{"id":58316,"date":"2020-07-09T13:51:09","date_gmt":"2020-07-09T12:51:09","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=58316"},"modified":"2022-06-11T17:51:34","modified_gmt":"2022-06-11T16:51:34","slug":"annale-corrige-sujet-hec-maths-ecs-2017","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-hec-maths-ecs-2017\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths ECS 2017"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n

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Corrig\u00e9 du sujet maths HEC 2017 ECS<\/h1>\n<\/div>\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\n

Partie 1 : Propri\u00e9t\u00e9s des polyn\u00f4mes de Bernstein<\/h2>\n

1.a<\/strong> \"\ds B_{2,0}(X)={2 \choose 0}X^0(1-X)^2\"<\/p>\n

\"=1-2X+X^2\",<\/p>\n

\"\ds B_{2,1}(X) = {2\choose 1} X^1(1-X)^1\"<\/p>\n

\"= 2X-2X^2\",<\/p>\n

\"\ds B_{2,2}(X) = {2\choose 2} X^2(1-X)^0\"<\/p>\n

\"=X^2\",<\/p>\n

donc<\/p>\n

\"K_2\"=\"\begin{pmatrix}<\/p>\n

b.<\/strong> \"K_2\" est inversible car il s’agit d’une matrice triangulaire inf\u00e9rieure et ne contient aucun 0 sur la diagonale ; \"\ds (B_{2,0},B_{2,1},B_{2,2})\" est donc une base de \"\ds \mathbb{R}_2[X]\".<\/p>\n

c.<\/strong>\"(T_2(A_0))(X) = \ds \sum_{k=0}^2A_0\left(\dfrac k2\right)B_{2,k}(X)\"<\/p>\n

\"= B_{2,0}(X)+B_{2,1}(X)+B_{2,2}(X)\"<\/p>\n

\"= 1\"<\/p>\n

\"(T_2(A_1))(X) = \ds \sum_{k=0}^2A_1\left(\dfrac k2\right)B_{2,k}(X)\"<\/p>\n

\"= \dfrac 12 B_{2,1}(X)+B_{2,2}(X)\"<\/p>\n

\"= X-X^2+X^2\"<\/p>\n

\"=X\"<\/p>\n

\"(T_2(A_2))(X) = \sum_{k=0}^2A_2\left(\dfrac k2\right)B_{2,k}(X)\"<\/p>\n

\"= \dfrac 14 B_{2,1}(X)+B_{2,2}(X)\"<\/p>\n

\"= \dfrac 12 (X-X^2)+X^2\"<\/p>\n

\"=\dfrac X2 + \dfrac{X^2}{2}\"<\/p>\n

donc \"H_2\"=\"\begin{pmatrix}<\/p>\n

\"H_2\" \u00e9tant une matrice triangulaire inf\u00e9rieure, ses valeurs propres sont les \u00e9l\u00e9ments sur la diagonale donc \"\encadre{Sp(T_2)=Sp(H_2)=\left\{ 1, \dfrac 12\right\}}\"<\/p>\n

\"T_2(A_0)=A_0\" et \"T_2(A_1)=A_1\" donc \"\Vect(A_0,A_1)\" est inclus dans \"E_1(T_2)\" ;<\/p>\n

\"\ds H_2\times \left(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array}\right) = \dfrac 12\left(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array}\right)\"<\/p>\n

donc \"\ds X-X^2 \in E_{1/2}(T_2)\" ;<\/p>\n

La somme des dimensions des espaces propres ne peut pas d\u00e9passer 3,<\/p>\n

\"E_1(T_2)\"<\/p>\n

\"= Vect(A_0,A_1)\"<\/p>\n

\"=\mathbb{R}_1[X]\"<\/p>\n

et \"E_{1/2}(T_2) =Vect(X-X^2)}\"<\/p>\n

2.a<\/strong> Pour \"k\in\" [\\![0\\,;n]\\!], \"\ds B_{n,k}(X)= {n\choose k} X^k (1-X)^{n-k}\" donc le terme non \u00e9gal \u00e0 z\u00e9ro de plus faible degr\u00e9 de \"\ds B_{n,k}\" est \"\ds {n\choose k} X^k\".<\/p>\n

Donc, la matrice \"K_n\" de la famille \"\ds (B_{n,0}, \cdots,B_{n,n})\" dans la base \"{\cal C}_n\" est une matrice triangulaire inf\u00e9rieure et ses coefficients diagonaux sont les \"\ds {n\choose k}, 0\leq k\leq n\". Ces coefficients diagonaux sont tous non nuls, donc \"K_n\" est inversible, d’o\u00f9 \"\ds (B_{n,0}, \cdots,B_{n,n})\" est une base de \"\mathbb{R}_n[X]\".<\/p>\n

2.b.<\/strong> \"\bullet\" Pour tout \"P\in \mathbb{R}_n[X]\", \"T_n(P)\" est combinaison lin\u00e9aire des \"\ds B_{n,k}, 0\leq k\leq n\", donc \"T_n(P) \in \mathbb{R}_n[X]\" : \"T_n\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R}_n[X]\".<\/p>\n

\"\bullet\" Injectivit\u00e9 : soit \"P\in \mathbb{R}_n[X]\" tel que \"T_n(P)=0\", alors \"\sum_{k=0}^n P \left( \dfrac kn\right) B_{n,k}(X) =0,\"<\/p>\n

Or la famille des \"\ds B_{n,k}\" est libre, donc<\/p>\n

\"\forall k \in [\![0\,;n]\!], \:\: P\left( \dfrac kn \right)=0.\"<\/p>\n

\"P\" poss\u00e8de alors \"n+1\" racines distinctes, or \"P\" est de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\", donc \"P\" est le polyn\u00f4me nul : Ker\"(T_n)=0\" donc \"T_n\" est injectif.<\/p>\n

\"\bullet\" \"T_n\" \u00e9tant un endomorphisme injectif d’un espace de dimension finie, \"T_n\" est alors un automorphisme de cet espace.<\/p>\n

2.c.<\/strong> \"A_0(X)=1\" donc \"\ds (T_n(A_0))(X)\"<\/p>\n

\"=\sum_{k=0}^n B_{n,k}(X)\"<\/p>\n

\"=\sum _{k=0}^n {n\choose k} X^k(1-X)^{n-k}\"<\/p>\n

\"=(X+1-X)^n\"<\/p>\n

\"= 1\" :<\/p>\n

\"T_n(A_0)=A_0\"<\/p>\n

\"A_1(X)=X\" donc<\/p>\n

\"T_n(A_1)(X)=\ds \sum_{k=0}^n \dfrac kn B_{n,k}(X)\"<\/p>\n

\"=\ds \sum _{k=1}^n \dfrac kn {n\choose k} X^k(1-X)^{n-k}\" en enlevant le premier terme nul<\/p>\n

\"= \ds \sum _{k=1}^n{n-1\choose k-1} X^k(1-X)^{n-k}\"<\/p>\n

\"= \ds \sum _{k=0}^{n-1}{n-1\choose k} X^{k+1}(1-X)^{n-1-k}\"<\/p>\n

\"= \ds X (X+1-X)^{n-1}\"<\/p>\n

\"= X\"<\/p>\n

donc \"T_n(A_1)=A_1\"<\/p>\n

2.d.<\/strong> Montrons par r\u00e9currence finie sur \"k\in[\![0,n]\!]\" : \"({\cal H}_k) : \: T_n(A_k)\" est de degr\u00e9 \"k\".<\/p>\n

\"\bullet\" Initialisation : \"T_n(A_0)=1\" donc \"({\cal H}_0)\" est vraie et \"T_n(A_1)=A_1\" donc\"({\cal H}_1)\" est vraie \u00e9galement.<\/p>\n

\"\bullet\" H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 : soit \"k\in [\![1\,;n-1]\!]\" tel que \"({\cal H}_k)\" soit vraie, et notons \"\alpha_k\not = 0\" le coefficient de son terme de degr\u00e9 \"k\". D’apr\u00e8s le r\u00e9sultat admis,<\/p>\n

