{"id":58478,"date":"2020-07-07T17:25:51","date_gmt":"2020-07-07T16:25:51","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=58478"},"modified":"2022-06-11T18:07:33","modified_gmt":"2022-06-11T17:07:33","slug":"annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2016","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2016\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2016"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n

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Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2016<\/h1>\n<\/div>\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\n

Exercice 1 : Scilab, d\u00e9rivation et variation de suite<\/h2>\n

1\/ a\/<\/strong> La fonction \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}_+^*\" comme quotient de deux fonctions d\u00e9rivables dont le d\u00e9nominateur ne s’annule pas sur \"\mathbb{R}_+^*\", et on a :<\/p>\n

\"f'(x)=\dfrac{-e^{-x}(x+1)}{x^2}<0\" sur \"\mathbb{R}_+^*\"<\/p>\n

Donc la fonction \"f\" est strictement d\u00e9croissante sur \"\mathbb{R}_+^*\".<\/p>\n

De plus, \"\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\" et \"\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\" (pas des formes ind\u00e9termin\u00e9es)<\/p>\n

\"edhec<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

b\/<\/strong> Par r\u00e9currence imm\u00e9diate de la propri\u00e9t\u00e9<\/p>\n

\"\mathscr{P}(n):u_n\" est bien d\u00e9fini et \"u_n>0\"<\/p>\n

function y=f(x,n)
\nif x==1 then y=n
\nelse y=(1-x^(n+1))\/(1-x)-1
\nendfunction<\/p>\n

2\/<\/strong> Les script calculent les termes successifs de la suite, mais le premier script s’arr\u00eate lorsque u<=0.00001 et le second lorsque u>=100000, n sert de compteur, il indique l’indice du dernier terme calcul\u00e9.<\/p>\n

Conclusion : \"u_5\leqslant0,00001\" et \"u_6\geqslant100000\" et ce sont les premiers termes de la suite \u00e0 v\u00e9rifier ces in\u00e9galit\u00e9s.<\/p>\n

De telles \u00e9carts peuvent nous faire conjecturer que la suite n’admet pas de limite (et m\u00eame que la suite des termes de rang pair tend vers \"+\infty\" et celle des termes de rang impair tend vers \"0\").<\/p>\n

3\/ a\/<\/strong> \"g\" est \u00e9videmment d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}_+\" et \"g'(x)=-e^{-x}-2x<0\" sur \"\mathbb{R}_+\".<\/p>\n

La fonction \"g\" est donc continue et strictement d\u00e9croissante sur \"\mathbb{R}_+\", elle r\u00e9alise alors une bijection de \"\mathbb{R}_+\" sur \"g(\mathbb{R}_+)=]-\infty,1]\"<\/p>\n

b\/<\/strong> Sur \"\mathbb{R}_+^*\", \"f(x)=x\" ssi \"\dfrac{e^{-x}}{x}=x\"<\/p>\n

ssi \"e^{-x}=x^2\" ssi \"g(x)=0\".<\/p>\n

Or d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente \"0\" poss\u00e8de un unique ant\u00e9c\u00e9dent dans \"\mathbb{R}_+\" par \"g\". On le note alors \"\alpha\in\mathbb{R}_+\".<\/p>\n

c\/\u00a0<\/strong>D\u00e9terminons le signe de \"g\left( \dfrac{1}{e}\right)\" et \"g(1)\" :<\/p>\n

On a : \"g\left( \dfrac{1}{e}\right)=e^{-1/e}-\dfrac{1}{e^2}=\dfrac{1}{e^{1/e}}-\dfrac{1}{e^2}\",<\/p>\n

or\u00a0 \"\dfrac{1}{e}<2\"<\/p>\n

donc par croissance de la fonction exponentielle \"e^{1/e}<e^2\",<\/p>\n

donc en inversant \"\dfrac{1}{e^{1/e}}>\dfrac{1}{e^2}\"<\/p>\n

et donc \"g\left( \dfrac{1}{e}\right)>0\".<\/p>\n

Plus simplement, \"g(1)=\dfrac{1}{e}-1<0\", puisque \"e>2\".<\/p>\n

En conclusion : \"g(1)<g(\alpha)<g\left( \dfrac{1}{e}\right)\", or comme \"g\" est strictement d\u00e9croissante<\/p>\n

on a donc : \"1>\alpha>\dfrac{1}{e}\".<\/p>\n

4\/ a\/<\/strong> On peut calculer : \"u_0=1\", \"u_1=\dfrac{1}{e}\" et<\/p>\n

\"u_2=f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{e^{-1/e}}{1/e}=e^{\dfrac{e-1}{e}}\".<\/p>\n

Or pour cette derni\u00e8re, \"\dfrac{e-1}{e}>0\" donc \"e^{\dfrac{e-1}{e}}>1\"<\/p>\n

et on a alors bien \"u_2=f(u_1)>1\" donc \"u_2>u_0\".<\/p>\n

Pour l’autre in\u00e9galit\u00e9, il suffit de remarquer que \"f\" est d\u00e9croissante de : \"u_2>u_0\" on tire
\n\"f(u_2)<f(u_0)\" soit \"u_3<u_1\"<\/p>\n

b\/<\/strong> Montrons que \"(u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}\" est croissante. Pour cela, on peut montrer par r\u00e9currence que, pour tout \"n\in\mathbb{N}\" : <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_{2n+2}>u_{2n}\]\"<\/p>\n

L’initialisation a \u00e9t\u00e9 faite en (a).<\/p>\n

Supposons que \"u_{2n+2}>u_{2n}\" pour un certain rang \"n\in\mathbb{N}\" fix\u00e9, on a alors en composant par \"f\" (d\u00e9croissante) :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_{2n+3}<u_{2n+1}\]\"<\/p>\n

et en composant encore une fois par \"f\" (d\u00e9croissante) :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_{2n+4}>u_{2n+2}\]\"<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est alors initialis\u00e9e pour \"n=0\" et elle est h\u00e9r\u00e9ditaire, elle est donc vraie pour tout \"n\in\mathbb{N}\".<\/p>\n

