{"id":58379,"date":"2020-07-07T11:22:32","date_gmt":"2020-07-07T10:22:32","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=58379"},"modified":"2026-10-26T10:41:41","modified_gmt":"2026-10-26T09:41:41","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-theoreme-de-thales","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-theoreme-de-thales\/","title":{"rendered":"Th\u00e9or\u00e8me de Thales exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Tage Mage <\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPourcentages<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tTh\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tTh\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRacines Carr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercice th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s : 12 exercices corrig\u00e9s sur Thal\u00e8s et sa r\u00e9ciproque<\/h1>\n

Par Seda Biber, mis \u00e0 jour le 26\/10\/2026<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s<\/strong> sert \u00e0 calculer une longueur<\/strong> quand deux droites sont parall\u00e8les : si M est sur (AB), N sur (AC) et (MN) parall\u00e8le \u00e0 (BC), alors \"\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\". Sa r\u00e9ciproque<\/strong> prouve que deux droites sont parall\u00e8les, et sa contrapos\u00e9e<\/strong> prouve qu’elles ne le sont pas. Voici 12 exercices corrig\u00e9s pas \u00e0 pas, class\u00e9s en trois niveaux de difficult\u00e9, avec la r\u00e9daction attendue. Ils couvrent les deux configurations au programme de 3e, les triangles embo\u00eet\u00e9s et le \u00ab papillon \u00bb, et pr\u00e9parent aussi bien au brevet qu’aux questions de g\u00e9om\u00e9trie du Tage Mage<\/a>. Si la propri\u00e9t\u00e9 elle-m\u00eame vous pose encore probl\u00e8me, commencez par le cours sur le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s<\/a>.<\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne du Tage Mage<\/a><\/p>\n

💡 Astuce :<\/strong> avant chaque exercice, lisez la question. \u00ab Calculer \u00bb appelle le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s. \u00ab Les droites sont-elles parall\u00e8les ? \u00bb appelle la r\u00e9ciproque si les rapports sont \u00e9gaux, la contrapos\u00e9e s’ils sont diff\u00e9rents.<\/div>\n

Exercices de niveau 1 : calculer une longueur avec le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s<\/h2>\n

Ces trois exercices d’application directe s’appuient sur la m\u00eame m\u00e9thode : rep\u00e9rer les points align\u00e9s et les droites parall\u00e8les, \u00e9crire l’\u00e9galit\u00e9 des trois rapports, puis garder les deux rapports utiles pour faire un produit en croix.<\/p>\n

Exercice 1 : calcul de longueurs dans des triangles embo\u00eet\u00e9s<\/h3>\n

Dans le triangle ADE, on a AD = 7 cm, AE = 4,2 cm et DE = 5,6 cm. F est le point de [AD] tel que AF = 2,5 cm. La parall\u00e8le \u00e0 (DE) passant par F coupe [AE] en G.<\/p>\n

Calculer les longueurs FG et AG.<\/p>\n

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Corrig\u00e9 de l’exercice 1<\/strong><\/p>\n

Les points A, F, D sont align\u00e9s, les points A, G, E sont align\u00e9s et les droites (FG) et (DE) sont parall\u00e8les. D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s :<\/p>\n

\"\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AG}{AE}=\dfrac{FG}{DE}\", soit \"\dfrac{2{,}5}{7}=\dfrac{AG}{4{,}2}=\dfrac{FG}{5{,}6}\"<\/p>\n

Calcul de FG : \"FG=\dfrac{2{,}5\times 5{,}6}{7}=\dfrac{14}{7}=2\" cm.<\/p>\n

Calcul de AG : \"AG=\dfrac{2{,}5\times 4{,}2}{7}=\dfrac{10{,}5}{7}=1{,}5\" cm.<\/p>\n

Exercice 2 : quand la longueur cherch\u00e9e est au d\u00e9nominateur<\/h3>\n

Dans le triangle RST, M est un point de [RS] et N un point de [RT] tels que les droites (MN) et (ST) sont parall\u00e8les. On donne RM = 3 cm, MS = 4,5 cm, MN = 2,4 cm et RN = 2,8 cm.<\/p>\n

Calculer ST, puis RT.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2<\/strong><\/p>\n

Attention au pi\u00e8ge : l’\u00e9nonc\u00e9 donne MS, pas RS. Comme M appartient \u00e0 [RS], on a RS = RM + MS = 3 + 4,5 = 7,5 cm.<\/p>\n

Les points R, M, S sont align\u00e9s, les points R, N, T sont align\u00e9s et (MN) est parall\u00e8le \u00e0 (ST). D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s :<\/p>\n