\"(T_n(A_{k+1}))(X)\"<\/p>\n

\"= \dfrac 1n X(1-X) (T_n(A_k))'(X) + X(T_n(A_k))(X)\"<\/p>\n

Le terme de plus haut degr\u00e9 de \"\ds \dfrac 1n X(1-X) (T_n(A_k))'(X)\" est : \"\ds -\dfrac kn \alpha_kX^{k+1}\" ,celui de \"\ds X(T_n(A_k))(X)\" est : \"\ds \alpha_kX^{k+1}.\"<\/p>\n

Le terme de plus haut degr\u00e9 de \"\ds (T_n(A_{k+1}))(X)\" est donc : \"\ds \left( -\dfrac kn +1\right)\alpha_kX^{k+1}\" avec<\/p>\n

\"\left( -\dfrac kn +1\right)a_k\not = 0\" car \"k\in [\![1\,;n]\!]\" et \"\alpha_k\not=0\"<\/p>\n

\"\ds (T_n(A_{k+1}))\" est donc bien de degr\u00e9 \"k+1\" : \"\ds ({\cal H}_{k+1})\" est vraie.<\/p>\n

2.e.<\/strong> D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, \"\ds \alpha_0=1\" et<\/p>\n

\"\forall k\in\[\![0,n-1]\!] : \alpha_{k+1}\"<\/p>\n

\"= \left( -\dfrac kn +1\right)\alpha_k\"<\/p>\n

\"= \dfrac{n-k}{n}\alpha_k\"<\/p>\n

Il s’ensuit, par r\u00e9currence :<\/p>\n

\"\alpha_0=1\" et\u00a0 \"\forall k\in[\![1,n]\!] \alpha_k\"<\/p>\n

\"= \dfrac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}\"<\/p>\n

\"=\dfrac{n!}{(n-k)!n^k}}\"<\/p>\n

Notons alors \"H_n\" la matrice de \"T_n\" dans la base \"{\cal C}_n\" ; d’apr\u00e8s la question d) \"H_n\" est triangulaire sup\u00e9rieure, elle a pour valeurs propres ses coefficients diagonaux, qui sont les \"\alpha_k\".<\/p>\n

Or \"\alpha_0=\alpha_1=1\", mais \u00e0 partir du rang 1 on a : \"\ds \alpha_{k+1}=\dfrac{n-k}{n}\alpha_k < \alpha_k\", donc tous les autres coefficients diagonaux sont distincts.<\/p>\n

On a d\u00e9j\u00e0 \"\ds \Vect (A_0,A_1) \subset E_1(T_n)\"donc \"\dim(E_1(T_n)) \geq 2\" ; et pour \"k\in[\![2,n]\!]\", \"\ds \dim (E_{\alpha_k}(T_n)) \geq 1\", donc \"\ds \dim(E_1(T_n))+ \sum _{k=2}^n \dim(E_{\alpha_k}(T_n)) \geq \dim(\mathbb{R}_n[X]) ;\"<\/p>\n

ainsi : \"T_n\" est diagonalisable, \"E_1(T_n)\"=Vect\"(A_0,A_1)\" et \"\forall k\in [\![2\,;n]\!] \dim (E_{\alpha_k}(T_n)) =1.}\"<\/p>\n

3.a<\/strong> \"Z_n\" peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme la somme de \"n\" Variable Al\u00e9atoire R\u00e9elle de Bernoulli, ind\u00e9pendantes et de m\u00eame param\u00e8tre \"z\" ; ces variables \u00e9tant d’esp\u00e9rance \"z\" et admettant une variance, par la loi faible des grands nombres \"\ds (\overline{Z_n})_{n\geq 1}\"converge en probabilit\u00e9 vers \"z\".<\/p>\n

3.b.<\/strong> \"|f|\" est une fonction continue sur un segment, elle est donc born\u00e9e et atteint ses bornes.<\/p>\n

3.c.<\/strong> Notons que \"\overline{Z_n} \in [0,1]\", donc \"\ds |f(\overline{Z_n})| \leq M\" et de m\u00eame \"|f(z)| \leq M\". Raisonnons alors par disjonction de cas :<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"U_n\" est r\u00e9alis\u00e9, alors \"\ds 1_{U_n}=1\" et \"\ds 1_{\overline{U_n}}=0\", et :<\/p>\n

\"|f(\overline{Z_n})-f(z)|\"<\/p>\n

\"\leq |f(\overline{Z_n}) | + |f(z)| \leq 2M\"<\/p>\n

\"= 2M 1_{U_n} + \epsilon1_{\overline{U_n}}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"U_n\" n’est pas r\u00e9alis\u00e9, alors \"\ds 1_{U_n}=0\" et \"\ds 1_{\overline{U_n}}=1\", et :<\/p>\n

\"|f(\overline{Z_n})-f(z)|\"<\/p>\n

\"\leq \epsilon =2M 1_{U_n} + \epsilon1_{\overline{U_n}}\"<\/p>\n

3.d.<\/strong> Pour tout \"\epsilon >0\" fix\u00e9 :<\/p>\n

\"|E(f(\overline{Z_n}))-f(z)| = |E( f(\overline{Z_n})-f(z)|\" (lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance)<\/p>\n

\"\leq E|f(\overline{Z_n})-f(z)|\"\u00a0 (in\u00e9galit\u00e9 triangulaire)<\/p>\n

\"\leq \ds E( 2M1_{U_n} +\epsilon 1_{\overline{U_n}})\" (croissance de l’esp\u00e9rance)<\/p>\n

\"\leq& \ds 2M E( 1_{U_n}) +\epsilon E( 1_{\overline{U_n}})\"<\/p>\n

\"\leq & \ds 2MP(U_n) + \epsilon P(\overline{U_n})\" (car \"1_A\" est une VAR de Bernoulli de param\u00e8tre P(A))<\/p>\n

\"\leq& \ds 2MP(U_n)+\epsilon\" (car \"P(\overline{U_n}) \leq 1)\"<\/p>\n

Or, puisque la suite \"(\overline{Z_n})_{n\geq 1}\" converge en probabilit\u00e9 vers \"z\", et que \"f\" est une fonction continue, alors la suite \"f(\overline{Z_n})_{n\geq 1}\" converge en probabilit\u00e9 vers \"f(z)\". Ainsi : \"\lim_{n\to\infty} P(U_n)=0.\"<\/p>\n

Il existe donc un rang \"N\" tel que : \"\forall n\geq N, \:\:\: 2MP(U_n) \leq \epsilon\"<\/p>\n

on a alors :<\/p>\n

\"\forall \epsilon >0 \:\:\: \exists N\in \nz \:\:\: \forall n \geq N \:\:\: \left| E(f(\overline{Z_n}))-f(z) \right| \leq 2\epsilon,\"<\/p>\n

donc \"\ds \lim_{n\to\infty} \left| E(f(\overline{Z_n}))-f(z) \right| =0\", donc :<\/p>\n

\"\encadre{ \lim_{n\to\infty}E(f(\overline{Z_n}))=f(z)}\"<\/p>\n

Il reste \u00e0 faire le lien avec \"f_n(z)\" : pour tout \"n\in\mathbb N^*\", en remarquant que, pour tout \"\in \mathbb N^*\" et tout \"k\in [\![1\,;n]\!]\",<\/p>\n

\"B_{n,k}(z)={n\choose k}z^k(1-z)^{n-k}=P(Z_n=k).\"<\/p>\n

Ainsi,<\/p>\n

\"\ds f_n(z) = \sum_{k=0}^n f\left(\dfrac kn \right)P(Z_n=k)\" donc, par le th\u00e9or\u00e8me de transfert,<\/p>\n

\"f_n(z)=E \left( f\left(\dfrac{Z_n}{n}\right)\right)= E(f(\overline{Z_n})),\" d’o\u00f9 :<\/p>\n

\"\lim_{n\to\infty} f_n(z)=f(z)\"<\/p>\n

4.a<\/strong> Z=grand(1,1, \u00ab\u00a0bin\u00a0\u00bb ,n,z)<\/p>\n

4.b.<\/strong> Ce code simule 1000 VAR ind\u00e9pendantes suivant la loi de \"\overline{Z}_{100}\", puis calcule la moyenne des valeurs de \"f\" prises sur ces variables.<\/p>\n