Conclusion : \"(u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}\" est croissante.<\/p>\n

Pour \"(u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}\" c’est plus simple : comme \"(u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}\" est croissante on a pour tout \"n\in\mathbb{N}\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_{2n+2}>u_{2n}\]\"<\/p>\n

en composant par \"f\" (d\u00e9croissante), on a alors, pour tout \"n\in\mathbb{N}\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_{2n+3}<u_{2n+1}\]\"<\/p>\n

et \"(u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}\" est alors bien d\u00e9croissante.<\/p>\n

5\/ a\/ <\/strong>Pour \"x>0\",
\n\"h(x)=f(f(x))=\dfrac{e^{-f(x)}}{f(x)}\"<\/p>\n

= \"\dfrac{e^{-\dfrac{e^{-x}}{x}}}{\dfrac{e^{-x}}{x}}\"<\/p>\n

= \"x\dfrac{e^{-\dfrac{e^{-x}}{x}}}{e^{-x}}\"<\/p>\n

= \"xe^{x-\dfrac{e^{-x}}{x}}\"<\/p>\n

= \"xe^{x-f(x)}\"<\/p>\n

De plus, d’apr\u00e8s la question 1., on a : \"\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\" et \"\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\",<\/p>\n

donc par composition de limite : \"\lim\limits_{x\to0^+}f(f(x))=0=h(0)\",<\/p>\n

donc \"h\" est bien continue en \"0\".<\/p>\n

b\/\u00a0<\/strong>Soit \"x\in\mathbb{R}_+\". On a :
\n\"h(x)=x\" ssi \"xe^{x-f(x)}=x\"<\/p>\n

ssi \"\left\{\begin{array}{l}<\/p>\n

L’\u00e9quation \"h(x)=x\" n’admet donc que deux solutions sur \"\mathbb{R}_+\" : \"0\" et \"\alpha\".<\/p>\n

c\/ <\/strong>\"(u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}\" est d\u00e9croissante et minor\u00e9e (par \"0\") donc elle converge vers une limite \"l<u_1=\dfrac{1}{e}<\alpha\" (d’apr\u00e8s la question 3.(c)),<\/p>\n

de plus \"u_{2n+3}=h(u_{2n+1})\", donc \"l\" v\u00e9rifie \"h(l)=l\".<\/p>\n

Donc, compte tenu de ce qui pr\u00e9c\u00e8de et du fait que \"l<\alpha\" on a n\u00e9cessairement \"l=0\".<\/p>\n

d\/<\/strong> Si \"\lim\limits_{n\to+\infty}u_{2n}=l'\geqslant1=u_0\" alors gr\u00e2ce \u00e0 \"f\" continue<\/em> sur \"\mathbb{R}_+^*\",<\/p>\n

on aurait \"\lim\limits_{n\to+\infty}f(u_{2n})=f(l')\", ou encore \"\lim\limits_{n\to+\infty}u_{2n+1}=f(l')=0\", d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n

Ceci est absurde puisque \"0\" n’a pas d’ant\u00e9c\u00e9dent par \"f\" d’apr\u00e8s la question 1.(a).<\/p>\n

Conclusion : \"(u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}\" diverge, de plus, \u00e9tant croissante, sa limite ne peut \u00eatre que \"+\infty\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

Exercice 2 : Alg\u00e8bre lin\u00e9aire<\/h2>\n

1\/ a\/<\/strong> \"f\" et \"Id\" commutent, donc :<\/p>\n

\"(f-Id)^2+f\circ(2Id-f)\" \"= f^2-2f+Id + 2f-f^2\" \"= Id\"<\/p>\n

b\/<\/strong> D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, \"Id=(f-Id)^2+f\circ(2Id-f)\" donc pour tout \"x\in\mathbb{R}^n\", on a :<\/p>\n

\"Id(x)=(f-Id)^2(x)+(f\circ(2Id-f))(x)\"<\/p>\n

soit : \"x=(f-Id)^2(x)+\left(f\circ(2Id-f)\right)(x)\"<\/p>\n

c\/<\/strong> \"f\circ(f-Id)^2=0\"<\/p>\n

donc, pour tout \"x\in\mathbb{R}^n\", \"(f-Id)^2(x)\in Ker(f)\".<\/p>\n

De plus, \"\left(f\circ(2Id-f)\right)(x)\in Im(f)\".<\/p>\n

Donc, avec (b), tout vecteur \"x\" de \"\mathbb{R}^n\" peut s’\u00e9crire comme somme d’un vecteur de \"Ker(f)\" et d’un vecteur de \"Im(f)\",<\/p>\n

on a alors \"\mathbb{R}^n=Ker(f)+Im(f)\".<\/p>\n

Reste \u00e0 montrer que \"Ker(f)\cap Im(f)=\{0\}\" pour avoir une somme directe :<\/p>\n

Si \"y\in Ker(f)\cap Im(f)\" alors il existe \"x\in\mathbb{R}^n\" tel que \"y=f(x)\" et \"f(y)=f^2(x)=0\".<\/p>\n

D\u00e9veloppons alors \"f\circ(f-Id)^2=0\", cela revient \u00e0 : \"f^3-2f^2+f=0\" que l’on applique \u00e0 \"x\" pour obtenir :<\/p>\n

\"f^3(x)-2f^2(x)+f(x)=0\"<\/p>\n

Soit : <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f(x)=y=0\]\"<\/p>\n

Conclusion : \"\mathbb{R}^n=Ker(f)\oplus Im(f)\"<\/p>\n

2\/ a\/<\/strong> On peut poser \"P(X)=aX+b\", puis on trouve en identifiant : \"a=-\dfrac{1}{4}\" et \"b=\dfrac{5}{4}\".<\/p>\n