\"\dfrac{RM}{RS}=\dfrac{RN}{RT}=\dfrac{MN}{ST}\", soit \"\dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac{2{,}8}{RT}=\dfrac{2{,}4}{ST}\"<\/p>\n

Par produit en croix : \"ST=\dfrac{2{,}4\times 7{,}5}{3}=\dfrac{18}{3}=6\" cm et \"RT=\dfrac{2{,}8\times 7{,}5}{3}=\dfrac{21}{3}=7\" cm.<\/p>\n

Exercice 3 : calcul de longueurs dans la configuration papillon<\/h3>\n

Les droites (AC) et (BD) se coupent en O, et les droites (AB) et (CD) sont parall\u00e8les. On donne OA = 4 cm, OC = 6 cm, OB = 5 cm et AB = 3,2 cm.<\/p>\n

Calculer OD et CD.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3<\/strong><\/p>\n

Les points A, O, C sont align\u00e9s, les points B, O, D sont align\u00e9s et (AB) est parall\u00e8le \u00e0 (CD). Le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s s’applique aussi dans cette configuration, appel\u00e9e \u00ab papillon \u00bb parce que les deux triangles OAB et OCD sont oppos\u00e9s par le sommet O :<\/p>\n

\"\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}\", soit \"\dfrac{4}{6}=\dfrac{5}{OD}=\dfrac{3{,}2}{CD}\"<\/p>\n

On obtient \"OD=\dfrac{5\times 6}{4}=\dfrac{30}{4}=7{,}5\" cm et \"CD=\dfrac{3{,}2\times 6}{4}=\dfrac{19{,}2}{4}=4{,}8\" cm.<\/p>\n

Pour ne pas inverser les rapports, placez au num\u00e9rateur les trois c\u00f4t\u00e9s du m\u00eame triangle (ici OAB) et au d\u00e9nominateur les c\u00f4t\u00e9s correspondants de l’autre triangle (OCD).<\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercices de niveau 2 : la r\u00e9ciproque et la contrapos\u00e9e du th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s<\/h2>\n

Ici, la question n’est plus de calculer mais de savoir si deux droites sont parall\u00e8les. On calcule s\u00e9par\u00e9ment deux rapports, puis on les compare. S’ils sont \u00e9gaux et que les points sont align\u00e9s dans le m\u00eame ordre, on conclut avec la r\u00e9ciproque<\/strong>. S’ils sont diff\u00e9rents, on conclut avec la contrapos\u00e9e<\/strong>.<\/p>\n

Exercice 4 : r\u00e9ciproque de Thal\u00e8s dans des triangles embo\u00eet\u00e9s<\/h3>\n

Les points S, M, A sont align\u00e9s dans cet ordre, ainsi que les points S, N, B. On donne SM = 4, SA = 12, SN = 6 et SB = 18 (en centim\u00e8tres).<\/p>\n

Les droites (MN) et (AB) sont-elles parall\u00e8les ?<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 4<\/strong><\/p>\n

D’une part, \"\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\". D’autre part, \"\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}\".<\/p>\n

Donc \"\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SB}\". De plus, les points S, M, A et S, N, B sont align\u00e9s dans le m\u00eame ordre. D’apr\u00e8s la r\u00e9ciproque du th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, les droites (MN) et (AB) sont parall\u00e8les.<\/p>\n

Exercice 5 : r\u00e9ciproque de Thal\u00e8s en configuration papillon<\/h3>\n

Les droites (MB) et (NC) se coupent en A. Les points M, A, B sont align\u00e9s dans cet ordre, ainsi que les points N, A, C. On donne AM = 3 cm, AB = 9 cm, AN = 2 cm et AC = 6 cm.<\/p>\n

Les droites (MN) et (BC) sont-elles parall\u00e8les ?<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 5<\/strong><\/p>\n

D’une part, \"\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\". D’autre part, \"\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\".<\/p>\n

Les deux rapports sont \u00e9gaux et les points M, A, B et N, A, C sont align\u00e9s dans le m\u00eame ordre. D’apr\u00e8s la r\u00e9ciproque du th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, les droites (MN) et (BC) sont parall\u00e8les.<\/p>\n

Exercice 6 : contrapos\u00e9e de Thal\u00e8s dans des triangles embo\u00eet\u00e9s<\/h3>\n

Dans le triangle KLP, R est un point de [KL] et T un point de [KP]. On donne KR = 4 cm, KL = 7 cm, KT = 6 cm et KP = 8 cm.<\/p>\n

Les droites (RT) et (LP) sont-elles parall\u00e8les ?<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 6<\/strong><\/p>\n