Par la loi faible des grands nombres, la valeur affich\u00e9e fournit une valeur approch\u00e9e de \"E( f(\overline{Z}_{100}))\".<\/p>\n

Comme 100 peut sans doute \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme un grand nombre, la valeur affich\u00e9e est \u00e9galement une valeur approch\u00e9e de \"f(z)=-0,4 \ln(0,4)\".<\/p>\n

La m\u00e9thode utilis\u00e9e ici est la m\u00e9thode de Monte Carlo.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Partie 2 : Polyn\u00f4mes d’interpolation de Lagrange<\/h2>\n

5.a<\/strong> Lin\u00e9arit\u00e9 \u00e9vidente<\/p>\n

\"\bullet\" Injectivit\u00e9 : soit \"P\in\mathbb{R}_n[X]\" tel que \"\phi(P)=0\", alors \"P(x_0)=\cdots=P(x_n)=0\" ; \"P\" poss\u00e8de alors \"n+1\" racines distinctes, or \"P\" est de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\", donc \"P\" est nul :\"\Ker(\phi)={0}\" donc \"\phi\" est injectif.<\/p>\n

\"\bullet\" \"\phi\" \u00e9tant une application lin\u00e9aire injective entre deux espaces de m\u00eame dimension, \"\phi\" est un isomorphisme.<\/p>\n

5.b.<\/strong> Pour tout \"(i,k) \in [\![0\,;n]\!] ^2\", \"\ds L_i(x_k)=\delta_{i,k}\".<\/p>\n

\"L_i\" est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\", admettant \"n\" racines distinctes ; ainsi il existe un r\u00e9el \"\lambda_i\" tel que<\/p>\n

\"L_i(X) = \lambda_i \prod _{k\in [\![0\,;n]\!], \: k\not = i} (X-x_k)\"<\/p>\n

De plus, \"L_i(x_i)=1\",<\/p>\n

Donc \"\ds \lambda_i \prod _{k\in [\![0\,;n]\!], \: k\not = i} (x_i-x_k) = 1\" d’o\u00f9 :<\/p>\n

\"L_i(X) = \prod _{k\in [\![0\,;n]\!], \: k\not = i} \dfrac{X-x_k}{x_i-x_k}}\"<\/p>\n

5.c.<\/strong> \"\bullet\" Sym\u00e9trie :<\/p>\n

\"\forall (P,Q)\in(\mathbb{R}_n[X])^2\:\: \psi(Q,P)\"<\/p>\n

\"= \sum_{k=0}^n Q(x_k)P(x_k)\"<\/p>\n

\"=\sum_{k=0}^n P(x_k)Q(x_k)\"<\/p>\n

\"= \psi(P,Q)\" par commutativit\u00e9 du produit des r\u00e9els.<\/p>\n

\"\bullet\" Bilin\u00e9arit\u00e9 : soit \"(P,Q,R)\in(\mathbb{R}_n[X])^3\" et \"\lambda\in\mathbb{R}\",<\/p>\n

\"\psi(\lambda P+Q,R)\"<\/p>\n

\"= \sum_{k=0}^n (\lambda P(x_k)+Q(x_k))R(x_k)\"<\/p>\n

\"=\lambda \sum_{k=0}^n P(x_k)R(x_k) + \sum_{k=0}^n Q(x_k)R(x_k)\"<\/p>\n

\"= \lambda\psi(P,R)+ \psi(Q,R)\"<\/p>\n

\"\psi\" est lin\u00e9aire \u00e0 gauche, et \u00e0 droite par sym\u00e9trie.<\/p>\n

\"\bullet\" Positivit\u00e9 : soit \"P\in \mathbb{R}_n[X]\", \"\psi(P,P)=\sum_{k=0}^n P^2(x_k) \geq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Caract\u00e8re d\u00e9fini : soit \"P\in \mathbb{R}_n[X]\" tel que \"\psi(P)=0\", alors \"P(x_0)=\cdots=P(x_n)=0\" car une somme de termes positifs est nulle ssi ils sont tous nuls.<\/p>\n

\"P\" admet donc \"n+1\" racines distinctes, or \"P\" est de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\", donc \"P\" est nul.<\/p>\n

\"\bullet\" \"(L_0,...,L_n)\" base orthonorm\u00e9e :<\/p>\n

soit \"(i,j) \in [\![1\,;n]\!] ^2\", tel que \"i\not = j\", \"\psi car \"i\not =j\" donc il y a toujours un facteur nul dans chaque terme de la somme.<\/p>\n

Soit \"i \in [\![0\,;n]\!]\",<\/p>\n

\"\ds \psi (L_i,L_i)=\sum_{k=0}^n \delta_{i,k}^2= 1+\sum _{k\not = i} 0 = 1\"<\/p>\n

La famille \"(L_0,\cdots,L_n)\" est orthonorm\u00e9e, donc libre ; elle est de cardinal \"n+1\", c’est donc une base de \"\mathbb{R}_n[X]\".<\/p>\n

5.d.<\/strong> Pour tout polynome \"P\" de \"\mathbb{R}_n[X]\", de coordonn\u00e9es \"a_0,...,a_n\" dans la base \"(L_0,\cdots,L_n)\", \"\ds P(X)=\sum_{i=0}^n a_iL_i(X)\" ;alors, pour tout \"k\in [\![0\,;n]\!]\",\"\ds P(x_k)=\sum_{i=0}^n a_i \delta _{i,k} = a_k\".<\/p>\n

\"P\" a donc pour coordonn\u00e9es \"P(x_0),...,P(x_n)\".<\/p>\n

Ainsi, pour tout \"i\in [\![0\,;n]\!]\", \"A_i\" a pour coordonn\u00e9es dans la base\"(L_0,\cdots,L_n)\" : \"\ds (x_0^{i},\cdots,x_n^{i})\".<\/p>\n

donc \"A\"=\"\begin{pmatrix}<\/p>\n

5.e.<\/strong> Si \"P\in \mathbb{R}_n[X]\", \"\ds \left( P(x_0)\"<\/p>\n

\"=f(x_0), \cdots P(x_n)=f(x_n) \right) \Leftrightarrow \phi(P)\"<\/p>\n

\"= (f(x_0),\cdots,f(x_n))\".<\/p>\n

Or \"\phi\" est un isomorphisme d’espaces vectoriels, il existe donc un unique ant\u00e9c\u00e9dent \"P_f\".<\/p>\n

D’apr\u00e8s la question d,<\/p>\n

\"P_f(X)=\sum_{k=0}^n P_f(x_k)L_k(X) = \sum_{k=0}^n, f(x_k)L_k(X)\"<\/p>\n

6.a<\/strong> \"P_f\" est un polyn\u00f4me de degr\u00e9\"n\" et \"Q_f\" de degr\u00e9 \"n+1\", \"Q_f-P_f\" est donc un polyn\u00f4me de degr\u00e9\"n+1\" ; \"P_f\" et \"Q_f\" ayant les m\u00eames valeurs en \"x_0,...,x_n\", \"Q_f-P_f\" admet les \"n+1\" r\u00e9els \"x_0,...,x_n\" comme racines distinctes. Il existe donc un r\u00e9el \"\delta\" tel que :<\/p>\n

\"Q_f(X)-P_f(X)=\delta \prod_{k=0}^n (X-x_k)=\delta w(X)\"<\/p>\n

et donc en particulier :<\/p>\n

\"\ds \forall t \in [a,b] \:\:\: Q_f(t)-P_f(t)=\delta w(t)\".<\/p>\n

6.b.<\/strong> \"\bullet\" Par d\u00e9finition du polynome d’interpolation, \"Q_f\" prend les m\u00eames valeurs que \"f\" en \"\overline{x},x_0,...,x_n\" donc \"h\" s’annule en ces \"n+2\" points.<\/p>\n

\"\bullet\" \"h\" est de classe \"{\cal C}^{n+1}\" comme diff\u00e9rence de telles fonctions.<\/p>\n