Conclusion : \"P(X)=-\dfrac{1}{4}X+\dfrac{5}{4}\".<\/p>\n

b\/<\/strong> Comme dans la question 1., on a cette fois-ci \u00e0 partir de \"\dfrac{1}{4}(X-1)(X-4)+ XP(X)=1\"
\n\"\dfrac{1}{4}(f-Id)\circ(f-4Id)+ f\circ P(f)=Id\"<\/p>\n

Donc, pour tout \"x\in\mathbb{R}^n\" :
\n\"x=\left(\dfrac{1}{4}(f-Id)\circ(f-4Id)\right)(x)+ (f\circ P(f))(x)\"<\/p>\n

Or l’\u00e9nonc\u00e9 nous dit que : \"f\circ(f-Id)\circ(f-4Id)=0\",<\/p>\n

donc \"\left(\dfrac{1}{4}(f-Id)\circ(f-4Id)\right)(x)\in Ker(f)\"<\/p>\n

de plus \"(f\circ P(f))(x)= f[(P(f))(x)]\in Im(f)\".<\/p>\n

Donc \"\mathbb{R}^n=Ker(f)+Im(f)\".<\/p>\n

De plus, de \"f\circ(f-Id)\circ(f-4Id)=0\" on a \"X(X-1)(X-4)=X^3-5X^2+4X\" est annulateur de \"f\"<\/p>\n

et comme dans la question 1., si \"y=f(x)\in Ker(f)\cap Im(f)\"<\/p>\n

alors \"f^3(x)-5f^2(x)+4f(x)=0\"<\/p>\n

soit \"4f(x)=4y=0\",<\/p>\n

donc \"\mathbb{R}^n=Ker(f)\oplus Im(f)\".<\/p>\n

3\/ a\/<\/strong> \"P\in\mathbb{R}_p[X]\", il existe donc \"(a_0,\dots,a_p)\in\mathbb{R}^{n+1}\" tels que \"P=a_0+a_1X+\cdots+a_pX^p\".<\/p>\n

De plus \"P(0)=a_0\" et \"P'(0)=a_1\".<\/p>\n

Donc d’apr\u00e8s l’\u00e9nonc\u00e9, \"a_0=0\" et \"a_1\neq0\".<\/p>\n

b\/<\/strong> Si \"y\in Ker(f)\cap Im(f)\", comme pr\u00e9c\u00e9demment, il existe \"x\in\mathbb{R}^n\" tel que<\/p>\n

\"y=f(x)\" et \"f(y)=0\"<\/p>\n

(remarque : et plus g\u00e9n\u00e9ralement \"f^k(x)=0\" pour tout entier \"k\geqslant2\").<\/p>\n

\"P\" \u00e9tant annulateur de \"f\", on a \"(P(f))(x)=0\",<\/p>\n

soit : \"a_1f(x)+\cdots+a_pf^p(x)=0\"<\/p>\n

et donc d’apr\u00e8s la remarque pr\u00e9c\u00e9dente :<\/p>\n

\"a_1f(x)=0\".<\/p>\n

Or, \"a_1\neq0\" donc \"f(x)=y=0\".<\/p>\n

Conclusion : \"Ker(f)\cap Im(f)=\{0\}\".<\/p>\n

De plus \"P(f)=0\", donc \"a_1f+\cdots+a_pf^p=0\" ou encore :<\/p>\n

\"f\circ (a_1 Id+a_2f+\cdots+a_pf^{p-1})=0\"<\/p>\n

On a aussi :<\/p>\n

\"a_1Id+a_2f + \cdots+a_pf^{p-1}\;\" \"+\;f\circ(-a_2Id-a_3f-\cdots-a_pf^{p-2})\" \"= a_1Id\".<\/p>\n

Donc pour tout \"x\in\mathbb{R}^n\" :
\n\"\underbrace{a_1Id+a_2f + \cdots+a_pf^{p-1})(x)}_{\in Ker(f)}\;\" \"+\;\underbrace{(f\circ(-a_2Id-a_3f-\cdots-a_pf^{p-2}))(x)}_{\in Im(f)}\" \"= a_1x\"<\/p>\n

Donc \"\mathbb{R}^n=Ker(f)+ Im(f)\" et avec ce qui pr\u00e9c\u00e8de : \"\mathbb{R}^n=Ker(f)\oplus Im(f)\".<\/p>\n

c\/<\/strong> C’est plut\u00f4t clair, avec dans la question 1. \"P=X(X-1)^2\"<\/p>\n

et dans la question 2. \"P=X(X-1)(X-4)\"<\/p>\n

qui v\u00e9rifient bien \"P(0)=0\" et \"P'(0)\neq0\".<\/p>\n

Exercice 3 : fonction \u00e0 2 variables et matrice hessienne<\/h2>\n

1\/ a\/<\/strong> On a :
\n\"L(\theta_1,\theta_2)=\prod\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\theta_2}}e^{-\dfrac{(x_i-\theta_1)^2}{2\theta_2}}\"<\/p>\n

\"= \boxed{\dfrac{1}{(2\pi\theta_2)^{\dfrac{n}{2}}}e^{-\dfrac{1}{2\theta_2}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\theta_1)^2}}\"<\/p>\n

Donc :<\/p>\n

\"\ln(L(\theta_1,\theta_2))\"<\/p>\n

= \"\boxed{-\dfrac{n}{2}\ln(2\pi\theta_2) - \dfrac{1}{2\theta_2}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\theta_1)^2}\"<\/p>\n

2\/ a\/<\/strong> \"f\" est bien de classe \"C^2\", par la somme de la compos\u00e9e et de quotient de fonctions de classe \"C^2\" (polyn\u00f4mes) dont le d\u00e9nominateur ne s’annule pas sur \"U\" et de la compos\u00e9e de la fonction \"\ln\" qui est bien \"C^2\" sur \"\mathbb{R}_+^*\".<\/p>\n

b\/<\/strong> On a :<\/p>\n

\"\boxed{\partial_1(f)(\theta_1,\theta_2)=\dfrac{1}{\theta_2}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\theta_1)}\" et :<\/p>\n