D’une part, \"\dfrac{KR}{KL}=\dfrac{4}{7}\". D’autre part, \"\dfrac{KT}{KP}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\".<\/p>\n

Pour comparer \"\dfrac{4}{7}\" et \"\dfrac{6}{8}\" sans arrondir, on fait les produits en croix : \"4\times 8=32\" et \"7\times 6=42\". Comme \"32\neq 42\", les rapports sont diff\u00e9rents. D’apr\u00e8s la contrapos\u00e9e du th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, les droites (RT) et (LP) ne sont pas parall\u00e8les.<\/p>\n

Exercice 7 : contrapos\u00e9e de Thal\u00e8s en configuration papillon<\/h3>\n

Les droites (BM) et (PC) se coupent en A. Les points B, A, M sont align\u00e9s dans cet ordre, ainsi que les points C, A, P. On donne AB = 7 cm, AM = 4 cm, AC = 8 cm et AP = 6 cm.<\/p>\n

Les droites (BC) et (MP) sont-elles parall\u00e8les ?<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 7<\/strong><\/p>\n

D’une part, \"\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4}{7}=\dfrac{16}{28}\". D’autre part, \"\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{21}{28}\".<\/p>\n

Les deux rapports sont diff\u00e9rents. D’apr\u00e8s la contrapos\u00e9e du th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, les droites (BC) et (MP) ne sont pas parall\u00e8les.<\/p>\n

Exercices de niveau 3 : probl\u00e8mes complets et question type Tage Mage<\/h2>\n

Ces probl\u00e8mes encha\u00eenent plusieurs \u00e9tapes, comme dans un sujet de brevet : un calcul de longueur, puis une preuve de parall\u00e9lisme, parfois avec le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/a>. Le dernier exercice prend la forme d’une question \u00e0 choix multiples, comme au Tage Mage.<\/p>\n

Exercice 8 : calculs puis r\u00e9ciproque sur une figure complexe<\/h3>\n

ABC est un triangle. E est un point de [AB] et D un point de [AC] tels que les droites (ED) et (BC) sont parall\u00e8les. On donne AE = 3, EB = 2, AD = 2 et BC = 3 (en centim\u00e8tres).<\/p>\n

    \n
  1. Calculer AC, DC et ED.<\/li>\n
  2. F est le point de la droite (DE), situ\u00e9 de l’autre c\u00f4t\u00e9 de D par rapport \u00e0 E, tel que DF = 2,7 cm. Les droites (EC) et (AF) sont-elles parall\u00e8les ?<\/li>\n<\/ol>\n

    \"\"<\/p>\n

    Corrig\u00e9 de l’exercice 8<\/strong><\/p>\n

    1. Comme E appartient \u00e0 [AB], on a AB = AE + EB = 3 + 2 = 5 cm. Les points A, E, B sont align\u00e9s, les points A, D, C sont align\u00e9s et (ED) est parall\u00e8le \u00e0 (BC). D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s :<\/p>\n

    \"\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{ED}{BC}\", soit \"\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{AC}=\dfrac{ED}{3}\"<\/p>\n

    On obtient \"AC=\dfrac{2\times 5}{3}=\dfrac{10}{3}\" cm, puis \"DC=AC-AD=\dfrac{10}{3}-\dfrac{6}{3}=\dfrac{4}{3}\" cm, et \"ED=\dfrac{3\times 3}{5}=\dfrac{9}{5}=1{,}8\" cm.<\/p>\n

    2. Les droites (AC) et (EF) se coupent en D, et les points A, D, C et F, D, E sont align\u00e9s dans le m\u00eame ordre. On compare :<\/p>\n

    \"\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{2}{\frac{4}{3}}=2\times\dfrac{3}{4}=1{,}5\" et \"\dfrac{DF}{DE}=\dfrac{2{,}7}{1{,}8}=1{,}5\"<\/p>\n

    Les rapports sont \u00e9gaux. D’apr\u00e8s la r\u00e9ciproque du th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, les droites (AF) et (EC) sont parall\u00e8les. Si le calcul de \"\dfrac{2}{\frac{4}{3}}\" vous bloque, revoyez la division par une fraction dans le cours sur les fractions<\/a>.<\/p>\n

    Exercice 9 : Thal\u00e8s puis contrapos\u00e9e dans la configuration papillon<\/h3>\n

    Les points E, L, R, T sont align\u00e9s dans cet ordre, ainsi que les points C, A, L, B. Les droites (AR) et (CT) sont parall\u00e8les. On donne LC = 6, LT = 9, LA = 4,8, LB = 1,5 et LE = 3 (en centim\u00e8tres).<\/p>\n

