u00e0 la fonction fa, de classe \"C^{\infty}\" sur ]-R, R[ avec \"R > 1\" d\u2019apr\u00e8s 9.b., il vient pour \"N \in \mathbb{N}\" :<\/p>\r\n

\"f_a(0)=\sum_{k=0}^{N} \dfrac{f_a^{(k)} (1)}{k!}(-1)^k+ \int^{0}_{1}\dfrac{(-t)^N}{N!}f_a^{(N+1)}(t)dt\"<\/p>\r\n

=\"\sum_{k=0}^{N}(-1)^k b_k +(-1)^{N+1} \int^{1}_{0}\dfrac{t^N}{N!}f_a^{(N+1)} (t)dt\"<\/p>\r\n

b.<\/strong> Toujours d\u2019apr\u00e8s la question 9.b., on a :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall k\in \mathbb{N}, \forall x\in [0,R[, f_a^{(k)} (x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=k! \sum_{n=k}^{\infty} {\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}}a_n x^{n-k}\geq 0\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par suite, les d\u00e9riv\u00e9es successives de \"f_a\" sont positives et croissantes sur [0, R[. D\u00e8s lors,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall N\in \mathbb{N}, 0\leq \int^{1}_{0}\dfrac{t^N}{N!}f_a^{(N+1)} (t)dt \leq\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\int^{1}_{0}\dfrac{t^N}{N!}f_a^{(N+1)}(1)dt=\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{f_a^{(N+1)}(1)}{(N+1)!}=\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[b_{N+1}\leq b_{N+1}\varrho^{N+1}\]\"<\/p><\/p>\r\n

o\u00f9 le membre de droite converge vers 0 lorsque \"N\longrightarrow \infty\" par hypoth\u00e8se. Par cons\u00e9quent,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{N\longrightarrow \infty}\int^{1}_{0}\dfrac{t^N}{N!}f_a^{(N+1)} (t)dt=0\]\"<\/p><\/p>\r\n

c.<\/strong> D\u2019apr\u00e8s les questions a. et b., la s\u00e9rie \"\sum_k (-1)^k b_k\" converge avec :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_k ^{\infty}(-1)^k b_k=f_a(0)=a_0\]\"<\/p><\/p>\r\n

12.a.<\/strong> Il s\u2019agit l\u00e0 encore d\u2019une application directe de la formule de Taylor avec reste int\u00e9gral, comme en 11.a., cette fois-ci \u00e0 la fonction \"f^(s)\"<\/p>\r\n

b.<\/strong> Comme en 11.b., la positivit\u00e9 et la croissance de \"f_a ^{(N+s+1)}\" sur [0, R[ am\u00e8nent :<\/p>\r\n

\"\forall N\in \mathbb{N}, 0\leq \int^{1}_{0}\dfrac{t^N}{N!}f_a^{(N+s+1)} (t)dt\"<\/p>\r\n

\"\leq \dfrac{f_a^{N+s+1}(1)}{(N+1)!}\"<\/p>\r\n

\"=b_{N+s+1}\varrho^{N+s+1}\dfrac{(N+s+1)!}{(N+1)!}\dfrac{1}{\varrho^{N+s+1}}\"<\/p>\r\n

c.<\/strong> Au second membre de l\u2019in\u00e9galit\u00e9 \u00e9tablie en b., \"b_{N+s+1}\varrho^{N+s+1}\" tend vers 0 lorsque \"N \longrightarrow \infty\" par hypoth\u00e8se, ainsi que<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{(N+s+1)!}{(N+1)!}\dfrac{1}{\varrho^{N+s+1}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\dfrac{(N + s + 1) .... (N + 2)}{\varrho^{N+s+1}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sim \dfrac{N^s}{\varrho^{N+s+1}}, N \longrightarrow \infty\]\"<\/p><\/p>\r\n

car \"\varrho > 1\". Il en ressort par encadrement que<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{N\longrightarrow \infty}\int^{1}_{0}\dfrac{t^N}{N!}f_a^{(N+s+1)} (t)dt=0\]\"<\/p><\/p>\r\n