\"\boxed{\partial_2(f)(\theta_1,\theta_2)=-\dfrac{n}{2\theta_2} + \dfrac{1}{2\theta_2^2}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\theta_1)^2}\"<\/p>\n

On cherche les points critiques donc :<\/p>\n

\"\left\{
\n\"\Leftrightarrow
\n\"\Leftrightarrow<\/p>\n

\"\Leftrightarrow<\/p>\n

Or, d’apr\u00e8s la premi\u00e8re ligne \"\sum\limits_{i=1}^{n}x_i=n\theta_1\" donc en rempla\u00e7ant dans la deuxi\u00e8me ligne, on a :<\/p>\n

\"\left\{<\/p>\n

\"\Leftrightarrow<\/p>\n

On remarque alors que \"\theta_1\" est uniquement d\u00e9termin\u00e9 par les \"(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\"<\/p>\n

et \"\theta_2\" est lui aussi uniquement d\u00e9termin\u00e9 par les \"(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\" et \"\theta_1\" (qui est unique).<\/p>\n

Conclusion : \"f\" admet un unique point critique \"A=\left(\widehat{\theta_1},\widehat{\theta_2}\right)\" sur \"U\" et \"A\" v\u00e9rifie :<\/p>\n

\"\widehat{\theta_1}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\" et \"\widehat{\theta_2}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-\widehat{\theta_1}^2\"<\/p>\n

c\/<\/strong> Calculons les d\u00e9riv\u00e9es partielles d’ordre 2 de \"f\" :<\/p>\n

\"\partial_{1,1}^2(f)(\theta_1,\theta_2)=-\dfrac{n}{\theta_2}\";<\/p>\n

\"\partial_{2,2}^2(f)(\theta_1,\theta_2)=\dfrac{n}{2\theta_2^2}-\dfrac{1}{\theta_2^3}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\theta_1)^2\"<\/p>\n

et \"\partial_{1,2}^2(f)(\theta_1,\theta_2)=-\dfrac{1}{\theta_2^2}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\theta_1)\"<\/p>\n

Donc en \"A=\left(\widehat{\theta_1},\widehat{\theta_2}\right)\", avec par d\u00e9finition<\/p>\n

\"\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\widehat{\theta_1})=0\" et \"\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\widehat{\theta_1})^2=n\widehat{\theta_2}\"<\/p>\n

(voir la question 2.(b)), on a :<\/p>\n

\"\boxed{\partial_{1,1}^2(f)(\widehat{\theta_1},\widehat{\theta_2})=-\dfrac{n}{\widehat{\theta_2}};}\"<\/p>\n

\"\boxed{ \partial_{1,2}^2(f)(\widehat{\theta_1},\widehat{\theta_2})=0}\"<\/p>\n

et<\/p>\n

\"\boxed{\partial_{2,2}^2(f)(\widehat{\theta_1},\widehat{\theta_2})=\dfrac{n}{2\widehat{\theta_2}^2}-\dfrac{n\widehat{\theta_2}}{\widehat{\theta_2}^3}=\dfrac{-n}{2\widehat{\theta_2}^2}}\"<\/p>\n

d\/ <\/strong>La matrice hessienne de \"f\" en \"A\" est donc diagonale et ses valeurs propres : \"-\dfrac{n}{\widehat{\theta_2}}\" et \"\dfrac{-n}{2\widehat{\theta_2}^2}\" sont strictement n\u00e9gatives, \"f\" admet donc un maximum local en \"A\".<\/p>\n

e\/<\/strong> \"f\" admet donc un maximum local en \"A\" signifie qu’il existe un voisinage \"V\" de \"A\" tel que<\/p>\n

\"\forall\" \"(\theta_1,\theta_2)\in V,\; f(\theta_1,\theta_2)\leqslant f(A)\",<\/p>\n

or \"L=\exp(f)\" et la fonction exponentielle \u00e9tant croissante, on a<\/p>\n

\"\forall\" \"(\theta_1,\theta_2)\in V,\; L(\theta_1,\theta_2)\leqslant L(A)\".<\/p>\n

Conclusion : \"L\" admet bien un maximum local en \"A\".<\/p>\n

3\/<\/strong> On a :<\/p>\n

\"E(\overline{X_n})=\dfrac{1}{n} E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_i)\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}m\"<\/p>\n

\"=m\".<\/p>\n

Donc \"\overline{X_n}\" est bien un estimateur sans biais de \"m\".<\/p>\n

4\/<\/strong> Rappelons que pour tout \"i\in [1,n]\", \"E(X_i^2)=E(X^2)\".<\/p>\n

On a alors :<\/p>\n

\"E(Z_n)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_i^2)-E(\overline{X_n}^2)\"<\/p>\n

\"= E(X^2)-\dfrac{1}{n^2}E\left(\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right)\"<\/p>\n

Or, \"\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)^2=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2+2\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}X_iX_j\"<\/p>\n

donc : \"\dfrac{1}{n^2} E\left(\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right)\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1}{n^2}\left( nE(X^2) +2\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}E(X_iX_j)\right)\"<\/p>\n

mais par ind\u00e9pendance avec \"i\neq j\" : \"E(X_iX_j)=E(X_i)E(X_j)=(E(X))^2\" donc :<\/p>\n

\"\dfrac{1}{n^2} E\left(\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right)\" \"=\dfrac{1}{n}E(X^2) +\dfrac{2}{n^2}\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}(E(X))^2\"<\/p>\n

La derni\u00e8re somme compte\u00a0 \"\dfrac{(n-1)n}{2}\"\u00a0 termes,<\/p>\n

donc : \"\dfrac{1}{n^2} E\left(\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right)\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1}{n}E(X^2)+\dfrac{2}{n^2}\times\dfrac{(n-1)n}{2}(E(X))^2\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1}{n}E(X^2)+\dfrac{n-1}{n}(E(X))^2\"<\/p>\n