      \n
    1. Calculer LR.<\/li>\n
    2. Les droites (EB) et (CT) sont-elles parall\u00e8les ?<\/li>\n<\/ol>\n

      \"\"<\/p>\n

      Corrig\u00e9 de l’exercice 9<\/strong><\/p>\n

      1. Les points L, A, C sont align\u00e9s, les points L, R, T sont align\u00e9s et (AR) est parall\u00e8le \u00e0 (CT). D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s :<\/p>\n

      \"\dfrac{LA}{LC}=\dfrac{LR}{LT}=\dfrac{AR}{CT}\", soit \"\dfrac{4{,}8}{6}=\dfrac{LR}{9}\", donc \"LR=\dfrac{9\times 4{,}8}{6}=\dfrac{43{,}2}{6}=7{,}2\" cm<\/p>\n

      2. Les droites (ET) et (BC) se coupent en L, et les points E, L, T et B, L, C sont align\u00e9s dans le m\u00eame ordre. On compare :<\/p>\n

      \"\dfrac{LE}{LT}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\" et \"\dfrac{LB}{LC}=\dfrac{1{,}5}{6}=\dfrac{1}{4}\"<\/p>\n

      Les rapports sont diff\u00e9rents. D’apr\u00e8s la contrapos\u00e9e du th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, les droites (EB) et (CT) ne sont pas parall\u00e8les.<\/p>\n

      💡 Astuce :<\/strong> quand les rapports sont diff\u00e9rents, citez la contrapos\u00e9e. La r\u00e9ciproque ne permet de conclure que lorsque les rapports sont \u00e9gaux, elle ne sert jamais \u00e0 prouver que des droites ne sont pas parall\u00e8les.<\/div>\n

      Exercice 10 : Thal\u00e8s et Pythagore dans le m\u00eame probl\u00e8me<\/h3>\n

      Le triangle JAB est rectangle en A. M est un point de [JA], C un point de [AB] et U un point de [JC] tels que les droites (MU) et (AB) sont parall\u00e8les. On donne AB = 7,5 m, JB = 19,5 m, JM = 10 m et MU = 3 m.<\/p>\n

        \n
      1. Montrer que JA = 18 m.<\/li>\n
      2. Montrer que AC = 5,4 m.<\/li>\n
      3. En d\u00e9duire la longueur CB.<\/li>\n<\/ol>\n

        \"\"<\/p>\n

        Corrig\u00e9 de l’exercice 10<\/strong><\/p>\n

        1. Le triangle JAB est rectangle en A, donc d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore, \"JB^2=JA^2+AB^2\". On en d\u00e9duit \"JA^2=19{,}5^2-7{,}5^2=380{,}25-56{,}25=324\", donc \"JA=\sqrt{324}=18\" m. Pour l’extraction de la racine, vous pouvez vous entra\u00eener avec les exercices sur les racines carr\u00e9es<\/a>.<\/p>\n

        2. Les points J, M, A sont align\u00e9s, les points J, U, C sont align\u00e9s et (MU) est parall\u00e8le \u00e0 (AC), puisque C appartient \u00e0 (AB). D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s :<\/p>\n

        \"\dfrac{JM}{JA}=\dfrac{JU}{JC}=\dfrac{MU}{AC}\", soit \"\dfrac{10}{18}=\dfrac{3}{AC}\", donc \"AC=\dfrac{3\times 18}{10}=5{,}4\" m<\/p>\n

        3. C appartient \u00e0 [AB], donc \"CB=AB-AC=7{,}5-5{,}4=2{,}1\" m.<\/p>\n

        Exercice 11 : le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s dans une voile<\/h3>\n

        Un centre nautique r\u00e9pare une voile en forme de triangle PMW. C est un point de [PM] et T un point de [PW]. On donne PC = 3,78 m, PM = 4,2 m et MW = 3,4 m. On veut faire une couture le long du segment [CT].<\/p>\n

          \n
        1. a. Si (CT) est parall\u00e8le \u00e0 (MW), quelle sera la longueur de la couture ?
          \nb. Il faut une longueur de fil \u00e9gale au double de la couture. 7 m de fil suffiront-ils ?<\/li>\n
        2. Une fois la couture termin\u00e9e, on mesure PT = 1,88 m et PW = 2,30 m. La couture est-elle parall\u00e8le \u00e0 (MW) ?<\/li>\n<\/ol>\n

          \"\"<\/p>\n

          Corrig\u00e9 de l’exercice 11<\/strong><\/p>\n

          1. a. Les points P, C, M sont align\u00e9s, les points P, T, W sont align\u00e9s et (CT) est parall\u00e8le \u00e0 (MW). D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s :<\/p>\n