Pour la commodit\u00e9 des notations, on renomme \"\overline{x},x_0,\cdots,x_n\" en : \"y_0 < y_1 < \cdots < y_{n+1}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout \"k\in [\![0\,;n]\!]\", \"h\" est continue sur \"\ds \left[y_k,y_{k+1} \right]\", d\u00e9rivable sur \"\ds \left]y_k,y_{k+1} \right[\", et \"\ds h(y_k)=h(y_{k+1})=0\" ; par le th\u00e9or\u00e8me de Rolle,<\/p>\n

\"\exists y_k^{(1)} \in\left]y_k,y_{k+1} \right[ \: \ \:\: h'(y_k^{(1)}) =0\"<\/p>\n

\"h'\" est alors une fonction de classe \"{\cal C}^{(k)}\" sur \"[a,b]\", admettant \"n+1\" racines distinctes dans \"]a,b[\" (car situ\u00e9es dans des intervalles disjoints) : \"\ds y_0^{(1)},..., y_n^{(1)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Le proc\u00e9d\u00e9 peut \u00eatre r\u00e9p\u00e9t\u00e9, et ainsi, par r\u00e9currence sur \"j\in [\![1\,;n+1]\!]\", \"h^{(j)}\" admet \"n+2-j\" racines distinctes \"\ds y_0^{(j)}, ..., y_{n+1-j}^{(j)}\".<\/p>\n

En particulier, \"\ds h^{(n+1)}\" admet une racine \"\theta \in ]a,b[\".<\/p>\n

6.c. <\/strong>\"\bullet\" Puisque \"Q_f\" prend, par d\u00e9finition, la m\u00eame valeur que \"f\" en \"\overline{x}\",<\/p>\n

on a d’apr\u00e8s la question 6.a<\/p>\n

\"f(\overline{x}) - P_f(\overline{x}) = Q_f(\overline{x})-P_f(\overline{x}) = \delta w (\overline{x})\"<\/p>\n

\"\bullet\" Expression de \"\delta\" par les d\u00e9riv\u00e9es : \"w\" est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n+1\" et son terme de plus haut degr\u00e9 est \"X^{n+1}\", par cons\u00e9quent \"\ds w^{(n+1)}(X)=(n+1)!\".<\/p>\n

D’autre part, puisque \"P_f\" est de degr\u00e9 \"n\", \"\ds P_f^{(n+1)}=0\" et donc<\/p>\n

\"Q_f-P_f=\delta w \Rightarrow Q_f^{(n+1)} = \delta w^{(n+1)}=\delta (n+1)!\"<\/p>\n

\"\bullet\" Or \"\ds h^{(n+1)}(\theta)=0\",<\/p>\n

donc \"\ds Q_f^{(n+1)}(\theta) = f^{(n+1)}(\theta)\" et ainsi :\"\delta = \dfrac{f^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!}\"<\/p>\n

On obtient bien :\"f(\overline{x}) - P_f(\overline{x})\"<\/p>\n

\"= \delta w (\overline{x})\"<\/p>\n

\"= \dfrac{1}{(n+1)!} \times f^{(n+1)}(\theta) \times w (\overline{x})\"<\/p>\n

6.d. <\/strong>\"\bullet\" Si \"t\in [a,b] \setminus \{x_0,\cdots,x_n\}\",la question pr\u00e9c\u00e9dente s’applique en prenant \"\overline{x}=t\" :<\/p>\n

\"\left| f(t)-P_f(t) \right| = \dfrac{1}{(n+1)!} \times| f^{(n+1)}(\theta)|\times | w (t) |\"<\/p>\n

\"\leq\dfrac{1}{(n+1)!} \times | w (t) | \times\sup_{[a,b]} | f^{(n+1)}|\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"t \in\{x_0,\cdots,x_n\}\", \"|f(t)-P_f(t)|=0\" donc l’in\u00e9galit\u00e9 reste vraie.<\/p>\n

Ainsi :\"{\forall t\in [a,b] \:\:\: \left| f(t)-P_f(t) \right|\"<\/p>\n

\"\leq\dfrac{1}{(n+1)!} \times | w (t) | \times\sup_{[a,b]} | f^{(n+1)}|}\"<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
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COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Partie 3 : Exemple d’interpolation et ph\u00e9nom\u00e8ne de Runge<\/h2>\n

7.a<\/strong> \"f_{\rho}\" est de classe \"{\cal C}^{\infty}\" sur \"\mathbb{R}\" car c’est l’inverse d’une fonction polynomiale ne s’annule jamais.<\/p>\n

7.b.<\/strong> Posons \"g(x) = f_{\rho}(-x)\".<\/p>\n

D’une part, \"f_{\rho}\" est paire donc \"g=f_{\rho}\" et :<\/p>\n

\"\forall n\in\mathbb N^*\" \"\forall x \in \mathbbR g^{(n)}(x)=f_{\rho}^{(n)}(x)\"<\/p>\n

D’autre part, par d\u00e9rivation des fonctions compos\u00e9es :<\/p>\n

\"\forall n\in \mathbbN^*\" \"\forall x \in\mathbb R g^{(n)}(x)= (-1)^n f_{\rho}^{(n)}(-x)\"<\/p>\n

Par identification, \"\forall n\in\mathbb N^* \forall x \in\mathbb R f_{\rho}^{(n)}(x)\"<\/p>\n

\"= (-1)^n f_{\rho}^{(n)}(-x)\"\u00a0 donc \"\left| f_{\rho}^{(n)}(x) \right|\"<\/p>\n

\"= \left| f_{\rho}^{(n)}(-x) \right|}\"<\/p>\n

7.c.<\/strong> Pour tout \"x\" tel que \"|x|<\rho\",<\/p>\n

\"\dfrac{1}{x^2+\rho^2}\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{1}{1+\dfrac{x^2}{\rho^2} }\" avec \"\dfrac{x^2}{\rho^2} \in [0,1[\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1}{\rho^2} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\left( \dfrac{x^2}{\rho^2}\right)^2\"<\/p>\n

\"=\ds \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^k}{\rho^{2k+2}} x^{2k}\"<\/p>\n

8.a<\/strong> \"p=q=\dfrac{\rho}{2}}\" conviennent.<\/p>\n

8.b.<\/strong>\"v\" est une fonction paire donc, par le m\u00eame raisonnement qu’\u00e0 la question 7.b,\"| v^{(n)}(-x)| = |v^{(n)}(x)|\"<\/p>\n

8.c.<\/strong> \"\bullet\" D’apr\u00e8s les \u00e9galit\u00e9s des questions 7.b et 8.b, il suffit d’\u00e9tablir l’in\u00e9galit\u00e9 demand\u00e9e pour \"x\geq 0\".<\/p>\n

On constate le r\u00e9sultat suivant : \"(x^{2k}) ^{(n)} = A_{2k}^n x^{2k-n}\" donc \"\forall x\in\mathbb R_+,|(x^{2k})^{(n)}|=(x^{2k})^{(n)}}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Le r\u00e9sultat admis par l’\u00e9nonc\u00e9 s’applique \u00e0 la fonction \"f_{\rho}\", avec \"R=\rho\" et \"u_k= \dfrac{(-1)^k}{\rho^{2k+2}}\" ; \"f_{\rho}\" est donc de classe \"{\cal C}^{\infty}\" sur \"]-\rho,\rho[\", et<\/p>\n

\"\forall n\in\mathbb N^* \forall x \in ]-\rho,\rho[ f_{\rho}^{(n)}(x)\"<\/p>\n

\"= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^k}{\rho^{2k+2}}\left(x^{2k}\right)^{(n)}\"<\/p>\n

Par in\u00e9galit\u00e9 triangulaire sur les s\u00e9ries absolument convergentes :<\/p>\n

\"\forall n\in\mathbb N^* \forall x \in ]-\rho,\rho[ |f_{\rho}^{(n)}(x)|\"<\/p>\n

\"\leq \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{\rho^{2k+2}}(x^{2k})^{(n)}\"<\/p>\n

\"\bullet\" D’autre part, pour \"x\in ]-\rho,\rho[\",<\/p>\n

\"v(x)= \dfrac 12(\dfrac{\rho}{\rho-x} + \dfrac{\rho}{\rho+x}\right)\"<\/p>\n

\"=\dfrac 12\left( \dfrac{1}{1-\dfrac{x}{\rho}} + \dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\rho}}\right)\"<\/p>\n