d.<\/strong> Des questions a. et c., on d\u00e9duit la convergence de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(-1)^k \dfrac{f_a ^{(k+s)}(1)}{k!}=\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(-1)^k \dfrac{(k + s)!}{k!}b_{k+s}=\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[s!(-1)^k {\begin{pmatrix} k+s\\ s \end{pmatrix}}b_{k+s}, k \geq 0\]\"<\/p><\/p>\r\n

avec, d\u2019apr\u00e8s 9.c. :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[a_s=\dfrac{f_a ^{(s)}(0)}{s!}=\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{1}{s!} \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \dfrac{f_a ^{(k+s)}(1)}{k!}=\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k{\begin{pmatrix} k+s\\ s \end{pmatrix}}b_{k+s}=\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{n=s}^{\infty}(-1)^{n-s}{\begin{pmatrix} n\\ s \end{pmatrix}}b_n\]\"<\/p><\/p>\r\n

13.a.<\/strong> Dans les conditions de l\u2019\u00e9nonc\u00e9, la fonction fa est polynomiale de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 d.<\/p>\r\n

b.<\/strong> D\u2019apr\u00e8s a., on a \"f_a ^{(n)}= 0\" et donc \"b_n = 0\" pour tout \"n \geq d+1\", si bien que la condition (H) est r\u00e9alis\u00e9e : la suite \"(b_n \varrho^n)_n\" converge vers 0 pour tout r\u00e9el \"\varrho > 1\".<\/p>\r\n

c.<\/strong> La formule de la question 12.d. s\u2019applique donc et devient :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall N\in [0,d], a_s=\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{n=s}^{d}(-1)^{n-s}{\begin{pmatrix} n\\ s \end{pmatrix}}b_n\]\"<\/p><\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\r\n

Partie 4 : Application aux variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes<\/h2>\r\n

14.a.<\/strong> La s\u00e9rie \"\sum_{n} a_n =\sum_{n}P(X = n)\" \u00e9tant convergente, son terme g\u00e9n\u00e9ral converge vers 0 : la suite \"(a_n)_n\" appartient \u00e0 B(1).<\/p>\r\n

b.<\/strong> Dans ces conditions, la fonction \"G_X = f_a\" est de classe \"C^\infty\" sur ]-1, 1[ d\u2019apr\u00e8s la question 9.b.<\/p>\r\n

15.a.<\/strong> On a :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in \mathbb{R}, G_X(x)= e^{-1}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=e^{x-1}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Il appara\u00eet que la fonction \"G_X\" est de classe \"C^\infty\" sur R avec, pour tout \"s \in \mathbb{N}, G_X^{(s)}(x)=e^{x-1}\" pour tout \"x \in \mathbb{R}\" et en particulier \"G_X^{(s)} (1) = 1\".<\/p>\r\n

b.<\/strong> Dans les conditions de l\u2019\u00e9nonc\u00e9, on a \"b_n = \dfrac{1}{n!}\" pour tout \"n \in \mathbb{N}\" si bien que \"(b_n \varrho^n)_n\" converge vers 0 pour tout \"\varrho > 1\" comme terme g\u00e9n\u00e9ral d\u2019une s\u00e9rie exponentielle convergente : l\u2019hypoth\u00e8se (H) est donc satisfaite. Par suite, la formule de la question 12.d. s\u2019applique et donne :\u00a0<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall s \in \mathbb{N}, P(X=s)=a_s\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= \sum_{n=s}^{\infty}{\begin{pmatrix} n\\ s \end{pmatrix}} \dfrac{1}{n!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\sum_{n=s}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-s}}{s!(n-s)!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\dfrac{1}{s!}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k}}{k!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\dfrac{e^{-1}}{s!}\]\"<\/p><\/p>\r\n