En revenant \u00e0 \"E(Z_n)\" on a alors :<\/p>\n

\"E(Z_n)=E(X^2)-\dfrac{1}{n}E(X^2)-\dfrac{n-1}{n}(E(X))^2\"<\/p>\n

\"= \dfrac{n-1}{n}\sigma^2\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\sigma^2\"<\/p>\n

Conclusion : \"Z_n\" est un estimateur asymptotiquement sans biais de \"\sigma^2\".<\/p>\n

5\/ a\/<\/strong> \"\overline{X_n}\" \u00e9tant un estimateur sans biais de \"m\", il suffit, pour qu’il soit convergent, que \"V(\overline{X_n})\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\".<\/p>\n

Or, on a : \"V(\overline{X_n}) = \dfrac{1}{n}V(X)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\", donc \"(\overline{X_n})\" converge bien en probabilit\u00e9 vers \"m\".<\/p>\n

Puisque la fonction r\u00e9elle \"x\mapsto x^2\" est continue, on peut en d\u00e9duire que la suite \"(\overline{X_n}^2)\" converge en probabilit\u00e9 vers \"m^2\".<\/p>\n

b\/<\/strong> On a la loi de \"X\", une densit\u00e9 de \"X\" est \"\varphi_{m,\sigma^2}\".<\/p>\n

Pour que \"X\" poss\u00e8de un moment d’ordre 4 il faut que l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x^4\varphi_{m,\sigma^2}(x)\mathrm{d}x\" soit absolument convergente (ou tout simplement converge, l’int\u00e9grale \u00e9tant positive).<\/p>\n

Or, par croissance compar\u00e9e, \"x^6\varphi_{m,\sigma^2}(x)\underset{x\to\pm\infty}{\longrightarrow}0\",<\/p>\n

donc \"x^4\varphi_{m,\sigma^2}(x)\underset{x\to\pm\infty}{=}o\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\",<\/p>\n

donc \"\displaystyle \int_1^{+\infty}x^4\varphi_{m,\sigma^2}(x)\mathrm{d}x\" et \"\displaystyle \int_{-\infty}^{-1}x^4\varphi_{m,\sigma^2}(x)\mathrm{d}x\" convergent et \"X\" admet bien un moment d’ordre 4.<\/p>\n

Par cons\u00e9quent \"X^2\" admet un moment d’ordre 2, on peut donc utiliser la loi faible des grands nombres avec \"E(X^2)=V(X)+E(X)^2 = \sigma^2+m^2\" (Koenig-Huygens) :<\/p>\n

\"\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2\" converge en probabilit\u00e9 vers \"\sigma^2+m^2\"<\/p>\n

c\/<\/strong> \"\left(\left|Z_n-\sigma^2\right|\geqslant\varepsilon\right)=\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2-\overline{X_n}^2-\sigma^2\right|\geqslant\varepsilon\right)\"<\/p>\n

soit encore en ajoutant et retranchant \"m^2\" :
\n\"\left(\left|Z_n-\sigma^2\right|\geqslant\varepsilon\right)\" \"=\left(\left|\underbrace{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2-(\sigma^2+m^2)}_{A_n}+\underbrace{(m^2-\overline{X_n}^2)}_{B_n}\right|\geqslant\varepsilon\right)\"<\/p>\n

Or, si \"|A_n+B_n|\geqslant\varepsilon\" alors \"|A_n|\geqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\" ou \"|B_n|\geqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\",<\/p>\n

car sinon, par in\u00e9galit\u00e9 triangulaire :<\/p>\n

\"|A_n+B_n|\leqslant|A_n|+|B_n|<\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\"
\nDonc :<\/p>\n

\"\left(\left|Z_n-\sigma^2\right|\geqslant\varepsilon\right)=\left(|A_n+B_n|\geqslant\varepsilon\right)\"<\/p>\n

et \"\left(|A_n+B_n|\geqslant\varepsilon\right)\subset\left(|A_n|\geqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\cup\left(|B_n|\geqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\"<\/p>\n

Ce qu’il fallait d\u00e9montrer.<\/p>\n

5\/ d\/\u00a0<\/strong>Il suffit pour cela de montrer que \"(Z_n)\" converge en probabilit\u00e9 vers \"\sigma^2\". Or, pour tout \"\varepsilon>0\", on a :<\/p>\n

\"\left(\left|Z_n-\sigma^2\right|\geqslant\varepsilon\right)\subset\left(|A_n|\geqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\cup\left(|B_n|\geqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\"<\/p>\n

\"P\left(\left|Z_n-\sigma^2\right|\geqslant\varepsilon\right)\leqslant P\left(|A_n|\geqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\right) + P\left(|B_n|\geqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\"<\/p>\n

mais, d’apr\u00e8s la question 5. (b), \"\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2\" converge en probabilit\u00e9 vers \"\sigma^2+m^2\"<\/p>\n

ce qui revient \u00e0 \"P\left(|A_n|\geqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\"<\/p>\n

et, d’apr\u00e8s la question 5. (a), \"(\overline{X_n}^2)\" converge en probabilit\u00e9 vers \"m^2\"<\/p>\n

ce qui revient \u00e0 \"P\left(|B_n|\geqslant\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\".<\/p>\n

On a alors bien :<\/p>\n

\"\forall\varepsilon>0,\; \lim\limits_{n\to+\infty}P\left(\left|Z_n-\sigma^2\right|\geqslant\varepsilon\right)=0\"<\/p>\n

et \"Z_n\" est bien un estimateur convergent de \"\sigma^2\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Probl\u00e8me : Alg\u00e8bre lin\u00e9aire et probabilit\u00e9 avec les chaines de Markov<\/span><\/p>\n

Partie 1 : R\u00e9sultats pr\u00e9liminaires<\/h3>\n

1\/<\/strong> Pour tout \"n\in\mathbb{N}\" et tout \"(i,j)\in [1,4] \times [1,4]\", le coefficient situ\u00e9 \u00e0 l’intersection de la \"i^ème\" ligne et de la \"j^ème\" colonne de \"BA_n\" est donn\u00e9 par :<\/p>\n