\"=\dfrac 12 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{x}{\rho}\right)^k +<\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left(\dfrac{x}{\rho}\right)^k \right)\"<\/p>\n

\"=\dfrac 12\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{x}{\rho}\right)^k (1+(-1)^k)\"<\/p>\n

\"=\sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{x}{\rho}\right)^{2k}\"<\/p>\n

donc \"v\" est de classe \"{\cal C}^{\infty}\" sur \"]-\rho,\rho[\", et \"\forall n\in\mathbb N^* \forall x \in ]-\rho,\rho[ v^{(n)}(x)\"<\/p>\n

\"=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{\rho^{2k}}\left(x^{2k})^{(n)}\"<\/p>\n

d’o\u00f9 :<\/p>\n

\"\forall n\in\mathbb N^* \forall x \in [0,\rho[ |v^{(n)}(x)|\"<\/p>\n

\"=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{\rho^{2k}}(x^{2k})^{(n)}\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit bien :<\/p>\n

\"\forall n\in\mathbb N^* \forall x \in [0,\rho[| f_{\rho}^{(n)}(x)|\"<\/p>\n

\"\leq \dfrac{1}{\rho^2}| v^{(n)}(x)|\"<\/p>\n

ce r\u00e9sultat \u00e9tant valable, par parit\u00e9, dans \"]-\rho,0]\".<\/p>\n

8.d.<\/strong> Une r\u00e9currence imm\u00e9diate sur \"n\in\nz^*\" montre que :<\/p>\n

\"\forall n\in\mathbb N^* \forallx \in ]-\rho,\rho [ v^{(n)}(x)\"<\/p>\n

\"= \dfrac{\rho}{2}(\dfrac{n!}{(\rho-x)^{n+1}} + \dfrac{n!}{(\rho+x)^{n+1}})\"<\/p>\n

donc \"\forall n\in\mathbb N^* \forallx \in ]-\rho,\rho [|f_{\rho}^{(n)}(x)|\"<\/p>\n

\"\leq \dfrac{1}{\rho^2} \times \dfrac{\rho}{2} \times n! \times \left( \dfrac{1}{|\rho-x|^{n+1}} + \dfrac{1}{|\rho+x|^{n+1}} \right)\"<\/p>\n

8.e.<\/strong> Lorsque \"\rho>1\", et \"x\in [-1,1]\", un dessin pla\u00e7ant sur l’axe des r\u00e9els les nombres suivants : \"-1,-\rho,x\rho,1\" permet d’observer les in\u00e9galit\u00e9s suivantes :<\/p>\n

\"\bullet\" \"x\leq 1 < \rho\" donc \"\rho -x \geq \rho-1 >0\", d’o\u00f9 \"\dfrac{1}{|\rho-x|^{n+1}}\"<\/p>\n

\"\leq \dfrac{1}{(\rho-1)^{n+1}}\" ;<\/p>\n

\"\bullet\" \"-\rho <-1 \leq x\" donc \"0 < \rho-1 \leq \rho +x\", d’o\u00f9 \"\dfrac{1}{|\rho+x|^{n+1}}\"<\/p>\n

\"\leq \dfrac{1}{(\rho-1)^{n+1}}\" ;<\/p>\n

ainsi \"\forall n\in\mathbb N^* \forallx \in ]-\rho,\rho [ \quad |f_{\rho}^{(n)}(x) |\"<\/p>\n

\"\leq \dfrac{1}{\rho}\times \dfrac{n!}{(\rho-1)^{n+1}}}\"<\/p>\n

9.a<\/strong> L\u00e0 encore un dessin est recommand\u00e9, en remarquant que les \"\ds x_{kn}\" forment une subdivision r\u00e9guli\u00e8re de \"[-1,1]\".<\/p>\n

\"\bullet\" Puisque \"\ds x_{0,n} < ... x_{k,n} < x < x_{k+1,n}\", on a :<\/p>\n

\"\forall j \in [\![0\,;k]\!] \quad 0 <x-x_{j,n} < x_{k+1,n}-x_{j,n}\"<\/p>\n

\"= \left( -1+\dfrac{2 (k+1)}{n}\right) - \left( -1+\dfrac{2j}{n} \right)\"<\/p>\n

\"= \dfrac 2n (k+1-j).\"<\/p>\n

\"\bullet\" Puisque \"\ds x_{k,n} <x < x_{k+1,n}< \cdots x_{n,n}\", on a :<\/p>\n

\"\forall j \in [\![k+1\,;n]\!] \quad 0 <x_{j,n} -x < x_{j,n}-x_{k,n}\"<\/p>\n

\"= \left( -1+\dfrac{2j}{n}\right) - \left( -1+\dfrac{2k}{n} \right)\"<\/p>\n

\"= \dfrac 2n (j-k).\"<\/p>\n

\"\bullet\" Par cons\u00e9quent,<\/p>\n

\"|w_n(x)| = \prod_{j=0}^n | (x-x_{j,n}) |\"<\/p>\n

\"\leq \prod _{j=0}^k(\dfrac 2n (k+1-j)) \times \prod_{j=k+1}^n(\dfrac 2n (j-k))\"<\/p>\n

\"\leq (\dfrac{2}{n})^{n+1} \times \prod _{j=0}^k (k+1-j) \times \prod_{j=k+1}^n (j-k)\"<\/p>\n

\"\leq (\dfrac {2}{n})^{n+1} \times \prod _{i=1}^k i\times \prod _{i=1}^{n-k} i\"<\/p>\n

\"\leq (\dfrac {2}{n})^{n+1} k! (n-k)!\"<\/p>\n

\"\bullet\" Il reste \u00e0 montrer que, pour \"k\in [\![0\,;n-1]\!]\",\"\ds (k+1)!(n-k)!\"<\/p>\n

\"\leq n!\", ce qui \u00e9quivaut \u00e0 : \"k+1 \leq {n\choose k}.\"<\/p>\n

On peut d\u00e9montrer par r\u00e9currence sur \"n\in\mathbb N^*\" la propri\u00e9t\u00e9 \"{\cal H}_n :\forall k \in [\![0\,;n-1]\!], \:\: k+1\leq {n\choose k}.\"<\/p>\n

\"{\cal H}_1\" est vraie car \"0+1 = {1 \choose 0}\".<\/p>\n

Si \"{\cal H}_n\" est vraie : pour \"k=0\", on a bien \"0+1 ={n+1 \choose 0}\" ; pour \"k=n\", ona bien \"\ds n+1 = {n+1 \choose n}\" ; et pour \"k\in [\![1\,;n-1]\!]\", la formule du triangle de Pascal donne :<\/p>\n

\"{n+1 \choose k} = {n\choose k} + {n \choose k-1}\"<\/p>\n

\"\geq k+1 + k \geq k+1\" par hypoth\u00e8se de r\u00e9currence;<\/p>\n

Ainsi, on obtient bien :<\/p>\n

\"w_n(x)| \leq(\dfrac 2n)^{n+1} \times (k+1)! \times (n-k)!\"<\/p>\n

\"\leq (\dfrac 2n)^{n+1} \times n!\"<\/p>\n

9.b.<\/strong> D’apr\u00e8s la formule de Stirling, \"n! \sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\" ; ainsi,<\/p>\n

\"(\dfrac 2n)^{n+1} \times n! \sim (\dfrac 2n)^{n+1} n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n} \sim\"<\/p>\n

\"(\dfrac 2e)^{n+1} \dfrac{1}{\sqrt{n}}e\sqrt{2\pi} = \circ ((\dfrac 2e)^{n+1})\"<\/p>\n

Puisque \"\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}e\sqrt{2\pi} =0\", il existe un rang \"n_0\" tel que, pour tout \"n\geq n_0\", \"0 \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}e\sqrt{2\pi}\leq 1\" ; on a alors :<\/p>\n

\"\forall n \geq n_0 |w_n(x)| \leq (\dfrac 2n)^{n+1} \times n!\"<\/p>\n

\"\leq(\dfrac 2e)^{n+1}\"<\/p>\n

9.c.<\/strong> \"\bullet\" D’apr\u00e8s la question 6.d, \"\forall x \in [-1,1], |f_{\rho}(x)-P_{f_{\rho},n}(x)|\"<\/p>\n