          \"\dfrac{PC}{PM}=\dfrac{CT}{MW}\", soit \"\dfrac{3{,}78}{4{,}2}=\dfrac{CT}{3{,}4}\", donc \"CT=\dfrac{3{,}78\times 3{,}4}{4{,}2}=\dfrac{12{,}852}{4{,}2}=3{,}06\" m<\/p>\n

          b. Il faut \"2\times 3{,}06=6{,}12\" m de fil. Comme 6,12 m est inf\u00e9rieur \u00e0 7 m, la bobine suffit.<\/p>\n

          2. D’une part, \"\dfrac{PC}{PM}=\dfrac{3{,}78}{4{,}2}=0{,}9\". Si la couture \u00e9tait parall\u00e8le \u00e0 (MW), on aurait aussi \"\dfrac{PT}{PW}=0{,}9\", c’est-\u00e0-dire \"PT=0{,}9\times 2{,}30=2{,}07\" m. Or PT = 1,88 m, donc \"\dfrac{PT}{PW}\neq\dfrac{PC}{PM}\". D’apr\u00e8s la contrapos\u00e9e du th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, la couture n’est pas parall\u00e8le au bord [MW].<\/p>\n

          Exercice 12 : question type Tage Mage sur les aires<\/h3>\n

          Le triangle ABC a une aire de 45 cm\u00b2. M est le point de [AB] tel que \"AM=\dfrac{1}{3}AB\". La parall\u00e8le \u00e0 (BC) passant par M coupe [AC] en N. Quelle est l’aire du triangle AMN ?<\/p>\n

          (A) 5 cm\u00b2 ; (B) 10 cm\u00b2 ; (C) 15 cm\u00b2 ; (D) 22,5 cm\u00b2 ; (E) 30 cm\u00b2<\/p>\n

          \"\"<\/p>\n

          Corrig\u00e9 de l’exercice 12<\/strong><\/p>\n

          D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, \"\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{1}{3}\" : le triangle AMN est une r\u00e9duction du triangle ABC de rapport \"\dfrac{1}{3}\". Sa base MN et sa hauteur issue de A sont toutes les deux divis\u00e9es par 3, donc son aire est multipli\u00e9e par \"\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\".<\/p>\n

          L’aire de AMN vaut \"\dfrac{45}{9}=5\" cm\u00b2. La bonne r\u00e9ponse est (A). La r\u00e9ponse (C), 15 cm\u00b2, est le pi\u00e8ge classique : elle correspond \u00e0 une aire divis\u00e9e par 3, en oubliant d’\u00e9lever le rapport au carr\u00e9.<\/p>\n

          Comment r\u00e9diger un exercice sur le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s ?<\/h2>\n

          Une bonne r\u00e9daction tient en trois temps : citer les hypoth\u00e8ses (points align\u00e9s, droites parall\u00e8les ou rapports compar\u00e9s), nommer la propri\u00e9t\u00e9 utilis\u00e9e, puis conclure. Le programme de math\u00e9matiques du cycle 4 publi\u00e9 au BO du 5 mars 2026 demande en 3e de conna\u00eetre et d’appliquer le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, sa r\u00e9ciproque et sa contrapos\u00e9e, dans les deux configurations. Il pr\u00e9cise que la mise en forme de la preuve se fait \u00ab sans formalisme excessif ni r\u00e9dactions st\u00e9r\u00e9otyp\u00e9es \u00bb : ce qui compte, c’est que chaque \u00e9tape soit justifi\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
          Ce que demande l’\u00e9nonc\u00e9<\/strong><\/td>\nPropri\u00e9t\u00e9 \u00e0 utiliser<\/strong><\/td>\nCe qu’il faut v\u00e9rifier<\/strong><\/td>\nPhrase de conclusion<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
          Calculer une longueur<\/td>\nTh\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s<\/td>\nPoints align\u00e9s et droites parall\u00e8les<\/td>\nD’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, \u2026<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
          Prouver que deux droites sont parall\u00e8les<\/td>\nR\u00e9ciproque<\/td>\nDeux rapports \u00e9gaux et points align\u00e9s dans le m\u00eame ordre<\/td>\nD’apr\u00e8s la r\u00e9ciproque du th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, les droites sont parall\u00e8les.<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
          Prouver que deux droites ne sont pas parall\u00e8les<\/td>\nContrapos\u00e9e<\/td>\nDeux rapports diff\u00e9rents<\/td>\nD’apr\u00e8s la contrapos\u00e9e du th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s, les droites ne sont pas parall\u00e8les.<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

          Les erreurs qui reviennent le plus souvent dans les copies sont les suivantes :<\/p>\n