\"\sum\limits_{k=1}^{4}b_{i,k}a_{k,j}(n)\" et par somme finie de limites, on a :<\/p>\n

\"\left(\sum\limits_{k=1}^{4}b_{i,k}a_{k,j}(n)\right)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\left(\sum\limits_{k=1}^{4}b_{i,k}a_{k,j}\right)\"<\/p>\n

qui n’est rien d’autre que le coefficient situ\u00e9 \u00e0 l’intersection de la \"i^ème\" ligne et de la \"j^ème\" colonne de \"BA\".<\/p>\n

Conclusion : on a donc bien \"\lim\limits_{n\to+\infty}BA_n=BA\".<\/p>\n

2\/<\/strong> En consid\u00e9rant la matrice colonne
\n\"X=\begin{pmatrix}, on a dans ce cas \"AX=cX\".<\/p>\n

\"c\" est donc bien une valeur propre de \"A\".<\/p>\n

3\/<\/strong> On utilise le r\u00e9sultat bien connu : pour toutes matrices \"M\" et \"N\" de \"\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\", \"Tr(MN)=Tr(NM)\" que l’on red\u00e9montre ici :<\/p>\n

\"Tr(MN)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{k=1}^{n}m_{i,k}n_{k,i}\"<\/p>\n

\"= \sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}n_{k,i}m_{i,k}\"<\/p>\n

\"=Tr(NM)\"<\/p>\n

Or, si \"A\" est diagonalisable il existe une matrice diagonale \"D=diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)\" constitu\u00e9es des valeurs propres de \"A\" et une matrice inversible \"P\" telles que : \"A=PDP^{-1}\". On a alors :<\/p>\n

\"Tr(A)=Tr(PDP^{-1})\"<\/p>\n

\"=Tr(DPP^{-1})=Tr(D)\"<\/p>\n

\"=\sum\limits_{i=1}^{4}\lambda_i\" d’apr\u00e8s le r\u00e9sultat red\u00e9montr\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment.<\/p>\n

Conclusion : Si \"A\" est diagonalisable alors \"Tr(A)\" est \u00e9gal \u00e0 la somme de ses valeurs propres.<\/p>\n

Partie 2 : \u00c9tude de la matrice d’une cha\u00eene de Markov<\/h3>\n

4\/<\/strong>Tout d’abord, il faut remarquer que, les tirages \u00e9tant des \u00e9changes, il y a toujours 3 boules dans chaque urnes.<\/p>\n

De plus, si l’urne \"U\" contient \"i\" boules blanches alors elle contient aussi \"(3-i)\" boules noires et dans ce cas l’urne \"V\" contient \"i\" boules noires et \"(3-i)\" boules blanches.<\/p>\n

    \n
  • \u00a0Si l’urne \"U\" contient \"0\" boule blanche alors un \u00e9change donnera n\u00e9cessairement \"1\" boules blanche dans l’urne \"U\".
    \nDonc : \"\boxed{P_{(X_n=0)}(X_{n+1}=1)=1}\".<\/li>\n
  • \u00a0Si l’urne \"U\" contient \"3\" boule blanche alors un \u00e9change donnera n\u00e9cessairement \"2\" boules blanche dans l’urne \"U\".
    \nDonc : \"\boxed{P_{(X_n=3)}(X_{n+1}=2)=1}\".<\/li>\n
  • Dans les autres cas, si l’urne \"U\" contient \"i\in\{1,2\}\" boules blanches alors au prochain tirage elle ne pourra en contenir que \"i\", \"i+1\" ou \"i-1\".<\/li>\n<\/ul>\n

    Pour rester avec le m\u00eame nombre \"i\" de boules dans \"U\", il faut choisir une boule noire dans \"U\" et une boule noire dans \"V\" ou alors il faut choisir une boule blanche dans \"U\" et une boule blanche dans \"V\".<\/p>\n

    On a donc : \"P_{(X_n=i)}(X_{n+1}=i)=\dfrac{3-i}{3}\times\dfrac{i}{3} + \dfrac{i}{3}\times\dfrac{3-i}{3}\"<\/p>\n

    Soit : \"\boxed{P_{(X_n=i)}(X_{n+1}=i)=\dfrac{2i(3-i)}{3^2}}\"<\/p>\n

    Pour augmenter le nombre de boules blanches d’une unit\u00e9 il faut choisir une boule noire dans \"U\" et une boule blanche dans \"V\".<\/p>\n

    Donc : \"\boxed{P_{(X_n=i)}(X_{n+1}=i+1)=\dfrac{(3-i)^2}{3^2}}\"<\/p>\n

    Pour diminuer le nombre de boules blanches d’une unit\u00e9 il faut choisir une boule blanche dans \"U\" et une boule noire dans \"V\".<\/p>\n

    Donc : \"\boxed{P_{(X_n=i)}(X_{n+1}=i-1)=\dfrac{i^2}{3^2}}\"<\/p>\n

    5\/ a\/<\/strong> La matrice \"M\" est donn\u00e9e par :
    \n\"\begin{pmatrix}<\/p>\n

    Soit, d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente :
    \n\"M=<\/p>\n

    qui est bien la matrice donn\u00e9e \u00e0 la question 12.<\/p>\n

    b\/<\/strong> Pour tout \"j\in [\![0\,;3]\!]\", d’apr\u00e8s la formule des probabilit\u00e9s totales avec le syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements \"((X_n=i)_{0\leqslant i\leqslant 3})\", on a :<\/p>\n