\"\leq \dfrac{1}{(n+1)!} \times |w_n(x)| \times \sup_{[-1,1]} \left|f_{\rho}^{(n+1)} \right|\".<\/p>\n

\"\bullet\" D’apr\u00e8s la question 8.d, pour \"\rho >1\", \"\sup_{[-1,1]} \left| f_{\rho}^{ (n+1)}\right|\leq \dfrac{1}{\rho} \dfrac{n!}{(\rho-1)^{n+1}}\".<\/p>\n

\"\bullet\" D’apr\u00e8s la question 9.b, il existe un rang \"n_0\" \u00e0 partir duquel : \"\forall x \in [-1,1] |w_n(x)|\leq \left(\dfrac 2e \right) ^{n+1}\".<\/p>\n

Il s’ensuit :<\/p>\n

\"\forall n \geq n_0, \forall x \in [-1,1] |f_{\rho}(x)-P_{f_{\rho},n}(x)|\"<\/p>\n

\"\leq \dfrac{1}{(n+1)!} \times\left(\dfrac 2e \right)^{n+1}\"<\/p>\n

\"\times \dfrac{1}{\rho} \times \dfrac{n!}{(\rho-1)^{n+1}}\"<\/p>\n

soit \"|f_{\rho}(x)-P_{f_{\rho},n}(x)|\"<\/p>\n

\"\leq \dfrac{1}{\rho(n+1)} \left( \dfrac{2}{e(\rho-1)} \right)^{n+1}}\"<\/p>\n

Une condition suffisante pour que \"\lim_{n\to\infty}|f_{\rho}(x)-P_{f_{\rho},n}(x) | =0\" est que la suite g\u00e9om\u00e9trique figurant dans la majoration soit de raison strictement inf\u00e9rieure \u00e0 1, soit :<\/p>\n

\"\dfrac{2}{e(\rho-1)}<1\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow e(\rho-1)>2\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \rho>1+\dfrac 2e\"<\/p>\n

10.a<\/strong> La fonction \"u : t\mapsto \ln(t^2+\rho^2)\" est de classe \"{\cal C}^1\"sur le segment \"[-1,1]\" ; nous pouvons donc effectuer une int\u00e9gration par parties avec \"v'(t)=1\", \"v(t)=t\" et \"u'(t)=\dfrac{2t}{t^2+\rho^2}\".<\/p>\n

\"H(\rho) = \dfrac 14\left[ t\ln(t^2+\rho^2) \right]_{-1}^1 -\dfrac 14 \int_{-1}^1 \dfrac{2t^2}{t^2+\rho^2} dt\"<\/p>\n

\"=\dfrac 12 \ln(1+\rho^2) -\dfrac 12 \int_{-1}^1 \left( 1-\dfrac{\rho^2}{t^2+\rho^2} \right)dt\"<\/p>\n

\"=\dfrac 12 \ln(1+\rho^2) - 1 +\dfrac 12 \int_{-1}^1 \dfrac{\rho^2}{t^2+\rho^2} dt\"<\/p>\n

\"=\dfrac 12 \ln(1+\rho^2) - 1+ \dfrac 12 \int_{-1}^1 \dfrac{1}{1+ \left(\dfrac{t}{\rho} \right)^2 }dt\"<\/p>\n

\"= \dfrac 12 \ln(1+\rho^2) - 1+ \dfrac 12 \int_{-1/\rho}^{1/\rho} \dfrac{1}{1+ x^2 }\rho dx\" par le changement de variable affine \"x=\dfrac{t}{\rho}\"<\/p>\n

\"= \dfrac 12 \ln(1+\rho^2) - 1+ \dfrac {\rho}{2} \left[ \arctan x \right]_{-1/\rho}^{1/\rho}\"<\/p>\n

\"H(\rho)=\dfrac 12 \ln(1+\rho^2) - 1+ \rho \arctan \left( \dfrac{1}{\rho}\right)}\"<\/p>\n

Remarque : pour \u00eatre coh\u00e9rent avec la question 11, on peut remarquer que \"-1 = \dfrac 12 \ln \left( \dfrac 14 \right)\", et que donc :<\/p>\n

\"H(\rho)=\dfrac 12 \ln \left( \dfrac{1+\rho^2}{4} \right) + \rho \arctan \left( \dfrac{1}{\rho}\right)}\"<\/p>\n

10.b.<\/strong> \"\bullet\" La fonction \"H\" est continue sur \"]0,+\infty[\".<\/p>\n

\"\bullet\" Elle est strictement croissante sur cet intervalle, car elle est de classe \"{\cal C}^1\" et \"\forall \rho >0, H'(\rho) = \dfrac{\rho}{1+\rho^2} + \arctan\left(\dfrac{1}{\rho}\right)\"<\/p>\n

\"+\rho \times \left(-\dfrac{1}{\rho^2}\right) \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\rho^2}}\"<\/p>\n

\"= \arctan(\dfrac{1}{\rho}) >0\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\lim_{\rho \to 0_+} \arctan \left( \dfrac{1}{\rho})=\dfrac{\pi}{2}\", donc \"\lim_{\rho \to 0_+}H(\rho) = -1\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\arctan \left( \dfrac{1}{\rho} \right) \sim_{+\infty} \dfrac{1}{\rho}\", donc \"\lim_{\rho\to+\infty} \rho \arctan \left( \dfrac{1}{\rho} \right) =1\" et \"\lim_{\rho\to+\infty}H(\rho)=+\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"H\" r\u00e9alise donc une bijection strictement croissante de \"]0,+\infty[\" sur \"]-1,+\infty[\".<\/p>\n

10.c.<\/strong> \"\ln(2)\simeq 0,7\" donc \"\ln(2)-1\in ]-1,+\infty[\" ; \"\ln(2)-1\" admet donc un unique ant\u00e9c\u00e9dent \"\rho_0\" par \"H\" dans \"]0,+\infty[\".<\/p>\n

De plus, \"H(1) = \dfrac 12 \ln(2)-1 +\arctan(1)\"<\/p>\n

\"= \dfrac 12 \ln(2)-1 +\dfrac{\pi}{4} \geq\dfrac{0,69}{2}-1 + \dfrac 34\"<\/p>\n

\"\simeq 0,1>0\", donc \"H(\rho_0) < H(1)\" d’o\u00f9, par croissance stricte de \"H\", \"\rho_0 < 1\"<\/p>\n

10.d.<\/strong> \"\bullet\" \"w_n\" n’ayant que des racines r\u00e9elles, \"w_n(i\rho)\not = 0\" donc \"\left| w_n(i\rho) \right| >0\" et \"\ln (|w_n(i\rho)|)\" est bien d\u00e9fini.<\/p>\n

\"\bullet\" \"\dfrac 1n \ln ( |w_n(i\rho)| )\"<\/p>\n

\"= \dfrac 1n \ln \left( \left| \prod _{k=0}^n (i\rho-x_{k,n}) \right| \right)\"<\/p>\n

\"= \dfrac 1n \sum_{k=0}^n \ln \left( |i\rho - x_{k,n}| \right)\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\rho\" et \"x_{k,n}\" \u00e9tant des r\u00e9els,<\/p>\n

\"\ln \left( |i\rho-x_{k,n}|\right)\"<\/p>\n

\"= \ln \left( \sqrt{x_{k,n}^2+\rho^2}\right)\"<\/p>\n

\"= \dfrac 12 \ln (x_{k,n}^2+\rho^2)\"<\/p>\n

donc \"\dfrac 1n \ln ( |w_n(i\rho)| )\"<\/p>\n

\"= \dfrac{2}{n} \sum_{k=0}^n \dfrac 14\ln\left( x_{k,n}^2+\rho^2\right)\"<\/p>\n