La variable X suit donc la loi de Poisson P(1).<\/p>\r\n

16.a.<\/strong> Il vient pour tout \"n \in \mathbb{N}\"<\/p>\r\n

\"a_n = P(X = n) = P(X + 1 = n + 1) = pq^n\" et :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x \in ]-\dfrac{1}{q}, \dfrac{1}{q}[, G_X(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= p \sum_{n=0}^{\infty} q^n x^n\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= \dfrac{p}{1-qx}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Il appara\u00eet que \"G_X\" est de classe \"C^\infty\" sur \"]-\dfrac{1}{q}, \dfrac{1}{q}[\" avec :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall s \in \mathbb{N}, \forall x\in ]-\dfrac{1}{q}, \dfrac{1}{q}[,G_X^{(s)}(x)\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\dfrac{pq^s s!}{(1-qx)^{s+1}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

En particulier, \"G_X^{(s)} (1) = s!(\dfrac{q}{p})^s\" pour tout \"s \in \mathbb{N}\".<\/p>\r\n

b.<\/strong> La fonction \"p \longrightarrow \dfrac{q}{p}=\dfrac{1}{p}-1\" est d\u00e9croissante sur ]0, 1[ si bien que pour \"p > \dfrac{1}{2}\", on a \"\dfrac{q}{p}<\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}=1\". Sous les conditions de l\u2019\u00e9nonc\u00e9, on a \"b_n =(\dfrac{q}{^p})^n\" pour tout \"n \in \mathbb{N}\", si bien que \"(b_n\varrho^n)_n\" converge vers 0 pour tout \"\varrho\" tel que \"1 < \varrho < \dfrac{p}{q}\": l\u2019hypoth\u00e8se (H) est donc v\u00e9rifi\u00e9e. La question 12.d. s\u2019applique alors et donne :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall s \in \mathbb{N}, P(X=s)=a_s\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\sum_{n=s}^{\infty}(-1)^{n-s}{\begin{pmatrix} n\\s \end{pmatrix}} (\dfrac{q}{p})^n\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=(\dfrac{q}{p})^s \sum_{n=s}^{\infty} {\begin{pmatrix} n\\s \end{pmatrix}}(-\dfrac{q}{p})^{n-s}\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=(\dfrac{q}{p})^s \dfrac{1}{(1+\dfrac{q}{p})^{s+1}}= pq^s\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\u2019apr\u00e8s 10.b. sachant \"|\dfrac{q}{p}| < 1\". Il en ressort comme en a. que X + 1 suit la loi g\u00e9om\u00e9trique G(p).<\/p>\r\n

17.<\/strong> On note \"P_d\" le sous-espace vectoriel de \"R^R\" constitu\u00e9 des fonctions polynomiales de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 d.<\/p>\r\n

a.<\/strong> Les polyn\u00f4mes \"H_0\", \"H_1\", …. ,\"H_d\" sont non nuls et de degr\u00e9s deux-\u00e0-deux distincts : ils forment donc une famille libre de \"P_d\", form\u00e9e de \"d + 1 = dim P_d\" vecteurs, c\u2019est-\u00e0-dire une base de \"P_d\".<\/p>\r\n

b.<\/strong> C\u2019est imm\u00e9diat : \"\Delta\" est clairement lin\u00e9aire sur \"P_d\" et \u00e0 valeurs dans \"P_d\".<\/p>\r\n

c.<\/strong> On a bien s\u00fbr \"\Delta(H_0) = 0\" et, pour \"s \in [1,d]\",<\/p>\r\n

\"\forall x \in \mathbb{R}, \Delta(H_s)(x)\"<\/p>\r\n

\"=\dfrac{(x + 1)x... (x- s + 2)}{s!}\"<\/p>\r\n

\"- \dfrac{(x + 1)x... (x- s + 1)}{s!}\"<\/p>\r\n

\"=\dfrac{(x - 1)x... (x- s + 2)}{s!}((x + 1)\"<\/p>\r\n

\"- (x - s + 1))\"<\/p>\r\n

\"= \dfrac{(x - 1)x... (x- s + 2)}{(s-1)!}\"<\/p>\r\n

\"=H_{s-1}(x)\"<\/p>\r\n

ainsi que \"H_s(0) = 0\".<\/p>\r\n

d.<\/strong> On commence par v\u00e9rifier la formule pour un polyn\u00f4me \"P = H_k\", \"k \in [0, d]\". Or, en it\u00e9rant le r\u00e9sultat obtenu en c., il vient :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall s\in[0, d], \Delta^s(H_k)\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\begin{cases} H_{k-s} \qquad si \qquad s \leqslant k\\<\/p><\/p>\r\n

si bien que<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall s\in[0, d], \Delta^s(H_k)(0)\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\begin{cases} 1 \qquad si \qquad s = k\\<\/p><\/p>\r\n

d\u2019o\u00f9 finalement<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{s=0}^{\infty}[\Delta^s(H_s)(0)]H_s=H_k\]\"<\/p><\/p>\r\n