    \"P(X_{n+1}=j) = P(X_n=0)P_{(X_n=0)}(X_{n+1}=j)\"<\/p>\n

    \"+P(X_n=1)P_{(X_n=1)}(X_{n+1}=j)\"<\/p>\n

    \"+P(X_n=2)P_{(X_n=2)}(X_{n+1}=j)\"<\/p>\n

    \"+P(X_n=3)P_{(X_n=3)}(X_{n+1}=j)\"<\/p>\n

    L’\u00e9galit\u00e9 demand\u00e9e est donc vraie pour le \"(j+1)^ème\" coefficient de \"L_{n+1}\".<\/p>\n

    Or, ceci \u00e9tant vrai pour tout \"j\", on bien :<\/p>\n

    Pour tout entier \"n\geqslant3,\; L_{n+1}=L_nM\" admis pour \"n=0,1\" et 2<\/p>\n

    c\/<\/strong> Par une r\u00e9currence imm\u00e9diate<\/p>\n

    6\/ a\/<\/strong> La somme des coefficients d’une ligne de \"M\" vaut toujours 1, donc d’apr\u00e8s la question 2., 1 est valeur propre de \"M\".<\/p>\n

    b\/<\/strong> Un simple calcul donne :<\/p>\n

    \"\boxed{M\,{}^tE_1=\dfrac{-1}{9}{}^tE_1}\"<\/p>\n

    et \"\boxed{M\,{}^tE_2=\dfrac{1}{3}{}^tE_2}\"<\/p>\n

    Donc \"{}^tE_1\" est bien un vecteur propre de \"M\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\dfrac{-1}{9}\" et \"{}^tE_2\" est bien un vecteur propre de \"M\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\dfrac{1}{3}\".<\/p>\n

    c\/<\/strong> Si \"M\" est diagonalisable alors, d’apr\u00e8s la question 3., la somme des valeurs propres de \"M\" doit \u00eatre \u00e9gale \u00e0 \"Tr(M)=\dfrac{8}{9}\".<\/p>\n

    On a d\u00e9j\u00e0 3 valeurs propres de \"M\", la derni\u00e8re \"\lambda\" v\u00e9rifie donc :<\/p>\n

    \"1+\dfrac{-1}{9}+\dfrac{1}{3}+\lambda=\dfrac{8}{9}\" et donc \"\lambda=\dfrac{-1}{3}\".<\/p>\n

    Montrons que \"M+\dfrac{1}{3}I_4\" n’est pas inversible ou, ce qui revient au m\u00eame, montrons que \"A=9\left(M+\dfrac{1}{3}I_4\right)\" n’est pas inversible :<\/p>\n

    On a :
    \n\"A=\begin{pmatrix}.<\/p>\n

    Les \u00e9tapes successives suivantes :
    \n\"\begin{array}{l}<\/p>\n

    donnent la matrice :<\/p>\n

    \"\begin{pmatrix}<\/p>\n

    qui n’est pas inversible, donc \"A\" n’est pas inversible.<\/p>\n

    Conclusion : \"\lambda=\dfrac{-1}{3}\" est bien valeur propre de \"M\" qui poss\u00e8de alors 4 valeurs propres distinctes et est donc bien diagonalisable.<\/p>\n

    Remarque : pour montrer que \"A\" n’est pas inversible, on aurait pu aussi montrer que : \"C_2-3C_1-C_3+3C_4=0\"<\/p>\n

    Partie 3 : Recherche d’une loi stationnaire<\/h3>\n

    7\/<\/strong> D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, \"M\" est diagonalisable.<\/p>\n

    De plus un vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"1\" est le vecteur ne contenant que des \u00ab\u00a01\u00a0\u00bb (voir la question 2.).<\/p>\n

    Il existe donc une matrice inversible \"Q\" (constitu\u00e9e de vecteurs propres dont le premier peut \u00eatre le vecteur propre ne contenant que des \u00ab\u00a01\u00a0\u00bb) et une matrice diagonale \"D=\mathrm{diag}\left(1\; \dfrac{-1}{9}\; \dfrac{1}{3}\; \dfrac{-1}{3} \right)\" telles que \"M=QDQ^{-1}\".<\/p>\n

    8\/<\/strong> Une r\u00e9currence imm\u00e9diate montre que, pour tout \"n\in\mathbb{N}\", \"M^n=QD^nQ^{-1}\".<\/p>\n

    Or, \"D\" \u00e9tant diagonale, on a \"D^n=\mathrm{diag}\left(1\; \left(\dfrac{-1}{9}\right)^n\; \dfrac{1}{3^n}\; \left(\dfrac{-1}{3}\right)^n \right)\"<\/p>\n

    De plus \"\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{-1}{9}\right)^n =\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3^n}\"<\/p>\n

    \"=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{-1}{3}\right)^n\"<\/p>\n

    \"=0\"<\/p>\n

    donc \"\lim\limits_{n\to+\infty}D^n= \mathrm{diag}(1\; 0\; 0\; 0)\" et d’apr\u00e8s les r\u00e9sultats admis dans les pr\u00e9liminaires :<\/p>\n

    \"\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}M^n=Q \mathrm{diag}(1\; 0\; 0\; 0) Q^{-1}}\"<\/p>\n

    9\/ a\/<\/strong> De \"M=QDQ^{-1}\" on tire \"Q^{-1}M=DQ^{-1}\", soit :<\/p>\n

    \"\begin{pmatrix}<\/p>\n

    \"=<\/p>\n

    En identifiant chaque coefficient de la premi\u00e8re ligne du r\u00e9sultat de ces produits, on obtient alors :
    \n\"\left\{
    \nDe \"L_1\" et \"L_4\" on tire : \"\boxed{\ell_2=9\ell_1}\" et \"\boxed{\ell_3=9\ell_4}\"<\/p>\n

    et de \"L_2-L_3 : \boxed{\ell_1-\ell_4=\ell_2-\ell_3}\"<\/p>\n

    et on a alors bien :<\/p>\n

    \"\boxed{\ell_1=\ell_4}\" et \"\boxed{\ell_2=\ell_3=9\ell_4}\"<\/p>\n

    b\/<\/strong> On a \"Q^{-1}Q=I_4\" et d’apr\u00e8s la question 7., la premi\u00e8re colonne de \"Q\" ne contient que des \u00ab\u00a01\u00a0\u00bb, donc :<\/p>\n