Nous reconnaissons une somme de Riemann,<\/p>\n

    \n
  • pour la fonction continue \"t \mapsto \dfrac 14\ln(t^2+\rho^2)\" ;<\/li>\n
  • associ\u00e9e \u00e0 la subdivision \"(x_{0,n},\cdots,x_{n,n})\", de pas \"\dfrac 2n\" sur le segment \"[-1,1]\" ;<\/li>\n<\/ul>\n

    donc \"{\lim_{n\to \infty} \dfrac 1n \ln (|w_n(i\rho)|)\"<\/p>\n

    \"= \dfrac 14 \int_{-1}^1 \ln(t^2+\rho^2) dt =H(\rho)}\"<\/p>\n

    11.a<\/strong> \"\bullet\" La fonction \"G\" du programme correspond \u00e0 la fonction \"H\" de la question 10).<\/p>\n

    \"\bullet\" \"H(1)>0\" d’apr\u00e8s la question 10.c.<\/p>\n

    \"\bullet\" \"H(0,25) <0\" car : d’une part<\/p>\n

    \"\dfrac 12 \ln \left( \dfrac{1+0,25^2}{4}\right)\"<\/p>\n

    \"\simeq \dfrac 12 \ln\left( \dfrac 14\right)\"<\/p>\n

    \"\simeq \dfrac 12 (-2\ln(2))\"<\/p>\n

    \"\simeq -\ln (2)\"<\/p>\n

    \"\simeq -0,7,\"<\/p>\n

    d’autre part :<\/p>\n

    \"0,25\arctan \left( \dfrac{1}{0,25}\right)\"<\/p>\n

    \"\leq 0,25 \times \dfrac{\pi}{2}\"<\/p>\n

    \"\simeq \dfrac 38\"<\/p>\n

    \"\simeq 0,38\"<\/p>\n

    \"\bullet\" Le programme met en oeuvre la m\u00e9thode de dichotomie, pour la fonction continue \"H\", sur l’intervalle \"[0,25 ; 1]\" o\u00f9 \"H\" poss\u00e8de une unique racine d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de la bijection et les signes de \"H(0,25)\" et \"H(1)\"). Cette m\u00e9thode converge vers la racine, donc \"s_0\" v\u00e9rifie l’\u00e9quation : \"H(s_0)=0\".<\/p>\n

    11.b.<\/strong> \"H(s_0=0\" et \"H(\rho_0 ) = \ln(2)-1 <0\" ; \"H\" est strictement croissante, donc \"\rho_0 < s_0\".<\/p>\n

    12.a<\/strong> Pour tout \"k\in [\![0\,;n]\!]\", \"S(x_{k,n}) = 1- (x_{k,n}^2+\rho^2) P_{f_{\rho},n}( x_{k,n})\"<\/p>\n

    \"= 1- (x_{k,n}^2+\rho^2) f_{\rho}( x_{k,n})\"<\/p>\n

    \"= 1- (x_{k,n}^2+\rho^2) \times \dfrac{1}{x_{k,n}^2 +\rho^2}\"<\/p>\n

    \"= 0\"<\/p>\n

    donc \"x_{k,n}\" est racine de \"S_n\".<\/p>\n

    Par cons\u00e9quent \"w_n(X)=\prod_{k=0}^n (X-x_{k,n})\" divise \"S\".<\/p>\n

    12.b.<\/strong> Pour tout \"k\in [\![0\,;n]\!]\", \"x_{k,n} = - x_{n-k,n}\" (faites un dessin), donc<\/p>\n

    \"P_{f_{\rho},n}(-x_{k,n})\"<\/p>\n

    \"=P_{f_{\rho},n}(x_{n-k,n})\"<\/p>\n

    \"=f_{\rho}(x_{n-k,n}\" par d\u00e9finition de \"P_{f_{\rho},n}\"<\/p>\n

    \"=f_{\rho}(-x_{k,n})\"<\/p>\n

    \"=f_{\rho}(x_{k,n})\" par parit\u00e9 de \"f_{\rho}\"<\/p>\n

    \"= P_{f_{\rho},n}(x_{k,n})\"<\/p>\n

    Ainsi les polyn\u00f4mes \"P_{f_{\rho},n}(X)\" et \"P_{f_{\rho},n}(-X)\" prennent la m\u00eame valeur en \"n+1\" points distincts ; comme ils sont de degr\u00e9 \"n\",<\/p>\n

    \"P_{f_{\rho},n}(X)\"<\/p>\n

    \"= P_{f_{\rho},n}(-X)\"<\/p>\n

    12.c.<\/strong> \"w_n(y_n)\"<\/p>\n

    \"=\prod _{k=0}^n \left( y_n-x_{k,n} \right)\"<\/p>\n

    \"= \prod _{k=0}^n \left(1-\dfrac 1n +1-\dfrac{2k}{n}\right)\"<\/p>\n

    \"= \prod _{k=0}^n \left( 2-\dfrac{2k+1}{n}\right)\"<\/p>\n

    donc \"|w_n(y_n)|\"<\/p>\n

    \"=\dfrac 1n\times \prod_{k=0}^{n-1} \left( 2-\dfrac{2k+1}{n} \right)\"<\/p>\n

    \"=\dfrac {1}{n}\times \prod_{k=0}^{n-1} \dfrac{2(n-k)-1}{n}\"<\/p>\n

    \"= \dfrac 1n \times\dfrac {1}{n^n}\times \prod_{j=1}^{n} (2j-1)\"<\/p>\n

    \"= \dfrac 1n \times\dfrac {1}{n^n}\"<\/p>\n

    \"\times\dfrac{1\times 2\times 3 \times 4 \times \...\times \times (2n-1)\times (2n)}{2\times 4 \times \cdots \times (2n)}\"<\/p>\n

    \"=\dfrac 1n \times \dfrac {1}{n^n}\times \dfrac{(2n)!}{2^n n!}\"<\/p>\n

    \"\sim \dfrac 1n\dfrac {1}{n^n}\"<\/p>\n

    \"\times \dfrac{ (2n)^{2n} \times e^{-2n} \times\sqrt{4\pi n}}{2^n \times n^n \times e^{-n} \times \sqrt{2\pi n}}\" par la formule de Stirling.<\/p>\n

    \"\sim \dfrac 1n \times 2^n e^{-n}\sqrt{2}\"<\/p>\n

    donc \"{|w_n(y_n)|\sim \dfrac{\sqrt{2}}{n} \left(\dfrac 2e\right)^n}\"<\/p>\n

    12.d.<\/strong> \"\lim_{n\to\infty} \left( \ln( |w_n(i\rho)|) -nH(\rho) \right)=0\"<\/p>\n

    \"\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \ln \left( \dfrac{ |w_n(i\rho)|}{e^{nH(\rho)}} \right)=0\"<\/p>\n

    \"\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\dfrac{ |w_n(i\rho)|}{e^{nH(\rho)}}=1\"<\/p>\n

    \"\Rightarrow |w_n(i\rho)| \sim e^{nH(\rho)}\"<\/p>\n

    \"\Rightarrow \left| \dfrac{w_n(y_n)}{w_n(i\rho)} \right| \sim \dfrac{\sqrt{2}}{n} \left(\dfrac 2e\right)^n e^{-nH(\rho)}\"<\/p>\n

    \"\Rightarrow \left| \dfrac{w_n(y_n)}{w_n(i\rho)} \right| \sim\dfrac{\sqrt{2}}{n} 2^n e^{-n(1+H(\rho))}}\"<\/p>\n

    13.a<\/strong> \"\overline{w_n(i\rho)}\"<\/p>\n

    \"= \prod_{k=0}^n \overline{(i\rho-x_{k,n} )}\"<\/p>\n

    \"=\prod_{k=0}^n (-i\rho-x_{k,n} )\"<\/p>\n

    \"=(-1)^{n+1} \prod_{k=0}^n (i\rho + x_{k,n})\"<\/p>\n

    \"=(-1)^{n+1} \prod_{k=0}^n (i\rho - x_{n-k,n})\" d’apr\u00e8s la question 12.b<\/p>\n

    \"=(-1)^{n+1} \prod_{j=0}^n (i\rho - x_{j,n})\" par changement d’indice \"j=k-n\"<\/p>\n

    \"=\prod_{j=0}^n (i\rho - x_{j,n})\" car n+1 est pair}<\/p>\n

    \"= w_n(i\rho)\"<\/p>\n

    donc \"w_n(i\rho)\" est un r\u00e9el, non nul d’apr\u00e8s la question 10.d.<\/p>\n