Puisque les applications \"P\longrightarrow P\" et \"P \longrightarrow \sum_{s=0}^{d}[\Delta^s(P)(0)]H_s\" sont lin\u00e9aires sur \"P_d\" et co\u00efncident comme on vient de le voir sur les vecteurs de la base \"(H_0,H_1,....,H_d)\", elles sont donc \u00e9gales :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall P\in P_d, P\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\sum_{s=0}^{d} [\Delta^s(P)(0)]H_s\]\"<\/p><\/p>\r\n

e.<\/strong> Il sufit d\u2019appliquer la formule de la question d. au polyn\u00f4me \"P=e_k\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall k \in [0, d],\quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad n^k\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= e_k(n)\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= \sum_{s=0}^{d}[\Delta^s(e_k)(0)]H_s(n)\]\"<\/p><\/p>\r\n

f.<\/strong> Pour \"k \in [0, d]\", il vient par transfert et d\u2019apr\u00e8s e.<\/p>\r\n

\"E(X^k)=\sum_{s=0}^{d}n^k a_n\"<\/p>\r\n

\"=\sum_{n=0}^{d}\sum_{s=0}^{d}[\Delta^s(e_k)(0)]H_s(n)a_n\"<\/p>\r\n

\"=\sum_{n=0}^{d}[\Delta^s(e_k)(0)](\sum_{n=0}^{d}H_s(n)a_n)\"<\/p>\r\n

o\u00f9 :<\/p>\r\n

\"\forall s \in [0, d], \sum_{n=0}^{d}[\Delta^s(e_k)(0)](H_s(n)a_n)\"<\/p>\r\n

\"=\sum_{n=0}^{d}\dfrac{n(n - 1)....(n - s + 1)}{s!}a_n\"<\/p>\r\n

\"=\dfrac{G_X^(s)(1)}{s!}=b_s\"<\/p>\r\n

ce qui conduit au r\u00e9sultat :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[E(X^k)=[\Delta^s(e_k)(0)]b_s\]\"<\/p><\/p>\r\n

g.<\/strong> En calculant les valeurs de \"\Delta^s(e_k)(0)\", \"0\leqslant k\", \"s \leqslant 2\", on explicite les relations de la question f. pour \"k \in \lbrace{0, 1, 2}\rbrace\", qui permettent d\u2019acc\u00e9der aux valeurs de \"b_0, b_1, b_2\" :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases} b_0=E(X^0)=1 \\ b_1=E(X)=1 \qquad \Leftrightarrow \\<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{cases}<\/p><\/p>\r\n

Vu 13.b., on peut alors appliquer la formule obtenue en 13.c. pour obtenir :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[a_0 = b_0- b_1 + b_2\]\"<\/p><\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\dfrac{1}{4}\]\"<\/p>,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\quad a_1=b_1- 2b_2=\dfrac{1}{2}\quad\]\"<\/p><\/p>\r\n

et

  <\/span>   <\/span>\"\[\quad a_2 = b_2 =\dfrac{1}{4}\]\"<\/p><\/p>\r\n

ce qui met en \u00e9vidence que X suit la loi binomiale \"B(2, \dfrac{1}{2})\".<\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

\u00a0<\/p>\r\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Corrig\u00e9 maths ESSEC ECS 2018 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales de maths BCE Partie 1 : Convergence de suite 1. Soient et . Pour tout , . Ceci implique la convergence de la s\u00e9rie par comparaison \u00e0 la s\u00e9rie num\u00e9rique , convergente (). Pour , le r\u00e9sultat au dessus montre que . 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