    \"\begin{pmatrix}<\/p>\n

    On a donc : \"\ell_1+\ell_2+\ell_3+\ell_4=1\", mais comme \"\ell_1=\ell_4\" et \"\ell_2=\ell_3=9\ell_4\" cela revient alors \u00e0 : \"\ell_4+9\ell_4+9\ell_4+\ell_4=1\" donc :
    \n\"\boxed{\ell_4=\dfrac{1}{20}}\"<\/p>\n

    10\/\u00a0<\/strong>\"\lim\limits_{n\to+\infty}M^n=Q \mathrm{diag}(1\; 0\; 0\; 0) Q^{-1}\"<\/p>\n

    \"=<\/p>\n

    Soit :
    \n\"\lim\limits_{n\to+\infty}M^n=\begin{pmatrix}<\/p>\n

    \"=<\/p>\n

    Or, \"\ell_1=\ell_4=\dfrac{1}{20}\" et \"\ell_2=\ell_3=9\ell_4\", donc :<\/p>\n

    \"\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}M^n =<\/p>\n

    11\/ a\/ <\/strong>Tout d’abord, on a : \"X(\Omega)=\{0,1,2,3\}\". Utilisons les \u00e9v\u00e9nements sugg\u00e9r\u00e9s par l’\u00e9nonc\u00e9 :<\/p>\n

    \"(X=0)=N_1\cap N_2\cap N_3\",<\/p>\n

    donc par la formule des probabilit\u00e9s compos\u00e9es :<\/p>\n

    \"P(X=0)=P(N1)P_{N_1}(N_2)P_{N_1\cap N_2}(N_3)\"<\/p>\n

    \"= \dfrac{3}{6}\times\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4}\"<\/p>\n

    \"= \dfrac{1}{20}\".<\/p>\n

    De m\u00eame : \"(X=1) = (B_1\cap N_2\cap N_3)\" \"\sqcup(N_1\cap B_2\cap N_3)\sqcup(N_1\cap N_2\cap B_3)\"<\/p>\n

    et par incompatibilit\u00e9 et par la formule des probabilit\u00e9s compos\u00e9es :<\/p>\n

    \"P(X=1)\" \"= \dfrac{3}{6}\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}\; +\; \dfrac{3}{6}\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4} \; +\; \dfrac{3}{6}\times\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}\"<\/p>\n

    \"= 3\times\dfrac{18}{120}\"<\/p>\n

    \"=\dfrac{9}{20}\".<\/p>\n

    Pour \"(X=3)=B_1\cap B_2\cap B_3\", on trouve alors \"P(X=3)=\dfrac{1}{20}\"\u00a0 et
    \n\"P(X=2)\" \"=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)\"<\/p>\n

    \"= 1-\dfrac{1}{20}-\dfrac{9}{20}-\dfrac{1}{20}=\dfrac{9}{20}\".<\/p>\n

    Conclusion : la loi de \"X\" est donn\u00e9e par : \"\boxed{P(X=0)=\dfrac{1}{20},\; P(X=1)=\dfrac{9}{20}}\" \"\boxed{P(X=2)=\dfrac{9}{20},\; P(X=3)=\dfrac{1}{20}}\"<\/p>\n

    b\/\u00a0<\/strong>On a :
    \n\"{}^tM=
    \net
    \n\"V=\begin{pmatrix}.<\/p>\n

    Un simple calcul donne : \"{}^tMV=V\", \"V\" est donc bien un vecteur propre de \"{}^tM\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1.<\/p>\n

    c\/ <\/strong>Pour cela il suffit de montrer que : \"\lim\limits_{n\to+\infty}L_n=L=\left(\dfrac{1}{20}\; \dfrac{9}{20} \; \dfrac{9}{20} \; \dfrac{1}{20}\right)\".<\/p>\n

    Or, d’apr\u00e8s la question 5.(c), on a, pour tout \"n\in\mathbb{N}\" ;<\/p>\n

    \"L_n=L_0M^n\", avec \"L_0=\left(0\;0\;0\;1\right)\"<\/p>\n

    et gr\u00e2ce aux r\u00e9sultats admis dans les pr\u00e9liminaires,<\/p>\n

    \"\lim\limits_{n\to+\infty}L_n=\lim\limits_{n\to+\infty}L_0M^n = L_0\left(\lim\limits_{n\to+\infty}M^n\right)\"<\/p>\n

    mais d’apr\u00e8s la question 10., \"\lim\limits_{n\to+\infty}M^n=<\/p>\n

    un simple calcul montrer alors bien que \"L_0\left(\lim\limits_{n\to+\infty}M^n\right)=L\".<\/p>\n

    Conclusion : la suite X_n converge alors bien en loi vers X.<\/p>\n

    d\/<\/strong> Le programme renvoie la suite des \"n\" premiers \u00e9tats suivants l’\u00e9tat initial \"X=4\" (pour avoir des valeurs comprises entre 1 et 4, puis on soustrait 1 \u00e0 chaque coefficient du vecteur renvoy\u00e9).<\/p>\n

    Autrement dit, le programme simule l’exp\u00e9rience et donne le nombre de boules blanches dans l’urne \"U\" lors des \"n\" premiers tirages.<\/p>\n

    Ensuite, le programme calcule la moyenne des nombres d’\u00e9tats o\u00f9 \"X=0\" (l’urne \"U\" n’a pas de boule blanche),<\/p>\n

    on peut donc supposer que \"f\" sera proche de \"P(X=0)=\dfrac{1}{20}\" lorsque \"n\" est assez grand.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2016 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Exercice 1 : Scilab, d\u00e9rivation et variation de suite 1\/ a\/ La fonction est d\u00e9rivable sur comme quotient de deux fonctions d\u00e9rivables dont le d\u00e9nominateur ne s’annule pas sur , et on a : sur Donc la fonction est 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