    \"\bullet\" \"P_{f_{\rho},n}\" est de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\", mais \"P_{f_{\rho},n}\" est pair d’apr\u00e8s la question 12.b ; or \"n\" est impair, donc \"P_{f_{\rho},n}\" ne peut pas comporter de mon\u00f4me de degr\u00e9 \"n\" ; ainsi, \"P_{f_{\rho},n}\" est de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n-1\", donc \"S_n\" est de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n+1\".<\/p>\n

    \"\bullet\" \"w_n\" divise \"S_n\" d’apr\u00e8s la question 12.a, et \"w_n\" est de degr\u00e9 \"n+1\", donc il existe un r\u00e9el \"\lambda\" tel que :<\/p>\n

    \"S_n(X)=\lambda w_n(X).\"<\/p>\n

    \"\bullet\" \"S_n(i\rho) = 1 - (-\rho^2+\rho^2)P_{f_{\rho},n}(i\rho)=1\", donc \"\lambda w_n(i\rho) = 1\", donc :<\/p>\n

    \"{S_n(X) = \dfrac{w_n(X)}{w_n(i\rho)}\"<\/p>\n

    13.b.<\/strong> Pour tout \"x\in [-1,1]\",<\/p>\n

    \"\left| f_{\rho}(x) - P_{f_{\rho},n}(x) \right|\"<\/p>\n

    \"= \dfrac{1}{x^2+\sigma^2} \left| 1- (x^2+\sigma^2)P_{f_{\rho},n} (x) \right|\"<\/p>\n

    \"= f_{\rho}(x) S(x)\"<\/p>\n

    \"= f_{\rho}(x) \left| \dfrac{w(x)}{w(i\rho)} \right|\"<\/p>\n

    14.a<\/strong> \"\bullet\" D’apr\u00e8s 13)b), \"\left| f_{\rho}(y_n) - P_{f_{\rho},n}(y_n) \right|\"<\/p>\n

    \"=f_{\rho}(y_n) \left| \dfrac{w(y_n)}{w(i\rho)} \right|\".<\/p>\n

    \"\bullet\" D’apr\u00e8s 12)d), \"\left| \dfrac{w(y_n)}{w(i\rho)} \right|\"<\/p>\n

    \"\sim \dfrac{\sqrt{2}}{n} 2^n e^{-n(1+H(\rho))}\".<\/p>\n

    \"\bullet\" \"y_n=1-\dfrac 1n\" et \"f_{\rho}\" est continue en 1, donc \"\lim_{n\to\infty} f_{\rho}(y_n)\"<\/p>\n

    \"= f_{\rho}(1)\"<\/p>\n

    \"=\dfrac{1}{1+\rho^2} >0\".<\/p>\n

    Ainsi, \"\left| f_{\rho}(y_n) - P_{f_{\rho},n}(y_n) \right|\"<\/p>\n

    \"\sim f_{\rho}(1)\dfrac{\sqrt{2}}{n} 2^n e^{-n(1+H(\rho))}\" donc<\/p>\n

    \"|f_{\rho}(y_n) - P_{f_{\rho},n}(y_n) \right|\"<\/p>\n

    \"\sim \dfrac{ f_{\rho}(1)\sqrt{2}}{n} e^{n( \ln(2)-1-H(\rho)}\"<\/p>\n

    Or \"0< \rho < \rho_0\" et \"H\" est strictement croissante, donc \"H(\rho) < H(\rho_0) = \ln(2)-1\" (question 10), donc<\/p>\n

    \"\ln(2)-1-H(\rho)>0\" et<\/p>\n

    \"\lim_{n\to\infty} \left| f_{\rho}(y_n) - P_{f_{\rho},n}(y_n) \right|= +\infty\"<\/p>\n

    14.b.<\/strong> Enfin \"y_n\in [-1,1]\", donc \"\left|f_{\rho}(y_n) - P_{f_{\rho},n}(y_n) \right|\"<\/p>\n

    \"\leq \sup_{[-1,1]}\left| f_{\rho}(x) - P_{f_{\rho},n}(x) \right|\", donc :<\/p>\n

    \"\lim_{n\to\infty}\left| f_{\rho}(x) - P_{f_{\rho},n}(x) \right| = +\infty\"<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Corrig\u00e9 du sujet maths HEC 2017 ECS Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Partie 1 : Propri\u00e9t\u00e9s des polyn\u00f4mes de Bernstein 1.a , , , donc = b. est inversible car il s’agit d’une matrice triangulaire inf\u00e9rieure et ne contient aucun 0 sur la diagonale ; est donc une base de . […]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"ocean_post_layout":"full-screen","ocean_both_sidebars_style":"","ocean_both_sidebars_content_width":0,"ocean_both_sidebars_sidebars_width":0,"ocean_sidebar":"ressource","ocean_second_sidebar":"0","ocean_disable_margins":"enable","ocean_add_body_class":"","ocean_shortcode_before_top_bar":"","ocean_shortcode_after_top_bar":"","ocean_shortcode_before_header":"","ocean_shortcode_after_header":"","ocean_has_shortcode":"","ocean_shortcode_after_title":"","ocean_shortcode_before_footer_widgets":"","ocean_shortcode_after_footer_widgets":"","ocean_shortcode_before_footer_bottom":"","ocean_shortcode_after_footer_bottom":"","ocean_display_top_bar":"default","ocean_display_header":"default","ocean_header_style":"","ocean_center_header_left_menu":"0","ocean_custom_header_template":"0","ocean_custom_logo":0,"ocean_custom_retina_logo":0,"ocean_custom_logo_max_width":0,"ocean_custom_logo_tablet_max_width":0,"ocean_custom_logo_mobile_max_width":0,"ocean_custom_logo_max_height":0,"ocean_custom_logo_tablet_max_height":0,"ocean_custom_logo_mobile_max_height":0,"ocean_header_custom_menu":"0","ocean_menu_typo_font_family":"0","ocean_menu_typo_font_subset":"","ocean_menu_typo_font_size":0,"ocean_menu_typo_font_size_tablet":0,"ocean_menu_typo_font_size_mobile":0,"ocean_menu_typo_font_size_unit":"px","ocean_menu_typo_font_weight":"","ocean_menu_typo_font_weight_tablet":"","ocean_menu_typo_font_weight_mobile":"","ocean_menu_typo_transform":"","ocean_menu_typo_transform_tablet":"","ocean_menu_typo_transform_mobile":"","ocean_menu_typo_line_height":0,"ocean_menu_typo_line_height_tablet":0,"ocean_menu_typo_line_height_mobile":0,"ocean_menu_typo_line_height_unit":"","ocean_menu_typo_spacing":0,"ocean_menu_typo_spacing_tablet":0,"ocean_menu_typo_spacing_mobile":0,"ocean_menu_typo_spacing_unit":"","ocean_menu_link_color":"","ocean_menu_link_color_hover":"","ocean_menu_link_color_active":"","ocean_menu_link_background":"","ocean_menu_link_hover_background":"","ocean_menu_link_active_background":"","ocean_menu_social_links_bg":"","ocean_menu_social_hover_links_bg":"","ocean_menu_social_links_color":"","ocean_menu_social_hover_links_color":"","ocean_disable_title":"on","ocean_disable_heading":"on","ocean_post_title":"","ocean_post_subheading":"","ocean_post_title_style":"","ocean_post_title_background_color":"","ocean_post_title_background":0,"ocean_post_title_bg_image_position":"","ocean_post_title_bg_image_attachment":"","ocean_post_title_bg_image_repeat":"","ocean_post_title_bg_image_size":"","ocean_post_title_height":0,"ocean_post_title_bg_overlay":0.5,"ocean_post_title_bg_overlay_color":"","ocean_disable_breadcrumbs":"on","ocean_breadcrumbs_color":"","ocean_breadcrumbs_separator_color":"","ocean_breadcrumbs_links_color":"","ocean_breadcrumbs_links_hover_color":"","ocean_display_footer_widgets":"default","ocean_display_footer_bottom":"default","ocean_custom_footer_template":"0","footnotes":""},"class_list":["post-58316","page","type-page","status-publish","entry"],"yoast_head":"\nAnnales 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